• Author / Uploaded
• whendy luna

Citation preview

Ecuaciones Diferenciales

Libro de Texto

Lic. Wilber Ramos Lovón Escuela Profesional de Ciencia de la Computación Facultad de Ingeniería de Producción y Servicios Universidad Nacional de San Agustín Diciembre 2010

1

´ PROLOGO El proposito de este libro es el de proporcionar introducci´on a las ecuaciones diferenciables y sus aplicaciones para estudiantes de pregrado de ingenier´ıa. Los t´opicos han sido seleccionados con dos objetivos b´asicos; El primero es preparar a los estudiantes para leer libros de pregrado sobre sistemas electr´onicos y mec´anicos, teor´ıa de control, etc. El segundo es capacitar al alumno para llevar cursos m´as avanzados de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Ecuaciones Diferenciables Parciales y M´etodos num´ericos. Una caracter´ıstica del libro es que la teor´ıa de las Ecuaciones Diferenciables y sus aplicaciones estan separadas para dar amplia atenci´on a cada una. Esto se consigue presentando la teor´ıa y sus aplicaciones en secciones separadas. Esto se hace porque no es aconsejable mesclar teor´ıa y sus aplicaciones puesto que el pricipiante generalmente ecuentra dif´ıcil la formalizacion matem´atica de los problemas aplicados; cuando ´el se ve forzado a hacerlo adem´as de aprender t´ecnicas, de soluci´on, generalmente ning´ un tema se domina. Al tratar la teoria sin aplicaciones y luego ampliarla agradualmente a las aplicaciones, el estudiante puede aprender mejor ambos t´opicos puesto que la atenci´on as´ı se concentra en s´olo un aspecto a la vez, tambien se ha tratado de no caer en la tentaci´on de incluir la demostraci´on de todas la propociones que presentamos especialmente de aquellas que requieren t´ecnicas que no tienen una relaci´on inmediata con el objetivo del libro. Debo mensionar que las versiones preliminares de este libro forman parte de los apuntes de clase del curso que he impartido en ingenier´ıa electr´onica de la UNSA y UCSM. No puedo dejar de reconocer el aliento y apoyo de mis alumnos, Un especial agradecimiento a Karina y Pamela por sus comentarios y sugerencias.

Lic. Wilber Ramos Lov´on. agosto 1998

2

´Indice general ´Indice general

3

1. Ecuaciones Diferenciales en General 1.1. Conceptos de ecuaciones diferenciales 1.1.1. Definici´on . . . . . . . . . . . 1.1.2. Definici´on: . . . . . . . . . . . 1.1.3. Definici´on: . . . . . . . . . . . 1.1.4. Definici´on: . . . . . . . . . . . 1.1.5. Definici´on: . . . . . . . . . . . 1.1.6. Definici´on: . . . . . . . . . . . 1.1.7. Definici´on: . . . . . . . . . . . 1.2. Lista de ejercicios . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Ordinarias Simples de Alto Orden 2.1. Existencia y Unicidad de Soluciones de EDO de Primero Orden . . . . . . 2.1.1. Oservaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Teorema: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Obsevacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El m´etodo de separaci´on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. La ecuaci´on homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ecuaciones Diferenciales Exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Teorema: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Observaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La ecuaci´on lineal de primer orden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Observaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ecuaciones de orden superior al primero que se resuelve f´acilmente . . . . . 2.7. Aplicaciones de EDO de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

7 7 7 8 8 8 10 10 10 12

15 15 15 16 16 17 17 19 19 19 22 22 22 24 26 26 29 31 31

´INDICE GENERAL

4

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales 3.1. Existencia y Unidad de Soluciones de EDO Lineales . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Conceptos Fundamentales para el Estudio de las EDO lineales . . . . . . . 3.2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Definic´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.10. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.11. Definic´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.12. Definic´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. La EDO Lineal Homog´enea con Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . 3.3.1. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. M´etodo de Coeficientes Independientes para Hallar una soluci´on particular yp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Observaci´on : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. M´etodo de Variaci´on de Par´ametros para hallar una soluci´on particular Yp 3.5.1. Observaci´on : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. El Resorte Vibrante.Movimiento Arm´onico Simple . . . . . . . . . . 3.6.2. Resorte vibrante con Amortiguamiento.Movimiento sobre Amortiguado y Criticamente Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. El resorte con fuerzas Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Observaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Circuitos El´ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 41 42 42 43 43 44 44 44 44 45 45 45 45 45 46 46 48 49

4. El M´ etodo Operacional de Laplace 4.1. La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Teorema: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Observaci´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Principales Propiedades de la Transformada de Laplace 4.2.1. Proposici´on: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 74 74 75 75 76 77 77

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

49 49 51 53 53 56 58 58 63 64 65 65

´INDICE GENERAL 4.2.2. Teorema: . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Corolario . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Proposici´on: . . . . . . . . . . . . . 4.2.5. Proposici´on: . . . . . . . . . . . . . 4.3. El concepto de convoluci´on . . . . . . . . . 4.3.1. Definici´on: . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Teorema: . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Propiedades adicionales de la transformada 4.4.1. Observaci´on: . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Observaci´on: . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

79 79 82 84 85 85 86 88 88 91

5. Introducci´ on al An´ alisis de los Sistemas de Control 105 5.1. Resumen del M´etodo de la Transformada de Laplace para resolver la Ecuaci´on Lineal de Orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1.1. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1.2. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1.3. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2. Funciones de Transferencia y Diagramas de Bloques . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.1. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.2. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2.3. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.4. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.5. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2.6. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3. Estabilidad del Circuito de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3.1. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3.2. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3.3. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3.4. Observaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Bibliograf´ıa

131

6

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Ecuaciones Diferenciales en General 1.1.

Conceptos de ecuaciones diferenciales

Las Leyes cient´ıficas, que por supuesto estan basadas en experimentos u observaciones, estan traduciadas en equaciones matem´aticas, que necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, para determinar la incognita o incognitas involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una soluci´on exacta o en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, souluciones aproximadas. Con el uso de soluciones conocidas el cient´ıfico puede ser capaz de interpretar lo que esta sucediendo desde el punto de vista aplicado. Puede hacer graficas o tablas y comparar la teoria con los experimentos p´ uede incluso basar la investigacion posterior en tales interpretaciones, Por supuesto si encuentra que los experiementos, u observaciones no est´an de acuerdo con la teor´ıa, debe revisar el modelo y su formalizaci´on matem´atica hasta que se consiga un acuerdo razonable. Una de las m´as importantes y facinante rama de la matem´atica que proporciona el medio para la formalizaci´on matem´atica y soluciones, de variados problemas cient´ıfico se llama Ecuaciones Diferenciales. Con el objetivo de seguir adelante necesitamos algunas definiciones.

1.1.1.

Definici´ on

Una ecuacion diferencial es una ecuacion que involucra derivas de una funcion desconocida de una o m´as variables. Si la funcion desconocida depende s´olo de una sola variable, la ecuaci´on se denomina: Ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO). Si la funcion desconocida depende de m´as de una variable la ecuaci´on se denomina: Ecuaci´on diferencial parcial (EDP). dy Ejemplo 1: la ecuaci´on = sen x + 3y o y 0 = sen x + 3y en la cual y es una funci´on dx desconocida de una sola variable x es una EDO. 7

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

8

Ejemplo 2: la ecuaci´on x00 − 2x0 − 15x = et en la cual x es la funci´on desconocida en una variable t es una EDO. ∂ 2V ∂ 2V + 2 = V en la cual V es la funci´on desconocida en dos ∂x2 ∂y 2 variables t es una EDP.

Ejemplo 3: la ecuaci´on

1.1.2.

Definici´ on:

El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de la derivada m´as alta que aparece en la ecuaci´on. La ecuacion diferencial del ejemplo 1 es de primer orden y la del ejemplo 2 es de segundo orden y la del ejemplo 3 es de tercer orden. Una EDO de orden n puede expresarce como: F (x, y, y 0 , · · · , y (n) ) = 0 Aunque la EDP son muy importantes, su estudio exije una muy buena base en la teor´ıa de EDO. En consecuencia, lo que sigue de este texto, esta limitado a la EDO.

1.1.3.

Definici´ on:

Una EDO lineal es una ecuaci´on que puede ser escrita en la forma an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x) donde g(x) y los coeficientes a0 (x), a1 (x), · · · , an (x) son funciones dadas de x y a0 (x) 6= 0. Una EDO que no puede escribirse de esta forma, se llama EDO no lineal. Ejemplo 4: y 00 + ex y 0 + y = 2 + x (y 0 )2 + xy 0 − y = 0

1.1.4.

EDO lineal EDO no lineal

Definici´ on:

Se dice que una funci´on f cualesquiera, definida en alg´ un intervalo I, es solucion de una EDO en el intervalo, si sustituida en dicha ecuaci´on la reduce a una identidad. Ejemplo 5: La funci´on f (t) = e5t es una soluci´on de la EDO lineal x00 − 2x0 − 15x = 0 en R f 0 (t) = 5e5t f 00 (x) − 2f 0 (x) − 15f (x) = 25e5t − 2(5e5t ) − 15e5t = 0

1.1. CONCEPTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo 6: la funci´on f (x) =

√

9 − x2 es una soluci´on de y 0 = −

9 x y

x 9 − x2 x = − f (x)

f 0 (x) = − √

Sin embargo habr´a que restringir x al dominio −3 < x < 3 Ejemplo 7: Para −3 < x < 3 la relaci´on x2 + y 2 − 9 = 0 es una soluci´on impl´ıcita de x y0 = − y Derivando impl´ıcitamente: 2x + 2yy 0 = 0 2yy 0 = −2x x y0 = − y Ejemplo 8: Para cualquier valor de c, la funci´on f (x) = de primer orden xy 0 + y = 1 en R

c + 1 es una soluci´on de la EDO x

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

10

c x2  c c xf 0 (x) + f (x) = x − 2 + + 1 x x f 0 (x) = −

c c = − + +1 x x = 1 Dando a c los valores reales es posible generar un n´ umero infinito de soluciones. vease figura.

1.1.5.

Definici´ on:

1.1.6.

Definici´ on:

Un problema de valor inicial (PVI) es un problema que busca determinar unsa solucion a una ecuaci´on diferencial sujeta a condiciones sobre la funci´on desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

1.1.7.

Definici´ on:

Un problema de valor de frontera (PVF) es un problema que busca determinar una soluci´on a una ecucaci´on diferencial sujeta a condiciones sobre la funcion desconocida especificadas en dos o m´as valores de laas varable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. Ejemplo 8: y 0 + 2xy = 0

y(0) = 1

(PVI)

y 00 + y 0 − 2y = −6 sen x − 18 cos 2x y(0) = 2 y 0 (0) = 2 (PVI) y 00 = 12x(4 − x)

y(0) = 7 y(1) = 0 (PVF)

Ejemplo 9: Una particula de masa m se mueve a lo largo de una recta, el eje x, sujeto a una fuerza F (x) que depende de la posici´on x, la ley f´ısica que gobierna este comportamiento es:

1.1. CONCEPTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

11

la segunda ley de Newton: Fuerza = Masa × Aceleraci´on d2 x F (x) = m 2 dt Cuando no ha transcurrido el tiempo la particula no se ha movido es decir x(0) = 0, ahora supongamos que la part´ıcula inicialmente esta en reposo, es decir, x0 (0) = 0 por lo tanto debemos resolver el PVI. d2 x m 2 = F (x), dt

x(0) = 0,

x0 (0) = 0

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

12

1.2.

Lista de ejercicios

1. Determinar si la ecuaci´on diferencial es ordinaria o parcial, el orden, las variables independientes y las variables dependientes. a) y 0 = x2 + 5y b) y 00 − 4y 0 − 5y = e5x

∂ 2 u ∂u ∂u =5 2 + ∂t ∂x ∂y  3 2  2 3 ds ds d) + = s − 3t 3 dt dt2 dγ p e) = γφ dφ c)

d2 x − 3x = sen y dy 2 s ∂V ∂ 2V = 3 g) 2 ∂x ∂y f)

h) (3x − y)dx + (x + 4y)dy = 0 i)

∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

2. ¿Cu´ales de las EDO del ejecrcio 1 son lineales y cuales son no lineales? 3. Verifique que la funci´on indicada es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial dada. Donde sea apropiado A, B son constantes. 6 6 −20t − e 5 5

a) y 0 + 20y = 24;

y=

b) y 00 − 3y 0 − 10y = 6ex ; p c) y 0 = 2 |y|;

1 y = Ae5x + Be−2x − ex 2 y = x|x| Z x 2 2 −x2 y=e et dt + Ae−x

d ) y 0 + 2xy = 1;

0 0 3

8x3 − 27y 2 = 0

e) (y ) = y;

y(0) = 0,

f ) ydx + (2x − 3y)dy = 0;

xy 2 − y 3 = A

g) 9

Y (π, 0) = 0, Y (x, t) = 4 sen(2x − 3t) ( −x2 , x < 0 y= x2 , x ≥ 0

∂ 2Y ∂ 2Y = 4 ; ∂x2 ∂t2

h) xy 0 − 2y = 0;

1.2. LISTA DE EJERCICIOS

13 (

i ) (y 0 )2 = 9xy;  j)

dy dx

3 + 2x

y= dy = 2y + 1; dx

k ) y[1 + (y 0 )2 ] = A; l ) y 0 = y 2 − 1;

0, x < 0 x3 , x ≥ 0

3 1 x = − t2 , y = −t3 − 2 2 A A y = (1 − cos 2θ) x = (2θ − sen 2θ), 2 2 2x 1 + Ae y= 1 − Ae2x

(√ 4 − x2 , −2 < x < 0 x 0 √ 4. ¿La funci´on y = es soluci´ o n de la EDO y = − y − 4 − x2 , 0 ≤ x < 2

5. Encuentre valores m tales que y = emx sea soluci´on de la EDO y 00 − 5y 0 + 6y = 0 6. Demuestre que y1 = 3x2 y y2 = 2x3 son ambas soluciones de x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0 ¿Son tambi´en soluciones los multiplos constantes c1 y1 y c2 y2 con c1 y c2 arbitrarios? ¿Es una suma y1 + y2 una soluci´on? 7. Una particula se mueve a lo largo del eje x de modo que su velocidad instantanea est´a dada como una funci´on de tiempo t por v = 12 − 3t2 . Al tiempo t = 1, est´a localizada en x = −5 a) Establezca el problema del valor inicial que describa el movimiento. b) Resuelva el problema en (a). c) Determine donde estar´a la particula en los tiempos t = 2 y t = 3 d ) Determine los tiempos cuando la particula est´a en el origen. Al hacer esto ¿Qu´e supuestamente se estan haciendo? e) Describa el movimiento de la part´ıcula usando un gr´afico. 8. Una particula se mueve a lo largo del eje x de modo tal que su aceleraci´on instantanea est´a dada como una funci´on de tiempo t por a = 10 − 12t2 . En los tiempos t = 2 y t = 3 la part´ıcula est´a localizada en x = 0 y x = −40 respectivamente. a) Establezca la ecuaci´on diferencial y condiciones asociadas que describen el movimiento. ¿El problema es de valor inicial o de frontera? b) Solucione el problema en (a). c) Determine la posici´on de la particula en t = 1. d ) Dibuje aproximadamente el gr´afico de x contra t y u ´selo para describir el movimiento de la part´ıcula. 9. Por medio de un examen cuidadoso, determine al menos una soluci´on de cada uno de las ecuaciones diferenciales siguientes:

CAP´ITULO 1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

14 a) y 0 = 2x b) y 00 = 1 c) y 00 = y 0 d ) y 0 = 5y

e) y 0 = y 3 − 8 f ) 2yy 0 = 1

10. Determine el intervalo en el cual y 2 − 2y = x2 − x − 1 define una soluci´on de 2(y − 1)dy + (1 − 2x)dx = 0

Cap´ıtulo 2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden y Ordinarias Simples de Alto Orden 2.1. 2.1.1.

Existencia y Unicidad de Soluciones de EDO de Primero Orden Oservaci´ on:

dy = f (x, y) sujeta a y(x0 ) = y0 Al resolver una ecuacion diferencial de primer orden dx surgen dos preguntas fundamentales: ¿Existe una soluci´on del problema? Si existe una solucion ¿es la u ´nica? El Pr´oximo ejemplo muestra que la respuesta a la segunda pregunta a veces es negativa. √ Ejemplo 1: La figura muestra que el PVI y 0 = x y, y(0) = 0, tiene al menos dos soluciones en R

Es recomendable saber antes de resolver un PVI si es que tiene soluci´on y, si la tiene, saber si es u ´nica. El siguiente teorema, debido al matem´atico frances, Charles Emile Picard (1856-1941) da condiciones suficientes para la existencia de soluci´on u ´nica. 15

16CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE

2.1.2.

Teorema:

Sea R una regi´on rectangular en el plano xydefinida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que df contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior. Si f (x, y) y son continuas en R, entonces dy existe un intervalo I con centro en x0 y una u ´nica funci´on y(x) definida en I que satisface dy el PVI = f (x, y), y(x0 ) = y0 dx

2.1.3.

Obsevacion:

a. La geometr´ıa del teorema 2.1.2 se ilustra en la figura

b. Las condiciones del teorema 2.1.2 son suficientes pero no necesarias, es decir, si tales condiciones no se cumplen, el PVI a´ un puede tener ninguna soluci´on o m´as de una soluci´on. c. l lector debe notar la diferencia que hay entre la existencia de una soluci´on y el poder materializarla efectivamente. Es claro que si se encuentra una soluci´on concreta, ciertamente puede decirse que existe; por otra parte una soluci´on puede existir y sin enbargo es posible que no podamos manifestarla. Ejemplo 2: Realice un an´alisis con respecto a la existencia y unicidad de los siguientes PVI. dy √ = x y, y(0) = 0 a. dx dy p 2 = y − 9, y(1) = 0 b. dx Soluci´ on: √ a. f (x, y) = x y

df x = √ son funciones continuas en R = {(x, y) ∈ R2 /y > 0} y dy 2 y como el punto (0, 0) no es punto interior de R en teorema 2.1.2 no puede asegurarnos nada. M´as a´ un, el ejemplo 1 nos muestra dos soluciones al PVI y

´ ´ DE VARIABLES 2.2. EL METODO DE SEPARACION

17

y df =p son funciones continuas en R =]−∞, −3[ U ]3, +∞[ dy y2 − 9 y como el punto (1, 4) es un punto interior de R el teorema 2.1.2 asegura que el PVI tiene una u ´nica soluci´on en R.

b. f (x, y) =

2.2. 2.2.1.

p y2 − 9

y

El m´ etodo de separaci´ on de variables definici´ on:

dy = f (x, y) se dice que es separable o que tiene variables Una EDO de primer orden dx separables si dicha ecuaci´on se puede reescribir en la forma g(x) dy = dx h(y) para obtener la soluci´on general escribimos la ecuaci´on as´ı h(y)dy = g(x)dx e integramos.

Ejemplo 1: Resolver las siguientes EDO de primer orden a. y 0 = (x + 1)2 b. y 0 =

y+2 x

c. sen 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 d. y 0 =

1−x−y x+y

Soluci´ on: a. dy = (x + 1)2 dx dy = (x + 1)2 dx Z Z dy = (x + 1)2 dx y =

(x + 1)3 +C 3

18CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE b.

dy y+2 = dx x 1 1 dy = dx y+2 x ln |y + 2| = ln |x| + ln C = ln(|x|C) y + 2 = Cx y = cx − 2

¿Por qu´e?

c.

2y cos3 3xdy = − sen 3xdx Z Z sen 3x 2ydy = − 3 dx cos 3x Z dz y2 = , z = cos 3x z3 1 = − 2 +C 2z 1 = − +C 2 cos2 3x r 1 y = ± − +C 2 cos2 3x

d.

z = x + y ⇒ dz = dx + dy dz dy ⇒ =1+ dx dx dy dz ⇒ = −1 dx dx

´ HOMOGENEA ´ 2.3. LA ECUACION

19

De donde; dy 1 − (x + y) = dx x+y dz 1−z −1 = dx z 1−z dz = +1 dx z dz 1 = Z dx Zz zdx = dx z2 = x+C 2 (x + y)2 = x+C 2

2.3. 2.3.1.

(soluci´on implicita)

La ecuaci´ on homog´ enea Definici´ on:

Una funci´on f (x, y) se dice homogenea de grado n, si f (tx, ty) = tn f (x, y)

2.3.2.

Definici´ on:

Una EDO de primer orden de la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, donde M y N tienen el mismo grado de homogeneidad, se dice que tiene coeficientes homog´eneos o que es una ecuaci´on homog´enea. Una ecuacion homogenea puede producir una ecuaci´on de variables separadas usando una de las sustituciones y = ux o bien x = vy, en donde u y v son nuevas variables dependientes. Ejemplo 1: a. (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0 y y 0 b. y = ln x x Soluci´ on: a. M (tx, ty) = tx + 2ty = t(x + 2y) = t1 M (x, y)

20CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE N (tx, ty) = 2tx + ty = t(2x + y) = t1 N (x, y) De donde, M y N son homog´eneas de grado 1, entonces la EDO es homog´enea. Luego, y = ux ⇒ xdu entonces; (x + 2ux)dx + (2x + ux)(udx + xdu) = 0 xdx + 2uxdx + 2xudx + 2x2 du + u2 xdx + ux2 du = 0 x(1 + 4u + u2 )dx + x2 (2 + u)du = 0 Z Z 2+u dx du = − 1 + 4u + u2 x Z Z dx 1 2 dz = − z = 1 + 4u + u ⇒ 2z x 1 ln |z| = − ln |x| + ln C 2   C 1/2 ln |z| = ln x C |z|1/2 = x C |1 + 4u + u2 | = 2 ¿por qu´e? x y y2 C 1+4 + 2 = 2 ¿por qu´e? x x x x2 + 4yx + y 2 = C b. dy y y = ln dx x x   y y ln dx − dy = 0 x x   ty ty M (tx, ty) = ln tx tx  y y = ln x x = t0 M (x, y) N (tx, ty) = −1 = t0 N (x, y)

´ HOMOGENEA ´ 2.3. LA ECUACION

21

De donde, la EDO es homog´enea. Luego, y = ux dy = udx + xdu entonces, u ln udx − udx − xdu u(ln u − 1)dx Z du u(ln u − 1) Z dz z ln |z|

= 0 = du Z dx = x Z dx = , x = ln |x| + ln C = ln(|x|C) |z| = |x|C z = xC u − 1 = xC ln y ln − 1 = xC x

z = ln u − 1

¿por qu´e?

Ejemplo 2: Resuelva el siguiente PVI y 2 dx + (x2 + xy + y 2 )dy = 0, Soluci´ on: M (x, y) = y 2

y

y(0) = 1

N (x, y) = x2 + xy + y 2 son homog´eneas de grado 2. Luego, x = vy dx = vdy + ydv

entonces, y 2 (vdy + ydv) + (v 2 y 2 + vy 2 + y 2 )dy = 0 y 2 vdy + y 3 dv + v 2 y 2 dy + vy 2 dy + y 2 dy = 0 y 2 (v 2 + 2v + 1)dy + y 3 dv = 0 Z Z dv = −ydy (v + 1)2 1 y2 =− +c v+1 2 2 1 y = +c ¿por qu´e? +1 2 −

x y

22CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE y y2 = +c x+y 2 como y(0) = 1, se tiene que, 1 1 = +c 0+1 2

⇒

c=

1 2

y2 1 y = + x+y 2 2

2.4. 2.4.1.

Ecuaciones Diferenciales Exactas definici´ on:

Una EDO de primer orden M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 se dice exacta, si el primer miembro es diferencial exacta de alguna funci´on f (x, y). Si la ecuaci´on diferencial es exacta, entonces, existe f (x, y) tal que: df =

∂f ∂f dx + dy = M (x, y)dx + N (x, y)dy ∂x ∂y

cuando asi sucede, la ecuaci´on diferencial es la misma que df = 0, y entonces las soluciones estan dadas en forma implicita por f (x, y) = c

2.4.2.

Teorema:

Una condici´on necesaria y suficiente para que M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 sea exacta es que M (x, y) y N (x, y) sean continuas, con derivadas parciales de primer orden continuas en una regi´on R del plano xy, y ∂N ∂M = ∂y ∂x Prueba Sin perdida de generalidad, podemos suponer que M (x, y) y N (x, y) tienen derivadas de primer orden continuamos para todos los (x, y). Si la Ecuacion Diferencial es exacta, existe una funci´on f (x, y) para la cual M (x, y)dx + N (x, y)dy =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS de donde, M (x, y) =

23

∂f ∂f , N (x, y) = entonces ∂x ∂y     ∂M ∂ ∂f ∂ 2f ∂ ∂f ∂N = = = = ∂y ∂y ∂x ∂y∂x ∂x ∂y ∂x

La igualdad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad de las derivadas parciales de primer orden de M (x, y) y N (x, y). La demostraci´on de la suficiencia consiste en probar que existe una funci´on f para la caul ∂f = M (x, y) y ∂f = N (x, y) cada vez que la condici´on ∂M = ∂N se cumple. ∂x ∂y ∂y ∂y La construcci´on de la funci´on f refleja de hecho un procedimiento b´asico para resolver ecuaciones exactas, que veremos en el siguiente ejemplo : Ejemplo 1: Resuelva (3x2 + ey )dx + (x3 + xey − 2y)dy = 0 Soluci´ on: p M (x, y) = 3x2 y + ey ∂M ∂y

N (x, y) = x3 + xey − 2y ∂N ∂x

= 3x2 + ey ∂M ∂y

De donde,

=

∂N ∂x

= 3x2 + ey

y por tanto la ecuaci´on diferencial es exacta.

Entonces, existe f(x,y) tal que: ∂f ∂x

= 3x2 y + ey

Z

y

∂f ∂y

= x3 + xey − 2y

Z ∂f dx = (3x2 y + ey )dx ∂x f (x, y) = x3 y + xey + g(y) ¿Por qu´ e? ∂f dg(y) = x3 + xey + = x3 + xey − 2y ∂y dy

Entonces: dg(y) = −2y dy Z Z dg(y) = −2y (dy) dy g(y) = −y 2 + c

24CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE

es:

Entonces ,f (x, y) = x3 y +xey −y 2 +c, por lo tanto la soluci´on de la ecuaci´on diferencial

f (x, y) = c x y + xey − y 2 = c 3

¿Por qu´ e? y

2.4.3.

Observaci´ on:

a) Considere el caso donde M (x, y)dy + N (x, y)dy = 0 no es separable o exacta. Multipliquemos nuestra ecuaci´on por un factor integrante apropiado U , de modo de que la ∂ ecuaci´on resultante U M (x, y)dx + U N (x, y)dy = 0 sea exacta, esto es ∂y (U M (x, y)) = ∂ (U N (x, y)). ∂x b) Simplificaremos nuestro trabajo al demostrar dos casos: Caso 1:

U = U (x)

p ∂ (U (x) M (x, y)) ∂y ∂ U (x) M (x, y) ∂y ∂ U (x) · N (x, y) ∂x du u

∂ (U (x) N (x, y)) ∂x ∂ ∂u = U (x) N (x, y) + (x)N (x, y) ∂x ∂x ∂ ∂ = U (x)( )M (x, y) − N (n, y) ∂y ∂x 1 ∂ ∂ = [ M (x, y) − N (x, y)]dx d(x, y) ∂y ∂x =

Si el coeficiente de dx es una funci´on s´ola de x, digamos f (x) entonce: du = f (x)dx Z u Z du = f (x)dx u R u = e f (x)dx y Caso 2: p

U = U (y)

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

∂ (U (y) M (x, y)) ∂y ∂ ∂U (y) M (y) N (x, y) + M (x, y) ∂y ∂y ∂U (y) U (x, y) ∂y du u

25

∂ (U (y) N (x, y)) ∂x ∂ = U (y) N (x, y) ∂x ∂ ∂ = U (y)( N (x, y) − M (x, y)) ∂x ∂y 1 ∂ ∂ = [ N (x, y) − M (x, y)]dy M (x, y) ∂x ∂y

=

Si el coeficiente de dy es una funci´on s´olo de y, digamos g(y), entonces: du = g(y)dy Z u Z du = g(y)dy u R u = e g(y)dy

y Ejemplo 2: Resolver el siguiente PVI

y dx + (3 + 3x − y) dy = 0 Soluci´ on: p ∂M ∂y

∂N ∂x

=1

=3

Es decir, que nuestra ecuaci´on diferencial no es exacta. Ahora : (x,y) 1 [ ∂M∂y N (x,y)

−

∂ N (x, y)] ∂x

=

1 [1 3+3x−y

− 3]

no es una funci´on que s´olo dejando de x. Pero: (x,y) 1 [ ∂N∂x M (x,y)

−

∂M (x,y) ] ∂y

= y1 [3 − 1]

26CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE es una funci´on s´olo de y, entonces: R

eR g(y)dy 2 e y dy e2 log y y2

U = = = =

es un factor integrante

Multiplicando la ecuaci´on dada por y 2 , nos damos cuenta que la ecuaci´on resultante es exacta y la soluci´on es: xy 3 + y 3 −

2.5. 2.5.1.

y4 4

=c

La ecuaci´ on lineal de primer orden: Observaci´ on:

Si a la ecuaci´on lineal de primer orden.

dy a1 (x) dx + d0 (x)y = g(x)

a1 (x) 6= 0

la dividimos entre a1 (x) , se tiene una forma m´as util

dy dx

+ P (x)y = f (x)

¿Por qu´ e?

Ahora, busquemos una soluci´on en un intervalo I en el cual P (x) y f (x) son continuas. Entonces

dy + [P (x)y − f (x)]dx = 0 Las ecuaciones lineales tiene la conveniente propiedad de que siempre es posible encontrar, un factor inteligente U (x). De donde:

U (x)dy + U (x)[P (x)y − F (x)]dx = 0 ∂M ∂y

= U (x)P (x)

∂N ∂x

=

∂ U (x) ∂x

´ LINEAL DE PRIMER ORDEN: 2.5. LA ECUACION

27

Para que la ecuaci´on sea exacta, hacemos:

∂ M (x) ∂x R U (x) = e p(x)dx

entonces

U (x)P (x) =

es elf actorintegrante

El procedimiento general que debe seguirse para encontrar la soluci´on y(x), es totalmente an´alogo al del siguiente ejemplo. Ejemplo 1: Resolver la EDO lineal de primer orden dy x dx + (3x + 1)y = e−3x

p dy du

+

3x+1 y x

=

e−3x x

(∗)

R

p(x)dx

R

3x+1

U (x) = e = = = =

e x dx e3x+lnx e3x elog x xe3x

Al multiplicar U (x) a la ecuaci´on (*), se tiene

xe3x

dy + (3x + 1)e3x y dx d (xe3x y) dx Z d (xe3x y)dx dx xe3x y

= 1 = 1 Z = 1dx = x+c

c y = e−3x + e−3x x y dy Ejemplo 2: La ecuaci´on dx + P (x)y = f (x)y n , donde n es cualquier n´ umero real, se llama ecuaci´on de Bernuulli en honor al matematico suizo Jacob Bernoulli (1654 1705).Demostrar que para n 6= 0 y n 6= 1, la sustituci´on z = y 1−n lleva a la ecuaci´on lineal.

28CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE dz dx

+ (1 − n)P (x)z = (1 − n)f (x)

p dy y n dx + P (x)y 1−n = f (x)

Si z = y 1−n entonces

dz dx

dy = (1 − n)y n dx

De donde: 1 dz (1−n) dx

por lo tanto

dz dx

+ P (x)z = f (x)

+ (1 − n)P (x)Z = (1 − n)f (x) y

Ejemplo 3: Resolver el PVI dy x2 dx − 2xy = 3y 4

p dy dx

− x2 y =

3 4 y , y2

es una ecuaci´on de Bernulli

Luego z = y 1−4 = y −3 , entonces

2 dz +3 z dx x 6 dz + z dx x U (x) U (x) U (x)

3 x2 9 − 2 x R 6 e x dx e6 log x x6

= −3 = = = =

(∗)

multiplicando el factor integrante U (x) en (*)

dz + 6x5 z = −9x4 dx d 6 (x z) = −9x4 dx Z Z d 6 (x z)dx = −9x4 Ax dx 9 x6 z = − x5 + c 5 9 x6 y −3 = − x5 + c 5 x6

´ 2.6. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR AL PRIMERO QUE SE RESUELVE FACILMENTE29 y

2.6.

Ecuaciones de orden superior al primero que se resuelve f´ acilmente

Ejemplo 1: Resuelva y IV = x , y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = y 000 (0) = 0 p

y(IV ) = x x2 + c1 y 000 = 2 Y 000 (0) = c1 = 0 x3 Y 00 = + c2 6 y 00 (0) = c2 = 0 x4 + c3 y0 = 24 x5 y = c4 120 y(0) = c4 = 0 x5 y(0 = 120

Ejemplo 2: Resolver xy 00 + y 0 = 8x p Haciendo y 0 = v, se tiene

30CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE

xv 0 + v 1 v0 + v x U U U 0 xv + v (xv)0 xv xy 0

= 8x = 8 = = = = = = =

R

(EDO primer orden) 1

e x dx elog x x (F actor integrante) 8x 8x 4x2 + c1 4x2 + c 1 y 0 = 4x + c1 x y = 2x2 + lnxc1 + c2

Ejemplo 3: Resolver 2yy 00 = 1 + (y 0 )2 Haciendo y 0 = v, se tiene 2yv 0 = 1 + v 2 dv = 1 + v2 2y dx

pero,

dv dx

=

dv dy dy dx

! 3 variables ¡ =

dv 0 y dy

=

dv v, dy

entonces

dv v = 1 + v2 dy Z Z dy 2v dv = 2 1+v y 2 ln|1 + v | = log |y| + log c1 ln|1 + v 2 | = ln(|y|c) 1 + v 2 = c1 y 1 + (y 0 )2 = 1 , y (y 0 )2 = c1 − 1 p y 0 = ± c1 y − 1 Z Z 1 √ dy = ± dx c1 y − 1 p 2 c1 y − 1 = ±x + c2 2y

2.7. APLICACIONES DE EDO DE PRIMER ORDEN

2.7.

31

Aplicaciones de EDO de primer orden

Ejemplo 1: La l´ınea tangente a una curva en cualquier punto (x,y) de ella tiene su intercepto en el eje x siempre igual a 12 x. Si la curva pasa por (1,2) encuentre su ecuaci´on. p

L:

v − v0 = m(u − u0 ) v − y = y 0 (u − v)

El intercepto de L con el eje x, se obtiene haciendo v = 0, esto es: −y = y 0 (u − x) x−

y y0

1 (x − )x)y 0 2 1 0 xy Z2 dy y ln|y| y

= 4 = 21 xy 0

= y = y Z dx = 2 x = 2ln|x| + lnc = cx2

pero, y(1) = c = 2, entonces: y = 2x2 y

2.7.1.

Definici´ on:

Cuando todos las curvas de una familia de curvas G(x, y, c2 ) = 0 cortan ortogonalmente a que las familias son, cada una, trayectoria ortogonales de la otra.

Las trayectorias ortogonales aparecen en el estudio de electricidad y magnetismo.

32CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE Como toda familia de curvas G(x, y, c2 ) = 0 es generada por la ecuaci´on diferdy = f (x, y), entonces la otra familia con la que se cortan ortogonalmente encial dx dy 1 H(x, y, c2 ) = 0 es generada por dx = − f (x,y) Ejemplo 2: Obtenga las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y 2 = c1 x p Primero, se debe hallar

dy dx

= f (x, y)

x 2 + y 2 = c1 x x2 + y 2 2x + 2yy 0 = c1 = x 2 x + y2 0 2yy = − 2x x y 2 − x2 = f (x, y) y0 = 2yx Luego se debe resolver

dy dx

1 = − f (x,y) ¿Por qu´ e?

dy dx 2 2 (y − x )dy + 2yxdx x = vy ⇒ dx 2 2 2 (y − v y )dy + 2yvy(vdv + ydv) y 2 (1 + v 2 )dy + 2y 3 vdv 2vdy | 1 + v2 ln|1 + v 2 |

= − = = = = = =

1 + v2 =

x2 = y2 y 2 + x2 = 1+

2yx − x2

y2

0 (Homogenea) xdy + ydv 0 0 1 | − dy y −ln|y| + lnc2 c2 y c2 y c2 y y

Ejemplo 3:

2.7. APLICACIONES DE EDO DE PRIMER ORDEN

33

Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad 128 pies/seg (a) ¿ Cu´al es su velocidad desde partida?(b) ¿Cu´ando regresar´a a su posici´on de partido?(c)¿Cu´al es la m´axima altura que alcanza antes de regresar? Consideremos arriba como positivo. La fuerza que actua sobre la bola es su peso, -mg (el menor significa abajo ). La ecuaci´on para el movimiento es:

2

m ddt2x = −mg , entonces x00 = −g sujeta a las condiciones x(0) = 0, x0 (0) = 128 es la formulaci´on completa a nuestro problema.

Luego pero entonces

pero entonces

x0 = −g + c1 x0 (0) = c1 = 128 x0 = −gt + 128 g x = − t2 + 128t + c2 2 x(b) = c2 = 0 g x = − t2 + 128t 2 x = −16t2 + 128t

a) v(t) = x0 (t) = −32t + 128 v(0) = −64 Que significa que la bola baja a una velocidad de 64 pies/seg

34CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE b) x(t) = −16t2 + 128t = 0 t(−16t + 128) = 0 t=0yt=8 Que significa que al cabo de 8 segundos, la bola regresa a su posici´on de partida.

c) La bola alcanza su m´axima altura en el instante en que v(t) = 0 esto es, x0 (t) = −32t + 128 = 0 , t = 4 Por lo tanto, x(4) = 256 ,es decir que alcanza la altura m´axima de 256 pies. Ejemplo 4: Un generador con una fuerza electromotriz (fem) de 100 voltios se conecta en serie con una si el interruptor k se cierra en tiempo t = 0, establezca una ecuaci´on diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t. p

Ley de Kirchhoff: La suma de las caidas de voltaje es igual al voltaje suministrado.

2.7. APLICACIONES DE EDO DE PRIMER ORDEN

Eresistencia + Einductor dI RI + L dt 0 I + 5I u u 5t 0 5t e I + 5e I (e5t I)0 e5t I I I(0) I

35

= f em = 100 = = = = = = = = =

50 R e 5dt e5t 50e5t 50e5t 10e5t + c 10 + ce−5t 10 + c = 0 −10e−5t + 10

entonces

Note que la corriente es cero cuando t = 0 y crece hacia un m´aximo de 10 amperios aunque teoricamente nunca los alcanzamos. y Ejemplo 5: Una fem decayente E = 200e−5t se conceta en serie con una resistencia de 20 ohnios y un condensador de 0.01 faradios. Asumiendo que la carga Q en t = 0 es cero, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo y halle cu´ando se obtiene.

36CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE p

ER + E − C Q RI + C dQ Q 20 + dt 0,01 0 20Q + 100Q Q0 + 5Q u u 5t 0 5t e Q + 5e Q (e5t Q)0 e5t Q Q Q Q(u) ∴Q

= E dQ dt

= E

I=

= 200e−5t

Q(0) = 0

200e−5t 10e−5t R e 5dt e5t 10 10 10t + C1 10te−5t + C1 e−5t 10te−5t + C1 e−5t C1 = 0 10te−5t dQ I = = −50te−5t + 10e−5t dt = = = = = = = = = = =

entonces

Carga en cualquier tiempo Corriente en cualquier tiempo

Para hallar cuando Q es m´axima, hacemos Q0 = −50te−5t + 10e−5t = 0 e−5t (−50t + 10) = 0 1 t = 5

P or que

por lo tanto, la carga m´axima es: Q( 15 ) = 2e−1 ≈ 0,74culombio y

2.7. APLICACIONES DE EDO DE PRIMER ORDEN

37

LISTA DE EJERCICIOS 1. Determine una regi´on del plano xy en la cual la ecuaci´on diferencial dada tenga una soluci´on c´onica por cada pronto (x0 , y0 ) de la regi´on a.

dy dx

= y 2/3

d. (1 + y 3 )y 0 = x2

b.

dy dx

= x3 cos y

e. y 0 = (x − 1)e x−1

c.

dy dx

=

√ xy

f. (x2 + y 2 )y 0 = y 2

y

2. Utilizando la observaci´on obtenga una soluci´on del PVI y 0 = |y − 1|

y(0) = 1

dy = 1 + y 2 . Determine una regi´on del plano xy 3. a) Considere la ecuaci´on diferencial dx en la cual la ecuaci´on tenga una u ´nica soluci´on en el punto (x0 , y0 ) de la regi´on.

b) Demuestre formalmente que y = tg x satisfacela ecuaci´on diferencial y la condici´on y(0) = 0. c) Explique peor qu´e y = tg x no es una soluci´on del PVI el intervalo −2 < x < 2

dy dx

= 1 + y 2 , y(0) = 0 en

d) Explique por qu´e y = tg x es una soluci´on de PVI de la parte c, en el intervalo −1 < x < 1 4. Resuelva la EDO a. y 0 =

y+1 x

b. y 0 =

1+2y 2 y sin x

c. ex yy 0 = e−y + e−2x−y d. y 0 = e. x

p

xy+3x−y−3 xy−2x+4y−8

√ 1 + y 2 dx = y 1 + xdy

38CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE f.

dy dx

2

= − 3x+xy 2y+x2 y

y(2) = 1

5. Resuelva la EDO a.

dy dx

= 21 ( xy + xy )

b.

dy dx

=

y x

+

x2 y2

+1

c. (x2 e−y/x + y 2 )dx = xydy d.

dy dx

= xy ln( xy )

e.

dy dx

=

f. (x + g.

dy dx

√ √ x+y+ x−y √ √ x+y− x−y

√ dy xy) dx + x − y = x−1/2 y 3/2

−

y x

= cos h( xy )

y(1) = 1

y(1) = 0

dy ax+by+c 6. Una EDO de la forma dx = f ( Ax+By+C ) , aB − bA 6= 0, siempre puede ser reducida a una ecuaci´on homog´enea mediante las sustituciones x = u+h , y = v+k. Resuelva:

a.

dy dx

=

x−y−3 x+y−3

x=u+2

y =v−1

b.

dy dx

=

x+y−6 x−y

x=u+3

y =v+3

7. Determinar si la EDO dada es exacta, si es exacta resultada: a. (2y 2 x − 3)dx + (2yx2 + 4)dy = 0 b. (ylny − e−xy )dx + ( y1 + xlny)dy = 0 c. (tgx − sin x sin y)dx + cos x cos hdy = 0 d. (ex + y)dx + (2 + x + yey )dy = 0

2.7. APLICACIONES DE EDO DE PRIMER ORDEN

39

8. Muestre que la EDO no es exacta pero llega a ser exacta al multiplicar por un factor inteligente. Luego resuelve la EDO. a. (3x + 2y 2 )dx + 2xydy = 0 b. (x + x3 sin 2y)dy − 2ydx = 0 c.

dx dy

=

y 3 −3x y

d. (y 3 + 2ex y)dx + (ex + 3y 2 )dy = 0 e.

dI dt

=

t−tI t2 −1

1. Resuelva la E.D.O a) xy 0 + y 0 y = x3 − x dγ b) + γ sec θ = cos θ dθ 1 − e−2x dy +y = x c) dx e + e−x dy 1 d) = dx x − 3y

e) ydx − 4(x + y 6 )dy = 0

f ) ydx + (xy + 2x − yey )dy = 0 dy 1 g) x + y = 2 dx y dy − y = ex y 2 h) dx dy y x i) 2 = − 2 dx x y 2. Resuelva la E.D.O. a) xy 00 − 3y 0 = 4x2 (Sugerencia y 0 = v) b) y 000 = 3 sin x c) y 00 + 4y = 0 d ) yy 00 = y 0 e) y 00 + (y 0 )2 = 1 f ) y 00 = y 0 (1 + y) 3. Resuelva el PVI

40CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLE a) b) c) d) e)

r ds 1−t = , s(1) = 0 dt 1−s y 0 + (tan x)y = cos2 x, y(0) = −1 dQ = 5t4 Q, Q(0) = −7 dt 3y 2 − x2 dy x ( + ) = 0, y(1) = 1 y5 dx 2y 4 √ √ ( x + y)2 dx = xdy, y(1) = 0

f ) x2 y 0 = y − xy, y(−1) = −1 4. La pendiente en cualquier punto (x,y) de una curva es 1 + xy . Si la curva pasa por (1,1) encuentre su ecuaci´on. 5. El intercepto en el eje y de la linea normal a una curva en cualquier punto es 2. Si la curva pasa por (3,4) encuentre su ecuaci´on. 6. Obtenga las trayectoria ortogonales de la familia de curvas dadas. a) 3x + 4y = c1 2

b) y = (x − c1 ) c) y = c1 e−x

d ) y = c1 sin x e) c1 x2 + y 2 = 1 f ) 2x2 + y 2 = c21

7. Una masa de 25 gr. cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. a) Establezca la EDO y condiciones para el movimiento. b) Encuentre la distancia viajada y la velocidad conseguida 3 segundos despu´es de empezar su movimiento. c) Cu´anta distancia recorre la masa entre el 3er y 4to segundo? 8. Una pequea gota de aceite, de 0.2 gr. de masa cae en el aire desde el reposo. Para una velocidad 40 cm/seg, la fuerza de resistencia del aire es 160 dinas. Asumiendo que la fuerza de resistencia del aire es proporcional a la velocidad: a) Encuentre la velocidad y la distancia recorrida como una funci´on del tiempo. b) Encuentre la velocidad l´ımite. 9. En t = 0 una FEM de 20 voltios se apl´ıca a un circu´ıto consistente de un inductor de 2 henrios en serie con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en t = 0 Cu´al es la corriente en cualquier tiempo t ≥ 0 ? 10. Un condensador de 5 ∗ 10−3 faradios est´a en serie con una resistencia de 25 ohmios y una FEM de 50 voltios. El interruptor se cierra en t = 0. Asumiendo que la carga en el condensador es cero en t = 0 determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.

Cap´ıtulo 3 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales 3.1.

3.1.1.

Existencia y Unidad de Soluciones de EDO Lineales Teorema

Sean an (x), an−1 (x), ... , a1 (x),a0 (x) y g(x) continuas en un intervalo I y sea an (x) 6= 0 para todo x en este intervalo. Si x0 ∈ I , entonces existe una soluci´on u ´nica y(x) n n−1 1 en I del PVI, an (x)y + an−1 (x)y + ... + a1 (x)y + a0 (x)y = g(x) , y(x0 ) = y0 , n−1 n−1 0 0 y (x0 ) = y0 , ..., y (x0 ) = y0 . * Este teorema s´olo proporciona condiciones suficientes. Esto es, a´ un sin las condiciones enunciadas no se satisfacen todas, pueden a´ un existir soluciones u ´nicas.

Ejemplo 1: Es f´acil verificar que y = 2ex +e−2x es una soluci´on del PVI, y 00 +y 0 −2y = 0 , sujeto a las condiciones iniciales y(0) = 3 , y 0 (0) = 0 . Puesto que la ecuaci´on diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) = 0 son continuas en cualquier intervalo que contiene x0 = 0, por el Teorema 3.1.1. se concluye, que la funci´on dada es la u ´nica soluci´on.

Ejemplo 2 : Para el PVI x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 6, y(0) = 3, y 0 (0) = 1, como a2 (x) = x2 en x0 = 0, el teorema 3.1.1 no nos asegura nada. En este caso, verifique que la funci´on y = cx2 + x + 3 es soluci´on de PVI en el intervalo −∞ < x < +∞ para cualquier valor del par´ametro c. 41

42

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

3.2.

3.2.1.

Conceptos Fundamentales para el Estudio de las EDO lineales Definici´ on

Se dice que un conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), ... , fn (x) es linealmente (LD) en el intervalo I si existen constantes c1 , c2 , ... ,cn , no todas nulas, tales que, c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + ... + cn fn (x) = 0 para todo x en I, en caso contrario se dice que el conjunto de funciones es linealmente independiente (LI). * Esto es, el conjunto de funciones es LI en el intervalo I si c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + ... + cn fn (x) = 0 implica que c1 = c2 = · · · = cn = 0. * Es claro, que si el conjunto de funciones f1 (x), f2 (x), ... , fn (x) es LD en un intervalo I, una es m´ ultiplo constante de la otra. * Si, f1 (x), f2 (x), ... , fn (x) es LD en un intervalo I entonces podemos expresar una de estas funciones en t´erminos de las otra. ˆ Ejemplo 1: Determine si las funciones dadas son LI o LD en −∞ < x < +∞ a. f1 (x) = x, f2 (x) = x2 , f3 (x) = 4x − 3x2 . b. f1 (x) = ex , f2 (x) = e−x .

a. c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) = 0 c1 x + c2 x2 + c3 (4x − 3x2 ) = 0

c1 x + c2 x2 + 4c3 x − 3c3 x2 = 0

(c1 + 4c3 )x + (c2 − 3c3 )x2 = 0x + 0x2 entonces , 1

+ 4c4 = 0

c2 − 3c3 = 0 Sistema de ecuaciones con infinitas incognitas y muchas de ellas no nulas, por lo tanto f1 (x), f2 (x), f3 (x) son LD. b. c1 f1 + c2 f2 (x) = 0 1. c1 ex + c2 e−x = 0 2. c1 ex − c2 e−x = 0

3.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LAS EDO LINEALES43 Derivando en 1 2c1 ex + 0 = 0 Entonces, c1 = 0 y c2 = 0 Por lo tanto f1 (x), f2 (x) sea LI. * El siguiente teorema proporciona condiciones para la dependencia o independencia lineal que no requiera el c´alculo de c1 , c2 , ..., cn , que puede resultar tedioso.

3.2.2.

Teorema

si f1 (x), f2 (x), ... ,fn (x), tiene al menos n − 1 derivadas y si el Wronskiano f1 f2 · · · fn f1 f21 · · · fn1 1 W (f1 , f2 , ..., fn )(x) = .. .. .. . . ··· . n−1 n−1 n−1 f1 f2 · · · fn no es cero por lo menos en un punto del intervlo I , entonces las funciones f1 (x), f2 (x), ... ,fn (x) son linealmente independientes en el intervalo.

3.2.3.

Corolario

si f1 (x), f2 (x), ... , fn (x) tienen por lo menos n − 1 derivadas y son linealmente dependientes en I, entonces W (f1 , f2 , ..., fn )(x) = 0 para todo x ∈ I

ˆ Ejemplo 2: Determine si las funciones f1 (x) = sin2 x, f2 (x) = cos2 x, f3 (x) = 2; son LI o LD. sin2 x cos2 x 2 W (f1 , f2 , f3 )(x) = 2 sin x cos x 2 cos x sin x 0 2 − 4 sin2 x −2 0

= −8 sin x cos x + 8 cos xsen3 x = 8 sin x cos x(−1 + sin2 x) = 8 sin x cos x(−cos2 x) = −8 sin xcos3 x que es diferente de cero, por o lo menos para x = LI en −∞ < x < +∞

Π , 4

entonces f1 , f2 y f3 , son

* Tenga presente, si W (f1 , f2 , ..., fn )(x) = 0 para todo x en un intervalo, no necesariamente significa que las funciones sean LD.

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

44

3.2.4.

Observaci´ on

ˆ Para simplificar nuestra notaci´ on es conveniente usar los s´ımbolos ; D, D2 , D3 , ... ; para indicar las operaciones, de tomar la primera, segunda, tercera, .... derivadas de aquellas que les sigue. Con esta simbolog´ıa, la EDO lineal de orden n, puede escribirse:

an (x)Dn y + an−1 (x)Dn−1 y + ... + a1 (x)Dy + a0 (x)y = g(x) (an (x)Dn + an−1 (x)Dn−1 + ... + a1 (x)D + a0 (x))y = g(x) Si escribimos, L(D)y = an Dn + an−1 Dn−1 + ... + a1 D + a0 la EDO lineal de orden n puede escribirse conveniente mente como L(D)y = g(x). ˆ A una EDO lineal de ore¡den n, L(D)y = 0, se la llama homog´enea, en tanto que a L(D)y = g(x) en donde g(x) no es id´enticamente nula, recibe el nombre de no homog´enea.

3.2.5.

Teorema

(Principio De La Superposici´on) γ Si y1 , y2 , ... ,yk soluciones de L(D)y = 0 en un intervalo I, entonces la combinaci´on lineal y = c1 y1 (x) + c1 y1 (x) + ... + ck yk (x) tambi´en es soluci´on de L(D)y = 0 en I. Demostraci´on Si y1 , y2 , ... , yk son soluciones de L(D)y = 0 entonces, L(D)y1 = 0, L(D)y2 = 0, .... ,L(D)yk = 0 entonces, c1 L(D)y1 + c1 L(D)y1 + ... + c1 L(D)y1 = 0 L(D)[c1 y1 + c2 y2 + ... + ck yk ] = 0 por lo tanto y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + ck yk (x) es soluci´on de L(D)y = 0

3.2.6.

Corolario

1. Si c1 (x) es una soluci´on de L(D)y = 0, entonces y = c1 y1 (x) tambien es soluci´on. 2. La ecuaci´on L(D)y = 0 siempre tiene la soluci´on trivial y = 0.

3.2.7.

Teorema

Sean y1 , y2 , ... , yn n soluciones de la EDO lineal homog´enea de orden n L(D)y = 0 en un intervalo I, El conjunto de soluciones es LI en I si y s´olo si W (y1 , y2 , ..., yn )(x) 6= 0, ∀x ∈ I.

3.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LAS EDO LINEALES45

3.2.8.

Definic´ on

Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto y1 , y2 , ... ,yn de n soluciones LI de la EDO L(D)y = 0 en I.

3.2.9.

Teorema

Sean y1 , y2 , ... ,yn un conjunto fundamental de soluciones de la EDO lineal homeog´enea de orden n L(D)y = 0 enun intervalo I. Si Y (x) es cualquier soluci´on de L(D)y = 0 en I, entonces es posible encontrar constantes α1 , α2 , ... ,αn tales que Y = α1 y1 (x) + α2 y2 (x) + ... + αn yn (x).

3.2.10.

Teorema

Existe un conjunto fundamental de soluciones de la EDO lineal homog´enea de orden n en un intervalo I.

3.2.11.

Definic´ on

Sea y1 , y2 , ... ,yn un conjunto fundamental de soluciones de la L(D)y = 0 en un intervalo I se define como soluci´on general de L(D)y = 0 en el intervalo I a y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) , donde los ci , i = 1, 2, ..., n son constantes arbitrarias.

3.2.12.

Definic´ on

Cualquier funci´on yp , que no contiene par´ametros arbitrarios y que satisface la EDO lineal no homog´enea L(D)y = g(x) en un intervalo I y sea y1 , y2 , ... ,yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada L(D)y = 0. Entonces para cualquier soluci´on Y (x) de L(D)y = g(x) en I es posible encontrar constantes c1 , c2 , ... , cn ; de modo que y = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) + yp (x) Demostraci´on Si y y yp son soluciones de L(D)y = g(x), y si se define u(x) = y(x) − yp (x), se tiene L(D)u(x) = L(D)(y(x) − yp (x)) L(D)u(x) = L(D)y(x) − L(D)yp (x) (L es lineal) L(D)u(x) = g(x) − g(x) L(D)u(x) = 0

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

46

por lo tanto u(x) se puede escribir como combinac´on lineal del conjunto fundamental de soluciones, es decir : u(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) llamemos soluci´on complementaria : yc (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) entonces, u(x) = yc (x) y(x) − yp (x) = yc (x) y(x) = yc (x) + yp (x)

3.3. 3.3.1.

La EDO Lineal Homog´ enea con Coeficientes Constantes Observaci´ on

Aqu´ı se estudia la ecuaci´on L(D)y = 0 donde L(aD2 + bD + c)y = 0 donde a 6= 0, b, c son constantes, ay 00 + by 0 + cy = 0 Dado que si se deriva cualquier n´ umero de veces la funci´on exponencial eγx donde γ es una constante, siempre se obtiene un n´ umero constante de veces eγx , es razonable suponer que para una constante adecuada γ, eγx sera soluci´on de L(D)y = 0. En este caso se tiene : L(D)eγx = 0 aγ 2 eγx + bγeγx + ceγx = 0 (aγ 2 + bγ + c)eγx = 0 esto es, L(D)eγx = 0 si y s´olo si γ satisface p(r) = aγ 2 + bγ + c = 0 (ecuaci´on caracter´ıstica) Seg´ un las raices de la ecuaci´on caracter´ıstica, se concideran tres casos.

´ 3.3. LA EDO LINEAL HOMOGENEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

47

Caso 1 : p(γ) tiene dos ra´ıces reales diferentes γ1 , γ2 Hay dos soluciones y1 = eγ1 x y y2 = eγ2 x que evidentemente son LI en R , por lo tanto forman un conjunto fundamental de soluciones. es decir que la soluci´on general de L(D)y = 0 es y = c1 eγ1 x + c2 eγ2 x Caso 2 : p(γ) Tiene una ra´ız doble γ1 = γ2 S´olo se obtiene una soluci´on exponencial y1 = eγ1 x , sin embargo tenemos que L(D)eγx = p(γ)eγx (*). Adem´as, no solamente p(γ1 ) = 0, sino tambi´en p0 (γ1 ) = 0 ¿Por qu´e? esto nos sugiere derivar la ecuaci´on (*) con respecto a γ : d d L(D)eγx = L(D) eγx = p0 (γ)xeγx dγ dγ L(D)xeγx = p0 (γ)xeγx L(D)xeγ1 x = p0 (γ1 )xeγ1 x L(D)xeγ1 x = 0 ∴ xeγ1 x es soluci´on de L(D)y = 0 en el caso que γ1 = γ2 . Por lo tanto lo soluci´on general de L(D)y = 0 es y = c1 eγ1 x + c2 xeγ1 x Caso 3 : p(γ) tiene raices complejas γ1 , γ2 γ1 = α + iβ y γ2 = α − iβ, entonces y = d1 e(α+iβ)x + d2 e(α−iβ)x Esta soluci´on se puede escribir en una forma m´as pr´actica usando la identidad de Euler: eiθ = cos θ + i sin θ entonces, y = eαx (d1 eiβx + d2 e−iβx ) y = eαx (d1 (cos βx + i sin βx) + d2 (cos βx − i sin βx)) y = eαx ((d1 + d2 ) cos βx + (d1 − d2 )i sin βx)

Como eαx cos βx y eαx sin βx forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on diferencial dada en −∞ < x < +∞, se puede llamar c1 = d1 + d2 y c2 = (d1 − d2 ); y usar el principio de superposici´on para escribir la soluci´on general : y = c1 eαx cos βx + c2 eαx sin βx Ejemplo 1 : Resuelva la siguientes EDO a. y 00 + 4y 0 − 5y = 0

b. (D2 − 4D + 4)y = 0

48

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES c. y 00 + 2y + 5y = 0 a. p(γ) = γ 2 + 4γ − 5 = 0 (γ + 5)(γ − 1) = 0 γ1 = −5, γ2 = 1

∴ y = c1 e−5x + c2 ex b. p(γ) = γ 2 − 4γ + 4 = 0 (γ − 2)2 = 0 γ1 = 2 = γ2 y = c1 e2x + c2 xe2x c. p(γ) = γ 2 + 2γ + 5 = 0 √ −2 ± 4 − 20 γ1,2 = 2 √ −2 ± −16 γ1,2 = 2 γ1,2 = −1 ± 2i

∴ y = c1 e−x cos 2x + c2 e−x sin 2x

3.3.2.

Observaci´ on

Todo lo que se dijo para la la ecuaci´on de segundo orden, puede decirse tambi´en para la ecuaci´on de orden n L(D) = an y (n) + an−1 y (n−1) + ... + a1 y 1 + a0 y = 0 donde an , an−1 , ... , a1 , a0 son constantes. En la misma forma que antes ensayando la exponencial, vemos que : L(D)eγx = p(γ)eγx , donde p(γ) = an γ n + an−1 γ n−1 + ... + a1 γ 1 + a0 = 0 que llamaremos, ecuaci´on caracter´ıstica. Si γ1 es una raiz de p(x), entonces es claro que L(D)eγ1 x = 0 y entonces ya tenemos una soluci´on eγ1 x , Si γ1 es una ra´ız que tiene multiplicidad m1 en p(γ), entonces: p(γ1 ) = 0, p1 (γ1 ) = 0, ...., p(m1 −1)(γ1 ) = 0 Si derivamos k-veces con respecto a γ, la ecuaci´on dk ∂k γx L(D)e = (p(γ)eγx ) ∂γ k dγ γ

´ ´ PARTIC 3.4. METODO DE COEFICIENTES INDEPENDIENTES PARA HALLAR UNA SOLUCION obtenemos k γx

L(D)x e

h

(k)

k−1

= p (γ) + kp

(γ)x +

k(k−1) k−2 p (γ)x2 2!

+ ... + p(γ)x

k

i

eγx

As´ı vemos que para k = 0, 1, 2, ..., m1 −1, xk eγ1 x es una soluci´on de la ecuaci´on L(D)y = 0. Repitiendo este procedimiento para cada una de la ra´ıces de p(γ), llegamos al siguiente resultado.

3.3.3.

Teorema

Sea γ1 , γ2 , ... , γs las diferentes ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica p(γ) = 0, y supongamos que γi tiene multiplicidad m; as´ı que m1 +m2 +...+ms = n, entonces las n funciones: eγ1 x , xeγ1 x , ... , xm1 −1 eγ1 x ; eγ2 x , xeγ2 x , ... , xm1 −1 eγ1 x ; ... eγs x , xeγs x , ... , xms −1 eγs x forman un conjunto fundamental de soluciones de L(D)y = 0. Ejemplo 2 : Resuelva la EDO. y (4) + y 000 + y 00 = 0 res p(γ) = γ 4 + γ 3 + γ 2 = 0 γ 2 (γ 2 + γ + 1) = 0 γ 2 = 0 o´ γ 2 + γ + 1 = (γ +

√ 1− 3i )(γ 2

+

√ 1+ 3i ) 2

=0

√ 3 3 − 12 x y = c1 e + c2 xe + c3 e + cos( x) + c4 e + sin( x) 2 2 √ √ x 3 3 y = c1 c2 x + e 2 (c3 cos( x) + c4 sin( x)) 2 2 0x

3.4. 3.4.1.

0x

− 21 x

√

M´ etodo de Coeficientes Independientes para Hallar una soluci´ on particular yp Definici´ on

Si L0 (D)f (x) = 0 entonces se dice que el operador diferencial L0 (D) anula a f (x). ∗1 El operador diferencial Dn anula a cada una de las siguientes funciones: 1, x, x2 , ..., xn−1

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

50

∗2 El operador diferencial (D − α)n anula a cada una de las siguientes funciones: eαx , xeαx , x2 eαx , ..., xn−1 eαx re N´otese que la ecuaci´on caracter´ıstica de (D − α)n y = 0 es (γ − α)n = 0. Puesto que α es una ra´ız de multiplicidad n, la cuaci´on general es: y = c1 eαx + c2 xeαx + ... + cn xn−1 eαx re  2 ∗3 El operador diferencial D2 − 2αD + (α2 + β 2 ) anula a cada una de las siguientes funciones: eαx cos βx, xeαx cos βx, ..., xn−1 eαx cos βx eαx sin βx, xeαx sin βx, ..., xn−1 eαx sin βx re  n Pues, la ecuai´on γ 2 − 2αγ + (α2 + β 2 ) = 0 tiene ra´ıces conplejas α ± iβ ampbas de multiplicidad n. Ejemplo 1: Hallar un operador anulador para f(x) y verifique L0 (D) = 0. a. f (x) = 4 + 3x − 5x2

b. f (x) = x8x

c. f (x) = e3x sin 7x re a. Eligiendo n = 3, en ∗1 : D3 (4 + 3x − 5x2 ) = D3 4 + D3 3x + D3 5x2 D3 (4 + 3x − 5x2 ) = 0

b. Eligiendo α = 8, n = 2, en ∗2 :

(D − 8)2 (xe8x ) = (D2 − 16D + 64)(xe8x ) (D − 8)2 (xe8x ) = D2 − 16Dxe8x + 64xe8x

(D − 8)2 (xe8x ) = 64xe8x + 16e8x − 128xe8x − 16e8x + 64xe8x (D − 8)2 (xe8x ) = 0

c. Eligiendo α = 3, β = 7, n = 1, en ∗3 :  2 1   D − 2(3)D + (32 + 72 ) e3x sin 7x = D2 − 6D + 58 e3x sin 7x = D2 e3x sin 7x − 6De3x sin 7x + 58c3x sin 7x

= −49e3x sin 7x + 21e3x cos 7x + 21e3x cos 7x + 9e3x sin 7x − 42e3x cos 7x −18e3x sin 7x + 58e3x sin 7x =0

´ ´ PARTIC 3.4. METODO DE COEFICIENTES INDEPENDIENTES PARA HALLAR UNA SOLUCION Ejemplo 2:Hallar el operador anulador para f (x). a. 5x + 3x2 e6x b. e−x + e2x cos x a. Por ∗1 y ∗2 sabemos que D2 (5x) = 0 y (D − 6)3 (3xe6x ) = 0. Por lo tanto D2 (D − 6)3 (5x + 3xe6x ) = 0 R Por *2 y *3 sabemos que (D+1) e−x = 0 y (D2 − 4D + 5)(e2x cosx) = 0 .Por lo tanto (D + 1)(D2 − 4D + 5)(e−x + e2x cosx) = 0

3.4.2.

Observaci´ on :

Si la ecuaci´on exponencial lineal no homog´enea con coeficientes constantes L(D)y = g(x) es tal que g(x) es : Una contante K Un polinomio en X Una funci´on exponencial eαx senβx, cosβx o consiste en sumas finitas y productos de esta funciones, entonces, siempre es posible encontrar otro operador diagonal L0 (D) que anule a g(x). De donde L0 (D)L(D)y = L0 (D)g(x) L0 (D)L(D)y = 0 que al resolverla es posible descubrir la forma de una soluci´on particular Yp de la ecuaci´on no homogeneaL(D)y = g(x).

Ejemplo 2: Resolver y 00 + 4y 0 + 9y = x2 + 3x

Yc =? p(x) = x2 + 4x + 9 = 0 r12 =

√ −4± 16−36 2

=

√ −4± 20i 2

= −2 ±

√

√ √ Yc = c1 e−2x cos 5x + c2 e−2x sen 5x Yp =?

5i

52

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

(D2 + D + 9)y = X 2 + 3x D3 (D2 + 4D + 9)y = D3 (x2 + 3x) = 0 D3 (D + 2 −

√

5)(D + 2 +

√

5)y = 0

Por lo tanto la soluci´on general debe ser: √ √ Y = c3 + c4 x + c5 x2 + c1 e−2x cos 5x + c2 e−2x sen 5x | {z } | {z } Yp

Y2

2

Yp = c3 + c4 x + c5 x , entonces Yp0 = c4 + 2c5 x Yp00 = 2c5 , entonces, Yp00 + 4Yp0 + 9Yp = x2 + 3x 2c5 + 4c4 + 8c5 x + 9c3 + 9c4 x + 9c5 x2 = x2 + 3x 9c5 x2 + (8c5 + 9c4 )x + 2c5 + 4c4 + 9c3 = x2 + 3x + 0

1 9 19 8c5 + 9c4 = 3 =⇒ c4 = 81 9c5 = 1 =⇒ c5 =

2c5 + 4c4 + 9c3 = 0 =⇒ c3 = − Sabemos, que Y = Yc (x) + Y√ p (x), entonces √ Y = c1 e−2x cos 5x + c2 e−2x sen 5x −

94 729

+

19 x 81

+ 19 x2

Ejemplo 3 : Resolver y 00 + y = x2 + senx Yc =? p(r) = r2 + 1 = (r − i)(r + i) = 0 Y2 = C1 cosx + c2 senx Yp =? (D2 + 1)y = x2 + senx

94 729

´ ´ DE PARAMETROS ´ ´ PARTICULA 3.5. METODO DE VARIACION PARA HALLAR UNA SOLUCION

D3 (D2 + 1)(D2 + 1)y = D3 (D2 + 1)(x2 + senx) = 0 Por lo tanto la soluci´on general debe ser: Y = c3 + c4 x + c5 x2 + x(c6 cosx + c7 senx) + c1 cosx + c2 senx {z } | {z } | Y2

yp

Yp = A + Bx + Cx2 + Dxcosx + F xsenx, entonces Yp0 = B + 2Cx − Dxsenx + Dcosx + F xcosx + F senx Yp00 = 2C − DxcosX − Dsenx − Dsenx − F xsenx + F cosx + F cosx = 2C − Dxcosx − 2Dsenx − F xsenx + 2F xcosx

Yp00 + yp = x2 + senx

2C−Dxcosx−2Dsenx−F xsenx+2F cosx−A+Bx+Cx‘2+Dxcosx+F xsenx = x2 +senx (2C + A) + Bx + Cx2 − 2Dsenx + 2F cosx = x2 + senx 2C + A = 0 =⇒ A = −2 B = 0 C = 1 1 −2D = 1 =⇒ D = − 2 2F = 0 =⇒ F = 0 Sabemos que Y = Yc (x) + Yp (x) Y = c1 cosx + c2 senx − 2 + x2 − 12 xcosx

3.5. 3.5.1.

M´ etodo de Variaci´ on de Par´ ametros para hallar una soluci´ on particular Yp Observaci´ on :

a) Es claro que el m´etodo de coeficientes indeterminados es efectivo s´olo cuando g(x) es un tipo especial de funci´on. Entonces es natural que nos preocupemos sobre lo

54

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES que se puede hacer en el caso que el m´etodo de coeficientes indeterminados no sea aplicable. Afortunadamente el famoso matem´atico Lagrange, descubrio un metodo muy ingenioso y poderoso el cual se recomienda aplicar en los casos donde el m´etodo de coeficientes inderterminados no funciona.

b) Para mostrar como es que trabaja el m´etodo de Lagrange, resolvamos la ecuaci´on diferencial de segundo orden a2 (x)Y 00 + a1 (x)Y 0 + a0 (x)y = g(x)

(1)

escribimos(1)es una forma estandar Y 00 + P (x)Y 0 + Q(x)y = f (x)

(2)

suponemos que P(x),Q(x) y f(x) son continuas en un intervalo I. Supongace que Y, y Y2 forman un conjunto fundamental de la ED0 soluciones de la homog´enea asociada (2),esto es

Yc = c1 Y1 (x) + c2 Y2 (x) el ingenio de Lagrange est´a en asumir que c1 y c2 no son constantes sino funciones , es decir , que debemos preguntarnos si existen funciones u1 yu2 de modo que Yp = u1 (x)y1 (x) + u1 (x)y2 (x) sea una soluci´on particualr de (2). Es claro que, puesto que se van a determinar dos funciones u1 (x) y u2 (x), esperamos que deban imponer dos condiciones. Una de estas surge de hecho de que la soluci´on asumida satisface la ecuaci´on diferencial. Estamos portanto en libertad de imponer otra condici´on.Con esto en mente procedemos: y10 = u1 y10 + y1 u01 + u2 y20 + y2 u02

(3)

Al darnos cuenta que una diferenciaci´on adicional introducir´ıa un poco de t´erminos m´as, aprovechamos de nuestra libertad para escoger una condici´on entre u1 y u2 .Escogemos una condici´on que simplifique (3), esto es: y1 u01 + y2 u02 = 0 yp0 = u1 y10 + u2 y20 yp00 = u1 y100 + y10 u01 + u2 y200 + y20 u02 y por lo tanto yp00 + P yp0 + 2Dyp = f (x),entonces

(4)

´ ´ DE PARAMETROS ´ ´ PARTICULA 3.5. METODO DE VARIACION PARA HALLAR UNA SOLUCION u1 y100 + y10 u01 + u2 y200 + y20 u02 + P u1 y10 + P u2 y20 + Qu1 y1 + Qu2 y2 = f (x) u1 [y100 + P y1 + Qy1 ] +u2 [y300 + P y20 + Qy2 ] +y10 u01 + y20 u02 = f (x) | {z } {z } | cero

cero

Por otras palabras ,u1 y u2 deben ser funciones que adem´as satisfagan la condici´on

y10 u01 + y20 u02 = f (x)

(5)

Las ecuaciones (4) y(5)constituyen un sistema lineal de ecuaciones para determinar u01 u02 .Por la regla de Cramer, la soluci´on de

y1 u01 + y2 u02 = 0 y10 u01 + y20 u02 = f (x)

y2 f (x) es u01 = − W (y , u02 = 1 y2 )(x)

y1 f (x) W (y1 y2 )(x)

donde finalmente , f´ormese la soluci´on particular

yp = u1 y1 + u2 y2

Ejemplo 1: Resolver y 00 + y = tgx p(r)r2 + 1 = (r − i)(r + i) = 0 yc = c1 cosx + c2 senx yp = u1 cosx + u2 senx

 W (y1 , y2 )(x) = = cos2 x + sen2 x =1

cosx −senx

senx cosx



CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

56

−y2 f (x) , dedondece W (y1 , y2 (x)) −senxtgx = Z 1

u01 =

−senxtgxdx

=

sen2 dx cosx Z 1 − cos2 x = dx cosx Z = (cosx − secx)dx Z

=

= senx − ln(secx + tgx) y1 f (x) W (y1 , y2 (x)) cosxtgx = Z 1

u02 =

=

senxdx

= −cosx

Yp = [senx − ln(secx + tgx)]cosx − cosxsenx = −cosxln(secx + tgx) En consecuencia y = c1 + c2 senx − cosxln(secx + tgx) *Es claro que al evaluar las integrales indefinidas y10 y y20 no se necesita introducir constantes.

3.5.2.

Observaci´ on

El m´etodo que acabamos de examinar para las ecuaciones diferenciales de segundo orden no homogeneas, puede generalizarse para las ecuaciones lineales de orden n que se hayan puesto en la forma

´ ´ DE PARAMETROS ´ ´ PARTICULA 3.5. METODO DE VARIACION PARA HALLAR UNA SOLUCION y (n) + Pn−1 (x)y n−1 + ... + P1 (x)y 0 + p0 (x)y = f (x)

(1)

si yc = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn es la soluci´on complementaria de (1), entonces resulta sencilla aunque tedioso, demostrar que la sustiuci´on de yp = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x) + ... + un (x)yn (x) En la ecuaci´on diferencial , conduce a un sistema de ecuaciones lineales y1 u01 + y2 u02 + ... + yn u0n = 0 y10 u01 + y20 u02 + ... + yn0 u0n = 0 .. . (y10 )(n−1) u01 + (y20 )(n−1) u02 + ... + (yn0 )(n−1) u0n = f (x) Para determinar lsa u0k , k =1,2,...,n . En este caso la regla Cramer da u0k =

Wk ,k W

= 1, 2, ..., n

en donde W es el wronskiano de y1 , y2 , ..., yn y k-en´esimo columna del wronskiano por la columna 0 0 .. . 0 f(x) Ejemplo 2 : Resuelva

y 000 + y 00 + y 0 + y = 1

p(x) = r3 + r2 + r + 1 = (r − i)(r + i)(x + 1) = 0 yc = cosx + c2 senx + c3 e−x yp = u1 cosx + u2 senx + y3 e−x   cosx senx e−x W =  −senx cosx −e−x  −cosx −senx e−x = 2e−x

= −e−x (senx + cosx)

 0 senx e−x W1 =  0 cosx −e−x  1 −senx e−x 

 cosx 0 e−x W2 =  −senx 0 −e−x  −cosx 1 e−x 

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

58

= e−x (cosx − senx)

= cos2 + sen2 = 1

u01 =

w1 W



 cosx senx 0 W3 =  −senx cosx 0  −cosx −senx 1

−e−x (senx+cosx) 2e−x

=

u01 = − 21 (senx + cosx) u1 = 12 (cosx − senx) u02 =

W2 W

=

e−x (cosx−senx) 2e−x

u02 = 12 (cosx − senx) u2 = 12 (senx + cosx) u03 =

w3 W

=

1 2e−x

u3 = 12 e−x luego, la soluci´on particular es 1 1 1 (cosx − senx)cosx + (senx + cosx)senx + ex e−x 2 2 2 1 2 1 1 1 1 = cos x − senx.cosx + sen2 x + cosx.senx + 2 2 2 2 2 = 1

yp =

en consecuencia y = c1 cosx + c2 senx + x3 e−x + 1

3.6. 3.6.1.

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales El Resorte Vibrante.Movimiento Arm´ onico Simple

El movimiento vibrante consiste de un resorte ordinario de peso despresiable suspendido verticalmente de un soporte fijo.Suponga que un peso W se cuelga del resorte .Cuando el peso est´a en reposo describimos su posici´on como la posici´on de equilibrio. Si el peso se hala hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estar´a en movimiento vibratorio al rededor de la posici´on de equilibrio

3.6. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

59

Nuestro prop´osito es discutir el movimiento del peso en este y similares casos. Para el efecto,tendremos que conocer las fuerzas que actuan sobre los peso durante los movimiento. Es claro que hay una fuerza tendiente a regresar o restaurar un peso desplazado a su posici´on de equilibrio. Esta fuerza se le llama fuerza restauradora. La ley que gobierna esta fuerza, se enuncia como sigue:

Ley de Hooke : La fuerza ejercida por un resorte, tendiente a restaurar un peso W a la posici´on de equilibrio , es proporcional a la distancia de W a la posici´on de equilibrio. Si |f | denota la fuerza restaurada y si x es la posici´on de W medida desde la posici´on de equilibrio, entonces de acuerdo con la ley de Hooke: |f | ≈ |x| es decir |f | ≈ k|x| Donde k > 0 es una constante de proporcionalidad que depende de la fuerza del resorte,que llamaremos constante del resorte. Se asume la direcci´on positiva hacia abajo, de modo que x es positivo cuando West´a por debajo de la posici´on de equilibrio y negativo cuando W est´e por enciam de esta posici´on. Para determinar la direcci´on de la fuerza , note que cuando x > 0 la fuerza est´a dirigida hacia arriba y por tanto negativa. Cuando x < 0 la fuerza est´a dirigida ahcia abajo y es por tanto positiva. Esto se puede satisfacer s´olo si la fuerza est´a dada tanto en magnitud como en direcci´on por −kx, de modo que la ley de Hooke es f = −kx Cunado el peso W se coloca en el resorte, se estira una distancia s. De acuerdo a la ley de Hooke, la tensi´on T1 en el resorte es proporcional al estiramiento,t1 = ks, puesto que el resorte y el peso estan en equilibrio, se tiene que T1 = ks = W Cuando el peso se hala m´as y se suelta, su posici´on en cualquier tiempo esta dada por x y la tensi´on T2 en el resorte en este tiempo es, de acuerdo a la ley de Hooke,

60

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES T2 = k(s + x)

Luego, la fuerza neta en la direcci´on positiva est´a dado por

T1 − T2 = W − k(s + x) = ks − ks − kx As´ı por la ley de Newton la ecuaci´on del movimiento es: ma = −kx d2 x m = −kx o dt

W d2 + kx = 0 g dt

Ejemplo 1 : Se encontro experimentalmente que un peso de 6 lb estira un resorte 6 pul. Si el peso se hala 4 pul. por debajo de la posici´on de equilibrio y se suelta. a) Establezca un EDO y condiciones asociadas que describan el movimiento. b) Encuentre la posici´on del peso como una funci´on del tiempo. c) Determine la posici´on, la velocidad y aceleraci´on del peso 21 seg despues de haberse soltado. a. Puesto que 6 pul. = 21 seg, se tiene que |f | = k|x| 1 6 = k. 2

=⇒ k = 0

De donde, la EDO que describe el movimiento es 6 d2 . 32 dt

+ 12x = 0

Puesto que inicialmente (t = 0) el peso est´a 4 pul por debajo de la posici´on de equilibrio, tenemos x(0) = 31 (pie). Tambien, puesto que el peso se suelta, esto es, tiene velocidadcero cero, en t = 0 , tenemos, x0 (0) = 0 Por lo tanto el movimiento es descrito por el siguiente PVI x00 + 64x = 0

x(0) =

1 3

, x0 (0) = 0

3.6. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES b.

61

p(r) = r2 + 64 = (r − 8i)(r + 8i) = 0 x = Acos8t + Bsent pero, x(0) = A = 13 x0 = −8Asen8t + 8Bcos8t x0 (0) = 8B = 0 =⇒ B = 0 de donde, la soluci´on requerida es x = 31 cso8t Notese x est´a dada en pies. Si se desea medir x en pulgadas, la ecuasi´on seria x = 4soc8t

c.

v = dx = − 38 sen8t dt 2 a = ddt2x = − 64 cos8t 3 Entonces, 1 1 cos4 x( ) = 2 3 = −0, 219 1 8 v( ) = − sen4 2 3 = 2, 01 1 64 a( ) = − cos4 2 3 = 14, 0

As´ı, despues de 21 seg el peso est´a a 0,219 pies por encima de la posici´on de equilibrio y est´a viajando hacia abajo con velocidad 2, 01pies/seg y aceleraci´on 14, 0pies/seg 2 . Fisicamente el siguiente gr´afico describe el movimiento peri´odico hacia arriba y abajo del resorte el cual se llama movimiento arm´onico simple.

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

62

Llamamos el desplazamiento m´aximo del peso de su posici´on de equilibrio la amplitud, en nuestro ejemplo la amplitud es 13 pie. El tiempo para un ciclo completo se llama periodo. Del gr´afico se ve que el periodo es π4 seg. El n´ umero de ciclo por segundo se llama frecuencia f est´a dad por: f= en nuestro ejemplo f =

1 π/4

=

1 T

4 π

Ejemplo 2: En el ejemplo 1 suponga que el peso se hala 4 pul. por debajo de la posici´on de equilibrio y luego se le da una velocidad hacia abajo de 2pies/seg en vez de soltarlo. Determinar la amplitud, peri´odo y frecuencia del movimiento. La EDO del movimiento es : d2 x dt2

+ 64x = 0

; x(0) =

1 3

x0 (0) = 2

resolviendo, se tiene que : x = 13 cos8t + 14 sen8t Haciendo uso de la identidad: acoswt + bsenwt = donde,

senφ =

√ a a2 +b2

y

cosφ =

√ a2 + b2 sen(wt + φ)

√ b a2 +b2

que se demuestra facilmente, observando tenemos que: x= pero

senφ =

4 5

q

( 31 )2 ( 14 )2 sen(8t + φ)

=⇒ φ = 0, 9274radianes

en concecuencia : x= La amplitud es

5 pies, 12

el periodo es

5 sen(8t 12 2π 8

=

π 4

+ 0, 9274)

y la frecuencia f =

1 π/4

=

4 π

ciclos por seg.

3.6. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

63

* En general si un movimiento se puede describir x = Asen(wt + φ) entonces amplitud = A 2π w 1 w f recuencia = f = = t 2π Del u ´ltimo enunciado,tenemos la relaci´on w = 2πf , la cual a menudo es u ´til. El movimiento arm´onico simple ocurre en muchos casos, adem´as de las vibraciones de resorte como en el movimiento del p´endulo, el balance de un barco ´o de un avi´on, etc. periodo = T =

3.6.2.

Resorte vibrante con Amortiguamiento.Movimiento sobre Amortiguado y Criticamente Amortiguado

Los resortes vibrantes considerados no fueron muy reales puesto que las oscilaciones no disminu´ıan, como uno esperaria por experiencia, si no por lo contrario se mantenia por siempre. En la pr´actica, fuerzas de fricci´on y otras (tales como la resistencia del aire)act´ uan para decrecer la amplitud de las oscilaciones y finalmente traer al sistema al reposo. Una manera para tener una mejor aproximaci´on a la realidad es asumir una fuerza amortiguadora. Se a encontrado experimentalmenteque para velocidades peque˜ nas, la magnitud de la fuerza amortiguante es proporcional a la velocidad instantanea del peso en el resorte. La magnitud por lo tanto est´a dada por

β| dx dt |

donde β es la constante de proporcionalidad llamada constante de amortiguamiento. La fuerza amortiguadora se opone al movimiento de modo que cuando el peso va bajando la fuerza amortiguadora act´ ua hacia arriba, mientras que act´ ua hacia abajo cuando el peso va subiendo. Como β 0, es claro que la fuerza amortiguadora debe estar dada tanto en . magnitud como en direcci´on por −β dx dt Cuando se tienen, cuenta las fuerzas restauradoras ya consideradas, la ecuaci´on del movimiento es: w d2 x g . dt2 w d2 x g . dt2

= −β dx dt − kx

= +β dx dt + kx = 0

Ejemplo 3: Asuma que una fuerza amortiguadora, dada en libras num´ericamente por 1, 5 veces la velocidad instantanea en pies por segundo, act´ ua sobre el peso en el ejemplo 1.

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

64

a) Establezca la EDO y condiciones asociadas. b) Encuentre la posici´on x del peso en cada instante t ≥ 0 a. La ecuaci´on del movimiento es: dx2 dx + 8 + 64x = 0 ; 2 dt dt

x(0) =

1 , x0 (0) = 0 3

b. p(r) = r2 + 8r + 64 = 0 √ r112 = −4 ± 4 3i

√ √ x = e−4t (Acos4 3t + Bsen4 3t) de acuerdo, con las condiciones iniciales √ √ √ x = e−4t (Acos4 3t + 3sen4 3t) x=

3.6.3.

√ √ 2 3 −4t e sen(4 3t 9

+ π3 )

El resorte con fuerzas Externas

Consideremos ahora casos en los cuales pueden actuar fuerzas externas que varian con el tiempo. Tales fuerzas pueden ocurrir, por ejemplo, cuando el soporte que sostiene el resorte se mueve arriba y abajo de una manera especificada tal como el movimiento peri´odico, o´ cuando al peso se le da un peque˜ no enpuje cada vez que alcanza la posici´on mas baja. Si denotamos la fuerza externa como F (t), la EDO del movimiento es:

´ 3.7. CIRCUITOS ELECTRICOS w d2 x g . dt2

65

+ β dx dt + kx = F (t)

Llamada ecuaci´on de vibraciones forjadas

Ejemplo 4: En el ejemplo 1, asuma que una fuerza externa F (t) = 24cos8t est´a actuando. Encuentre x en t´erminos de t, usando las condiciones alli dadas. d2 x dt2

+ 8 dx + 64x = 128cos8t ; x(0) = dt

1 3

, x0 (0) = 0

√ √ xc = e−4t (Acos4 3t + B/, sen4 3t) yp = 2 sen8t √ √ x = e−4t (Acos4 3t + Bsen4 3t) + 2 sen8t Usando las condiciones iniciales tenemos: x=

e−4t 9

√ √ √ (3 cos 4 3t − 11 3 sen4 3t) + 2 sen8t

Observe que el t´ermino que involucra e−4t llega a ser depreciable cuando t es grande. Estos t´erminos transientes en la soluci´on cuando son significativos, algunas veces se llaman la soluci´on transiente. Cuando los t´erminos transientes son despreciables el t´ermino 2 sen8t permanece. Esta se llama el t´ermino de estado estacionario o soluci´on. de estado estacionario, puesto que ´este indica el comportamiento del sistema cuando las condiciones se han estabilizado.

3.6.4.

Observaci´ on:

Cuando la frecuencia de una fuerza externa peri´odica aplicada a un sistema mec´anico est´a relacionada de una manera sencilla con la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir resonancia mec´anica la cual eleva las oscilaciones a tales magnitudes tremendas que el sistema puede desplomarse. Para mayor discusi´on ver Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones por Dennis G. Zill.

3.7.

Circuitos El´ ectricos

Debido a la marcada analog´ıa entre las cantidades mec´anicas y el´ectricas, muchos enunciados hechos en sistemas mec´anicos, se aplican a sistemas el´ectricos y viceversa. En efecto la analog´ıa es amenudo usada en la industria para estudiar sistemas mec´anicos, los cuales pueden ser muy complicados o costosos de construir, o cuando las consecuencias pueden ser muy peligrosas. En particular, el fen´omeno de resonancia ocurre en sistemas

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

66

el´ectricos. Sin embargo, contrario a los efectos peligrosos que pueden resultar en resonancia mec´anica, los efectos de resonancia el´ectrica son principalmente muy u ´tiles. Los campos de radio, televisi´on, radar y comunicaciones ser´ıan virtualmente imposibles si no fuese por la resonancia el´ectrica. Ejemplo 1: un inductor de 0,5 Amperios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios, un condensador de 0,02 faradios, un generador con un voltaje alterno dado por 24 sin(10t), t≥, y un interruptor k. 1. Establezca una EDO para la carga instant´anea en el condensador. 2. Encuentre la carga en cada instante t, si la carga en el condensador es cero cuando k se cierra en t=0. d a.

Por la ley de Kirchhoff, ER + EC + EL = E dI 1 RI + + L = E C dt 2 dQ 1 dI 6 + + 0, 5 2 = 24 sin 10t dt 0, 02 dt 2 dQ dI + 12 + + 100Q = 48 sin 10t 2 dt dt dQ Q(0) = 0 , I(0) = (0) = 0 dt b. p(r) = r2 + 12r + 100 = 0 r112 = −6 ± 8i −6t Qc = C1 e cos 8t + C2 e−6t sin 8t

´ 3.7. CIRCUITOS ELECTRICOS

67

aplicando coeficientes indeterminados, se tiene que

Qp =

−2 cos 10t 5

entonces

Q = C1 e−6t cos 8t + C2 e−6t sin 8t −

2 cos 10t 5

de las condiciones iniciales , se llega a : Q=

1 −6t 2 e (4 cos 8t + 3 sin 8t) − cos 10t 10 5 c

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

68

LISTA DE EJERCICIOS 1. Dado que y = c1 x + c2 x ln x es una familia biparam´etrica de soluciones de x2 y 00 − xy 0 + y = 0 en el intervalo -∞ < x < ∞, encuentre un miembro de la familia que satisfaga las condiciones iniciales y(1) = 3 , y 0 (1) = −3. 2. Encuentre un intervalo en torno a x=0 en el cual el PVI dado tenga una soluci´on m´ınima. a) (x − 2)y 00 + 3y = x

, y 0 (0) = 1

y(0) = 0

b) y 00 + tan x.y = ex

, y 0 (0) = 0

y(0) = 1

3. Determine si las funciones dadas son LI o LD en R

, f2 (x) = 2 + |x|

b) f1 (x) = 2 + x

, f2 (x) = e−x

c) f1 (x) = 2x 4.

, f3 (x) = sin2 x

, f2 (x) = cos2 x

a) f1 (x) = 5

, f3 (x) = sinh x

a) Muestre que f1 (x) = x2 yf2 (x) = x|x| son LI en -∞ < x < ∞. b) Muestre que W (f1 , f2 )(x) = 0, para todo n´ umero real.

c) Existe alguna contradicci´on en (a) y/o (b) de acuerdo con los teoremas. 5. Demuestre calculando el wronskiano que las funciones dadas son LI en el intervalo indicado. a) x1/2

, x2

b) ex

, e−x

c) x,

x ln x

; 0 < x < +∞ , e4x , x2 ln x

; −∞ < x < +∞

; 0 < x < +∞

6. Verifique que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la EDO en el intervalo indicado. Forma la soluci´on general. a) y 00 − y 0 − 12y = 0

; e−3x

b) x2 y 00 − 6xy 0 + 12y = 0 2 00

0

c) x y + xy + y = 0

7.

, e4x

, x3

, x4

; cos(ln x)

, −∞ < x < +∞ , 0 < x < +∞

, sin(ln x)

, 0 < x < +∞

a) Verificar que y1 = x3 y y2 = |x|3 son soluciones LI de la EDO x2 y 00 + 4xy 0 + 6y = 0 en −∞ < x < +∞. b) Demostrar que W (f1 , f2 )(x) = 0 , ∀x ∈ R

c) ¿Viola alg´ un teorema el resultado de la parte (b)?

d ) Compruebe que Y1 = x3 de (a) en R.

y

, Y2 = x2 tambi´en son soluciones LI de la EDO

´ 3.7. CIRCUITOS ELECTRICOS

69

e) Encuentre una soluci´on de la ecuaci´on que satisfaga Y(0)=0 , Y’(0)=0 f ) Por el principio de superposici´on, las dos combinaciones lineales y = c1 y1 + c2 y2 , y = c1 y1 + c2 y2 son soluciones de la EDO de (a) .Se˜ nale si una de ellas, ambas o ninguna es la soluci´on general de la EDO en −∞ < x < +∞ 8. Obtenga la soluci´on general de la EDO dada; a) y 00 + 9y = 0 b) y 000 − 4y 00 − 5y 00 = 0 c)

d5 y dx5

4

3

d y d y − 2 dx 4 + 17 dx3 = 0

9. Resuelva el PVI a) y 00 + 6y 0 + 5y = 0 b) 4y 00 − 4y 0 − 3y = 0 c) y 000 − 8y = 0

; y(0) = 0

, y 0 (0) = 3

; y(0) = 1

; y(0) = 0

, y 0 (0) = 5

, y 0 (0) = −1

, y 00 (0) = 0

10. Las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica son r1 = − 21 , r2 = 3 + i es la ecuaci´on diferencial correspondiente?

y r3 = 3 − i ¿C´ ual

11. Resuelva la ecuaci´on diferencial por el m´etodo de los coeficientes indeterminados. a) y 00 + 4y 0 + 4y = 2x + 6 b) y 00 − 2y − 3y = 4ex − 9

c) y 00 + 4y = 4 cos x + 3 sin x − 8

d ) y 00 + 25y = 20 sin 5x

e) y 000 − y 00 + y 0 − y = xe x − e−x + 7 12. Resuelva el PVI a) y 00 + 5y 0 − 6y = 10e2x

, y(0) = 1 , y 0 (0) = 1

b) y 00 + y = 8 cos 2x − 4 sin x c) (D2 − 2D + 1)y = x2 ex

; y( π2 ) = −1, , y 0 ( π2 ) = 0

, y(0) = 0; , y 0 (0) = 0

13. Resuelva la ecuaci´on diferencial por el m´etodo de variaci´on de par´ametros. a) y 00 + y = sin x b) y 00 − 4y =

e2x x

c) y 00 − 2y 0 + y =

ex 1+x

d ) y 000 − 2y 00 − y 0 + 2y = e3x e) 2y 00 − 6y 00 = x2

70

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

14. Resuelva el PVI a) y 00 − y = xex

; y(0) = 1 , y 0 (0) = 0

b) y 00 − 4y 0 + 4y = (12x2 − 6x)e2x , y(0) = 1 , y 0 (0) = 1

15. Dado que y1 = x y y2 = x ln x forman un conjunto fundamental de soluciones de x2 y 00 − xy 0 + y = 0 en 0 < x < +∞, obtenga la soluci´on general de x2 y 00 − xy 0 + y = 4x ln x 16. Muestre que la soluci´on general de x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0 es y = Ax2 + Bx.Luego, encuentre la soluci´on general de x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = e−x . 17. Resuelva la EDO. a) y 000 − 5y 00 + 6y 0 = 2 sin x + 8 b) y 00 − 2y 0 + 2y = ex tan x

18. Un peso de 2 lb suspendido de un resorte lo estira 1,5 pulgadas. Si el peso se halla 3 pulgadas por debajo de la posici´on de equilibrio y se suelta; (a)Establezca una ecuaci´on diferencial y condiciones que describan el movimiento , (b) Encuentre la velocidad y la posici´on del peso como una funci´on del tiempo,(c)Encuentre la amplitud , periodo y frecuencia del movimiento (d) Determine la posici´on, velocidad π segundos despu´es de soltar el peso. y aceleraci´on 64 19. Un peso de 256 libras est´a suspendido de un resorte vertical el cual tiene una constante de 200 lb/pie. Si el peso se eleva 3 pul por encima de su posici´on de equilibrio y se suelta. (a) Encuentre la posici´on del peso en un tiempo π/3 seg. despu´es y determine en cual direccionamiento y qu´e tan r´apido se eta moviendo el peso en este tiempo. (b) Encuentre la amplitud , periodo y frecuencia de la vibraci´on .(c)¿ En qu´e tiempos est´a 1,5 pul por debajo de la posici´on de equilibrio y movi´endose hacia abajo? 20. Un peso de 40 lb suspendido de un resorte lo estira 3 pul. El peso se halla 6 pul. por debajo de su posici´on de equilibrio y se halla 6 pul. por debajo de su posici´on de equilibrio y se suelta. Asuma que sobre el peso act´ ua una amortiguadora que num´ericamente en lb es igual 2v, donde v es la velocidad instant´anea en pies por segundo .(a) Establezca una EDO y condiciones , que describan el movimiento. (b) Determine la posici´on del resorte en cualquier tiempo despu´es de haber soltado el peso.(c) Escriba el resultado de (b) de la forma A(t) sin(ωt + φ) 21. Un resorte se estira 10 cm por una fuerza de 1,250 dinas. Una masa de 5 g. se suspende de un resorte y , despu´es de que est´a en equilibrio, se halla hacia abajo 20 cm y se suelta. Asumiendo que hay una fuerza amortiguadora num´ericamente en dinas igual a 30 v , donde v es la velocidad instant´anea en cm/seg, encuentre (a) la posici´on y (b) la velocidad en cualquier tiempo.

´ 3.7. CIRCUITOS ELECTRICOS

71

22. Un resorte vertical con constante de 5 lb/pie tiene suspendido un peso de 16 lb.Se aplica una fuerza externa dada por F (t) = 24 sin 10t , t ≥ 0. Se asume que activa una fuerza amortiguadora dada num´ericamente en libras por 4v, donde v es la velocidad instant´anea del peso en pies/seg. Inicialmente el peso esta en reposo en su posici´on de equilibrio. a) Determine la posici´on del peso en cualquier tiempo b) Indique las soluciones trasiente y de estado estacionario c) Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia de la soluci´on de estado estacionario 23. Un resorte vertical con constante de 8 lb/pie tiene suspendido un peso de 64 lb. Se aplica una fuerza dada por F (t) = 16 cos 4t , t ≥ 0.Asumiendo que el peso, inicialmente en la posici´on de equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de 10 pies/seg y que la fuerza amortiguadora es despreciable, determine la posici´on y velocidad del peso en cualquier tiempo. 24. Una fem de 500 voltios est´a en serie con una resistencia de 20 ohmios, un inductor de 4 henrios y un condensador de 0,008 faradios. En t=0, la carga Q y la corriente I son cero (a)Encuentre Q e I d para t ≥ 0(b)Indique los t´erminos transiente y de estado estacionario de Q e I .(c) Encuentre Q e I despu´es de un largo tiempo. 25. Un inductor de 0,1 henrios, un condensador de 4x10−3 faradios, y un generador teniendo una fem dada por 180 cos 40t, cos 4t , t ≥ 0 , se conectan en serie. Encuentre la carga instant´anea Q y la corriente I si I=Q=0 en t=0.

72

CAP´ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES

Cap´ıtulo 4 El M´ etodo Operacional de Laplace 4.1.

La Transformada de Laplace

Durante el siglo XIX estuvo de moda para cient´ıficos e ingenieros, encabezados y motivados por el ingeniero electricista Heaviside, usar m´etodos de operadores. Los ´exitos obtenidos por estos m´etodos, en los cuales los operadores fueron tratados como s´ımbolos algebraicos y las ecuaciones resultantes fueron manipuladas de acuerdo a las reglas del a´lgebra, preocuparon a algunos matem´aticos quienes no gustaban de ver tales ciegas manipulaciones matem´aticas gratificadas con el ´exito y razonaron que deber´ıa haber alguna manera de colocar los procedimientos en una base matem´atica rigurosa. La investigaci´on hacia este objetivo condujo hacia el poderoso m´etodo de las transformadas de Laplace. La transformaci´on lineal particular que intentamos ahora estudiar en un operador integral L conocido como la transformada de Laplace. El siguiente esquema nos indica como obtener la soluci´on de un problema usando el m´etodo operacional de Laplace.

Problema EDO,EDP,..

Ecuación Operatoria a Resolver

Solución del Problema

Álgebra, EDO,...

73

Solución de la Ecuación Operativa

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

74

4.1.1.

Definici´ on:

Sea F : [0, +∞[−→ R una funci´on. La transformada de Laplace de F es, Z +∞ e−st F (t)dt = f (s) L[F (t)](s) =

(4.1)

0

Donde s es un par´ametro real, aunque se puede asumir que s es una variable compleja de modo que, f (s) es una funci´on de variable compleja. Diremos que la Transformada de Laplace de F existe o no, de acuerdo a si converge o no la integral impropia (1). Ejemplo 1 Si F (t) = eat , t ≥ 0 , a ∈ R se tiene que Z +∞ at L[e ](s) = eat dt 0 Z r e−(s−a)t dt = l´ım x→+∞

0

e−(s−a)t 0 |1 = l´ım x→+∞ s − a   e−(s−a)t 1 − = l´ım x→+∞ s − a s−a e−(s−a)t =0 x→+∞ s − a

Pero, l´ım

Si y s´olo si (s − a) > 0

Entonces: 1 L[eat ](s) = , siempre que s−a s>a Ahora nuestro inter´es es determinar un conjunto razonable de condiciones que asegure la existencia de la Transformaci´on de Laplace de una funci´on dada. Esto nos permitir´a ver, por ejemplo, a L como una transformaci´on lineal definida en un espacio vectorial adecuado.

4.1.2.

Definici´ on:

La funci´on F : [a, b] −→ R se dice que es seccionamente continua (sc.)sobre [a,b], si existe un n´ umero finito de puntos a = t0 < t1 < ...ti ... < tn = b tal que, F es − continua sobre ]ti−1 , ti [, i = 1, 2...n y los l´ımites laterales F (t+ i ) y F (ti ) existem, Diremos que una funcion F : L −→ R, donde L es un intervalo infinito es sc. , si ella lo es en cada intervalo finito [a, b] ⊂ I.

4.1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1.3.

75

Definici´ on:

Diremos que una funci´on F : [0, +∞[−→ R existen constantes α, M, t0 > 0 , tales que |F (t)| ≤ M eαt ,∀t > t0 Esto es, una funci´on es de orden exponencial si esta en valor absoluto no crece “mas r´apidamente” que M eαt cuando t −→ +∞. Si F es de orden exponencial, entonces el n´ umero d1 que permite verificar la definici´on α1 t 1.3 no es u ´nico, pues si |F (t)| ≤ M e , entonces, todo α > α1 tambien verifica la desigualdad. El infimo del conjunto de n´ umeros reales α para los que se verifica la desigualdad, se denota con α0 y se denomina abscisa de convergencia de F (abs.cov) Ejemplo 2: Toda funcion F : [0, +∞[−→ R acotada es de orden exponencial con α0 = 0 d Si F es acotada, entonces existe M < 0 tal que |F (t)| ≤ M , ∀t > 0 esto es, existen M, α0 = 0 , t0 = 0 tal que |F (t)| ≤ M e0t , ∀t > t0 c

4.1.4.

Teorema:

Si F : [0, +∞[−→ R es una funcion sc. y de orden exponencial con abs.cov. α0 , entonces la transformada de Laplace de F existe siempre que s > α0 Demostraci´ on Por hip´otesis, exista constantes M, α0 , t0 > 0tales que |F (t)| ≤ M α0 t , ∀t > t0 , entonces |e−st F (t)| ≤ M e−(s−α0 ) , ∀t > t0 como F y e−st son sc., est F (t) es integrable sobre cualquier intervalo finito, entonces :

Z

b

Me −a

−(s−α0 )t

Z dt =

b

l´ım

x→+∞

M e−(s−α0 )t dt

−a

M l´ım [1 − e−(s−x0 )r ] = s − α0 x→+∞ M = , siempreques − α0 > 0 s − α0 De donde, por el criterio de comparaci´on para integrales impropias, la integral:

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

76 Z

+∞

e−st F (t) dt = f (s)

, existe para s > α0

0

Ejemplo 3 : Es claro que F (t) = sin at sc. y de orden exponencial con α0 = 0, entonces: Z ∞ e−st sin at dt , existe para s¿0 integrando dos veces por parte, se L[sin at](s) =

tiene que :

0

a L[sin at](s) = 2 s + a2 s>0

4.1.5.

, siempre que

Observaci´ on:

a) La transformada de Laplace de cualquier funci´on sc. y de orden exponencial existe, esto lo sabemos ¿ pero qu´e hay acerca de la afirmaci´on reciproca? ¿ es cierto que cualquier funci´on cuya transformada de Laplace existe es necesariamente sc. y de orden 1 exponencial? Por ejemplo, la funci´on F (t) = √ tiene transformada de Laplace y no es t sc., pues F (0)+ no existe. Po lo tanto el conjunto de funciones que posee una transformada de Laplace es mayor que el conjunto E de funciones sc. y de orden exponencial. No diremos aun mayor es, pues marcar con precisi´on de dominio de L no es tarea nada f´acil. Afortunadamente, el conjunto E contiene la mayor parte de la funciones que surgen en las aplicaciones, y es por ello suficientemente grande para nuestros objetivos. b)Es evidente que el conjunto E es un espacio vectorial real bajo las definiciones usuales de adici´on y multiplicaci´on por un escalar de funciones. Sea T el conjunto de todos las funciones de valor real definidos en intervalos de la forma ]α0 , +∞[ siendo α0 ≥ −∞. Dadas f, g ∈ T definimos el dominio de f + g como la intersecci´on de los dominios de f y g. Hecha esta aclaraci´on T con las operaciones de adici´on y multiplicaci´on por un escalar de funciones es un espacio vectorial real. c) La aplicaci´on L : E −→ T es una transformaci´on lineal, si ∀F, G ∈ E y ∀c ∈ R se verifica: ∗1 L[F (t) + G(t)](s) = L[F (t)(s) + L[G(t)](s) ∗2 L[cF (t)](s) = cL[F (t)](s) Pero, observe que si hacemos: F (t) = sin at y G(t) = − sin at se tiene que L[F (t) + G(t)](s) = L[0](s) = 0

, ∀s ∈ R

4.2. PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

77

L[F (t) + G(t)](s) = L[0](s) = 0 , ∀s ∈]0, +∞[ Luego no teniendo las mismos dominios, de acuerdo a la definici´on de igualdad de funciones, se tiene que L[F (t) + G(t)](s) 6= L[F (t)](s) + L[G(t)](s) Esta dificultas se puede evitar si consideramos en T que dos funciones son “iguales” si toman el mismo valor en todo punto de la intersecci´on de sus dominios. Bajo esta consideraci´on f´acilmente se verifica ∗1 , ∗2 . La consecuencia, hemos conseguido nuestro prop´osito de interpretar L como una transformaci´on lineal de E a T. d) La funci´on nula N es una funci´on que es igual a cero excepto en un n´ umero finito de puntos. Sean F1 y F2 dos funciones iguales , excepto en un n´ umero finito de puntos, esto es, F1 (t) = F2 (t) + N (t) entonces

LF1 (t)](s) = L[F2()t + N (t)](s) = LF2 (t)](s) + L[N (t)](s) = L[F2 (t)](s) = f (s) Por lo tanto la transformaci´on lineal L : E −→ T no es inyectiva, pues existen dos funciones F1 y F2 diferentes que tienen la misma transformada f (s). Entonces la ecuaci´on L[F ](s) = f (s) puedan resolverse para F, la soluci´on es “esencialmente u ´nica” y a esta soluci´on se le llama transformada inversa de Laplace de la funci´on f (s) y se denota por L−1 [f (s)](t), asi L−1 [f (s)](t) = F (t) ⇐⇒ L[f (t)](s) = f (s) * Tambi´en se pueden afirmar que L−1 : T −→ E es una transformaci´on lineal.

4.2. 4.2.1.

Principales Propiedades de la Transformada de Laplace Proposici´ on:

Si F : [0, +∞[−→ R es una funci´on sc y de orden exponencial con abs.conv α0 , entonces : a)L[eat F (t)](s) = L[F (t)](s − a) ; siempre que s > a + α0 traslaci´on) n

d b)L[tn F (t)](s) = (−1)n ds n L[F (t)](s)

, para s > α0

Demostraci´ on

, a ∈ R(1ra propiedad de

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

78 a. Por hipotesis ,

L[F (t)](s) = L[F (t)](s − a) =

Z 0

Z

∞

e−st F (t) dt, existeparas > α0 entonces, ∞

Z0 ∞

=

e−s−a F (t) dt, existeparas − a > α0 e−st (eat F (t)) dt

0

= L[eat F (t)](s) b. Por hip´otesis

L[F (t)](1) =

Z

∞

e−st F (t) dt, existeparas > α0 derivandoconrespectoas,

0 Z ∞ d L[F (t)](s) = − te−st F (t) dt, paras > α0 ds 0 Z ∞ d2 L[F (t)](s) = t2 e−st F (t) dt, paras > α0 ds2 0 . . . Z ∞ dn = (−1) tn e−st F (t) dt, paras > α0 dsn 0 = (−1)n L[tn F (t)](s) paras > α0 dn ∴ L[tn F t](s) = (−1)n n L[F (t)](s) paras > α0 ds

* En adelante las funciones F(t) se supondr´an definidas en [0, +∞[ ejemplo 1 : Hallar L[F (t)](s) , de a. F(t)= e3t sin 2t b. F(t)= t sin 3t d a.L[e3t sin 2t](s) = L[sin 2t](s − 3) , s > 3 + 0 2 = ,s > 3 (s − 3)2 + 4 d b.L[t sin 3t](s) = (−1)1 L[sin t](s) , s > 0 ds d 3 = − ,s > 0 ds s2 + 9 6s = , s > 0, (s2 + 9)2 c

4.2. PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.2.2.

79

Teorema:

(La transformada de la derivada). Sea F : [0, +∞[−→ R una funci´on continua, de orden exponencial, con abs.conv. α0 , talque F 0 es sc. sobre [0, +∞[. Encuentre la tranformada de F 0 existe para s > α0 y L[F 0 (t)](s) = sL[F (t)](s) − F (0). Demostraci´ on Se debe demostrar la convergencia de la integral

0

L[F (t)](s) =

Z

∞

e−st F 0 (t) dt

, integrar por partes

0

= l´ım e−st F (t)|10 x→+∞

= l´ım [e−sr F (x) − F (0)] + sL[F (t)](s) x→+∞

Luego, como F es de orden exponencial, existen constantes M, α0 , r0 > 0 |F (r)| ≤ M eα0 r ,

, tales que

∀r > r0

0 ≤ |e−sr F (r)| ≤ M e−(s−α0 )r ,

∀r > r0

y como l´ım M e−(s−α0 )r = 0 para s > α0 r→+∞

entonces l´ım e−sr F (r) = 0, por lo tanto: r→+∞

L[f 0 (t)](s) = sL[F (t)](s) − F (0),

4.2.3.

para

s > α0

Corolario

Si F, F 0 , ..., F (n−1) son funciones continuas y de orden exponencial ???? α0 sobre [0, +∞] y si F (n) es sobre [0, +∞], entonces para s > α0 , L[F (n) (t)](s) = sn L[F (t)](s) − sn−1 F (0) − sn−2 F 0 (0) − . . . − sF (n−2) (0) − F (n−1) (0) La prueba se establece mediante el uso repetido del teorema 2.2 L[F 00 (t)](s) = s2 L[F (t)](s) − sF (0) − F 0 (0)

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

80 Ejemplo 2:

Si

F (t) = cos bt,

F 0 (t) = −b sen bt

entonces y

F (0) = 1

Aplicando L en ambos miembros de la ecuaci´on L[F 0 (t)](s) = L[−b sen bt](s),

s>0

sL[F (t)](s) − F (0) = −bL[sen bt](s) sL[cos bt](s) − 1 = −b

s2

L[cos bt](s) =

b + b2

s2

s + b2

Ejemplo 3: La transformada de Laplace de la funci´on salto unidad o funci´on de Heaviside, definida por: ( 0, si 0 ≤ t < c u(t − c) = 1, si t ≥ c es, Z +∞

L[u(t − c)](s) =

L[u(t − c)](s) =

e−st u(t − c)dt,

0

+∞

Z

e−st u(t − c)dt,

0

Z

s>0

s>0

+∞

e−st dt c  −sc  e e−sγ = l´ım − γ→+∞ s s =

e−sc L[u(t − c)](s) = , s

s>0

De donde, es claro que:

L[1]s = L[u(t − 0)](s), =

e−s0 s

s>0

4.2. PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1 L[1](s) = , s

s>0

L[tn ]s = L[tn ,1](s),

s>0

dn L[1](s) dsn   n 1 n d = (−1) n ds s

= (−1)n

pero, d ds d2 ds2 d3 ds3

  1 1 = − 2 s s   1 1×2 = s s3   1×2×3 1 = − s s4

.. .   n n! 1 d = (−1)n n+1 , n ds s s

s>0

entonces L[tn ]s = (−1)n (−1)n

L[tn ]s = Ejemplo 4: Hallar L[F (t)](s) para: a. F (t) = t2 + 6t − 3 b. F (t) = (1 + e2t )2 c. F (t) = t cos t + et+8

Soluci´ on:

n! sn+1

,

s > 0,

n! sn+1

n ∈ Z+

81

82

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

a. L[F (t)](s) = L[t2 + 6t − 3](s) = L[t2 ](s) + 6L[t](s) − 3L[1](s) =

2! 1! 1 +6 2 −3 3 s s s

=

2 6 3 , + − s3 s2 s

s>0

b. L[F (t)](s) = L[(1 + e2t )2 ](s) = L[1 + 2e2t + e4t ](s) = L[1](s) + 2L[e2t ](s) + L[e4t ](s)(s) =

1 2 1 + + , s s−2 s−4

s>0

c. L[F (t)](s) = L[t cos t + et+8 ](s) = L[t cos t](s) + L[et e8 ](s) d L[cos t](s) + e8 L[et ](s) ds   d s 8 1 = − + e ds s2 + 1 s−1 = (−1)1

=

4.2.4.

e8 1 − s2 + , (s2 + 1)2 s − 1

s>1

Proposici´ on:

Si F : [0, +∞[→ R es una funci´on sc. y de orden exponencial con abs. con v. α0 , entonces: L[u(t − c)F (t − c)](s) = e−sc L[F (t)](s), s > α0 llamada segunda propiedad de traslaci´on.

4.2. PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Demostraci´ on

L[u(t − c)F (t − c)](s) =

Z

+∞

e−st u(t − c)F (t − c)dt

0

Z

+∞

e−st F (t − c)dt

= c

Z

+∞

e−s(x+c) F (x)dx,

= 0 −sc

Z

x=t−c

+∞

e−sx F (x)dx

= e

0

= e−sc L[F (t)](s),

s > α0

Ejemplo 5: Hallar L[F (t)](s) a. F (t) = (t − 2)3 u(t − 2) b. F (t) = sen t u(t − 2π) Soluci´ on: a. L[F (t)](s) = L[(t − 2)3 u(t − 2)](s) = e−2s L[t3 ](s) = e−2s = 6

3! s4

e−2s , s4

s>0

b. L[F (t)](s) = L[sen t u(t − 2π)](s) = L[sen(t − 2π)u(t − 2π)](s) = e−2πs L[sen t](s) = e−2πs

s2

1 , +1

s>0

83

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

84

4.2.5.

Proposici´ on:

Si L−1 [f (s)](t) = F (t), entonces a) L−1 [f (s − a)](t) = eat L−1 [f (s)](t) b) L−1 [e−sc f (s)](t) = u(t − c)L−1 [f (s)](t − c) c) L−1 [f (n) (s)](t) = (−1)n tn L−1 [f (s)](t) Demostraci´ on: Se sigue de las proposiciones 2.1 y 2.4

Ejemplo 6: Hallar L−1 [f (s)](t) a. f (s) =

s (s + 1)2

b. f (s) =

e−2s s−1

c. f (s) =

1 (s − 3)2

d. f (s) =

7e−4s (s − 2)2 + 9

Soluci´ on: a. −1

L [f (s)](t) = = = = =

 s L (t) (s + 1)2   −1 s + 1 − 1 (t) L (s + 1)2   1 s+1 −1 (t) L − (s + 1)2 (s + 1)2     1 1 −1 −1 L (t) − L (t) s+1 (s + 1)2   1 −t −t −1 e −e L (t) s2 −1



= e−t − e−t t

´ 4.3. EL CONCEPTO DE CONVOLUCION pues:

L

−1



1

 (t) =

sn+1

85

tn n!

¿por qu´e?

b.  e−2s L [f (s)](t) = L (t) s−1   1 −1 = u(t − 2)L (t − 2) s−1 −1

−1



= u(t − 2)et−2 c. 

 1 L [f (s)](t) = L (t) (s − 3)2    d −1 −1 (t) = L ds s − 3   1 1 1 −1 = (−1) t L − (t) s−3 −1

−1

= te3t d.  7e−4s (t) L [f (s)](t) = L (s − 2)2 + 9   1 −1 = 7u(t − 4)L (t − 4) (s − 2)2 + 9   1 2(t−4) −1 = 7u(t − 4)e L (t − 4) s2 + 9 −1

−1



= 7u(t − 4)e2(t−4)

4.3. 4.3.1.

sen 3(t − 4) 3

El concepto de convoluci´ on Definici´ on:

Sean F , G : [0, +∞] → R funciones sc. y de orden exponencial con abs. con v. α0 . La convoluci´on de F con G es, Z t F (t) ∗ G(t) = F (u)G(t − u)du 0

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

86

Lejos de ser tan s´olo un dispositivo calculatorio, como lo fueron los resultados anteriores, la f´ormula de convoluci´on desempe˜ na un importante papel en ciertas investigaciones te´oricas de an´alisis avanzado.

Es f´acil probar que F (t) ∗ G(t) = G(t) ∗ F (t)

4.3.2.

Teorema:

Sean F , G : [0, +∞] → R funciones sc. y de orden exponencial con abs. conv. α0 . Si L[F (t)](s) = f (s), L[G(t)](s) = g(s), entonces:

a) L[F (t) ∗ G(t)](s) = L[F (t)](s).L[G(t)](s) b) L−1 [f (s).g(s)](t) = L−1 [f (s)](t) ∗ L−1 [g(s)](t)

Demostraci´ on

a)

L[F (t) ∗ G(t)](s) =

Z

t=+∞

e

−st

Z

t=0

Z

u=0

t=+∞ Z

Donde la integral se efectua en la regi´on R del plano tu definida por las desigualdades 0 ≤ t < +∞, 0 ≤ u ≤ t. Para cambiar el orden de integraci´on, observe que la regi´on R puede tambi´en definirse por: u ≤ t < +∞, 0 ≤ u < +∞, entonces

 F (u)G(t − u)du dt

u=t

= t=0

u=t

u=0

e−st F (u)G(t − u)dudt

´ 4.3. EL CONCEPTO DE CONVOLUCION

L[F (t) ∗ G(t)](s) =

Z

t=+∞

t=u

Z

u=+∞

Z

e−st F (u)G(t − u)dudt

u=0

v=+∞ Z

u=+∞

e−s(v+u) F (u)G(v)dudv;

= v=0

Z

v=+∞

u=0

Z

u=+∞

e−sv e−su F (u)G(v)dudv

= u=0

v=0

Z

87

v=+∞ −sv

=

e

Z

e

 F (u)du dv

u=0

u=+∞

e

=

−su

G(v)

v=0

Z

u=+∞

−su

Z

v=+∞

F (u)du

u=0

e−sv G(v)dv

v=0

= L[F (t)](s).L[G(t)](s) b) Por (a) sabemos que, L[F (t) ∗ G(t)](s) = f (s).g(s) aplicando L−1 , se tiene que: F (t) ∗ G(t) = L−1 [f (s).g(s)](t)

∴ L−1 [f (s).g(s)](t) = L−1 [f (s)](t) ∗ L−1 [g(s)](t)

Ejemplo: Hallar L−1 [f (s)](t) a. f (s) =

b. f (s) = Soluci´ on:

(s2

1 + 1)2

1 s(s + 1)

v =t−u

88

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

a.  1 1 L [f (s)](t) = L . (t) s2 + 1 s2 + 1     1 1 −1 −1 = L . (t) ∗ L (t) s2 + 1 s2 + 1 −1

−1



= sen t ∗ sen t Z

t

sen u sen(t − u)du

= 0

Z = 0

=

t

1 (cos(2u − t) − cos t)du 2

1 (sen t − t cos t) 2

b. 

 1 1 L [f (s)](t) = L . (t) s s+1     1 −1 1 −1 = L (t) ∗ L (t) s s+1 −1

−1

= 1 ∗ e−t = e−t ∗ 1 Z

t

e−u .1 du

= 0

= 1 − e−t

4.4. 4.4.1.

Propiedades adicionales de la transformada de Laplace Observaci´ on:

a) Si n > 0, la funci´on gamma se define por Z Γ(n) = 0

+∞

un−1 e−u du

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE b) La funcion gamma tiene las siguientes propiedades Γ(n + 1) = nΓ(n),

n>0

Γ(1) = 1 Γ(n + 1) = n!, si n ∈ Z+   √ 1 = π Γ 2 Γ(n) se puede calcular ∀n > 0, si se conocen los valores para 1 ≤ n < 2 Si n < 0, podemos definir

Γ(n) =

Γ(n + 1) n

Ejemplo 1
  √ Γ − 12 + 1 1 Γ − = = −2Γ(1/2) = −2 π 2 −1/2
  Γ − 32 + 1 3 2 4√ Γ − = = − Γ(−1/2) = − π 2 −3/2 3 3 Ejemplo 2 Demostrar que L[tn ](s) =

Γ(n + 1) , sn+1

n > −1,

s>0

Soluci´ on: n

L[t ](s) =

Z

+∞

e−st tn dt,

u = st

0

Z

+∞ −u

e

= 0

 u n 1 dt s s

+∞

e−u un du sn+1 0 Z +∞ 1 = n+1 u(n+1)−1 e−u du s 0 Z

=

∴ L[tn ](s) = L

−1



1 sn+1

 (t) =

tn Γ(n + 1)

Γ(n + 1) , sn+1

n > −1,

s>0

89

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

90

Ejemplo 3 Hallar L[F (t)](s) √ a. F (t) = t √ b. F (t) = sen t Soluci´ on: √ Γ a. L[ t](s) =

1 + 2 s3/2

1


=

1 Γ(1/2) 2 s3/2

√ π = 3/2 2s

b. Primero recuerde que sen x = x −

x3 x5 x7 + − ± ··· 3! 5! 7!

entonces,

√ √ √ √ √ ( t)3 ( t)5 ( t)7 sen t = t − + − ± ··· 3! 5! 7!



√ Γ 23 + 1 Γ 52 + 1 Γ 72 + 1 Γ 21 + 1 L[sen t](s) = − + − ± ··· s3/2 3!s5/2 5!s7/2 7!s9/2



1 Γ 2  3 Γ 2  5 Γ 2  7 Γ 2 .. .



√

π 2  √ 3 π +1 = 2 2  √ 5.3 π +1 = 23  √ 7.5.3 π +1 = 24 +1

=

entonces √ L[sen t](s) = =

=

= =

√

π

2s3/2 √ π 3/2 2s √ π 3/2 2s √ π 3/2 2s √ π 2s3/2

√ √ √ 3 π 5.s3 π 7.5.3 π − 2 5/2 + 3 7/2 − 4 9/2 ± · · · 2 3!s 2 5!s 2 7!s   √ 3 5.3 7.5.3 π 1− + − 3 ± ··· 2.3!s 22 .5!s2 2 .7!s3 " #    2  3 1 1 1 1 1 1− + − ± ··· 2 2 2s 2! 2 s 3! 22 s   1 exp − 2 2s   1 exp − 4s

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.4.2.

91

Observaci´ on:

Si F : [0, +∞] → R es una funci´on sc. peri´odica, con periodo T , entonces F es acotada y por tanto de orden exponencial con α0 = 0. Como: ( F (t), si F (t) − u(t − T )F (t − T ) = 0, si

0≤t0

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

92

Es claro que F es periodica, de periodo T=2, entonces: 1 L[f (t)] = 1 − e−25

Z

1 1 − e−25

Z

=

0

e−st F (t), dt

2 0

e−st t, dt

1

e−s 1 − e−s 1 − + = 1 − e−25 5 s2 

=

1 − (s + 1)e−s , s2 (1 − e−25 )



s>o

Ejemplo 4: Hallar L[F (t)](s) , donde:

Es claro que :

F (t) = u(t − π) − u(t − 2π) L[F (t)](s) = L[u(t − π) − u(t − 2π)](s) = L[u(t − π)](s) − L[u(t − 2π)](s) =

e−πs e−2πs − s s

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE *Recuerde que: 1 + u + u2 + ... + un + ... = 1 + u + u2 + ... + un−1 + ... =

1 1−u

1 − un 1−u

Ejemplo 5: L[r

[|t|]

Z

+∞

e−st r[|t|] , dt

](s) = 0

Z =

1

e

−st

Z 1, dt +

0

2

e 1

−st

Z r, dt +

3

e−st r2 , dt + ...

2

=

1 − e−5 e−5 − e−25 e−25 − e−35 +r + r2 + ... s s s

=

1 − e−5 re−5 r2 e−25 + (1 − e−5 ) + (1 − e−5 ) + ... s s s

1 − e−5 [1 + re−5 + r2 e−25 + ...] s   1 − e−5 1 = s 1 − re−5

=

=

Ejemplo 6: Hallar L−1

h

1 − e−5 s(1 − re−5 )

5s2 −15s−11 (s+1)(s−2)3

i

(s)

Por fracciones parciales: 5s2 − 15s − 11 A B C D = + + + 3 2 (s + 1)(s − 2) s + 1 s − 2 (s − 2) (s − 2)3 = L

−1



1 1 4 7 + + − 2 3(s + 1) 3(s − 2) (s − 2) (s − 2)3

 −e−t e2t 7 5s2 − 15s − 11 (s) = + + 4te2t − t2 e2t 3 (s + 1)(s − 2) 3 3 2

93

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

94

6.La Transformada de Laplace y las Ecuaciones Diferenciales En los siguientes ejemplos ilustraremos el m´etodo operacional de Laplace en la solucion de PVI. Ejemplo 1: Resolver a. y 00 + 4y = 16t ,

y(0) = 3 ,

b. y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = t2 et ,

y 0 (0) = −6 y(0) = 1 ,

y 0 (0) = 0 ,

y 00 (0) = −2

a. Aplicando L en ambos miembros de la ecuanci´on diferencial.

L[y 00 + 4y](s) = L[16t](s) L[y 00 ](s) + 4L[y](s) = 16L[t](s) s2 y(s) − sy(0) − y 0 (0) + 4y(s) = 16 s2 y(s) − s(3) + 6 + 4y(s) = y(s)(s2 + 4) = y(s) =

1 s2

16 s2 16 + 35 − 6 s2 16 35 6 + 2 − 2 + 4) s + 4 s + 4

s2 (s2

Luego se aplica L−1 a ambos miembros de la soluci´onde la ecuaci´on operatoria.

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

 16 35 6 L [y(s)] = L + − (t) s2 (s2 + 4) s2 + 4 s2 + 4         1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 y(t) = 16L + 3L (t) − 6L ∗L s2 s2 + 4 s2 + 4 s2 + 4 −1

−1



= 16t ∗

sin 2t sin 2t + 3 cos 2t − 6 2 2

= 8t ∗ sin 2t + 3 cos 2t − 3 sin 2t

Pero:

t ∗ sin 2t = sin 2t ∗ t Z

t

sin 2u(t − u), du

= 0

Z = 0

=

t

t sin 2u, du −

Z

t

u sin 2u, du 0

t sin 2t − 2 4

Entonces:

 y(t) = 8

t sin 2t − 2 4

 + 3 cos 2t − 3 sin 2t

y(t) = 4t + 3 cos 2t − 5 sin 2t

b. Aplicando L en ambos lados de la ecuaci´on diferencial.

95

96

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

s3 y(s) − s2 y(0) − sy 0 (0) − y 00 (0) − 3s2 y(s) + 3sy(0) + 3y 0 (0) + 3sy(s) − 3y(0) − y(s) =

2! (s − 1)3

(s3 − 3s2 + 3s − 1)y(s) − s2 + 2 + 3s − 3 =

2 (s − 1)3

y(s) =

s2 − 3s + 1 2 + (s − 1)3 (s − 1)6

=

2 s2 − 2s + 1 − 5 + 3 (s − 1) (s − 1)6

=

2 (s − 1)2 − 5 + 3 (s − 1) (s − 1)6

=

1 1 1 2 − − + 2 3 s − 1 (s − 1) (s − 1) (s − 1)6

Aplicando L−1 y se tiene que:

2 5 t t2 t e − te 2 120   t2 1 5 t y(t) = e 1 − t − − t 2 60

L−1 [y(s)](t) = et − tet −

Ejemplo 2: Resolver la EDO lineal con coeficientes variables.

ty 00 − ty 0 − y = 0, Aplicando L, se tiene que:

y(0) = 0,

y 0 (0) = 1

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

97

L[ty 00 ](t) − L[ty 0 ] − L[y](s) = L[0](s) (−1)1 −

d d L[y 00 ](s) − (−1)1 L[y 0 ](s) − y(s) = 0 ds ds

d 2 d (s y(s) − sy(0) − y 0 (0)) + (sy(s) − y(0)) − y(s) = 0 ds ds −

d 2 d (s y(s) − 1) + (sy(s)) − y(s) = 0 ds ds

−s2 y 0 (s) − 2sy(s) + sy 0 (s) + y(s) − y(s) = 0 s(1 − s)y 0 (s) − 2sy(s) = 0

En este caso la ecuaci´on operatoria es una EDO de primer orden, es deccir, que hemos transformado nuestro problema en una EDO de menor orden.

dy = 2sy ds Z Z dy 2 = ds y 1−s

s(1 − s)

ln |y| = −2 ln |1 − s| + ln c y(s) =

Aplicando L−1 , se tiene que:

C (1 − s)2

98

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

−1

L [y(s)](t) = cL

−1



 1 (t) (s − 1)2

y(t) = ctet y 0 (t) = ctet + cet y 0 (0) = c = 1 y(t) = tet

Ejemplo 3: Determinar la corriente I(t) de un circuito simple L-R-C si L=0.1 henrios, R=20 ohmios, C = 10−3 faradios, I(o)=0, y la fem. aplicada E(t) es como se muestra en la figura

Por la ley de kirchoff se tiene que:

EL + ER + EC = E L

dI 1 + RI + Q = E(t) dt C

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

99

Pero Z t dI I(x), dx = Q ⇒ Q(t) = dt 0 Z t 1 0 0,1I + 20I + −3 I(x), dx = 120t − 120tu(t − 1) 10 o Aplicando L, se tiene: 0

3

0,1L[I ](s) + 20L[I](s) + 10 L

Z o

t

 I(x), dx (s) = L[120t − 120tu(t − 1)](s)

Pero:

L

t

Z o

 L[I(t)](s) I(u), du (s) = s

Por concluci´on: −s 1 1 d e − 120(−1) s2 ds s   1 −se−s − e−s = 120 2 + s s2   e−s e−s 1 − 2 = 120 2 − s s s

L [120t − 120tu(t − 1)] (s) = 120

Entonces: 0,1(si(s) − I(0)) + 20i(s) + 10 (0,1s + 20 +

3 i(s)

s

 1 e−e e−s 120 2 − − 2 s s s   1 e−s e−s 120 2 − − 2 s s s   e−s 1 −s −e − 1200 s s   1 e−s e−s 1200 − − s(s + 100)2 (s + 100)2 s(s + 100)2 

=

103 )i(s) = s

(s + 100)2 i(s) = i(s) =

Aplicando fracciones parciales y L−1 , tenemos que: I(t) =

3 3 [1 − u(t − 1)] − [e−100t − e−100(t−1) u(t − 1)] − 12te−100t − 1188(t − 1)e−100(t−1) u(t − 1) 25 25

´ CAP´ITULO 4. EL METODO OPERACIONAL DE LAPLACE

100

Lista de Ejercicios 1. Hallar L[F(t)](s). a. F (t) = e−t sin t b. F (t) = −4t2 + 16t + 9 c. F (t) = cos2 t d. F (t) = cos t cos 2t e. F (t) = sin t cos 2t f. F (t) = e4t cosh5t 2. Hallar L−1 [f (s)](t) a. F (s) =

5 4s+1

b. F (s) =

s s2 +2s−3

c. F (s) =

(s+2)2 s3

d. F (s) =

s+1 s2 −45

e. F (s) =

1 s2 (s2 +4)

f. F (s) =

s+1 s4/3

3. Hallar L[F (t)](s). a. F (t) =

√ cos √ t t

b. F (t) = at c. F (t) = e−t sin2 t d. F (t) = e2t (t − 1)2 e. F (t) = cos 2tu(t − π) f. F (t) = (t − 1)3 et−1 u(t − 1) 4. Hallar L−1 [F (s)](t)

4.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 101

a. F (t) =

2s−1 s2 (s+1)3

b. F (t) =

e−25 s2 (s−1)

c. F (t) =

e−s s(s+1)

d. F (t) =

3s+1 (s−1)(s2 +1) 4−3s

e e. F(t)= (s+4) 5/2

f. F (t) =

s+1 (s2 +2s+2)2

5. Hallar L[F (t)](s). a.

b.

c.

d.

( 2, si F (t) = −2, si

0≤t