ECUACIONES DIFERENCIALES Salvador Solis Valdez • En esta presentación hare tres • Ejemplos , Resolviendo por Coeficien
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ECUACIONES DIFERENCIALES Salvador Solis Valdez
• En esta presentación hare tres • Ejemplos , Resolviendo por Coeficientes Indeterminados
Las ejemplos son: 1.- y’’-3y’= 8e3x+4senx 2.- y’’ + y = xcosx - cosx 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8
Bien resolvamos el primero: y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx Para resolver encontremos yc para eso usamos la ecuación auxiliar. y’’ – 3y’ = 0 m2 – 3m= 0 m (m-3)=0 m1=0 y m2=3
• Como el valor de las m son distintos y reales aplicamos el caso#1 en el que nos queda: yc= C1 + C2e3x
Despues de Encontrar yc encontremos yp para esto hay que aplicar un operador anulador.
Para encontrar el operador anulador hay que observar los terminos de f(x). En la ecuación tenemos que y’’-3y’= 8e3x+4senx El anulador de 8e3x es D-3 El anulador de 4senx es D2 + 1
• Entonces nos queda que • (D-3)(D2 + 1)=0 D1= 3 D2=D3=i Aplicando los casos nos queda : yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx Ahora derivamos dos veces yp para sustitur en la ecuacion original.
yp= C3xe3x + C4 cosx + C5senx y’p = 3C3xe3x + C3e3x - C4senx + C5cosx
y’’p= 9C3xe3x+3C3e3x +3C3e3x –C4cosx-C5senx y’’p=
9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx
Ahora lo cambiamos en la ecuacion original.
• y’’- 3y’ = 8e3x+ 4senx 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx -C5senx -3(3C3xe3x +C3e3x -C4senx+C5cosx)
= 8e3x+ 4senx 9C3xe3x+ 6C3e3x –C4cosx- C5senx -9C3xe3x -3C3e3x +3C4senx-3C5cosx =8e3x+ 4senx
3C3e3x –C4cosx -C5senx +3C4senx-3C5cosx = 8e3x+ 4senx
Ahora igulamos coeficientes 3C3=8 C3=8/3 (-3) 3C4-C5=4 -C4-3C5=0 -9C4+3C5=-12 -C4-3C5=0 -10C4 = -12
C4=-12/-10= 6/5 -6/5-3C5=0 C5=2/5
• Entonces yp=C3xe3x + C4 cosx + C5senx • Es igual a yp=8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx • La formula dice que la solucion general es y=yc+yp
y=C1 + C2e3x+8/3xe3x +6/5cosx+2/5senx
• En los siguientes ejemplos los mostrare de forma mas simplificada:
• 2.- y’’ + y = xcosx – cosx y’’+y=0 m2+1= 0 m1=m2=i yc=C1cosx +C2senx
Anuladores xcosx-cosx es (D2 +1)2 (D2+1)=0 D1=D2=D3=D4= i
yp=C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx+C6x2senx y’p=-C3xsenx+C3cosx+C4xcosx+C4senx-C5x2senx +2C5xcosx+C6x2cosx+2C6xsenx y’’p=-C3xcosx-C3senx-C3senx -C4xsenx + C4cosx + C4cosx-C5x2 cosx-2C5xsenx-2C5xsenx+2C5cosx+ -C6x2senx +2C6xcosx +2C6xcosx+2C6senx
• y’’p=-C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6cosx • Sustituimos en Ec. Original -C3xcosx-2C3senx- C4xsenx +2 C4cosx -C5x2 cosx-4C5xsenx+2C5cosx-C6x2senx +4C6xcosx +2C6senx +C3xcosx +C4xsenx +C5x2cosx +C6x2senx= xcosx – cosx • - 2C3senx +2C4cosx -4C5xsenx+2C5cosx +4C6xcosx +2C6senx = xcosx-cosx
Igualamos coeficientes -2C3+2C6=0 C3=1/4 2C4+2C5=-1 C4=-1/2 -4C5=0 C5=0 4C6=1 C6=1/4 y=C1cosx+C2senx+1/4xcosx-1/2xsenx+1/4x2senx
• 3.- y’’ + 4y = 4 cosx + 3senx -8 y’’+4y=0 m2+4= 0 m1=m2=2i yc= C1cosx +C2senx (D2+1) (D2+1)D= 0 D1=0 D2=D3=D4=D5=i
• yp=C3+C4cosx+C5senx+C6xcosx+C7xsenx • y’p=-C4senx+C5cosxC6xsenx+C6cosx+C7xcosx+C7senx y’’p=-C4cosx-C5senx-C6xcosx-2C6senxC7xsenx+2C7cosx 3C4cosx+3C5senx+3C6xcosx2C6senx+3C7xsenx+2C7cosx+4C3=4COSX+ 3senx-8 Se igualan coeficientes 4C3=-8 C3=-2
3C4+2C7=4 3C5-2C6=3 3C6=0 3C7=0
C4=4/3 C5=1 C6=0 C7=0
y=C1cos2x+C2sen2x+4/3cosx+senx-2