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MATEMÁTICAS FINANCIERAS PARA CONTADORES Y ADMINISTRADORES INDICE -INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………… 1. Operación financiera………………………………………………………………… 1.1. Concepto…………………………………………………………………………. 1.2. Elementos………………………………………………………………… 1.2.1. Personales………………………………………………………………… 1.2.2. Temporales………………………………………………………………… 1.2.3. Objetivos………………………………………………………………… 1.3. Clases………………………………………………………………… 2. Rédito y tanto de interés………………………………………………………………… -CAPITULO 1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE…………………………………………….. 1. Operaciones en régimen de simple…………………………………………………… 1.1. Capitalización simple……………………………………………………………… 1.1.1. Concepto………………………………………………………………… 1.1.2. Descripción de la operación 1.1.3. Características de la operación 1.1.4. Desarrollo de la operación 1.1.5. Cálculo del capital inicial 1.1.6. Cálculo de los intereses totales 1.1.7. Cálculo del tipo de interés 1.1.8. Cálculo de la duración 1.2. Tantos equivalentes 1.2.1. Concepto 1.2.2. Relación de tantos equivalentes 1.3. Descuento simple 1.3.1. Características de la operación 1.3.2. Descuento racional 1.3.3. Descuento comercial 1.3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes 2. Equivalencia financiera de capitales 2.1. Principio de equivalencia de capitales: concepto 2.2. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de cpaitales 2.2.1. Determinación del capital común 2.2.2. Determinación del vencimiento común 2.2.3. Determinación del vencimiento medio 3. Descuento de efectos (Letras) 3.1. Concepto 3.2. Clasificación 3.3. Cálculo financiero del descuento 3.4. Letra devuelta 3.5. Letra de resaca o renovación 3.6. Descuento de una remes de efectos (letras) 4. Cuentas corrientes 4.1. Definición 4.2. Clases de cuentas corrientes 4.3. Liquidación de cuentas corrientes 4.3.1. Método directo 4.3.2. Método indirecto Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

9 10 10 11 11 11 12 12 12 15 15 15 15 15 15 16 17 18 19 20 21 21 22 22 22 24 24 26 28 28 29 29 32 34 37 37 37 37 38 40 40 42 42 43 44 44 44 1

4.3.3. Método hamburgués o se saldos 5. Crédito bancario: La póliza de crédito 5.1. Costos derivados del uso de una póliza de crédito 5.2. Liquidación de la cuenta de crédito -CAPITULO 2.- CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. 1. Capitalización compuesta 1.1. Concepto 1.2. Descripción de la operación 1.3. Características de la operación 1.4. Desarrollo de la operación 1.5. Cálculo del capital inicial 1.6. Cálculo de los intereses totales 1.7. Cálculo del tipo de interés 1.8. Cálculo de la duración 1.9. Estudio comparativo de la capitalización simple y compuesta 2. Tantos equivalentes 2.1. Relación de tantos equivalentes 3. Tanto nominal (Jk) 4. Descuento compuesto 4.1. Concepto 4.2. Caraqcterísticas de la operación 4.3. Descuento racional 4.4. Descuento comercial 4.5. Tantos de interés y de descuento equivalentes 5. Equivalencia de capitales en compuesta 5.1. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de capitales 5.1.1. Determinación del capital común 5.1.2. Determinación del vencimiento común 5.1.3. Determinación del vencimiento medio -CAPÍTULO 3.- RENTAS. 1. Rentas 1.1. Concepto 1.2. Elementos 1.3. Valor financiero de un renta en el momento t (Vt) 1.4. Clases 1.4.1. Según la cuantía de los términos 1.4.2. Según el número de términos 1.4.3. Según el vencimiento del término 1.4.4. Según el momento de valoración 1.4.5. Según la periodicidad del vencimiento 1.4.6. Según la ley financiera 2. Rentas constantes 2.1. Renta constante, unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera 2.1.1. Cálculo del valor actual 2.1.2. Cálculo del valor final 2.2. Rentas prepagables 2.2.1. Cálculo del valor actual 2.3. Rentas perpetuas 2.4. Rentas diferidas 2.5. Rentas anticipadas 3. Rentas variables en progresión geométrica Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

44 49 50 50 55 55 55 55 55 56 57 58 58 59 61 62 63 65 67 67 67 68 70 71 73 73 73 74 74 78 78 78 78 79 79 79 79 80 80 80 80 81 81 81 84 87 88 91 92 96 99 2

3.1. Renta variable en progresión geométrica temporal, pospagable, inmediata y entera 3.1.1. Cálculo del valor actual 3.1.2. Cálculo del valor final 3.2. Rentas prepagables 3.2.1. Cálculo del valor actual 3.2.2. Cálculo del valor final 3.3. Rentas perpetuas 3.4. Rentas diferidas 3.5. Rentas anticipadas 4. Rentas variables en progresión aritmética 4.1. Renta variable en progresión aritmética, temporal pospagable, inmediata y entera 4.1.1. Cálculo del valor actual 4.1.2. Cálculo del valor final 4.2. Rentas prepagables 4.3. Rentas perpetuas 4.4. Rentas diferidas y anticipadas 5. Rentas fraccionadas 5.1. Rentas fraccionadas constantes 5.1.1. Método del tanto equivalente 5.1.1.1. Rentas fraccionadas pospagables 5.1.1.2. Rentas fraccionadas prepagables 5.1.2. Método del factor de transformación 5.2. Rentas fraccionadas variables en progresión geométrica 5.2.1. Valor actual 5.2.2. Valor final 5.2.3. Prepagable 5.2.4. Perpetua 5.3. Rentas fraccionadas variables en progresión aritmética 5.3.1. Valor actual 5.3.2. Valor final 5.3.3. Prepagable 5.3.4. Perpetua 6. Rentas contínuas 6.1. Renta constante, temporal, pospagable, inmediata y contínua 6.2. Renta contínua variable en progresión geométrica 6.3. Renta contínua variable en progresión aritmética 7. Rentas a interés simple 7.1. Valor actual 7.2. Valor final -CAPÍTULO 4.- PRÉSTAMOS. 1. Concepto de préstamo 1.1. Principales sistemas de amortización de préstamos 1.2. Nomenclatura para préstamos de amortización fraccionada 1.3. Generalidades 2. Reemblso único sin pago periódico de intereses préstamo simple 3. Reembolso único con pago periódico de intereses préstamo americano 4. Amortización con términos amortizativos constantes método francés 4.1. Pasos a seguir Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

99 100 102 103 103 104 104 105 106 107 108 108 109 110 110 110 111 112 112 112 114 115 119 121 121 122 122 123 125 126 126 126 128 128 130 132 133 133 137 142 142 142 143 144 146 147 148 149 3

4.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) 4.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización: Ley de recurrencia 4.1.3. Cálculo de la primera cuota amortización (A1) 4.1.4. Cálculo del total amortizado después de K periodos (mk) 4.1.5. Cálculo del capital vivo a principio del periodo K+1 (Ck) 4.1.6. Cálculo de la cuota de interés del periodo K+1 (Ik+1) 5. Método de cuota de amortización constante método lineal 5.1. Pasos a seguir 5.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A) 5.1.2. Cálculo del total amortizado después de k periodos (mk) 5.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del periodo K+1 (Ck) 5.1.4. Cálculo de cuota de interés del periodo K+1 (Ik+1) 5.1.5. Cálculo de lo términos amortizativos: Ley de recurrencia (ak) 6. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión geométrica 6.1. Pasos a seguir 6.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) 6.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak) 6.1.3. Cálculo del total amotizado después de k periodos (mk) 6.1.4. Cálculo del capital vivo a principios del periodo K+1 (Ck) 6.1.5. Cálculo de la cuota de interés del periodo K+1 (Ik+1) 7. Método de amortización con términos amortizativos variaqbles en progresión aritmética 7.1. Pasos a seguir 7.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) 7.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak) 7.1.3. Cálculo del total amortizado después de K periodos (mk) 7.1.4. Cálculo del capital vivo a principios del periodo K+1 (Ck) 7.1.5. Cálculo de la cuota de interés del periodo K+1 (Ik+1) 8. Préstamos diferidos 8.1. Carencia con pago de intereses: Carencia parcial 8.2. Carencia sin pago de intereses: Carencia total 9. Préstamos con intereses fraccionados 9.1. Préstamo fraccionado con cuota de amortización constante 9.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (At) 9.1.2. Cálculo del total amortizado después de t periodos (mt) 9.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del periodo t+1 (Ct) 9.1.4. Cálculo de las cuotas de intereses del periodo t+1 (It+1) 9.1.5. Cálculo de los términos amortizativos (ak) 9.2. Préstamo francés fraccionado 9.2.1. Resultando constante el término amortizativo único equivalente que se situaría en el momento de las amortizaciones 9.2.2. Siendo constante la cuantía satisfecha en el momento de amortizar (tanto por amortización como por intereses) 10. Sistema de amortización Sinking-Fund 11. Préstamos con intereses prepagables 11.1. Caso particular método alemán 11.1.1. Pasos a seguir 11.2. Préstamo con intereses prepagables y cuotas de amortización constante 11.2.1. Pasos a seguir Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

149 149 150 151 152 153 155 155 155 155 156 156 156 158 159 159 160 161 161 162 164 164 164 165 166 166 167 168 169 169 172 173 173 173 173 174 174 176 176 181 184 189 191 191 196 196 4

11.3. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables en progresión geométrica 11.3.1. Pasos a seguir 11.4. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables 12. Valor financiero del préstamo usufructo y nuda propiedad 12.1. Caso particular: Fórmula de Achard 12.2. Valoración en una fracción de periodo 12.3. Valoración de préstamos con intereses fraccionados 13. Tantos efectivos 13.1. Tanto efectivo acreedor o del prestamista (ia) 13.2. Tanto efectivo deudor o del prestatario (id) 14. Préstamos con interés revisable 14.1. Recálculo del término amortizativo 14.2. Mantenimiento del importe del término amortizativo sin cambios 14.3. Plan de amortización sin cambios -CAPÍTULO 5.- EMPRÉSTITOS. 1. Concepto. Generalidades 1.1. Personas que intervienen en el empréstito 1.2. Terminología 1.3. Principales derechos económivcos de los obligacionistas 1.4. Problemática de los gastos del emisor de un empréstito 1.5. Planteamiento inicial del emisor 1.6. Clasificación de los empréstitos 2. Empréstito Clase I. Tipo I. Puro 2.1. Pasos a seguir 2.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) 2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) 2.1.3. Cálculo de títulos amortizados en el primer sorteo (M1) 2.1.4. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) 2.1.5. Cálculo de títulos vivos a principios de cada periodo (Nk+1) 2.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en el periodo K+1 2.2. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con características comerciales. 3. Empréstitos Clase I. Tipo II. 3.1. Empréstito de cupón periódico con igual número de títulos amortizados 3.2. Empréstito de cupón periódico constante con anualoidad variable en progresión geométrica 3.3. Empréstito de cupón periódico y anualoidades en progresión geométrica. 3.4. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en progresión geométrica 3.5. Empréstito de cupón periódico y anualoidades en progresión aritmética con características comerciales 3.6. Empréstito con difrerimiento 3.7. Empréstito con cupón fraccionado 3.8. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con primas 4. Empréstito Clase I. Tipo III. 4.1. Pasos a seguir 4.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) 4.1.2. Cálculo de títulos amortizados (Mk) Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

199 199 201 201 204 206 206 209 210 210 212 213 213 214 220 220 220 221 221 222 223 225 226 227 227 227 229 230 230 232 235 243 244 248 255 259 266 270 273 277 282 282 282 5

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4.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) 4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principios de cada periodo (Nk+1) 4.1.5. Cálculo de importe a pagar de cupones en el periodo K+1 Empréstito de cupón periódico prepagable 5.1. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad constante y puro 5.2. Empréstito de cupón periódico constante prepagable y anualidad constante con características comerciales 5.3. Empréstito de cupón periódico constante prepagable y anualidad variable 5.4. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con igual número de títulos amortizado en cada sorteo 5.5. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad vairable en progresión geométrica y puro 5.6. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad variable en progresión aritmética y puro Empréstito Clase II. Tipo I. Puro. 6.1. Pasos a seguir 6.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) 6.1.2. Cálculo de títulos amortizados: Ley de recurrencia (Mk) 6.1.3. Cálculo de títulos amortizado en el primer sorteo (M1) 6.1.4. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) 6.1.5. Cálculo de títulos vivos a principio de cada periodo (Nk+1) 6.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en un periodo K+1 6.2. Empréstito de cupón acumulado constante y anualidad constante con características comerciales Empréstitos Clase II. Tipo II. 7.1. Empréstito de cupón acumulado con igual número de títulos amortizados en cada sorteo 7.2. Empréstito de cupón acumulado y anualidad variable en progresión geométrica puro. 7.3. Empréstito de cupón acumulado constante y anualidades en progresión geométrica con características comerciales Tantos efectivos 8.1. Tanto efectivo deudor o del emisor (ie) 8.2. Tanto efectivo acreedor o del conjunto de obligacionistas (io) 8.3. Rentabilidad de un título TIR (r) Probabilidad en los empréstitos 9.1. Vida media o esperada de un título (Vm) 9.2. Vida mediana (Vmed) 9.3. Valor, usufructo y nuda propiedad de un título 9.3.1. Empréstitos clase I Tipo I normal. 9.3.2. Incidencia de las doistintas características comerciales 9.3.2.1. Prima de amortización 9.3.2.2. Amortización seca 9.3.2.3. Lotes 9.3.2.4. Gastos de Administración 9.3.2.5. Cupón fraccionado 9.3.3. Empréstitos Clase II, tipo I, normal 9.3.4. Valor, usufructo y nuda propiedad en una fracción de periodo 9.4. Vida financiera o matemática

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283 283 283 284 285 285 291 294 295 298 302 305 306 306 306 308 309 309 311 313 316 317 321 327 330 331 331 331 338 339 343 347 347 353 353 356 358 359 361 363 368 371 6

-CAPÍTULO 6.- VALORES MOBILIARIOS. 1. Introducción 1.1. Concepto 1.2. Motivos para invertir en valores mobiliarios 1.3. Clases de valores mobiliarios 1.4. Formas de adquisición de valores mobiliarios 1.5. Esquema de una operación de compra-venta en un mercado secundario 1.6. Terminología 1.7. Características de una emisión de Renta fija 1.8. Características de una emisión de Renta Variable 1.8.1. Derechos y obligaciones del accionista 2. Ampliaciones de capital 2.1. Clases de ampliaciones de capital 2.2. Valor teórico del derecho de suscripción preferente 2.2.1. Ampliación simple sin diferencias económicas 2.2.2. Ampliación doble sin diferencias económicas 2.2.3. Ampliación simple con diferencias económicas 3. Ampliación blanca 4. Operaciones al contado con acciones 4.1. Valor de compra de las acciones 4.2. Valor de venta de las acciones 4.3. Beneficio neto (antes de impuestos) de una operación de compra-venta 4.4. Rentabilidad de una operación de compra-venta 5. Operaciones a crédito con acciones 5.1. Compras a crédito 5.2. Ventas a crédito 6. Deuda Pública 6.1. Instrumentos de deuda del Estado 6.1.1. Letras del Tesoro 6.1.2. Bonos y obligaciones del Estado 6.1.3. Bonos y obligaciones segregables. Los strips de Deuda Pública 6.2. Cálculo de rentabilidades 6.2.1. Cálculo de la rentabilidad de las Letras del Tesoro 6.2.2. Cálculo de la rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado 6.2.3. Cálculo de la rentabilidad de un Repo 6.3. Otros activos de renta fija 6.3.1. Pagarés de empresa 6.3.2. Obligaciones simples 6.3.3. Obligaciones subordinadas 6.3.4. Bonos y obligaciones indicada, referenciadas o indexadas 6.3.5. Obligaciones bonificadas 6.3.6. Obligaciones convertibles y canjeables 6.3.7. Bonos y obligaciones con Warrant 6.3.8. Títulos hipotecarios 6.3.9. Bonos y obligaciones de titulización hipotecaria 6.3.10. Bonos de alto rendimientos “bonos basura” o Junk Bond 7. Pignoración de valores mobiliarios 7.1. Posibilidades ante un cambio de cotización de los títulos pignorados 7.1.1. Cálculo de la mejora de garantía 7.1.2. Cálculo de la redeucción de préstamo 7.2. Pignoración de varias clases de valores Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

383 383 383 383 383 384 384 384 384 385 386 387 391 391 391 394 396 398 403 403 404 405 405 406 406 411 416 416 417 417 418 419 419 422 423 424 425 427 427 428 431 435 436 436 437 438 438 441 441 442 7

444 LIBRO: Operaciones Financieras Este libro trata de una recopilación de las operaciones financieras agrupadas en cinco grandes áreas, muy interrelacionadas entre ellas, pero al mismo tiempo con rasgos particulares: capitalización, rentas, préstamos, empréstitos y valores mobiliarios. El enfoque pretendido ha sido el de combinar el rigor de las operaciones con planteamientos prácticos que huyen de los desarrollos matemáticos complejos, dando especial importancia a la resolución de supuestos prácticos. La obra va dirigida a personas que en su trabajo necesitan conocimientos financieros, así como a alumnos de Formación Profesional de la rama administrativa, universitarios y opositores que tienen que superar algún ejercicio de operaciones financieras.

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Introducción Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo -satisfaciendo alguna necesidad-, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte suficiente. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como la retribución por el aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo. Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas: 

Por el riesgo que se asume.



Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.



Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber: 

La cuantía del capital invertido,



El tiempo que dura la operación, y



El tanto de interés al que se acuerda la operación.

Por otra parte, cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t). Finalmente, en una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes, cuya definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 u.m. a cobrar 1.050 u.m. dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o costo en la operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. Para que una operación financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras. 1. OPERACIÓN FINANCIERA 1.1. CONCEPTO Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos. La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos: 1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital (es) por otro(s). 2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación de una ley financiera.

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3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses generados. 1.2. ELEMENTOS 1.2.1. Personales En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará, incrementados en el importe de los intereses. La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta actuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la operación financiera. En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que considerar

y

cuantificar.

Por

tanto,

prestación

y

contraprestación

nunca

son

aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas. Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo. 1.2.2. Temporales Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se le denomina origen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de la operación financiera se le llama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la operación financiera, durante el cual se generan los intereses.

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1.2.3. Objetivos La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado. 1.3. CLASES 1. Según la duración: 

A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.



A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.

2. Según la ley financiera que opera: 

Según la generación de intereses: o

En régimen de simple: los intereses generados en el pasadono se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, interesesen el futuro.

o

En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.



Según el sentido en el que se aplica la ley financiera: o

De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro.

o

De actualización o descuento: sustituye un capital futuro porotro capital presente.

3. Según el número de capitales de que consta: 

Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación.



Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación.

2. RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS Se entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital. Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno. Si en el momento t1 disponemos de un capital Q y éste se convierte en un capital C2 en un determinado momento t2, el rédito de la operación será:

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Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha generado ese rendimiento. Surge la necesidad de una medida que tenga en cuenta el tiempo: el tanto de interés (i). Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:

Rédito y tanto coincidirán cuando el intervalo de tiempo es la unidad. EJEMPLO Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de la operación? ¿Y el tanto de interés anual?

Pero si la operación dura 2 años:

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Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo con el tipo de interés que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al plazo de la operación.

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CAPÍTULO 1. Capitalización simple 1. Operaciones en régimen de simple Las operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de interés vigente en cada período. Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año). 1.1. Capitalización simple 1.1.1. Concepto Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple. 1.1.2. Descripción de la operación Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo -n- y tipo de interés -i-). Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los intereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial. 1.1.3. Características de la operación Los intereses no son productivos, lo que significa que:  A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos

intereses en el futuro y, por tanto  Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al tanto de

interés vigente en dicho período.

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Gráficamente para una operación de tres períodos:

1.1.4. Desarrollo de la operación El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente: Momento 0: C0 Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i) Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i) Momento3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i) ... Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i Cn = C0 x (1 + n x i) Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos. A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante. Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea). EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 u.m. al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.

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C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640 u.m. EJEMPLO 2 Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 u.m. al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual. En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate. C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180 u.m. 1.1.5. Cálculo del capital inicial Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma: Cn = C0 x (1 + n x i) despejando C0 resulta:

EJEMPLO 3 ¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 u.m. para comprarme un vehículo, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?

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1.1.6. Cálculo de los intereses totales Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos. Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in C0 x (i1 + i2 + ... + in) Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple: Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i C0 x i x n Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos: In = Cn - C0

EJEMPLO 4 ¿Qué intereses producirán 300 u.m. invertidos 4 años al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada período: Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84 u.m. También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial: C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384 In = 384 - 300 = 84 u.m. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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EJEMPLO 5 ¿Qué interés producirán 6.000 u.m. invertidos 8 meses al 1% simple mensual? In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 u.m. 1.1.7. Cálculo del tipo de interés Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida. Cn = C0 x (1 + n x i) Los pasos a seguir son los siguientes: Pasar el C0 al primer miembro:

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):

Despejar el tipo de interés, dividiendo por n la expresión anterior:

EJEMPLO 6 Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 u.m. para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 u.m.

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1.1.8. Cálculo de la duración Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, partiendo de la fórmula general de la capitalización simple y despejando la variable desconocida. Punto de partida: Cn = C0 x (1 + n x i) Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuación anterior): Cn --- = 1 + n x i C0 Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros): Cn --- - 1 = n x i C0 Despejar la duración n, dividiendo por i:

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EJEMPLO 7 Un capital de 2.000 u.m. colocado a interés simple al 4% anual asciende a 2.640 u.m. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

1.2. Tantos equivalentes Normalmente los tipos de interés suelen venir expresados en términos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayoría de las ocasiones, la acumulación de los intereses al capital inicial se hace en períodos más pequeños (meses, trimestres, semestres, ...). La cuestión es ¿por el hecho de modificar la frecuencia de cálculo de intereses me beneficiaré o, por el contrario, me veré perjudicado? En este sentido, lo lógico es pensar que cualquiera que sea el número de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operación no se vea afectado. En consecuencia, si se cambia la frecuencia de cálculo de los intereses habrá que cambiar el importe del tanto de interés aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes. 1.2.1. Concepto Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.

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1.2.2. Relación de tantos equivalentes Los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión: i = ik x k donde k se denomina frecuencia de capitalización y se define como el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia (considerando como tal el año), pudiendo tomar los siguientes valores: k = 2 -> semestre i2 = tanto de interés semestral k = 3 -> cuatrimestre i3 = tanto de interés cuatrimestral k = 4 -> trimestre i4 = tanto de interés trimestral k = 12 -> mes i12 = tanto de interés mensual EJEMPLO 8 Determinar el montante resultante de invertir 700 u.m. durante 3 años en las siguientes condiciones: a) Interés anual del 12% Cn = 700 x (1 + 3 x 0,12) = 952 u.m. b) Interés semestral del 6% Cn = 700 x (1 + 3 x 0,06 x 2) = 952 u.m. c) Interés mensual del 1% Cn = 700 x (1 + 3 x 0,01 x 12) = 952 u.m. 1.3. Descuento simple Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización. 1.3.1. Características de la operación Los intereses no son productivos, lo que significa que: 

A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto



Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período.

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En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Gráficamente:

Elementos: D: Descuento o rebaja. Cn: Valor final o nominal. C0: Valor actual, inicial o efectivo. i ó d: Tanto de la operación. Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión: D = Cn – C0 Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple: D = Capital x Tipo x Tiempo Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica: 

Descuento racional, matemático o lógico, y



Descuento comercial o bancario.

En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone. 1.3.2. Descuento racional El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de interés efectivo (i). Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (C0). Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional: Cn = C0 (1 + n x i) • Cálculo del capital inicial: Cn C0 = ------------1+nxi • Cálculo del ahorro de intereses (Dr): Cn

Cn x n x i

Dr = Cn – C0 = Cn – -------------- = -------------1+nxi

1+nxi

De otra forma: Cn

Cn x n x i

Dr = C0 x i x n = --------------- x i x n = ----------------1+nxi

1+nxi

1.3.3. Descuento comercial Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

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En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0). Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta: Dc = Cn x d + Cn x d + … + Cn x d = Cn x n x d

n veces El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc): C0 = Cn – Dc = Cn – Cn x n x d = Cn x (1 – n x d) C0 = Cn x (1 – n x d)

EJEMPLO 9 Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 u.m. con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación. Caso 1: Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100 C0 = ---------------- = 76,92 u.m. 1 + 3 x 0,1 Dr = 100 – 76,92 = 23,08 u.m. o bien: Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08 u.m.

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Caso 2: Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30 u.m. C0 = 100 – 30 = 70 u.m. o bien: C0 = 100 x (1 – 3 x 0,1) = 70 u.m. 1.3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuento racional (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo 9. No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc. Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente: Cn x n x i ------------- = Cn x n x d 1+nxi Y simplificando, dividiendo por Cn x n: i ------------ = d 1+nxi

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Obteniéndose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i: i d = ------------1+nxi

Análogamente, conocido d se podrá calcular el tanto i: d i = -------------1–nxd

La relación de equivalencia entre tipos de interés y descuento, en régimen de simple, es una función temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de interés como valores tome la duración (n) de la operación y al revés (no hay una relación de equivalencia única entre un i y un d). EJEMPLO 10 En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de interés es del 10% anual. ¿Qué tipo de descuento anual deberá aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes? Si i = 10% Entonces se ha de cumplir: 0,1 d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923% 1 + 3 x 0,1 Comprobación: Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de interés del 10% (descuento racional): 100 C0 = ---------------- = 76,92 u.m. 1 + 3 x 0,1 Dr = 100 – 76,92 = 23,08 u.m.

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Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial): Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08 u.m. C0 = 100 – 23,08 = 76,92 u.m. o bien: C0 = 100 (1 – 0,076923 x 3) = 76,92 u.m. 2. Equivalencia financiera de capitales Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesante desde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los demás). Para decidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantías, se tendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Además, la comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ahí efectuar la comparación. Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o más capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizará la capitalización o el descuento. 2.1. Principio de equivalencia de capitales: concepto Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la misma cuantía. Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales que intervengan en la operación. Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos. Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, no tiene por qué cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Consecuencia de esta circunstancia será que la elección de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectará y condicionará el resultado.

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2.2. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de capitales La sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A este momento de tiempo donde se realiza la valoración se le denomina época o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio. Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales: 

Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos.



Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato varía el resultado del problema.



Tanto de valoración de la operación.



Decidir si se utiliza la capitalización o el descuento.

Casos posibles: 1. Determinación del capital común. 2. Determinación del vencimiento común. 3. Determinación del vencimiento medio. 2.2.1. Determinación del capital común Es la cuantía C de un capital único que vence en el momento t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en t1, t2, … , tn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y tiempos. Para su cálculo se valorarán en un mismo momento al tanto elegido, por una parte, los capitales de los que se parte y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.

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Si la equivalencia se plantea en 0:

Realizando la valoración con tipo de interés (i):

de donde se despejará C. Realizando la valoración a tipo de descuento (d): C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) despejando finalmente C, queda:

Si el estudio se realiza en el momento t, habrá que tener en cuenta que aquellos capitales que tengan un vencimiento inferior a t habrá que capitalizarlos (empleando un tipo de interés i), mientras que aquellos capitales con vencimientos superiores habrá que descontarlos, pudiéndose emplear bien un tipo de interés o bien de descuento.

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Realizando la valoración con tipo de interés (i):

Se despejará C, pues todo lo demás se conoce. EJEMPLO 11 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 u.m. con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. Propone sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 meses. Se pide: Calcular el importe a pagar si la operación se concierta al 8% de interés simple anual. 1.er caso: fecha de estudio en 0:

C = 11.032,53 u.m. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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2.º caso: fecha de estudio en 9:

C = 11.033,56 u.m. 2.2.2. Determinación del vencimiento común Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir:

Para obtener este vencimiento habría que proceder de la misma forma que en el caso del capital común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único. Así, por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de interés (i):

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Realizando la valoración con tipo de interés (i):

simplificando:

Realizando la valoración a tipo de descuento (d): C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) se quitan los paréntesis y queda: C1- C1 x t1 x d + C2- C2 x t2 x d + ... + Cn- Cn x tn x d = C - C x t x d reordenando en el primer miembro: C1 + C2 + ... + Cn- d [C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn] = C - C x t x d

de donde se despeja t.

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EJEMPLO 12 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 u.m. con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.200 u.m. Se pide: Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de interés simple anual. La fecha de estudio es el momento cero.

t = 11,41 meses 2.2.3. Determinación del vencimiento medio Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: C = C1+ C2 +... + Cn El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que varía es la cuantía del capital único que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de las cuantías a las que sustituye. Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d, quedaría así:

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C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) quitando los paréntesis: C1- C1 x t1 x d + C2- C2 x t2 x d + ... + Cn- Cn x tn x d = C - C x t x d reordenando en el primer miembro:

dividiendo la ecuación por – d:

En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmética ponderada de los vencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderación. EJEMPLO 13 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 u.m. con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.000 u.m.

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Se pide: Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de descuento simple anual. La fecha de estudio es el momento cero.

t = 8,55 meses De otra forma:

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3. Descuento de efectos 3.1. CONCEPTO El descuento bancario es una operación financiera que consiste en la presentación de un título de crédito en una entidad financiera para que ésta anticipe su importe y gestione su cobro. El tenedor cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero, descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados. 3.2. CLASIFICACIÓN Según el título de crédito presentado a descuento, distinguimos: 

Descuento bancario, cuando el título es una letra de cambio. – Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestación de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente. – Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de un préstamo concedido por el banco a su cliente.



Descuento no cambiario, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro (pagarés, certificaciones de obra, facturas, recibos).

3.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o líquido, y se obtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costos originados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos). Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula en función del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por la entidad financiera. t Intereses = N x ------- x d 360 siendo: N: Nominal del efecto. t: Número de días que el banco anticipa el dinero. d: Tipo de descuento anual, en tanto por uno. Comisiones: también denominado quebranto o daño, es la cantidad cobrada por la gestión del cobro de la letra que realiza el banco. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades: 

Un porcentaje sobre el nominal.



Una cantidad fija (mínimo).

Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes conceptos: el timbre, y el correo, según la tarifa postal. EJEMPLO 14 Se desea descontar una letra de 3.250 u.m. cuando aún faltan 60 días para su vencimiento en las siguientes condiciones: 

Tipo de descuento: 14% anual.



Comisión: 3‰ (mínimo 5 u.m.).



Otros gastos: 2 u.m..

Se pide: Conocer el efectivo recibido por el cedente. Nominal

3.250,00

Intereses (3.250 x 0,14 x 60/360) 75,83 Comisión protesto (3.250 x 0,003) 9,75 Otros gastos 2,00 Total gastos

87,58

Efectivo

-----------3.162,42

3.4. LETRA DEVUELTA Es aquella que se devuelve al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento por parte del librado. Si la letra había sido descontada previamente, el banco se la cargará en cuenta del cliente, junto con los gastos originados por el impago.

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

Gastos de devolución: – Comisión de devolución. – Correo.



Gastos de protesto: – Comisión de protesto. – Costo del protesto.



Intereses: Cuando el banco cobre con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letra devuelta por impagada. Se calcularán sobre la suma del nominal de la letra impagada más el importe de todos los gastos originados por el impago, por el período transcurrido entre vencimiento y cargo.

EJEMPLO 15 Llegado el vencimiento de la letra del ejemplo 14, ésta es devuelta por impagada, cargándose en la cuenta del cedente por los siguientes conceptos: 

Comisión de devolución: 1‰.



Comisión de protesto: 2‰.



Correo: 2,50 u.m..

Se pide: Determinar el importe adeudado en la cuenta corriente del cedente. Nominal .. 3.250,00 Comisión devoluc. (3.250 x 0,001) . 3,25 Comisión protesto (3.250 x 0,002) . 6,50 Correo .. 2,50 Total gastos .

12,25

Adeudo en c/c .

-----------3.262,25

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3.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN Se designa así a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta, junto con los gastos que originó su devolución. Se trata de determinar cuál ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos los gastos se le repercutan a quien los originó (el librado). Para su cálculo se tratará como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones normales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se desea recuperar –nominal impagado más los gastos de la devolución más los gastos del giro y descuento de la nueva letra–) y el nominal es desconocido (que hay que calcular). EJEMPLO 16 Finalmente para recuperar la letra devuelta por impagada del ejemplo 15 se llega al acuerdo de girar una nueva letra con vencimiento a 30 días, en las siguientes condiciones: 

Tipo de descuento: 15%.



Comisión: 3‰.



Otros gastos: 10 u.m.

Se pide: Determinar el importe de la nueva letra.

E’ = N’ – (I’ + C’ + F’) 3.262,25 = N’ – N’ x 0,15 x 30/360 – 0,003 x N’ – 10 N’ = 3.323,77 u.m. 3.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por períodos temporales, para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales. El documento en el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura de negociación. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

40

Proceso de liquidación: 

Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa.



Sumar cada una de las tres siguientes columnas: – Importe nominal. – Importe intereses. – Importe comisiones.



Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte.



El importe líquido resultante de la negociación se obtendrá restando del nominal total de la remesa el montante de todos los gastos habidos.

EJEMPLO 17 Se presenta a descuento la siguiente remesa de efectos: Efecto Nominal Días de descuento A B C

30.000 20.000 15.000

20 25 30

Las condiciones del descuento son: 

Tipo descuento: 12%.



Comisión: 5‰ (mínimo 90 euros).



Correo: 6 u.m./efecto.

Se pide: Descontar la remesa anterior.

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41

Solución: Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión Correo A B C

30.000 20.000 15.000 65.000

20 25 30

12% 12% 12%

5‰ 5‰ mínimo

200,00 166,67 150,00 516,67

Nominal

150 100 90

6 6 6

340

18

65.000,00

Interés. 516,67 Comisión 340,00 Correo .. 18,00 Total gastos ..

874,67

Efectivo .

------------64.125,33

4. Cuentas corrientes 4.1. DEFINICIÓN Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que señalen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde más se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes. Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depósito y de crédito. Una cuenta corriente de depósito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la cuenta corriente de crédito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener financiación hasta una cuantía establecida de antemano (límite del crédito).

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42

Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata más de un instrumento de gestión en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes al «servicio de caja», pueden llegar a convertirse en una fuente de financiación (descubierto bancario). 4.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES Las cuentas corrientes de depósito se pueden clasificar según diversos criterios. I. Según sus titulares: 

Individual: abierta a nombre de un solo titular.



Conjunta: cuando hay dos o más titulares, exigiéndose que cualquier acto deba ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos.



Indistinta: cuando hay dos o más titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando únicamente su firma.

II. Según el devengo de interés: 

Cuentas corrientes sin interés: son aquellas en las que no se paga ningún tanto por el aplazamiento de los capitales. Para hallar la liquidación bastará calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta.



Cuentas corrientes con interés: en este caso los capitales producen interés por el período que media entre la fecha valor de la operación y la fecha de liquidación de la cuenta.

En las cuentas corrientes con interés, éste puede ser: 

Recíproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de interés.



No recíproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismo que el aplicado a los capitales acreedores.

Para liquidar estas cuentas no bastará con calcular la diferencia entre las sumas del Debe y del Haber sino que deberemos hallar también el interés.

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43

4.3. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES Conocidos los capitales y el tanto de interés, que se fija de antemano, sólo falta hallar el tiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tres métodos: directo, indirecto y hamburgués. A continuación se comentará brevemente el funcionamiento de los dos primeros y se estudiará con más detalle el método hamburgués, que es el sistema que actualmente se emplea. 4.4.1. Método directo Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidación. 4.4.2. Método indirecto En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija denominada época. Ello supone un cálculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidación deben rectificarse. 4.4.3. Método hamburgués o de saldos Este método recibe el nombre de hamburgués porque se usó por primera vez en Hamburgo. Y de saldos porque los números comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en función de los capitales). Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este método son los siguientes: 1. Se ordenan las operaciones según fecha-valor. 2. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada vez que hagamos una anotación cambiará el saldo de la cuenta. 3. Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del último vencimiento a la fecha de cierre. 4. Se calculan los números comerciales multiplicando los saldos por los días y se colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor. 5. A partir de aquí terminaremos la liquidación del siguiente modo:

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44

1. Cálculo del interés. Intereses deudores = Suma de números deudores x Multiplicador fijo del banco Intereses acreedores = Suma de números acreedores x Multiplicador fijo del cliente El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de interés de liquidación (anual) entre el total de días del año (360 ó 365). 2. Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores. 3. Cálculo del saldo a cuenta nueva. EJEMPLO 18 Liquidar por el método hamburgués la siguiente cuenta, cuyo titular, Óscar de Lózar, ha realizado los siguientes movimientos: Fecha Concepto 06-05 14-05 23-05 11-06

Ingreso apertura Cheque a compensar a su favor Cheque c/c Ingreso en efectivo

Cuantía Signo 35.000 20.000 5.000 10.000

Haber Haber Debe Haber

Las condiciones de liquidación son las siguientes: 

Fecha de liquidación el 30 de junio



Por cada apunte una comisión de 3 u.m.



Retención en la Fuente: 15%



El interés anual aplicado es el 6%

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45

Liquidación del período 06-05 al 30-06. Fecha Movimiento

06-05 14-05 23-05 11-06

Ingreso apertura Ch./ comp. s/f Cheque c/c Ingreso efectivo

Cuantía Signo Saldos Signo Días

35.000 20.000 5.000 10.000

H H D H

35.000 55.000 50.000 60.000

H H H H

30-06

Números acreedores

8 9 19 19

280.000 495.000 950.000 1.140.000

55

2.865.000

Cálculo de los números comerciales acreedores: 35.000 x 8 = 280.000 55.000 x 9 = 495.000 50.000 x 19 = 950.000 60.000 x 19 = 1.140.000 ---------------Total 2.865.000 Cálculo de los intereses acreedores:

Retención impuestos (15% de 470,96) = 70,64 Comisión de administración (número de apuntes) = 3 x 4 = 12 Saldo después de la liquidación: 60.000 + 470,96 – 70,64 – 12 = 60.388,32 EJEMPLO 19 Liquidación por el método hamburgués de la siguiente cuenta corriente, cuya titular es la señora Manuela Jiménez Orgaz, en la que se aplican las siguientes condiciones: 

Tipo anual de interés para saldos acreedores: 1%



Tipo anual de interés para descubiertos: 12%



Comisión sobre mayor descubierto: 2% sobre el mayor saldo descubierto contable en el período de liquidación.



Fecha de liquidación: 30 abril.



La entidad bancaria utiliza 365 para calcular los intereses deudores y acreedores.



Retención en la fuente: 15%

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46

A lo largo del período se han producido los siguientes movimientos: Fecha

Concepto

01-03 14-03 14-03 27-03 30-03 10-04

Cuantía

Apertura Ingreso en efectivo Letra a su cargo Transferencia a su favor Recibo luz Entrega en efectivo

Vencimiento

0 30.000 6.000 18.000 45.000 20.000

01 marzo 15 marzo 05 marzo 28 marzo 03 abril 11 abril

Liquidación del período 01-03 al 30-04. Fecha Operac.

14-03 14-03 27-03 30-03 10-04

Concepto

Letra a s/cargo Ingreso efectivo Transferencia s/f Recibo luz Entrega efectivo

Cuantía Signo

6.000 30.000 18.000 45.000 20.000

D H H D H

Fecha Números Números Saldos Signo Días Valor acreedores Deudores

05-03 6.000 15-03 24.000 28-03 42.000 03-04 3.000 11-04 17.000

30-04

D H H D H

10 13 6 8 19

56

312.000 (1) 252.000 (2) 323.000 (3)

887.000 (4)

60.000 (5)

24.000 (6)

84.000 (7)

Saldo antes de la liquidación: 17.000. Cálculo de los números comerciales acreedores: (1) 24.000 x 13 = 312.000 (2) 42.000 x 6 = 252.000 (3) 17.000 x 19 = 323.000 -----------Total 887.000 Cálculo de los intereses acreedores:

Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete): Intereses (15-03 a 28-03) = 24.000 x 13/365 x 0,01 = 8,55 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

47

Intereses (28-03 a 03-04) = 42.000 x 6/365 x 0,01 = 6,90 Intereses (11-04 a 30-04) = 17.000 x 19/365 x 0,01 = 8,85 -------Total 24,30

Cálculo de los números comerciales deudores: (5) 6.000 x 10 = 60.000 (6) 3.000 x 8 = 24.000 --------Total 84.000 Cálculo de los intereses deudores:

Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete):

Cálculo de retenciones sobre los intereses acreedores (rendimiento de capital mobiliario): 15% x 24,30 = 3,65 Cálculo de comisión sobre mayor descubierto: La comisión se calcula sobre los saldos en fecha operación, no en fecha valor. Por tanto, para ver si procede ésta habrá que ordenar los movimientos según se han producido realmente (fecha operación).

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48

Fecha operac. 14-03 14-03 27-03 30-03 10-04

Concepto Letra a s/cargo Ingreso efectivo Transferencia s/f Recibo luz Entrega efectivo

Cuantía 6.000 30.000 18.000 45.000 20.000

30-04

Signo Saldos Signo Días D H H D H

6.000 24.000 42.000 3.000 17.000

D H H D H

0 13 6 8 19 46

Se podrá cobrar una comisión sobre el mayor descubierto en fecha operación (en el supuesto de que ocurriera más de uno durante el período liquidado). Estando prohibidas las comisiones de apertura y similares en los descubiertos en cuenta corriente por valoración. Así pues, de acuerdo con las fechas operación, sólo se ha producido un descubierto provocado por el pago del recibo de la luz el 30 de marzo por importe de 3.000 sobre el que se aplicará el 2% establecido: 2% x? 3.000 = 60 Saldo después de la liquidación: + 17.000 + 24,30 – 27,62 – 3,65 – 60 = + 16.933,03

5. Crédito bancario: la póliza de crédito Difícil es encontrar una empresa que no disponga de al menos una póliza de crédito contratada con una entidad financiera. Y ello es porque al mismo tiempo que como instrumento de financiación (la más usada) es la vía a través del cual se articula gran parte de los cobros y pagos de la actividad ordinaria. En primer lugar, conviene diferenciar el crédito frente al conocido préstamo bancario. La diferencia está básicamente en dos puntos: 

El crédito permite la disposición gradual de las cantidades necesarias, en la cuantía y por el tiempo que se desee. Mientras que en el préstamo se dispone de una sola vez de toda la cantidad prestada.



En la póliza se paga por la cantidad dispuesta y en función del tiempo de disposición. Por el contrario, en el préstamo se paga por el total aunque no se haya usado.

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49

Los créditos se formalizan en una póliza en la que se establecen las condiciones de funcionamiento: límite del crédito, tipo de interés, comisiones, frecuencia de liquidación, etc., instrumentándose a través de una cuenta bancaria que funciona y se liquida de forma parecida a las cuentas corrientes y que permite cuantificar cómo se ha usado el dinero del banco y, en consecuencia, calcular el coste de la operación. 5.1. COSTOS DERIVADOS DEL USO DE UNA PÓLIZA DE CRÉDITO Intereses: calculados sobre los diferentes saldos vigentes, en función del tiempo de su vigencia y del tipo contratado: 

Intereses deudores (o normales), por aquella parte del crédito que se haya dispuesto, siempre que no haya superado el límite contratado.



Intereses excedidos, por aquella parte dispuesta por encima del límite de crédito acordado.

Comisión de apertura: en función del límite de crédito concedido (cuantía que, en principio, podemos disponer como máximo), pagadera de una sola vez al principio. Comisión de disponibilidad: en función del saldo medio no dispuesto, es lo que hay que pagar por la parte del crédito contratado (límite) y no utilizado. Comisión de excedido: sobre el mayor saldo excedido, es decir, sobre la parte utilizada por encima del límite del crédito. Se habla de comisión sobre el mayor saldo excedido, porque solamente se podrá cobrar una comisión de excedido por cada período de liquidación, por lo que calculará sobre el mayor habido en dicho intervalo de tiempo. 5.2. LIQUIDACIÓN DE LA CUENTA DE CRÉDITO La liquidación de estas cuentas se lleva a cabo por el método hamburgués, sistema que realiza los cálculos a partir de los saldos que va arrojando la cuenta a medida que se registran, por orden cronológico, los movimientos que se vayan produciendo. Los pasos para la liquidación son: 1. Cálculo del saldo de la cuenta cada vez que se realiza un nuevo movimiento. 2. Hallar los días que cada saldo está vigente. 3. Cálculo de los números comerciales, multiplicando cada saldo por los días que está vigente, clasificando los números a su vez en: deudores, excedidos y acreedores, según que los saldos sean deudores, excedidos o acreedores, respectivamente. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

50

Esto debe hacerse así porque después se aplica distinto tanto de interés al saldo deudor de los saldos excedidos del crédito (los que superan el límite contratado), así como a los saldos acreedores (a favor del cliente), aunque tal situación no es muy frecuente. 4. La suma de números deudores, excedidos y acreedores. 5. Cálculo de los intereses, que serán: Intereses

deudores

=

Números

deudores

Intereses

excedidos

=

Números

excedidos

Intereses

acreedores

=

Números

acreedores

x x x

Multiplicador

deudor

Multiplicador

excedido

Multiplicador

acreedor

El multiplicador fijo es el cociente entre el tipo de interés a aplicar (en tanto por uno)

y

el

número

de

días

que

tiene

un

año

(360

ó

365).

Una vez calculados los intereses, se cargarán en cuenta los deudores y los excedidos y se abonarán los intereses acreedores. 6. Se calculan y se cargan en cuenta: La comisión sobre saldo medio no dispuesto, teniendo en cuenta que: Saldo medio no dispuesto = Límite de crédito – Saldo medio dispuesto siendo: Suma de números deudores Saldo medio dispuesto = ------------------------------------Días que dura el crédito

7. La comisión sobre el saldo mayor excedido. 8. Por último se halla el saldo a cuenta nueva como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. EJEMPLO 20 El señor don Javier Casal de Blas ha contratado con su banco una póliza de crédito en las siguientes condiciones: 

Límite de crédito: 20.000 u.m.



Interés deudor (dentro del crédito concedido): 10%



Interés excedido: 22%

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51



Interés acreedor: 1%



Comisión de disponibilidad: 5‰ trimestral



Comisión por máximo excedido: 1‰ trimestral



Liquidación por trimestres vencidos.

A lo largo del primer período de liquidación se han producido los siguientes movimientos: 15-04 Concesión de la póliza. Cargo de 400 u.m. por comisiones. 20-04 Pago de una factura de 5.000 u.m. 10-05 Pago de un talón de 10.000 u.m. A lo largo del segundo período de liquidación se han producido los siguientes movimientos: 08-08 Pago facturas varias 6.000 u.m. 16-09 Ingreso en efectivo de 22.000 u.m. A partir de estos datos se realizarán las siguientes liquidaciones: Liquidación del período 15-04 al 15-07.

Fecha Concepto Cuantía Signo Saldo Signo Días

Números deudores

Comisión aper. 15-04 Pago 20-04 factura 10-05 Pago talón

5 20 66

2.000 108.000 1.016.400

91

1.126.400

400 5.000 10.000

D D D

400 5.400 15.400

D D D

15-07

Números excedidos

Números acreedores

Cálculo de los números comerciales deudores: 2.000 400 x 5 = 108.000 5.400 x 20 = 1.016.400 15.400 x 66 = ------------Total

1.126.400

Cálculo de los intereses deudores:

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52

Cálculo de la comisión de disponibilidad:

Saldo medio no dispuesto = 20.000 – 12.378,02 = 7.621,98 Comisión por disponibilidad = 0,005 x 7.621,98 = 38,11 Saldo después de la liquidación: – 15.400 – 312,89 – 38,11 = – 15.751,00 Liquidación del período 15-07 al 15-10 Fecha

Concepto

Cuantía Signo Saldo Signo Días

Liquidación 15-07 Pago 351 08-08 factura 6.000 16-09 Ingreso 22.000 efectivo

D D H

15.751 21.751 249

D D H

15-10 Cálculo números deudores

24 39 29

378.024 780.000

68.289

92

1.158.024

68.289

Cálculo números excedidos

15.751 x 24 = 378.024 1.751 20.000 x 39 = 780.000 ----------------------------Total

Números Números Números deudores excedidos acreedores

x

39

=

68.289 249

7.221

7.221

Cálculo números acreedores x

29

=

7.221

1.158.024

Cálculo de los intereses

Cálculo de la comisión de disponibilidad

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Saldo medio no dispuesto = 20.000 – 12.587,22 = 7.412,78 Comisión por disponibilidad = 0,005 x 7.412,78 = 37,06 Cálculo de la comisión por máximo excedido: Comisión por único excedido = 0,001 x 1.751,00 = 1,75 Saldo después de la liquidación: + 249 – 321,67 – 41,73 + 0,20 – 37,06 – 1,75 = – 153,01

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54

CAPÍTULO 2. Capitalización compuesta. Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores). 1. Capitalización compuesta 1.1. CONCEPTO Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta. 1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n), pudiéndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido. 1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses son productivos, lo que significa que: 

A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes.



Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.

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55

Gráficamente para una operación de tres períodos:

1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente: Momento 0: C0 Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i) Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) = = C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2 Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) = = C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3 … Momento n: Cn = C0 x (1 + i)n

Expresión que permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación. Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. En caso contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período. A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante. EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 200 u.m. al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

56

C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 u.m. Si se hubiese calculado en simple: C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 u.m. La diferencia entre los dos montantes (25,78 u.m.) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final. 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma: Cn = C0 x (1 + i)n de donde se despeja C0:

EJEMPLO 2 ¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 u.m. para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?

1.500 C0 = ----------------- = 1.334,99 u.m. (1 + 0,06)2

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57

1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos: In = Cn – C0 EJEMPLO 3 ¿Qué intereses producirán 300 u.m. invertidos 4 años al 7% compuesto anual? 300 I4?

C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 u.m. In = 393,24 – 300 = 93,24 u.m. 1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida. Cn = C0 x (1 + i)n Los pasos a seguir son los siguientes: 

Pasar el C0 al primer miembro: Cn ---- = (1 + i)n C0



Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):

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58



Despejar el tipo de interés:

EJEMPLO 4 Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 u.m. para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 u.m.

1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03

1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida. 

Punto de partida:

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59



Pasar el C0 al primer miembro:



Extraemos logaritmos a ambos miembros:



Aplicamos propiedades de los logaritmos:



Despejar la duración:

EJEMPLO 5 Un capital de 2.000 u.m. colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 u.m. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202 log Cn – log C0 log 3.202 – log 2.000 n = ---------------------- = ------------------------------ = 12 años log (1 + i) log 1,04

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60

1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 u.m. colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 años, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada período en un caso y otro: Años

1

2

3

4

5

6

En simple.......... 1.100,00 1.200,00 1.300,00 1.400,00 1.500,00 1.600,00 En compuesta... 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51 1.771,56 Donde se observa que el montante obtenido en régimen de simple va aumentando linealmente, cada año aumentan 100 u.m. (los intereses del año, generados siempre por el capital inicial de 1.000 u.m.). Por su parte, en la operación en compuesta, cada año se van generando más intereses que en el período anterior: la evolución no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada año mayor (los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes). Gráficamente:

Transcurrido un período (1 año si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos regímenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores. De la misma forma, se cumple que para períodos inferiores al año el montante es mayor en régimen de simple y, a partir del año, es mayor en compuesta. Éste es el motivo de la preferencia de la capitalización simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

61

2. Tantos equivalentes La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión: i = ik x k Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado. Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 u.m. durante 1 año en las siguientes condiciones: 1. Interés anual del 12% Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00 2. Interés semestral del 6% Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60 3. Interés trimestral del 3% Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51 Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos. 2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relación: 1 + i = (1 + ik)k donde k es la frecuencia de capitalización, que indica: 

El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año).



Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se acumulan los intereses, dentro del período, al capital para producir nuevos intereses.

Esta relación se obtiene a partir de la definición de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado período de tiempo (n años) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulación de intereses (i o ik): Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido será:

Cn = C0 x (1 + i)n Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido será:

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Cn = C0 x (1 + ik)nk Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación es la misma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses–, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes: C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n: C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk Quedando finalmente: (1 + i ) = (1 + ik)k Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes. El valor de i en función de ik será: i = (1 + ik)k – 1 El valor de ik en función de i será: ik = (1 + i)1/k – 1

EJEMPLO 6 Determinar el montante resultante de invertir 1.000 u.m. durante 1 año a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo: 1. Devengo anual de intereses: i = 0,12 Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00 u.m. 2. Devengo semestral de intereses: Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de cálculo es semestral, habrá que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para después calcular el montante. i2 = (1 + 0,12)1/2 – 1 = 0,05830 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00 u.m. 3. Devengo trimestral de intereses: Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido. i4 = (1 + 0,12)1/4 – 1 = 0,028737 Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00 u.m. Los resultados son los mismos, debido a la utilización de intereses equivalentes. 3. Tanto nominal (Jk) Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unidad habitual (en años) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal. El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización k por el tanto k-esimal: Jk = ik x k Expresión pensada para pasar fácilmente de un tanto referido al año (el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional. Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (también conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de él se obtienen tantos efectivos con los que sí se harán los cálculos necesarios. A continuación se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales. Tabla de conversión de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE) La fórmula de cálculo es: i = (1 + ik)k – 1 = (1 + Jk/k)k – 1

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Frecuencia de capitalización k=1

k=2

k=4

k = 12

Interés nominal

Anual

Semestral Trimestral Mensual

8%

8,000%

8,160%

8,243%

8,300%

9%

9,000%

9,202%

9,308%

9,381%

10%

10,000% 10,250%

10,381%

10,471%

11%

11,000% 11,303%

11,462%

11,572%

12%

12,000% 12,360%

12,551%

12,683%

El tipo de interés efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal está calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y sólo en ésa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habrá que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie. Tabla de conversión de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos nominales La fórmula de cálculo es: Jk = ik x k = [(1 + i)1/k – 1] x k Frecuencia de capitalización k=1

k=2

k=4

k = 12

Interés efectivo anual

Anual

8%

8,000%

7,846%

7,771%

7,721%

9%

9,000%

8,806%

8,711%

8,649%

10%

10,000%

9,762%

9,645%

9,569%

11%

11,000% 10,713%

10,573%

10,482%

12%

12,000% 11,660%

11,495%

11,387%

Semestral Trimestral Mensual

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El tipo de interés nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, éste deberá ser diferente en función de la frecuencia de capitalización para la cual se haya calculado. 4. Descuento compuesto 4.1. CONCEPTO Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización. 4.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses son productivos, lo que significa que: 

A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto.



Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al tanto de interés vigente en dicho período.

En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Al igual que ocurría en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, según cuál sea el capital que se considera en el cómputo de los intereses que se generan en la operación: 

Descuento racional.



Descuento comercial.

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4.3. DESCUENTO RACIONAL Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un período el capital al inicio de dicho período, utilizando el tipo de interés vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente: Gráficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue: Período n: Cn Período n–1: Cn-1 = Cn – In = Cn – Cn-1 x i Cn-1 x (1 + i) = Cn Cn Cn-1 = ------------(1 + i) Período n–2: Cn-2 = Cn-1 – In-1 = Cn-1 – Cn-2 x i Cn-2 x (1 + i) = Cn-1 Cn-1

Cn

Cn-2 = ------------ = -----------(1 + i)1

(1 + i)2

Período n–3: Cn-3 = Cn-2 – In-2 = Cn-2 – Cn-3 x i Cn-3 x (1 + i) = Cn-2 Cn-2

Cn

Cn-3 = ----------- = ---------(1 + i)1

(1 + i)3

Período 0: C0 = C1 – I1 = C1 – C0 x i C0 x (1 + i) = C1

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C1 Cn C0 = ---------- = -----------1+i (1 + i)n Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro. Se trata de la operación de capitalización compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual. De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la capitalización compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0): C

=

C n ----------

0 (1 + i)n

Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dr), o descuento propiamente dicho:

Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]

EJEMPLO 7 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 u.m. que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto?¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000

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24.000 C0 = -------------- = 20.732,10 u.m. 1,053 Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90 u.m. De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente: Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90 u.m. 4.4. DESCUENTO COMERCIAL En este caso se considera generador de los intereses de un período el capital al final de dicho período, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente: Gráficamente:

Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue: Período n: Cn Período n-1: Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d) Período n-2: Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) = = Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2 Período n-3: Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) = = Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)3 Período 0: C0 = Cn x (1 - d)n Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dc): Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 d)n]

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Se desea anticipar un capital de 10.000 u.m. que vence dentro de 5 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?

C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90 u.m. Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10 u.m. De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente: Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10 u.m. 4.5. TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados serán diferentes según se realice por un procedimiento u otro. Sería conveniente encontrar la relación que deben guardar los tantos de interés y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipación fuera el mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relación de equivalencia entre tantos de descuento y de interés. Esta relación de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos Dr = Dc, por tanto:

simplificando, dividiendo por Cn:

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Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por – 1: 1 ---------- = (1 - d)n (1 + i)n Finalmente, extrayendo raíz n a la ecuación, queda la relación de equivalencia buscada: 1 1 – d = -------1+i El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i será: i d = --------1+i Análogamente, encontraremos un tipo de interés equivalente a un d: d i = --------1–d Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duración de la operación. Por tanto, se cumple que para un tanto de interés solamente habrá un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operación. EJEMPLO 9 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 u.m. que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta…? 1.er caso: a un tipo de interés del 5% anual compuesto (descuento racional): C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000 24.000 C0 = -------------- = 20.732,10 u.m. 1,053 2.º caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial): C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00 u.m. Por tanto, aplicando un tipo de interés y de descuento idénticos los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipación. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Para conseguir el mismo resultado habría que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de interés mediante la relación de equivalencia: 0,05 d = ------------ = 0,047619 1 + 0,05 Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado será: C0 = 24.000 x (1 – 0,047619)3 = 20.732,10 u.m. 5. Equivalencia de capitales en compuesta Para comprobar si dos o más capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales. El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o más capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos. Ya vimos en las operaciones en simple la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada porque en régimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operación, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca. 5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES La sustitución de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudiéndose plantear los siguientes casos posibles: 5.1.1. Determinación del capital común Es la cuantía C de un capital único que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.

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5.1.2. Determinación del vencimiento común Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir:

5.1.3. Determinación del vencimiento medio Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: C = C1 + C2 + ... + Cn EJEMPLO 10 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 u.m. con vencimientos a los 6, 8 y 10 años, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 años. Se pide: Calcular el importe a pagar en ese momento si la operación se concierta al 8% de interés compuesto anual. 1.er caso: fecha de estudio en 0:

2.000

4.000

5.000

C

----------- + ---------- + ----------- = --------1,086

1,088

1,0810

1,089

resultando: C = 11.469,05 u.m. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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2.º caso: fecha de estudio en 9:

5.000 2.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C 1,08 resultando: C = 11.469,05 u.m. EJEMPLO 11 Un señor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 u.m. con vencimientos a 3 y 5 años, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno sólo, acordándose la operación a un tipo de interés del 6%, calcular el momento del cobro único en los siguientes supuestos: 1.º La cuantía a recibir fuera de 12.000 u.m. 2.º La cuantía a recibir fuera de 13.000 u.m. 1.er caso: vencimiento común

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5.000

8.000

12.000

----------- + ----------- = ----------1,063

1,065

1,06t 12.000

4.198,10 + 5.978,07 = ---------1,06t 12.000 10.176,17 = ----------1,06t 12.000 t

1,06 = ---------------10.176,17 12.000 log ---------------10.176,17 0,071597 t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 años log 1,06

0,025306

2.º caso: vencimiento medio

5.000

8.000

13.000

---------- + --------- = -----------1,063

1,065

1,06t

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13.000 10.176,17 = ----------1,06t 13.000 log ---------------10.176,17

0,106359

t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 años log 1,06

0,025306

Nota. En compuesta no se puede aplicar la fórmula vista en régimen de simple para el cálculo del vencimiento medio: C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn t = vencimiento medio = -------------------------------------------C1 + C2 + ... + Cn

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CAPÍTULO 3. Rentas 1. Rentas Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de un capital único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo, hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, ... En todas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora. Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea de desplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas «fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez. 1.1. CONCEPTO La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos: 

Existencia de varios capitales, al menos dos.



Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

1.2. ELEMENTOS 

Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta.



Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.



Final: momento en el que termina de devengarse el último capital.



Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta.



Término: cada uno de los capitales que componen la renta.



Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.



Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

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Gráficamente:

1.3. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t (Vt) Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t. Casos particulares Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero. Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n. 1.4. CLASES 1.4.1. Según la cuantía de los términos 

Constante: cuando todos los capitales son iguales.



Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir: 

Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente.



Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden.



En progresión geométrica.



En progresión aritmética.

1.4.2. Según el número de términos 

Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales.



Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales.

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1.4.3. Según el vencimiento del término 

Pospagable: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo.



Prepagable: los capitales se sitúan a principio de cada período.

1.4.4. Según el momento de valoración 

Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final.



Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen.



Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.

1.4.5. Según la periodicidad del vencimiento 

Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada.



No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta a la del tanto de valoración.



Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada el tipo de valoración de la renta.

1.4.6. Según la ley financiera 

Simple: emplea una ley financiera a interés simple, para desplazar los capitales.



Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.

Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesario clasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de la combinación que presente habrá que aplicar una u otra, según proceda. A las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el valor actual y final y para ello bastará con recordar la fórmula matemática que permite sumar una serie de términos que varían en progresión geométrica, creciente o decreciente. Estas expresiones son las siguientes: a1- an x r S = -----------------1-r

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fórmula de la suma de n términos en progresión decreciente, an x r - a1 S = ----------------r-1 para el caso de la suma de n términos en progresión creciente, donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón que siguen los términos. 2. Rentas constantes Las rentas de cuantía constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos. 2.1. RENTA CONSTANTE, UNITARIA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta). 2.1.1. Cálculo del valor actual Comenzaremos por la renta constante más fácil, la que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología anùi, donde n representa el número de capitales e i el tanto de valoración: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:

que se puede calcular con la siguiente expresión:

que permite sumar n términos en progresión decreciente, donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí hasta su origen al tanto de interés i. Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual se representa por Anùi y se obtendría de la siguiente forma:

Sacando factor común el término c:

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Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n términos, anùi:

La expresión Anùi indica, pues, que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad. EJEMPLO 1 Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 u.m. cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

Moviendo los capitales uno a uno:

Utilizando la renta:

EJEMPLO 2 Calcular el valor de la imposición que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de interés efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 u.m. al final de cada uno de los próximos 5 años.

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Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposición y los reintegros, aquélla debe coincidir con el valor actualizado de estos últimos. Así, la imposición inicial será el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operación.

2.1.2. Cálculo del valor final Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal –n capitales–, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los términos de la renta en su final (momento n), quedando gráficamente así:

Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminología snùi siendo n el número de capitales e i el tanto de valoración:

Que no es sino la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresión:

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donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:

Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoración:

por tanto el valor final de la renta será la capitalización de su valor actual. Comprobación:

En el supuesto de ser los términos de cuantía c, el valor final (Snùi) se calculará así:

Simplificando, tomando factor común el término c:

Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n términos, pospagable, inmediata y entera, snùi:

Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:

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EJEMPLO 3 Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 u.m. cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

Desplazando los capitales uno a uno: V3 = 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331 u.m. Utilizando la renta:

Capitalizando el valor actual: V3 = 248,69 x (1 + 0,1)3 = 331 u.m. EJEMPLO 4 Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 años, si imponemos al final de cada uno de ellos 20.000 u.m. siendo el tipo de interés de la cuenta el 12% efectivo anual. El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de interés de la propia cuenta.

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EJEMPLO 5 Calcular el número de ingresos de 25.000 u.m. que tenemos que realizar al final de cada año para reunir 209.845,94 u.m. en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual. En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.

y mediante logaritmos se despeja la incógnita n:

2.2. RENTAS PREPAGABLES Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un número determinado de capitales), prepagable (los términos vencen al principio del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tipo de interés están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).

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2.2.1. Cálculo del valor actual Comenzaremos por la renta constante que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen se obtiene el valor actual que notaremos por änùi:

que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:

que se puede calcular con la siguiente expresión:

Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

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expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí hasta su origen, al tanto de interés i. Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por separado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto de capitales (n – 1) como renta pospagable inmediata:

Para rentas constantes cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual (Änùi) se obtiene valorando en el origen cada uno de esos capitales:

Sacando factor común c:

Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, prepagable, inmediata y entera, änùi:

La expresión Änùi indica que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad.

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Nota: los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un período las rentas pospagables.

EJEMPLO 6 Calcular el valor actual y final de una renta de tres términos anuales situados a principios del año de 100 u,m, cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual. • Valor actual

Moviendo los capitales uno a uno:

Utilizando la renta:

• Valor final

Moviendo los capitales uno a uno: V3= 100 x (1 + 0,1)3+ 100 x (1 + 0,1)2+ 100 x (1 + 0,1) = 364,10 u.m. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Utilizando la renta:

Capitalizando el valor actual: V3 = 273,55 x (1 + 0,1)3 = 364,10 u.m. 2.3. RENTAS PERPETUAS Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas sólo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc. El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de capitales (n) trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y por tanto, el número de capitales) tiende a infinito. En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera: • Renta unitaria:

• Renta no unitaria: Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

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En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable. • Renta unitaria:

• Renta no unitaria:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 u.m. si el tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos: a) Si los capitales son pospagables. b) Si los capitales son prepagables.

a) Pospagables:

b) Prepagables:

2.4. RENTAS DIFERIDAS Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta. Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido. Gráficamente quedaría: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:

Sacando factor común:

quedará:

Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n términos), pospagable, inmediata y entera (anùi), que posteriormente se descuenta como un capital único, al mismo tipo (i), durante el período de diferimiento (d). Por tanto, se obtendría el mismo resultado si valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería:

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Analíticamente quedaría así:

Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d/anùi, donde n representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y d, el período de diferimiento. Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad (no unitaria) todo lo dicho seguiría siendo válido y bastaría con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuantía del término.

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la definición de valor final se tratará como una renta inmediata, aunque también se podría obtener dicho valor final a partir del valor actual diferido:

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Vn = V0 x (1 + i)n = Vt x (1 + i)d+n EJEMPLO 8 Calcular el valor actual y final de una renta cuya duración es de 5 años, con términos anuales prepagables de 2.700 u.m. sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 años. Tanto de valoración 11% efectivo anual. Se trata de una renta diferida 3 años, con términos prepagables y 5 términos. • Valor actual:

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• Valor final:

El diferimiento no afecta al valor final, que se podía haber calculado como el de una renta inmediata de 5 términos prepagables:

2.5. RENTAS ANTICIPADAS Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoración se denomina período de anticipación de la renta. Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido.

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Gráficamente quedaría:

Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t: Vn+h = (1 + i)h+ (1 + i)h+1 + (1 + i)h+2+ ... + (1 + i) h+n-1 Sacando factor común (1 + i)h quedará lo siguiente: Vn+h = (1 + i)h x [1 + (1 + i) + (1 + i)2+ ... + (1 + i)n-1] Donde el corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n términos), pospagable, inmediata y entera (snùi), que posteriormente se capitaliza como un capital único, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). Por tanto, si primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, se obtendría el mismo resultado.

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Analíticamente quedaría así:

Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h/s nùi, donde n representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y h, el período de anticipación. La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación entre diferentes valores de la renta:

Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuantía diferente a la unidad (no unitarias). EJEMPLO 9 Calcular el valor actual y final de una renta de 3 términos anuales de 1.000 u.m. pagaderos por vencido si la valoración al 7% anual se efectúa a los 8 años de comenzada la renta. Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoración se realiza 5 años después de haberse hecho efectivo el último capital. No obstante, la anticipación no afecta al valor actual que se resolverá como una renta inmediata.

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• Valor actual:

• Valor final:

también: V8 = V0 x (1 + 0,07)8 = 2.624,32 x (1 + 0,07)8 = 4.509,06 u.m. 3. Rentas variables en progresión geométrica Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuantías son variables siguiendo una ley en progresión geométrica, esto es, cada término es el anterior multiplicado por un mismo número (que se denomina razón de la progresión geométrica) y que notaremos por q. Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión (q). 3.1.

RENTA

VARIABLE

EN

PROGRESIÓN

GEOMÉTRICA,

TEMPORAL,

POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta variable (términos que siguen una progresión geométrica), temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta). Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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3.1.1. Cálculo del valor actual La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen, obteniéndose el valor actual, que se nota con la siguiente terminología: A(c; q) nùi, expresión que recoge la información de la renta (n términos al tanto i) y también datos de la progresión que siguen los capitales (primer término –c– y razón de la progresión –q–):

Sacando factor común: c ---------(1 + i) se obtiene:

donde el corchete es la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón: q r = -------1+i

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Aplicando la expresión que suma términos que siguen esta ley: a1 – an x r S = --------------------1–r siendo a1 el primer término de la progresión, an, el último término y r, la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el valor actual de la renta queda de la siguiente forma:

de donde finalmente se puede obtener:

expresión que solamente se podrá utilizar cuando q ≠ 1 + i. Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresión del valor actual quedará de la siguiente forma:

sacando factor común:

El corchete, al simplificarse, no es más que la suma aritmética de n veces la unidad, quedando el valor actual así:

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101

3.1.2. Cálculo del valor final A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relación que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.

EJEMPLO 10 Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer año va a ganar 20.000 u.m. y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal de 4 años. a) Suponiendo una tasa de valoración del 7%. b) Suponiendo una tasa de valoración del 5%.

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a) Valorando al 7%:

b) Valorando al 5%:

Nota. A idénticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de estudio.

3.2. RENTAS PREPAGABLES Para una renta variable con términos en progresión geométrica, temporal (n capitales), pospagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representación gráfica queda de la siguiente forma:

3.2.1. Cálculo del valor actual Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital, que ya está en el origen y el resto de capitales, n–1, como renta pospagable inmediata de n–1 términos:

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Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos.

3.2.2. Cálculo del valor final Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.

3.3. RENTAS PERPETUAS El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como las demás rentas perpetuas, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito:

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resultando finalmente que el límite, y por tanto el resultado del valor actual, está en función de la relación existente entre el valor de la razón de la progresión (q) y (1 + i), y sólo tendrá sentido financiero cuando q < 1 + i, quedando el siguiente valor actual:

3.4. RENTAS DIFERIDAS Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta. Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería:

El resultado final quedaría así:

El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en una renta inmediata.

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3.5. RENTAS ANTICIPADAS Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el período de anticipación de la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoración. Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). También se podrá valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado.

El resultado será:

La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:

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Vn

Vn+h

V0 = --------------- = ---------------(1 + i)n

(1 + i)n+h

EJEMPLO 11 Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15 semestres si para el primer período ascienden a 500 u.m. y se estima un incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteniéndose constante a partir de entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo semestral. Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería aleatoria. Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros términos (renta en progresión geométrica inmediata) y a continuación los 5 últimos (renta constante y diferida), podremos emplear fórmulas de rentas. Así:

4. Rentas variables en progresión aritmética Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías van variando y lo hacen siguiendo una ley en progresión aritmética, esto es, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en una misma cuantía (que se denomina razón de la progresión aritmética) y que notaremos por d, siempre expresada en unidades monetarias.

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Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión (d). 4.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta variable en progresión aritmética, temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). 4.1.1. Cálculo del valor actual La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología A(c; d) nùi, expresión que además de recoger la información de la renta, recoge la información de la progresión (c; d):

de donde finalmente se puede obtener la siguiente expresión:

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que se puede convertir en esta otra fórmula de cálculo:

Nota: se ha prescindido del desarrollo matemático de esta demostración, reflejando el resultado final del mismo.

4.1.2. Cálculo del valor final A partir del valor actual se podrá calcular cualquier otro valor financiero, utilizando la relación que existe entre los diferentes valores financieros en los distintos momentos de tiempo: Valor final:

EJEMPLO 12 Hallar el valor actual y final de una corriente de gastos anuales vencidos de un negocio que el primer año van a ser 2.000 u.m. y se espera que aumenten 100 u.m. cada año, suponiendo una tasa de valoración del 7% y para un horizonte temporal de 4 años.

• Valor actual:

• Valor final:

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Nota: a idénticos resultados se hubiera llegado si valoramos uno a uno los capitales en la fecha de estudio.

4.2. RENTAS PREPAGABLES En este caso, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o final (según proceda) de la renta pospagable.

4.3. RENTAS PERPETUAS El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como para cualquier renta perpetua, a través del límite cuando la duración (n) tiende a infinito:

resultando finalmente:

Todas las fórmulas se han desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 0), es decir, que los términos van aumentando, aunque siguen siendo válidas para el caso contrario, bastaría con cambiar el signo de la razón (d) en las fórmulas. 4.4. RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS Serán diferidas cuando se valoran con anterioridad a su origen y anticipadas cuando se valoran después de su final.

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Como en cualquier otro tipo de renta, se pueden establecer relaciones entre diferentes valores de la renta. Así:

Vn

Vn+h

V0 = ------------ = -------------(1 + i)n

(1 + i)n+h

5. Rentas fraccionadas El fraccionamiento de las rentas consiste en dividir cada período de varios sub-períodos (k) asociando a cada subperíodo un capital. Por tanto, el fraccionamiento de una renta de n períodos la transforma en otra de n x k términos referidos a otros tantos subperíodos. A la hora de estudiar este tipo de rentas distinguiremos entre: 

Rentas fraccionadas constantes.



Rentas fraccionadas en progresión geométrica.



Rentas fraccionadas en progresión aritmética.

Todas las fórmulas vistas hasta ahora son válidas para rentas enteras, ya fueran constantes o variables. Pero, ¿servirán para cuando la renta es fraccionada? La respuesta es afirmativa, siempre que se hagan los ajustes previos para convertirlas en rentas enteras. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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5.1. RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES Son aquellas en las que la unidad de tiempo en la que viene expresado el tanto de interés de la renta es mayor que el tiempo del término, cualquiera que sea una y otra. Para resolver este tipo de rentas fraccionadas se puede proceder de dos formas distintas, que lógicamente llegan al mismo resultado final: 

Utilizando el tanto equivalente.



Utilizando el factor de transformación (o de conversión).

5.1.1. Método del tanto equivalente Se trata de transformar el tipo de interés del problema en otro equivalente en la misma unidad de tiempo que los capitales de la renta. 5.1.1.1. Rentas fraccionadas pospagables Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del período), la representación gráfica será:

En primer lugar, a partir del tipo de interés i se calcula el tanto equivalente que venga expresado en la unidad de los capitales (k-ésimos), para ello utilizaremos la relación de tantos equivalentes en compuesta: ik = (1 + i)1/k – 1 Resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), pospagable, inmediata y entera (al tanto ik):

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Si queremos calcular el valor actual se deberían actualizar a un tanto ik todos los capitales:

Finalmente:

Para el caso de renta perpetua:

El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al tanto ik, quedará de la siguiente forma:

o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:

EJEMPLO 13 Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 u.m. trimestrales pospagables. Al venir el tipo de la renta en años y los términos en trimestres, la renta es fraccionada. Teniendo otras características: constante, temporal (20 términos trimestrales), pospagable e inmediata.

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113

Para su cálculo se convierte el tipo anual en un tipo trimestral equivalente, tratándose como una renta entera.

5.1.1.2. Rentas fraccionadas prepagables Si seguimos la renta del caso anterior, pero introduciendo un único cambio consistente en que los capitales se sitúan al principio de cada subperíodo, la situación queda así:

resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), prepagable, inmediata y entera (al tanto ik):

El valor actual se calcula actualizando a un tanto ik todos los capitales:

Finalmente:

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114

Para el caso de renta perpetua:

El valor final se calculará, a partir de los términos de la renta, uno a uno hasta el final de la renta al tanto ik:

o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:

5.1.2. Método del factor de transformación En este caso se trata de emplear los datos del problema y la información complementaria que se suministraría. En principio, lo normal será contar con tablas de valores actuales unitarios (anùi) , y de tantos nominales [Jk (i)], referidos al tanto i del supuesto. Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del período). La representación gráfica será:

Para el cálculo del valor actual partimos de la expresión empleada anteriormente con el método del tanto equivalente:

Pero ahora, en lugar de utilizar el tanto ik y trabajar con una renta de n x k términos, vamos a tener en cuenta las siguientes expresiones:

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• La relación de tantos equivalentes en compuesta: (1 + i) = (1 + ik)k que generalizando para n períodos y elevando ambos miembros a (–1), queda: (1 + i)-n = (1 + ik)-n x k • El tanto nominal equivalente al tipo efectivo i: Jk (i) que nos permite conocer ik a partir del nominal: Jk (i) ik = ----------k sustituyendo estos cambios en el valor actual de partida queda: 1 – (1 + i)-n

1 – (1 + i)-n

V0 = c x ------------------- = c x k x -------------------Jk (i)

Jk (i) --------k

Si multiplicamos y dividimos el segundo miembro por i:

simplificando, queda:

siendo el cociente: i ----------Jk (i) el denominado factor de transformación.

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Al mismo resultado se hubiera llegado si sustituimos los k términos de un período por un único capital equivalente expresado en la unidad del tanto i y repitiendo esa operación para el resto de períodos se habrá convertido la renta en entera (tanto de valoración y términos de la renta en la misma unidad de tiempo –en la unidad del tipo de interés de partida–). Este capital equivalente puede tomarse al final del período (pospagable) o al principio (prepagable), sin que eso afecte al resultado final. Así, si el capital equivalente se considera pospagable, será el valor final de la renta formada por los k términos fraccionados constantes llevados al final de período:

Una vez calculado X, se trataría de actualizar una renta constante, de n términos de cuantía X, pospagable y entera.

Para el caso de renta perpetua:

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El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al tanto ik:

o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:

Para rentas prepagables:

EJEMPLO 14 Se trata de resolver el ejemplo anterior a través del factor de transformación, por tanto, se pide el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto de valoración el 7%

efectivo

anual

y

sus

términos

de

850

u.m.

trimestrales

pospagables.

Contamos con la siguiente información adicional:

EJEMPLO 15 Determinar el valor actual de una renta perpetua, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 u.m. trimestrales prepagables. Se dispone, como información adicional, del tanto nominal trimestral equivalente al 7% efectivo anual: J4 (0,07) = 0,0682341. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Es una renta constante, perpetua, prepagable, inmediata y fraccionada (tanto de valoración anual y términos trimestrales).

5.2. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Son aquellas en las que los términos siguen una progresión pero la razón de la variación se produce en una unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen dados los capitales, cualquiera que sea el tipo de interés de la renta. Por ejemplo, el caso de la renta formada por las nóminas de un individuo que cobra mensualmente y tiene subidas salariales anuales calculadas sobre el sueldo del año anterior: los sueldos varían anualmente pero se mantienen constantes dentro del año.

Conviene recordar que las fórmulas de las rentas en geométrica utilizadas sólo se pueden aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad (obligatoriamente la de la razón, para que haya progresión). Por tanto, el ejemplo anterior (y cualquier caso parecido) no se podría resolver aplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión geométrica sin más. Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce la variación de los capitales (la unidad de la razón), lo que supondrá transformar, si es necesario, el tanto de valoración del problema (a través de la expresión de tantos equivalentes en compuesta). Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienen Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

119

constantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período a otro (en el caso del ejemplo anterior, los sueldos se mantienen constantes dentro del año y varían de un año para otro), y de la misma manera que se cambia el tipo de interés, se deberán sustituir los términos por otros equivalentes en la unidad de la razón de la progresión. En el ejemplo de partida, la situación quedará gráficamente como sigue:

Se calculan términos anuales equivalentes a los términos constantes k-esimales:

No obstante, bastará con obtener el primero de ellos, porque según se observa los demás varían en progresión con la razón de partida (q). Con carácter más general, una renta variable en progresión geométrica de razón q, con términos k fraccionados, pospagables, temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la representación será la siguiente:

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120

El cálculo del primer término equivalente c1 será:

y a continuación se tratará como una renta en progresión geométrica entera. 5.2.1. Valor actual

Si se quiere emplear una terminología en la que se aprecie el fraccionamiento, la expresión del valor actual queda así:

Siendo: k: la frecuencia de fraccionamiento. b x k: la suma aritmética de los capitales del primer período de la renta. q: la razón de la progresión. n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón). i: el tipo de interés en la unidad de tiempo de la razón. A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta. 5.2.2. Valor final

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121

5.2.3. Prepagable

Es importante resaltar el hecho de que en las rentas prepagables, cuando se convierten en pospagables multiplicando por (1 + tipo de interés) habrá que hacerlo con el tanto en el que vienen los capitales (1 + ik). 5.2.4. Perpetua

EJEMPLO 16 Calcular el valor actual de la siguiente renta: 

Duración: 3 años.



Términos semestrales vencidos de 1.000 u.m. durante el primer año.



Aumento anual acumulativo de los términos de un 10%.



Tanto de valoración del 8% efectivo anual.

Se trata de una renta variable en progresión geométrica (aumento de tipo acumulativo) por años, con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata.

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122

• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:

• Cálculo del valor actual empleando el término equivalente:

• Cálculo del valor final:

5.3. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Al igual que en el caso de las geométricas fraccionadas, los términos varían, en este caso de forma lineal (aumento/disminución constante), produciéndose la variación con una unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen los capitales, cualquiera que sea el tipo de interés de la renta (por ejemplo, variación anual y capitales semestrales; variación trimestral y capitales mensuales, …). Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Las fórmulas de las rentas en aritmética sólo se pueden aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad (obligatoriamente la de la razón, para que haya progresión). Por tanto, las situaciones anteriores (y cualquier caso parecido) no se podrán resolver aplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión aritmética sin más. Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce la variación de los capitales (la unidad de la razón), lo que supondrá transformar, si es necesario, el tanto de valoración del problema (a través de la expresión de tantos equivalentes en compuesta). Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienen constantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período a otro y de la misma manera que se cambia el tipo de interés, se deberán sustituir los términos por otros equivalentes en la unidad de la razón de la progresión. Para el caso de una renta variable en la que los términos aumentan periódicamente una cantidad d (progresión aritmética de razón d), con términos fraccionados, pospagables, temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la representación será la siguiente:

Calculando el primero de los términos equivalentes (c1):

el resto de términos equivalentes se obtienen a partir del primero, porque varían en progresión aritmética, siendo la razón el valor final de la renta que forma los aumentos constantes (d):

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124

Trabajando en la unidad de variación de los capitales (la de la razón):

5.3.1. Valor actual

Si se quiere emplear una terminología en la que se aprecie el fraccionamiento, la expresión del valor actual queda así:

Siendo: k: la frecuencia de fraccionamiento. b x k: la suma aritmética de los capitales del primer período de la renta. d x k: la suma aritmética de los aumentos de un período respecto a otro (razón de la progresión). n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón). i: el tipo de interés en la unidad de tiempo de la razón. A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

125

5.3.2. Valor final

5.3.3. Prepagable

En las rentas prepagables, cuando se convierten en pospagables multiplicando por (1 + tipo de interés) habrá que hacerlo con el tanto en el que vienen los capitales (1 + ik). 5.3.4. Perpetua

EJEMPLO 17 Calcular el valor actual y final de la siguiente renta: 

Duración: 3 años.



Términos semestrales vencidos de 1.000 u.m. durante el primer año.



Aumento anual de los términos de un 10% sobre las cuantías del primero de ellos.



Tanto de valoración del 8% efectivo anual.

Se trata de una renta variable en progresión aritmética (aumento de tipo lineal) por años, con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata. Gráficamente:

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126

• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:

• Cálculo del valor actual empleando el término equivalente:

• Cálculo del valor final:

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127

6. Rentas continuas Será una renta continua todo conjunto de capitales separados entre sí por períodos infinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas se pueden entender como rentas fraccionadas donde el fraccionamiento tiende a ser infinito dentro de cada período. En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia de fraccionamiento del término sea superior a 12. 6.1. RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y CONTINUA Comenzaremos por la unitaria, tomando como referencia la unidad en la que viene expresado el tanto, y subdividiendo los períodos en infinitos subperíodos.

Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (anù i), el desarrollo es el siguiente:

por otra parte:

aplicando la regla de L'Hopital:

el resultado final es:

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128

Cuando la renta es constante de cuantía c:

Iguales resultados se obtendrían si la renta se considera prepagable, puesto que al ser infinitesimal el subperíodo no hay diferencias entre el inicio y el final del mismo. El cálculo del valor final se obtendría capitalizando el valor actual:

Las rentas perpetuas son aquellas cuya duración tiende a infinito. El valor actual de estas rentas se obtendrá con el concepto matemático del límite, cuando la duración de la renta tiende a infinito.

Cuando la renta es constante de cuantía c:

Conclusión: las rentas continuas, a efectos de cálculo, se pueden considerar como una renta fraccionada con frecuencia de fraccionamiento superior a 12, pudiéndose aplicar todas las fórmulas de las rentas fraccionadas cambiando el Jk (i) por Ln (1 + i).

EJEMPLO 18 Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por una empresa sabiendo que éstos son de 100 u.m. diarios durante 5 años, siendo el tanto de valoración el 12% efectivo anual. Considérese año comercial. Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración (año), se trata en principio de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.

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129

Si se hubiese resuelto como renta fraccionada, a través del tanto equivalente, en cuyo caso habría que calcular el tanto diario a partir del tanto anual de partida, el resultado sería el siguiente:

Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha tenido en cuenta la consideración del límite que las otras expresiones sí que llevan implícitas. 6.2. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Se trata de una renta fraccionada en progresión geométrica con la particularidad de que ahora en lugar de haber un número finito de subperíodos consideraremos infinitos.

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Considerándola temporal e inmediata, la representación gráfica será la siguiente:

El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:

EJEMPLO 19 Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos de una persona, sabiendo que éstos son de 100 u.m. diarios durante 5 años, aumentando de manera acumulativa un 3% cada año, siendo el tanto de valoración el 12% efectivo anual. Considérese año comercial. Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración (año), se trata, en principio, de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.

• Valor actual:

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• Valor final:

No obstante, se podría haber resuelto como renta fraccionada, a través del término anual equivalente:

• Valor actual:

• Valor final:

Como se puede apreciar, al igual que en los ejemplos anteriores, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema. A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta. 6.3. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se trata de una renta fraccionada en progresión aritmética, de razón d, con la particularidad de que ahora en lugar de haber un número finito de subperíodos consideraremos infinitos. Partiendo de una renta temporal e inmediata, cuya representación gráfica es la que sigue, obtendremos el resto de posibles casos que nos podemos encontrar.

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El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:

Siendo D la razón de la progresión aritmética:

A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado. 7. Rentas a interés simple Se trata de valorar un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en un determinado momento pero la duración de la operación no supera el año, por tanto, se trata de operaciones a realizar en régimen de simple. A diferencia de lo que ocurría con las rentas valoradas en régimen de compuesta, en las rentas en simple (que emplean leyes financieras en régimen de simple), por las particularidades de este tipo de leyes, habrá que distinguir a la hora de calcular valores actuales y finales. De hecho, solamente se obtienen expresiones fáciles de emplear cuando los valores actuales se realizan a tipo de descuento y los valores finales a tipo de interés. 7.1. VALOR ACTUAL Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada a un tipo de descuento (d) la situación será:

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133

Aplicando la definición de valor actual empleando descuentos comerciales simples: V0 = c x (1 – d) + c x (1 – 2d) + c x (1 – 3d) + ... + c x (1 – nd) Simplificando: V0 = c x [(1 + 1 + … + 1) – (d + 2d + 3d + … + nd)] Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n términos en progresión aritmética, por tanto:

Si, en cambio, la renta fuera prepagable, manteniéndose las demás características sin cambios, el cálculo será:

Aplicando la definición de valor actual empleando descuentos comerciales simples: V0 = c + c x (1 – d) + c x (1 – 2d) + c x (1 – 3d) + ... + c x [1 – (n – 1) d] Simplificando, igual que en el caso anterior:

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134

Finalmente:

A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores actuales de los n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio. En efecto, para el caso de términos, n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dado por: 1+2+3+…+n Vm = -------------------------n Siendo el numerador la suma de n términos en progresión aritmética que será la semisuma de los extremos por el número de términos, queda: (1 + n) x n --------------2

(1 + n) x n

n+1

Vm = ------------------ = ------------------ = --------n

2n

2

Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un único capital de cuantía c x n:

resultando:

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135

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería: [0 + (n – 1)] x n ---------------------0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1)

2

Vm = ------------------------------------- = ---------------------n (n – 1) x n

n n–1

Vm = ----------------------------- = ------------------2n

2

Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

Obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:

EJEMPLO 20 Calcular el valor actual de la siguiente renta: 

Duración: 1 año.



Términos cuatrimestrales de 100 u.m.



Tipo de descuento: 2% simple cuatrimestral.

a) Suponiendo términos vencidos. b) Suponiendo términos prepagables. a) Términos vencidos:

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136

Desplazando los capitales uno a uno: V0 = 100 x (1 – 0,02) + 100 x (1 – 2 x 0,02) + 100 x (1 – 3 x 0,02) = 288 u.m. Aplicando la fórmula:

b) Términos prepagables:

Desplazando los capitales uno a uno: V0 = 100 + 100 x (1 – 0,02) + 100 x (1 – 2 x 0,02) = 294 u.m. Aplicando la fórmula:

7.2. VALOR FINAL Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera la situación será:

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137

Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple: Vn = c + c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x [1 + (n – 1) i] Simplificando: Vn = c x [(1 + … + 1) + (i + 2i + 3i + … + (n – 1)) i] Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n–1 términos en progresión aritmética (semisuma de los extremos multiplicando por el número de términos), por tanto:

Resultando finalmente:

En el caso de una renta prepagable, manteniéndose sin cambios las demás características:

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138

Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple: Vn = c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x (1 + ni) Simplificando: Vn = c x [(1 + … + 1) + (i + 2i + 3i + … + ni)] Siendo el primer paréntesis n y el segundo la suma de n términos en progresión aritmética i + ni/2 x n, resulta:

Finalmente:

A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores finales de los n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio. En efecto, para el caso de n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dado por: 1+2+3+…+n Vm = -------------------------n Operando en el numerador: (1 + n) x n ---------------2

(1 + n) x n

n+1

Vm = -------------------- = ------------------ = ---------------n

2n

2

Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

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139

Resultando:

En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería: [0 + (n – 1)] x n ---------------------0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1)

2

(n – 1) x n

Vm = ------------------------------------- = -------------------------- = -------------------n

n

2n

n–1 Vm = -------------2 Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:

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obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:

http://www.matematicas-financieras.com/files-matematicas/tablas-interes.pdf

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141

CAPÍTULO 4. Préstamos 1. Concepto de préstamo El préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado) en los vencimientos señalados en el contrato. La operación de amortización consiste en distribuir con periodicidad la devolución del principal (C0), junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del préstamo. Los pagos periódicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de reembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operación de amortización y el de términos amortizativos que suele asignarse a estos pagos. 1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Según la finalidad a la que se destinen los términos amortizativos es posible admitir diversas interpretaciones de amortización, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortización (devolución) del capital inicial: es lo que se denomina «sistema amortizativo» o «sistema de amortización» del préstamo. a) Préstamos amortizables mediante reembolso único del principal al final de la operación. 

Sin pago periódico de intereses: préstamo simple.



Con pago periódico de intereses: sistema americano.

b) Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódicos que constituyan renta, esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortización) con vencimientos periódicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando los términos amortizativos. Según la cuantía de los términos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos: 

Términos amortizativos constantes.



Términos amortizativos variables: – Cuota de amortización constante. – Términos amortizativos variables en progresión geométrica. – Términos amortizativos variables en progresión aritmética.

Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada período. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

142

Estudiando la evolución de la deuda pendiente se observa que ésta crece en el interior de cada uno de los períodos en los que se divide la operación, para disminuir al final de los mismos como consecuencia de la entrega del término amortizativo. Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los períodos: uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminución por el pago del término amortizativo.La suma de estos dos movimientos nos da la variación total de la deuda pendiente al final del período. Esta variación supondrá una disminución de la deuda caso de ser el término amortizativo mayor que los intereses generados en el período y supondrá un incremento de la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de interés mayor que el término amortizativo. En el caso concreto de que la cuantía del término amortizativo coincida con la cuota de interés no habrá variación de la deuda. El gráfico de evolución de la deuda pendiente de un préstamo y los pagos realizados durante tres períodos será el siguiente:

1.2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN FRACCIONADA La terminología utilizada será la siguiente: C0: Importe del préstamo, cantidad financiada. n: Número de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contraída la deuda. i: Tipo de interés efectivo convenido (coste de la financiación). ak: Término amortizativo al final del período k, pago total realizado por el prestatario en cada vencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...). ak = Ik + Ak Ik: Cuota de interés del período k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por el período correspondiente. Ak: Cuota de amortización del período k, cantidad destinada a devolver deuda en cada vencimiento. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Ck: Capital pendiente de amortización en el momento k. También se llama capital vivo, saldo de la operación o reserva matemática. mk: Capital total amortizado al final del período k. 1.3. GENERALIDADES 1. Los intereses de cada período se calculan sobre el capital vivo a principio del período. Ik = Ck-1 x i 2. El parámetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortización (A), e indirectamente el término amortizativo. 3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmética de todas las cuotas de amortización. C0 = A1 + A2 + … + An 4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmética de las cuotas de amortización que queden por amortizar. Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An Aunque también se obtiene por la diferencia entre el importe del préstamo y el total amortizado hasta ese momento. Ck = C0 – (A1 + A1 + … + Ak) = C0 – mk Sin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo más frecuente consiste en fraccionar la devolución de la deuda destinando los términos amortizativos simultáneamente a pagar los intereses devengados en el período y cancelar parte de la deuda pendiente. En estos casos resulta útil recoger en un cuadro el proceso de amortización del capital, reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en los diversos vencimientos de la operación. La denominación será la de cuadro de amortización, y en él vamos a reflejar las cuantías de los términos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de amortización (Ak) correspondientes a cada uno de los períodos, así como las cuantías del capital vivo (Ck) y del capital amortizado (mk) referidos a cada período de la operación.

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144

El cuadro resultante es: Término Períodos amortizativo 0 1 2 … n

– a1 a2

interés Cuota de

Cuota de amortización

Total amortizado

– I1 = C0 x i1 I2 = C1 x i2

– A1 = a1 – I1 A2 = a2 – I2

– m1 = A1 m2 = A1 + A2

Capital vivo

C0 C1 = C0 – A1 C2 = C0 – A1 – A2

EJEMPLO 1 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: 

Importe: 30.000 u.m.



Devolución del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuantía.



Tipo de interés anual del 10%.

Gráficamente, el esquema de pagos de la operación es:

Cuadro de amortización: (5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

13.000,00 12.000,00 11.000,00

3.000,00 2.000,00 1.000,00

10.000,00 10.000,00 10.000,00

10.000,00 20.000,00 30.000,00

Total

36.000,00

6.000,00

30.000,00

Años

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30.000,00 20.000,00 10.000,00

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Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento en pagos iguales del importe del préstamo. (2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo (C0) se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3). (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 2. Reembolso único sin pago periódico de intereses préstamo simple Se trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

Gráficamente:

Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del préstamo más los intereses devengados y acumulados. La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simple como en compuesta.

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EJEMPLO 2 Se solicita el siguiente préstamo simple: 

Capital prestado: 100.000 u.m.



Duración: 3 años.



Interés del 12% anual.

Se pide: Determinar el capital a devolver.

3. Reembolso único con pago periódico de intereses préstamo americano Se trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez. Gráficamente:

Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del préstamo más los intereses devengados y acumulados. La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simple como en compuesta.

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EJEMPLO 2 Se solicita el siguiente préstamo simple: 

Capital prestado: 100.000 u.m.



Duración: 3 años.



Interés del 12% anual.

Se pide: Determinar el capital a devolver.

4. Amortización con términos amortizativos constantes método francés Este sistema de amortización se caracteriza porque: 

Los términos amortizativos permanecen constantes, y



El tanto de valoración permanece constante.

ambos durante toda la vida del préstamo. De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo. Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el préstamo es el siguiente:

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148

Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que se amortiza el préstamo, a el término amortizativo e i el tipo de interés de la operación. 4.1. PASOS A SEGUIR Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del préstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (Ak) y cuota de interés (Ik), así como otros datos como capitales vivos en cada momento (Ck) sobre los que calcular los intereses y el total amortizado (mk). 4.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) Los pagos constantes que se realizan durante la vida del préstamo incorporan, en parte el coste del aplazamiento (cuota de interés), en parte la devolución de una porción de la deuda (cuota de amortización). Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo. Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta formada por los términos amortizativos:

de donde se despeja el término:

4.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización: ley de recurrencia 4.1.2.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente: Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce). Período 2: a = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 – A1) x i + A2, y despejamos A2. Período 3: a = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 – A2) x i + A3, y despejamos A3. y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización.

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4.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización Al ser constante el término amortizativo las cuotas de amortización necesariamente tendrán que ir creciendo, mientras que las cuotas de intereses decrecerán (porque se van calculando sobre capitales vivos cada vez menores). Y además, lo hacen siguiendo una ley matemática (ley de recurrencia). La ley de recurrencia es la relación en la que se encuentran dos términos consecutivos, en este caso, las cuotas de amortización y para buscarla se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: Período k: a = Ik + Ak = Ck-1 x i + Ak Período k+1: a = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1 ------------------------------------------

a – a = (Ck-1 – Ck) x i + Ak – Ak+1 siendo Ck-1 – Ck = Ak, queda: 0 = Ak x i + Ak – Ak+1 de donde se obtiene: Ak+1 = Ak x (1 + i) Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + i , por tanto, cualquier cuota se puede calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–: Ak+1 = A1 x (1 + i)k Es por esto, el aumento de las cuotas de amortización con el transcurso del tiempo, por lo que a este sistema se le conoce como método progresivo. 4.1.3. Cálculo de la primera cuota de amortización (A1) Una vez calculada la primera cuota, todas las demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El cálculo de la primera cuota de amortización se puede realizar de dos formas posibles: 4.1.3.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del primer término amortizativo Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1 ---> A1 = a – C0 x i

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150

4.1.3.2. 2.ª posibilidad: por la definición de capital prestado En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortización es el importe del préstamo: A1 + A2 + A3 + … + An = C0 Además en este sistema amortizativo todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de la primera de ellas, como se ha visto anteriormente: A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)n-1 = C0 Simplificando la expresión, sacando factor común en el primer miembro A1: A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)n-1] = C0 donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos (el número de cuotas de amortización) al tanto del préstamo, por tanto:

de donde:

4.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk) Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles: • Por diferencia, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe: mk = C0 – Ck • Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha: mk = A1 + A2 + … + Ak Además todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de la primera de ellas: mk = A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)k-1 Simplificando la expresión: mk = A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)k-1] donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de k términos al tanto del préstamo, por tanto:

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151

4.1.5. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck) 4.1.5.1. 1.ª posibilidad: a través de las cuotas de amortización

Bien considerando las cuotas de amortización ya satisfechas (método retrospectivo):

Bien considerando las cuotas de amortización pendientes (método prospectivo):

4.1.5.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer en términos financieros (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

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4.1.5.3. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados

En k se debe cumplir: lo que se debe en k = [lo recibido – lo pagado]k Por tanto en k:

4.1.5.4. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros

En k se debe cumplir: lo que supondría la cancelación total en k = [cantidades pendientes de pagar]k Por tanto en k:

4.1.6. Cálculo de la cuota de interés del período k+1 (Ik+1) Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo. Ik+1 = Ck x i

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153

EJEMPLO 4 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: 

Importe: 100.000 u.m.



Duración: 3 años.



Tipo de interés: 10% anual.



Términos amortizativos anuales constantes.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

40.211,48 40.211,48 40.211,48

10.000,00 6.978,85 3.655,59

30.211,48 33.232,63 36.555,89

30.211,48 63.444,11 100.000,00

Total

120.634,44

20.634,44

100.000,00

Años

100.000,00 69.788,52 36.555,89

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios del período correspondiente (5) y se pagan al final del período anterior. (3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2). (4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha.

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154

(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital vivo a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado. 5. Método de cuota de amortización constante método lineal En este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos la misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (Ak) se mantiene constante durante todo el préstamo. Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés constante i, y amortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 = … = An = A 5.1. PASOS A SEGUIR En este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de calcular, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos. 5.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A) Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir: C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n de donde se obtiene: C0 A = -------n 5.1.2. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)

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155

Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha será la suma aritmética de las cuotas ya practicadas. mk = A1 + A2 + … + Ak = A x k 5.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck) Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

5.1.3.1. 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas Ck = C0 – mk = C0 – [A + A + … + A] = C0 – A x k 5.1.3.2. 2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An = (n – k) x A 5.1.4. Cálculo de cuota de interés del período k+1 (Ik+1) Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo. Ik+1 = Ck x i 5.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak) Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una ley matemática.

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5.1.5.1. 1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de su propia estructura, calculando la cuota de interés y añadiendo la cuota de amortización constante ya conocida Período 1: a1 = I1 + A = C0 x i + A Período 2: a2 = I2 + A = C1 x i + A = (C0 – A) x i + A ... 5.1.5.2. 2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos a través de la ley de recurrencia que éstos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera Período k: ak = Ik + A = Ck-1 x i + A Período k+1: ak+1 = Ik+1 + A = Ck x i + A ------------------------------------------------------ak – ak+1 = (Ck-1 – Ck) x i siendo: Ck-1 – Ck = A, queda: ak – ak+1 = A x i de donde se obtiene: ak+1 = ak – A x i lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (A x i), por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos: ak+1 = a1 – k x A x i EJEMPLO 5 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 u.m., al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con cuotas de amortización anuales constantes.

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(5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

130.000,00 120.000,00 110.000,00

30.000,00 20.000,00 10.000,00

100.000,00 100.000,00 100.000,00

100.000,00 200.000,00 300.000,00

Total

360.000,00

60.000,00

300.000,00

Años

300.000,00 200.000,00 100.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe del préstamo en pagos iguales. 300.000 A = ----------- = 100.000 3 (2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital pendiente a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) y se pagan al final del mismo. (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 6. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión geométrica. Este método se caracteriza porque: 

Los términos amortizativos varían en progresión geométrica, y



El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la operación.

De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Además se pone de manifiesto que cuanto mayor es la razón de la progresión mayor es el importe de los intereses pagados a lo largo de toda la operación. Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión geométrica de razón conocida q, al tipo de interés i, es el siguiente:

6.1. PASOS A SEGUIR 6.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Los pagos que se realizan durante la vida del préstamo incorporan la cuota de interés y la cuota de amortización. Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo. Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión. Al desarrollar esta equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razón de la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del préstamo:

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En ambos casos la variable desconocida y que se despeja es el primer término amortizativo (a1), que será la incógnita a calcular. Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una progresión geométrica, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así: a2 = a1 x q a3 = a2 x q = a1 x q2 ... ak+1 = ak x q = a1 x qk … an = an-1 x q = a1 x qn-1 6.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak) 6.1.2.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente: Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce) Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 – A1) x i + A2, y despejamos A2, Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 – A2) x i + A3, y despejamos A3, y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización. 6.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización Al ser variable el término amortizativo, las cuotas de amortización normalmente también variarán, si bien el sentido de esta variación (creciente o decreciente) estará en función de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia). Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortización consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera: Período k: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + Ak Período k+1: ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ckxi + Ak+1 ------------------------------------------------------------------

ak- ak+1 = (Ck-1- Ck) x i + Ak - Ak+1 siendo: Ck-1- Ck = Ak, queda: ak - ak+1 = Ak x i + Ak- Ak+1 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

160

de donde: Ak+1 = Ak x (1 + i) + ak+1- ak y como: ak+1 = ak x q, la expresión puede quedar: Ak+1 = Ak x (1 + i) - ak x (1 - q) expresión que permite calcular una cuota de amortización a partir de la cuota de amortización anterior. Ley que puede resultar poco práctica, ya que además de conocer la cuota de amortización anterior se debe considerar el término amortizativo de aquel período, por lo que quizá sea más práctico hacer uso del primer sistema de cálculo anteriormente comentado. 6.1.3. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk) Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles: • Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe: mk = C0- Ck • Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha: mk = A1 + A2 + .... + Ak 6.1.4. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck) En este tipo de préstamos el cálculo del capital vivo a través de las cuotas de amortización resulta poco práctico, salvo que nos encontremos muy cerca del principio o del final de la operación. Pretendemos buscar un sistema que permita calcular el capital pendiente a partir de los términos amortizativos del préstamo. Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

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161

6.1.4.1. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados

en k se debe cumplir: lo que se debe en k = [lo recibido – lo pagado]k por tanto en k:

6.1.4.2. 2ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros

en k se debe cumplir: lo que supondría la cancelación total en k = [cantidades pendientes de pagar]k por tanto en k:

6.1.5. Cálculo de la cuota de interés del período k+1 (Ik+1) Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo. Ik+1 = Ck x i

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162

EJEMPLO 6 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 u.m., al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando un 5% cada año de forma acumulativa. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

3.838,50 4.030,43 4.231,94

1.000,00 716,15 384,72

2.838,50 3.314,28 3.847,22

2.838,50 6.152,78 10.000,00

Total

12.100,87

2.100,87

10.000,00

Años

10.000,00 7.161,50 3.847,22

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período (5). (3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2). (4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo (C0) se le resta el total amortizado (4) ya acumulado hasta ese momento.

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163

7. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión Aritmética. Este método amortizativo se caracteriza porque: 

Los términos amortizativos varían en progresión aritmética, y,



El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la operación.

Es importante el estudio de la razón aplicada. De esta razón va a depender la va-riación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final. Además el importe de la razón es proporcional al total de los intereses paga-dos. Así, tenemos que a mayor razón, mayor es el importe de los intereses pagados y a la inversa. Esto se debe a que una mayor razón hace que al principio amorticemos un menor capital, o que incluso el importe de la cuota no llegue a cubrir el importe de los intereses, con lo que éstos se acumularán al capital y volverán a generar intereses. Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión aritmética de razón conocida d, al tipo de interés i, es el siguiente:

7.1. PASOS A SEGUIR 7.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del présta-mo y la renta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se

pondrá

en

función

del

primer

término

y

la

razón

de

la

progresión.

Al desarrollar esta equivalencia resulta la siguiente ecuación donde la variable a despejar será el primer término amortizativo (a1).

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164

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una pro-gresión aritmética, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d ... ak+1 = ak + d = a1 + k x d ... an = an-1 + d = a1 + (n - 1) x d 7.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak) 7.1.2.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente: Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce) Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0- A1) x i + A2, y despejamos A2, Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 - A2) x i + A3, y despejamos A3, y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización. 7.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización Al ser variable el término amortizativo las cuotas de amortización variarán, de-pendiendo de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia). Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortiza-ción consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera: Período k: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + Ak Período k+1: ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ckx i + Ak+1 ---------------------------------------------

ak - ak+1 = (Ck-1- Ck) x i + Ak - Ak+1 siendo: Ck-1- Ck = Ak, queda: ak- ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1 además, se cumple: ak+1 = ak + d

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165

de donde se obtiene: Ak+1 = Ak x (1 + i) + d expresión según la cual cada cuota de amortización se puede obtener a partir de la anterior de manera fácil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota a partir de la del primer período, la expresión a aplicar será:

7.1.3. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk) Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles: 

Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe: mk = C0 – Ck



Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha: mk = A1 + A2 + … + Ak

7.1.4. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck) Como en el caso de los préstamos con términos amortizativos en progresión geométrica, la forma más fácil de calcular capitales pendientes será a partir de los términos amortizativos, realizados o pendientes, valorados financieramente en el momento en que se quiera calcular la deuda viva (momento k).

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7.1.4.1. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados

en k se debe cumplir: lo que se debe en k = [lo recibido – lo pagado]k por tanto en k:

7.1.4.2. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros

en k se debe cumplir: lo que supondría la cancelación total en k = [cantidades pendientes de pagar]k por tanto en k:

7.1.5. Cálculo de la cuota de interés del período k+1 (Ik+1) Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo. Ik+1 = Ck x i EJEMPLO 7 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 u.m., al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando 100 u.m. cada año. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3

3.927,49 4.027,49 4.127,49

1.000,00 707,25 375,22

2.927,49 3.320,24 3.752,27

2.927,49 6.247,73 10.000,00

Total

12.082,47

2.082,47

10.000,00

Años

10.000,00 7.072,51 3.752,27

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período (5). (3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2). (4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado. 8. Préstamos diferidos También denominados préstamos con carencia, son aquellos en los que, desde su concesión y durante una parte de su vida, no se realiza devolución de capital. Por tanto, los préstamos diferidos son aquellos en los que se retrasa el pago de la primera cuota de amortización.

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168

Puede ocurrir que durante este primer tiempo en el cual no se amortiza deuda, se vayan pagando periódicamente los intereses a medida que éstos se van devengando y con la periodicidad acordada: estamos refiriéndonos a préstamos con carencia parcial. Cuando durante este primer período no se realiza pago alguno, estamos ante una carencia total. En este último caso, los intereses devengados y no satisfechos se acumularán al capital de partida (capitalización de intereses). Una vez pasado el período de carencia, estaremos ante un préstamo normal cualquiera que sea el sistema de amortización que presente (francés, lineal, con términos en progresión, ...). Pueden darse dos situaciones: 8.1. CARENCIA CON PAGO DE INTERESES: CARENCIA PARCIAL

8.2. CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES: CARENCIA TOTAL

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169

Importante. En ambos casos se plantea la amortización efectiva del préstamo desde d hasta n y el período de amortización es n – d.

El tipo más extendido es el de carencia de capital (parcial), esto es, durante el período de carencia sólo pagamos intereses. Esto se debe a que en la gran mayoría de las operaciones las garantías solicitadas son las necesarias para el principal solicitado. En este sentido, en el caso de carencia total (sin pago de intereses) la deuda es mayor que aquella para la que se solicitaron las garantías. Si bien es cierto que la carencia en los préstamos supone un alivio financiero durante un cierto período de tiempo al pagar sólo los intereses (o nada, en el caso de carencia total), el préstamo al final se encarece considerablemente, ya que una vez finalizado este período de diferimiento tendrá que hacer frente a unos pagos posteriores superiores. EJEMPLO 8 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 100.000 u.m., al 10% de interés anual y 4 años de duración. Se amortizará por el sistema lineal con cuotas de amortización anuales, sabiendo que el primer pago de principal se realiza transcurridos 3 años. 1.er caso: con pago de intereses durante el diferimiento.

100.000 A = -------------- = 50.000 2

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170

(5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3 4

10.000,00 10.000,00 60.000,00 55.000,00

10.000,00 10.000,00 10.000,00 5.000,00

50.000,00 50.000,00

Total

135.000,00

35.000,00

100.000,00

Años

50.000,00 100.000,00

100.000,00 100.000,00 100.000,00 50.000,00

2.º caso:

100.000 x (1,1)2

121.000

A = ---------------------- = ------------ = 60.500 2

Años

2 (5)

(4)

(1)

(2)

(3)

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3 4

72.600,00 66.550,00

12.100,00 6.050,00

60.500,00 60.500,00

Total

139.150,00

18.150,00

121.000,00

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

60.500,00 121.000,00

100.000,00 110.000,00 121.000,00 60.500,00

171

9. Préstamos con intereses fraccionados Son aquellos préstamos en los que los intereses se hacen efectivos con mayor frecuencia que la empleada para amortizar el principal, cualquiera que sea la unidad de tiempo elegida. Es decir, las cuotas de interés se pagan fraccionadamente dentro del período de tiempo elegido para la amortización del capital, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan y se abonan al final de dicho período. Por lo tanto, lo que caracteriza al préstamo con intereses fraccionados es: 1. Las cuotas de amortización no se fraccionan, siguen venciendo al final de cada período (sea cuál sea el elegido). 2. Se fracciona el pago de intereses, es decir, en lugar de hacer un sólo pago junto con la cuota de amortización al tanto efectivo expresado en la unidad de tiempo de amortización (i), se hacen k pagos al tanto efectivo ik por cada pago de principal, resultando dividido el período en k subperíodos a efectos de pago de intereses. Gráficamente, para un préstamo de tres años con amortización anual y pago semestral de intereses, la operación supondría los siguientes pagos:

El fraccionamiento se puede presentar en cualquiera de los sistemas de amortización conocidos (francés, lineal, con términos en progresión, …) e, incluso, puede presentarse con diferimiento. A continuación se estudia para los sistemas amortizativos más frecuentes: lineal y francés.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

172

9.1. Préstamo fraccionado con cuota de amortización constante En este préstamo los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del período de amortización, mientras que las cuotas de amortización constantes no se fraccionan y se abonan al final del período. Considerando que el importe del préstamo es C0, amortizable en n pagos, con un tipo de interés constante i, expresado en la unidad en la que se amortiza el principal. Por tanto, debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 = ... = An = A En primer lugar se calculará todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, ya calculadas, a continuación los intereses y, finalmente, por suma, los términos amortizativos. 9.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A) Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir: C0 = A1 + A2 + A3 + ... + An = A x n de donde se obtiene: C0 A = -----n 9.1.2. Cálculo del total amortizado después de t períodos (mt) Conociendo lo que se amortiza en cada momento (A), el total amortizado hasta una fecha será la suma aritmética de las cuotas ya efectuadas. mt = A1 + A2 + ... + At = A x t 9.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período t+1 (Ct)

Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

173

1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas Ct = C0 - [A1 + A2 + ... + At] = C0- mt = C0 - A x t 2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar Ct = At+1 + At+2 + ... + An = (n - t) x A 9.1.4. Cálculo de las cuotas de intereses del período t+1 Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período (Ct), al tanto efectivo fraccionado (ik)vigente durante el mismo. Por tanto, dentro del período de amortización, habrá k pagos de intereses, cuyo importe se calcula así: It+1 = Ct x ik

9.1.5. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Los términos amortizativos se obtendrán finalmente como la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización, cuando ésta tenga lugar (al final de cada período). Así resulta para el período t:



Los primeros k–1 subperíodos sólo incluye intereses: at, j = It+1



El último subperíodo, además de interés incluye la cuota de amortización del período: at, k = It+1 + At

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

174

EJEMPLO 9 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: 

Importe: 300.000 u.m.



Duración: 3 años.



Cuotas de amortización anuales constantes.



Intereses semestrales al 6% efectivo semestral.

(3)

(4)

(1)

(2)

(5)

Períodos

Capital vivo

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Términos amortizativos

1.1. 1.2.

300.000,00 300.000,00

18.000,00 18.000,00

– 100.000,00

– 100.000,00

18.000,00 118.000,00

2.1. 2.2.

200.000,00 200.000,00

12.000,00 12.000,00

– 100.000,00

100.000,00 200.000,00

12.000,00 112.000,00

3.1. 3.2.

100.000,00 100.000,00

6.000,00 6.000,00

– 100.000,00

200.000,00 300.000,00

6.000,00 106.000,00

72.000,00

300.000,00

Total

372.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe del préstamo en tres pagos iguales. 300.000 A = ------------- = 100.000 3 (2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

175

(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) al tanto efectivo semestral. (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 9.2. Préstamo francés fraccionado Al ser un préstamo fraccionado los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del período de amortización, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan y se abonan al final del período. Considerando que el importe del préstamo es C0, y el tipo de interés constante es ik, expresado en la unidad de tiempo en la que se pagan los intereses, durante n períodos, caben dos posibilidades de llevar a cabo el fraccionamiento en este tipo de préstamos: 

Resultando constante el término amortizativo único equivalente que se situaría en el momento de las amortizaciones.



Siendo constante la cuantía total satisfecha en el momento de amortizar (tanto por amortización como por intereses).

9.2.1. Resultando constante el término amortizativo único equivalente que se situaría en el momento de las amortizaciones En este caso, al tratarse de un sistema francés y dado que el fraccionamiento sólo afecta a los intereses, se trata de calcular en primer lugar las cuotas de amortización (que se obtienen con las reglas vistas anteriormente para el caso del préstamo francés, sin fraccionamiento), a continuación los capitales pendientes y, finalmente, los intereses y términos amortizativos. Pasos a seguir: 1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresado en la unidad de tiempo en la que se amortiza el capital. i = (1 + ik)k – 1 2.º Cálculo de la primera cuota de amortización, siguiendo las fórmulas empleadas en el préstamo francés cuando no existe fraccionamiento de intereses, puesto que dicho fraccionamiento sólo afecta a los intereses pero no a las cuotas de amortización que se siguen calculando de la misma forma. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

176

siendo n el número de cuotas de principal con las que amortizamos el préstamo. 3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que variarán en progresión geométrica creciente de razón (1 + i). At+1 = At x (1 + i) = A1 x (1 + i)t 4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización, que se pueden calcular una a una y sumándose posteriormente, o bien, se pueden sumar directamente a través de la ley que siguen:

5.º Cálculo del capital vivo, Ct, restando al capital pendiente del período anterior la cuota de amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo el total amortizado hasta el momento: Ct = Ct-1 - At = C0 - mt 6.º Cálculo de las cuotas de interés, It+1, que se pagarán con la frecuencia acordada y siempre a partir del capital pendiente a principios del período a que se refiera empleando el tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando los intereses (ik). It+1 = Ct x ik 7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización. 

Los primeros k–1 subperíodos (sólo intereses): at, j = It+1



El último subperíodo (interés y amortización): at, k = It+1 + At

Otro camino alternativo, válido para este tipo de préstamos, consiste en calcular el término amortizativo anual equivalente para, a partir del mismo, calcular los capitales vivos, las cuotas de interés y finalmente las cuotas de amortización y los términos amortizativos en cada momento.

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177

Pasos a seguir: 1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresado en la unidad de tiempo en la que se amortiza el capital. i = (1 + ik)k- 1 2.º Cálculo del término amortizativo equivalente, siguiendo las fórmulas empleadas en el préstamo francés.

3.º Cálculo del capital pendiente a principios del período t + 1. Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

4.º Cálculo de las cuotas de interés pagadas dentro del período t + 1. Los intereses de cualquier subperíodo se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo fraccionado vigente durante el mismo. It+1 = Ct x ik 5.º Cálculo de la cuota de amortización del período t + 1 Se debe mantener la equivalencia financiera entre el término amortizativo equivalente calculado inicialmente y los pagos que realmente tienen lugar dentro del período, las k cuotas de interés k-esimal y la cuota de amortización satisfecha a final del período. Por tanto, el término amortizativo equivalente, al final del período, debe coincidir con las cuotas de interés (conocidas) del período llevadas al final de dicho período más la cuota de amortización (que se desconoce). De esa equivalencia se obtendrá la cuota de amortización del período.

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178

De donde se despejaría At+1. El resto de cuotas de amortización se puede obtener de la misma forma, para cada período o bien, siguiendo la ley de recurrencia que mantienen (en progresión geométrica de razón 1 + i). 6.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización. 

Los primeros k–1 subperíodos (sólo intereses): at, j = It+1



El último subperíodo (intereses y amortización): at, k = It+1 + At

EJEMPLO 10 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: 

Importe: 1.000.000 de u.m.



Duración: 3 años.



Sistema francés: – Cuotas de amortización anuales. – Intereses semestrales al 5% efectivo semestral.

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179

I1,1 = I1,2 = C0 x 0,05 I2,1 = I2,2 = C1 x 0,05 I3,1 = I3,2 = C2 x 0,05 (3)

i = 1,052 - 1 = 10,25% (4) (1)

(2)

(5)

Períodos

Capital vivo

1.1. 1.2.

1.000.000,00 1.000.000,00

50.000,00 50.000,00

– 301.385,81

– 301.385,81

50.000,00 351.385,81

2.1. 2.2.

698.614,19 698.614,19

34.930,71 34.930,71

– 332.277,86

301.385,81 633.663,67

34.930,71 367.208,57

3.1. 3.2.

366.336,33 366.336,33

18.316,82 18.316,82

– 366.336,33

633.663,67 1.000.000,00

18.316,82 384.653,15

Total

Cuota de Cuota de Total Términos interés amortización amortizado amortizativos

206.495,06 1.000.000,00

1.206.495,06

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe de la primera cuota de amortización, a través de la fórmula prevista para calcular A1 en el préstamo francés, y, a partir de ella, todas las demás, multiplicando la cuota anterior por 1,1025.

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180

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) al tanto efectivo semestral. (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 9.2.2. Siendo constante la cuantía satisfecha en el momento de amortizar (tanto por amortización como por intereses) Pasos a seguir: 1.º Cálculo de la ley de recurrencia entre cuotas de amortización consecutivas, de forma que resulte constante la cuantía total pagada al final de cada período. Para ello obligamos a que el pago total a efectuar al final de dos períodos consecutivos cualesquiera coincida: 

Pago total al final del período t: At + Ct-1 x ik



Pago total al final del período t + 1: At+1 + Ct x ik

Obligando a que sean iguales ambas cuantías, resulta: At + Ct-1 x ik = At+1 + Ct x ik Operando en la igualdad, pasando Ct x ik al primer miembro: At + Ct-1 x ik- Ct x ik = At+1 Sacando factor común ik en el primer miembro: At + (Ct-1- Ct) x ik = At+1 Siendo: Ct-1- Ct = At Resulta finalmente: At + At x ik = At+1 De donde se obtiene: At+1 = At x (1 + ik) Siendo ik el tanto al que se va a calcular los intereses a pagar en cada subperíodo.

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181

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + ik, por tanto, cualquier cuota se puede calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–: At+1 = A1 x (1 + ik)t 2.º Cálculo de la primera cuota de amortización a través de la siguiente expresión: En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortización es el importe del préstamo: A1 + A2 + A3 + ... + An = C0 Además, según la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización, se pueden poner todas en función de la primera de ellas: A1 + A1 (1 + ik) + A1 (1 + ik)2 + ... + A1 (1 + ik)n-1 = C0 Simplificando la expresión: A1 x [1 + (1 + ik) + (1 + ik)2 + ... + (1 + ik)n-1] = C0 Siendo el corchete el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos (el número de cuotas de amortización), al tanto ik al que se calculan las cuotas de interés, por tanto:

De donde:

3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que siguen como ley de recurrencia una progresión geométrica de razón (1 + ik). A2 = A1 x (1 + ik) A3 = A2 x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)2 ... At+1 = At x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)t 4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización, ya practicadas. mt = A1 + A2 + ... + At 5.º Cálculo del capital vivo, Ct , restando al capital pendiente del período anterior la cuota de amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo el total amortizado hasta el momento: Ct = Ct-1- At = C0- mt Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

182

6.° Cálculo de la cuota de interés, It+1, que se pagará con la frecuencia acordada y siempre a partir del capital pendiente a principios del período a que se refiera empleando el tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando los intereses (ik). It+1 = Ct x ik 7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización. 

Los primeros k–1 subperíodos (sólo intereses): at, j = It+1



El último subperíodo (interés y principal): at, k = It+1 + At+1

EJEMPLO 11 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: 

Importe: 1.000.000 de u.m.



Duración: 3 años.



Sistema francés: – Cuotas de amortización anuales. – Intereses semestrales al 5% efectivo semestral.

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183

Se ha de cumplir: A1 + C0 x 0,05 = A2 + C1 x 0,05 = A3 + C2 x 0,05 (3) (4) (1) (2)

(5)

Períodos

Capital vivo

1.1. 1.2.

1.000.000,00 1.000.000,00

50.000,00 50.000,00

– 317.208,56

– 317.208,56

50.000,00 367.208,56

2.1. 2.2.

682.791,44 682.791,44

34.139,57 34.139,57

– 333.069,00

317.208,56 650.277,56

34.139,56 367.208,56

3.1. 3.2.

349.722,44 349.722,44

17.486,12 17.486,12

– 650.277,56 349.722,44 1.000.000,00

17.486,12 367.208,56

Total

Cuota de Cuota de Total Términos interés amortización amortizado amortizativos

203.251,38 1.000.000,00

1.203.251,38

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe de la primera cuota de amortización, a través de la fórmula correspondiente, y, a partir de ella, todas las demás, multiplicando la cuota anterior por 1,05.

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha. (3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) al tanto efectivo semestral. (5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 10. Sistema de amortización Sinking-Fund También se le conoce con el nombre de sistema de amortización con fondo de amortización. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

184

Este sistema de amortización consiste en el pago periódico de los intereses al prestamista (préstamo americano), y al mismo tiempo una aportación a un fondo para construir un capital, con el que cancelar el principal del préstamo americano a su vencimiento. Desde un punto de vista operativo, al mismo tiempo que se contrata el préstamo americano se abre un fondo asociado al préstamo. De esta forma, el prestatario de la operación de amortización al mismo tiempo se le considera deudor en el préstamo americano y acreedor en fondo que está constituyendo para devolver el préstamo. Por tanto, los pagos a satisfacer por el prestatario pueden calcularse como suma de dos conceptos: 1. Los intereses de un préstamo de cuantía C0 al tanto de interés i (constante o variable) estipulado en el contrato de préstamo, que serán siempre del mismo importe, C0 x i (si el tipo no varía). 2. La aportación periódica a un fondo de una cuantía F, tal que invertida al tanto del fondo i', generalmente menor que i, reproduzca al final de la vida del préstamo el capital C0 que tiene que entregar al prestamista. Datos necesarios para el desarrollo de la operación 

Del préstamo: Importe: C0. Duración: n. Tipo de interés: i. Sistema de amortización: americano.



Del fondo: Tipo de interés: i'. Frecuencia y cuantía (constante o variable) de las aportaciones. Duración: por defecto, la del préstamo.

Por lo que se refiere al préstamo, los términos amortizativos coincidirán con la cuota de interés de cada período (C0 x i), salvo en el último pago en el que se incrementa en el importe del principal (C0 x i + C0).

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185

En cuanto al fondo que se va constituyendo para hacer frente a la devolución del préstamo americano, éste va creciendo por dos motivos: las aportaciones periódicas efectuadas y por los intereses que genera el saldo que permanece acumulado en el mismo. Para el cálculo de las aportaciones al fondo se tendrá en cuenta la equivalencia financiera entre las aportaciones efectuadas al fondo y el capital que se quiere constituir finalmente (el importe del préstamo), empleando como tanto el aplicado al propio fondo (nunca el del préstamo). Al final de la operación se tiene que verificar lo siguiente:

Gráficamente:

De la equivalencia se obtiene una ecuación donde el primer miembro es el valor final de la renta (constante o variable, según se establezca) formada por las aportaciones al fondo y donde la única incógnita es el importe de las aportaciones a efectuar al fondo:

De donde se obtiene la cuantía a aportar (F) –en el caso de que ésta sea constante– o la primera de ellas –en el caso de que las aportaciones constituyan renta en progresión geométrica o aritmética– (Fi). En cualquier caso, estas aportaciones al fondo de constitución no tienen la condición de cuota de amortización, porque el importe del préstamo no decrece en el tiempo, sino que permanece constante durante toda la vida del mismo (no hay amortización de capital). Gráficamente esta operación conjunta préstamo-fondo se muestra en la siguiente figura (para tres períodos):

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186

Estructura del cuadro del préstamo Cuota Término Períodos de amortizativo interés 0 1 2 3

I1 I2 I3 + C0

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

C0

C0

C0 C0 C0 C0

I1 I2 I3

Estructura del cuadro del fondo Aportación Intereses Períodos al fondo fondo

0 1 2 3

F1 F2 F3

I'2 I'3

Variación anual del fondo

Capital constituido

Capital pendiente

F1 F2 + I'2 F3 + I'3

F1 F1 + F2 + I'2 F1 + F2 + I'2 + F3 + I'3

C0 C0 – F1 C0 – F1 – F2 – I'2 C0 – F1 – F2 – I'2 – F3 – I'3

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187

EJEMPLO 12 Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 1.000 u.m. contratado al 15% de interés anual, amortizándose el principal de una sola vez a los 4 años y pagándose anualmente los intereses. Sabiendo que el prestatario se compromete a realizar aportaciones anuales constantes y pospagables en un fondo que devenga intereses del 10% anual, construir el cuadro de constitución del capital, que permita hacer frente a la devolución del préstamo anterior. Cuadro de amortización del préstamo

Años

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

0 1 2 3 4

150,00 150,00 150,00 1.150,00

150,00 150,00 150,00 150,00

1.000,00

Total

1.600,00

600,00

1.000,00

Total amortizado

1.000,00

Capital vivo

1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00

Cuadro de constitución del capital

Cálculo de la aportación constante a realizar:

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188

Años

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Aportación al fondo

Intereses

Variación anual del fondo

Capital constituido

Capital pendiente

0 1 2 3 4

215,47 215,47 215,47 215,47

21,55 45,25 71,32

215,47 237,02 260,72 286,79

Total

861,88

138,12

1.000,00

215,47 452,49 713,21 1.000,00

1.000,00 784,53 547,51 286,79

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Cálculo de las aportaciones al fondo (F). (2) Los intereses se calculan sobre el capital constituido al principio del período. (3) Suma de la aportación al fondo (1) y los intereses generales durante el período (2). (4) En el primer período coincide con la aportación al fondo primero efectuado. Los siguientes se obtienen añadiendo al capital constituido en el período anterior la variación anual del fondo del período donde estamos (3). (5) El capital pendiente se obtiene de restar al capital inicial el capital constituido en cada momento. 11. Préstamos con intereses prepagables Este tipo de operaciones se caracteriza porque los intereses se pagan anticipadamente, al principio del período correspondiente, a tipos de interés prepagables (i*), mientras que las cuotas de amortización siguen siendo pospagables. El esquema de flujos de caja en un préstamo de cuantía C0, a amortizar en n pagos, a un tanto de interés i* es el siguiente:

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189

La estructura genérica del término amortizativo pagado en un momento k cual-quiera será, por tanto, la siguiente: ak = Ik+1 + Ak Es decir, cada pago realizado incluye los intereses del período que empieza y la cuota de amortización correspondiente al período que acaba. Para un préstamo amortizable en tres períodos el gráfico que recoge la evolución de la deuda pendiente y la composición del término amortizativo será el siguiente:

EJEMPLO 13 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: 

Importe: 80.000 u.m.



Devolución del principal en tres pagos anuales vencidos de 10.000, 30.000 y 40.000 u.m., respectivamente.



Tipo de interés anual del 10% pagadero al principio de cada pe-ríodo.

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190

Gráficamente, el esquema de pagos de la operación es:

Cuadro de amortización: Término Cuota de Cuota de Total Años amortizativo interés amortización amortizado 0 1 2 3 Total

8.000,00 17.000,00 34.000,00 40.000,00

8.000,00 7.000,00 4.000,00

10.000,00 30.000,00 40.000,00

99.000,00 19.000,00

Capital vivo

80.000,00 10.000,00 70.000,00 40.000,00 40.000,00 80.000,00

80.000,00

11.1. Caso particular método alemán En este caso los términos amortizativos permanecen constantes, a1 = a2 = … = an = = a, manteniéndose también constante el tipo de interés i* para todos los períodos. Además habrá que tener en cuenta un primer término en el origen que recoja los intereses prepagables del primer período. El esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos, es:

11.1.1. Pasos a seguir 11.1.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) A)

1.ª

posibilidad:

a

través

de

la

equivalencia

financiera

en

el

origen

En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo – i*, de los pagos que realizará durante toda la operación. Al ser un interés anticipado el descuento será del tipo comercial. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

191

C0 = C0 x i* + a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2 + ... + a x (1 - i*)n Simplificando: C0- C0 x i* = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-1] C0 x (1 - i*) = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-1] En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de términos en progresión geométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión: 1 - (1 - i*)n C0 = a x ---------------i* De donde se obtendrá el importe del término amortizativo del préstamo (a). B) 2.ª posibilidad: a través de equiparación del préstamo a otro equivalente con intereses vencidos (francés) A partir del tipo de interés anticipado (i*) calculamos el equivalente pospagable en compuesta: i* i = -----------1 – i* El cambio de tipo afecta al importe del préstamo, que será el de partida minorado en los intereses del primer período que se pagan en el origen: C'0 = C0- C0 x i* = C0 x (1 - i*) El resultado es un préstamo de cuantía C'0, interés vencido i, n períodos y términos amortizativos constantes (a). Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta formada por los términos amortizativos:

De donde se despeja el término:

11.1.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck) En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con el valor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

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192

Planteando la equivalencia en el momento k: Ck = Ck x i* + a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2+ ... + a x (1 - i*)n-k Simplificando: Ck- Ck x i* = a x (1 - i*) x [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-k-1] Ck x (1 - i*) = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-k-1] De donde se obtiene la deuda pendiente: 1 – (1 – i*)n-k Ck = a x --------------------i* Expresión similar a la obtenida para el cálculo del término amortizativo (paso 1.º), con la diferencia de la fecha donde están planteadas una y otra. Además, en el origen se conoce la deuda pendiente (el importe del préstamo) y se desconoce el término amortizativo, mientras que en k ocurre al contrario, se desconoce la deuda pendiente y se conoce el importe del término amortizativo. 11.1.1.3. Cálculo de cuotas de amortización: ley de recurrencia (Ak) A) 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente: Período n: a = An Período n-1: a = Cn-1 x i* + An-1 = An x i* + An-1 --> --> An= An x i* + An-1--> An-1= An x (1 - i*) Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

193

Período n-2: a = Cn-2 x i* + An-2 = (An+ An-1) x i* + An-2 --> --> An= (An+ An-1) x i* + An-2 An-2 = An- Ani* - An-1i* = An x (1 - i*) - An-1i* Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a la primera. B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: En k: a = Ik+1 + Ak= Ck x i* + Ak En k+1: a = Ik+2 + Ak+1 = Ck+1 x i* + Ak+1 -------------------------------------------

a - a = i* x (Ck - Ck+1) + Ak- Ak+1 siendo: Ck- Ck+1 = Ak+1, queda: 0 = i* x Ak+1+ Ak- Ak+1 de donde se obtiene: Ak = Ak+1 x (1 - i*) En definitiva, las cuotas de amortización en este tipo de préstamos siguen una progresión geométrica decreciente de razón (1 – i*), empezando siempre por la última cuota de principal, que coincide con el término amortizativo de ese último período de amortización del préstamo, pondremos todas a partir de la última: Ak = An x (1 - i*)n-k 11.1.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk) Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dos maneras posibles: 

Por diferencias entre capitales pendientes consecutivos: mk = C0 – Ck



Por suma de las cuotas de amortización practicadas: mk = A1 + A2 + … + Ak

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194

EJEMPLO 14 Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo: • Importe: 300.000 u.m. • Duración: 3 años. • Tipo de interés: 10% anual prepagable. • Términos amortizativos anuales constantes.

Años

Término Cuota de amortizativo interés

Cuota de Total amortización amortizado

0 1 2 3

30.000,00 30.000,00 110.701,11 21.033,21 110.701,11 11.070,11 110.701,10 –

89.667,90 99.631,00 110.701,10

Total

362.103,33 62.103,32

300.000,00

Capital vivo

300.000,00 89.667,90 210.332,10 189.289,90 110.701,10 300.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro: (1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula anterior. 1 – (1 – 0,1)3 300.000 = a x ------------------0,1 a = 110.701,11 (2) Conocido el término amortizativo del último período, también se conoce la cuota de amortización de ese período (ya que coinciden al no tener intereses ese término). (3) A su vez, la cuota de amortización del último período coincide con el capital vivo a principios del último período, y al aplicarle el tipo de interés se conocerá la cuota de interés del año 3, que se safisface en el año 2. (4) Del pago hecho en el año 2, ya se sabe cuánto es interés (la cuota de interés del año 3) y el resto, por diferencia, se destina a amortizar (cuota de amortización del año 2).

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195

(5) La deuda pendiente del penúltimo período será la suma del capital pendiente en el período siguiente más la cuota de amortización del año 2. (6) El resto del cuadro se realiza de la misma manera, hasta llegar al momento inicial donde solamente se pagan los intereses del primer período. 11.2. Préstamo con intereses prepagables y cuotas de amortización constante Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés anticipado i*, y amortizable en n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 = = ... = An = A 11.2.1. Pasos a seguir En este caso, al igual que ocurría cuando se vio el préstamo lineal con intereses vencidos, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de obtener, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos. 11.2.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A) Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir: C0 = A1 + A2 + A3 + ... + An = A x n de donde se obtiene: C0 A = -------n

11.2.1.2. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk) mk= A1 + A2 + ... + Ak = A x k 11.2.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck) El carácter prepagable de los intereses no afecta a las cuotas de amortización que sigue siendo pospagable. A) 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo

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196

El capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas. Ck = C0- mk = C0 - [A + A + ... + A] = C0 - A x k B) 2.ª posibilidad: por el método prospectivo

El capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar. Ck = Ak+1 + Ak+2 + ... + An = (n - k) x A 11.2.1.4. Cálculo de cuota de interés de período k + 1 (Ik+1) Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo, pero se pagan al principio de dicho período, así en el momento k (principios de k + 1) se pagan los intereses del período k + 1.

En k: Ik+1 = Ck x i* Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

197

11.2.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak) Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una ley matemática. 1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de su propia estructura, calculando la cuota de interés y añadiendo la cuota de amortización constante ya conocida: En 0: a0 = I1= C0 x i* En 1: a1 = I2 + A = C1 x i* + A En 2: a2 = I3 + A = C2 x i* + A = (C1 - A) x i* + A ... 2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos a través de la ley de recurrencia que éstos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera:´

En k: ak = Ik+1 + A= Ck x i* + A En k+1: ak+1 = Ik+2 + A = Ck+1 x i* + A ------------------------------------------ak- ak+1 = (Ck- Ck+1) x i* + A - A siendo: Ck - Ck+1 = A resulta: ak - ak+1 = A x i* De donde se obtiene: ak+1 = ak – A x i*, lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (A x i*).

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198

11.3. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables en progresión geométrica El esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos, con interés prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q, conocida, es:

Siendo: a1; a2 = a1 x q; a3 = a1 x q2; ...; an = a1 x qn-1 11.3.1. Pasos a seguir 11.3.1.1. Cálculo del primer término amortizativo (a1) En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo (i*), de los pagos que realizará durante toda la operación: C0 = C0 x i* + a1 x (1 - i*) + a2 x (1 - i*)2+ ... + an x (1 - i*)n puesto que los términos varían en progresión geométrica de razón q: C0 = C0 x i* + a1 x (1 - i*) + a1 x q x (1 - i*)2+ ... + a1 x qn-1 x (1 - i*)n donde todo es conocido salvo a1. 11.3.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k + 1 (Ck) En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con el valor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

Planteando la equivalencia en el momento k: Ck = Ck x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2+ ... + an x (1 - i*)n-k Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

199

Simplificando: Ck = Ck x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+1 x q x (1 - i*)2+ ... + a k+1 x qn-k-1 x (1 - i*)n-k Ck(1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) + ak+1 x q x (1 - i*)2+... + ak+1 x qn-k-1 x (1 - i*)n-k Ck(1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q2 x (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1] Ck x (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q2 x (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1] De donde se obtiene la deuda pendiente (Ck). Ck = ak+1 x [1 + q (1 - 1*) + q2 (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1] Siendo el corchete una suma de n–k términos (los que quedan pendientes desde la fecha de estudio hasta el final), que varía en progresión geométrica de razón q x (1 – i*). 11.3.1.3. Cálculo de cuotas de amortización (Ak) Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente Período n: an = An Período n-1: an-1 = Cn-1 x i* + An-1 = An x i* + An-1--> An-1 Período n-2: an-2 = Cn-2 x i* + An-2 = (An-1 + An) x i* + An-2--> An-1 Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a la primera. 11.3.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk) Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dos maneras posibles: 

Por diferencia entre capitales pendientes consecutivos:

mk = C0 – Ck 

Por suma de las cuotas de amortización practicadas:

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200

mk = A1 + A2 + ... + Ak 11.4. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables El esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos, con interés prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresión aritmética de razón d, conocida, es:

Siendo: a1; a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; ...; an = a1 + (n-1)d Los pasos a seguir serán los mismos que en el caso anterior, cuando los términos eran variables en progresión geométrica. 12. Valor finaciero del préstamo usufructo y nuda propiedad Partiendo de un préstamo cualquiera del que se conocen los componentes del cuadro de amortización (o al menos los pendientes desde la fecha de estudio hasta el final) y que gráficamente responde al siguiente esquema:

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201

Si nos encontramos en un momento cualquiera k (fecha de valoración), los términos amortizativos pendientes (ak+1, ak+2, ..., an) representan para el acreedor (prestamista) un derecho de cobro futuro y para el deudor (prestatario) una obligación de pago. Si en este punto se quisiera cancelar anticipadamente la operación, el deudor debería entregar, en principio, la deuda pendiente (Ck). Sin embargo, puede ocurrir que las condiciones del mercado hayan cambiado desde que se concertó la operación hasta la fecha actual. En este sentido, para determinar si esta cancelación resulta o no conveniente, sería necesario valorar los términos amortizativos pendientes con un criterio nuevo ajustado a las condiciones actuales, esto es, valorarlos al tanto que en el mercado se está aplicando para operaciones análogas. Surge la necesidad de valorar el préstamo en condiciones de mercado. La valoración de préstamos implica, pues, conocer las cuantías de los pagos pendientes desde la fecha de estudio y su actualización a dicho momento a un tipo adecuado (tanto de mercado im). Definiciones: El acreedor (titular del capital pendiente) puede transferir los derechos que el préstamo por él concedido genera en su conjunto o segregados (por una parte los intereses y por otra el principal): surgen los conceptos de usufructo, nuda propiedad y valor del préstamo. Usufructo de un préstamo a principios del período k+1, Uk, es el resultado de actualizar al tanto de mercado (im) todas las cuotas de interés pendientes.

Nuda propiedad de un préstamo a principios del período k+1, Nk, es el resultado de actualizar al tanto de mercado (im) todas las cuotas de amortización pendientes.

Valor de un préstamo a principios del período k+1, Vk, es el resultado de actualizar al tanto de mercado (im) todos los términos amortizativos pendientes.

Representa la cantidad que el deudor tendrá que pagar para cancelar su deuda o, desde el punto de vista del prestamista, lo que debería recibir por transferir los derechos futuros que el préstamo supone, en las condiciones actuales del mercado.

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202

Para calcular el importe del valor, usufructo y nuda propiedad de un préstamo bastará con aplicar las definiciones anteriores en la fecha de estudio elegida al préstamo objeto de estudio, debiéndose conocer el tanto de mercado vigente en esa fecha. EJEMPLO 15 A partir del siguiente préstamo: 

Importe: 100.000 u.m.



Duración: 3 años.



Tipo de interés: 10% anual.



Términos amortizativos anuales constantes.

Se pide: Calcular el valor, usufructo y nuda propiedad transcurrido un año de su concesión si en ese momento el tanto de mercado (im) es del 7%. Cuadro de amortización:

Años

Término amortizativo

Cuota de interés

Cuota de amortización

0 1 2 3

40.211,48 40.211,48 40.211,48

10.000,00 6.978,85 3.655,59

30.211,48 33.232,63 36.555,89

Total

120.634,44

20.634,44

100.000,00

Total amortizado

30.211,48 63.444,11 100.000,00

Capital vivo 100.000,00 69.788,52 36.555,89

Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad:

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203

Aplicando las definiciones teóricas: 

Usufructo: 6.978,85

3.655,59

U1 = --------------- + --------------- = 9.715,22 1,072

1,07 

Nuda propiedad: 33.232,63

36.555,89

N1 = --------------- + --------------- = 62.987,86 1,07 

1,072

Valor: 40.211,48

40.211,48

V1 = ---------------- + ---------------- = 72.703,08 1,07

1,072

También:

12.1. CASO PARTICULAR: FÓRMULA DE ACHARD El método de cálculo basado en las definiciones exige conocer las cantidades destinadas al pago de intereses y de amortización en cada momento, desde la fecha de estudio y hasta el final del préstamo. Un sistema alternativo, más práctico, sería la utilización del sistema de ecuaciones siguiente, que solamente se podrá emplear en el supuesto de que se cumplan los tres siguientes requisitos: 1. El tipo de interés del préstamo se mantenga constante desde la fecha de estudio hasta el final. 2. El tanto de mercado (im) sea diferente al tanto del préstamo (i). 3. El estudio se realice al principio de período.

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204

El sistema es:

Se trata de un sistema con cuatro incógnitas (V, U, N, C). Para su resolución se calcularán previamente dos de ellas (aplicando las definiciones teóricas) y del sistema se despejarán las dos restantes. En este sentido, si se trata de un préstamo lineal (cuota de amortización constante), como la cuota de amortización ya se conoce se calcularán previamente (aplicando las definiciones teóricas) el capital vivo (Ck) y la nuda propiedad (Nk) y del sistema se despejará usufructo (Uk) y valor (Nk). Por el contrario, si se trata de un préstamo francés (término amortizativo constante) o con los términos amortizativos variables en progresión geométrica o aritmética, como los términos amortizativos ya se conocen, se calcularán previamente (aplicando las definiciones teóricas) el capital vivo (Ck) y el valor (Vk) y del sistema se despejará usufructo (Uk) y nuda propiedad (Nk). Nota: este sistema de ecuaciones también se puede aplicar cualquiera que sea el sistema de amortización, siempre que se cumplan los tres requisitos anteriores.

EJEMPLO 16 Resolver el ejemplo anterior aplicando el sistema de ecuaciones. El sistema se puede aplicar puesto que se cumplen los tres requisitos exigidos, quedando de esta forma:

En primer lugar se calcula el capital vivo y valor del préstamo y, del sistema, se despeja usufructo y nuda propiedad: 

Capital vivo:

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

205



Valor:

Y a continuación se resuelve el siguiente sistema:

De esta forma, cuando se emplea el sistema no es necesario conocer los elementos del cuadro de amortización, lo que resulta interesante cuando son muchos los períodos aún pendientes hasta la finalización del préstamo. 12.2. VALORACIÓN EN UNA FRACCIÓN DE PERÍODO Las expresiones anteriores están demostradas para cálculos efectuados en momentos donde tiene lugar amortización de capital (final de período –año–). Si el cálculo se realizara en cualquier otro momento de tiempo las definiciones siguen siendo válidas pero el sistema práctico de ecuaciones no se podría aplicar directamente. En este caso, con el sistema práctico se realizarán los cálculos a principios del período y después capitalizaremos hasta la fecha en la que se piden los valores. Esta capitalización se debe efectuar en régimen de compuesta y al tanto de mercado (im).

Valor del préstamo en k': Vk'= Vk x (1 + im)t Nuda propiedad del préstamo en k': Nk'= Nk x (1 + im)t Usufructo del préstamo en k': Uk' = Uk x (1 + im)t 12.3. VALORACIÓN DE PRÉSTAMOS CON INTERESES FRACCIONADOS Cuando nos encontramos con préstamos con intereses fraccionados, habrá que tener en cuenta que el fraccionamiento afecta al usufructo e, indirectamente, al valor, pero no a la nuda propiedad. Para calcular valor, usufructo y nuda propiedad se pueden aplicar, sin más, las definiciones teóricas, pero el sistema de ecuaciones, aunque sigue siendo válido, Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

206

deberá considerar el efecto del fraccionamiento en el usufructo y en el valor, y quedará de la siguiente forma, si el estudio se hace a principios del período t+1:

Al tratarse de un préstamo de interés fraccionado, para resolverlo, obligatoriamente, se tendrá que calcular en primer lugar, y fuera del sistema, el capital vivo y la nuda propiedad (a través de las definiciones), y del sistema siempre despejar lo que se ve afectado por el fraccionamiento: usufructo y valor. EJEMPLO 17 A partir del siguiente préstamo: 

Importe: 300.000 u.m.



Duración: 3 años.



Cuotas de amortización anuales constantes.



Intereses semestrales al 6% efectivo semestral.

Se pide: Calcular valor, usufructo y nuda propiedad transcurrido un año de su concesión si en ese momento

el

tanto

de

mercado

(im)

es

del

5%

efectivo

semestral.

Cuadro de amortización: 300.000,00 A = ----------------- = 100.000,00 3 Períodos

Capital vivo

1.1. 1.2.

300.000,00 300.000,00

18.000,00 18.000,00

100.000,00

100.000,00

18.000,00 118.000,00

2.1. 2.2.

200.000,00 200.000,00

12.000,00 12.000,00

100.000,00

100.000,00 200.000,00

12.000,00 112.000,00

3.1. 3.2.

100.000,00 100.000,00

6.000,00 6.000,00

100.000,00

200.000,00 300.000,00

6.000,00 106.000,00

72.000,00

300.000,00

Total

Cuota de interés

Cuota de amortización

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

Total amortizado

Términos amortizativos

372.000,00

207

Cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad:

1.er caso: aplicando las definiciones teóricas. 

Usufructo: 12.000 U21

12.000

6.000

= ----------- + ----------- + ---------- + ---------- = 32.432,17 1,052

1,05 

6.000 1,053

1,054

Nuda propiedad: 100.000

100.000

N1 = -------------- + ------------- = 172.973,20 1,052 

1,054

Valor: V 21 = U21 + N1 = 32.432,17 + 172.973,20 = 205.405,37

2.º caso: aplicando el sistema de ecuaciones. El sistema se puede aplicar puesto que se cumplen los dos requisitos exigidos, quedando de esta forma: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

208

En primer lugar se calcula el capital vivo y nuda propiedad y, del sistema, se obtiene el usufructo y el valor: 

Capital vivo: C1 = 2 x A = 200.000



Nuda propiedad:

Y a continuación se resuelve el siguiente sistema:

Por tanto: 0,06 U21

= --------- x [200.000 – 172.973,20] = 32.432,17 0,05

V21

= 32.432,17 + 172.973,20 = 205.405,37

13. Tantos efectivos El préstamo, como operación financiera, supone la existencia de una equivalencia financiera entre una prestación (el importe del préstamo) y una contraprestación (el conjunto de capitales que se desembolsan para su total devolución). Dicha equivalencia se cumple para un tipo de interés que, de no existir ningún componente además del interés, coincide con el tipo al que se haya contratado la operación.

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209

El problema surge cuando existen «características comerciales» en el préstamo, es decir, capitales, condicionantes externos, que afectan a la prestación y/o a la contraprestación haciendo que se modifique el valor financiero de las mismas, no cumpliéndose la equivalencia para el tipo de interés contractual. Es decir, cuando en el préstamo, además de devolverse el capital y pagarse intereses, existen otros pagos y cobros de diferente naturaleza. Surge así la necesidad de calcular un nuevo tipo que permita determinar la equivalencia entre las cantidades «realmente» entregadas y recibidas en la operación, tanto para el acreedor (prestamista) como para el deudor (prestatario). Este nuevo tipo será una medida real (efectiva) de la rentabilidad obtenida por el prestamista y del coste total (efectivo) soportado por el deudor, por todo aquello que afecte a una y otra parte. 13.1. TANTO EFECTIVO ACREEDOR O DEL PRESTAMISTA (ia) Proporciona una medida de la rentabilidad realmente obtenida por el prestamista, considerando todos aquellos capitales que influyen en la misma, tanto para aumentarla como para minorarla. Se obtendrá a partir de la siguiente equivalencia financiera: PRESTACIÓN REAL

CONTRAPRESTACIÓN REAL PRESTAMISTA PRESTAMISTA (lo entregado) (lo recibido) (Importe préstamo + Gastos a (Términos amortizativos) cargo del prestamista) Normalmente el prestamista no soporta gastos en la formalización de un préstamo. 13.2. TANTO EFECTIVO DEUDOR O DEL PRESTATARIO (id) Será una medida del costo real que le supone el préstamo considerando además de los intereses todos los gastos soportados en la operación, cualquiera que sea su naturaleza. Se obtendrá a partir de la siguiente equivalencia financiera: PRESTACIÓN REAL

CONTRAPRESTACIÓN REAL PRESTATARIO PRESTATARIO (lo recibido) (lo entregado) (Importe préstamo) (Términos amortizativos + Gastos)

Será el deudor quien soporte la mayoría de los gastos originados por el préstamo, tales como: comisiones de estudio, de apertura, de administración, notariales, impuestos, …

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210

EJEMPLO 18 Se presta un capital de 15.000 u.m. a amortizar en 4 años, por el sistema francés de anualidades constantes, con las siguientes características: 

Tipo de interés: 12% anual.



Gastos iniciales: 150 u.m. a cargo del prestatario.



Gastos anuales de 50 u.m. a cargo del prestatario.



Los gastos imputables al prestatario no son cobrados por el prestamista sino por un tercero.

Se pide: 

Tanto efectivo prestatario.



Tanto efectivo prestamista.

Solución: 

Cálculo del término amortizativo



Tanto efectivo prestatario LO RECIBIDO POR EL PRESTATARIO

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LO ENTREGADO POR EL PRESTATARIO

211

• Tanto efectivo prestamista LO ENTREGADO POR EL PRESTAMISTA

LO RECIBIDO POR EL PRESTAMISTA

Nota: para el cálculo de los tantos efectivos será necesario disponer de una calculadora financiera, unas tablas financieras o bien tantear en la ecuación hasta encontrarlo. En el caso del ia, no había necesidad de plantear la ecuación puesto que la rentabilidad del prestamista viene determinada exclusivamente para el tipo de interés del préstamo que permanece constante. Por tanto, se cumple: ia = i = 12%

14. Préstamos con interés revisable Los préstamos se pueden clasificar atendiendo al interés aplicable durante toda la vida del préstamo, pudiéndose distinguir los siguientes tipos: a)Préstamos tipo fijo. El tipo de interés aplicable durante toda la vida de la operación se mantiene constante y se fija en el momento de contratación. b) Préstamos tipo variable (revisable). El tipo de interés aplicable en la operación se obtiene tomando como base un índice (tipo referencial) al que se suma un diferencial constante. El tipo de interés se ajustará periódicamente en función del comportamiento de la referencia tomada como base. c) Préstamos tipo mixto. Funcionan como un préstamo a tipo fijo durante un determinado período de tiempo y posteriormente se convierten en un préstamo de interés variable durante el resto de la vida de la operación. En las operaciones de amortización con tipos de interés mixto o variable, en el momento de la contratación no se conocen los tipos de interés a aplicar durante los diferentes períodos que dura la operación. En dicho momento se pacta el importe prestado, la duración de la operación, el tipo de interés a aplicar durante el primer período (denominado tipo de interés de salida), el tipo de interés de referencia, en base al cual se va modificando el tipo de interés de los restantes períodos y el diferencial a añadir al tipo de referencia. El período de revisión del tipo de interés puede ser trimestral, semestral, anual, etc.

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212

Para la revisión de los tipos de interés existen diferentes alternativas, que determinarán la estructura definitiva de los pagos efectuados y, en consecuencia, la estructura del cuadro de amortización: 1. Recalculando la cuantía de los términos amortizativos. 2. Manteniendo constante la cuantía de los términos amortizativos y modificando el número de pagos a realizar: sistema de cuota fija. 3. Manteniendo el plan de amortización inicial: plan de amortización sin cambios. 14.1. RECÁLCULO DEL TÉRMINO AMORTIZATIVO En este caso para cada revisión del tipo de interés se calcula el término a pagar como una nueva operación de amortización, donde el importe del capital será el capital vivo en ese momento; la duración de la operación, la vida remanente del préstamo; y el tipo de interés, el vigente en ese momento y aplicándolo para el resto de la operación. Así, se modificará el término amortizativo cada vez que haya una revisión del tipo de interés, cambiando asimismo su composición. 14.2. MANTENIMIENTO DEL IMPORTE DEL TÉRMINO AMORTIZATIVO SIN CAMBIOS El término amortizativo inicialmente calculado se va a mantener durante todo el préstamo. En cada revisión del tipo de interés se plantea el préstamo como una nueva operación donde el importe del capital será el capital vivo en ese momento; el tipo de interés, el vigente en ese momento y aplicándolo hasta el final; como término amortizativo se mantiene el que se calculó inicialmente; por último, se calcula el número de pagos a realizar en esa situación para la completa amortización del capital pendiente. De esta forma el importe de los pagos se mantiene sin cambios en su cuantía total, pero la modificación del tipo de interés supondrá una nueva variación en la composición del termino, de forma que una subida de tipo de interés se traduce en una mayor cuota de interés y menor cantidad destinada a amortización (al revés, si se produce una rebaja de tipos). En esta modalidad de revisión de los tipos de interés lo que nunca se conocerá (hasta la última revisión) es el número de pagos constantes que se realizarán en total. Si los tipos van disminuyendo, se acortará el número de pagos, y aumentará cuando los tipos de interés futuros vayan creciendo.

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213

14.3. PLAN DE AMORTIZACIÓN SIN CAMBIOS Cuando se establece el plan de amortización fijo lo que se determina en el momento de la contratación es el capital prestado, la duración del préstamo, el tipo de interés de salida y las cuotas de amortización de cada período, que una vez establecidas serán inamovibles. En cada uno de los períodos de revisión del tipo de interés bastará con añadir a la cuota de amortización la nueva cuota de interés. Esta última se calculará, como en cualquier caso, como el producto del capital vivo por el tipo de interés aplicable en cada período, una vez revisado. Al permanecer sin cambios las cuotas de amortización calculadas para todos y cada uno de los períodos, y variar solamente las cuotas de interés como consecuencia de la revisión de tipos, los términos amortizativos (ak) se volverán aleatorios. EJEMPLO 19 Se contrata un préstamo en las siguientes condiciones: 

Importe: 1.000 u.m.



Duración: 3 años.



Términos amortizativos trimestrales constantes.



Tipo de interés nominal durante el primer año del 8%.



Para el resto de años, DTF + 1%, con revisiones anuales.

Supondremos que en la primera revisión dicho tipo será del 5% y en la segunda, el 3%. Se pide: 

Cuadro de amortización inicial.



Cuadro resultante después de las revisiones previstas en los siguientes casos: – Recalculando el término amortizativo. – Manteniendo el importe del término sin cambios. – Plan de amortización sin cambios.

Cuadro de amortización inicial Se trata de un préstamo tipo francés, con término amortizativo constante y considerando como tipo de interés para toda la operación (12 trimestres) el que se aplica durante el primer año (8% nominal), es decir, se calcula bajo el supuesto teórico de que el tipo inicial permanece constante durante toda la vida del préstamo.

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214

Número pago

Tipo interés

Términos amortizativos

Cuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3 4

0,02 0,02 0,02 0,02

94,56 94,56 94,56 94,56

20,00 18,51 16,99 15,44

74,56 76,05 77,57 79,12

74,56 150,61 228,18 307,31

1.000,00 925,44 849,39 771,82 692,69

5 6 7 8

0,02 0,02 0,02 0,02

94,56 94,56 94,56 94,56

13,85 12,24 10,59 8,91

80,71 82,32 83,97 85,65

388,01 470,33 554,30 639,95

611,99 529,67 445,70 360,05

9 10 11 12

0,02 0,02 0,02 0,02

94,56 94,56 94,56 94,56

7,20 5,45 3,67 1,85

87,36 89,11 90,89 92,70

727,31 816,41 907,30 1.000,00

272,70 183,59 92,70

1.134,72

134,72

1.000,00

Total

Revisión del tipo mediante el sistema del recálculo del término amortizativo Para construir el cuadro definitivo partimos del cuadro inicial, que se va a mantener sin cambios hasta pasado un año, fecha de la primera revisión del tipo de interés.

Número pago

0 1 2 3 4

Tipo interés

0,02 0,02 0,02 0,02

Términos amortizativos

94,56 94,56 94,56 94,56

Cuota de interés

20,00 18,51 16,99 15,44

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Cuota de amortización

74,56 76,05 77,57 79,12

Total amortizado

74,56 150,61 228,18 307,31

Capital vivo

1.000,00 925,44 849,39 771,82 692,69

215

Realizado el cuarto pago, la deuda pendiente (692,69 u.m.) se tomará como importe de un nuevo préstamo, de duración los dos años –que aún faltan para concluir definitivamente el préstamo–, y empleando como tipo el que surja como consecuencia de la revisión (un nominal del 6%), con el mismo sistema de amortización (francés) y se «recalcula» el término amortizativo. Se obtiene una nueva trimestralidad (92,53 u.m.), con una nueva distribución entre interés y principal, vigentes hasta la nueva revisión.

Número pago

Tipo interés

Términos amortizativos

5 6 7 8

0,015 0,015 0,015 0,015

92,53 92,53 92,53 92,53

Cuota de interés

Cuota de amortización

10,39 9,16 7,91 6,64

82,14 83,38 84,63 85,90

Total amortizado

Capital vivo

389,45 472,83 557,45 643,35

610,55 527,18 442,55 356,66

Pasados dos años (ocho pagos trimestrales), momento de la segunda revisión del tipo de interés, se vuelve a realizar la operación efectuada en la primera revisión. En este caso, el importe a considerar será la deuda pendiente en esa fecha (356,66 u.m.), duración un año y como tipo el 4% nominal aplicable en ese momento.

Número pago

Tipo interés

Términos amortizativos

Cuota de interés

Cuota de amortización

9 10 11 12

0,01 0,01 0,01 0,01

91,40 91,40 91,40 91,40

3,57 2,69 1,80 0,91

87,84 88,72 89,60 90,50

Total amortizado

Capital vivo

731,18 819,90 909,50 1.000,00

268,82 180,10 90,50

Revisión del tipo mediante manteniendo el término amortizativo inicial sin cambios También se parte del cuadro de amortización inicial calculado con un tipo único (8% nominal) para los tres años, que se va a mantener sin cambios hasta pasado un año, fecha de la primera revisión del tipo de interés.

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216

Número pago

Tipo interés

Términos amortizativos

Cuota de interés

Cuota de amortización

0 1 2 3 4

0,02 0,02 0,02 0,02

94,56 94,56 94,56 94,56

20,00 18,51 16,99 15,44

74,56 76,05 77,57 79,12

Total amortizado

74,56 150,61 228,18 307,31

Capital vivo

1.000,00 925,44 849,39 771,82 692,69

En el momento de la primera revisión, aunque el tipo de interés cambie, se mantiene sin variación el importe del término amortizativo inicialmente calculado (94,56 u.m.). Se planteará un nuevo préstamo cuyo importe será la deuda aun pendiente (692,69 u.m.), con un nuevo tipo de interés –el vigente en esa fecha, 6% nominal–, siendo la incógnita el número de pagos a efectuar. Y es que en este sistema, el número de pagos definitivos no se conocerá hasta la última revisión de tipos. Al variar el tipo de interés se produce una nueva distribución de término amortizativo en interés y principal. Número pago

Tipo interés

Términos amortizativos

5 6 7 8

0,015 0,015 0,015 0,015

94,56 94,56 94,56 94,56

Cuota de interés 10,39 9,13 7,85 6,55

Cuota de amortización 84,17 85,43 86,71 88,01

Total amortizado

Capital vivo

391,48 476,91 563,62 651,64

608,52 523,09 436,38 348,36

Pasados dos años, llega el momento de la segunda revisión del tipo de interés. Se vuelve a realizar la operación efectuada en la primera revisión. En este caso, el importe a considerar será la deuda pendiente en esa fecha (348,36 u.m.), el término 94,56 u.m. y como tipo el 4% nominal vigente en ese momento. Es en esta última revisión donde se obtendrá el número de pagos que teóricamente habrá que realizar para concluir la operación. El cálculo será el siguiente:

de donde:

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217

Y, aunque la duración del préstamo no se ha visto disminuida a pesar del descenso de tipos, el importe del último pago será inferior al resto (como consecuencia del descenso de tipos). Su cuantía se obtendrá de la siguiente equivalencia en la fecha de la última revisión del tanto:

de donde: Número pago

Tipo interés

9 10 11 12

0,01 0,01 0,01 0,01

P = 73,11 u.m. Términos Cuota de Cuota de amortizativos interés amortización 94,56 94,56 94,56 73,11

3,48 2,57 1,65 0,72

91,08 91,99 92,91 72,39

Total amortizado

Capital vivo

742,71 834,70 927,61 1.000,00

257,29 165,30 72,39

Revisión del tipo mediante manteniendo las cuotas de amortización sin cambios (con respecto al cuadro inicial) Se toma como punto de partida el cuadro inicial calculado al principio para los tres años de duración del préstamo. Dicho cuadro permanecerá sin cambios, a pesar de las revisiones de tipos, por lo que se refiere a las columnas de cuota de amortización, total amortizado y capital vivo. A medida que se vaya modificando el tipo a aplicar en cada período, se calcularán las diferentes cuotas de interés. Para el cálculo de los términos amortizativos, bastará con sumar la cuota de interés (que cada trimestre se calcula al tipo nominal vigente en ese período) y la cuota de amortización (la calculada en el cuadro inicial para toda la operación) de cada uno de los trimestres.

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218

Cuota de interés

Número pago

Tipo interés

Términos amortizativos

Cuota de amortización

Total amortizado

Capital vivo

0 1 2 3 4

0,02 0,02 0,02 0,02

94,56 94,56 94,56 94,56

20,00 18,51 16,99 15,44

74,56 76,05 77,57 79,12

74,56 150,61 228,18 307,31

1.000,00 925,44 849,39 771,82 692,69

5 6 7 8

0,015 0,015 0,015 0,015

91,10 91,50 91,92 92,34

10,39 9,18 7,95 6,69

80,71 82,32 83,97 85,65

388,01 470,33 554,30 639,95

611,99 529,67 445,70 360,05

9 10 11 12

0,01 0,01 0,01 0,01

90,96 91,84 92,73 93,63

3,60 2,73 1,84 0,93

87,36 89,11 90,89 92,70

727,31 816,41 907,30 1.000,00

272,70 183,59 92,70

La ventaja de este sistema es la facilidad para construir el cuadro ya que desde el principio se conocen las cantidades destinadas a amortizar capital y, por tanto, los capitales pendientes. El importe de los términos amortizativos, no obstante, no puede conocerse de antemano, dado que no se conocen los tipos de interés que van a estar vigentes en futuros períodos, siendo diferentes todos ellos, desde el momento de la primera revisión del tipo de interés.

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219

CAPÍTULO 5. Empréstitos 1. Concepto. Generalidades Los empréstitos surgen cuando las necesidades de financiación son tan elevadas que resulta difícil obtener los fondos de un solo acreedor. Por ello se opta por fraccionar la deuda en pequeños préstamos, representados en títulos, que son suscritos por un número elevado de prestamistas (obligacionistas o bonistas). Así, se puede definir el empréstito como un macro-préstamo de cuantía elevada que para facilitar el concurso de muchos acreedores se divide en partes iguales, las cuales se instrumentan en títulos. Cada una de las cuales recoge las condiciones generales del empréstito: 

El nombre, capital, objeto y domicilio del emisor.



El valor nominal, intereses, vencimientos, primas y lote de obligaciones, si las tuviera.



Garantías de la emisión.

Los títulos incorporan un derecho de cobro de intereses y recuperación del nominal para el titular o poseedor del título. Estos derechos se convierten en la obligación para la sociedad emisora que se materializa en el pago de interés y devolución del nominal. En el lenguaje financiero la parte igualitaria del empréstito se reconoce con varios nombres: título-valor, título, obligaciones, título de la obligación si la emisión se hace a más de cinco años y bonos cuando la emisión es a cinco o menos años. 1.1. PERSONAS QUE INTERVIENEN EN EL EMPRÉSTITO 

El prestatario. Es el emisor, la entidad o sociedad que solicita dinero en préstamo emitiendo obligaciones que colocará en el mercado financiero. El prestatario «vende» obligaciones a los ahorradores.



El prestamista. Es la persona física o jurídica que presta el dinero. También se llama obligacionista (o bonista) porque «compra» obligaciones (o bonos).



Intermediario financiero. Es la entidad que canaliza y hace coincidir los intereses y deseos de la sociedad que emite el empréstito y de los ahorradores que desean rentabilizar sus ahorros. Normalmente son las entidades bancarias quienes colocan entre sus clientes el conjunto de obligaciones de un empréstito, cobrando una comisión por ello.

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220

1.2. TERMINOLOGÍA c: Valor nominal de un título (obligación o bono). n: Duración del empréstito. i: Tipo de interés del empréstito. c x i: Cupón o interés periódico de un título. N1: Número de títulos que componen la emisión de un empréstito. Nk: Número de títulos en circulación (pendientes de amortizar) a comienzos del período k. Mk: Número de títulos que se amortizan al final del período k. mk: Total acumulado de títulos amortizados después de k sorteos, incluidos los del período k. ak: Término amortizativo del período k. Es la contraprestación que la entidad emisora ha de pagar al final del período k. c x N1: Valor nominal del empréstito. V: Precio de emisión de un título. Es la cantidad realmente pagada por el obligacionista cuando adquiere el título. Si c = V -------------- > Emisión a la par Si c > V -------------- > Emisión bajo par Siendo pe la prima de emisión -------------- > pe = c – V V x N1: Valor de emisión del empréstito. Resultante de multiplicar el número de títulos emitidos por el precio de emisión de éstos. 1.3. PRINCIPALES DERECHOS ECONÓMICOS DE LOS OBLIGACIONISTAS Todo obligacionista tiene, como mínimo, los siguientes derechos: 1. Cobro de intereses. Se puede convenir que los intereses se abonen: • Periódicamente, los intereses los cobran los títulos que en ese momento están en circulación. Es lo que se conoce como emisiones de cupón periódico. • De una sola vez, cobrando los intereses aquellos títulos que resulten amortizados en cada período. Es lo que se conoce como emisiones de cupón acumulado. Puede ocurrir que todos o parte de los títulos que resulten amortizados en cada período pierdan el derecho de cobro del cupón correspondiente al período del sorteo. Es lo que se denomina amortización seca o amortización ex-cupón. 2. Recuperación del dinero prestado. La sociedad emisora deberá reembolsar el importe de las obligaciones en las condiciones fijadas en el momento de la emisión. Dicha cantidad se denomina valor de reembolso del título (ck), pudiendo ocurrir: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

221

ck = c -------------- > Amortización a la par ck = c + p --------- > Amortización sobre la par (con prima) siendo p = Prima de amortización o reembolso Clases de amortización: A efectos de determinar el número de títulos que han de retirarse de la circulación caben dos posibilidades: 1. Amortización por sorteo. Periódicamente, previo sorteo, se amortiza un número determinado de títulos. 2. Amortización única. Todos los títulos se amortizan de una sola vez al final de la vida del empréstito. Además de los derechos anteriores, algunos títulos tendrán derecho a un lote (L). Se trata de una cantidad que reciben parte de las obligaciones que resultan amortizadas en un período en concepto de premio. Puede ser fijo o variable. 1.4. PROBLEMÁTICA DE LOS GASTOS DEL EMISOR DE UN EMPRÉSTITO En toda emisión se pueden distinguir dos tipos de gastos: 1. Gastos iniciales (G) Se caracterizan por: • Ser gastos inherentes a la emisión (registros, publicidad, ...). • A efecto del cálculo financiero se consideran en el momento de la emisión, con independencia de dónde se produzcan. 2. Gastos de administración (g) Se caracterizan por: • Tratarse de una comisión periódica que reciben las entidades que prestan el «servicio financiero» del empréstito, es decir, por encargarse del pago de cupones, realización de sorteos, amortización de títulos, ...

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222

• Se pueden calcular de varias formas: – Sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas. – Sobre las cantidades destinadas al pago de cupones. – Sobre las cantidades destinadas a amortización, ... 1.5. PLANTEAMIENTO INICIAL DEL EMISOR Cuando una sociedad decide emitir un empréstito conoce la cuantía de las necesidades financieras que tiene y pretende obtener con los títulos que va a poner en circulación. Asimismo, la emisión supone gastos (gastos de emisión) que también precisarán ser financiados, por lo tanto, el valor de emisión ha de cubrir dichas cuantías. Por esto, en toda emisión se cumplirá la siguiente expresión, desde el punto de vista del emisor: Necesidades financieras + Gastos de emisión = Valor emisión del empréstito (E) (G) (V x N1) A la hora de hacer el estudio de los empréstitos nos centraremos en el punto de vista del emisor, ocupándonos de cómo devuelve la deuda contraída (cuadro de amortización del empréstito). No obstante, en la parte final del capítulo se realizará un estudio desde la óptica del obligacionista (valoración de títulos). En este sentido, los pagos que el emisor debe realizar vendrán dados en función del ritmo de amortización de los títulos emitidos y, en consecuencia, de los títulos que permanecen en circulación en cada momento de tiempo. Conocidos los títulos a amortizar y los que aún se encuentran en circulación, y las cuantías que se han de pagar a unos y otros, el emisor podrá construir el cuadro de pagos a realizar a lo largo de la operación. EJEMPLO 1 Construir el cuadro de amortización del siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 9.000.



Duración: 3 años.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual vencido: 100 euros que cobran los títulos en circulación.



Amortización de los títulos por el nominal: – Año 1: 1.000 títulos. – Año 2: 3.000 títulos. – Año 3: 5.000 títulos.

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223

Se pide: Cuadro de amortización. Solución: Gráficamente, el esquema de cobros y pagos del empréstito será:

(1)

(2)

(3)

(4) = (1) x 100

(5) = (2) x 1.000

(6) = (4) + (5)

Año

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Total T. amort.

Intereses

Amortización

Término amortizativo

1 2 3

9.000 8.000 5.000

1.000 3.000 5.000

1.000 4.000 9.000

900.000 800.000 500.000

1.000.000 3.000.000 5.000.000

1.900.000 3.800.000 5.500.000

circulación

al

(1)

Títulos

que

aún

quedan

en

principio

de

cada

año.

(2) Número de títulos que resultan amortizados en cada sorteo, realizado al final de cada año. (3) Total de títulos amortizados después de cada sorteo, es decir, los títulos que desde la emisión

ya

han

resultado

retirados

de

la

circulación.

(4) Cantidad que, en concepto de intereses, paga el emisor al final de cada período. El importe es el resultado de pagar el cupón acordado en la emisión (100 euros) a cada uno de

los

títulos

que

durante

ese

período

(año)

han

estado

en

circulación.

(5) Cuantía destinada por el emisor para retirar de la circulación los títulos acordados. Es el

valor

de

reembolso

de

los

títulos

amortizados

en

cada

sorteo.

(6) Total pagado en cada período por el emisor del empréstito por todos los conceptos (intereses y valor de reembolso).

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224

No obstante, puede ocurrir que el emisor no establezca directamente el número de títulos a amortizar en cada momento y, en consecuencia y de acuerdo con el importe de los cupones y valor de reembolso, las cuantías totales de los pagos a realizar en cada momento. Sino que lo que hace es determinar el importe total del pago (cuantía del término amortizativo) y, en función de su composición (cupones, valor de reembolso, lotes,…), se tendrá que determinar el número de títulos a amortizar en cada momento y cuántos han de quedar en circulación. Por eso es necesario plantear los diferentes tipos de empréstitos con los que nos podemos encontrar. 1.6. CLASIFICACIÓN DE LOS EMPRÉSTITOS Para el desarrollo del capítulo se tienen que seguir diferentes criterios de clasificación a la hora de hacer el estudio de los empréstitos. 1. Atendiendo a la forma de pago de los intereses a los obligacionistas: 1. Con pago periódico de intereses (obligaciones americanas): empréstitos clase I. Asimismo, podremos diferenciar entre: • Cupón periódico vencido, pagadero al final del período. • Cupón periódico anticipado o prepagable, pagadero al principio del período. 2. Con cupón acumulado: empréstitos clase II. Asimismo, podremos diferenciar entre: • Cupón acumulado en simple, cuando se emplea para la acumulación el régimen de capitalización simple de intereses. • Cupón acumulado en compuesta, cuando se emplea para la acumulación el régimen de capitalización de intereses compuesta. 2. Atendiendo a la cuantía del término amortizativo y del cupón: 1. Término amortizativo constante y cupón constante: empréstitos tipo I. 2. Término amortizativo variable y cupón constante: empréstitos tipo II. 3. Término amortizativo variable y cupón variable: empréstitos tipo III. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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3. Atendiendo a la composición del término amortizativo: 1. Sin características comerciales, «normal» o «puro». Cuando el término amortizativo se destina exclusivamente al pago de cupones y reembolso de los títulos amortizados por el nominal. 2. Con características comerciales. Cuando el término amortizativo se destina a algo más que a pagar el cupón y amortizar por el nominal (prima de reembolso, lotes, amortización seca, gastos de administración,…). Al desarrollar la primera parte del capítulo se estudiará en primer lugar los empréstitos desde el punto de vista del emisor, empezando por los empréstitos clase I, de cupón periódico vencido y, a continuación, de cupón periódico prepagable y, finalmente, de los empréstitos de cupón acumulado (empréstitos clase II). En la segunda parte se estudiarán estas operaciones desde el punto de vista, no del emisor, sino de quienes suscriben estos títulos (los obligacionistas). 2. Empréstito clase I. Tipo I. Puro También conocido como empréstito normal, se caracteriza por ser de cupón periódico (clase I), término amortizativo pagadero por el emisor y cupón constantes (tipo I), y no presentar ninguna otra característica especial. Por tanto, el pago del emisor se destina a retribuir con un cupón periódico constante a los títulos en circulación (c x i x Nk) y a amortizar por el nominal los títulos que corresponda (c x Mk). La estructura del término amortizativo (en adelante anualidad) será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos y términos amortizativos constantes (a), es el siguiente:

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226

Donde c x N1 representa el importe nominal del empréstito, n el número de pagos (términos amortizativos) en los que se amortiza, i el tipo de interés del cupón y a es el importe del término amortizativo constante. Este empréstito, considerado globalmente, es un préstamo francés. 2.1. Pasos a seguir Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (c x Mk) y cuota de interés (c x i x Nk). 2.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) Los pagos constantes que se realizan durante la vida del empréstito incorporan, en parte el coste del aplazamiento (pago de cupones), en parte la devolución de una porción de la deuda (amortización de títulos). Para calcular el término amortizativo bastaría con plantear una equivalencia financiera en el momento 0 entre el nominal del empréstito y la renta formada por los términos amortizativos:

resultando:

de donde se despeja el término a:

Es lo que se denomina el término amortizativo teórico (a diferencia de los que aparecen en el cuadro que se les conoce como términos amortizativos prácticos o reales). 2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Dada la estructura del término amortizativo (a) constante e ir disminuyendo la parte del mismo destinada al pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número de títulos en circulación que tienen derecho a cobrarlo), el valor destinado a reembolsar títulos necesariamente tendrá que ir creciendo y, por tanto, el número de títulos amortizados en cada sorteo. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

227

Se plantea la necesidad de saber cómo se obtiene el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados. Para ello podemos proceder de dos formas alternativas: 2.1.2.1. 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así: Período 1: a = c x i x N1 + c x M1 --> c x M1 = a – c x i x N1 a – c x i x N1 M1 = ------------------c Período 2: a = c x i x N2 + c x M2 --> c x M2 = a – c x i x (N1 – M1) a – c x i x (N1 – M1) M2 = ---------------------------c Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo. A pesar de la simplicidad del cálculo, resulta poco práctico, sobre todo cuando el número de sorteos es elevado. Conviene, pues, buscar un procedimiento que permita establecer, si es posible, alguna relación (ley de recurrencia) a la hora de calcular los Mk. 2.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados Como antes se ha comentado, al ser constante el término amortizativo y las cantidades destinadas al pago de cupones decrecientes, las cuantías destinadas a amortización necesariamente tendrán que ir creciendo. Además, varían siguiendo una ley matemática (ley de recurrencia). La ley de recurrencia es la relación que existe entre dos términos consecutivos, en este caso, las cantidades destinadas a amortizar títulos. Para buscarla se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: Período k: a = c x i x Nk + c x Mk Período k+1: a = c x i x Nk+1 + c x Mk+1 ---------------------------------------------------------

a - a = c x i x (Nk- Nk+1) + c x Mk- c x Mk+1 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

228

Siendo: Nk- Nk+1 = Mk 0 = c x i x Mk + c x Mk- c x Mk+1 dividiendo toda la expresión por c: 0 = i x Mk + Mk- Mk+1 de donde se obtiene: Mk+1 = Mk x (1 + i) Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + i, por tanto, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con carácter genérico, se pondrán en función del primero –que es el más fácil de obtener–: Mk+1= M1 x (1 + i)k 2.1.3. Cálculo de títulos amortizados en el primer sorteo (M1) Una vez calculado M1, todos los demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El cálculo del número de títulos amortizados en el primer sorteo se puede realizar de dos formas posibles: 2.1.3.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del primer término amortizativo Período 1: a = c x i x N1 + c x M1 a – c x i x N1 donde es conocido todo salvo M1 --> M1 = ------------------c lo que implica haber calculado previamente el término amortizativo (a). 2.1.3.2. 2.ª posibilidad: a través de los títulos emitidos En todo empréstito se cumple que la suma aritmética de los títulos amortizados en cada período coincide con el número de títulos inicialmente emitidos: M1 + M2 + M3 + ... + Mn = N1 Además, en este tipo de empréstito todos los títulos amortizados se pueden poner en función del primero de ellos por la ley de recurrencia antes calculada, por lo que la igualdad anterior quedará de la siguiente forma: M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + ... + M1 x (1 + i)n-1 = N1 Simplificando la expresión: M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1] = N1

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229

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos, por tanto:

de donde:

2.1.4. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se pueden obtener de dos formas posibles: • Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1- Nk+1 • Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + ... + Mk Además, todos los títulos amortizados se pueden poner en función del primero de ellos, según la ley de recurrencia que siguen: mk = M1 + M1 x (1 + i) + M1 x (1 + i)2 + ... + M1 x (1 + i)k-1 Simplificando la expresión: mk = M1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)k-1] donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de k términos, por tanto:

2.1.5. Cálculo de títulos vivos a principios de cada período (Nk+1) Podemos plantear este cálculo de varias formas:

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230

2.1.5.1. 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados 

Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados:



Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar:

2.1.5.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

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231

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone al emisor amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que aún debe (la diferencia entre lo que el emisor recibió en la emisión y lo que hasta la fecha ya ha pagado): en k: Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k es decir:

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. 

Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final. en k: Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k es decir:

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. 2.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1 Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i). Período k + 1: c x i x Nk+1

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232

EJEMPLO 2 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 100.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual (c x i): 120 u.m.



Duración: 5 años.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Cuadro de amortización.

Solución:

Cálculo de la anualidad:

Cálculo de los títulos amortizados:

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233

Para calcular el número definitivo de títulos amortizados en cada sorteo, seguiremos el denominado «método del redondeo», que consiste en calcular en primer lugar los títulos que teóricamente corresponde amortizar en cada sorteo (con decimales). A continuación se suman solamente las partes enteras (99.996) y los títulos que faltan hasta completar los que se emitieron (4 en nuestro caso), se reparten teniendo preferencia los sorteos con mayor decimal y correspondiendo como máximo un título por sorteo. Cuadro de amortización:

Año

1 2 3 4 5

(1)

(2)

(3)

(4) = (1) x 120

(5) = (2) x 1.000

(6) = (4) + (5)

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Total tít. amort.

Intereses

Amortización

Término amortizativo

100.000 84.259 66.629 46.884 24.769

15.741 17.630 19.745 22.115 24.769

15.741 33.371 53.116 75.231 100.000

12.000.000 10.111.080 7.995.480 5.626.080 2.972.280

15.741.000 17.630.000 19.745.000 22.115.000 24.769.000

27.741.000 27.741.080 27.740.480 27.741.080 27.741.280

La columna (1) recoge los títulos en circulación a principios de cada período, que serán los que tengan derecho a percibir el cupón al final del período (4). La columna (2) recoge los títulos que resultan amortizados al final de cada período y que serán los que reciban el valor de reembolso (5). El pago finalmente efectuado por el emisor en cada momento será eltérmino amortizativo (6). La cuantía de los términos amortizativos (también denominada anualidad práctica) no coincide con el importe calculado anteriormente (27.740.973,19). Esto se debe al redondeo efectuado en los títulos que resultan amortizados en cada sorteo. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

234

2.2. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con características comerciales Todas las expresiones empleadas hasta ahora son válidas para empréstitos denominados normales o puros, es decir, aquellos en los que el término amortizativo se destina exclusivamente al pago de un cupón (constante) y a amortizar por el nominal a los títulos que corresponda. No obstante, podemos encontrarnos con empréstitos en los que el emisor haya acordado retribuir adicionalmente a los obligacionistas (con primas de amortización y/o lotes) o bien incluyen gastos soportados por el emisor (gastos de administración). En estos casos, habrá que «preparar el empréstito» para que exista equilibrio financiero y así poder aplicar las expresiones anteriores. Los pasos a seguir para trabajar con empréstitos de cupón periódico cuando tienen características comerciales son: 1.º Determinar la composición de la estructura de la anualidad siguiendo el siguiente orden: Anualidad = Intereses + Amortización + Lotes + Gastos de administración 2.º Proceso de normalización: el objetivo final es dejar la estructura de partida en una equivalente en la que la anualidad se destine exclusivamente a pagar cupones y a amortizar por el nominal los títulos. Las fases de la normalización son: a) Pasar lo que no sea amortización ni cupón (lotes y gastos de administración) al primer miembro. b) Si el valor de reembolso de los títulos es diferente del valor nominal de los títulos, dividir por el coeficiente de Mk toda la expresión. c) Multiplicar por el nominal de los títulos toda la expresión. El resultado de la normalización será una estructura pura (sin características comerciales):

donde: a': es la anualidad normalizada. i': es el tanto normalizado. 3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos, amortizados y total de amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora son válidas pero cambiando a por a' e i por i'. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

235

No obstante, hay que tener en cuenta que existen características comerciales que aunque existan en el empréstito no afectan a la estructura de la anualidad y, por tanto, no precisan normalización: es el caso de la prima de emisión y los gastos de emisión. Además, la presencia de estas dos características no afecta al cálculo de la anualidad ni al cuadro de la operación. EJEMPLO 3 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 1.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Interés anual: 6%.



Duración: 4 años.



Amortización: 1.200 u.m.



Anualidad constante.

Se pide: 

Cálculo de la anualidad.



Construir el cuadro de amortización.

Solución: Cálculo de la anualidad Se trata de un empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante, con una prima de reembolso de 200 euros por título. La estructura de la anualidad será:

Como presenta características comerciales habrá que normalizar. Los pasos a seguir son: • Dividir por el coeficiente de Mk:

• Multiplicar por el nominal del título:

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236

• Haciendo los siguientes cambios:

La estructura de la anualidad queda: a' = c x i' x Nk + c x Mk Estructura normal, a la que se puede aplicar las expresiones demostradas anteriormente para empréstitos clase I, tipo I, puros.

Planteando la equivalencia en origen:

teniendo en cuenta el valor de a' y deshaciendo el cambio de variable efectuado en la normalización obtendremos finalmente la anualidad teórica buscada:

Cálculo de los títulos amortizados:

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237

Cuadro de amortización (1)

Año

1 2 3 4

(2)

(3)

Títulos Títulos vivos amortiz.

1.000 768 524 268

232 244 256 268

(4) = (1) x 60

(5) = (2) x 1.200

(6) = (4) + (5)

Total Término tít. Intereses Amortización amortizativo amort. 232 476 732 1.000

60.000 46.080 31.440 16.080

278.400 292.800 307.200 321.600

338.400 338.880 338.640 337.680

EJEMPLO 4 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 1.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Interés anual: 5%.



Duración: 3 años.



Los títulos amortizados pierden el último cupón.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Cuadro de amortización.

Solución: Cálculo de la anualidad Se trata de un empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante, con amortización seca (pérdida del último cupón de los títulos que resulten amortizados). La estructura de la anualidad será:

Como presenta características comerciales habrá que normalizar. Los pasos a seguir son: • Sacar factor común Mk: a = c x i x Nk + (c – c x i) x Mk Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

238

Con el fin de que el segundo miembro de la igualdad tenga dos términos, uno en función de Nk y otro en función de Mk. • Dividir por el coeficiente de Mk:

• Multiplicar por el nominal del título:

• Haciendo los siguientes cambios:

La estructura de la anualidad quedará: a' = c x i' x Nk + c x Mk estructura normal, a la que se pueden aplicar las expresiones demostradas anteriormente para empréstitos clase I, tipo I, puros.

Planteando la equivalencia en origen:

teniendo en cuenta el valor de a', obtendremos finalmente a:

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239

Cálculo de los títulos amortizados

Cuadro de amortización (1)

(2)

(3)

1.000 684 351

(5) = (2) x 1.000

(6) = (4) + (5)

Total Término tít. Intereses Amortización amortizativo amort.

Títulos Títulos Año vivos amortiz.

1 2 3

(4) = [(1) – (2)] x 50

316 333 351

316 649 1.000

34.200 17.550

316.000 333.000 351.000

350.200 350.550 351.000

(4) Los intereses los cobrarán los títulos en circulación durante el año, salvo los que resulten amortizados al final del mismo: Nk – Mk. Año 1: 1.000 – 316 = 684 684 x 50 = 34.200 Año 2: 684 – 333 = 351 351 x 50 = 17.550 Año 3: 351 – 351 = 0 0 x 50 = 0 Hay que observar que para el proceso de normalización la amortización seca se ha relacionado con el valor de reembolso, quedando la siguiente estructura: a = c x i x Nk + (c – c x i) x Mk No obstante, para construir el cuadro de amortización la amortización seca ha de aparecer como un menor pago de intereses y, por tanto, supondrá un menor pago de intereses, quedando la estructura de la anualidad de esta otra forma: a = c x i x (Nk – Mk) + c x Mk EJEMPLO 5 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 75.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 120 u.m.

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240



Duración: 10 años.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 u.m.



Los títulos se adquieren al 90%.



Gastos iniciales de 500.000 u.m. a cargo del emisor.



Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Dos primeras líneas del cuadro de amortización.

Solución: Cálculo de la anualidad Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante, con prima de amortización y gastos de administración. Existen una prima de emisión y unos gastos iniciales pero no afectan al término amortizativo, por tanto, la estructura de la anualidad será:

Sacando factor común el corchete:

Normalizando: • Dividiendo por 1 + g toda la expresión:

• Dividiendo por c + p toda la expresión:

• Multiplicando por c toda la expresión:

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241

• Siendo:

Resulta el empréstito normalizado: a' = c x i' x Nk + c x Mk estructura normal, a la que aplicaremos las expresiones de los empréstitos clase I, tipo I, puros.

Planteando la equivalencia en origen:

teniendo en cuenta el valor de a', obtendremos finalmente a al deshacer el cambio de variable:

Cálculo del cuadro de amortización (2 líneas)

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242

Al no conocer nada más que los títulos de dos sorteos se redondean los Mk atendiendo solamente al decimal (mayor o igual que cinco, por exceso y en caso contrario por defecto). (5) = 1%o x [(3) + (4)]

(6) = (3) + (4) + (5)

Títulos Títulos Intereses Amortización vivos amortiz.

Gastos admón.

Término amortizativo

75.000 70.294

14.647,2 14.661.847,2 14.647,7 14.662.327,7

(1)

Año

1 2

(2)

(3) = (1) x 20

4.706 9.000.000 5.177 8.435.280

(4) = (2) x 1.200

5.647.200 6.212.400

3. Empréstitos clase I. Tipo II Se caracterizan por ser de cupón periódico que se les paga a los títulos en circulación (clase I), término amortizativo variable y cupón constante (tipo II), durante toda la operación. La estructura del término amortizativo puro será la siguiente:

Empréstitos que responden a esta estructura genérica serán los siguientes: 1. Aquellos empréstitos en los que el número de títulos amortizados en cada sorteo permanezca constante. 2. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable en progresión geométrica, de razón conocida. 3. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable en progresión aritmética, de razón conocida.

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243

3.1. Empréstito de cupón periódico con igual número de títulos amortizados En este tipo de empréstito, el emisor se compromete a amortizar todos los períodos el mismo número de títulos, por tanto, la cantidad destinada al reembolso se mantiene constante durante toda la operación. 3.1.1. Pasos a seguir Para el caso de un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos se calculará en primer lugar todo lo que tenga que ver con la amortización de títulos, fáciles de obtener, y a continuación lo referente a los cupones y, finalmente, los términos amortizativos. 3.1.1.1. Cálculo del número de títulos amortizados en cada sorteo (M) Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulos emitidos, se debe cumplir: N1 = M1 + M2 + M3 + … + Mn = M x n de donde se obtiene: N1 M = -----n Donde n representa el número de sorteos realizados a lo largo de la vida del empréstito. 3.1.1.2. Cálculo del total de títulos amortizados después de k períodos (mk)

Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de la circulación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulos amortizados correspondiente a los períodos transcurridos. mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k

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244

3.1.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (Nk+1) Se realizará a través de los títulos amortizados (pasados o futuros).



Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minorados en los ya amortizados hasta ese momento. Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k



Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aún quedan pendientes de ser amortizados. Nk+1 = (n – k) x M

3.1.1.4. Cálculo del pago de cupones en el período k + 1 Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i). Período k+1: c x i x Nk+1 3.1.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak) Al mantenerse constante la parte del término amortizativo que se destina al reembolso de títulos e ir disminuyendo la cantidad destinada a pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número de títulos en circulación que tiene derecho a cobrarlo), los términos amortizativos necesariamente tendrán que ir decreciendo. Además, los términos variarán como lo hacen las cantidades destinadas al pago de cupones y seguirán una ley matemática. La estructura del término amortizativo quedará de la siguiente forma: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

245

El cálculo de los diferentes términos se podrá realizar de dos formas posibles: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación y añadiendo el valor de reembolso constante ya conocido: Período 1: a1 = c x i x N1 + c x M Período 2: a2 = c x i x N2 + c x M = c x i x (N1 – M) + c x M … B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos Se calcula el primer término y el resto se obtiene a través de la ley de recurrencia que siguen y que se obtendrá al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera: Período k: ak = c x i x Nk + c x M Período k+1: ak+1 = c x i x Nk+1 + c x M --------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i x Nk – c x i x Nk+1 + c x M – c x M simplificando: ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1) siendo : Nk – Nk+1 = M se puede deducir: ak+1 = ak – c x i x M lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (c x i x M), por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base a esa recurrencia: ak+1 = a1 – k x c x i x M Si hay características comerciales, éstas sólo afectarían al cálculo de los términos amortizativos y, en consecuencia, a la ley de recurrencia que siguen. No se normaliza.

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246

EJEMPLO 6 Construir la fila octava del cuadro de amortización del siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 100.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Duración: 10 años.



Los títulos se adquieren al 90%.



Cupón anual: 120 u.m.



Sorteos anuales, amortizándose el mismo número de títulos, con prima de 100 u.m. por título.



Premio de 5.000 u.m. para cada uno de los 100 primeros títulos amortizados cada año.



Gastos de administración del 1‰ sobre los cupones pagados anualmente.

Solución: Es un empréstito de cupón periódico constante, amortización con prima de reembolso, lote constante (5.000 x 100), gastos de administración calculados exclusivamente sobre el pago de cupones a los obligacionistas y siendo el número de títulos amortizados constantes. La estructura de la anualidad será:

(2)

Año

8

(1)

(5) = (3) = 120 (4) = 1.100 5.000 x x (2) x (1) 100

Títulos Títulos Intereses vivos amortiz. 30.000

Amortiz.

Lotes

10.000 3.600.000 11.000.000 500.000

(6) = 1‰ x (3)

(7) = (3) + (4) + (5) + (6)

Gastos Término admón. amortizativo 3.600

15.103.600

100.000 (1) M1 = M2 = … = M10 = M = ------------ = 10.000 10 (2) N8 = N1 – m7 = 3 x M = 30.000 La prima de emisión de 100 euros por título no afecta a los términos amortizativos.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

247

3.2. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en progresión geométrica Este empréstito se caracteriza porque: 

Los términos amortizativos varían en progresión geométrica.



El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la vida del empréstito.



El cupón es constante y se paga periódicamente y por vencido a los títulos en circulación.



Los títulos se amortizan por el nominal.

Considerado globalmente, el empréstito es un préstamo con términos amortizativos en progresión geométrica.

La estructura del término amortizativo de este empréstito será:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos y términos amortizativos variables (ak), es el siguiente:

3.2.1. Pasos a seguir 3.2.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entre el importe nominal del empréstito y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término (desconocido) y la razón de la progresión (conocida). Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

248

Al desarrollar la equivalencia pueden darse dos casos, según la relación entre la razón de la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del cupón:

En ambos casos la variable a calcular es el primer término amortizativo (a1). Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán a través de la progresión que siguen, así: a2 = a1 x q a3 = a2 x q = a1 x q2 … ak+1 = ak x q = a1 x qk … an = an-1 x q = a1 x qn-1 3.2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Para saber el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemos calculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así: Período 1: a1 = c x i x N1 + c x M1 c x M1 = a1 – c x i x N1 a1 – c x i x N1 M1 = ------------------c

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

249

Período 2: a2 = c x i x N2 + c x M2 c x M2 = a2 – c x i x (N1 – M1) a2 – c x i x (N1 – M1) M2 =--------------------c … Procediendo de la misma forma, completaríamos el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo. B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: Período k: ak = c x i x Nk + c x Mk Período k+1: ak+1 = c x i x Nk+1 + c x Mk+1 ------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1) + c x Mk – c x Mk+1 simplificando ambos miembros, sabiendo que ak+1 = ak x q y Nk – Nk+1 = Mk: ak x (1 – q) = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1 de donde, dividiendo por c y despejando Mk+1, se obtiene: ak Mk+1 = Mk x (1 + i) – ------ x (1 – q) c Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior los que corresponde amortizar en el presente. 3.2.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formas posibles: • Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1 • Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk 3.2.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) Podemos plantear este cálculo de varias formas: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

250

A) 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados • Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados: Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk • Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar: Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn B) 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y valor de reembolso; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

251

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido (k) entre lo que le supone al emisor amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que aún debe (la diferencia entre lo que el emisor recibió en la emisión y lo que hasta la fecha ya ha pagado): en K: Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k es decir:

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. • Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

Se ha de cumplir la equivalencia en el momento elegido entre lo que supone amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final: en K: Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k es decir:

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. 3.2.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1 Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i). Período k+1: c x i x Nk+1 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

252

EJEMPLO 7 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 10.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Interés anual: 12%.



Duración: 5 años.



Anualidades aumentando un 12% anual de manera acumulativa.

Se pide: 

Anualidades del empréstito.



Cuadro de amortización.

Solución: Es un empréstito puro de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión geométrica de razón 1,12. Por tanto, la estructura del término amortizativo será:

Cálculo de las anualidades Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empréstito y el valor actualizado de los términos que lo amortizan. Gráficamente:

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

253

Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir de éstas, podremos ir calculando año a año los títulos que se amortizan en cada sorteo. a1 = 2.240.000,00 a2 = a1 x 1,12 = 2.508.800,00 a3 = a2 x 1,12 = 2.809.856,00 a4 = a3 x 1,12 = 3.147.038,72 a5 = a4 x 1,12 = 3.524.683,37 Cálculo del cuadro de amortización (1)

Año

1 2 3 4 5

(2)

(3)

Títulos Títulos vivos amortiz.

10.000 8.960 7.527 5.620 3.147

1.040 1.433 1.907 2.473 3.147

(4) = (1) x 120

(5) = (2) x 1.000

(6) = (4) + (5)

Total Término tít. Intereses Amortización amortizativo amort. 1.040 1.200.000 2.473 1.075.200 4.380 903.240 6.853 674.400 10.000 377.640

1.040.000 1.433.000 1.907.000 2.473.000 3.147.000

2.240.000 2.508.200 2.810.240 3.147.400 3.524.640

(2) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo le iremos dando valores a la anualidad, empezando por la primera: Año 1:

Año 2:

Año 3:

Año 4:

a1 = c x i x N1 + c x M1 2.240.000 = 120 x 10.000 + 1.000 x M1 M1 = 1.040 a2 = c x i x N2 + c x M2 2.508.800 = 120 x (10.000 – 1.040) + 1.000 x M2 M2 = 1.433,60 a3 = c x i x N3 + c x M3 2.809.856 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60) + 1.000 x M3 M3 = 1.906,69 a4 = c x i x N4 + c x M4 3.147.038,72 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60 – 1.906,69) + 1.000 x M4 M4 = 2.472,67

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

254

Año 5:

a5 = c x i x N5 + c x M5 3.524.683,37 = 120 x (10.000 – 1.040 – 1.433,60 – 1.906,69 – 2.472,67) + 1.000 x M5 M5 = 3.147,04

M1 = 1.040 M1 = 1.040 M2 = 1.433,60 M2 = 1.433 M3 = 1.906,69 M3 = 1.907 M4 = 2.472,67 M4 = 2.473 M5 = 3.147,04 M5 = 3.147 --------------

--------------

9.998

10.000

3.3. Empréstito de cupón periódico y anualidades en progresión geométrica En principio, bastaría con normalizar el empréstito y trabajar con los términos amortizativos normalizados y con el tanto normalizado, como se realiza con los anteriores empréstitos. No obstante, puede ocurrir que, como consecuencia de la normalización, los términos amortizativos normalizados no sigan una progresión geométrica o que cambie la razón de la progresión. Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma, aunque puede ocurrir que las características que existan no afecten a la progresión y en consecuencia baste con normalizar y emplear las anualidades normalizadas y el tanto normalizado sin más en las fórmulas del empréstito puro: 1. Construir la estructura del término amortizativo (ak), recogiendo todas las características que le afecten. 2. Normalizar, obteniendo el término normalizado (a'k) y el tanto normalizado (i'). 3. Como el término normalizado puede que no siga ningún tipo de ley, evitaremos trabajar con rentas y lo haremos con sumatorios y se planteará la equivalencia financiera entre el nominal del empréstito y los términos normalizados actualizados al tanto normalizado. 4. Se sustituirá en el sumatorio el término amortizativo normalizado (a'k), por su valor. 5. Lo que multiplique o divida al ak, al ser constante, se podrá extraer del sumatorio. 6. Si hubiera algún término que se sumara o restara al ak (lotes), el sumatorio se descompondrá en dos sumatorios. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

255

7. Los sumatorios se convertirán en valores actuales de rentas (constantes o variables). 8. Se despejará el primer término amortizativo (a1). EJEMPLO 8 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 100.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Interés anual: 12%.



Duración: 10 años.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 400 u.m.



Premio de 800 u.m. para cada uno de los 50 primeros títulos amortizados cada año.



Anualidades comerciales variables en progresión geométrica de razón 1,10.

Se pide: 

Anualidad del sexto año.



Títulos amortizados en el segundo año.

Solución: Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión geométrica de razón 1,10, con prima de amortización constante y un lote anual de 40.000 u.m. (800 x 50). Sabido todo esto, los pasos a seguir son: 1. Estructura de la anualidad teórica

2. Normalización ak – L = c x i x Nk + (c + p) x Mk ak – L

i

---------- = c x --------- x Nk + Mk c+p

c+p

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

256

ak – L

cxi

c x ---------- = c x ---------- x Nk + c x Mk c+p

c+p

Siendo: ak – L a' = c x -----------c+p cxi

120

i' = ---------- = ----------------- = 0,0857143 c+p

1.000 + 400

Resulta el empréstito normalizado: a'k = c x i' x Nk + c x Mk Gráficamente:

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades teóricas normalizadas trabajando con sumatorios

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

257

4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalización

5. Extracción del sumatorio de aquello que multiplique y/o divida en el numerador

6. Separación del sumatorio en dos sumatorios parciales con igual denominador

7. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta

8. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a1

Anualidad del sexto año a6 = a1 x 1,15 = 23.108.122,05 Títulos amortizados en el segundo año 1.ª posibilidad: empezando desde el principio y calculando todos los títulos amortizados año tras año Año 1

a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1 + L 14.348.325,71 = 120 x 100.000 + 1.400 x M1 + 40.000 M1 = 1.648,80

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

258

Año 2

a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2 + L a1 x 1,1 = c x i x (N1 – M1) + (c + p) x M2 + L 14.348.325,71 x 1,1 = 120 x (100.000 – 1.648,80) + 1.400 x M2 + 40.000 M2 = 2.815,01 M2 = 2.815

2.ª posibilidad: calculando previamente los títulos vivos del período y despejando de la anualidad los títulos amortizados

El primer sistema resulta más interesante cuando nos encontramos cerca del origen (como en este ejercicio). Sin embargo, cuando se hayan realizado varios sorteos resultará más rápido el segundo método, pues se evita tener que calcular, uno a uno, todos los sorteos ya efectuados. 3.4. Empréstito de cupón periódico constante con anualidad variable en progresión geométrica Este empréstito se caracteriza porque: 

Los términos amortizativos varían en progresión aritmética.



El tanto de valoración y razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la operación.



El cupón es constante y se paga periódicamente por vencido a los títulos en circulación.



La amortización se realiza por el nominal.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

259

Considerado globalmente es un préstamo con términos amortizativos variables en progresión aritmética. La estructura del término amortizativo en este empréstito puro es:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x i, con una duración de n períodos y términos amortizativos variables en progresión aritmética (ak), es el siguiente:

3.4.1. Pasos a seguir 3.4.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entre el importe nominal del empréstito y la renta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.

La variable a calcular será el primer término amortizativo (a1). Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de ellos se calcularán a través de la ley de la progresión aritmética que siguen, así: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d … ak+1 = ak + d = a1 + k x d … an = an-1 + d = a1 + (n – 1) x d Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

260

3.4.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Para saber el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Conocida la cuantía del término a pagar en cada período (que previamente hemos calculado) y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así: Período 1: a1 = c x i x N1 + c x M1 c x M1 = a1 – c x i x N1 a1 – c x i x N1 M1 = --------------------c

Período 2:

a2 = c x i x N2 + c x M2 c x M2 = a2 – c x i x (N1 – M1) a2 – c x i x (N1 – M1) M2 = ---------------------------c

…

Procediendo de la misma forma, completaríamos el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo. B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: Período k: ak = c x i x Nk + c x Mk Período k+1:

ak+1 = c x i x Nk+1 + c x Mk+1 ---------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i x (Nk – Nk+1) + c x Mk – c x Mk+1

simplificando ambos miembros, sabiendo que: ak+1 = ak + d y Nk – Nk+1 = Mk:– d = c x i x Mk + c x Mk – c x Mk+1

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

261

de donde se obtiene: d Mk+1 = Mk x (1 + i) + ---c Expresión que permite conocer a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior los que corresponde amortizar en el presente. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier Mk a partir de M1, la expresión a aplicar será:

3.4.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se calculan de dos formas posibles: 

Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1



Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk

3.4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) Podemos plantear este cálculo de varias formas:

A) 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados 

Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados. Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

262



Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar. Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn

B) 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos Al trabajar con los términos amortizativos se deberá hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo: considerando términos amortizativos pasados.

en K: Lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. • Método prospectivo: considerando términos amortizativos futuros.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

263

en K: lo que se supondría la amortización anticipada en k = cantidades pendientes de pagar]k

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1: 3.4.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1 Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i). Período k+1: c x i x Nk+1 EJEMPLO 9 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 50.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 130 u.m.



Sorteos anuales y amortización por el nominal.



Duración: 4 años.



Anualidades aumentando: 300.000 u.m./año.

Se pide: Construir el cuadro de amortización. Solución: Es un empréstito puro de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión aritmética de razón 300.000 u.m. Por tanto, la estructura del término amortizativo será:

Gráficamente:

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

264

Cálculo de las anualidades Se plantea la equivalencia en origen entre el nominal del empréstito y el valor actualizado de los términos que lo amortizan y se despeja el primer término amortizativo.

Una vez calculada la primera anualidad podremos conocer las restantes y, a partir de éstas, podremos ir calculando año a año los títulos que se amortizan en cada sorteo. a1 = 16.405.348,62 a2 = a1 + 300.000 = 16.705.348,62 a3 = a2 + 300.000 = 17.005.348,62

Año

1 2 3 4

(1)

(2)

Títulos vivos

Títulos amortiz.

50.000 40.095 28.602 15.315

a4 = a3 + 300.000 = 17.305.348,62 (4) = (1) x (5) = (2) x (3) 130 1.000

9.905 11.493 13.287 15.315

Total tít. amort. 9.905 21.398 34.685 50.000

Intereses

6.500.000 5.212.350 3.718.260 1.990.950

Amortización

9.905.000 11.493.000 13.287.000 15.315.000

(6) = (4) + (5)

Término amortizativo 16.405.000 16.705.350 17.005.260 17.305.950

(1) Para obtener los títulos que se amortizan en cada sorteo se darán valores a la anualidad, empezando por la primera:

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

265

También se podría haber empleado la ley de recurrencia para calcular los Mk, una vez calculado M1:

3.5. Empréstito de cupón periódico y anualidades en progresión aritmética con características comerciales La problemática de este tipo de empréstitos es la misma que la comentada cuando el término amortizativo

es variable en

progresión

geométrica con características

comerciales. Por tanto, la manera de proceder es la misma que la desarrollada en aquel caso. EJEMPLO 10 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 100.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Duración: 4 años.



Cupón anual: 125 u.m.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 u.m.



Anualidades comerciales variables en progresión aritmética de razón: 500.000 u.m./año.

Se pide: 

Anualidad del tercer año.



Cuadro de amortización

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

266

Solución: Es un empréstito de cupón periódico constante y anualidad variable en progresión aritmética de razón 500.000 u.m., con prima de amortización constante; los pasos a seguir son: 1. Estructura de la anualidad teórica

2. Normalización ak

i

-------- = c x -------- x Nk + Mk c+p

c+p

ak x c

cxi

-------- = c x -------- x Nk + c x Mk c+p

c+p

Siendo: c x ak

cxi

125

a' = ---------- i' = --------- = ------------------ = 0,10416666 c+p

c+p

1.000 + 200

Resulta el empréstito normalizado: a'k = c x i' x Nk + c x Mk

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

267

Gráficamente:

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades teóricas normalizadas trabajando con sumatorios

4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalización

5. Extracción del sumatorio de aquello que multiplique y/o divida en el numerador

6. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de renta

7. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a1

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

268

Anualidad del tercer año a3 = a1 + 2 x 500.000 = 38.510.261,17 Cuadro de amortización

Año

1 2 3 4

(1)

(2)

(3)

(4) = (1) x 125

(5) = (2) x 1.200

(6) = (4) + (5) 0

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Total tít. amort.

Intereses

Amortización

Término amortizativo

100.000 79.158 55.729 29.442

20.842 23.429 26.287 29.442

20.842 44.271 70.558 100.000

12.500.000 9.894.750 6.966.125 3.680.225

25.010.400 28.114.800 31.544.400 35.330.400

37.510.400 38.009.550 38.510.525 39.010.65

Cálculo de títulos amortizados a1 = c x i x N1 + (c + p) x M1 Año 1: 37.510.261,17 = 125 x 100.000 + 1.200 x M1 M1 = 20.841,88 Año 2:

Año 3:

Año 4

a2 = c x i x N2 + (c + p) x M2 38.010.261,17 = 125 x (N1 – M1) + 1.200 x M2 M2 = 23.429,58 a3 = c x i x N3 + (c + p) x M3 38.510.261,17 = 125 x (N1 – M1 – M2) + 1.200 x M3 M3 = 26.286,83 a4 = c x i x N4 + (c + p) x M4 39.010.261,17 = 125 x (N1 – M1 – M2 – M3) + 1.200 x M4 M4 = 29.441,7

Para el cálculo de Mk también se podía haber empleado la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados en este tipo de empréstitos.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

269

M1 = 20.841,88 ®

M1 = 20.842

M2 = 23.429,58

M2 = 23.429

M3 = 26.286,83 ®

M3 = 26.287

M4 = 29.441,71 ®

M44 = 29.442

------------99.997

------------100.000

3.6. Empréstito con diferimiento Empréstitos diferidos (con diferimiento) son aquellos en los que se retrasa la realización del primer sorteo de títulos, el cual ya no tendrá lugar al finalizar el primer período de vida de la operación. Así pues, durante una primera etapa no se realizan sorteos y amortización de títulos y, por tanto, el emisor no paga valores de reembolso ni nada que tenga que ver con los sorteos (lotes, amortización seca, …); sí que se pagarán los cupones y, si procede, gastos de administración. Por tanto, a la hora de determinar la estructura de la(s) anualidad(es) habrá una diferente para el período durante el cual no hay sorteos (período de diferimiento) y al menos otra, diferente para el resto de períodos del empréstito. El cálculo del término amortizativo durante el período de diferimiento es fácil de obtener a partir de datos de partida, pues recoge el cupón periódico que perciben todos los títulos emitidos (N1) y, si tiene, gastos de administración. Para obtener la otra anualidad habrá que proceder como si el empréstito comenzara al final del período de diferimiento, planteando en ese punto la equivalencia entre el nominal del empréstito en ese punto y la actualización de las restantes anualidades (normalizadas, si tiene características comerciales). El diferimiento es posible cualesquiera que sean las características que presente el empréstito y también con independencia de que la anualidad del mismo sea constante o variable. En este sentido, a la hora de realizar los cálculos se aplicarán las expresiones que procedan según el tipo de empréstito.

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270

EJEMPLO 11 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 50.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 110 u.m.



Duración: 5 años.



Los títulos se adquieren al 90%.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 100 u.m., teniendo lugar el primer sorteo al tercer año de la emisión.



Gastos iniciales de 500.000 u.m. a cargo de emisor.



Gastos de administración del 2‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.

Se pide: 

Anualidades del empréstito.



Cuadro de amortización.

Solución: Cálculo de las anualidades Hay un diferimiento de dos años, durante los cuales el emisor solamente pagará un cupón constante (c x i) a los títulos emitidos así como los gastos de administración calculados sobre dichos intereses. Durante los tres últimos años, la anualidad se destina a pagar el mismo cupón a los títulos en circulación (cada vez menores), amortizar con prima constante los títulos que corresponda y pagar los gastos de administración. Las estructuras de los términos amortizativos serán:

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271

a -------- = c x i x Nk + (c + p) x Mk 1+g a

i

-------------------- = c x -------- x Nk + Mk (1 + g) x (c + p) axc

c+p cxi

---------------------- = c x --------- x Nk + c x Mk (1 + g) x (c + p)

c+p

siendo: axc

ixc

110

a' = ---------------------- i' = ------- = ----------------- = 0,10 (1 + g) x (c + p)

c+p

1.000 + 100

queda: a' = c x i' x Nk + c x Mk planteando la equivalencia en 2:

teniendo en cuenta que: axc a' = --------------------(1 + g) x (c + p)

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

272

y sustituyendo los datos conocidos, se despeja a: a 20.105.740,18 = ------------------------------------(1 + 0,002) x (1.000 + 100) a = 22.160.547,82 Cuadro de amortización (3 líneas) (1)

Año

1 2 3 4 5

(2)

(3) = (1) x 110

(4) = (2) x 1.100

(5) = 2‰ [(3) + (4)]

(6) = (3) + (4) + (5)

Títulos Títulos Gastos Término Intereses Amortización vivos amortiz. admón. amortizativo 50.000 50.000 50.000 34.894 18.278

– – 15.106 16.616 18.278

5.500.000 5.500.000 5.500.000 3.838.340 2.010.580

– – 16.616.600 18.277.600 20.105.800

11.000,0 5.511.000,0 11.000,0 5.511.000,0 44.233,2 22.160.833,2 44.231,9 22.160.171,9 44.232,8 22.160.612,8

Cálculo de los títulos amortizados

3.7. Empréstito con cupón fraccionado Son aquellos empréstitos en los que los cupones se pagan con mayor periodicidad de la empleada para reembolsar los títulos (hay mayor número de pagos de cupones que de pagos por devolución de títulos), cualquiera que sea la unidad de tiempo elegida. Es decir, los cupones se pagan fraccionadamente dentro del período de tiempo elegido para la amortización de los títulos, mientras que los sorteos de los títulos no se modifican y se realizan al final de dicho período (normalmente el año). Gráficamente, para un empréstito de tres años con amortización anual y pago semestral de cupones: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

273

Para plantear las equivalencias financieras, así como para calcular los títulos amortizados y los títulos vivos en cualquier momento, habrá que convertir el cupón fraccionado en otro equivalente expresado en la unidad en la que se amorticen los títulos. De esta manera se obtendrán unos términos amortizativos equivalentes (ak) –nunca son pagados por el emisor y por tanto nunca aparecerán en el cuadro de amortización–. Cuando se presenten características comerciales habrá que normalizar y se emplearán las mismas expresiones (fórmulas) previstas para cuando no hay fraccionamiento de cupones, tanto para calcular títulos amortizados (Mk) como los títulos vivos (Nk), utilizando siempre el tanto del cupón equivalente. No obstante, en el cuadro siempre aparecerá el cupón fraccionado. El fraccionamiento se puede presentar tanto con anualidades constantes como variables, siendo idéntica la forma de tratarlo. EJEMPLO 12 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 100.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Los títulos se adquieren al 95%.

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274



Cupón semestral: 60 u.m.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 u.m.



Duración: 3 años.



Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas a los obligacionistas.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Cuadro de amortización.

Solución: Es el caso de un empréstito de cupón periódico constante y fraccionado (se paga semestralmente y los sorteos son anuales), con prima de amortización y con gastos de administración sobre las cantidades cobradas por los obligacionistas. La prima de emisión no afecta a la estructura de la anualidad. El esquema de pagos es el siguiente:

Cálculo de la anualidad Pasando el cupón semestral a su equivalente anual se obtiene: c x i2 = 60 --> i2 = 6% --> i = 1,062 – 1 = 0,1236 --> c x i = 123,60

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275

Resultando la siguiente estructura:

una vez normalizada: a' = c x i' x Nk + c x Mk siendo: 123,6 i' = ---------- = 0,103 1.200 resolviendo la equivalencia en el origen:

una vez obtenida la anualidad normalizada se obtiene la anualidad buscada, teniendo en cuenta la siguiente relación: axc a' = ---------------------(1 + g) x (c + p) a x 1.000 40.424.029,67 = -----------------------------------(1 + 0,001) x (1.000 + 200) a = 48.557.344,44

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276

Cuadro de amortización (1)

Año

(2)

(3) = (1) x 60

(4) = (2) x 1.200

Intereses

Amortización

Títulos Títulos vivos amortiz.

100.000 1.1. 100.000 1.2. 69.876 2.1. 2.2. 69.876 3.1. 36.649 3.2. 36.649

– 30.124 – 33.227 – 36.649

(5) = 1‰ (6) = (3) + (4) [(3) + (4)] + (5) Gastos admón.

Término amortizativo

6.000.000,00 – 6.000,00 6.006.000,00 6.000.000,00 36.148.800,00 42.148,80 42.190.948,80 4.192.560,00 – 4.192,56 4.196.752,56 4.192.560,00 39.872.400,00 44.064,96 44.109.024,96 2.198.940,00 – 2.198,94 2.201.138,94 2.198.940,00 43.978.800,00 46.177,74 46.223.917,74

Cálculo de los títulos amortizados

3.8. Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante con primas La dificultad en este caso viene dada como consecuencia de la normalización, que origina unas anualidades normalizadas y unos tantos normalizados variables sin ninguna ley matemática. En su resolución no podrá aplicarse ninguna de las expresiones válidas para empréstitos clase I, tipo I. Será preciso calcular en primer lugar la anualidad teórica para, a partir de ella, calcular el resto de datos. El cálculo de la anualidad se hará planteando (como siempre) la equivalencia financiera en el origen entre el nominal del empréstito y las anualidades normalizadas actualizadas a los tantos normalizados vigentes en cada momento. En este caso, como consecuencia de las primas de amortización variables, tanto las anualidades normalizadas como los tantos normalizados no seguirán ningún tipo de ley (serán aleatorios), por lo tanto no se podrá utilizar en la actualización ni rentas ni sumatorios: habrá que desplazar uno a uno cada término. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

277

EJEMPLO 13 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 100.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Duración: 4 años.



Cupón anual: 120 u.m.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos cada año al 110%, 120%, 130% y 150%, respectivamente.



Anualidad comercial constante.

Se pide: 

Anualidad.



Cuadro de amortización.

Solución: La anualidad constante se destina a pagar un cupón periódico constante a los títulos en circulación y a amortizar los títulos con primas de amortización variables, sin que entre ellas haya ninguna ley matemática. Pasos a seguir: 1. Estructura de la anualidad teórica

2. Normalización

dando valores a k, para los diferentes años de vida de la operación resulta: cxi 120 axc i'1 = ---------- = ---------- = 0,1091 k = 1 a'1 = ------------c + P1 1.100 c + P1

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278

axc cxi 120 k = 2 a'2 = ------------ i'2 = ---------- = ---------- = 0,10 c + P2 c + P2 1.200 axc cxi 120 k = 3 a'3 = ------------ i'3 = ---------- = ---------- = 0,0923 c + P3 c + P3 1.300 axc cxi 120 k = 4 a'4 = ------------ i'4 = ---------- = ---------- = 0,08 c + P4 c + P4 1.500 donde todo es conocido salvo la anualidad a. 3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal y las anualidades teóricas normalizadas actualizando término a término, al tanto vigente en cada momento

4. Sustitución de las anualidades y tantos normalizados por los valores obtenidos en la normalización

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279

5. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a

Cuadro de amortización: cálculo de títulos amortizados 1.ª posibilidad: a través de anualidad previamente calculada

2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que sigue La ley de recurrencia se obtiene al relacionar, por diferencias, las anualidades de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

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280

Período k:

a = c x i x Nk + ck x Mk

siendo: ck = c + pk

Período k+1: a = c x i x Nk+1 + ck+1 x Mk+1 siendo: ck+1 = c + pk+1 --------------------------------------------------------------------a – a = c x i x (Nk – Nk+1) + ck x Mk – ck+1 x Mk+1 simplificando

ambos

miembros, sabiendo que Nk – Nk+1 = Mk: 0 = c x i x Mk + ck x Mk – ck+1 x k+1 de donde se obtiene: c x i + ck Mk+1 = Mk x -----------ck+1 dando valores a k en la expresión anterior tendremos:

Para obtener M1, se tendrá en cuenta que se cumple la siguiente igualdad: N1 = M1 + M2 + M3 + M4 Sustituyendo en el segundo miembro conseguiremos dejar una ecuación que dependa de M1:

Finalmente se despeja M1:

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281

(1)

Año

1 2 3 4

(2)

(3)

(4) = (1) x 120

(5) = 2 x (c + pk)

(6) = (4) + (5)

Títulos Títulos Total tít. Término Intereses Amortización vivos amortiz. amort. amortizativo 100.000 75.163 49.912 24.272

24.837 24.837 12.000.000 25.251 50.088 9.019.560 25.640 75.728 5.989.440 24.272 100.000 2.912.640

27.320.700 30.301.200 3.332.000 36.408.000

39.320.700 39.320.760 39.321.440 39.320.640

4. Empréstitos clase I. Tipo III Se caracterizan por ser de cupón periódico que se les paga a los títulos en circulación (clase I), término amortizativo variable (en progresión geométrica, en progresión aritmética o de acuerdo con otra ley conocida) y cupón variable (tipo III), durante toda la operación. La estructura del término amortizativo puro será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico c x ik, con una duración de n períodos y términos amortizativos variables (ak), es el siguiente:

4.1. PASOS A SEGUIR 4.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entre el importe nominal del empréstito y la actualización de los términos amortizativos a los tipos de interés vigentes en cada período.

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282

dejando todos los términos (a1, a2, …, an) en función de uno sólo (lo habitual será a1), queda una ecuación con una única incógnita que se despejará. A partir de la anualidad calculada se podrán conocer las demás. 4.1.2. Cálculo de títulos amortizados (Mk) Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad destinada al pago de cupones, se puede saber cuánto se destina a amortizar y, por tanto, cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así: a1 – c x i1 x N1 Período 1: a1 = c x i1 x N1 + c x M1 --> M1 = ---------------------c a2 – c x i2 x (N1 – M1) Período 2: a2 = c x i2 x N2 + c x M2 --> M2 = -----------------------------c Siguiendo de la misma manera para el resto de períodos completaríamos el cálculo de títulos amortizados en cada sorteo. 4.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Los títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se pueden obtener de dos formas posibles: 

Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1



Por

suma

de

los

títulos

amortizados

hasta

la

fecha:

mk = M1 + M2 + … + Mk 4.1.4. Cálculo de títulos vivos a principios de cada período (Nk+1) Podemos plantear este cálculo de varias formas:

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283

4.1.4.1. 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados 

Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados. Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk



Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar. Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn

4.1.4.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos futuros (método prospectivo) Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

se ha de cumplir la equivalencia en k entre lo que supone amortizar de una sola vez los títulos aún en circulación (amortización anticipada) y lo que debería seguir pagando el emisor en caso de continuar con el empréstito hasta el final. ak+1

ak+2

an

c x Nk+1 = ------------- + ----------------------------- + … + ---------------------------------------------(1 + ik+1)

(1 + ik+1) x (1 + ik+2)

(1 + ik+1) x (1 + ik+2) x … x (1 + in)

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. 4.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el período k+1 Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado para ese período. Período k+1: c x ik+1 x Nk+1

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284

Nota: si el empréstito presentara características comerciales, habría que normalizar y trabajar con las anualidades y tantos normalizados.

5. Empréstito de cupón periódico prepagable Se caracteriza porque los cupones se pagan anticipadamente, al principio del pe-ríodo correspondiente, a tipo de interés prepagable (i*), mientras que la amortización de títulos se sigue realizando al final del período correspondiente. El esquema de flujos de caja en un empréstito a amortizar en n períodos, a un tanto de interés i* es el siguiente:

La estructura genérica del término amortizativo (anualidad) en este empréstito será la siguiente:

es decir, cada pago realizado incluye los cupones del período que empieza y el valor de reembolso correspondiente al período que acaba, con independencia del importe total del término amortizativo, que podrá ser constante o variable. 5.1. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad constante y puro Son empréstitos con intereses prepagables, con términos amortizativos constantes a 1 = a2 = … = an = a, siendo el tipo de interés i* del cupón constante para todos los períodos. Además de los n términos amortizativos constantes, habrá que considerar un primer término adicional, en el origen, que recoja los intereses prepagables del primer período. Este empréstito considerado globalmente es un préstamo alemán. El esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos emitidos, de nominal c y una duración de n períodos (años) es:

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285

La estructura del término amortizativo será:

5.1.1. Pasos a seguir 5.1.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final: c x N1 = c x N1 x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2 + ... + a x (1 – i*)n Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y sacando factor común a (1 – i*): c x N1 – c x N1 x i* = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-1] dividiendo por 1 – i*: c x N1 x (1 – i*) = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-1] En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de n términos en progresión geométrica decreciente, que responde a la siguiente expresión: a1 – an x r S = ----------------1–r siendo a1 el primer término de la suma, an el último de los términos y r la razón de la progresión. Aplicando a este caso, se obtiene: 1 – (1 – i*)n-1 x (1 – i*)

1 – (1 – i*)n

c x N1 = a x ------------------------------- = a x ---------------1 – (1 – i*)

i*

De donde se obtendrá el importe del término amortizativo (a).

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286

5.1.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar, determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada sorteo. Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así: a Período n: a = c x Mn -- > Mn = -----c

Período n–1: a = c x i* x Nn + c x Mn-1

a – c x i* x Nn --> Mn-1 = ------------------c

Siendo Nn = Mn, conocido …

Siguiendo de la misma manera se calcularán los títulos amortizados en cada sorteo. B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así: Período k: a = c x i* x Nk+1 + c x Mk Período k+1:

a = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1 -----------------------------------------------------------a – a = c x i* x (Nk+1 – Nk+2) + c x Mk – c x Mk+1

siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1, queda: 0 = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1

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287

dividiendo la expresión por c: 0 = i* x Mk+1 + Mk – Mk+1 de donde se obtiene: Mk = Mk+1 x (1 – i*) Por tanto, los títulos amortizados siguen una progresión geométrica de razón 1 – i*, es decir, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del último o de cualquiera conocido. Con carácter genérico, se pondrán en función del último –que es el más fácil de obtener–: Mk = Mn x (1 – i*)n-k 5.1.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas: • Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1 • Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk 5.1.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando: c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + a x (1 – i*) + a x (1 – i*)2 + … + a x (1 – i*)n-k pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro y sacando factor común a x (1 – i*): c x Nk+1 (1 – i*) = a x (1 – i*) x [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-k-1] dividiendo por 1 – i*: c x Nk+1 x (1 – i*) = a x (1 – i*) [1 + (1 – i*) + (1 – i*)2 … + (1 – i*)n-k-1] Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

288

En el segundo miembro el corchete es la suma de n–k términos en progresión geométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión: 1 – (1 – i*)n-k c x Nk+1 = a x -------------------i* De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1). Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso (para calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otra en k). 5.1.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el momento k Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*), pero el cobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios del período k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1. En el momento k: c x i* x Nk+1 EJEMPLO 14 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual prepagable: 100 u.m.



Duración: 3 años.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Cuadro de amortización.

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289

Solución: Cálculo de la anualidad Anualidad constante, destinada al pago de un cupón prepagable constante a los títulos en circulación y a amortizar por el nominal a aquellos que corresponda. La estructura de la anualidad es:

Planteando en el origen la equivalencia: 1 – (1 – i*)n c x N1 = a x -----------------i* 1 – (1 – 0,10)3 1.000 x 20.000 = a x --------------------0,10 a = 7.380.073,80 Cuadro de amortización

Año

0 1 2 3

(1)

(2)

(3)

(4) = (1) x 100

(5) = 2 x 1.000

(6) = (4) + (5)

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Total tít. amort.

Intereses

Amortización

Término amortizativo

20.000 14.022 7.380

– 5.978 6.642 7.380

– 5.978 12.620 20.000

2.000.000 1.402.200 738.000

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– 5.978.000 6.642.000 7.380.000

2.000.000 7.380.200 7.380.000 7.380.000

290

(2) Cálculo de los títulos amortizados 7.380.073,80 M3 = ------------------ = 7.380,07 M3 = 7.380 1.000 M2 = M3 x (1 – 0,10) = 6.642,07

M2 = 6.642

5.977,86 5.978 M1 = M2 x (1 – 0,10) = --------------- M1 = ---------19.999 20.000

(4) En 0 se paga el cupón a los títulos en circulación durante el año 1, en 1 se les paga a los títulos en circulación durante el año 2 y en 2 se pagará el cupón a los títulos en circulación durante el año 3. 5.2. Empréstito de cupón periódico constante prepagable y anualidad constante con características comerciales Cuando el empréstito presenta características comerciales habrá que normalizarlo para poder aplicar las expresiones anteriores. Los pasos a seguir son los mismos que se siguen a la hora de trabajar con empréstitos de cupón periódico vencido cuando tienen características comerciales, por tanto el orden será: 1.º Determinar la composición de la estructura de la anualidad siguiendo el siguiente orden: Anualidad = Intereses + Amortización + Lotes + Gastos de administración 2.º Proceso de normalización: el objetivo final es dejar la estructura de partida en una equivalente en la que la anualidad se destine exclusivamente a pagar cupones y a amortizar por el nominal los títulos. Las fases de la normalización son: 1. Pasar lo que no sea amortización ni cupón al primer miembro. 2. Dividir por el coeficiente de Mk toda la expresión. 3. Multiplicar por el nominal de los títulos toda la expresión. El resultado de la normalización será una estructura pura:

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291

donde: a': es la anualidad normalizada i*': es el tanto normalizado 3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos, amortizados y total de títulos amortizados, comentadas para el empréstitopuro ahora son válidas pero cambiando a por a' e i* por i*'. EJEMPLO 15 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual prepagable: 100 u.m.



Duración: 3 años.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 u.m. por título.



Premio de 50.000 u.m. a repartir entre los 100 primeros títulos amortizados cada año.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Cuadro de amortización.

Solución: Cálculo de la anualidad La anualidad constante se destina al pago del cupón prepagable a los títulos en circulación, a amortizar por nominal más prima a los títulos que corresponda y pagar un lote constante. La estructura será:

Los pasos de la normalización: a – L = c x i* x Nk+1 + (c + p) x Mk a–L

i*

---------- = c x -------- x Nk+1 + c x Mk c+p

c+p

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292

Planteando en el origen la equivalencia: 1 – (1 – i*')n c x N1 = a' x ----------------i*' 1 – (1 – 0,0833)3 1.000 x 20.000 = a' x -----------------------0,0833 a' = 7.254.408,06 deshaciendo el cambio de variable: a–L a' = c x --------c+p se obtiene la anualidad real: a – 50.000 7.254.408,06 = 1.000 x ---------------1.200 a = 8.755.289,67

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293

Cuadro de amortización

Año

(1)

(2)

(3) = (1) x 100

(4) = (2) x 1.200

(5)

(6) = (3) + (4) + (5)

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Intereses

Amortización

Lote

Término amortizativo

0 1 2 3

20.000 13.904 7.254

– 6.096 6.650 7.254

2.000.000 1.390.400 725.400

– – 7.315.200 50.000 7.980.000 50.000 8.856.000 50.000

2.000.000 8.755.600 8.755.400 8.754.800

Cálculo de los títulos amortizados

5.3. Empréstito de cupón periódico constante prepagable y anualidad variable Son empréstitos con intereses prepagables, mediante términos amortizativos variables , siendo el tipo de interés i* del cupón constante para todos los períodos. La estructura del término amortizativo será la siguiente:

Empréstitos que responden a esta estructura genérica serán los siguientes: 1. Aquellos empréstitos en los que el número de títulos amortizados en cada sorteo permanezca constante.

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294

2. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable en progresión geométrica, de razón conocida. 3. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo variable en progresión aritmética, de razón conocida.

5.4. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con igual número de títulos amortizados en cada sorteo En este tipo de empréstito, al igual que ocurría cuando el cupón se pagaba por vencido, el emisor se compromete a amortizar todos los períodos el mismo número de títulos, por tanto, la cantidad destinada al reembolso se mantiene constante durante toda la operación. 5.4.1. Pasos a seguir Para el caso de un empréstito de N1 títulos, de nominal c, cupón periódico prepagable c x i*, con una duración de n períodos se calculará en primer lugar todo lo que tenga que ver con la amortización de títulos, fáciles de obtener, y a continuación lo referente a los cupones y, finalmente, los términos amortizativos. La forma de cálculo de los títulos (amortizados, total amortizados y en circulación) es igual a la explicada cuando el cupón se pagaba por vencido. 5.4.1.1. Cálculo del número de títulos amortizados en cada sorteo (M) Sabiendo que la suma de los títulos amortizados en cada sorteo es el número de títulos emitidos, se debe cumplir: N1 = M1 + M2 + M3 + ... + Mn = M x n de donde se obtiene: N1 M = -----n Donde n representa el número de sorteos realizados a lo largo de la vida del empréstito.

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295

5.4.1.2. Cálculo del total de títulos amortizados después de k períodos (mk)

Conocidos los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total de ellos retirados de la circulación hasta una fecha concreta vendrá dado por la suma aritmética de los títulos amortizados correspondiente a los períodos transcurridos. mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k 5.4.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (Nk+1) Se realizará a través de los títulos amortizados (pasados o futuros).



Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minorados en los ya amortizados hasta ese momento. Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k



Método prospectivo: los títulos en circulación serán la suma aritmética de los que aún quedan pendientes de ser amortizados. Nk+1 = (n – k) x M

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296

5.4.1.4. Cálculo del pago de cupones en el momento k Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*) al principio del período al que se refieran. En el momento k: c x i* x Nk+1 5.4.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak) Al mantenerse constante la parte del término amortizativo que se destina al reembolso de títulos e ir disminuyendo la cantidad destinada a pago de cupones (porque va siendo cada vez menor el número de títulos en circulación que tiene derecho a cobrarlo), los términos amortizativos necesariamente tendrán que ir decreciendo. Además, los términos variarán como lo hacen las cantidades destinadas al pago de cupones y seguirán una ley matemática. La estructura del término amortizativo quedará de la siguiente forma:

El cálculo de los diferentes términos se podrá realizar de dos formas posibles: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Calculando el importe del pago de cupones a realizar a los títulos aún en circulación y añadiendo el valor de reembolso constante ya conocido: Momento 0: a0 = c x i x N1 Momento 1: a1 = c x i x N2 + c x M = c x i x (N1 – M) + c x M Momento 2: a2 = c x i x N3 + c x M = c x i x (N2 – M) + c x M … B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos Se calcula el primer término y el resto se obtienen a través de la ley de recurrencia que siguen y que se obtendrá al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera:

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297

Período k: ak = c x i* x Nk+1 + c x M Período k+1:

ak+1 = c x i* x Nk+2 + c x M -----------------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i* x Nk+1 – c x i* x Nk+2 + c x M – c x M

simplificando: ak – ak+1 = c x i* x (Nk+1 – Nk+2) siendo: Nk+1 – Nk+2 = M se puede deducir: ak+1 = ak – c x i* x M lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (c x i* x M), por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, en base a esa recurrencia: ak+1 = a1 – k x c x i* x M Si hay características comerciales, éstas sólo afectarían al cálculo de los términos amortizativos y, en consecuencia, a la ley de recurrencia que siguen. No se normaliza. 5.5. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad variable en progresión geométrica y puro El esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos emitidos, de nominal c, cupón periódico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresión geométrica de razón conocida q y una duración de n períodos (años) es:

La estructura del término amortizativo será:

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298

5.5.1. Pasos a seguir 5.5.1.1. Cálculo del primer término amortizativo (a1) En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final: c x N1 = c x N1 x i* + a1 x (1 – i*) + a2 x (1 – i*)2 + a3 x (1 – i*)3 + ... + an x (1 – i*)n Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y poniendo todos los términos amortizativos en función del primero de ellos y la razón: c x N1 – c x N1 x i* = a1 x (1 – i*) + a1 x q x (1 – i*)2 + a1 x q2 x (1 – i*)3 + … + a1 x qn-1 (1 – i*)n sacando factor común a1 x (1 – i*): c x N1 x (1 – i*) = a1 x (1 – i*) x [1 + q x (1 – i*) + q2 x (1 – i*)2 + … + qn-1 x (1 – i*)n-1] En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de n términos en progresión geométrica decreciente, que responde a la siguiente expresión: a1 – an x r S = --------------1–r siendo a1 el primer término de la suma, an el último de los términos y r la razón de la progresión. Aplicando a este caso, se obtiene: 1 – qn-1 x (1 – i*)n-1 x q x (1 – i*) c x N1 = a1 x ----------------------------------------------1 – q x (1 – i*) 1 – qn x (1 – i*)n c x N1 = a1 x -----------------------1 – q + q x i* De donde se obtendrá el importe del primer término amortizativo (a1). 5.5.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas:

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A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar, determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada sorteo. Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así: an an = c x Mn --> Mn =-----Período n: c

Período n–1: an-1 = c x i* x Nn + c x Mn-1

an–1 – c x i* x Nn --> Mn-1 = ----------------------c

Siendo Nn = Mn, conocido …

Siguiendo de la misma manera se calcularán los títulos amortizados en cada sorteo. B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así: Período k: ak = c x i* x Nk+1 + c x Mk Período k+1: ak+1 = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1 -----------------------------------------------------------------------ak – ak+1 = c x i* x (Nk+1 – Nk+2 + c x Mk – c x Mk+1 siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1, queda: ak x (1 – q) = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1 dividiendo la expresión por c: ak x (1 – q) --------------- = i* x Mk+1+ Mk – Mk+1 c

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300

de donde se obtiene: ak x (1 – q) Mk = Mk+1 x (1 – i*) + -----------------c 5.5.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas: • Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1 • Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk 5.5.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando: c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + ak+1 x (1 – i*) + ak+2 x (1 – i*)2 + ... + an x (1 – i*)n-k pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro y sacando factor común ak+1 x (1 – i*): c x Nk+1 (1 – i*) = ak+1 x (1 – i*) x [1 + q (1 – i*) + q2 (1 – i*)2 + … + qn-k-1 (1 – i*)n-k-1] dividiendo por 1 – i*: c x Nk+1 x (1 – i*) = ak+1 x (1 – i*) [1 + q (1 – i*) + q2 (1 – i*)2 + … + qn-k-1 (1 – i*)n-k-1] En el segundo miembro el corchete es la suma de n–k términos en progresión geométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión:

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1 – qn-k x (1 – i*)n-k c x Nk+1 = ak+1 x ---------------------------1 – q + q x i* De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1). Hay que observar que la expresión obtenida es idéntica a la obtenida en el primer paso (para calcular la anualidad), variando la fecha donde están planteadas (una en 0 y otra en k). 5.5.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el momento k Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*), pero el cobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios del período k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1. En el momento k: c x i* x Nk+1 5.6. Empréstito de cupón periódico constante prepagable con anualidad variable en progresión aritmética y puro El esquema de la operación para un empréstito de N1 títulos emitidos, de nominal c, cupón periódico c x i* prepagable, con anualidades variables en progresión aritmética de razón conocida d y una duración de n períodos (años) es:

La estructura del término amortizativo será:

5.6.1. Pasos a seguir 5.6.1.1. Cálculo del primer término amortizativo (a1) En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el emisor debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo i*, de los pagos que realizará hasta el final: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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c x N1 = c x N1 x i* + a1 x (1 - i*) + a2 x (1 - i*)2 + a3 x (1 - i*)3 + ... + an x (1 - i*)n Simplificando en ambos miembros, pasando c x N1 x i* al primer miembro y poniendo todos los términos amortizativos en función del primero de ellos y la razón: c x N1 - c x N1 x i* = a1 x (1 - i*) + (a1 + d) x (1 - i*)2 + (a1 + 2 x d) x (1 - i*)3 + ... + [a1 + (n - 1) x d] (1 - i*)n sacando factor común (1 – i*): c x N1 (1 - i*) = (1 - i*) [a1 + (a1 + d) x (1 - i*) + (a1 + 2 x d) x (1 - i*)2+ ... + [a1 + (n - 1) x d] x (1 - i*)n-1] c x N1 = a1+ (a1 + d) x (1 - i*) + (a1 + 2 x d) x (1 - i*)2 + ... + [a1 + (n - 1) x d] x (1 - i*)n-1 De donde se obtendrá el importe del primer término amortizativo (a1). 5.6.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Para determinar el número de títulos a amortizar en cada sorteo se puede proceder de dos formas alternativas: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Se trata de saber el importe total pagado en cada momento (término amortizativo) y la parte destinada al pago de cupones. De esta forma, se sabrá cuánto queda para amortizar, determinándose así el número de títulos que podrán retirarse de la circulación en cada sorteo. Para ello se comenzará por el último período, ya que el término amortizativo, al no tener que pagarse cupón, se destina íntegramente a amortizar, así: an an = c x Mn --> Mn = -----Período n: c

Período n–1:

an-1 = c x i* x Nn + c x Mn-1

an-1 – c x i* x Nn --> Mn-1 = -------------------------c

Siendo Nn = Mn, conocido …

Siguiendo de la misma manera se calcularán los títulos amortizados en cada sorteo.

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303

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados La ley de recurrencia para obtener los títulos a amortizar en cada período se obtendrá por diferencias de dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera, así: Período k: ak = c x i* x Nk+1 + c x Mk Período k+1: ak+1 = c x i* x Nk+2 + c x Mk+1 ---------------------------------------------------------------ak - ak+1 = c x i* x (Nk+1 - Nk+2) + c x Mk - c x Mk+1 siendo Nk+1 – Nk+2 = Mk+1, queda: – d = c x i* x Mk+1 + c x Mk – c x Mk+1 dividiendo la expresión por c: d – ----- = i* x Mk+1 + Mk – Mk+1 c de donde se obtiene: d Mk = Mk+1 x (1 – i*) – ----c 5.6.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas: • Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1 • Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk 5.6.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) En todo momento de la vida del empréstito se cumple la igualdad entre el nominal del empréstito en ese momento y el valor actualizado de los pagos pendientes (incluido el pago del cupón situado en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente): Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

304

planteando la equivalencia en el momento k y simplificando: c x Nk+1 = c x Nk+1 x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n-k pasando c x Nk+1 x i* al primer miembro: c x Nk+1 (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n-k c x Nk+1 = ak+1 + ak+2 x (1 - i*)+ ... + anx (1 - i*)n-k-1 De donde se obtendrá el número de títulos en circulación (Nk+1), ya que el resto de variables son conocidas. 5.6.1.5. Cálculo del importe a pagar de cupones en el momento k Los cupones de cualquier período se calcularán a partir de los títulos en circulación a principios de ese período, a los que se les entregará el cupón acordado (c x i*), pero el cobro/pago se realizará a principios de ese período. Por tanto en k, principios del período k+1, se pagará el cupón correspondiente al período k+1. En el momento k: c x i* x Nk+1 6. Empréstitos clase II. Tipo I. Puro En este caso el interés que generan los títulos se va devengando día a día pero no se paga periódicamente a los títulos en circulación, sino que se va acumulando en régimen de compuesta y se les pagará de una vez sólo a aquellos títulos que resulten amortizados en cada sorteo (clase II). Además, la cantidad que el emisor destina periódicamente al pago del empréstito (término amortizativo) y el tipo de interés permanecen constantes (tipo I), y no presenta ninguna otra característica especial (puro). La estructura de la anualidad será la siguiente:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que el empréstito origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal c, que generan un interés i, a amortizar en n períodos con términos amortizativos constantes, es el siguiente: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

305

Donde c x N1 representa el importe nominal del empréstito; n, el número de pagos (términos amortizativos) en los que se amortiza; i, el tipo de interés y a, el término amortizativo (anualidad). 6.1. PASOS A SEGUIR Se trata de seguir un orden con el fin de construir el cuadro de amortización del empréstito, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y a cuántos títulos. 6.1.1. Cálculo del término amortizativo (a) A pesar de que la estructura del término amortizativo es diferente a la que presenta cuando el cupón se paga periódicamente, el cálculo del importe se realiza igual que en empréstitos clase I. Para calcular dicho término amortizativo bastaría con plantear una equivalencia financiera en el origen entre el nominal del empréstito y la renta formada por los términos que amortizan el empréstito:

de donde se despeja el término:

6.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) El número de títulos amortizados en cada sorteo va disminuyendo progresivamente como consecuencia de mantenerse siempre constante el término amortizativo e ir aumentando la cuantía del cupón acumulado a la que tiene derecho cada uno de los títulos amortizados. Para saber cuál es el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas:

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306

6.1.2.1. 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Conocida la cuantía del término a pagar en cada período y la cantidad que debe percibir cada título (cupón acumulado y valor de reembolso), se puede saber cuántos títulos se amortizarán en cada momento. Así: a a = c x (1 + i) x M1 --> M1 = --------------Período 1: c x (1 + i) 1

a a = c x (1 + i) x M2 --> M2 = ----------------Período 2: c x (1 + i)2 2

…

De esta forma completaríamos el cálculo de títulos amortizados para cualquier sorteo. 6.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados Se trata de establecer la relación en la que se encuentran los títulos que se van amortizando en cada sorteo. La ley de recurrencia saldrá de la relación, por cocientes, de los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: Período k: a = c x (1 + i)k x Mk Período k+1: a = c x (1 + i)k+1 x Mk+1 ----------------------------------a c x (1 + i)k x Mk ---- = ---------------------a c x (1 + i)k+1 x Mk+1 de donde simplificando se obtiene la siguiente expresión: 1 Mk+1 = Mk x -------1+i En definitiva, los títulos amortizados varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1/1 + i, por tanto, cualquier Mk se puede calcular a partir del anterior, del primero o de cualquiera conocido. Con carácter genérico, si se ponen en función del primero: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

307

1 Mk+1 = M1 x ---------(1 + i)k 6.1.3. Cálculo de títulos amortizados en el primer sorteo (M1) Una vez calculada M1, todos los demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El cálculo del número de títulos amortizados en el primer sorteo se puede realizar de dos formas posibles: 6.1.3.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del primer término amortizativo Período 1: a = c x (1 + i)1 x M1 donde es conocido todo salvo M1 a M1 = ------------c x (1 + i) 6.1.3.2. 2.ª posibilidad: a través de los títulos emitidos En todo empréstito se cumple que la suma aritmética de los títulos amortizados en cada período coincide con el número de títulos puestos en circulación al inicio: M1 + M2 + M3 + … + Mn = N1 Además, si hacemos uso de la ley de recurrencia entre títulos amortizados, pondremos todos los Mk en función del primero de ellos (M1): 1

1

1

M1 + M1 x -------- + M1 x ----------- + ... + M1 x ------------- = N1 1+i

(1 + i)2

(1 + i)n-1

Simplificando la expresión:

donde el corchete es el valor actual de una renta unitaria, prepagable e inmediata de n términos (el número de sorteos) al tipo de interés que generan los títulos, por tanto:

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308

de donde:

6.1.4. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Los títulos amortizados transcurrido un período de tiempo cualquiera desde la emisión se pueden obtener de dos formas posibles: • Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1 • Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk Además, todos los títulos amortizados, siguiendo la ley de recurrencia que siguen, se pueden poner en función del primero de ellos: 1

1

1

mk = M1 + M1 x --------- + M1 x ------------ + … + M1 x -------------1+i

(1 + i)2

(1 + i)k-1

Simplificando la expresión:

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de k términos al tipo i, así pues:

6.1.5. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) Podemos plantear este cálculo de varias formas:

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309

6.1.5.1. 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados 

Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados.



Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar.

6.1.5.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

en k se debe cumplir: lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k en k:

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310

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. • Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

en k se debe cumplir: lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. 6.1.6. Cálculo del importe a pagar de cupones en un período Los intereses de cualquier período se calcularán a partir del importe total del término amortizativo, una vez deducida la cuantía destinada a la amortización de los títulos. EJEMPLO 16 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 10.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 12%.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos por el nominal.



Duración: 3 años.



Anualidades constantes.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Cuadro de amortización.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

311

Solución: La anualidad constante pagada por el emisor se destina a pagar el nominal junto con el cupón acumulado (en régimen de compuesta) a los títulos que resulten amortizados en cada sorteo. Se trata, pues, de un empréstito puro. La estructura de la anualidad es:

Gráficamente:

Planteando en el origen la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades pagadas:

Cuadro de amortización k

(1)

(2)

(3)

(4) = (2) x 1.000 x

(5) = (4) x 1,12k

Año

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Total tít. amort.

Amortización

Término amortizativo

1 2 3

10.000 6.283 2.964

3.717 3.319 2.964

3.717 7.036 10.000

4.163.040,0 4.163.353,6 4.164.206,6

4.163.040,0 4.163.353,6 4.164.206,6

Cálculo de títulos amortizados a = c x (1 + i)1 x M1 Año 1 4.163.489,80 = 1.000 x 1,12 x M1 M1 = 3.717,40

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M1 = 3.717

312

Año 2 a = c x (1 + i)2 x M2 4.163.489,80 = 1.000 x 1,122 x M2 M2 = 3.319,11

M2 = 3.319

a = c x (1 + i)3 x M3

Año 3

2.963,49 2.964 4.163.489,80 = 1.000 x 1,12 x M3 M3 = -------------- M3 = ----------9.999 10.000 3

Al destinarse la anualidad exclusivamente al pago del cupón acumulado y la amortización por el nominal a los títulos amortizados, el valor de reembolso (amortización) coincide con el importe del término amortizativo del empréstito. 6.2.

EMPRÉSTITO

DE

CUPÓN

ACUMULADO

CONSTANTE

Y

ANUALIDAD

CONSTANTE CON CARACTERÍSTICAS COMERCIALES Todas las expresiones empleadas hasta ahora son válidas para empréstitos denominados puros, es decir, aquellos en los que el término amortizativo se destina exclusivamente al pago del cupón acumulado (constante) y a amortizar por el nominal a los títulos que corresponda. No obstante, podemos encontrarnos con empréstitos en los que el emisor haya previsto alguna característica comercial. En estos casos, habrá que «preparar el empréstito» para poder aplicar las expresiones anteriores. Los pasos a seguir para trabajar con empréstitos de cupón acumulado cuando tienen características comerciales son: 1.º Determinar la composición de la estructura de la anualidad siguiendo el siguiente orden: Anualidad = Intereses acumulados + Amortización + Lotes + Gastos de administración 2.º Proceso de normalización: el objetivo final es dejar la estructura de partida en una equivalente en la que la anualidad se destine exclusivamente a pagar el cupón acumulado y a amortizar por el nominal los títulos. El resultado de la normalización será una estructura pura:

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313

donde: a': es la anualidad normalizada i': es el tanto normalizado 3.º Las expresiones, fórmulas y reglas de cálculo de anualidad, títulos vivos, amortizados y total de amortizados, comentadas para el empréstito puro ahora son válidas pero cambiando a por a' e i por i'. EJEMPLO 17 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 50.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 13%.



Sorteos anuales, repartiéndose un premio de 1.000 u.m. para cada uno de los 100 primeros títulos sorteados cada año.



Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.



Duración: 15 años.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Número de títulos en circulación a principios del octavo año.

Solución: Cálculo de la anualidad Es un empréstito de cupón acumulado (clase II) siendo el tipo de interés constante. Además, la anualidad constante incorpora la devolución de los títulos por el nominal junto con el cupón acumulado, un lote constante de 100.000 euros (1.000 x 100) y unos gastos de administración calculados sobre las cantidades cobradas por los obligacionistas. La estructura de la anualidad es:

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314

Los pasos de la normalización son: 1.º Dividir por 1 + g la igualdad: a ---------- = c x (1 + i)k x Mk + L 1+g 2.º Pasar el lote al primer miembro de la igualdad: a ---------- – L = c x (1 + i)k x Mk 1+g La estructura conseguida tiene forma pura, pues se destina a amortizar los títulos pagándoles el nominal y el cupón acumulado: Siendo: a a' = ---------- – L 1+g queda la anualidad normalizada: a' = c x (1 + i)k x Mk Gráficamente:

Planteando la equivalencia en el origen entre el nominal del empréstito y la renta formada por las anualidades normalizadas al tanto del cupón (porque la normalización no le ha afectado):

Finalmente, de la estructura de la anualidad normalizada obtenemos la anualidad definitiva del empréstito: a a' = --------- – L 1+g Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

315

a 7.737.088,98 = --------------- – 100.000 1 + 0,001 a = 7.844.926,07 Títulos en circulación a principios del 8.º año Por el método prospectivo, se ha de cumplir la siguiente igualdad en el momento 7:

7. Empréstito clase II. Tipo II Se caracteriza porque el emisor paga durante toda la vida del empréstito una cantidad variable (término amortizativo), que destina a retribuir a los obligacionistas cuyos títulos resulten amortizados en cada sorteo, los cuales cobrarán el cupón acumu-lado hasta la fecha y el valor nominal del título. La estructura del término amortizativo será la siguiente:

Empréstitos que responden a esta estructura genérica serán los siguientes: 1. Aquellos empréstitos en los que el número de títulos amortizados en cada sorteo permanezca constante. 2. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo varia-ble en progresión geométrica, de razón conocida. 3. Empréstitos en los que el emisor acuerde un término amortizativo varia-ble en progresión aritmética, de razón conocida.

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316

7.1. Empréstito de cupón acumulado con igual número de títulos amortizados en cada sorteo En este tipo de empréstito, el emisor se compromete a amortizar el mismo número de títulos en cada sorteo a lo largo del tiempo que dure la operación. 7.1.1. Pasos a seguir Lo más fácil será calcular el número de títulos amortizados en cada sorteo, para posteriormente ver qué se les ha de pagar. A continuación, se determinará el importe total a desembolsar por parte del emisor en cada período (término amortizativo). 7.1.1.1. Cálculo del número de títulos amortizados en cada sorteo (M) Se parte de la igualdad entre los títulos inicialmente emitidos y los títulos que se amortizarán a lo largo de la vida del empréstito. N1 = M1 + M2 + M3 + … + Mn = M x n de donde se obtiene: N1 M = ----n 7.1.1.2. Cálculo del total de títulos amortizados después de k períodos (mk)

Si se conocen los títulos que se amortizan en cada sorteo, el total amortizado hasta una fecha dada será la suma aritmética de los títulos sorteados en ese intervalo. mk = M1 + M2 + … + Mk = M x k 7.1.1.3. Cálculo de los títulos en circulación a principios del período k+1 (Nk+1) Se realizará a través de los títulos amortizados (pasados o futuros).

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317

• Método retrospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán los emitidos minorados en los ya amortizados hasta ese momento. Nk+1 = N1 – mk = N1 – M x k • Método prospectivo: los títulos pendientes de amortizar serán la suma aritmética de los que aún quedan pendientes de ser amortizados. Nk+1 = (n – k) x M 7.1.1.4. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak) Al mantenerse constante el número de títulos a los que hay que amortizar y el importe del cupón acumulado ir aumentando, los términos amortizativos necesariamente tendrán que ir creciendo. La estructura de la anualidad quedará de la siguiente forma:

Para calcular el importe de los términos amortizativos planteamos dos alternativas: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Período 1: a1 = c x (1 + i) x M Período 2: a2 = c x (1 + i)2 x M …

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los términos amortizativos Se calcula el primer término y el resto se obtienen a través de la ley de recurrencia que siguen y que se obtendrá al relacionar, por cocientes, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

318

Período k:

ak = c x (1 + i)k x M

Período k+1: ak+1 = c x (1 + i)k+1 x M --------------------------------ak c x (1 + i)k x M -------- = -----------------------ak+1 c x (1 + i)k+1 x M

simplificando el segundo miembro: ak

1

------- = -------ak+1

1+i

finalmente, se obtiene: ak+1 = ak x (1 + i) lo que indica que los términos varían en progresión geométrica de razón (1 + i), por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos, siguiendo la ley de recurrencia: ak+1 = a1 x (1 + i)k Si hay características comerciales, éstas sólo afectarían al cálculo de los términos amortizativos y, en consecuencia, a la ley de recurrencia que siguen. No se normaliza. EJEMPLO 18 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 60.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Duración: 6 años.



Los títulos se adquieren a la par.



No abono de cupones anuales, acumulándose al momento del sorteo al 10% anual.



Sorteos anuales, amortizándose el mismo número de títulos.



Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.



Gastos iniciales a cargo del emisor de 10.000 u.m.

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319

Se pide: Términos amortizativos del empréstito. Solución: El número de títulos a amortizar en cada sorteo es la sexta parte del total de títulos emitidos: 60.000 M1 = M2 = … = M6 = M = ----------- = 10.000 6 La anualidad variable se destina a amortizar el mismo número de títulos, reembolsándoles el nominal y el cupón acumulado hasta el sorteo en compuesta, además de unos gastos de administración:

Para conocer la cuantía de los términos, basta con darle valores a la anualidad, según el período al que le queramos calcular la anualidad: Año 1: a1 = c x (1 + i)1 x M x (1 + g) a1 = 1.000 x 1,1 x 10.000 x 1,001 = 11.011.000 Año 2: a2 = c x (1 + i)2 x M x (1 + g) a2 = 1.000 x 1,12 x 10.000 x 1,001 = 12.112.100 Año 3: a3 = c x (1 + i)3 x M x (1 + g) a3 = 1.000 x 1,13 x 10.000 x 1,001 = 13.323.310 Año 4: a4 = c x (1 + i)4 x M x (1 + g) a4 = 1.000 x 1,14 x 10.000 x 1,001 = 14.655.641 Año 5: a5 = c x (1 + i)5 x M x (1 + g) a5 = 1.000 x 1,15 x 10.000 x 1,001 = 16.121.205,1 Año 6: a6 = c x (1 + i)6 x M x (1 + g) a6 = 1.000 x 1,16 x 10.000 x 1,001 = 17.733.325,6

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320

También se podían haber calculado todas las anualidades a partir de la primera (a1), observando que varían en progresión geométrica de razón 1 + i. 7.2. Empréstito de cupón acumulado y anualidad variable en progresión geométrica puro Este empréstito se caracteriza porque: 

Los términos amortizativos varían en progresión geométrica.



La razón de la progresión permanece constante, durante toda la operación.



El tanto del cupón permanece constante y se va acumulando en compuesta hasta el momento del sorteo.

La estructura de la anualidad de este empréstito puro es:

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que el empréstito origina para el emisor un empréstito de N1 títulos, de nominal c, que generan un interés i, a amortizar en n períodos con términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q conocida es el siguiente:

7.2.1. Pasos a seguir 7.2.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak) Se planteará una equivalencia financiera en el origen de la operación (momento 0) entre el importe nominal del empréstito y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión. Al desarrollar la equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razón de la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del cupón: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

321

En ambos casos se despejará el primer término amortizativo (a1). Una vez calculado el primer término amortizativo, el resto de términos se obtendrán a través de la ley de la progresión geométrica que siguen, así: a2 = a1 x q a3 = a2 x q = a1 x q2 ... ak+1 = ak x q = a1 x qk ... an = an-1 x q = a1 x qn-1 7.2.1.2. Cálculo de títulos amortizados: ley de recurrencia (Mk) Para saber el número de títulos que en cada sorteo resultan amortizados podemos proceder de dos formas alternativas: A) 1.ª posibilidad: dando valores a k en la estructura del término amortizativo Conocida la cuantía del término a pagar el emisor en cada período (que previamente hemos calculado) y la que va a percibir cada título individualmente, se determinará fácilmente el número de títulos a amortizar. Así: a1 1 a = c x (1 + i) x M1 --> M1 = --------------Período 1: 1 c x (1 + i) a2 a = c x (1 + i) x M2 --> M2 = ----------------Período 2: 2 c x (1 + i)2 2

…

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322

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen los títulos amortizados La ley de recurrencia se obtendrá por relación, por cociente, de los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así: ak = c x (1 + i)k x Mk Período k: Período k+1: ak+1 = c x (1 + i)k+1 x Mk+1 ----------------------------------ak c x (1 + i)k x Mk ------- = --------------------------ak+1 c x (1 + i)k+1 x Mk+1 teniendo en cuenta que: ak+1 = ak x q simplificando ambos miembros resulta: 1

Mk

----- = -------------------q

(1 + i) x Mk+1

de donde se obtiene: q Mk+1 = Mk x --------1+i Expresión que permite conocer, a partir de los títulos amortizados en el sorteo anterior, los que corresponde amortizar en el presente. 7.2.1.3. Cálculo del total de títulos amortizados (mk) Conocer la totalidad de títulos amortizados en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles: 

Por diferencias, entre el número de títulos emitidos y los que aún están en circulación: mk = N1 – Nk+1



Por suma de los títulos amortizados hasta la fecha: mk = M1 + M2 + … + Mk

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323

7.2.1.4. Cálculo de títulos vivos a principio de cada período (Nk+1) Podemos plantear este cálculo de varias formas:

A) 1.ª posibilidad: a través de los títulos amortizados 

Método retrospectivo: considerando títulos ya amortizados. Nk+1 = N1 – [M1 + M2 + … + Mk] = N1 – mk



Método prospectivo: considerando los títulos pendientes de amortizar. Nk+1 = Mk+1 + Mk+2 + … + Mn

B) 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

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324

• Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

en K se debe cumplir: lo que se supondría la amortización anticipada en k = [lo recibido – lo pagado]k

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. • Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

en K se debe cumplir: lo que se supondría la amortización anticipada en k = [cantidades pendientes de pagar]k

de donde se despejaría el número de títulos en circulación en ese momento: Nk+1. EJEMPLO 19 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 10.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



Duración: 5 años.



No abono de cupones anuales, acumulándose a los sorteos, en régimen de compuesta, al 10% anual.



Anualidades variables en progresión geométrica de razón 1,10.

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325

Se pide: Cuadro de amortización. Solución: Es un empréstito de cupón acumulado en compuesta que se les paga a los títulos amortizados en cada sorteo, siendo la anualidad pagada por el emisor variable en progresión geométrica de razón 1,10. La estructura del término amortizativo es:

Gráficamente:

Planteando la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades pagadas, calcularemos la primera de ellas (a1):

y a partir de la primera, las demás se obtendrán a partir de la ley geométrica que siguen. Cuadro de amortización k

(1)

(2)

(3)

(4) = (2) x 1.000 x 1,10k

(5) = (4)

Año

Títulos vivos

Títulos amortiz.

Total tít. amort.

Amortización

Término amortizativo

1 2 3 4 5

10.000 8.000 6.000 4.000 2.000

2.000 2.000 2.000 2.000 2.000

2.000 4.000 6.000 8.000 10.000

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2.200.000 2.420.000 2.662.000 2.928.200 3.221.020

2.200.000 2.420.000 2.662.000 2.928.200 3.221.020

326

(1) Cálculo de los títulos amortizados Para conocer el número de títulos a amortizar en cada período, basta con darle valores a la anualidad, según el período que queramos calcular, siendo todo conocido salvo el Mk buscado: Año 1: a1 = c x (1 + i)1 x M1 2.200.000 = 1.000 x 1,10 x M1 M1 = 2.000 Año 2:

a2 = c x (1 + i)2 x M2 2.420.000 = 1.000 x 1,102 x M2 M2 = 2.000

Año 3:

a3 = c x (1 + i)3 x M3 2.662.000 = 1.000 x 1,103 x M3 M3 = 2.000

Año 4:

a4 = c x (1 + i)4 x M4 2.928.000 = 1.000 x 1,104 x M4 M4 = 2.000

Año 5:

a5 = c x (1 + i)5 x M5 3.221.020 = 1.000 x 1,105 x M5 M5 = 2.000

La razón de que haya resultado un empréstito con igual número de títulos amortizados en cada sorteo se debe a que la razón de la progresión que siguen las anualidades coincide con 1 + i (el tanto del cupón), de forma que el aumento del término coincide con el aumento del cupón acumulado, por lo que el número de títulos a amortizar permanece constante todos los sorteos. 7.3. Empréstito de cupón acumulado constante y anualidades en progresión geométrica con características comerciales Al igual que ocurría en empréstitos de cupón periódico con anualidades variables, puede ser que, como consecuencia de la normalización, lo que al principio era una anualidad variable en progresión geométrica con una determinada razón, resulte diferente porque varíe la razón o, incluso, porque ya no sigan esa ley geométrica, pudiendo incluso pasar a ser aleatorios los términos normalizados. Para evitar este tipo de problemas procederemos siempre de la misma forma (aun cuando las características no afecten a la progresión geométrica de partida), e igual a como se hace en cupón periódico: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

327

1. Construir la estructura de la anualidad (ak), recogiendo todas las características que le afecten. 2. Normalizar la anualidad, obteniendo la anualidad normalizada (a'k) y el tanto normalizado (i'). 3. Como la anualidad normalizada puede que no siga ningún tipo de ley, evitaremos trabajar con rentas y lo haremos con sumatorios y se planteará la equivalencia financiera entre el nominal del empréstito y los términos normalizados actualizados al tanto normalizado. 4. Se sustituirá en el sumatorio la anualidad normalizada (a'k), por su valor. 5. Lo que multiplique o divida a ak, al ser constante, se podrá extraer del sumatorio. 6. Si hubiera algún término que se sumara o restara a ak (lotes), el sumatorio se descompondrá en dos sumatorios. 7. Los sumatorios se convertirán en valores actuales de rentas (constantes o variables). 8. Se despejará el primer término amortizativo (a1). EJEMPLO 20 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 50.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Duración: 9 años.



Sorteos anuales, acumulándose a los sorteos un cupón del 10% anual.



Premio de 50.000 u.m. a repartir entre los 100 primeros títulos amortizados cada año.



Anualidades comerciales variables en progresión geométrica de razón 1,08.

Se pide: 

Anualidad del sexto año.



Títulos amortizados en el cuarto año.



Títulos en circulación a principios del quinto año.

Solución: 1. Estructura de la anualidad teórica

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

328

Anualidad variable en progresión geométrica de razón 1,08 destinada a amortizar los títulos reembolsándoles el nominal y el cupón acumulado en compuesta hasta el sorteo y pagar un lote constante.

2. Normalización

3. Planteamiento de la equivalencia entre el nominal del empréstito y las anualidades teóricas

normalizadas

trabajando

con

sumatorios

Gráficamente:

4. Sustitución de la anualidad normalizada por el valor obtenido en la normalización

5. Separación del sumatorio en dos sumatorios parciales con igual denominador

6. Conversión de los sumatorios en sus respectivos valores actuales de rentas

7. Sustitución en la expresión por valores numéricos y despeje de a1

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

329

Anualidad del sexto año a6 = a1 x 1,085 = 9.707.811,06 Títulos amortizados en el cuarto año En la anualidad del año 4 todo se conoce salvo los títulos a amortizar, por tanto, sustituyendo en el término:

Títulos en circulación a principios del quinto año

Por el método prospectivo: En 4:

8. Tantos efectivos El empréstito, como operación financiera, supone la existencia de una equivalencia financiera entre una prestación (el nominal del empréstito) y una contraprestación (el conjunto de capitales que se desembolsan para su total devolución). Dicha equivalencia se cumple para un tipo de interés que, de no existir ningún componente además del cupón, coincide con el tipo al que se calcula el cupón (si es constante) acordado en la emisión. El problema surge cuando existen «características comerciales» en el empréstito, es decir, otras partidas que afectan a la prestación y/o a la contraprestación haciendo que se modifique el valor financiero de las mismas, no cumpliéndose la equivalencia para el tipo de interés contractual. Es decir, cuando en la operación, además de devolverse el capital y pagarse cupones, existen otros pagos y cobros de diferente naturaleza que hacen que la equivalencia entre pagos y cobros no se cumpla al tipo del cupón. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

330

Surge así la necesidad de calcular un nuevo tipo que permita enfrentar las cantidades «realmente» entregadas y recibidas en la operación, tanto para el acreedor (obligacionistas) como para el deudor (emisor). Este nuevo tipo será una medida real (efectiva) de la rentabilidad obtenida por el prestamista –obligacionista– y del coste total (efectivo) soportado por el deudor –emisor–, por todo aquello que afecte a una y otra parte, respectivamente. 8.1. TANTO EFECTIVO DEUDOR O DEL EMISOR (ie) Será una medida del coste real (coste financiero) que supone para el emisor la emisión y posterior devolución del empréstito, considerando además de los intereses de los cupones todos los gastos soportados en la operación, cualquiera que sea su naturaleza (lotes, primas –de emisión o reembolso– y gastos –de emisión o administración–). Se obtendrá a partir de la siguiente equivalencia financiera para el emisor: LO REALMENTE RECIBIDO LO REALMENTE PAGADO (Valor de emisión del empréstito) ie (Gastos de emisión y anualidades teóricas)

8.2. TANTO EFECTIVO ACREEDOR O DEL CONJUNTO DE OBLIGACIONISTAS (i o) Proporciona una medida de la rentabilidad media obtenida por el conjunto de obligacionistas, considerando todas aquellas partidas que influyen en la misma. Se obtendrá a partir de la equivalencia financiera que considera todo lo que paga el conjunto de obligacionistas y todo lo que recibe este colectivo a lo largo de todo el empréstito: LO REALMENTE PAGADO (Valor de emisión del empréstito)

io

LO REALMENTE RECIBIDO (Anualidades teóricas sin gastos de administración)

8.3. RENTABILIDAD DE UN TÍTULO TIR (r) También proporciona una medida de rentabilidad, en este caso para un título en cuestión y no para el conjunto de títulos emitidos (tanto obligacionista). Para ello sólo se tendrán en cuenta los flujos originados desde la compra (en la suscripción) hasta su amortización en un momento determinado para el título elegido. LO REALMENTE PAGADO LO REALMENTE RECIBIDO (Valor de emisión del título) r [Cupones,valor de reembolso y lote (si hay)]

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331

EJEMPLO 21 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 75.000.



Nominal título: 1.000 u.m..



Cupón anual: 120 u.m.



Duración: 10 años.



Sorteos anuales, amortizándose los títulos con prima de 200 u.m.



Los títulos se adquieren al 90%.



Gastos iniciales de 500.000 u.m. a cargo del emisor.



Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Tanto efectivo emisor.



Tanto efectivo obligacionista.



TIR de un título que se amortiza en el 5.º sorteo.

Solución: Cálculo de la anualidad Empréstito de cupón periódico constante y anualidad constante que además incluye una prima de amortización y unos gastos de administración. La estructura es la siguiente:

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332

Planteando la equivalencia en origen:

deshaciendo el cambio de variable: axc a' = --------------------(1 + g) x (c + p) obtenemos la anualidad real: a x 1.000 12.205.904,62 = -------------------1,001 x 1.200 a = 14.661.732,62 Tanto efectivo emisor LO RECIBIDO

ie? LO PAGADO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo cobrado (V x N1) y todo lo pagado en la operación (G y a) por el emisor, resulta el tanto efectivo emisor ie.

Para despejar el tanto se puede emplear una máquina financiera, tantear hasta lograr una solución que se aproxime o bien emplear tablas financieras de Tanto efectivo obligacionista La anualidad que paga el emisor incorpora unos gastos de administración que no son cobrados por los obligacionistas, por lo que habrá que eliminar del término amortizativo esos gastos quedando la expresión:

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333

a -------1+g io? LO PAGADO LO RECIBIDO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado (V x N1) y todo lo cobrado en la operación (a/1 + g) por los obligacionistas, resulta el tanto efectivo obligacionista io.

TIR de un título amortizado en el 5.º sorteo r LO PAGADO LO RECIBIDO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado por el título (V) y todo lo cobrado hasta su amortización (c x i y c + p), resulta el tanto TIR (r).

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334

Para el cálculo del TIR no se podrán usar tablas financieras, quedando como únicas alternativas bien la máquina financiera o el tanteo. EJEMPLO 22 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 50.000.



Nominal del título: 1.000 u.m.



No abono de cupones anuales, acumulándose hasta el momento del sorteo al 13%.



Sorteos anuales, repartiéndose un premio de 1.000 u.m. para cada una de las 100 primeras obligaciones sorteadas cada año.



Gastos de emisión: 1.000.000 de u.m.



Gastos de administración del 1‰ sobre las cantidades pagadas anualmente a los obligacionistas.



Duración: 15 años.



Emisión de los títulos al 95% de su valor nominal.



Anualidad constante.

Se pide: 

Anualidad del empréstito.



Tanto efectivo emisor.



Tanto efectivo obligacionista.



Rentabilidad de un título adquirido en la emisión y amortizado en el 6.º sorteo con lote.

Solución: Cálculo de la anualidad Empréstito de cupón constante acumulado en compuesta, anualidad constante, con lote y gastos de administración. La estructura de la anualidad será:

Normalizando:

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335

Planteando la equivalencia en 0:

deshaciendo el cambio de variable: a a' = --------- – L 1+g se obtiene la anualidad real: a 7.737.088,98 = --------- – 100.000 a = 7.844.926,07 1,001 Tanto efectivo emisor LO RECIBIDO

ie? LO PAGADO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo cobrado (V x N1) y todo lo pagado en la operación (G y a) por el emisor, resulta el tanto efectivo emisor ie.

Tanto efectivo obligacionista Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

336

LO PAGADO

io? LO RECIBIDO

Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado (V x N1) y todo lo cobrado en la operación (a/i + g) por los obligacionistas, resulta el tanto efectivo obligacionista io.

TIR de un título amortizado en el 6.º sorteo con lote r LO PAGADO LO RECIBIDO

?Planteando la equivalencia en el origen entre lo pagado por el título (V) y todo lo cobrado en la amortización [c x (1 + i)6 + L], resulta el tanto TIR (r). 1.000 x 1,136 + 1.000 950 = ----------------------------(1 + r)6 r = 21,67%

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337

9. Probabilidad en los empréstitos Hasta ahora se han estudiado los empréstitos enfocados desde el punto de vista del emisor, considerando la operación como un todo, centrándonos en la construcción de los cuadros de amortización. Sin embargo, el obligacionista se plantea la necesidad de estimar la duración de los títulos que adquiere y la rentabilidad que le supondrán. El estudio de la probabilidad en los empréstitos tiene razón de ser al considerar esta operación desde el punto de vista del obligacionista, el cual, cuando adquiere títulos desea conocer la rentabilidad de la inversión efectuada. Ahora bien, la rentabilidad efectiva implica conocer no sólo el importe económico de los derechos futuros (cupones, valor de reembolso y posibles lotes) sino del número de ellos, que, a su vez, dependerá del momento en el que el título resultará amortizado. Dado que la amortización de los títulos se realiza por sorteo un obligacionista no sabrá con certeza cuándo su título resultará retirado de la circulación. Es preciso estimar la probabilidad de que el título esté vivo (en circulación) más o menos tiempo. Definimos el concepto de probabilidad como el resultado de dividir el número de casos favorables de que ocurra un determinado fenómeno concreto (en este caso, amortización de un título) entre el número de casos posibles en una fecha de estudio concreta. El estudio de probabilidad supone conocer las características del empréstito y en qué momento nos encontramos desde la emisión del mismo. Así, por ejemplo, para un empréstito de N1 emitidos, con una duración de n períodos, realizándose sorteos periódicos en los que se amortizan M1, M2, …, Mn, respectivamente, si quisiéramos hacer un estudio de probabilidad en el momento k desde el origen, gráficamente sería:

Las probabilidades objeto de estudio más frecuentes son las siguientes: a) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 resulte amortizado en el momento t:

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338

Mt P = --------Nk+1 b) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 continúe en circulación en el momento t: Nt+1 P = --------Nk+1 c) Probabilidad de que un título en circulación a principios de k+1 resulte amortizado en cualquier sorteo hasta el momento t (incluido): Mk+1 + Mk+2 + … + Mtt Nk+1 – Nt+1

Nt+1

P = ------------------------------- = ------------------ = 1 – -------Nk+1

Nk+1

Nk+1

A partir del concepto de probabilidad, se puede estimar el tiempo que puede estar en circulación un título adquirido en cualquier momento de tiempo (vida del título), pudiéndose utilizar diferentes promedios entre los que destacamos los siguientes: 1. Vida media. 2. Vida mediana. 3. Vida matemática o financiera. 9.1. Vida media o esperada de un título (Vm) Se define la vida media de un título como el tiempo que por término medio está en circulación ese título desde la fecha de estudio. Se trata del concepto de esperanza matemática de una variable (número de años en circulación), puesto que la variable es de tipo aleatorio (no se conoce el momento en que el título resultará amortizado). En definitiva, la vida media resulta de multiplicar el número de años que un título puede estar en circulación, desde la fecha de estudio, por la probabilidad de que así ocurra: Cuadro de trabajo si el estudio se realiza en el momento k:

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339

SUCESOS POSIBLES (momento del sorteo)

X (n.º años en circulación)

k+1 k+2 … n

1 2 ... n-k

PROBABILIDAD DEL SUCESO (Px)

X x Px

Mk+1/Nk+1 Mk+1/Nk+1 ... Mn/Nk+1

1x Mk+1/Nk+1 2x Mk+1/Nk+1 ... (n - k) n/Nk+1

Haciendo el estudio en el momento K, desde la emisión del empréstito, resulta: Mk+1

Mk+2

Mn

Vm = 1 x -------- + 2 x --------- + … + (n – k) x -------Nk+1

Nk+1

Nk+1

De forma reducida:

Si el estudio se hace en el origen (k = 0):

Expresiones válidas para cualquier empréstito, que tienen como principal inconveniente la necesidad de conocer el número de títulos en circulación en la fecha de estudio (Nk+1) así como el número de títulos a amortizar desde esa fecha hasta el final del empréstito (Mr). No obstante, para empréstitos con anualidad constante y cupón periódico, constante y vencido (clase I, tipo I) se puede emplear la siguiente expresión simplificada (véase demostración en el anexo I al final del capítulo):

donde: i Tanto del cupón del empréstito. n Número de sorteos del empréstito.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

340

método válido si el estudio se realiza en el origen. Para aplicar la fórmula en cualquier momento k, bastará con sustituir n (número de sorteos pendientes) por n–k (número de sorteos pendientes desde la fecha de estudio). Además, si el empréstito tuviera características comerciales, habría que normalizar y la expresión seguirá siendo válida pero cambiando i por i' (tanto normalizado), resultando:

siendo: i': Tanto normalizado del empréstito. n – k: Número de sorteos pendientes del empréstito. EJEMPLO 3 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 50 u.m.



Duración: 4 años.



Prima amortización: 200 u.m.



Anualidad constante.

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Vida media en el origen.



Vida media en el momento 1.

Solución:

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341

50 i' = -------- = 0,04166 1.200 a' = c x i' x Nk + c x Mk

Planteando la equivalencia en el origen para calcular la anualidad:

como: axc a' = --------c+p se podrá despejar la anualidad teórica: a = 6.637.750,85 Cuadro de amortización Títulos Títulos Año vivos amortiz. 1 2 3 4

20.000 15.302 10.408 5.310

4.698 4.894 5.098 5.310

Total tít. amort.

Intereses Amortización

4.698 1.000.000 9.592 765.100 14.698 520.400 20.000 265.500

5.637.600 5.872.800 6.117.600 6.372.000

Anualidad práctica 6.637.600 6.637.900 6.638.000 6.637.500

Vida media en el origen 1 Vm = ----------- x [1 x 4.698 + 2 x 4.894 + 3 x 5.098 + 4 x 5.310] = 2,551 años 20.000

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

342

Otra posibilidad:

Vida media en el momento 1

Otra posibilidad:

9.2. Vida mediana (Vmed) Se define como el tiempo que debe transcurrir para que el número de títulos en circulación en la fecha de estudio quede reducido a la mitad o, lo que es lo mismo, el tiempo que ha de transcurrir para que la probabilidad de que un título resulte amortizado en ese intervalo sea 1/2. Haciendo el estudio en el momento k, tendremos que buscar cuántos sorteos (años) tienen que pasar para que se cumpla la definición de vida mediana, es decir, el número de sorteos que tienen que efectuarse para que se cumplan cualesquiera de las siguientes expresiones: • El número de títulos amortizados sea la mitad de los que había en circulación en la fecha de estudio:

• La probabilidad de que un título en circulación en la fecha de estudio resulte amortizado en ese intervalo sea 1/2:

Esta forma de calcular resulta aplicable a cualquier empréstito, pero tiene como principal inconveniente la necesidad de conocer el número de títulos en circulación en la fecha de estudio (Nk+1) así como el número de títulos a amortizar desde esa fecha en adelante. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

343

No obstante, para empréstitos con anualidad constante y cupón periódico, constante y vencido (clase I, tipo I) se puede emplear, en el origen, la siguiente expresión simplificada (véase demostración en el anexo II al final del capítulo): (1 + i)n + 1 (1 + i)Vmed = ---------------2 donde: i: Tanto del cupón del empréstito. n: Número de sorteos del empréstito. Vmed: Vida mediana del empréstito. método válido si el estudio se realiza en el origen. Para aplicar la fórmula en cualquier momento k, bastará con sustituir n (número de sorteos pendientes) por n–k (número de sorteos pendientes desde la fecha de estudio). Además, si el empréstito tuviera características comerciales, habría que normalizar y la expresión seguirá siendo válida pero cambiando i por i' (tanto normalizado), resultando: (1 + i')n–k + 1 (1 + i')

Vmed

= ------------------2

siendo: i': Tanto normalizado del empréstito. n–k: Número de sorteos pendientes del empréstito. Vmed: Vida mediana del empréstito. EJEMPLO 24 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 50 u.m.



Duración: 4 años.



Prima amortización: 200 u.m.



Anualidad constante.

Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

344

Se pide: 

Vida mediana en el origen.



Vida mediana en el momento 1.

Solución: El cálculo de los títulos amortizados no se realiza ya que se trata del mismo empréstito del ejemplo anterior, por lo que tomamos esa información del mismo. Vida mediana en el origen Se trata de determinar cuánto tiempo ha de transcurrir para que el total de títulos emitidos se reduzca a la mitad.

La vida mediana estará comprendida entre 2 y 3, por lo que si se quiere un valor más aproximado habrá que realizar una interpolación lineal: o bien 1 --------------- (0,4796 – 0,7345)

1 --------------- 5.098 t --------------- (10.000 – 9.592)

t ---------------- (0,4796 – 0,5)

t = 0,08003

t = 0,0800314

Vmed = 2 + t = 2,08003 años

Vmed = 2 + t = 2,08003 años

Otra posibilidad consistirá en emplear la fórmula antes indicada: 1,041664 + 1 1,04166 Vmed = -------------------2 Aplicando logaritmos a un miembro y a otro, y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos, despejaremos la variable buscada: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

345

De donde: Vmed = 2,08155 años Vida mediana en el momento 1

La vida mediana estará comprendida entre los sorteos 2.º y 3.º (1.º y 2.º contados desde la fecha de estudio) por lo que si se quiere un valor más aproximado habrá que realizar una interpolación lineal. Realizando una interpolación lineal: 1 --------------- 5.098

o bien 1 --------------- (0,3198 – 0,6530)

t --------------- (7.651 – 4.894)

t ---------------- (0,3198 – 0,5)

t = 0,54080

t = 0,54083

Vmed = 1 + t = 1,54080 años

Vmed = 1 + t = 1,54080 años

Otra posibilidad, mediante la expresión empleada para los empréstitos de estas características: 1,041663 + 1 1,04166 Vmed = -------------------2 Aplicando logaritmos:

De donde: Vmed = 1,5459 años Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

346

9.3. Valor, usufructo y nuda propiedad de un título La valoración de títulos procedentes de un empréstito cualquiera implica conocer las cuantías de los derechos económicos futuros que dicho título conlleva y actualizarlos al momento de estudio a un tipo adecuado (tanto de mercado). Definiciones: 

Valor de un título en el momento k (principios del período k+1), Vk, es el resultado de actualizar al tanto de mercado (im) todos los derechos económicos futuros que el título conlleva.



Usufructo de un título en el momento k (principios del período k+1), Uk, es el resultado de actualizar al tanto de mercado (im) todos los cupones futuros que el título conlleva.



Nuda propiedad de un título en el momento k (principios del período k+1), Nk , es el resultado de actualizar al tanto de mercado (im) el valor de reembolso del título.

De las definiciones anteriores se deduce la necesidad de conocer para estos cálculos: 1. Cuantía de los derechos económicos futuros del título (cupones, valor de reembolso y lotes). 2. Número de capitales (derechos económicos) a considerar. El número de derechos está en función del tiempo que el título esté en circulación, o sea, del momento en que resulte amortizado. Por ello debemos considerar un horizonte temporal para su estudio, pudiéndose contemplar tres posibilidades: 1. Conocer de antemano el momento del sorteo del título. 2. Estimar un período de vida para el título, tomándose como tal la vida media (o mediana) del conjunto de títulos del empréstito en la fecha de estudio. 3. Considerar un valor medio, es decir, calcular un valor global para el conjunto del empréstito y dividirlo proporcionalmente entre el número de títulos vivos en la fecha de estudio. Aplicaremos estos escenarios a los diferentes tipos de empréstitos estudiados. 9.3.1. Empréstitos clase I, tipo I, normal Empréstitos con término amortizativo constante y cupón constante y vencido pagadero a los títulos en circulación en cada momento. La estructura del término amortizativo es la siguiente: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

347

Se trata de realizar el cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad de un título procedente de este empréstito en un momento cualquiera considerando los posibles escenarios antes comentados. Caso 1: el título resultará amortizado en el momento k+t Estamos suponiendo que se conoce con absoluta certeza el momento en que resultará amortizado el título estudiado. Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta el momento del sorteo (k + t):

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor:

EJEMPLO 25 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 50 u.m.



Duración: 4 años.



Prima amortización: 200 u.m.



Anualidad constante.

Se pide: 

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizado en el segundo sorteo, siendo el tanto de mercado el 4%.

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348



Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizado en el cuarto sorteo, siendo el tanto de mercado el 4%.

Solución: a) Si el título se amortiza en el segundo año:

b) Si el título se amortiza en el cuarto año:

Caso 2: tomando como estimación la vida media del empréstito en la fecha de estudio Ahora desconocemos el momento en que resultará amortizado el título estudiado, por ello se toma como estimación la vida media calculada para todo el empréstito en la fecha donde estamos valorando. Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta el momento del sorteo (k + Vm):

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349

Aplicando de nuevo las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor:

Caso 3: considerando valores medios En los dos casos anteriores, bien conociendo la fecha del sorteo bien tomando como horizonte de estudio la vida media del empréstito, se considera únicamente el título objeto de valoración. Ahora, por el contrario, se trabaja con el conjunto de títulos vivos en la fecha de estudio del empréstito, para, después, estimar el valor medio de cada uno de ellos. El esquema de flujos pendientes del empréstito en su conjunto es el siguiente:

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor, en este caso aplicados para el conjunto del empréstito (valores totales o globales):

Estos valores globales se repartirán entre el número de títulos vivos en la fecha de estudio (Nk+1), para obtener los valores medios por título de usufructo, nuda propiedad y valor:

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350

No obstante, este método de cálculo exige conocer las cantidades destinadas al pago de cupones y de amortización en cada momento desde la fecha de estudio hasta el final del empréstito (cuadro de amortización). Un sistema alternativo sería la utilización del siguiente sistema de ecuaciones, que solamente se podrá emplear en el supuesto de que se cumplan los tres siguientes requisitos: 1. El cupón periódico se mantiene constante desde la fecha de estudio hasta n. 2. El tanto de mercado (im) sea diferente al tanto del cupón (i). 3. Encontrarse al principio de un período.

Donde: i: Tipo del cupón del título. im: Tipo de mercado. c: Nominal del título. Para su resolución se calculará previamente el Vk, según la expresión:

y del sistema se despejarán Uk y Nk. Nota: este sistema de ecuaciones también se puede aplicar a cualquier empréstito de cupón periódico con anualidad variable (clase I, tipo II). EJEMPLO 26 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 30.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 100 u.m.



Duración: 3 años.



Anualidad constante.

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351

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12%.

Solución:

Cuadro de amortización Títulos Título Año vivos amortiz. 1 2 3

30.000 20.937 10.967

9.063 9.970 10.967

Total tít. amort.

Intereses Amortización

9.063 3.000.000 19.033 2.093.700 30.000 1.096.700

9.063.000 9.970.000 10.967.000

Término amortizativo 12.063.000 12.063.700 12.063.700

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12%: 1.ª posibilidad: aplicando las definiciones

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352

2.ª posibilidad: aplicando el sistema de ecuaciones

Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene Vo:

Del sistema se despeja la nuda propiedad y a continuación el usufructo:

9.3.2. Incidencia de las distintas características comerciales Cuando existan en el empréstito características comerciales, será preciso distinguir cómo afectan a la hora de valorar el título. Será necesario, pues, un estudio individualizado de cada una de las posibles características que pueden aparecer. De igual forma, se podrá aplicar indistintamente las definiciones o aplicar el sistema de ecuaciones, si bien considerando cómo afecta la(s) característica(s) que en cada caso se presenten. Pasamos al estudio de cada característica comercial: 9.3.2.1. Prima de amortización Afecta a la nuda propiedad y al valor, pero no al usufructo. El sistema queda como sigue:

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353

Donde: i: Tipo del cupón del título. im: Tipo de mercado. c: Nominal del título. i': Tipo normalizado del empréstito. EJEMPLO 27 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 1.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Interés anual: 6%.



Duración: 4 años.



Valor de reembolso de los títulos: 1.200 u.m.



Anualidad constante.

Se pide: Calcular el valor medio de un título transcurrido 1 año desde la emisión, siendo el tanto de mercado el 7% efectivo anual. Solución:

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354

Cálculo de los títulos amortizados

Cuadro de amortización

Año

1 2 3 4

(1)

(2)

(3)

(4) = (1) x 60

(5) = (2) x 1.200

(6) = (4) + (5)

Títulos vivos

Título amortiz.

Total tít. amort.

Intereses

Amortización

Término amortizativo

1.000 768 524 268

232 244 256 268

232 476 732 1.000

60.000 46.080 31.440 16.080

278.400 292.800 307.200 321.600

338.400 338.880 338.640 337.680

Valor, usufructo y nuda propiedad en 1 al tanto im = 7% 1.ª posibilidad: aplicando las definiciones

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355

2.ª posibilidad: aplicando el sistema de ecuaciones

Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene V1:

Del sistema se despeja la nuda propiedad y a continuación el usufructo:

9.3.2.2. Amortización seca Afecta al usufructo y al valor, pero no a la nuda propiedad. El sistema de ecuaciones visto anteriormente considera que la amortización seca no es una pérdida de cupón sino una prima de amortización negativa, por lo que infravalora la nuda propiedad y da más valor al usufructo. Por este motivo, en lugar de aplicar el sistema se calcula el valor y la nuda propiedad aplicando las definiciones técnicas y el usufructo se obtiene por diferencias. EJEMPLO 28 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 1.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Interés anual: 5%.



Duración: 3 años.

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356



Los títulos amortizados pierden el último cupón.



Anualidad constante.

Se pide: Calcular el valor medio de un título transcurrido 1 año desde la emisión, siendo el tanto de mercado el 4% efectivo anual. Solución:

Cálculo de los títulos amortizados

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357

Cuadro de amortización

Año

1 2 3

(1)

(2)

(3)

(4) = [(1) – (2)] x 50

(5) = (2) x 1.200

(6) = (4) + (5)

Títulos vivos

Título amortiz.

Total tít. amort.

Intereses

Amortización

Término amortizativo

1.000 684 351

316 333 351

316 649 1.000

34.200 17.550

316.000 333.000 351.000

350.200 350.550 351.000

Valor, usufructo y nuda propiedad en 1 al tanto im = 4% 1.ª posibilidad: empleando los datos del cuadro

2.ª posibilidad: aplicando las definiciones Aplicando la definición de valor medio de un título se obtiene V1:

Aplicando la definición de nuda propiedad media se obtiene N1:

El usufructo se obtiene por diferencia entre valor y nuda propiedad:

9.3.2.3. Lotes Afecta al valor, pero no al usufructo ni a la nuda propiedad.

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358

Donde el complemento es la actualización de los lotes futuros por obligación en circulación:

En este caso, previamente deberemos calcular el valor (por el mismo procedimiento) y el complemento aplicando su definición. Del sistema se despejarán usufructo y nuda propiedad. 9.3.2.4. Gastos de administración No afectan ni al usufructo ni a la nuda propiedad ni al valor. Hay que tener en cuenta que, de existir, los gastos de administración forman parte de la anualidad del empréstito, por lo que habrá que quitarlos y a continuación se utiliza el sistema de ecuaciones correspondiente. EJEMPLO 29 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 30.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 100 u.m.



Duración: 3 años.



Reparto de un premio de 200 u.m. a 1.000 títulos amortizados cada año.



Gastos de administración del 1‰ de las cantidades pagadas.



Todos los años se amortizan el mismo número de títulos.

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359

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12%.

Solución:

Cuadro de amortización Títulos Título Año vivos amortiz. 1 2 3

30.000 20.000 10.000

Intereses

Amortiz.

Lotes

10.000 3.000.000 10.000.000 200.000 10.000 2.000.000 10.000.000 200.000 10.000 1.000.000 10.000.000 200.000

Gastos admón. 13.200 12.200 11.200

Término amortizativo 13.213.200 12.212.200 11.211.200

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12% 1.ª posibilidad: aplicando las definiciones

2.ª posibilidad: aplicando el sistema de ecuaciones

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360

Aplicando las definiciones calculamos nuda propiedad y complemento:

Del sistema se despeja el usufructo y a continuación el valor:

9.3.2.5. Cupón fraccionado Afecta al usufructo e, indirectamente, al valor, pero no a la nuda propiedad. El sistema de ecuaciones sigue siendo válido pero recogiendo el efecto del fraccionamiento en el usufructo y en el valor del título.

Al tratarse de un empréstito de cupón fraccionado, para resolverlo, obligatoriamente, se tendrá que calcular en primer lugar, y fuera del sistema, la nuda propiedad (Nt) aplicando la definición, esto es, actualizando los valores de reembolso futuros al tanto de mercado. Del sistema se despejará siempre el usufructo y el valor. EJEMPLO 30 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 10.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón semestral: 60 u.m.



Duración: 3 años.



Sorteos anuales a la par.



Anualidad comercial constante.

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361

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Valor, usufructo y nuda propiedad a principios del año 2 a un tanto de mercado del 15% efectivo anual.

Solución:

Cuadro de amortización Títulos Título Año/Sem. vivos amortiz. 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2.

10.000 10.000 7.047 7.047 3.729 3.729

– 2.953 – 3.318 – 3.729

Total tít. Intereses Amortización amort. – 2.953 2.953 6.271 6.271 10.000

600.000 600.000 422.820 422.820 223.740 223.740

Término amortizativo

– 2.953.000 – 3.318.000 – 3.729.000

600.000 3.553.000 422.820 3.740.820 223.740 3.952.740

Valor, usufructo y nuda propiedad transcurrido un año al tanto im = 15% 1.ª posibilidad: aplicando las definiciones

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362

2.ª posibilidad: aplicando el sistema de ecuaciones

Aplicando la expresión de cálculo de la nuda propiedad:

Del sistema se despeja el usufructo y a continuación el valor:

9.3.3. Empréstitos clase II, tipo I, normal Empréstitos con término amortizativo constante y cupón acumulado en régimen de compuesta pagadero a los títulos que en cada sorteo resulten amortizados. La estructura del término amortizativo es la siguiente:

Se trata de realizar el cálculo del valor, usufructo y nuda propiedad de un título procedente de este empréstito en un momento cualquiera considerando los posibles escenarios antes comentados. Caso 1: el título resultará amortizado en el momento k+t Estamos suponiendo que se conoce con absoluta certeza el momento en que resultará amortizado el título estudiado. Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta el momento del sorteo (k+t): Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

363

Se calculará en primer lugar el valor y la nuda propiedad, aplicando la definición:

El usufructo resultará más práctico obtenerlo por diferencias entre los dos datos previamente obtenidos: Uk = Vk – Nk. EJEMPLO 31 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 10.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón del 10% anual acumulable al momento del sorteo.



Duración: 3 años.



Anualidad comercial constante.

Se pide: 

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizado en el primer sorteo, siendo el tanto de mercado el 9%.



Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen de un título que resultará amortizado en el último sorteo, siendo el tanto de mercado el 9%.

Solución: a) Si el título se amortiza en el primer año:

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364

b) Si el título se amortiza en el tercer año:

Caso 2: tomando como estimación la vida media del empréstito en la fecha de estudio Se desconoce el momento en que resultará amortizado el título estudiado, por ello se toma como estimación la vida media calculada para todo el empréstito en la fecha donde se valora. Gráficamente el esquema de flujos pendientes desde la fecha de estudio (k) hasta el momento del sorteo (k + Vm):

Se procederá de igual forma que en el caso anterior, pero tomando como horizonte temporal la vida media del empréstito. Caso 3: considerando valores medios En los dos casos anteriores, bien conociendo la fecha del sorteo bien tomando como horizonte de estudio la vida media del empréstito, se considera únicamente el título objeto de valoración. Ahora, por el contrario, se trabaja con el conjunto de títulos vivos en la fecha de estudio del empréstito, para, después, estimar el valor medio de cada uno de ellos. El esquema de flujos pendientes del empréstito en su conjunto es el siguiente:

Aplicando las definiciones de usufructo, nuda propiedad y valor, en este caso aplicados para el conjunto del empréstito (valores totales o globales):

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365

Estos valores globales se repartirán entre el número de títulos vivos en la fecha de estudio (Nk+1), para obtener los valores medios por título de usufructo, nuda propiedad y valor:

No obstante, este proceso de cálculo exige conocer los títulos amortizados en cada momento desde la fecha de estudio hasta el final del empréstito y las cantidades a pagar a cada uno de ellos en concepto de amortización y cupón acumulado. Un sistema alternativo sería el siguiente: • En primer lugar se calcula el valor medio de un título:

• A continuación se calcula la nuda propiedad, con la siguiente expresión:

• Finalmente, se despeja el usufructo: Uk = Vk – Nk EJEMPLO 32 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 10.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón del 10% anual acumulable al momento del sorteo.



Duración: 3 años.



Anualidad comercial constante.

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366

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen a un tanto de mercado del 12% efectivo anual.

Solución:

Cuadro de amortización Títulos Título Año vivos amortiz. 1 2 3

10.000 6.344 3.021

3.656 3.323 3.021

Total tít. amort. 3.656 6.979 10.000

Intereses Amortización

365.600 697.830 999.951

3.656.000 3.323.000 3.021.000

Término amortizativo 4.021.600 4.020.830 4.020.951

Valor, usufructo y nuda propiedad en el origen al tanto im = 12% 1.ª posibilidad: aplicando las definiciones

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367

2.ª posibilidad: calculando el valor medio y a continuación la nuda propiedad con las expresiones abreviadas

Finalmente se despeja el usufructo: U0 = V0 – N0 = 159,45 9.3.4. Valor, usufructo y nuda propiedad en una fracción de período Las expresiones anteriores se pueden aplicar para valoraciones efectuadas en momentos donde tiene lugar amortización de títulos (final de período –año–). Si el cálculo se realizará en cualquier otro momento de tiempo las definiciones siguen siendo válidas (y, por tanto, se pueden seguir aplicando) pero el sistema práctico de ecuaciones no se podría aplicar directamente. En este caso con el sistema de ecuaciones se realizarán los cálculos a principios del período y después capitalizaremos hasta la fecha en la que se piden los valores. Esta capitalización se debe efectuar en régimen de compuesta y al tanto de mercado (im).

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368

EJEMPLO 33 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 50 euros.



Prima de amortización: 200 u.m.



Duración: 4 años.



Gastos de administración del 1‰ de las cantidades pagadas a los obligacionistas.



Anualidad comercial constante.

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Valor, usufructo y nuda propiedad transcurridos dos años desde la emisión a un tanto de mercado del 7% efectivo anual



Valor, usufructo y nuda propiedad transcurridos dos años y tres meses desde la emisión a un tanto de mercado del 7% efectivo anual.

Solución:

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369

de donde: a = 6.644.388,60

Cuadro de amortización Títulos Título Año vivos amortiz. 1 2 3 4

20.000 15.302 10.408 5.310

Total tít. Intereses Amortiz. amort.

4.698 4.894 5.098 5.310

4.698 1.000.000 5.637.600 9.592 765.100 5.872.800 14.698 520.400 6.117.600 20.000 265.500 6.372.000

Gastos Admón. 6.637,6 6.637,9 6.638,0 6.637,5

Término amortizativo 6.644.237,6 6.644.537,9 6.644.638,0 6.644.137,5

Valor, usufructo y nuda propiedad en 2, al tanto im = 7 % (aplicando las definiciones)

Los mismos resultados se habrían obtenido aplicando el sistema de ecuaciones. Valor, usufructo y nuda propiedad transcurridos 2 años y 3 meses, al tanto i m = 7%, (aplicando las definiciones)

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370

En este caso, para valorar en una fracción de período, el sistema de ecuaciones no se puede aplicar directamente. Habrá que valorar en el momento 2 (V2, U2 y N2) y después capitalizar 3 meses al tanto de mercado. Así, utilizando los resultados del punto anterior se realizarán finalmente los siguientes cálculos: V2,25 = V2 x 1,070,25 = 1.153,04 x 1,070,25 = 1.172,74 U2,25 = U2 x 1,070,25 = 69,01 x 1,070,25 = 70,22 N2,25 = N2 x 1,070,25 = 1.084,06 x 1,070,25 = 1.102,53 Nota: las pequeñas diferencias que surgen entre los diferentes métodos se deben al error de aproximación que se comete tanto en uno como en otro.

9.4. Vida financiera o matemática Se parte de un empréstito que ya existe, cuyos títulos se encuentran en circulación y del que se conoce su sistema de amortización, es decir, cuántos títulos se van a amortizar en cada uno de los sorteos que aún quedan pendientes de realizar. Lo que se pretende es la sustitución del plan de amortización inicialmente previsto por otro alternativo consistente en una amortización única de todos los títulos en circulación en el momento de estudio de una sola vez, obligándose a que ambos sistemas de amortización resulten equivalentes. El momento donde tendrá que efectuarse ese sorteo único que consiga la equivalencia financiera es lo que se denomina vida financiera del empréstito. El estudio de equivalencia se efectuará en el momento donde se plantea la sustitución (k) valorándose las dos alternativas al tanto de mercado vigente en ese momento (im). Caso 1: empréstito clase I, tipo I La estructura del término amortizativo será la siguiente, para el caso de no tener características comerciales:

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371

Situados a principios de k+1 el esquema de flujos futuros del empréstito, de acuerdo con el plan de reembolso inicialmente previsto, es el siguiente:

El sistema de amortización alternativo supone pagar periódicamente cupones a todos los títulos vivos en la fecha de estudio y amortizarlos todos de una sola vez en un momento futuro desconocido (la vida matemática). El esquema de flujos de caja del nuevo empréstito es el siguiente:

Valorando al tanto im en k las dos alternativas e igualándolas:

siendo X = vida financiera, la incógnita a despejar. De igual manera que se ha trabajado con el empréstito en su conjunto, se podría realizar el estudio considerando solamente los cupones o los valores de reembolso. 1.º Considerando sólo el pago de cupones: vida financiera de los intereses (X1)

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372

Se valoran en el momento k, por una parte los pagos de cupones que se realizarán en el futuro de acuerdo con el plan de amortización inicial y, por otra parte, los cupones que se pagarán caso de amortizar todos los títulos de una sola vez en X1. El resultado de igualar ambas corrientes de pagos será:

A continuación, se pasará Nk+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtiene la definición de usufructo medio del empréstito en ese momento (Uk).

siendo X1 = vida financiera de los intereses, la incógnita a despejar. 2.º Considerando sólo el valor de reembolso: vida financiera de los valores de reembolso (X2) Se valoran en el momento k, por una parte, los valores de reembolso que se realizarán en el futuro de acuerdo con el plan de amortización inicial y, por otra parte, el resultado de amortizar todos los títulos de una sola vez en X2 (desconocido). El resultado de igualar ambas corrientes de pagos será:

A continuación, se pasará Nk+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtiene la definición de nuda propiedad media del empréstito en ese momento (Nk).

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373

siendo X1 = vida financiera de los intereses, la incógnita a despejar. Si el valor de reembolso se mantiene constante se cumple X = X1 = X2, lo que implica la existencia de una vida financiera única. EJEMPLO 34 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 130 u.m.



Duración: 4 años.



Prima de reembolso: 300 u.m.



Anualidad comercial constante.

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8% efectivo anual.

Solución:

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374

de donde: a = 8.202.240,90

Cuadro de amortización Títulos Títulos Año vivos amortiz. 1 2 3 4

20.000 15.690 10.950 5.736

Total tít. amort.

4.310 4.740 5.214 5.736

Intereses Amortización

4.310 2.600.000 9.050 2.069.700 14.264 1.423.500 20.000 745.680

Término amortizativo

5.603.000 6.162.000 6.778.200 7.456.800

8.203.000 8.231.700 8.201.700 8.202.480

Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8% 1.ª posibilidad: considerando todos los flujos del empréstito

Vida financiera = X = 2,5709 años 2.ª posibilidad: considerando solamente los intereses del empréstito (usufructo) Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

375

Previamente se deberá calcular el usufructo medio de un título en la fecha donde se esté calculando la vida financiera (en este caso en el origen). El usufructo medio en el origen es U0 = 291,712. A continuación, se plantea la ecuación siguiente:

El cálculo de X (vida financiera o matemática) se puede hacer tanteando, máquina financiera (se trata de un elemento de una renta), con tablas financieras de valor actuales unitarios o mediante logaritmos, para lo cual será preciso desarrollar el segundo miembro de la igualdad:

Vida financiera = X = 2,5709 años 3.ª posibilidad: considerando solamente los valores de reembolso del empréstito (nuda propiedad) Previamente se deberá calcular la nuda propiedad media de un título en la fecha donde se esté calculando la vida financiera (en este caso en el origen). La nuda propiedad media en el origen es N0 = 1.066,63. A continuación, se plantea la ecuación siguiente: 1.300 1.066,63 = --------1,08x 1.300 x

1,08 = ------------1.066,63 Empleando logaritmos: 1.300 X x Log 1,08 = Log -----------1.066,63 Vida financiera = X = 2,5709 años Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

376

EJEMPLO 36 Se emite el siguiente empréstito: 

Títulos emitidos: 20.000.



Nominal título: 1.000 u.m.



Cupón anual: 130 u.m.



Duración: 4 años.



Prima de reembolso: 300 u.m.



Igual número de títulos amortizados cada año.

Se pide: 

Cuadro de amortización.



Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8%.

Solución:

Cuadro de amortización Títulos Títulos Año vivos amortiz. 1 2 3 4

20.000 15.000 10.000 5.000

Total tít. amort.

5.000 5.000 5.000 5.000

Intereses Amortización

5.000 2.600.000 10.000 1.950.000 15.000 1.300.000 20.000 650.000

Término amortizativo

6.500.000 6.500.000 6.500.000 6.500.000

9.100.000 8.450.000 7.800.000 7.150.000

Vida financiera en el origen a un tanto de mercado del 8% 1.ª posibilidad: considerando todos los flujos del empréstito

Vida financiera = X = 2,4519 años 2.ª posibilidad: considerando solamente los intereses del empréstito (usufructo)

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377

Previamente se deberá calcular el usufructo medio de un título en la fecha donde se esté calculando la vida financiera (en este caso en el origen). El usufructo medio en el origen es U0 = 279,45. A continuación, se plantea la ecuación siguiente:

Mediante logaritmos: Vida financiera = X = 2,4519 años 3.ª posibilidad: considerando solamente los valores de reembolso del empréstito (nuda propiedad) Previamente se deberá calcular la nuda propiedad media de un título en la fecha donde se esté calculando la vida financiera (en este caso en el origen). La nuda propiedad media en el origen es N0 = 1.076,44. A continuación, se plantea la ecuación siguiente: 1.300 1.076,44 = --------1,08x Utilizando logaritmos: Vida financiera = X = 2,4519 años Caso 2: empréstito clase II, tipo I, puro. La estructura del término amortizativo (anualidad) será la siguiente, para el caso de no tener características comerciales:

Situados a principios de k+1 el esquema de flujos futuros del empréstito, de acuerdo con el plan de reembolso inicialmente previsto, es el siguiente:

El resultado de actualizar todos estos flujos al momento k al tipo de mercado (i m), quedaría: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

378

Por otra parte, el sistema de amortización alternativo supone la amortización de una sola vez de los títulos vivos en k en un momento futuro originando los siguientes flujos de caja:

La actualización de ese único pago en el momento del estudio (k) al tanto de mercado resulta: c x (1 + i)k+x x Nk+1 -------------------------(1 + im)x Finalmente, igualando las dos alternativas:

A continuación, se pasará Nk+1 al primer miembro de la ecuación, con lo que se obtiene la definición de valor medio del empréstito en ese momento (Vk).

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379

O de otra forma:

siendo X = vida financiera, la incógnita a despejar.

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380

ANEXO I Cálculo de la vida media en empréstitos clase I, tipo I, puro Realizando el estudio en el origen:

como: Mk = Nk – Nk+1

como:

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381

ANEXO II Cálculo de la vida mediana en empréstitos clase I, tipo I, puro Aplicando la definición en el origen:

como: ∑ y además se cumple:

sustituyendo:

eliminando M1 y desarrollando el valor final de una renta unitaria pospagable: (1 + i)x – 1 ----------------i

1

----------------- = ------(1 + i)n – 1

2

----------------i eliminamos el i de ambos denominadores: (1 + i)x – 1

1

---------------- = -----(1 + i)n – 1

2

reordenando la expresión: (1 + i)n – 1 (1 + i)x – 1 = --------------2 resultando finalmente la expresión buscada: (1 + i)n + 1 (1 + i)x = --------------2 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

382

CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios 1. Introducción Se entiende por activo todo bien que se posee y que tiene un valor de cambio. Los activos se pueden clasificar en: 

Tangibles: bienes que poseen unas propiedades físicas específicas.



Intangibles: bienes que proporcionan el derecho a percibir un beneficio futuro y que son independientes del soporte físico.

Los activos financieros (valores mobiliarios) son, por tanto, activos intangibles. 1.1. CONCEPTO Los valores mobiliarios son documentos representativos de la participación de una persona en una sociedad, bien como prestamista (activos financieros de deuda), bien como propietario (activos financieros en propiedad), de la misma. 1.2. MOTIVOS PARA INVERTIR EN VALORES MOBILIARIOS 

Por motivo de rentabilidad: comprar títulos con intención de mantenerlos en cartera y recibir por ellos una renta.



Por motivo de especulación: operación a corto plazo con objeto de vender a precio superior al de compra.



Por motivo de control: para tener mayor poder de decisión y poder controlar la sociedad.

1.3. CLASES DE VALORES MOBILIARIOS Atendiendo a la condición que adquiere el propietario de los títulos, los valores mobiliarios se pueden clasificar de la siguiente forma: 

Valores mobiliarios de renta variable: acciones. Reconocen a su titular como propietario de la sociedad emisora, y, por tanto, partícipe en los resultados de la empresa.



Valores mobiliarios de renta fija: privada y pública. El emisor del título reconoce al poseedor del título (inversor) la cuantía de una deuda que tiene contraída con él.

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383

El poseedor del título tiene derecho a percibir un interés, que se denomina «cupón», y, en una fecha, que se denomina «fecha de amortización», tiene derecho a percibir la cantidad escriturada. 

Valores mobiliarios de renta fija convertibles en acciones. Acreditan a su titular como prestamista pero con la posibilidad de cambiarlos por acciones en los plazos y condiciones que se hayan fijado, si así lo desea el prestamista.

1.4. FORMAS DE ADQUISICIÓN DE VALORES MOBILIARIOS 

En mercado primario: suscripción de títulos nuevos emitidos por la sociedad.



En mercado secundario: compra a un antiguo propietario de un título ya existente.

1.5. ESQUEMA DE UNA OPERACIÓN DE COMPRA-VENTA EN UN MERCADO SECUNDARIO 1.6. TERMINOLOGÍA En cualquier título mobiliario hay que distinguir distintos valores: 

Valor nominal. Es el que va impreso en el título. Lo decide la entidad emisora (0,5, 1, 100 u.m., …).



Valor de emisión. Es por el que se ponen en circulación. Se suele expresar en porcentaje sobre el valor nominal.



Valor de cotización. El precio de un título en el mercado en un momento dado.

1.7. CARACTERÍSTICAS DE UNA EMISIÓN DE RENTA FIJA En el folleto de emisión de títulos de renta fija aparecerá la siguiente información, de interés para el suscriptor: 1. El importe total de la emisión. 2. Número de títulos emitidos. 3. Nominal de cada título. 4. Precio de emisión de los títulos: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

384

• A la par (por su valor nominal). • Bajo la par (precio inferior al nominal). 5. El interés que se va a pagar: • Expresado en porcentaje sobre el nominal del título (anual, semestral,…). • Puede ser fijo o variable –referenciado a un índice–. • Posibilidad de un cupón cero (no hay cupón periódico). 6. El período de amortización, indicando asimismo la forma de amortización de los títulos: • Todos los títulos en el mismo momento. • En varios momentos distintos, por sorteos. • En varios momentos distintos, por reducción del nominal. • Mediante amortización anticipada (si está prevista en las condiciones de emisión). • Sin plazo de amortización (deuda perpetua). 7. El precio de amortización: • A la par (reembolso por el nominal). • Sobre la par o con prima de amortización (devolución por encima del nominal). 1.8. CARACTERÍSTICAS DE UNA EMISIÓN DE RENTA VARIABLE La acción es un valor mobiliario que representa una parte proporcional del capital social de una sociedad. El accionista (titular de una acción) es propietario de la sociedad, participando del riesgo económico de la sociedad y de los resultados de la misma. Si en un momento dado desea abandonar la sociedad no tiene otra alternativa que la venta de las acciones a un precio determinado por la libre negociación en el mercado secundario. Entre otras cosas, en una emisión de acciones se indica: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

385

1. El nominal de cada título. 2. El precio de emisión del título: • A la par. • Sobre la par. • A la par, parcial o totalmente liberada, en cuyo caso el accionista paga una parte –liberada parcial– o nada –liberada total– y el resto lo aporta la sociedad emisora con cargo a sus fondos propios. 3. Plazo de suscripción. Período en el que se puede comprar esos títulos. 4. El desembolso a realizar en el momento de la compra (mínimo el 25% del nominal y el 100% de la prima). 5. El momento a partir del cual esas acciones tendrán derecho a dividendo. 6. La fecha a partir de la cual las acciones nuevas que se emitan tendrán los mismos derechos que las antiguas, si las hubiera. 7. Si se trata de una ampliación, la proporción de la ampliación (relación entre el número de acciones nuevas y el número de acciones antiguas que participan en la ampliación). 8. Diferencia de dividendo. Quiere decir que hay unos beneficios del ejercicio que corresponden a las acciones antiguas en circulación, a los que no tienen derecho las acciones nuevas que se emiten si la fecha de emisión es posterior al comienzo del ejercicio. 1.8.1. Derechos y obligaciones del accionista 1.8.1.1. Derechos 

A recibir el dividendo, si la sociedad obtiene beneficios y decide repartirlos. Existe obligación por parte de la sociedad de retener a cuenta del impuesto sobre la renta, pudiéndose hablar de:

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386

– Dividendo bruto. – Dividendo líquido (dividendo bruto – retención). Además se podrá dar: – Dividendo a cuenta, de futuros beneficios. – Dividendo complementario, esto es, la diferencia entre el dividendo definitivo y el entregado a cuenta. 

De suscripción preferente en las ampliaciones de capital, en la parte que corresponda y al precio que se señale.



A la parte que le corresponda en el caso de liquidación de la sociedad.



Al voto en las decisiones, si posee el número mínimo fijado en los estatutos.

1.8.1.2. Obligaciones • La obligación fundamental es la de pagar, en los plazos previstos, las cantidades pendientes (dividendo pasivo). 2. Ampliaciones de capital Por ampliación de capital se entiende todo incremento en el capital social de una empresa. Ello puede ser resultado de la aportación de nuevos fondos a la sociedad, o bien de la capitalización de reservas (transformación de reservas en capital mediante ampliaciones de capital liberadas o mediante aumentos del nominal de las acciones), en cuyo caso no se produce una entrada efectiva de fondos en la sociedad (se trata de un mero apunte contable entre reservas y capital). Toda ampliación viene definida por dos elementos: 

La proporción, o relación existente entre el número de acciones nuevas que se emiten y las acciones antiguas ya existentes. Número de acciones nuevas Proporción = -------------------------------------Número de acciones antiguas

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387



El precio de emisión, esto es, los fondos que la sociedad emisora recibe por cada acción.

En cuanto al precio que deben pagar los suscriptores por cada acción nueva, será determinado por la sociedad, siendo varias las posibilidades: 1. A la par: el precio pagado coincide con el nominal del título. 2. Por encima de la par (con prima de emisión): el precio pagado es superior al valor nominal, dando lugar a la creación de una reserva. 3. Liberada (o gratuita): la ampliación se realiza con cargo a reservas, por lo que los accionistas obtienen las nuevas acciones sin necesidad de realizar aportación dineraria. También cabe la posibilidad de una emisión parcialmente liberada, en cuyo caso existe una aportación del accionista unida a un trasvase de reservas a capital. El precio de emisión de un título multiplicado por el número total de acciones puestas en circulación determina los fondos obtenidos por la empresa en la operación de ampliación. No obstante, habrá que tener en cuenta los posibles gastos que la puesta en circulación suponga. Normalmente el precio de emisión es inferior al valor de mercado al que cotizan las acciones antiguas. Es por este motivo que los inversores están interesados en adquirir acciones nuevas frente a las que ya están en circulación. Además, al aumentar el número de acciones sin que el valor total de la empresa aumente en la misma proporción (al emitirse las acciones nuevas por debajo de su valor de mercado) hace que el valor de las acciones antiguas disminuya: efecto dilución de las acciones antiguas. La dilución depende del precio de emisión de las acciones nuevas, siendo mayor cuanto más se aleje del precio de mercado de las acciones antiguas. Por otra parte, el antiguo accionista tiene derecho de suscripción preferente en las ampliaciones de capital social en la parte que le corresponda y al precio que la sociedad señale, de forma que pueda seguir participando en el capital social nuevo en la misma proporción que lo hacía en el capital social antiguo. Dicho derecho se recoge en un título negociable de forma independiente que recibe el nombre de derecho de suscripción preferente (los accionistas antiguos recibirán un derecho de suscripción por cada acción antigua que posean en el momento de iniciarse la ampliación) y cuyo valor permite la compensación producida por la dilución en el valor de las acciones antiguas. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

388

EJEMPLO 1 Una empresa tiene un capital formado por 10.000 acciones que cotizan actualmente a 2 u.m. Decide ampliar capital emitiendo 1.000 acciones nuevas a un precio de 1,5 u.m. por acción. Situación antes de la ampliación: Valor total = Número de acciones x Precio por acción = 10.000 x 2 = 20.000 u.m. Número total de acciones después de la ampliación = 10.000 antiguas + 1.000 nuevas = 11.000 acciones Aumento de valor de la empresa = 1.000 acciones nuevas x 1,5 €/acción = 1.500 u.m. Valor total después de la ampliación = 20.000 + 1.500 = 21.500 u.m. 21.500 Valor acción después de la ampliación = ------------ = 1,95 u.m. 11.000 Es decir, el valor de las acciones habrá descendido (efecto dilución) de 2 u.m. a 1,95, como consecuencia de la ampliación de capital realizada por debajo de su precio de mercado. El antiguo accionista tiene un derecho de suscripción preferente, lo cual no significa que tenga obligación de ejercerlo, pudiendo plantearse varios casos: 

El accionista acude a la ampliación en la totalidad.



El accionista no desea acudir a la ampliación.



El accionista acude a la ampliación, pero sólo en parte.

Y también cabe la posibilidad de que un inversor, no siendo accionista de la sociedad, pueda acudir a la ampliación que ésta efectúe. 

1.er caso: el accionista acude a la ampliación en la totalidad El accionista suscribirá todas las acciones nuevas que le correspondan. En función de las acciones antiguas que posea y de la proporción de la ampliación se fijará el número de acciones nuevas que podrá solicitar y el número de derechos de suscripción que tendrá que entregar. El precio a pagar por cada acción nueva lo fijará previamente la sociedad emisora (precio de emisión).

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389



2.º caso: el accionista no acude a la ampliación En este caso venderá los derechos de suscripción preferente en el mercado secundario. Dichos títulos se venden también en el mismo mercado que las acciones, donde se valoran en la misma unidad monetaria, variando su precio en función de la oferta y la demanda. El valor real, tanto del derecho como de las acciones después de la ampliación, dependerá de la oferta y la demanda, y es imposible de determinar con exactitud. Pero el valor real estará, lógicamente, muy próximo a un valor teórico, que sí podremos estimar y que el inversor tomará como referencia para tomar su decisión de acudir o no a la ampliación. Se denomina valor teórico del derecho de suscripción o valor teórico del derecho al precio que teóricamente deben tener los derechos de suscripción de las acciones viejas al venderlos un accionista que no quiera acudir a la ampliación. Este valor dependerá de: – La cotización de las acciones viejas. – El precio de emisión de las acciones nuevas. – La proporción de la ampliación.



3.er caso: el accionista acude a la ampliación, pero sólo en parte Suscribirá un número concreto de acciones, entregando los derechos necesarios en función de la proporción de la ampliación, el resto de derechos los venderá al precio que tengan en el mercado en ese momento, deduciendo los gastos inherentes a la operación de venta.



4.º caso: un inversor no accionista quiere acudir a la ampliación Los derechos que venden los accionistas antiguos que no deseen acudir a la ampliación los puede comprar cualquier persona, accionista o no de la sociedad. La persona que no siendo antiguo accionista quiera acudir a la ampliación deberá:

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390

1. Comprar en el mercado los derechos de suscripción necesarios, en función de la proporción de la ampliación y del número de acciones que quiera solicitar. 2. Entregar dichos derechos a la sociedad, para justificar su derecho a comprar las acciones nuevas. 3. Pagar a la sociedad el precio de emisión de las acciones que desea comprar. 2.1. CLASES DE AMPLIACIONES DE CAPITAL En las ampliaciones de capital podemos distinguir: 1. Atendiendo al número de ampliaciones previstas: ampliaciones simples o múltiples. Las emisiones simples (o únicas) son aquellas en las que se realiza una única operación, mientras que si se van a realizar varias operaciones, bien de forma simultánea o sucesiva, en el tiempo, se denominan múltiples (dobles, triples, …). 2. Atendiendo a los derechos económicos de las acciones nuevas: ampliaciones sin diferencias económicas o con diferencias. La ampliación no tendrá diferencias económicas cuando concluida la ampliación todas las acciones (antiguas y nuevas) tengan los mismos derechos económicos; existiendo diferencias económicas cuando los títulos nuevos no participen, en todo o en parte, en el dividendo inmediato. 2.2. VALOR TEÓRICO DEL DERECHO DE SUSCRIPCIÓN PREFERENTE A la hora de calcular el valor teórico del derecho de suscripción preferente en una ampliación de capital, se podrán presentar los siguientes supuestos: 

Ampliación simple sin diferencias económicas.



Ampliación simple con diferencias económicas.



Ampliación doble sin diferencias económicas.



Ampliación doble con diferencias económicas.

2.2.1. Ampliación simple sin diferencias económicas Las acciones nuevas tendrán los mismos derechos económicos que las ya existentes en el mercado. Para el cálculo del valor teórico se tendrá en cuenta lo siguiente: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

391

A: Número de acciones antiguas. C: Valor de la acción antigua al inicio de la ampliación (cotización ex-ante). N: Número de acciones nuevas. E: Precio de emisión de las acciones nuevas. Vtd: Valor del derecho de suscripción (valor teórico del derecho). El valor de las acciones antiguas es: A x C El valor de las acciones nuevas es: N x E El valor de la empresa después de la ampliación es: A x C + N x E Puesto que todos los títulos, antiguos y nuevos, tienen los mismos derechos, el mercado hará que sus cotizaciones sean iguales, por lo que el valor de una acción cualquiera después de la ampliación (C') será el precio medio ponderado de la mezcla que se ha hecho de acciones antiguas a precio ex-ante (A x C) con acciones nuevas a precio de emisión (N x E), es decir: AxC+NxE C' = ----------------A+N Como la diferencia que hay entre el valor de la acción antes de la ampliación y el valor teórico de ésta después de la ampliación se debe a la pérdida del derecho, podemos calcular el valor teórico del cupón (Vtd) por diferencia entre la cotización ex-ante y la cotización ex-post de una acción antigua, es decir: Vtd = C – C' AxC+NxE Vtd = C – -------------------A+N resultando: AxC+NxC–AxC–NxE

NxC–NxE

N x (C – E)

Vtd = -------------------------------------- = -------------------- = --------------A+N

A+N

A+N

Por tanto, el valor teórico del derecho es: N x (C – E) Vtd = ---------------A+N

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392

EJEMPLO 2 La sociedad «DE LOZAR» constituida por 400.000 acciones de 1 u.m. de nominal anuncia una ampliación de capital a la par, siendo la proporción 1 acción nueva por cada 4 viejas y con un nominal de 1 u.m. cada una. La cotización en bolsa de estas acciones antes de la ampliación era del 140%. Se pide: 1. Calcular el valor teórico de los derechos de suscripción. 2. Número de acciones después de la ampliación. 3. Fondos obtenidos por la sociedad en la ampliación. Solución: a)

4 títulos antiguos valen 4 x 1 x 1,4 Por 1 título nuevo se desembolsa ---------------------------------------------------------------5 títulos después de la ampliación valen Valor de una acción antes ampliación (C) 6,6 Valor de una acción después ampliación (C') ----5 Valor del derecho = 1,40 – 1,32 = 0,08 u.m. b) Número acciones antes ampliación 1 Número acciones nuevas: 400.000 x ----4 Número total de acciones después de la ampliación

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5,6 1 -----6,6 1,40

u.m. u.m. u.m. u.m.

1,32 u.m.

400.000 100.000 500.000

393

c) Fondos obtenidos por la ampliación = N.º acciones nuevas x Precio emisión Financiación obtenida = 100.000 x 1 = 100.000 u.m. 2.2.2. Ampliación doble sin diferencias económicas En este caso la sociedad realiza de forma simultánea dos ampliaciones de capital y cada acción antigua proporciona dos derechos de suscripción para acudir independientemente a cada ampliación y suscribir las acciones nuevas que le corresponda en cada una de ellas, que seguirán teniendo los mismos derechos económicos que las ya existentes en el mercado. Se tratará, por tanto, de calcular el valor de ambos derechos. EJEMPLO 3 Una sociedad amplía su capital realizando una ampliación doble simultánea de la forma: 1. 1 acción nueva a la par por cada 4 antiguas. 2. 1 acción nueva gratuita por cada 5 antiguas. Se sabe que el nominal de las acciones es de 5 u.m. y la cotización antes de la doble ampliación es del 140%. Se pide: Calcular el valor teórico de los derechos de suscripción. Solución:

Al ser las proporciones de las ampliaciones diferentes hallamos el mínimo común múltiplo de las acciones antiguas: m.c.m. (4; 5) = 20 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

394

De esta forma, un accionista antiguo que tenga 20 acciones puede acudir a las dos ampliaciones y suscribir un número entero de títulos en ambas. Así: 

Para acudir a la primera ampliación, deberá hacer grupos de 4 acciones antiguas y por cada uno recibirá 1 acción nueva. De esta forma, si posee 20 acciones hará 5 grupos (20/4 = 5) y tendrá derecho a suscribir 5 acciones nuevas.



Al acudir a la segunda ampliación, deberá hacer grupos de 5 acciones antiguas y por cada uno recibirá 1 acción nueva. Si posee 20 acciones hará 4 grupos (20/5 = 4) y tendrá derecho a suscribir 4 acciones nuevas.

Por tanto, el accionista que posea 20 títulos antiguos y acuda a las dos ampliaciones tendrá: 20 títulos antiguos valen 20 x 7,00 ......................

140 u.m.

Por 5 títulos nuevos desembolsa 5 x 5 .................

25 u.m.

Por 4 títulos nuevos no se desembolsa nada ......

0 u.m.

------------------------------------------------------------------------29 títulos después de la ampliación valen ............. 165 u.m. (29 = 20 + 5 + 4) Valor de una acción antes ampliación ...................

7,00 u.m.

165 Valor de una acción después ampliación ------- ............... 5,69 u.m. 29 Valor de los dos derechos = 7,00 – 5,69 = 1,31 u.m. Para efectuar el desglose y determinar el valor de cada derecho habrá que tener en cuenta que en cada una de las ampliaciones se cumple lo siguiente: Cotización ex-post = Precio emisión + Valor teórico de los derechos entregados 1.ª ampliación: 5,69 = 5 + 4 x d1 de donde d1 = 0,17 u.m. 2.ª ampliación: 5,69 = 0 + 5 x d2 de donde d2 = 1,14 u.m. Siendo d1 y d2 los valores teóricos de los derechos de cada una de las dos ampliaciones.

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395

2.2.3. Ampliación simple con diferencias económicas Ocurre cuando las acciones nuevas no participan inicialmente de los mismos derechos económicos que las antiguas. Esto sucede cuando a las acciones nuevas les corresponde una proporción menor en el reparto del dividendo inmediato posterior a la ampliación. De cualquier modo, deberá cumplirse que el importe de todos los títulos (antiguos y nuevos) antes de la ampliación sea igual al importe de todos los títulos después de la ampliación. Para el cálculo del valor teórico se tendrá en cuenta lo siguiente: A: Número de acciones antiguas. C: Valor de cada acción antigua (cotización ex-ante). N: Número de acciones nuevas. E: Precio de emisión de las acciones nuevas. C': Valor teórico de las acciones después de la ampliación (cotización ex-post). d: Diferencia de derechos económicos. El valor de las acciones antiguas es: A x C El valor de las acciones nuevas es: N x E El valor de la empresa después de la ampliación es: A x C + N x E Al tener las acciones antiguas mayores derechos económicos que las nuevas, coexistirán en el mercado cotizaciones distintas para unos y otros títulos, hasta que los nuevos tengan derechos idénticos y suponiendo que las acciones antiguas después de la ampliación valgan C', los nuevos valdrán «d» euros menos, es decir (C' – d). El valor de la empresa en el mercado debe satisfacer la siguiente igualdad: A x C + N x E = A x C' + N x (C' – d) De donde: A x C + N x (E + d) C' = -------------------------A+N siendo el valor del derecho de suscripción la diferencia entre la cotización ex-ante y expost de una acción antigua: N x (C – E – d) Vtd = C – C' = -------------------A+N

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396

EJEMPLO 4 Las acciones de la sociedad anónima «APROBASA» tienen un nominal de 1 u.m. y cotizan al 750%. Se realiza una ampliación de 2 títulos nuevos por cada 5 antiguos, al 550%. Se pide: Calcular cotización ex-post y valor teórico del derecho de suscripción teniendo en cuenta que los títulos nuevos no participan en un dividendo del 5% que se reparte al mes siguiente de la ampliación. Solución:

5 títulos antiguos valen 5 x 7,5 ........................ 37,50 u.m. Por 2 títulos nuevos se desembolsa 2 x 5,5 ..... 11,00 u.m. -----------------------------------------------------------------------7 títulos después de la ampliación valen .......... 48,50 u.m. los 5 títulos antiguos valen 5 x C' los 2 títulos nuevos valen 2 x C'' = 2 x (C' – 0,05) Por tanto: 48,50 = 5 x C' + 2 x (C' – 0,05) C' = 6,94 u.m. C'' = C' – 0,05 = 6,89 u.m. Valor de una ........................

acción

antes

ampliación

7,50 u.m.

Valor de una acción antigua después ampliación ...... 6,94 u.m.

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Valor de una acción nueva después ampliación ........ 6,89 u.m. Para el cálculo del derecho de suscripción se tendrá en cuenta el valor de una acción antigua antes y después de la ampliación: Valor del derecho = 7,50 – 6,94 = 0,56 u.m. La doble cotización se mantendrá desde el final de la ampliación hasta que se reparta el dividendo, que es la causa de esa doble cotización. A partir de entonces, todos los títulos, antiguos y nuevos, cotizarán teóricamente por igual a 6,89 u.m. 3. Ampliación blanca Se denomina ampliación blanca (o ampliación mixta compensada) a aquella en la que el accionista acude a la ampliación ejercitando sólo una parte de los derechos de suscripción que posee, vendiendo los restantes de forma que, con el dinero obtenido de la venta de esos derechos, obtenga la cantidad que tiene que pagar por la suscripción de las acciones nuevas, de forma que no tenga que desembolsar nada por la operación. El accionista que realiza esta operación se ha de plantear el siguiente objetivo: Importe obtenido por venta derechos Precio a pagar por compra acciones = suscripción nuevas Para el caso de un individuo que tenga n acciones (y, por tanto, n derechos de suscripción), tendrá que vender un número «X» de ellos, al precio del mercado (pd), obteniendo: X x pd Con los restantes derechos (n – X) acude a la ampliación, pudiendo suscribir un número de acciones nuevas determinado por la proporción de la ampliación: Número de acciones nuevas a suscribir = (n – X) x Proporción ampliación El desembolso por la compra de esas acciones nuevas será: Número de acciones suscritas x Precio de emisión (n – X) x Proporción ampliación x Precio de emisión El inversor deberá obligar el cumplimiento de su objetivo de partida: Importe obtenido por venta derechos Precio a pagar por compra acciones = suscripción nuevas X x pd = (n – X ) x Proporción ampliación x Precio de emisión

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398

de donde se despejará el número de derechos a vender (X) para luego determinar el número de acciones nuevas que se pueden comprar. El número de acciones finalmente suscritas debe redondearse en función de las acciones nuevas de la proporción (siempre por defecto a la unidad). EJEMPLO 5 La señora Pi posee 500 acciones de la sociedad «CATE, S.A.», la cual amplía su capital en la proporción de 2 acciones nuevas por cada 5 antiguas, emitiendo a la par las acciones necesarias, de la misma clase y con los mismos derechos que las antiguas (acciones de 5 u.m. nominales). Las acciones se cotizan antes de la ampliación al 240%. Se pide: ¿Cuántas acciones podrá suscribir la citada señora de forma tal que su posición de efectivo no varíe? La venta de los derechos que sean necesarios se realiza por su valor teórico. Solución:

5 títulos antiguos valen 5 x 12 ....................................

60,00 u.m.

Por 2 títulos nuevos se desembolsan ..........................

10,00 u.m.

-------------------------------------------------------------------------------7 títulos después de la ampliación valen .....................

70,00 u.m.

Valor de una acción antes ampliación ..........................

12,00 u.m.

70,00 10,00 u.m. Valor de una acción después ampliación --------- .........

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399

7 Valor teórico del derecho = 12,00 – 10,00 = 2,00 u.m. El planteamiento de la señora Pi consistirá en vender X derechos de los 500 disponibles al precio de mercado (2,00 u.m.). A continuación, acudirá a la ampliación ejerciendo los derechos no vendidos (500 – X) según la proporción de la ampliación (2 x 5) y entregando 5 u.m. por cada acción suscrita. Para que su posición de tesorería no varíe (no tenga que pagar más dinero del que ha obtenido por la venta de los derechos) tendrá que hacer coincidir la cantidad ingresada por la venta de los derechos con la cantidad a pagar por la suscripción de las nuevas acciones. Así: 

Importe obtenido por la venta de X derechos: X x 2,00



Importe a pagar por la compra de Y acciones: 2 (500 – X ) x ---- x 5,00 5 Igualando ambas cuantías: 2 X x 2 = (500 – X) x ---- x 5 5 X = 250 derechos a vender

El número de acciones nuevas que se podrá suscribir dependerá de los derechos pendientes de ejercer (500 iniciales – 250 vendidos) y la proporción de la ampliación (2 x 5). El resultado es: 2 Número de acciones a comprar = (500 – 250) x ---- = 100 acciones 5 EJEMPLO 6 Don Óscar posee 1.000 acciones de la sociedad anónima «LOZAVI , S.L.» de 10,00 u.m. de nominal que anuncia una ampliación de capital de una acción nueva por cuatro antiguas, a la par. Manteniendo el mismo nominal y con los mismos derechos económicos que las antiguas. Antes de la ampliación las acciones de esta sociedad cotizan a 12,00 u.m. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

400

Don Óscar desea acudir a la ampliación suscribiendo las acciones a las que tenga derecho, disponiendo para ello exclusivamente del dinero obtenido por la venta de los derechos de suscripción que no le sean necesarios. La venta de los derechos supone un gasto de 0,01 u.m./título más un importe total de 6 u.m. por diversos conceptos y la realiza por su valor teórico. Se pide: 1. Número de acciones que podrá comprar. 2. Excedente de la operación. Solución:

4 títulos antiguos valen 4 x 12 ....................................

48,00 u.m.

Por 1 título nuevo se desembolsan ..........................

10,00 u.m.

-------------------------------------------------------------------------------5 títulos después de la ampliación valen .....................

58,00 u.m.

Valor de una acción antes ampliación ..........................

12,00 u.m.

58,00 Valor de una acción después ampliación --------- ......... 11,60 u.m. 5 Valor teórico del derecho = 12,00 – 11,60 = 0,40 u.m. Don Óscar venderá X derechos de los 1.000 disponibles al precio de mercado (0,40 u.m.).

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401

A continuación, acudirá a la ampliación ejerciendo los derechos no vendidos (1.000 – X) según la proporción de la ampliación (1 x 4) y entregando 10,00 u.m. por cada acción suscrita. Para que su posición de tesorería no varíe (no tenga que pagar más dinero del que ha obtenido por la venta de los derechos) tendrá que hacer coincidir la cantidad ingresada por la venta de los derechos –gastos incluidos– con la cantidad a pagar por la suscripción de las nuevas acciones. Así: 

Importe obtenido por la venta de X derechos: X x (0,40 – 0,01) – 6,00



Importe a pagar por la compra de Y acciones: 1 (1.000 – X) x ---- x 10,00 4 Igualando ambas cuantías: 1 X x (0,40 – 0,01) – 6,00 = (1.000 – X) x ---- x 10,00 4

El número de acciones nuevas que se podrá suscribir dependerá de los derechos pendientes de ejercer (1.000 iniciales – 868 vendidos) y la proporción de la ampliación (1 x 4). El resultado es: 1 Número de acciones a comprar = (1.000 – 868) x ---- = 33 acciones 4

0 – 0,01) – 6,00] .....

332,52 u.m.

Importe a pagar por compra acciones (33 x 10,00) ...................................... 330,00 u.m. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Excedente monetario .....................................................

(332,52

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–

330,00)

2,52 u.m.

402

Aunque en el planteamiento inicial se igualó el importe obtenido en la venta de los derechos con el precio a pagar por las acciones nuevas, se ha realizado un redondeo (por exceso) en el número de derechos vendidos, lo que ha generado ese excedente a favor del accionista. 4. Operaciones al contado con acciones Las operaciones de contado consisten en un intercambio simultáneo de dinero por títulos a la cotización que tenga el valor en ese momento. El vendedor hace entrega de los títulos a su SVB (sociedad de valores de bolsa) o AVB (agencia de valores de bolsa) y recibe el dinero, mientras que el comprador aporta el dinero a su SVB o AVB y recibe los títulos objeto de la operación. 4.1. VALOR DE COMPRA DE LAS ACCIONES Si no existiesen intermediarios de ningún tipo se pagaría el valor efectivo de los títulos (cotización del valor multiplicado por el número de títulos comprados), también denominado efectivo bursátil (EB). EB = Número de acciones x Cotización Al existir intermediarios el precio real de compra se incrementará en los gastos que éstos repercuten al inversor. La liquidación efectuada finalmente al comprador será: Efectivo bursátil Cotización x Número de títulos (+) Cánones de bolsa

Canon de gestión bursátil y de liquidación cobrados por la bolsa

(+) Comisión de la SVB o El mayor de aplicar un determinado porcentaje al efectivo de AVB la operación y un mínimo establecido por la propia SVB

(+) Comisión bancaria

(=) Efectivo a pagar por el cliente en la compra (EC)

En el caso de que la operación se realice a través de una entidad no autorizada para operar en bolsa (no es miembro del mercado) Funciona igual que la comisión de la sociedad o agencia de valores Efectivo bursátil + Canon bolsa + Comisión sociedad/agencia valores + Comisión bancaria

EJEMPLO 7 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

403

Determinar el importe de la compra de 1.000 acciones de la sociedad X que actualmente cotizan (1 de mayo) a 20,00 u.m. La comisión de la sociedad de valores es del 2,5‰ (con un mínimo de 8,00 u.m.). Los cánones de bolsa ascienden a 8,42 u.m. Efectivo de compra (1.000 x 20)

20.000,00 u.m.

(+) Comisión SVB

50,00 u.m.

Máximo (2,5‰ x 20.000; 8)

(+) Cánones bolsa

8,42 u.m.

-----------------------------------------------------------------------(=) Efectivo compra (Ec) (importe a pagar)

20.058,42 u.m.

4.2. VALOR DE VENTA DE LAS ACCIONES Al igual que en la compra, de no haber intermediarios en la operación se cobraría el valor efectivo (EB) de los títulos (efectivo bursátil = cotización del valor multiplicado por el número de títulos vendidos). Al existir intermediarios el precio real de venta se ve disminuido en los gastos que éstos repercuten al vendedor. La liquidación efectuada finalmente al vendedor será: Efectivo bursátil

Cotización x Número de títulos

(-) Cánones de bolsa

Canon de gestión bursátil y de liquidación cobrados por la bolsa

(-) Comisión de la SVB o El mayor de aplicar un determinado porcentaje al efectivo de AVB la operación y un mínimo establecido por la propia SVB

(-) Comisión bancaria

En el caso de que la operación se realice a través de una entidad no autorizada para operar en bolsa (no es miembro del mercado) Funciona igual que la comisión de la sociedad o agencia de valores

(=) Efectivo a cobrar por Efectivo bursátil - Canon bolsa - Comisión el cliente en la venta (EV) sociedad/agencia valores - Comisión bancaria

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404

EJEMPLO 8 Determinar el importe neto de la venta de las 1.000 acciones de la sociedad X del ejemplo anterior, si en el momento de su venta (31 de mayo) cotizan a 22,00 u.m. La comisión de la sociedad de valores es del 2,5‰ (con un mínimo de 8,00 u.m.). Los cánones de bolsa ascienden a 8,42 u.m. Efectivo de compra (1.000 x 22) (-) Comisión SVB

22.000,00 u.m.

55,00 u.m.

Máximo (2,5‰ x 22.000; 8)

(-) Cánones bolsa

8,42 u.m.

-----------------------------------------------------------------------(=) Efectivo venta (EV) (importe a cobrar)

21.936,58 u.m.

4.3. BENEFICIO NETO (ANTES DE IMPUESTOS) DE UNA OPERACIÓN DE COMPRAVENTA El beneficio neto (o antes de impuestos) se obtiene de restar al efectivo total ob-tenido por la venta (EV) de un(os) título(s) el precio total pagado en el momento de su compra (Ec). Es decir: Beneficio neto = BAI = EV – EC En el caso de la compra-venta de los ejemplos anteriores, el beneficio neto será: Beneficio neto = 21.936,58 – 20.058,42 = 1.878,16 u.m. 4.4. RENTABILIDAD DE UNA OPERACIÓN DE COMPRA-VENTA La rentabilidad de una operación la podemos medir por el rédito o por el tanto. Recordemos que: • Rédito es el rendimiento de cada unidad monetaria del capital invertido. BAI Rentabilidad = -------- x 100 EC

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405

• Tanto es el rendimiento de cada unidad monetaria del capital invertido y en cada unidad de tiempo. Habría, por tanto, que enfrentar financieramente el efectivo de compra con el efectivo de la venta para determinar la rentabilidad de la operación (tanto efectivo –i–). Si calculamos la rentabilidad de la compra-venta de los ejemplos anteriores: • Rentabilidad en términos de rédito: 1.878,16 Rentabilidad = ---------------- x 100 = 9,36% 20.058,42 • Rentabilidad en términos de tanto:

5. Operaciones a crédito con acciones Las operaciones a crédito son un caso concreto de operaciones de contado en las que una determinada entidad presta, bien dinero (compra a crédito) o títulos (venta a crédito), para que la operación se pueda realizar finalmente como operación de contado. Este tipo de operaciones permite al inversor operar por importe muy superior al de sus disponibilidades efectivas, al ser un mecanismo de apalancamiento financiero. Se trata por tanto de operaciones con alto componente especulativo que requieren del inversor un conocimiento más profundo del mercado. 5.1. Compras a crédito 5.1.1. Perfil del inversor El comprador a crédito es un inversor con un sentimiento alcista, es decir, piensa que la cotización del título va a subir a corto plazo, y, aunque no tiene dinero suficiente para Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

406

realizar la operación de contado, decide comprar cuando el título está bajo para vender más tarde a un precio superior. 5.1.2. Realización de la operación Una vez que el contrato marco está firmado, el inversor no tiene más que operar como si de una operación de contado se tratara, introduciéndose la orden de la misma forma, si bien habrá que comunicar al intermediario el hecho de tratarse de una operación a crédito. 5.1.3. Crédito de Bancoval En el momento de dar la orden de compra el inversor tiene concedido de forma automática un crédito por importe del 75% del efectivo de la operación realizada, de forma que solamente aportará en efectivo el 25% restante, así como todos los gastos inherentes a una compra de contado (derechos de bolsa y corretajes del intermediario) y la liquidación efectuada por Bancoval, en la actualidad un 1‰ del efectivo bursátil. 5.1.4. Intereses de la operación a crédito Bancoval aplicará el tipo de interés vigente en el momento en que se inicia cada período en que se estructura la operación sobre el montante del crédito concedido. El inversor deberá abonar los intereses devengados al finalizar el plazo del primer vencimiento, al término de la primera y segunda prórroga, en su caso, y a la cancelación de la operación. Para el cálculo de los intereses se considerarán días naturales pero se dividirán por 360 para pasarlos a años. 5.1.5. Garantías complementarias Ante subidas de la cotización (es lo previsible) no se hará aportación de ningún tipo. En caso contrario, ante descensos de la cotización del valor, el inversor deberá aportar garantías complementarias en la fecha en la que se produzca una bajada igual o superior al 10% con relación al último precio de cálculo de las mismas. El importe total de las garantías deberá cubrir en todo momento el 25% del valor efectivo de los títulos a precios de mercado más la pérdida derivada de la diferencia de cotización respecto al precio inicial de la operación. Para el cómputo de las garantías adicionales se tendrá en cuenta el importe de los derechos económicos devengados durante la vigencia de las posiciones. Se efectuará devolución de garantías complementarias cuando la cotización del valor suba más de un 10% respecto al último cálculo de garantías efectuado.

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407

5.1.6. Depósito de garantías Los valores adquiridos y el total de las garantías económicas aportadas por el inversor quedarán depositados en Bancoval hasta la cancelación del crédito. 5.1.7. Devengo de derechos económicos durante la vigencia del crédito El titular de una compra a crédito tiene derecho a percibir todos los derechos económicos que se devenguen durante el período de vigencia del crédito. En este sentido si durante el transcurso de la operación la sociedad emisora de los títulos repartiera dividendos, éstos corresponderían al comprador a crédito. El importe líquido de los dividendos quedará depositado en Bancoval e incrementará las garantías aportadas. En el caso de las ampliaciones de capital, el inversor podrá disponer de los derechos de suscripción correspondientes a los valores comprados en la fecha de comienzo de la ampliación, a fin de que pueda suscribir las acciones que le puedan corresponder, o vender dichos derechos en bolsa. Para ello, Bancoval entregará los derechos al intermediario, siendo a partir de ese momento una operación ajena al propio crédito. 5.1.8. Remuneración de las garantías Bancoval remunera las garantías complementarias aportadas por el inversor y procede al abono de los correspondientes intereses: 

En el momento de la cancelación.



En caso de devolución.



Al finalizar el plazo del primer vencimiento.



Al término de la primera y segunda prórroga.

EJEMPLO 9 El 26 de agosto el señor Nieto compra a crédito 1.000 acciones de la S.A. «Y», a través del sistema Credibolsa de Bancoval. Las características de la operación son: 

Cotización bursátil de las acciones: 11,90 u.m.



Garantía inicial: 25%



Comisión intermediario: 2,5‰



Canon sociedad rectora: 7,02 u.m.



Liquidación de Bancoval: 1‰



Tipo de interés del prestamo: 8%



Remuneración de las garantías: 3% (retención en la fuente 15%)

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408

Se sabe además: • El 30 de septiembre, no habiéndose producido el crecimiento previsto de las cotizaciones, el señor Nieto acepta una prórroga de la operación, hasta el 31 de octubre. • El 8 de octubre la S.A. «Y» paga un dividendo líquido de 0,14 u.m. por acción. • El 15 de octubre la cotización de las acciones de la S.A. «Y» es de 10,40 u.m.. • El día 31 de octubre, al encontrarse el señor Nieto en situación de pérdidas, acepta una segunda prórroga, siendo su vencimiento el 30 de noviembre. • El día 15 de noviembre la S.A. «Y» realiza una ampliación de capital con las características: – 1 nueva por 4 antiguas, al 150% – Nominal de las acciones: 3 u.m. – Cotización de las acciones el 15 de noviembre: 12,92 u.m. El día 16 de noviembre el valor bursátil del derecho de suscripción es de 2,10 u.m. • El día 20 de noviembre la cotización de las acciones de la S.A. «Y» es de 12,92 u.m. por lo que el señor Nieto decide cancelar su posición y da orden de venta a su intermediario de los títulos comprados. Las características de esta operación son: – Comisión intermediario: 2,5‰ – Canon sociedad rectora: 7,02 u.m. – Liquidación Bancoval: 1‰ Se pide: 

Liquidación efectuada al señor Nieto.



Resultado de la operación.



Rentabilidad.

Solución: Liquidación y resultado de la compra a crédito Fecha Concepto Descripción 26 agosto

30 sept.

Liquidación compra

Garantía inicial [25% (1.000 x 11,90)] Comisión intermed. [2,5‰ (1.000 x 11,90)] Canon bolsa Liquidación Bancoval [1‰ (1.000 x 11,90)]

Final 1.er vencimiento Liquidación intereses Inicio 1.ª prórroga [0,08 x (0,75 x 11.900,00) x 36/360] Remuneración garantías

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Importe (2.975,00) (29,75) (7,02) (11,90) (71,40) 7,59 409

[(0,03 x 0,85) x 2.975,00 x 36/360] 8 octubre

15 octubre

31 octubre

16 nov.

20 nov.

Dividendo

Garantía complementaria

Final 1.ª prórroga Inicio 2.ª prórroga

Ampliación capital

Cancelación voluntaria

Importe líquido (0,14 x 1.000) Incremento garantías Pérdida potencial [1.000 x (11,90 – 10,40) = 1.500,00] Garantía exigida [25% x 1.000 x 10,40 = 2.600,00] Garantía existente (2.975,00) Dividendos (140,00) Diferencia [(1.500 + 2.600) – (2.975 + 140)] = – 985,00 Liquidación intereses [0,08 x (0,75 x 11.900,00) x 31/360] Remuneración garantías [(0,03 x 0,85) x 2.975,00 x 31/360] [(0,03 x 0,85) x 140,00 x 23/360] [(0,03 x 0,85) x 985,00 x 16/360] Venta derechos (2,10 x 1.000)

140,00 (140,00)

(985,00)

(61,48) 7,88

2.100,00

Importe venta (12,92 x 1.000) Comisión intermed. [2,5‰ (12,92 x 1.000)] 12.920,00 Canon bolsa (32,30) Liquidación intereses (7,02) [0,08 x (0,75 x 11.900,00) x 20/360] (39,67) Remuneración garantías [(0,03 x 0,85) x (2.975,00 + 140,00 + 5,81 985,00) x 20/360] Liquidación Bancoval (12,92) [1‰ (12,92 x 1.000)] Devolución garantías (inicial, compl y 4.100,00 divid.) (11.900,00) Cancelación compra (11,90 x 1.000) RESULTADO

3.007,82

Rentabilidad de la operación Habrá que tener en cuenta el resultado obtenido y la inversión efectuada: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

410

Resultado Rentabilidad = ---------------------- x 100 Capital invertido 3.007,82 Rentabilidad = ---------------------------------------------------------- x 100 = 75,03% (2.975,00 + 29,75 + 7,02 + 11,90) + 985,00 5.2. Ventas a crédito 5.2.1. Perfil del inversor El vendedor a crédito es un inversor con un sentimiento bajista, es decir, piensa que la cotización del título va a bajar a corto plazo y decide vender cuando el título está alto para comprar más tarde a un precio inferior. La idea es vender caro y comprar barato. 5.2.2. Realización de la operación Una vez firmado el contrato marco entre el inversor final, el intermediario y Bancoval, el inversor ordena a su intermediario la operación de venta en bolsa, como si de una operación de venta al contado se tratara, notificándole que se realizará con crédito al mercado. Previamente a su ejecución en el mercado, el intermediario financiero comprobará con Bancoval la disponibilidad de los valores necesarios para la operación. 5.2.3. Crédito de Bancoval En este tipo de operaciones lo que Bancoval realiza es un préstamo de títulos, en este sentido Bancoval prestará la totalidad de los valores vendidos para efectuar la liquidación como si de una operación de contado se tratara. Inicialmente, la operación implica una aportación en efectivo correspondiente al 35% del efectivo de la venta en concepto de garantía inicial, así como la totalidad de los gastos inherentes a la operación: derechos de bolsa, comisión intermediario y liquidación de Bancoval (1‰ del efectivo bursátil). 5.2.4. Intereses del préstamo de títulos En la actualidad el vendedor a crédito no deberá pagar ningún tipo de interés por el préstamo de títulos. 5.2.5. Remuneración de las garantías La garantía inicial aportada por el inversor es remunerada por Bancoval a tipos de mercado, procediendo al abono de los correspondientes intereses al finalizar el plazo del Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

411

primer vencimiento, al término de la primera y segunda prórroga, en su caso, y en la cancelación de la operación. Bancoval aplicará el tipo de interés vigente en el momento en que se inicia cada período en que se estructura la operación sobre el montante del crédito concedido. El inversor cobrará los intereses devengados, que serán ingresados en su cuenta en los plazos indicados. Para el cálculo de estos intereses se considerarán las mismas reglas que en los intereses de las compras a crédito. 5.2.6. Garantías complementarias El inversor deberá aportar garantías complementarias a partir de la fecha en la que se produzca un incremento de la cotización de los valores vendidos igual o superior al 10% con relación al último precio de cálculo de las mismas. El montante total de las garantías deberá cubrir en todo momento el 25% del valor efectivo de los títulos a precios de mercado más la pérdida derivada de la diferencia de cotización respecto al precio inicial de la operación. Se efectuará devolución de garantías complementarias cuando la cotización del valor suba más de 10% respecto al último cálculo de garantías efectuado. 5.2.7. Depósito de garantías El importe de la venta a crédito al mercado y el total de las garantías económicas aportadas por el vendedor quedará depositado en Bancoval hasta la cancelación de la operación. 5.2.8. Remuneración de las garantías Bancoval remunera las garantías iniciales y complementarias aportadas por el inversor y procede al abono de los correspondientes intereses: 

En el momento de la cancelación.



En caso de devolución.



Al finalizar el plazo del primer vencimiento.



Al término de la primera y segunda prórroga.

5.2.9. Devengo de derechos económicos durante la vigencia de la operación Los derechos económicos que se puedan devengar durante el período de vigencia del préstamo de los títulos pertenecen al prestamista de los mismos, por lo que el vendedor de los títulos a crédito está obligado a aportar, en el momento del devengo, la cantidad Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

412

equivalente al importe bruto de los derechos económicos (dividendos, primas de asistencia a juntas, etc.) que correspondan a los valores vendidos con crédito al mercado durante el período de vigencia de la operación. Esto ocurrirá si hubiera un reparto de dividendos, debiéndose pagar en efectivo a Bancoval el importe bruto de los mismos, quien a su vez se los entregará a quien suministró a Bancoval los títulos objeto de préstamo posterior. Respecto a las ampliaciones de capital, el vendedor a crédito deberá pagar a Bancoval el precio de mercado de los derechos de suscripción que conlleven los títulos que recibió en préstamo. Estas aportaciones no perjudican ni benefician al vendedor a crédito, puesto que la minusvalía que estas aportaciones le suponen se compensa con un menor precio a pagar por la compra futura de las acciones por la teórica bajada que experimentan las acciones después del reparto de dividendos o de una ampliación. EJEMPLO 10 El señor Ruiz vende a crédito el 26 de agosto 1.000 acciones de la S.A. «S», a través de Bancoval, siendo las características de la operación las siguientes: 

Cotización bursátil de las acciones: 28,85 u.m.



Garantía inicial: 25%



Comisión intermediario: 2,5‰



Cánones sociedad rectora: 8,42 u.m.



Liquidación Bancoval: 1‰



Remuneración de las garantías: 3% (retención 15%)

• El 30 de septiembre, no habiéndose producido la baja prevista en las cotizaciones, el señor Ruiz acepta la prórroga de un mes, cuyo vencimiento es el 31 de octubre. • El 8 de octubre la S.A. «S» paga un dividendo bruto de 0,30 u.m. por acción. • El 15 de octubre la cotización de las acciones de la S.A. «S» es de 32,00 u.m. • El día 31 de octubre, al encontrarse el señor Ruiz en situación de pérdidas, acepta una segunda prórroga de un mes, siendo su vencimiento el 30 de noviembre. • El día 15 de noviembre la S.A. «S» realiza una ampliación de capital con las siguientes características: – 1 nueva por 10 antiguas, a la par – Nominal de las acciones: 3,01 u.m. – Cotización de las acciones el 4 de junio: 28,25 u.m. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

413

El día 16 de noviembre el valor bursátil del derecho de suscripción es de 2,22 u.m. • El día 20 de noviembre la cotización de las acciones de la S.A. «S» es de 22,84 u.m. por lo que el señor Ruiz decide cancelar su posición y da orden de compra a su intermediario de los títulos vendidos inicialmente. Las características de esta operación son: – Comisión intermediario: 2,5‰ – Canon sociedad rectora: 8,42 u.m. – Liquidación Bancoval: 1‰ Se pide: 

Liquidación efectuada al señor Ruiz.



Resultado de la operación.



Rentabilidad.

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414

Solución: Liquidación de la venta a crédito Fecha Concepto 26 agosto

30 sept.

Liquidación venta

Importe

Garantía inicial [25% (1.000 x 28,85)] Comisión intermed. [2,5‰ (1.000 x 28,85)] Canon bolsa Liquidación Bancoval [1‰ (1.000 x 28,85)]

(7.212,50) (72,13) (8,42) (28,85)

Final 1.er vencimiento Remuneración garantías Inicio 1.ª prórroga [(0,03 x 0,85) x 7.212,50 x 36/360]

8 octubre

Dividendo

15 octubre

Garantía complementaria

31 octubre

Descripción

Importe bruto (0,30 x 1.000) Pérdida potencial [1.000 x (32,00 – 28,85) = 3.150,00] Garantía exigida [25% x (1.000 x 32,00) = 8.000,00] Garantía existente (7.212,50) Diferencia (7.212,50 – 3.150,00 – 8.000,00)

Final 1.ª prórroga Inicio 2.ª prórroga

Remuneración garantías [(0,03 x 0,85) x 7.212,50 x 31/360] [(0,03 x 0,85) x 3.937,50 x 16/360]

16 nov.

Ampliación capital

Compra derechos (2,22 x 1.000)

20 nov.

Cancelación voluntaria

18,39

(300,00)

(3.937,50)

15,83 4,46 (2.220,00)

Importe compra (22,84 x 1.000) (22.840,00) Comisión intermed. [2,5‰ (22,84 x 1.000) (57,10) Canon bolsa (8,42) Remuneración garantías 15,80 [(0,03 x 0,85) x (7.212,50 + 3.937,50) x 20/360] (22,84) Liquidación Bancoval [1‰ (22,84 x 1.000)] 11.150,00 Devolución garantías (inicial y compl.) 28.850,00 Cancelación venta (28,85 x 1.000) RESULTADO

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3.346,72 415

Rentabilidad de la operación Habrá que tener en cuenta el resultado obtenido y la inversión efectuada: 3.346,72 Rentabilidad = ------------------------------------------------------------------------------- x 100 =24,24% (7.212,50 + 72,13 + 8,42 + 28,85) + 300 + 3.937,50 + 2.220 6. Deuda pública Se entiende por Deuda Pública al conjunto de títulos de renta fija (títulos representativos de una parte alícuota de un crédito concedido contra la entidad que los emite) emitidos por el Estado y que se corresponden con la deuda que tiene contraída con los inversores que han suscrito dichos valores, que cuenta con la garantía del Estado. La actividad del mercado de deuda pública ha aumentado en los últimos años. Entre los factores que han determinado esta evolución pueden destacarse: 

Un sistema eficiente de representación de los valores mediante anotaciones en cuenta, gestionado por una «Central de Anotaciones» radicada en el Banco Central de cada país.



Un sistema transparente y competitivo de negociación, con un alto grado de liquidez, garantizado por la existencia de un grupo selecto de entidades – Creadores de Mercado–, y un amplio espectro de operaciones –contado, plazo, repos–, que asegura la cobertura de las más diversas necesidades para el inversor.



Un sistema flexible y totalmente seguro de compensación y liquidación de operaciones entre miembros del mercado, gestionado por la «Central de Anotaciones», y conectado con los principales mercados internacionales.



La existencia de mercados de productos derivados altamente desarrollados que permiten la cobertura de riesgos y la gestión activa de carteras.

6.1. Instrumentos de deuda del Estado El Tesoro emite de modo regular y en una gama estándar y estable de instrumentos cuya vida va desde el año hasta los 30 años. Además, la existencia de un mercado de repos altamente desarrollado otorga liquidez a las inversiones a corto plazo y facilita la gestión activa de los títulos de Deuda Pública.

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416

El Director general del Tesoro y Política Financiera emitirá Deuda del Estado en u.m. de las siguientes modalidades: Letras del Tesoro, Bonos del Estado y Obligaciones del Estado. La Deuda del Estado estará representada exclusivamente mediante anotaciones en cuenta registradas en alguna de las entidades gestoras autorizadas, esto es, no existen títulos físicos si bien a los compradores se les entrega un resguardo que garantiza que la operación de compra o venta se ha realizado y que las condiciones se ajustan a lo pactado. 6.1.1. Letras del Tesoro Se crearon en junio de 1987, cuando se puso en funcionamiento el Mercado de Deuda Pública en Anotaciones y se caracterizan por: 1. Emitidas al descuento, por lo que su precio de adquisición es inferior al importe que el inversor recibirá en el momento del reembolso (nominal de 1.000 u.m.). La diferencia entre el valor de reembolso de la letra y su precio de adquisición será el interés o rendimiento generado por la Letra del Tesoro. 2. A plazo no superior a dieciocho meses, actualmente el Tesoro emite Letras del Tesoro con tres plazos distintos: • Letras del Tesoro a seis meses. • Letras del Tesoro a un año. • Letras del Tesoro a dieciocho meses. 3. Emitidas para su uso como instrumento regulador de la intervención en los mercados monetarios, sin perjuicio de que los fondos obtenidos por su emisión se apliquen a cualquiera de los destinos previstos en la Ley General Presupuestaria. 6.1.2. Bonos y obligaciones del Estado La Deuda del Estado recibirá la denominación de bonos del Estado o de obligaciones del Estado según que su plazo de vida se encuentre entre dos y cinco años o sea superior a este plazo, respectivamente. Tienen las siguientes características: 1. Son títulos con interés periódico, en forma de «cupón», a diferencia de las Letras del Tesoro, que pagan los intereses al vencimiento. 2. Su valor nominal es de 1.000 u.m., siendo el mínimo que puede solicitarse en una subasta, siendo las peticiones por importes múltiplos de 1.000 u.m. 3. Las emisiones de estos valores se llevan a cabo mediante sucesivos tramos: el mismo bono se subasta en varios meses consecutivos, hasta que la emisión Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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alcanza un volumen en circulación elevado que asegure que los valores sean muy líquidos. 4. El cupón que devenga se paga cada año y representa el tipo de interés «nominal» del bono o la obligación. 5. El valor de amortización será la par, salvo que por Resolución de la Dirección General del Tesoro y Política Financiera se disponga un valor distinto o se trate de amortización anticipada por recompra o canje. En la actualidad el Tesoro emite: 

Bonos a tres y cinco años.



Obligaciones a diez, quince y treinta años.

6.1.3. Bonos y obligaciones segregables. Los strips de Deuda Pública Los bonos y obligaciones del Estado que se emiten desde julio de 1997, denominados «segregables», presentan dos características diferenciales frente a los bonos y obligaciones del Estado emitidos con anterioridad a dicha fecha: 1. Posibilidad de «segregación», esto es, posibilidad de separar cada bono en «n» valores (los llamados strips), uno por cada pago que la posesión del bono dé derecho a recibir. Así, de un bono a 5 años podrían obtenerse 6 strips: uno por cada pago de cupón anual, y un sexto por el principal, al cabo de los 5 años. Cada uno de estos strips puede ser posteriormente negociado de forma diferenciada del resto de strips procedentes del bono. Esta operación de segregación transforma un activo de rendimiento explícito (bono u obligación) en una serie de valores de rendimiento implícito –bonos cupón cero–, cuya fecha de vencimiento y valor de reembolso coinciden con los de los cupones y principal del activo originario. Los bonos cupón cero tienen unas características financieras peculiares que los hacen especialmente atractivos para determinados inversores. Los strips son una forma de cubrir esa demanda sin necesidad de aumentar la gama de valores emitidos por el Tesoro. Además, se permite realizar la operación inversa a la descrita, es decir, la reconstitución del activo originario a partir de los bonos cupón cero procedentes de su segregación. 2. Su tratamiento fiscal más favorable para sujetos pasivos del Impuesto sobre Sociedades: el cupón de los bonos y obligaciones del Estado segregables no está Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

418

sujeto a retención, y tampoco sufren retención los rendimientos implícitos generados por los bonos cupón cero (strips) procedentes de su segregación. Todo el resto de características de los bonos y obligaciones segregables (plazos de emisión, frecuencia de cupón, método de emisión…) son idénticas a las de los bonos y obligaciones «no segregables». El Tesoro comenzó a emitir valores segregables en julio de 1997. La segregación propiamente dicha y la negociación de los strips resultantes se inició en enero de 1998.

6.2. Cálculo de rentabilidades Todos los valores del Tesoro son de «renta fija», es decir, generan una rentabilidad anual constante y conocida desde el momento de la compra, siempre que se mantengan hasta el vencimiento. No obstante, cuando el inversor decide vender sus títulos en el mercado secundario antes del vencimiento, puede sufrir pérdidas sobre la inversión que realizó inicialmente, lo que no sucede si los títulos se mantienen hasta su vencimiento. Esta pérdida puede darse si los tipos de interés en el mercado han aumentado desde que realizó la inversión; en este caso, el derecho que otorga una letra, bono u obligación a recibir ciertas cantidades en el futuro pasa a tener un menor valor actual o precio de mercado. Con ello, la cantidad que reciba el inversor puede ser inferior a la que invirtió inicialmente. Por tanto, la seguridad plena que otorgan los valores del Tesoro de no sufrir pérdidas en la inversión se da solamente cuando los valores se mantienen hasta su vencimiento; si se venden antes de esta fecha, se asume el riesgo de que la venta se realice a un precio inferior al de adquisición de los valores, según las circunstancias de mercado. Las variaciones en los tipos de interés también pueden jugar a favor del inversor (cuando evolucionan en sentido bajista), con lo que le reportarían un beneficio superior al esperado al realizar la inversión. Por otra parte, las entidades financieras generalmente tienen establecidas en sus tarifas unas comisiones por la compra o venta de valores. Su importe se descontará del precio de venta o se sumará al precio de compra, según proceda, lo que encarecerá la operación y mermará la rentabilidad obtenida. La forma de calcular la rentabilidad o rendimiento efectivo de una inversión en deuda depende del tipo de valor adquirido.

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419

6.2.1. Cálculo de la rentabilidad de las Letras del Tesoro Las Letras del Tesoro se emiten al descuento, es decir, por un precio inferior a los 1.000 u.m. nominales que el Tesoro devolverá en la amortización. De esta manera, el capital invertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que se obtienen serán la diferencia entre ese precio de adquisición (Pa) y el precio que se obtenga por la letra cuando se venda (Pv) o cuando se amortice (Pv = 1.000 u.m.). Por tanto:

de donde: Pv – Pa

360

i% = ------------ x -------- x 100 Pa

t

siendo t el número de días que ha mantenido el inversor la letra en su poder. Cuando la Letra del Tesoro tenga vencimiento superior a un año natural, se emplea capitalización compuesta, en cuyo caso la fórmula anterior pasa a ser:

Pa x (1 + i)t/360 = Pv de donde:

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420

EJEMPLO 16 Adquisición el 14 de febrero de una Letra del Tesoro a la que le quedan 150 días para su vencimiento. Precio de adquisición 986 u.m. (98,60%). ¿Cuál será la rentabilidad al vencimiento? Solución: Al ser la operación de menos de un año (150 días < año natural) la rentabilidad del comprador se calculará en régimen de simple:

1.000 – 986

360

i% = ----------------- x --------- x 100 = 3,41% 986

150

EJEMPLO 17 Adquisición de una Letra del Tesoro a la que le quedan 390 días para su vencimiento a un precio de 946 u.m. ¿Cuál será la rentabilidad al vencimiento? Y si 10 días antes del vencimiento se vende por 990 u.m., ¿cuál sería la rentabilidad de la operación? Solución: Al ser las dos operaciones de más de un año (390 días > año natural) la rentabilidad del comprador se calculará en régimen de compuesta: En el vencimiento:

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421

En el supuesto de la venta anticipada:

6.2.2. Cálculo de la rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado Los bonos y obligaciones del Estado son valores que se emiten con un tipo de interés nominal anual –cupón– que se paga una vez al año, aunque el primer cupón de cada emisión a veces se percibe antes o después de que haya transcurrido exactamente un año. Se emiten a un precio que, dependiendo del mercado, puede ser coincidente con el valor nominal (1.000 u.m.), más alto o más bajo, y se amortizan a la par, es decir, a razón de 1.000 u.m. por título. En general, el cupón no es una buena medida de la rentabilidad que el bono reporta a su propietario; la rentabilidad suele medirse por la tasa interna de rendimiento (TIR) de la inversión, que es el tipo de interés que asegura la igualdad financiera entre el capital que se invierte y el valor actualizado de todos los cobros. La rentabilidad de los bonos y obligaciones del Estado se obtiene con la siguiente igualdad:

donde: i: Rentabilidad anual. Pa: Precio de adquisición, sea por suscripción o por compra en el mercado secundario, incluido el cupón corrido. Pv: Precio de venta o de amortización. N: Número de cupones desde la fecha de cálculo hasta la de vencimiento de la operación. t: Días entre la fecha de compra y la de venta o amortización. C: Importe bruto de cada cupón. tj: Días entre la fecha valor y el vencimiento de cada cupón. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

422

EJEMPLO 18 Adquisición, el 4 de mayo de X0, de un bono del Estado que cotiza a un precio «excupón» del 108,60% (1.086 u.m.). Cupón del 7,8% (78 u.m.) pagadero el 15 de abril de cada año, y con vencimiento el 15 de abril de X3. ¿Cuál será la rentabilidad al vencimiento? Solución: Para calcular la rentabilidad al vencimiento habrá que conocer primero el precio de adquisición que será igual al precio de cotización más el cupón corrido. El cupón corrido se calcula mediante la expresión: Importe del cupón x número días desde el último cupón ---------------------------------------------------------------------Número de días del período de cupón como en este caso han transcurrido 19 días desde el 15-04-X0 hasta el 4-05-X0, el cupón corrido será: 19 Cupón corrido = 78,00 x ------- = 4,06 u.m. 365 Luego, el precio de adquisición es: 1.086 + 4,06 = 1.090,06 u.m.

Gráficamente, la operación que resulta es:

y aplicando la fórmula anterior se podrá obtener la rentabilidad obtenida: 1.090,06 = 78 x (1 + i)–346/365 + 78 x (1 + i)–711/365 + 1.078 x (1 + i)–1.076/365 i = TIR = 4,61% 6.2.3. Cálculo de la rentabilidad de un repo En las adquisiciones temporales de deuda o repos (y también en el caso de las operaciones «simultáneas», idénticas a los repos desde el punto de cálculo), el comprador acuerda en el momento de la compra el precio de adquisición y también la fecha en la que la entidad le recomprará la deuda así como el precio al que se efectuará esa recompra. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

423

Por ello desde el primer momento el comprador conoce la rentabilidad final de su inversión. EJEMPLO 19 El 15 de marzo de X0 se pacta una operación de venta con pacto de recompra a 30 días, sobre una Letra del Tesoro, siendo el precio acordado para la primera compraventa de 930 u.m. y para la segunda 933 u.m. ¿Cuál será la rentabilidad de la operación? Solución:

La rentabilidad obtenida en esta operación será:

i = 3,87% 6.3. Otros activos de renta fija Con la denominación genérica de «activos de renta fija» se refiere a todos aquellos títulos que confieren a su propietario la condición de prestamista (acreedor) del emisor de los mismos, con independencia de la forma en que se documenten. El inversor que adquiere estos activos se asegura los siguientes derechos económicos, derivados de la condición de prestamista: 

Percepción de una ganancia (renta), periódica o única, mientras se es propietario del título.



Derecho a recuperar la inversión efectuada, por el mismo valor u otro diferente (normalmente superior).



Ganancia adicional (o pérdida) por la venta anticipada del valor.

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424

Hoy día, dada las diferentes modalidades de activos con que nos podemos encontrar en el mercado, no se puede definir un título de renta fija como aquel que le supone a su propietario una rentabilidad segura (fija). Lo que verdaderamente define a cualquier título de renta fija son los siguientes aspectos: 1. El propietario es un acreedor de la sociedad emisora. 2. Representa una parte de la(s) deuda(s) contraída(s) por el emisor. 3. Pueden ser emitidos por cualquier entidad pública o privada. 4. Posibilidad de ser amortizados anticipadamente. 6.3.1. Pagarés de empresa Un pagaré de empresa se define como un documento en el que se recoge un compromiso de pago contraído por la sociedad emisora, a favor del tenedor del mismo, a una fecha fija, que es la de su vencimiento. El objetivo es el de la captación de recursos financieros a corto plazo, para el emisor, o como un producto de inversión (para el suscriptor). El origen de este producto financiero son los denominados «Commercial Paper» americanos. Los pagarés de empresa no suelen contar con ningún tipo de garantía específica, cuentan con la garantía general de la sociedad emisora, lo que hace necesario la exigencia de un buen rating (calificación crediticia del emisor). Sus principales características son: 

Valor nominal. Variable. Lo fija la sociedad emisora, siendo práctica habitual un nominal de 1.000 ó 3.000 u.m.



Intereses. Se emiten al descuento, pagándose una cantidad inferior a su valor nominal. La diferencia entre el valor nominal por el que se amortizan y el precio de compra es el interés de la inversión.



Precios. El precio efectivo de emisión de cada pagaré será el que resulte, en función del tipo de interés que se aplique y del plazo de vencimiento, en cada caso, de acuerdo con las fórmulas siguientes: – Para plazos de vencimiento iguales o inferiores a 365 días:

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425

N E = -----------------n 1 + i x ------365 – Para plazos de vencimiento superiores a 365 días: N E = ---------------(1 + i)t/365 siendo: i: Tipo de interés nominal en tanto por uno. N: Importe nominal del pagaré. E: Importe efectivo del pagaré. t: Número de días del período, hasta vencimiento. • Plazo. Los pagarés son activos financieros a corto plazo cuyo plazo de vencimiento se suele situar entre siete días (7 días) y dieciocho meses (548 días). EJEMPLO 20 Se compra en mercado secundario un pagaré de empresa de 1.000 u.m. nominal de Telefónica, realizándose la operación con un tipo de descuento del 14%. El pagaré vence a 180 días y los gastos ascienden al 1,5‰ del nominal. Se pide: ¿Cuál será la liquidación efectuada y la rentabilidad obtenida? Solución: El precio del título (sin gastos) será:

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426

El precio de compra (gastos incluidos) es: Precio del pagaré = 930,96 + 1,5‰ x 1.000 = 932,46 u.m. La rentabilidad obtenida en esta operación será:

6.3.2. Obligaciones simples Son títulos que confieren a su titular la condición de prestamista de la sociedad emisora percibiendo por ello una renta periódica (fija o variable) durante la vida del título y a la devolución del capital aportado (por el nominal o con prima de reembolso). 6.3.3. Obligaciones subordinadas Desde el punto de vista financiero las obligaciones subordinadas son títulos de renta fija, normalmente con cupón fijo y reembolso por el nominal o con prima. El término de «subordinada» se refiere a que en caso de extinción y posterior liquidación de la sociedad emisora, los obligacionistas subordinados son los últimos en cobrar, si bien, tienen preferencia de cobro frente a los accionistas, es decir, son los últimos acreedores y sólo se sitúan por delante de los accionistas. En consecuencia, por incurrir la sociedad emisora en un procedimiento concursal o de quiebra, los derechos y créditos de los tenedores de estos valores frente a la sociedad emisora se situarán, salvo que la legislación aplicable estableciese otra cosa, detrás de todos los acreedores comunes y de la siguiente manera: 1. Tras los derechos y créditos de todos los acreedores comunes de la sociedad emisora. 2. Tras los derechos y créditos de aquellos acreedores subordinados cuyo crédito se derive de una escritura pública anterior a la fecha de la presente emisión. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

427

3. Con prioridad sobre todos los derechos de los accionistas y acreedores de la sociedad emisora caracterizados como otros acreedores asimilados a la aportación de capital. Por lo demás, pueden tener las mismas características que el resto de títulos de renta fija (cupón fijo o variable, valor de reembolso por nominal o con prima, pueden ser convertibles, emitirse con warrant…). 6.3.4. Bonos y obligaciones indiciadas, referenciadas o indexadas En los bonos y obligaciones más comunes el importe del cupón periódico queda fijado de antemano para toda la vida del título. De esta forma, el poseedor del título conoce siempre el importe de los intereses que va a percibir. Por el contrario, en los bonos u obligaciones indiciados el importe de los cupones varía total o parcialmente en función de un índice de referencia preestablecido de antemano, que origina que el rendimiento de estos títulos tenga carácter variable. EJEMPLO 21 Caja Duero emite bonos bolsa con las siguientes características: 

Fecha de emisión: 16 de abril de X0.



Bonos simples de 1.000 u.m. cada uno.



Número de bonos emitidos: 30.000.



Emisión al 100% del valor nominal, libre de comisiones y gastos para el suscriptor.



Tipo

de

interés:

no

tiene.

Se

trata

de

una

emisión

cupón

cero.

La rentabilidad de estos bonos viene dada por la prima de amortización. La prima ascenderá a un porcentaje fijo, a aplicar sobre el nominal, equivalente al 40% de la revalorización que haya experimentado el índice de la Bolsa de Valores entre la fecha de emisión y la fecha de amortización. 

Amortización: el reembolso se realizará a la par, libre de gastos y de comisiones para el tenedor, además de la prima de amortización variable. La devolución del principal de los bonos se realizará en un solo pago el día 16 de octubre de X2, no existiendo posibilidad de amortización anticipada por parte del emisor ni del suscriptor.



Valor de la Bolsa de Valores el 16 de abril de X0: 11.000 puntos.



Gastos de emisión de 36.000 u.m.

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428

Se pide: 1. Rentabilidad de un bono si la bolsa de valores alcanza los 13.000 puntos el día del vencimiento. 2. Rentabilidad de un bono si la bolsa de valores no supera los 11.000 puntos el día del vencimiento. 3. Tanto efectivo del emisor. Solución: a) Primer supuesto: se produce una revalorización del índice (la bolsa de valores el día de amortización del bono, 16 de octubre de X2, se sitúa en 13.000 puntos

La evolución positiva del 18,18% del índice supone los siguientes flujos: Fechas Flujos 16-04-X0 Adquisición (nominal).................... 1.000,00 u.m. 06-10-X2 Reembolso (nominal + prima) ...... 1.072,73 u.m.

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429

Siendo la rentabilidad final del título la siguiente:

b) Segundo supuesto: el índice no experimenta variación alguna o experimenta una variación negativa

Si consideramos que la prima es igual a 0 el nominal y el valor del reembolso coincidirían, siendo igual a 1.000 euros, con lo cual, la rentabilidad del título es:

c) Interés efectivo previsto para el emisor Depende de la revalorización alcanzada por el índice de la bolsa de valores y de los gastos en que finalmente se incurra. Resultando diferentes tipos de interés efectivo, en función del incremento porcentual que pueda tener el índice y, por tanto, la variación que sufra el valor de la prima, ya que el nominal de la emisión y los costes fijos de la emisión son constantes. El cálculo del costo efectivo para el emisor se efectuará de acuerdo con la siguiente fórmula: R = (V – C) x (1 + i)n siendo: R: Valor de reembolso (nominal emisión más primas). V: Nominal emisión. C: Gastos de la emisión. n: Número de días de la inversión/365. ie: Coste efectivo.

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430

De donde:

Retomando el primer supuesto en el que se produce una revalorización del índice y tratándolo a la fórmula anterior nos resultaría:

Si tomamos el segundo supuesto en el que la prima es igual a cero, el nominal y el valor de reembolso coincidirían, siendo igual a 1.000 euros, con lo cual:

6.3.5. Obligaciones bonificadas Desde el punto de vista puramente financiero, no son más que un caso concreto de obligaciones simples, donde el cupón suele ser periódico y fijo, siendo el valor de reembolso a la par (por el nominal). Se representan mediante anotaciones en cuenta y, una vez emitidas, cotizan en las bolsas de valores. El atractivo de estos títulos radica en el hecho de que además del cupón tienen un tratamiento fiscal favorable que supone una importante reducción en los impuestos del obligacionista, con lo que finalmente consigue una alta rentabilidad financiero-fiscal. Los beneficios fiscales se deben a: 

Una bonificación fiscal sobre las retenciones a cuenta de los Impuestos sobre la Renta, de forma que los intereses brutos son objeto de una retención en la fuente del 1,20% (por lo que también se les conoce como obligaciones de cupón 1,20).



Deducción en cuota, como impuesto pagado a cuenta, hasta el 24%, siempre que por este motivo no resulte cuota negativa.

Este doble tratamiento fiscal favorable origina que en igualdad de características financieras sean preferibles estos títulos frente a los no bonificados.

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431

Surge el concepto de rentabilidad financiero-fiscal para el inversor de obligaciones bonificadas, que se definen como el interés anual bruto que tendría que ofrecer una inversión alternativa, sin ventajas fiscales, para que el inversor, según su tasa impositiva, después de impuestos obtuviera el mismo rendimiento anual neto (TIR) que suscribiendo estas obligaciones bonificadas a la par y beneficiándose de la bonificación fiscal. EJEMPLO 22 Se emiten obligaciones bonificadas de AUPASA, cuyas características y condiciones son: 

Naturaleza: obligaciones con bonificación fiscal sobre las retenciones a cuenta del Impuesto de Renta.



Nominal del título: 5.000 u.m.



Fecha de emisión: 1 de enero de X1.



Fecha de vencimiento: 31 de diciembre de X2.



Precio de emisión: 100% del valor nominal.



Cupón: 12% anual.



Pago de cupón: 31 de diciembre.



Régimen fiscal: debido a la bonificación, la retención en la fuente será del 1,20%, pudiendo realizar el suscriptor una deducción del 24% del cupón bruto en su declaración de Renta. El pago de impuestos se realiza el 30 de junio del año siguiente.

Se pide: 

La corriente de cobros y pagos que genera la compra de un título por un inversor cuyo tipo impositivo es del 30%.



Rentabilidad efectiva de la operación teniendo en cuenta los impuestos.



Rentabilidad financiero-fiscal de estos títulos bonificados.

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432

Solución: Esquema de cobros y pagos de la inversión Flujo Retención (Suscripción) Cupón Pago (semestr Fecha (1,20% x amortización bruto impuestos es) Cupón bruto) 0 1 2 3 4 5

01-01-X1 30-06-X1 31-12-X1 30-06-X2 31-12-X2 30-06-X3

– 5.000,00 – 592,80 – 36 – 36,00 5.592,80 – 36 – 36,00

– 5.000

5.000

600

– 7,20

600

– 7,20

Flujos netos

Cupón bruto (12% x 5.000) ................................................. 600 Retención (1,20% .....................................................

x

600)

7,20

Pago impuestos [(30% – 24%) x 600] ................................. 36 Rentabilidad de la operación (con impuestos) Será el tanto de interés que resulte de enfrentar todos los pagos y los cobros que la operación genera por todos los conceptos, considerando la cuantía de los flujos y el momento donde tenga lugar. Gráficamente:

De la siguiente ecuación se obtendrá la rentabilidad neta de impuestos obtenida por este inversor con este título. 592,80

36

5.592,80

36

5.000 = --------------- – -------------- + -------------- – -------------(1 + i2)2

(1 + i2)3

(1 + i2)4

(1 + i2)5

i2 = 5,439% i = (1 + i2)2 – 1 = 1,054392 – 1 = 11,17% Rentabilidad financiero-fiscal de los títulos bonificados Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

433

La rentabilidad financiero-fiscal a la que se refiere este apartado no es una rentabilidad real obtenida por un inversor (esa rentabilidad real es la calculada en el punto anterior). Se trata de determinar el tipo de interés que tendría que ofrecer un título de igual nominal, duración, frecuencia de pago de cupones, pero sin bonificación fiscal, es decir, con una fiscalidad propia de los títulos de renta fija (retención en la fuente del 15% sobre los cupones brutos y deducción de las retenciones efectivamente practicadas), para que al inversor le resultara indiferente comprar un título bonificado u otro no bonificado (pero con el resto de características idénticas). A este tipo de cupón es a lo que se conoce como rentabilidad financiero-fiscal de las bonificadas. Para el cálculo de este tipo de interés (i) consideramos lo siguiente: 

Nominal título: 5.000



Cupón bruto: 5.000 x i



Retención: 15% x 5.000 x i = 750 x i



Pago impuestos: (30% – 15%) x 5.000 x i = 750 x i

Flujo (semestr es)

Fecha

0 1 2 3 4 5

01-01-X1 30-06-X1 31-12-X1 30-06-X2 31-12-X2 30-06-X3

Retención (Suscripción) Cupón Pago (1,20% x Cupón amortización bruto impuestos bruto)

– 5.000

5.000

5.000 x i

– 750 x i

5.000 x i

– 750 x i

Flujos netos

– 5.000 – 4.250 x i – 750 x i – 750 x i 5.000 + 4.250 x i – 750 x i – 750 x i

Gráficamente:

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434

En esta inversión se obliga a que los pagos y cobros financieramente sean equivalentes al tanto i2 = 5,439%, con lo que estamos obligando a que la rentabilidad de este título coincida con la rentabilidad después de impuestos que generaba el título bonificado. El tipo de interés del cupón (i) que haga posible la igualdad será el tipo de interés anual que deberá ofrecer un bono no bonificado para que al inversor le resulte indiferente uno u otro. 4.250 x i

750 x i

5.000 + 4.250 x i

750 x i

5.000 = -------------------- – ------------------- + ------------------------ – --------------------(1 + 0,05439)2

(1 + 0,05439)3

(1 + 0,05439)4

(1 + 0,05439)5

i = 15,788% 6.3.6. Obligaciones convertibles y canjeables La convertibilidad (canjeabilidad) supone la posibilidad de transformar un activo financiero en otro diferente mediante la aplicación de determinadas reglas. En el caso de las obligaciones convertibles, el poseedor de estos títulos tiene la posibilidad de que, llegado el momento acordado y en las condiciones pactadas, pueda cambiar el título de renta fija por un determinado número de acciones emitidas por la empresa (acciones nuevas). En otras ocasiones, la conversión se inicia unilateralmente por parte del emisor. Hasta la fecha de la conversión, el tenedor del título (obligacionista) obtiene los derechos que le confiere el ser acreedor de la sociedad: el cobro de un cupón periódico o, en su caso, la cuantía obtenida por la venta si enajena el valor antes de la conversión. Una vez llegado el momento de la conversión, puede optar por dos alternativas: 

Si considera que el precio de las acciones a recibir es superior al que el inversor estima como valor objetivo, ejercitará la conversión y se convertirá en accionista de la sociedad.



Si considera que el precio de las acciones a recibir es inferior al que el inversor estima como valor objetivo, no ejercitará la conversión y continuará siendo acreedor hasta el vencimiento del título.

Por último, una cuestión importante es saber la proporción de conversión y cómo se valoran los títulos entregados (obligaciones) y recibidos (acciones). En el caso de las obligaciones canjeables, todo es exactamente igual salvo que las acciones que se entregan no son nuevas (lo que ocurre en la conversión) sino que se trata de acciones antiguas ya en circulación.

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435

6.3.7. Bonos y obligaciones con warrant Un warrant es un certificado de opción mediante el cual el tenedor de una obligación tiene la posibilidad de adquirir en un momento futuro y a un precio determinado de antemano un número concreto de acciones de la misma empresa que emitió las obligaciones. De esta forma, el inversor encuentra un mayor atractivo en la suscripción de las obligaciones y a la empresa emisora de las obligaciones le resulta más fácil su colocación. El warrant se negocia por separado del activo al cual aparece ligado. Su titular puede venderlo en cualquier momento o ejercitarlo en el momento que corresponda. En este sentido, el propietario de un warrant esperará a que el activo de renta fija suba de precio por encima del pactado en el warrant para así ejercitar el derecho de compra a un precio inferior al de mercado. En caso contrario, puede optar por desprenderse del warrant. Es decir, llegado el vencimiento del warrant el obligacionista comprará la acción a la que da derecho cuando su precio sea inferior al de mercado, y no lo hará en caso contrario. La diferencia entre las obligaciones con warrant y las obligaciones convertibles es que en las primeras la utilización de la opción de suscripción de acciones que incorpora el warrant no requiere, necesariamente, la desaparición o amortización de las obligaciones. En otras palabras, el titular que hasta ese momento era sólo obligacionista sigue siéndolo y, además, se convierte en accionista. En todo caso, también puede darse el caso de una obligación convertible con warrant. 6.3.8. Títulos hipotecarios Se distinguen tres categorías de títulos que permiten a sus emisores captar fondos a medio y largo plazo con el único objetivo de invertir estos recursos en operaciones con garantía hipotecaria: 

Cédulas hipotecarias.



Bonos hipotecarios.



Participaciones hipotecarias.

Por tanto, hay que distinguir las operaciones pasivas de los emisores que les permiten captar fondos y, por otro, las operaciones activas de préstamos con garantía hipotecaria a los que deben ir dirigidos gran parte de estos fondos. Las cédulas hipotecarias son títulos garantizados por todos los créditos hipotecarios concedidos por el emisor. Por tanto, sus tenedores son acreedores privilegiados del emisor, teniendo garantizados tanto el capital como los intereses, gracias a las hipotecas inscritas a favor de ellos mismos. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

436

La diferencia entre cédulas y bonos hipotecarios radica en su garantía. En estos últimos, existe la seguridad de un crédito, o grupo de créditos, en concreto. Cada emisión tiene que quedar vinculada, mediante una escritura pública, a los créditos hipotecarios que la garantizan, por lo que su vencimiento medio casi siempre oscila entre uno y tres años, y sus intereses no pueden superar a los de dichos créditos. Las participaciones hipotecarias representan la cesión total o parcial de un préstamo hipotecario de una entidad a otra o al público (aunque es más habitual entre entidades), de manera que «participa» en el préstamo hipotecario y cobra la parte de los intereses del préstamo que le corresponden de acuerdo con su participación relativa. Habitualmente incorporan un porcentaje sobre el principal de uno o varios créditos de la entidad emisora, y sólo pueden ser emitidas por la entidades autorizadas para operar en el mercado hipotecario. En resumen, las participaciones se configuran como una cesión de crédito. En otras palabras, las participaciones hipotecarias permiten participar a los inversores de los créditos hipotecarios que conceden las entidades que actúan en el mercado hipotecario, conservando éstas la administración y la custodia de los créditos. Las participaciones hipotecarias se emiten casi siempre a largo plazo, al contrario que las cédulas y bonos hipotecarios, que generalmente son a corto o medio plazo. Es importante subrayar que a diferencia de lo que ocurre con los bonos y las cédulas hipotecarias, el inversor o partícipe no percibe un ingreso procedente de los intereses o cupones prefijados por el emisor, sino que percibe directamente la parte proporcional del préstamo hipotecario, lo cual tiene como consecuencia que, en caso de impago del préstamo hipotecario, el adquirente de estas participaciones asuma el riesgo de impago por parte del prestatario. 6.3.9. Bonos y obligaciones de titulización hipotecaria Son un tipo de bonos que empieza a tener una presencia cada vez más importante ya que permite a las entidades financieras desmovilizar su cartera de créditos. Este tipo de bonos es emitido por los denominados Fondos de Titulización Hipotecaria, constituidos al efecto y, generalmente, por entidades financieras que tienen en su cartera diversos préstamos hipotecarios. De esta manera, lo que hace el fondo hipotecario es transformar las cédulas, bonos y participaciones hipotecarias en otros títulos (los bonos de titulización hipotecaria) que se negocian como un activo nuevo en el mercado.

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437

Los Fondos de Titulización Hipotecaria son agrupaciones hipotecarias que transforman el conjunto de los préstamos o participaciones hipotecarias que adquieran de entidades de crédito, en valores de renta fija negociables en un mercado de valores organizados. La constitución y administración de estos fondos corresponde a las Sociedades Gestoras de Fondos de Titulización Hipotecaria. En cuanto a la operativa financiera de los bonos de titulización hipotecaria, reciben igual tratamiento que el resto de los bonos ya que abonan intereses o cupones periódicos y, generalmente, se amortizan por su valor nominal. A este respecto, el abono periódico de intereses a los partícipes de estos fondos hace que puedan calificarse como fondos de reparto. 6.3.10. Bonos de alto rendimiento, «bonos basura» o junk bond Bajo esta denominación se engloba a un conjunto de activos de renta fija cuya particularidad radica en el hecho de que los emisores suelen ser de escasa calidad crediticia y poca solvencia, por lo cual reparten altos rendimientos. El riesgo de estos títulos es alto ya que la probabilidad de impago es elevada y, por consiguiente, se utilizan fundamentalmente con fines especulativos y sus emisores suelen ser empresas que necesitan financiación a toda costa. En cuanto al resto de características financieras, suelen ser títulos de cupón fijo periódico y amortizables a la par. 7. Pignoración de valores mobiliarios Pignorar significa dejar en garantía o en prenda. La pignoración de valores mobiliarios implica la solicitud de un crédito entregando como garantía esos valores mobiliarios. La cuantía del préstamo o del crédito que se conceda estará en función del valor efectivo o de cotización de los títulos pignorados, al que se le aplica un coeficiente de reducción según el tipo de valores que se pignoren. Esta reducción sobre el valor efectivo se establece con el fin de garantizar mejor al préstamo. Este coeficiente de reducción o cambio de pignoración (cp) suele oscilar entre el 40% y el 90%, el más bajo cuando son títulos de empresas que no reparten dividendos y son poco solventes, y el más alto para títulos de deuda pública. Del conjunto de títulos que se pretende pignorar se debe conocer lo siguiente: n: Número de títulos pignorados. N: Nominal pignorado (nominal del título x número de títulos pignorados).

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438

c: Cotización o cambio de cotización (en % sobre el nominal). cp: Cambio de pignoración (en % sobre la cotización). A partir de estos datos se podrá calcular: 

Valor efectivo de los títulos pignorados por razón de cambio (Ec)

Indica el valor de mercado de los títulos que se entregan como garantía. Se obtiene multiplicando la cotización del título por el valor nominal de la cartera pignorada. Nxc Ec = ----------100 

Efectivo máximo de pignoración (Ep)

Representa el importe máximo de préstamo al que podremos optar y que viene determinado por: – El valor efectivo de los títulos pignorados. – Cambio de pignoración. cp Ep = Ec x -------100 de donde: N x c x cp Ep = ------------100 x 100 No siempre el préstamo concedido coincide con la cantidad máxima que se podría obtener como consecuencia de la aplicación del cambio de pignoración (cp) al efectivo de los títulos (N x c). En estos casos, se denomina cambio de garantía (cg), a aquella cotización a la que deberían cotizar los títulos para que el crédito concedido hubiese sido el máximo autorizado, es decir: Ep x 100 x 100 cg = ---------------------N x cp EJEMPLO 23 Se pignoran 1.000 acciones del banco «P», cuya cotización es de 12,25 u.m.. Se admiten a pignoración al 90%. Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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Se pide: 1. ¿Cuál es la máxima cuantía a obtener como préstamo? 2. Si solamente se solicitasen 10.500 u.m. de préstamo, ¿cuál es el cambio de garantía? Solución: a) Importe máximo de préstamo a solicitar: Ep = 1.000 x 12,25 x 0,9 = 11.025 u.m. b) Cambio de garantía para un préstamo de 10.500 u.m.: 10.500 = 1.000 x cg x 0,9 cg = 11,67 u.m. Es decir, para que el préstamo de 10.500 u.m. fuese el máximo que se pudiese obtener, la cotización del banco «P» debería haber sido de 11,67 u.m. en el momento de su pignoración. 

Efectivo líquido recibido por el prestatario del préstamo (EL)

El valor recibido siempre será inferior a la cuantía del crédito o del préstamo concedido, pues hay que deducir los gastos ocasionados y, además, los intereses de la operación, ya que suelen cobrarse por anticipado. Así:

donde: 

Las comisiones bancarias y los corretajes se expresan en tanto por uno sobre el valor efectivo máximo (EP).



Otros gastos recogen partidas tales como pólizas, timbres, etc., a cargo del prestatario (OG).



Los intereses se calculan también sobre el valor efectivo máximo (EP).

por tanto: t

i

EL = EP x [1 – CB – CO] – OG – EP x --------- x -------360

100

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440

EJEMPLO 24 Se pignoran 10 títulos de 1.000 u.m. nominales cada uno. La cotización es el 95%. Se admiten a pignoración al 90%, los gastos de formalización de la operación ascienden a 75 u.m. y el corretaje es el 2‰. Si el préstamo es concedido a 120 días, al 10% de interés anual y la comisión bancaria es el 4‰, ¿cuál será el préstamo concedido y el líquido obtenido? Utilizar el año comercial. Solución: Importe del préstamo solicitado: EP = 10 x (1.000 x 0,95) x 0,90 = 8.550 u.m. Importe líquido obtenido, después de deducir todos los gastos de la operación y los intereses: 120

10

EL = 8.550 x [1 – 0,004 – 0,002] – 75 – 8.550 x -------- x ------- = 8.138,70 u.m. 360

100

7.1. POSIBILIDADES ANTE UN CAMBIO DE COTIZACIÓN DE LOS TÍTULOS PIGNORADOS Se denomina cambio de reposición (cr) al límite al cual puede bajar la cotización de los valores en garantía, para que se considere en vigor el contrato de pignoración. Generalmente, en el contrato se estipula como límite un descenso de la cotización de un 10% de la cotización existente cuando se revisaron por última vez las garantías. Llegado a este límite, el cambio de reposición, caben dos posibilidades: 

Cálculo de la mejora de garantía.



Cálculo de la reducción del préstamo.

7.1.1. Cálculo de la mejora de garantía Se trata de determinar cuántos títulos se deberán aportar de forma complementaria para poder seguir manteniendo el mismo importe del préstamo concedido inicialmente, ante un descenso en la cotización de los títulos pignorados inicialmente. Para ello se procederá a recalcular el efectivo máximo de pignoración pero dejando como única variable a calcular el nominal total que se tendría que pignorar de esos mismos títulos (n') para que ambos efectivos máximos (el inicialmente calculado (EP) y el que ahora se calcula con el nuevo cambio de pignoración (E'P) sean iguales. Así, el préstamo concedido inicialmente fue:

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441

cP EP = n x c -----100 y, actualmente ese préstamo: cP E'P = n' x 0,9 x c -----100 igualando ambas expresiones: EP = E'P cp

cp

n x c x ------- = n' x 0,9 x c x ------100

100

de donde se deduce: n = 0,9 x n' 1 n' = ------ x n 0,9 1

1

Número de títulos a aportar = n' – n = ------- x n – n = ----- x n 0,9

9

por tanto, habrá que aumentar la garantía en su novena parte. 7.1.2. Cálculo de la reducción de préstamo Se trata de determinar en qué cuantía se reducirá el préstamo inicialmente concedido con una determinada garantía pignoraticia ante una bajada de la cotización de los títulos pignorados. En este caso se procederá a calcular el importe máximo de préstamo a conceder en el momento actual (E'P) en función del nominal pignorado, la cotización vigente al día de hoy y el cambio de garantía establecido para esos títulos. Posteriormente, se enfrenta el nuevo (E'P) con el calculado al principio de la operación (EP), y la diferencia será el importe por el que habrá que reducir el préstamo. Siendo EP y E'P, respectivamente: cP EP = n x c x -------100

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442

cP E'P = n x 0,9 x c x --------- = 0,9 EP 100? 1 Reducción préstamo = EP – E'P = EP – 0,9 x EP = 0,1 x EP = ------- x EP 10 La reducción del préstamo se efectuará por la parte del préstamo no garantizada por los títulos inicialmente pignorados como consecuencia de un menor valor de éstos en el mercado, es decir, la décima parte del préstamo inicial. EJEMPLO 25 Mediante la pignoración de 10.000 acciones de la sociedad «Y», cuya cotización es de 13,20 u.m., se obtiene el máximo préstamo que permite el cambio de pignoración del 80%. La operación se concierta por tres meses a un tipo de interés del 10% anual. Los gastos de formalización ascienden a 150 u.m. y el corretaje es el 2,5‰, determinar: 1. Préstamo concedido. 2. Líquido obtenido. 3. Número de títulos a aportar a los dos meses de concertada la operación si el cambio desciende hasta el cambio de reposición. 4. En el caso de no mejorar la garantía, calcular el valor de la reducción del préstamo. Solución: 1. Importe del préstamo solicitado: EP = 10.000 x 13,20 x 0,80 = 105.600 u.m. 2. Importe líquido obtenido, después de deducir todos los gastos de la operación (incluidos los intereses): 3

10

EL = 105.600 x [1 – 0,0025] – 150 – 105.600 x ------- x -------- = 102.546 u.m. 12

100

3. Si la cotización ha descendido hasta el 90% de lo que valían los títulos cuando se pignoraron (0,9 x 13,20 = 11,88 u.m.) y se quiere seguir manteniendo el préstamo de 105.600 u.m. se ha de aportar mayor número de títulos, una novena parte de los títulos inicialmente entregados:

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El redondeo de decimales se realiza siempre por exceso para conseguir que siempre haya garantía de más (sobregarantía). 4. Si la cotización ha descendido hasta el 90% de lo que valían los títulos cuando se pignoraron (0,9 x 13,20 = 11,88 u.m.) y quiere seguir manteniendo como garantía los 10.000 títulos iniciales, deberemos reducir el préstamo en una décima parte del importe inicial: 1 Reducción préstamo = ------- x 105.600 = 10.560 u.m. 10 7.2. PIGNORACIÓN DE VARIAS CLASES DE VALORES Hasta ahora se ha planteado la problemática de la pignoración de una sola clase de valores. Sin embargo, un inversor se puede plantear la pignoración de diferentes tipos de títulos bien para conseguir mayor garantía, y por tanto mayor préstamo, o simplemente porque con un solo valor no tiene suficiente para cubrir el importe de la deuda que quiere contraer. Para ello se parte de un conjunto de títulos de los que se conocen: nominales, cotizaciones y cambio de pignoración. Cambio de Clase Nominal Cotización pignoració n A B C

NA NB NC

CA CB CC

CPA CPB CPC

Los pasos a seguir para pignorar varios títulos (una cartera de valores) serán los siguientes: 1.º Determinar los efectivos máximos que se pueden conceder por cada clase de valores (EP): CA

CPA

EPA = NA x ------- x -------100

100

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444

CB

CPB

EPA = NB x ------- x -------100

100

CC

CPC

EPA = NC x ------- x -------100

100

2.º Reparto proporcional del crédito solicitado (X) en base a los efectivos máximos para determinar qué parte queda garantizada por cada clase de valores, para lo cual se debe cumplir la siguiente relación: X

XA

XB

XC

--------------------- = ------- = ------- = ------EPA + EPB + EPC

EPA

EPB

EPC

Si llamamos:

se obtendrán XA, XB y XC, que nos indicarán la parte del préstamo garantizado por cada valor:

3.º Determinación de cambios de garantía y de reposición para cada clase de valores. Los cambios de garantía se obtendrán a partir de las siguientes igualdades: NA x cgA x cpA XA = --------------------- ----------> CgA 100 x 100 NB x cgB x cpB XB = --------------------- ----------> CgB 100 x 100 NC x cgC x cpC XC = --------------------- ----------> CgC 100 x 100 Los cambios de reposición de cada clase de valor serán: CrA = 0,9 x CgA CrB = 0,9 x CgB CrC = 0,9 x CgC

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445

4.º En la pignoración de varias clases de valores se pueden definir nuevos conceptos: a) Cambio medio C de los valores pignorados:

b) Cambio medio de garantía Cg de los valores pignorados: será aquella cotización media del total de títulos pignorados para que el crédito concedido fuese el máximo autorizado, es decir:

c) Cambio medio de reposición Cr de los valores pignorados: será aquella cotización media límite a la cual puede bajar la cotización media de todos los valores en garantía, para que se considere en vigor el contrato de pignoración.

5.º En el contrato de pignoración se puede pactar una de las dos siguientes condiciones: 1. Cada clase de valor pignorado es garante de la parte de préstamo EP que garantiza, es decir, el préstamo se considera a efectos de garantía como un conjunto de préstamos independientes, de forma que ante una caída de cotización de algún valor sólo se mejorará exclusivamente las garantías de los valores afectados. 2. Todas las clases de valores garanticen conjuntamente el préstamo, de forma que solamente será necesario mejorar la garantía cuando, en conjunto, y a pesar de que alguno haya caído por debajo de su cambio de reposición, las garantías totales no garanticen suficientemente el préstamo.

EJEMPLO 26 El señor Palomar solicita a una determinada entidad un préstamo de 900 u.m. con la garantía de los siguientes valores: Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

446

Clase

Cambio de Nominal Cotización pignoració n

Títulos clase A Títulos clase B Títulos clase C

500 200 400

135% 100% 75%

80% 95% 90%

A los dos meses de concedido el préstamo, la cotización de los títulos clase A ha bajado al 120% y los de clase C al 67%. Se pide: 1. Efectivo máximo a conceder. 2. Efectivos garantizados por cada valor. 3. Cambio medio, cambio medio de garantía y cambio medio de reposición de los títulos pignorados. 4. Acción que debe tomar la entidad ante las bajadas mencionadas, si todos los títulos garantizan conjuntamente el préstamo. Solución: 1. Efectivo máximo a conceder EPA = 500 x 135% x 80% = 540 EPB = 200 x 100% x 95% = 190 EPC = 400 x 75% x 90% = 270 ------------------------------------------EP = EPA + EPB + EPC = 1.000 Que es el efectivo máximo a conceder. 2. Efectivos garantizados por cada valor Dado que el préstamo solicitado es de 900 euros, la relación entre el máximo a conceder y el efectivo concedido (a) es:

Y el efectivo garantizado por cada valor será:

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3. Cambio medio Indica la cotización media ponderada de los valores entregados en garantía.

500 x 135% + 200 x 100% + 400 x 75%

1.175

C = ----------------------------------------------------- = --------- = 106,82% 500 + 200 + 400

1.100

Cambio medio de pignoración:

500 x 135% x 80% + 200 x 100% x 95% + 400 x 75% x 90% Cp = ------------------------------------------------------------------------------500 + 200 + 400 1.000 Cp = ---------- = 90,91% 1.100 Cambio medio de reposición: Cr = 0,9 x C = 0,9 x 106,824% = 96,14% 4. Acción a considerar ante la caída de la cotización de los valores A y C E'PA = 500 x 120% x 80% = 480,00 E'PB = 200 x 100% x 95% = 190,00 E'PC = 400 x 67% x 90% = 241,20 --------------------------------------------E'P = E'PA + E'PB + E'PC = 911,20 Matemáticas Financieras para Contadores y Administradores

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A pesar del descenso en la cotización de los valores A y C, el préstamo está suficientemente garantizado en su conjunto (911,20 > 900,00), por lo que no es necesario realizar ninguna reducción de préstamo ni aportar nuevas garantías.

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