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I

ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON APLICACIONES

PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR

INTRODUCCIÓN Este libro es continuación del de cuarto, la intención es mejorar el nivel académico de nuestros estudiantes para que puedan seguir estudiando en cualquiera de las Universidades locales o solicitar becas en el extranjero, se ha procurado hacer recopilaciones de los contenidos de matemáticas en otros países, con el fin de que cualquiera de nuestros alumnos que desee ir a estudiar a otro país, no tenga problemas en adaptarse a nuevos contenidos, pues creemos que las bases las poseerá. Los temas, al igual que en el libro de cuarto, están escritos en forma mucho mas clara que en las algebras existentes, para que cuando el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad cualquier libro de álgebra que se le presente. Damos en el mismo todo lo que es necesario conocer para poder comprender los temas de los capítulos posteriores. De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro están basadas a lo que realmente necesitamos que nuestros alumnos puedan conocer para poderlo aplicar en cuestiones de la vida diaria, así mismo, prepararlos en los temas antes mencionados para que puedan ingresar a las Universidades que deseen.

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II

La continuidad que presentamos respecto al libro de cuarto, hará que nuestros alumnos dominen con mayor precisión y perfección el Algebra. Agradezco a Dios el que me haya iluminado y dado los conocimientos necesarios para poder elaborarlo y a las autoridades del Centro Educativo Kinal, para poder presentarlo y a la vez utilizarlo con nuestros alumnos, que estoy seguro será aprovechado eficientemente. El autor.

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III

INDICE DE CONTENIDOS UNIDAD 1

SISTEMAS DE ECUACIONES 1.1 Sistemas de ecuaciones Objetivos 1.1.1 Método gráfico 1.1.2 Método de sustitución 1.1.3 Método de igualación 1.1.4 Método de eliminación suma y resta 1.1.5 Método de determinantes 1.1.6 Ecuaciones con mas de dos variables 1.2 Matrices 34 1.3 Teorema del binomio 42 1.3.1 Binomio de Newton 42

UNIDAD 2

. 7 7 8 9 10 11 18 30

FUNCIONES Y GRÁFICAS Objetivos 2.1 Algoritmo de Horner 2.2 Funciones y gráficas 2.3 Gráficas de funciones 2.3.1 Función constante 2.4 Simplificación de un cociente Diferencia

UNIDAD 3

53 53 59 61 62 72

FUNCIONES CUADRÁTICAS

3.1 Funciones cuadráticas Objetivos 3.1.1 Vértice de una parábola 3.1.2 Intersección de la parábola con los ejes 3.2 Operaciones con funciones 3.3 Composición de funciones 3.4 Funciones inversas Centro Educativo Kinal

81 81 82 85 100 103 107

IV

UNIDAD 4

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 4.1 División sintética Objetivos 4.2 Teorema del residuo 4.3 Teorema del factor 4.4 Funciones Polinomiales y Racionales 4.4.1 Funciones Polinomiales 4.4.2 Funciones Racionales 4.5 Funciones Exponenciales y Logarítmicas 4.5.1 Funciones Exponenciales 4.5.2 Funciones Logarítmicas 4.5.3 Gráficas de funciones logarítmicas

UNIDAD 5

117 117 118 119 124 124 134 143 143 148 155

SECCIONES CÓNICAS

5.1

Secciones Cónicas Objetivos 5.1.1 Parábola 5.1.2 Elipses 5.1.3 Hipérbolas 5.2 Leyes de los Senos 5.3 Ley de los Cosenos

159 159 160 172 187 200 214

Bibliografía

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7

SISTEMAS DE ECUACIONES Objetivos:
Dibujar y trazar las gráficas de dos ecuaciones en un plano de coordenadas cartesianas
Determinar gráfica y algebraicamente si los sistemas de ecuaciones son a) consistentes e independientes, b) inconsistentes c) dependientes.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación
Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma y resta.

1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es cuando existe más de una variable, si es de dos variables habrá dos ecuaciones, si hay tres variables habrá 3 ecuaciones y así sucesivamente. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas podemos utilizar varios métodos. Nosotros veremos los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

Gráfico Sustitución Igualación Reducción Determinantes

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1.1.1

MÉTODO DE GRÁFICO

Ejemplo 1 Resolver el sistema Y = x2 – 4 y=x–2

5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5 En la gráfica podemos observar que en donde se cruzan las líneas es en (2, 0) y en (– 1, – 3), por lol tanto las soluciones son estas. Ejemplo 2 Resolver el sistema y = 2x2 – 3 y = – 2x + 1

5 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3 -4 -5

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1.1.2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones porl método de sustitución, en una de las ecuaciones se despeja una de las dos variables y este resultado se sustituye en la otra ecuación . Ejemplo 3: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema.

Solución: Despejemos la “y” en la primera ecuación por ser más fácil ya que su coeficiente es uno. y = 11 – 3x Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado 5x – (11-3x)=13 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la resolvemos para encontrar el valor de x 5x – 11 + 3x =13 5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x=3 Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la ecuación en donde tenemos la “y” despejada. y = 11 – 3x y = 11 – 3(3) y = 11 – 9 y=2 Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto es x=3 y “y”=2

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1.1.3

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, despejamos la misma variable en las dos ecuaciones e igualamos los dos resultados. Ejemplo 4: Resolver el sistema 3x + 2y = 8 2x – y = 3 Solución: Despejamos la “y” en las dos ecuaciones 2y = 8 – 3x y=

8 − 3x 2

2x – 3 = y Ahora que tenemos despejada la “y” en las dos ecuaciones, igualamos los resultados, sin importar cual de los dos resultados escribamos de primero, y resolvemos la ecuación con una variable que nos queda para encontrar su valor. 2x − 3 =

8 − 3x 2

2(2x – 3) = 8 – 3x 4x – 6 = 8 – 3x 4x + 3x = 8 + 6 7x = 14 x=

14 7

x=2 Ahora sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones en donde se encuentra despejada la “y”. más fácil la segunda

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2x – 3 = y 2(2) – 3 = y 4–3=y y=1

1.1.4

MÉTODO DE ELIMINACIÓN SUMA Y RESTA

Pudimos darnos cuenta que en todos método que hemos visto, el objetivo es eliminar una de las variables para trabajar ecuaciones solo con una variable. La forma de eliminar a una de las variable por este método es son suma y resta, para ello debemos hacer a la variable que vamos a eliminar, que tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero con signo contrario. Ejemplo 5: Resolver por el método de suma y resta el siguiente sistema de ecuaciones: 2x – 5y = -4 3x + 5y = 19 Solución: Como el objetivo es eliminar por suma y resta, en este caso no tenemos nada más que hacer, que eliminar de una vez la “y” puesto que una es 5 y la otra -5 2x – 5y = -4 3x +5y = 19 5x

= 15 x=

15 5

x=3 Ya que encontramos el valor de la x, tomamos cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de la y. 2x – 5y = -4

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2(3) – 5y = -4 6 – 5y = -4 -5y = -4 – 6 -5y = -10 y=

− 10 −5

y=2 Ejemplo 6: Resolver el sistema por el método de suma y resta 4x +5y = 11 2x – 2y = 10 Solución: En este caso no tenemos ninguna variable que se pueda eliminar de una vez, pero si podemos ver que si multiplicamos -2 por la segunda ecuación la x se convierte en -4 y así ya la podemos eliminar. 4x +5y = 11 -2(2x – 2y = 10) 4x + 5y = 11 - 4x + 4y = -20 0 +9y = -9 −9 y= 9 y = −1 Luego tomamos cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor de la “y” 4x 4x 4x 4x 4x

+ 5y = 11 + 5(-1) = 11 – 5 = 11 = 11 + 5 = 16 16 x= 4 X=4

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Ejemplo 7: Resolver el sistema por el método de suma y resta 4x +5y = 14 3x – 2y = – 1 Solución: En este caso, no tenemos variables que se puedan eliminar de una vez ni existe ninguna ecuación que se pueda multiplicar por algún número y quede igual al coeficiente de la otra, entonces: Intercambiamos el coeficiente de la variable que queramos eliminar y cambiamos un signo. -3(4x+5y = 14) 4(3x – 2y = -1) -12x – 15y = - 42 12x - 8y = -4 0 – 23y = - 46 − 46 − 23 y=2 Nuevamente tomamos cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de la x, y=

4x + 5y = 14 4x + 5(2) = 14 4X + 10 = 14 4x = 14 – 10 4x = 4 4 x= 4 x =1 Resolvamos ahora el mismo sistema por el método gráfico Principiando por el método gráfico, procedemos a despejar la variable “y” en las dos ecuaciones con el fin de trazar la gráfica en el plano 4x + 5y =14 3x – 2y = – 1 Podemos encontrar los interceptos en cada uno de los ejes. Por ejemplo, si queremos encontrar el intercepto en el eje x, debemos igualar a cero la “y” y nos queda 4x = 14 14 x= 4 Centro Educativo Kinal

x=

7 2

14

7 2 Luego, para encontrar el intercepto en el eje “y” igualamos a cero el eje x y nos queda

Esto significa que al eje x lo atraviesa en

5y = 14 14 y= 5 Trazamos entonces la recta que cruza los ejes en los valores encontrados.

Luego trazamos la otra recta haciendo las mismas operaciones. 3x – 2y = – 1 Igualando a cero la x – 2y = – 1 −1 −2 1 y= 2

y=

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Igualando a cero la “y” 3x = – 1 −1 x= 3 1 x=− 3 1 1 al eje “y” y en − al eje x 2 3 luego trazamos la recta en el mismo plano

Sabemos entonces que cruza los ejes en

Y encontramos que las líneas se cruzan en el punto (1, 2)

Resolviéndolo por el método de sustitución: Despejamos una de las variables en una ecuación y sustituimos este resultado en la otra ecuación en donde se encuentre esta variable. 4x +5y = 14 3x – 2y = – 1 Despejamos la x en la primera ecuación 14 − 5 y 4 Luego sustituimos en la otra ecuación el valor encontrado de x y despejamos la única variable que nos queda. x=

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NOTA: Cualquier método que utilicemos a excepción del gráfico, el objetivo es eliminar una de las variables para encontrar el valor de la otra.  14 − 5 y  3  − 2 y = −1  4 

42 − 15 y − 2 y = −1 4

Multiplicando toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador 42 – 15y – 8y = – 4 Despajando la “y” –

15y – 8y = – 4 – 42

– 23y = – 46

y=

− 46 − 23

y=2 Luego sustituimos este valor en la ecuación en donde tenemos la variable x despejada para encontrar el valor de ella. x=

14 − 5 y 4

x=

14 − 5(2) 4

x=

14 − 10 4

x=

4 4

x=1

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Al resolver el mismo sistema por el método de igualación, despejamos la misma variable en las dos ecuaciones e igualamos los dos resultados, resolviendo luego la ecuación que nos quedó con una sola variable x=

14 − 5 y 4

x=

2y −1 3

14 − 5 y 2 y − 1 = 4 3

3(14 – 5y) = 4(2y – 1) 42 – 15y = 8y – 4 – 15y – 8y = – 4 – 42 – 23y = – 43 y=

− 46 − 23

y=2 Luego sustituimos este valor en la ecuación en donde tenemos la variable x despejada para encontrar el valor de ella. x=

14 − 5 y 4

x=

14 − 5(2) 4

x=

14 − 10 4

x=

4 4

x=1 Centro Educativo Kinal

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1.1.5 METODO DE DETERMINANTES En Matemáticas se define el determinante como una forma no-lineal alterna de un cuerpo. Se utiliza como un método alterno para resolver sistemas de ecuaciones lineales y tiene una manera sencilla de calcularlo. En un sistema de dos por dos, el determinante se encuentra de la siguiente forma:

ax + by = c dx + ey = f El determinante se obtiene ae − bd

El determinante sirve para resolver el sistema in utilizar ecuaciones. Ejemplo 8: Resolver por determinantes el siguiente sistema 2x + 5y = -7 3x – 2y = 18 Primero encontramos el determinante Determinante = 2(-2) – 5(3) = – 4 – 15 = - 19 El determinante es entonces -19 Para encontrar el valor de la x, sustituimos la columna de la x con los valores de los términos independientes y procedemos de la misma forma que lo hicimos para encontrar el determinante y el resultado lo dividimos entre el determinante. -

7+5 18 - 2

x=

− 7(−2) − 5(18) − 19

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19

y=

36 + 21 − 19

y=

57 − 19

y = −3

Ejercicios:

Resolver por el método gráfico

1)

y = x2 y = 2x + 3

2)

x = – y2 + 6 x + 2y = – 2

3)

x2 + y2 = 25 x=4

4)

y = x2 – 4 y = 2x – 1

5)

y = x2 + 1 x+y=3

6)

7)

y = x2 – 2 y=x

8)

9)

x = y2 + 1 y=–x+3

10) x = – 2y2 + 3

11) y = x2 + 2

Resolver por el método de sustitución. 1) 5x + 3y = 1 2x + y = 0 3)

3x + 4y = 6 x – 5y = 2

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y2 = x x + 2y + 3 = 0 y = 2x2 + 1 y = 2x + 5

12) 2x + y = 10 x + 2y = 11

2)

3x – y = 11 2x + 3y = – 11

4) 2x + 3y = 3 4x + 5y = 5

20

5)

2x + 4y = 9 6x + 2y = 7

7) 2x + 5y = 10

6)

8) 3x + 2y =

3x – 10y = 10 9)

x + y = 11 x–y= –3

3x – 4y = – 2 9x + 3y = 9

6x – 8y = 3 10) 3x – y = 7 2x + 3y = 12

Resolver por el método de igualación. 1)

5x + 3y = 1 2x + y = 0

2)

3x – y = 11 2x + 3y = – 11

3)

x + y = 11 x–y= –3

4) 3x – y = 7 2x + 3y = 12

5)

3x + y = 3 4x + 2y = – 2

6) 2y – 6 = 5x y–x=9

7)

y – 2x = 6 x + 2y = 2

8) x + y = 12 x–y=8

9)

4x – 5y = 2 5x + 3y = 21

10)

3x + 4y = 6 2x – 5y = 4

Resolver por el método de suma y resta. 1)

3x + 4y = 6 x – 5y = 2

2) 2x + 3y = 3 4x + 5y = 5

3)

y – 2x = 6 x + 2y = 2

4) x + y = 12 x–y=8

5)

2x + 4y = 9 6x + 2y = 7

6)

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3x – 4y = – 2 9x + 3y = 9

21

4 + x 7) 8 − x

6 =4 y 9 =1 y

5 6 + =4 x y 9) 10 12 + =8 x y

3 + x 8) 2 − x

4 =7 y 8 =2 y

2 + x 10) 4 − x

1 11 = y 12 1 13 = y 12

Problemas del libro de swokowski 1. El precio de admisión a una obra de teatro de secundaria fue de $300 para estudiantes y $450 para el público en general. Si se vendieron 450 boletos para un total $1,555.50, ¿cuántos de cada clase se vendieron? 2. Una línea aérea que vuela de los Angeles a Albuquerque, con una escala en Phoenix, cobra una tarifa de $45 a Phoenix y de $60 de Los Ángeles a Albuquerque. Un total de 185 pasajeros abordó el avión en los Angeles y la venta de boletos hizo un total de $10,500. ¿Cuántos bajaron en Phoenix? 3. Se fabricará una crayola de 8 cm de largo y 1 cm de diámetro con 5 cm cm3 de cera de color. Debe tener la forma de un cilindro con una pequeña punta cónica (ver la figura). Encuentra la longitud x del cilindro y la altura “y” del cono.

4. Un hombre rema y recorre 500 pies en 10 minutos en una corriente constante y luego rema 300 pies río abajo (con la misma corriente) en 5 mim. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la que puede remar en aguas tranquilas. 5. Se va a construir una mesa grande en forma de rectángulo con dos semicírculos en lops extremos (ver la figura) para una sala de Centro Educativo Kinal

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conferencias. Debe tener un perímetro de 40 pies y el área de la porción rectangular tiene que ser el doble de la suma de las áreas de los dos extremos. Encuentra la longitud l y el anco w de la porción rectangular.

6. Una mujer tiene S15,000 para invertir en dos fondos que pagan interés simple de 6% y 8% anual. Los intereses del fondo de 6% son sin impuestos, no así los de 8%. Dado que está en un grupo de i9mpuestos altos, la mujer no desea invertir toda la suma en la cuenta de más rendimiento. ¿Hay forma de invertir el dinero de modo que reciba $ 1000 de intereses al término de un año?

7. Una población de gatos está clasificada por edad en cachorros (de menos de un año) y adultos (por lo menos de un año). Todas las hembras adultas, incluyendo las nacidas el año anterior, tienen una camada cada mes de junio. con un promedio de tres gatitos por camada. La población en primavera de cierta región se estima en 6,000 y la proporción de machos y hembras es uno a uno. Calcula el número de adultos y de cachorros en la población.

8. Un tanque de agua de 300 gal de capacidad se llena desde una sola línea, pero se pueden usar dos tubos de salida idénticos para alimentar de agua dos campos circundantes (ver la figura). Se emplean cinco horas para llenar el tanque cuando está vacío y ambos tubos de salida están cerrados; al cerrar uno de los tubos,

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se precisan tres horas. Encuentra el flujo (en galones por hora: gal/h) que entra y sale por los tubos.

9. Un comerciante desea mezclar cacahuates que cuestan $3 por libra con nueces de la India que valen $8 la libra, para obtener 60 lb de una mezcla con valor de $5 por libra ¿ Cuántas libras de cada variedad debe mezclar?

10.

Un platero tiene dos aleaciones , una de las cuales contiene

35% de plata y la otra 60%. ¿Cuánto de cada una debe fundir y combinar para obtener 100 g de una aleación con 50% de plata?

11.

Una aeronave, que vuela con viento de cola recorre 1200 mi en

2 h; el viaje de regreso, contra el viento le toma 2

1 h. Encuentra 2

la velocidad del aeroplano y la velocidad del viento (suponiendo que ambas son constantes).

12.

Una compañía papelera vende dos tipos de cuadernos a

librerías de escuelas, el primero a un precio de mayoreo de ¢50 y el segundo, en ¢70. La compañía recibe un pedido de 500 cuadernos, junto con un cheque de $286. Si el pedido no Centro Educativo Kinal

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especifica el número de cada tipo. ¿cómo se debe despachar el pedido?

13.

A medida que una pelota rueda hacia abajo en un plano

inclinado, su velocidad v(t) (en centímetros por segundo: cm/s) en el tiempo t (en segundos) está dada por y v(t ) = vo + at para una velocidad inicial vo y aceleración a (en cm/s2). Si v(2) = 16 y v (5) = 25 encuentra vo y a

14.

Una pequeña compañía mueblera fabrica sofás y sillones. Cada

sofá requiere 8 h de mano de obra y $60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $35 en 6 h, La compañía dispone de 340 h de mano de obra por semana y puede comprar $2 250 en materiales. ¿Cuántos sillones y sofás puede producir si debe utilizar todos los recursos materiales y humanos?

15.

Un ganadero está preparando una mezcla de avena y harina de

maíz para ganado. Cada onza de avena proporciona cuatro gramos de proteína y 18 g de carbohidratos, y 1 onza de harina de maíz, 3 g de proteína y 24 g de carbohidratos. ¿Cuántas onzas de avena y harina de maíz se requieren para satisfacer las metas nutricionales de 200 g de proteína y 1320 g de carbohidratos por ración?

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PROBLEMAS 1. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50; si se cuentan las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay? 3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas). 4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? 5. Se quieren mezclar vino de Q.60.00 con otro de Q.35.00, de modo que resulte vino con un precio de Q.50.00 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla? 6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente? 7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada mujer y un cuaderno a cada varón. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos varones y mujeres están en mi clase? 8. Un comerciante compra en un depósito 6 quintales de café y 3 de azúcar, por lo que paga Q.1530.00. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 quintal de café y 10 quintales de azúcar por lo que paga Q.825.00. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. ¿Podrías tú llegar a resolver el problema? 9. Con Q.1000.00 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 bolsas de comida para perro adulto y cachorros por un total de Q.960.00 Si la bolsa de comida para perro adulto cuesta Q.90.00 y la bolsa para

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perros cachorros cuesta Q.115.00. ¿Cuántos bolsas de comida ha comprado de cada tipo? 10. En un puesto de verduras se han vendido 2 cientos de naranjas y 5 cientos de plátanos por Q.835.00. y 4 cientos de naranjas y 2 plátanos por Q.1,285.00. Calcula el precio de cada ciento de naranja y plátanos. 11. Un comerciante, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a Q.75.00 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a Q.80.00 el Kg ¿Cuál es el precio del Kg. de cada calidad de café? 12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron Q.196,250.00. Si los adultos pagaban Q.400.00 y los niños Q.150.00. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron? 13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a Q.800.00 y otros a Q.1,200.00 con los que han obtenido Q.19,200.00. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio? 14. Un pastelero compra pasteles a Q.65.00 la unidad y pies a Q.25.00 cada uno por un total de Q.585.00. Como se le estropean 2 pasteles y 5 pies calcula que si vende cada pie a Q.3.00 más y cada pastel a Q.5.00 más de lo que le costaron perdería en total Q.221.00. ¿Cuántos pasteles y pies compró? 15. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. 16. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número. 17. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6. 18. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544. 19. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.

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20. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número? 21. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor. 22. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. 23. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco centavos. y otras de un centavo. ¿Puedo tener en total 78 centavos.? 24. Oscar y Roberto comentan: Oscar: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te quito 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno? 25. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de Q.2.20. Las monedas son de 5 y 25 centavos. ¿Cuántas monedas hay de cada valor? 26. Tenía muchas monedas de 25 centavos y las he cambiado por monedas de Q.1.00. Ahora tengo la misma cantidad en dinero pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo? 27. En la fiesta de un compañero se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de bebidas. Como a última hora ha acudido un compañero más nos han dado a todos una bebida menos y han sobrado 17. ¿Cuantas bebidas para repartir se tenía? 28. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba Q.300.00. a cada uno le sobraban Q.600.00. y si nos daba Q.500.00 le faltaban Q.1000.00 ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir? 29. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?

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28

30. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano? 31. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno? 32. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese Q.1.000.00 . a cada nieta y Q.500.00 a cada nieto se gastaría Q.6.600.00 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino? 33. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno? 34. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?

Problemas de Geometría 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho. 2. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones. 3. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo. 4. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados. 5. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? 6. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo? 7. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio. Centro Educativo Kinal

29

8. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos. 9. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo. 10. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.

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30

1.1.6

ECUACIONES CON MAS DE DOS VARIABLES

Para sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables, podemos usar cualquier método de los aprendidos. Utilicemos para el siguiente sistema, el método de eliminación por suma y resta (por adición o sustracción). El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que estudiaremos en esta sección. Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene una solución única, un número infinito de soluciones o no tiene solución. Método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales: Ejemplo 1: Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 ................................... (primer ecuación) 4x + 5y + 6z = 24 ............................... (segunda ecuación) 3x + y - 2z = 4 .................................. (tercera ecuación) Solución: Aplicando el método de suma y resta para introducirnos a las matrices, procedemos de la siguiente manera: Eliminaremos primero las x, para esto copiamos la primera ecuación tal y como está, multiplicamos la primera ecuación por -4 y sumamos el resultado con la segunda fila y escribimos el resultado en la segunda fila. -4(x + 2y + 3z = 9) -3y - 6z = -12 3x + y - 2z = 4 Copiamos las dos ecuaciones primeras y luego multiplicamos -3 por la primera ecuación, la sumamos con la tercera y escribimos la respuesta en el lugar donde está la tercera. -3(x + 2y + 3z = 9) -3y - 6z = -12 -5y - 11z = -23

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31

La razón de haber multiplicado por -4 la primera ecuación en el primer paso es porque teníamos 4x y para eliminarla, la otra tenía que ser -4x, de igual forma en el segundo, para eliminar la 3x, la otra debía ser -3x. Tenemos ahora la primera ecuación con tres variables y la segunda y tercera con dos variables, el objetivo es llevar a escalonarlas: la primera con 3 variables, la segunda con 2 y la tercera con 1 Nos falta entonces llevar a la tercera ecuación a que sea solo con una variable. Los coeficientes de la primera variable deben de ser 1; la primera ecuación ya es uno, pero la segunda ni la tercera no. Para que la segunda sea 1, dividimos la ecuación entre 3 y escribimos la respuesta en su mismo lugar x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 -5y -11z = -23 Ahora ya podemos eliminar la variable “y” en la tercera ecuación multiplicando la segunda por 5 y sumando el resultado con la tercera y escribiendo el resultado en el lugar de la tercera.

x + 2y + 3z = 9 5(y + 2z = 4) -z = -3 Nos queda entonces el sistema escalonado y el último resultado es el valor de esa variable, en este caso, z = 3 x + 2y + 3z = 9 y + 2z = 4 z=3 Para encontrar el valor de las otras variables sustituimos: Tomando la segunda ecuación y sustituyendo la z con el valor que encontramos nos queda: y +2(3) = 4 y+6=4 y=4–6 y = -2

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32

Conociendo los valores de “y” y de z, los sustituimos en la primera para encontrar el valor de la x. x x x x

+ 2y + 3z = 9 + 2(-2) + 3(3) = 9 –4+9=9 =4 x = 4, y = -2, z = 3.

Antes de introducirnos al tema de matrices, resolveremos el sistema por determinantes. Se procede de forma similar al de dos variables. x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Para encontrar el determinante, escribimos solo los coeficientes numéricos y volvemos a copiar al final las primeras dos columnas 1

2

3

1

2

4

5

6

4

5

3

1

-2

3

1

Luego multiplicamos como indican las flechas. Los productos de las flechas negras es suma. Los productos de las flechas rojas se restan. 1(5)(-2) + 2(6)(3) + 3(4)(1) – 3(5)(3) – 1(6)(1) – (-2)(4)(2) -10 + 36 + 12 – 45 – 6 + 16 = 3 El determinante entonces es 3. Este seré el divisor para encontrar el valor de cada una de las variables. Para encontrar cada una de las variables, procedemos a sustituir el valor de los términos independientes en la columna de la incógnita que se desea conocer su valor.

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33

x=

9

2

3

9

2

24

5

6

24

5

4

1

-2

4

1

9(5)(−2) + (2(6)(4) + 3(24)(1) − 4(5)(3) − 1(6)(9) − (−2)(24)(2) 3 − 90 + 48 + 72 − 60 − 54 + 96 x= 3 12 x= 3 x=4

x=

Para encontrar “y” sustituimos la columna de los coeficientes de la “y”, por los valores que están en el lado derecho del signo igual.

1 y= 4 3

9

3

1

9

24

6

4

24

4

-2

3

4

1(24)(−2) + 9(6)(3) + 3(4)(4) − 3(24)(3) − 4(6)(1) − (−2)(4)(9) 3 − 48 + 162 + 48 − 216 − 24 + 72 y= 3 y=

−6 3 y = −2 y=

Para encontrar z

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34

z=

1

2

9

1

2

4

5

24

4

5

3

1

4

3

1

1(5)(4) + 2(24)(3) + 9(4)(1) − 3(5)(9) − 1(24)(1) − 4(4)(2) 3 20 + 144 + 36 − 135 − 24 − 32 z= 3 9 z= 3 z=3 z=

1.2

MATRICES

Con referencia al sistema anterior, escribimos los coeficientes de las variables en una matriz. x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Primero comprobamos que las variables aparezcan en el mismo orden en cada ecuación y que los términos sin variables estén a la derecha de los signos de igualdad. En seguida anotamos los números que intervienen en las ecuaciones de esta forma:

Una ordenación de números de este tipo se llama matriz. Los renglones (o filas) de la matriz son los números que aparecen uno a continuación del otro en sentido horizontal: Centro Educativo Kinal

35

1 2 3 9 primer renglón R1 4 5 6 24 segundo renglón R2 3 1 -2 4 tercer renglón R3 Las columnas de la matriz son los números que aparecen uno junto del otro en sentido vertical Primera columna C1 1 4 3

Segunda columna C2 2 5 1

Tercera columna C3 3 6 -2

Cuarta columna C4 9 24 4

La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior es la matriz del sistema. Si borramos la última columna, la restante ordenación es la matriz de coeficiente. En vista de que podemos tener la matriz del sistema a partir de la matriz coeficiente agregando una columna, le decimos matriz coeficiente aumentada o simplemente matriz aumentada. Después, cuando usemos matrices para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, introduciremos un segmento de línea vertical en la matriz aumentada a fin de indicar dónde aparecerían los signos de igualdad en el sistema de ecuaciones correspondiente.

Sistema

Ejemplos: Sea la matriz:

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Matriz coeficiente Matriz aumentada

36

por tanto, es una "matriz de orden 2 x 3."

Sea la matriz:

por tanto, es una "matriz de orden 3 x 1."

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: Rj. a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de Ri. cero. Símbolo: kRi c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro Renglón. Símbolo: kRi + Rj Rj. Vamos a resolver ahorael primer ejemplo a través del uso de matrices.

Ejemplo. Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices

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37

equivalentes.

(-4)R1 + R2

R2

(-3)R1 + R3

R3

(-(1÷ 3))R2

(-1)R3

(-5)R2 + R3 Con

la

matriz

final

R2

R3

R3

regresamos

al

sistema

de

ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución. La matriz final de la solución es una forma escalonada. En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones: a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1. b.La diagonal de izquiera a derecha deben todos ser números 1 c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz, debajo de la diagonal..

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38

Ejemplo: Sea la matriz:

,

es "una matriz escalonada"

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz. (a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna. (b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes. (c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna. (d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes. (e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento. (f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada. Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ejemplo: Resuelve el sistema:

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39

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

R1

R4

R2

R3

(1)R1 + R3

R3

(-2)R1 + R4

R4

(-1)R2

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R2

(-(1÷ 2))R2

R2

(-1)R2 + R3

R3

(-1)R2 + R4

R4

40

(3)R3 + R4

R4

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:

(-(1÷ 2))R4

R4

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos: y - 2z - w = 6 y - 2(-2) - (-1) = 6 y+4+1=6 y=1

z=-2

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación: x + z + 2w = -3 x + (-2) + 2(-1) = -3 x - 2 - 2 = -3 x=1 Por lo tanto, el sistema tiene una solución: w = -1.

x = 1,

Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas utilizando matrices.

1.

 x − 2 y − 3 z = −1  2 x + y + z = 6  x + 3 y − 2 z = 13 

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2.

 x + 3 y − z = −3  3 x − y + 2 z = 1 2 x − y + z = −1 

y = 1,

z = -2,

41

3.

5 x + 2 y − z = −7  x − 2 y + 2z = 0 3 y + z = 17 

4.

4 x − y + 3z = 6  − 8 x + 3 y − 5 z = −6 5 x − 4 y = −9 

5.

2 x + 6 y − 4 z = 1  x + 3 y − 2z = 4 2 x + y − 3 z = −7 

6.

 x + 3 y − 3z = −5  2 x − y + z = −3 − 6 x + 3 y − 3 z = 4 

7.

2 x − 3 y + 2 z = −3  − 3 x + 2 y + z = 1 4 x + y − 3 z = 4 

8.

2 x − 3 y + z = 2  3 x + 2 y − z = −5 5 x − 2 y + z = 0 

9.

x + 3 y + z = 0  x + y − z = 0 x − 2 y − 4z = 0 

2 x − y + z = 0  10.  x − y − 2 z = 0 2 x − 3 y − z = 0 

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42

1.3

TEOREMA DEL BINOMIO

Un binomio es un polinomio que consta de solamente dos términos (a+b) si este binomio se eleva a un entero positivo n, entonces existe una fórmula para expandir este binomio (a + b)n. (Esto es para dejarla expresada como suma) por el teorema del binomio. En esta sección usaremos la inducción matemática para establecer esta fórmula general. Antes de entrar a conocer directamente este teorema, conoceremos el Binomio de Newton, para determinar los coeficientes que debe llevar cada término.

1.3.1BINOMIO DE NEWTON. (a + b)n

La siguiente tabla muestra los coeficientes que tendrá cada término después de desarrollarlo.

Exponente 0

coeficiente

2

3

4

5 Y así sucesivamente, las flechas escritas indican los números que se sumaron para encontrar el siguiente.

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43

Los exponentes van en orden descendente iniciando con el mismo número y con el segundo término van en orden ascendente. Ejemplo (a + b)5 Vamos a escribir sólo la primera letra con sus exponentes. a5 + a4 + a3 + a2 + a Ahora los exponentes del segundo término van en orden ascendente pero principia en el segundo término. a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5 Podemos ver que los términos inician y terminan con el mismo exponente que tiene afuera el paréntesis. Ahora los coeficientes los buscamos en el triángulo de pascal en donde dice exponente 5. Y nos queda: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

El Teorema del Binomio Sirve para encontrar solamente un término específico. Si tenemos el binomio (a + b)n en donde n es un número real, para encontrar el coeficiente de cualquier término, se utiliza la siguiente fórmula

n! En donde n es el exponente que se encuentra afuera del k!(n - k)! paréntesis, y k es el exponente de la b. C=

En general, para resolver un binomio de exponente n se procede de la siguiente manera:

Encontremos ahora el tercer término de (a + b)5 Para encontrar el coeficiente sabemos que podemos utilizar la fórmula C=

n! k!(n - k)!

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44

En donde n = 5 y k = 2. k es 2 porque como k inicia con cero entonces el tercer término corresponde a k: 0, 1, 2 . El signo ! se lee factorial. Para resolver un factorial, es una multiplicación sucesiva que inicia con el número indicado y va multiplicando por sus consecutivos descendientes, Definición de n! Si n = 0 0! = 1 Si n > 0 n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-n)

por ejemplo si me indican que encuentre 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Encontrar 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 Encontrar 7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040 Encontrar 8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40320 C=

n! k!(n - k)!

C=

5! 5 * 4 * 3 * 2 *1 5 * 4 = = = 10 2!(5 - 2)! 2 *1(3 * 2 * 1) 2

Y el tercer término completo quedaría 10a3b2

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE: 1. 2. 3. 4.

El exponente de afuera del paréntesis es n El exponente del término b es k El exponente de a es n – k k se encuentra restando 1 del número de términos

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45

Otro ejemplo Si tenemos el binomio (a + b)9 y nos dicen que encontremos el quinto término. n=9 k=5–1=4 El exponente de a es n – k = 9 – 4 = 5 Podemos encontrar entonces el coeficiente 9  9! 9! 9 * 8 * 7 * 6 * 5!   = = = = 3 * 7 * 6 = 126  4  4!(9 − 4)! 4!5! 4 * 3 * 2 * 1 * 5! Tenemos ya el coeficiente y como conocemos los exponentes podemos escribir El quinto término del binomio (a + b)9 es 126a5b4

Encontrar el coeficiente del quinto término de (a + b)9 Solución: Procedemos a aplicar la fórmula C=

n! k!(n - k)!

En donde n = 9 k = 4 porque k: 0, 1. 2. 3, 4 9! 9 *8* 7 * 6 * 5* 4 *3* 2 9 *8 * 7 * 6 9 * 7 * 2 = = = = 126 y el término 4!(9 - 4)! 4 * 3 * 2(5 * 4 * 3 * 2) 4 *3* 2 1 quedaría: 126a5b4

C=

n Evaluación de   k  Ejemplo 1

 5   5  5   5  5   5 Encuentra  ,  ,  ,  ,   y   0  1   2   3   4   5  Centro Educativo Kinal

46

Solución: Estos 6 números son los coeficientes de la expansión de (a+b)5 que resolvimos antes. Veamos: 5 5! 5! 5!   = = = =1  0  0!(5 − 0)! 0!5! 1 ∗ 5! 5 5! 5! 5! 5 * 4!   = = = = =5 4! 1  1!(5 − 1)! 1!4! 1 ∗ 4! 5  5! 5! 5! 5 * 4 * 3! 20   = = = = = = 10 2 * 3! 2  2  2!(5 − 2)! 2!3! 2 * 3! 5 5! 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1   = = = = = 10  3  3!(5 − 3)! 3!2! 3 * 2! 3 * 2 * 1 * 2 * 1 5  5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 * 1   = = = =5  4  4!(5 − 4)! 4!1! 4 * 3 * 2 * 1 * 1 5 5! 5! 5 * 4 * 3 * 2 *1   = = = =1  5  5!(5 − 5)! 5!0! 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1 Ejemplo 2 R Encuentra la expansión binomial de (2x + 3y2)4

Solución: Si utilizamos el triángulo de pascal para encontrar los coeficientes tendremos Exponente 0

coeficiente 1 1

2

1

3 4

1 1

2

1

3 4

3 6

1 4

1

Entonces los coeficientes son 1, 4, 6, 4 y 1 y sabemos que los exponentes principian con el mismo y van disminuyendo y el segundo inicia en el segundo término y va aumentando Centro Educativo Kinal

47

(2x + 3y2)4=1(2x)4+ 4(2x)3(3y2) + 6(2x)2(3y2)2 + 4(2x)(3y2)3 + 1(3y2)4 (2x + 3y2)4 = 16x4 + 4(8x3)(3y2) + 6(4x2)(9y4) + 8x(27y6) + 81y8 (2x + 3y2)4 = 16x4 + 96x3y2 + 216x2y4 + 216xy6 + 81y8

(

Ejemplo 3 Encuentra el quinto término de la expansión de x 3 + y Solución: Tomando a = x3 y b =

)

13

y , el exponente de b del quinto

término es k = 5 – 1 = 4 y por consiguiente el exponente de a es n – k = 13 – 4 = 9. Conociendo ya los exponentes, busquemos entonces el coeficiente.

( ) ( y)

13  3   x 4 

9

4

4

4  1 13! 13! 27 2 13 * 12 * 11 * 10 * 9! 27 2 = x 27  y 2  = x y = x y = 715 x 27 y 2 4!(13 − 4)!   4!9! 4 * 3 * 2 * 1 * 9!

Ejemplo 4 Encuentre el término en donde está q10 en la expansión 1  binomial de  p + q 2  3 

12

Solución: De acuerdo con el enunciado del teorema del binomio n = 12 k no lo conocemos pero sí sabemos que (q 2 ) = q 10 , entonces k = 5 k

1  y el exponente de  p  es n – k = 12 – 5 = 7 3 

Como también sabemos que k es igual al término menos 1, entonces el término será k + 1 = 5 + 1 Sabemos entonces que q10 se encuentra en el término número 6 y com solamente nos falta encontrar el coeficiente, podemos hallar el término 12  12! 12! 12 * 11 *10 * 9 * 8 * 7!   = = = = 792 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 7!  5  5!(12 − 5)! 5!7! 7

792 7 10 88 7 10 1   1  Y el término es 792 p  (q 2 ) 5 = 792 p 7 q 10 = p q = p q 2187 243 3   2187 

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48

Ejercicios: Evalúa la Expresión 1.

2!6!

2.

3!4!

3.

7!0!

4.

5!0!

5.

8! 5!

 5    5

8  12.    4

6.

6! 3!

9.

7.

7! 5!

7 10.   0

13  13.   4 

8.

9! 6!

7 11.   5

 52  14.   2 

En los siguientes ejercicios, escribe nuevamente la expresión pero que no contenga factoriales

1.

2.

n! (n − 2)!

(n + 1)! (n − 1)!

3.

(2n + 2)! (2n)!

4.

(3n + 1)! (3n − 1)!

Escribe de forma expandida los siguientes binomios, puedes utilizar el teorema del binomio o el triángulo de pascal para encontrar los coeficientes e cada término 1.

(4x – y)3

2.

(x2 + 2y)3

3.

(a + b)6

4.

(a + b)4

5.

(a – b)7

6.

(a – b)5

7.

(3x – 5y)4

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8.

(2t – s)5 1 2  x+ y  3  

5

9.

1  10.  c + d 3  2 

4

 1  11.  2 + 3 x  x 

6

 1  12.  3 − 2 x  x 

5

1   13.  x −  x 

5

1   14.  x +  x 

5

49

Sin expandir por completo, Encuentra los términos indicados de la expresión dada. 25

1.

4  25   3c + c 5  Primeros tres términos    

2.

(x

3.

(4b −1 − 3b)15 Ultimos tres términos

4.

( s − 2t 3 )12 Ultimos tres términos

5.

 3 c2   +  Sexto término c 4 

6.

(3a − b )

7.

1   u + 4v  Quinto término 3 

8.

(3x2 – y3)10 Cuarto término

9.

1  12   x + y 2  Término del medio    

3

+ 5 x −2

)

20

Primeros tres términos

7

9

Quinto témino 8

8

10. (rs2 + t2)7

Los dos términos del medio

11. (2y + x2)8 Término que contiene x10 12. (x2 – 2y3)5 Término que contiene y6 13. (3b3 – 2a2)4 Término que contiene b9 14.

(

c+ d

)

8

Término que contiene c2

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53

2.1 ALGORITMO DE HORNER OBJETIVOS:










Aprender el concepto intuitivo de función Determinar el dominio de una función Enunciar la definición formal de función Calcular valores de funciones Calcular cocientes diferencia Efectuar operaciones con funciones Definir la gráfica de una función Encontrar el dominio y el contradominio de una función Dibujar la gráfica de funciones

Estamos tan acostumbrados a ver los polinomios expresados como suma de monomios, que cuando tenemos que implementar un algoritmo para evaluarlos tendemos a interpretar tal cual la expresión y a codificarla tal y como lo haríamos a mano con ayuda de una calculadora. Por ejemplo para evaluar un polinomio como P(x)=3x3-2x2+5x-1, cuando x vale 7, vamos calculando el primer monomio: primero sacamos 73, y lo multiplicamos por 3... luego 72, y lo multiplicamos por -2... así sucesivamente, y luego lo sumamos todos los resultados. Esto no supone mayor problema cuando evaluamos un polinomio sencillo para un solo valor, como x=7, pero ¿Y si necesitamos evaluar un polinomio una y otra vez para varios valores distintos de x? Vamos a plantearnos cómo hacerlo lo mejor posible con la ayuda del esquema de Horner, como de costumbre con un enfoque básico. Simplemente pretendemos ilustrar cómo a veces, un poco de análisis y reflexión permiten construir algoritmos más eficientes. El algoritmo de Horner propone una forma de evaluar los polinomios descritos como una suma de monomios. El algoritmo se basa en el Esquema de Horner, una forma de reescribir los polinomios atribuida a

William George Horner, un

matemático inglés del siglo XIII, más conocido por la invención del Centro Educativo Kinal

54

Zootropo, un aparato que mostraba imágenes creando la ilusión de animación. Tomemos como ejemplo el que hemos comentado al principio: P(x)=3x3-2x2+5x-1 Este polinomio está compuesto de cuatro monomios. Cada monomio es un coeficiente que multiplica a una variable x, que está elevada a un número. Ese número es el grado del monomio. El primer monomio es de grado 3 y el último es de grado 0. Bien. vamos a calcular el valor del polinomio para un valor cualquiera de x. Hagámoslo primero de la forma tradicional, encontremos p(7) P(7) = 3(7)3 – 2(7)2 + 5(7) – 1 P(7) = 3(343) – 2(49) + 35 -1 P(7) = 1029 – 98 + 34 P(7) = 965 Este ejercicio no presenta mayor dificultad al resolverlo de la forma tradicional

que

hemos

aprendido,

sin

embargo

implica

multiplicaciones que debemos resolver aún sin tener calculadora Resolvámoslo ahora por el algoritmo de Horner siempre con x = 7. P(x)=3x3-2x2+5x-1 Paso 1:

Sin importar el grado del polinomio, lo tomamos como si

fuera de segundo grado y factorizamos la x 3x2 – 2x = x(3x – 2) Paso 2:

Escribimos ahora nuevamente la x afuera de un corchete y

dentro de él lo que ya tenemos y adicionamos el tercer término y sin la x porque ya la factorizamos.

x[x(3x − 2) + 5]

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55

Como el último término ya no tiene x no escribimos más

Paso 3:

símbolos de agrupación sino que solamente agregamos este término y sustituimos con el valor que nos dieron y resolvemos.

P( x) = x[x(3 x − 2) + 5] − 1 Si duda que este polinomio es el mismo del que iniciamos, resuélvalo y se dará cuanta que no es diferente.

P(7) = 7[7(3 * 7 − 2) + 5] − 1 P(7) = 7[7(21 − 2) + 5] − 1 P(7) = 7[7(19) + 5] − 1 P(7) = 7(133+5) – 1 P(7) = 7(138) – 1 P(7) = 966-1 P(7) = 965 Al parecer como si fuera más complicado, sucede que es la primera vez que lo vemos. Hagamos otro ejemplo de mayor grado. P( x) = x 7 − 3x 6 + 4 x 5 − 2 x 4 + x 3 − 4 x 2 + 2 x − 6 Nuevamente tomamos los primeros dos términos

Paso 1:

factorizados como si fueran de segundo grado x( x − 3)

Paso 2:

Tomando ahora los 3 términos

x[x( x − 3) + 4] Paso 3:

x{x[x( x − 3) + 4] − 2}

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56

Paso 4:

No importa qué signo queramos agregar, todos los

símbolos de agrupación son iguales

x( x{x[x( x − 3) + 4] − 2} + 1) Paso 5:

x[x( x{x[x( x − 3) + 4] − 2} + 1) − 4] Paso 6:

x{x[x( x{x[x( x − 3) + 4] − 2} + 1) − 4] + 2} − 6 p(x) = x{x[x( x{x[x( x − 3) + 4] − 2} + 1) − 4] + 2} − 6 Ahora ya podemos encontrar cualquier valor Encontremos P(5) P(5) = 5{5[5(5{5[5(5 − 3) + 4] − 2} + 1) − 4] + 2} − 6

P(5) = 5{5[5(5{5[5(2 ) + 4] − 2} + 1) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[5(5{5[10 + 4] − 2} + 1) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[5(5{5[14] − 2} + 1) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[5(5{70 − 2} + 1) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[5(5{68} + 1) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[5(340 + 1) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[5(341) − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[1705 − 4] + 2} − 6 P(5) = 5{5[1701] + 2} − 6 P(5) = 5{8505 + 2} − 6 Centro Educativo Kinal

57

P(5) = 5{8507} − 6 P (5) = 42535 − 6 P (5) = 42529

Después de este ejercicio podemos darnos cuenta que el número de pasos es uno menos que el exponente, podemos escribir entonces de una sola vez el resultado del siguiente polinomio P(x) = 3x5 – 4x4 + 2x3 – 6x2 -5x + 2 Escribimos entonces cuatro veces las x cada una del lado izquierdo de un símbolo de agrupación, sin importar qué símbolo escribimos primero.

x( x[x{x}]) Como ya escribimos 4 veces la x, iniciamos a cerrar los símbolos con los primeros dos términos, el primer coeficiente y la x con el segundo coeficiente y así sucesivamente, al ir cerrando los símbolos ya no se escriben x, solamente coeficientes.

P( x) = x( x[x{x(3x − 4) + 2} − 6] − 5) + 2 Encontremos ahora p(3)

P(3) = 3(3[3{3(3 * 3 − 4) + 2} − 6] − 5) + 2 P(3) = 3(3[3{3(9 − 4) + 2} − 6] − 5) + 2 P(3) = 3(3[3{3(5) + 2} − 6] − 5) + 2 P(3) = 3(3[3{15 + 2} − 6] − 5) + 2 P(3) = 3(3[3{17} − 6] − 5) + 2 P(3) = 3(3[51 − 6] − 5) + 2 Centro Educativo Kinal

58

P(3) = 3(3[45] − 5) + 2 P(3) = 3(135 − 5) + 2 P(3) = 3(130) + 2 P (3) = 390 + 2 P (3) = 392

Ejercicios: Aplicando el algoritmo de Horner encuentre el valor de los siguientes polinomios para x = 2, 3 y 4. 1. 2.

x2 – 6x + 1 x2 – 9x + 3

3.

2x3 – 6x2 + 4x + 4

4.

4x3 – 5x2 + 8x – 6

5.

x4 – 5x3 + 2x2 -4x + 2

6. 7.

x4 – 6x3 + 2x2 – 6x + 5 2x5 – 7x4 + 4x3 – 9x2 + 4x -10

8.

3x5 – 4x4 + 6x3 – 8x2 + 3x – 3

9. 3x6 + 2x5 – 6x4 – 5x3 – 6x2 + 2x – 1 10. x6 – 6x5 + 2x4 – 6x2 + 2x – 6

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2.2 FUNCIONES Y GRAFICAS FUNCION: En este capítulo, nosotros no estudiaremos la historia de las matemáticas sino que iremos directamente a estudiar lo que nos interesa para poder comprender correctamente nuestro tema y hacer así mejores aplicaciones del mismo. En matemáticas, la palabra Función, es un término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades, utilizando para su graficación un plano cartesiano en el cual se localizan pares ordenados (x,y) a los cuales se les llama variables. A los valores del eje x se les llama independientes y a los del eje “y”, valores dependientes.

Nota: cuando hagamos referencia a la variable dependiente o sea al eje “y”, siempre lo escribiremos entre comillas. Si no aparece entre comillas, será una conjunción, excepto cuando esté escrita la función como ecuación, por ejemplo f ( x ) = y o con subíndices o exponentes, en este caso no la escribiremos entre comillas ya que no hay forma de equivocarse

Los valores, tanto de la variable dependiente, como de la variable independiente, son números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y” es función de x indica la interdependencia entre las variables x y “y”; A los valores que pueda tener el eje x o variable independiente, se les denomina Dominio y a los valores de la variable dependiente o eje “y” se les denomina Codominio, contradominio, imagen o rango. Cuando escribimos una función y = 3 x 2 + 2 x − 5 , como sabemos que f ( x) = y , nos es más fácil escribirla de esta forma cuando deseamos encontrar valores de una función. Por ejemplo Dada la función f ( x) = 3 x 2 + 2 x − 5 encuentre f (2)

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60

Solución: En este ejemplo nos piden que encontremos cual es el valor de “y” cuando la x vale 2 f (2) = 3(2) 2 + 2(2) − 5 f (2) = 3(4) + 4 − 5 f (2) = 11

Definición de Función: Una función es una relación de correspondencia de parejas uno a uno, es decir que para cada valor de x existirá uno y solo uno en el eje “y”. Nota: Cuando tenemos una gráfica, existe una forma de comprobar si es función o no. Se traza una línea recta vertical y si esta toca dos puntos de la gráfica, entonces no es función.

Y

y

x

No es función

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x

Si es función

61

2.3

GRÁFICAS DE FUNCIONES

Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, Contradominio, rango o imagen, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio. Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, su contradominio son también todos los números reales, y la expresión analítica es un polinomio de primer grado.

Definición f: R —> R / f(x) = ax+b donde a y b son números reales, es una función lineal Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b Para mejor comprensión, escribiremos la ecuación estandar tal y como la aprendimos en la ecuación de la recta f(x) = mx + b Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = 3x+7, h: h(x) = 4

Definición: Las primer grado.

funciones

lineales

son

polinomios

de

Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. La letra que aparece con la variable x, es el nombre que se le pone a la función, tal y como se le pone nombre a las personas. Hacemos esta observación porque en algunas ocasiones encontramos las funciones con otros nombres no solamente como f(x) Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7

b(x) = -4x+3

f(x) = 2x + 5 + 7x - 3 De estas funciones, vemos que la f(x) no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma mas sencilla, f(x) = 9x + 2

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62

Vamos a graficar una función, que tal como lo vimos en la definición, y en la ecuación de la recta, es una función lineal por ser de primer grado. Ejemplo 1: Graficar f(x) = 2x – 6 Solución: Esta es una línea recta que atraviesa al eje “y” en -6 y por cada x que avanza sube 2 en “y” por ser su pendiente 2 y positiva. La gráfica es la siguiente.

2.3.1

FUNCION CONSTANTE:

Una función es constante cuando su gráfica es una recta horizontal, es decir, que cuando se avanza en el eje x, en el eje “y” se mantiene constante, no sube ni baja. Ejemplo 2: analicemos las gráficas que aparecen a continuación

¿Que diferencia fundamental y muy importante hay entre las funciones h y j? Parecería, a primera vista, que son muy parecidas. Las la ecuación de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3 Centro Educativo Kinal

63

Sin embargo, son muy distintas porque mientras la función h tiene como dominio todos los números reales, la función j tiene como dominio los números naturales. Y como entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos. Esto es, entre el 17 y el 18 no hay ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número reales. He ahí la diferencia. La representación gráfica de h es una línea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos. Esto, por supuesto, ocurre no solo si son funciones constantes. Es para cualquier función.

El dominio es muy importante. Cuando no se especifica el dominio y contradominio, se supone que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de R en R.

Veamos otro ejemplo: Esta función, llamada

q,

¿ será lineal ? Supongamos, además, que es una función de R en R.

Para determinar esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.

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Dominio Codominio

X

y

4

1

7

2

13

4

16

9

Dominio: de 4 a 7 aumenta en 3 aumenta en 1

Codominio: de 1 a 2

Dominio: de 7 a 13 aumenta en 6 Codominio: de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece que si Dominio: de 13 a 16 aumenta en 3 Codominio: de 4 a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación Cada 3 unidades de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9" no esta de acuerdo con esto, por lo tanto no es una función lineal. ¿Que número tendría que estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal ?

RESUMEN:

Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio o contradominio real, cuya expresion analítica es con

m

y

f: R —> R / f(x) = mx+b

b números reales.

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente origen es

m, y la ordenada en el

b.

¿como puedo hayar el punto de corte de la recta con el eje x? Igualando o cero el eje “y” ¿como puedo hayar el punto de corte de la recta con el eje “y”? Igualando a cero el eje x Centro Educativo Kinal

65

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta? Conociendo la pendiente y un punto por donde pasa ¿Cómo puedo encontrar la pendiente de una recta?

a.

Conociendo dos puntos por donde pasa, utilizando la fórmula y − y1 m= x − x1

b.

Si la ecuación está escrita de forma estandar o canónica:

f(x) = mx+b, ya está dada , m c.

es la pendiente

Si la ecuación está dada en forma general:

Ax + by + c = 0 A − m= B

¿Cómo puedo encontrar el punto de intersección de la recta en el eje “y” conociendo su ecuación?

a.

Si la ecuación está dada en forma estandar

el punto de intersección ya está dado, es

b.

f(x) = mx+b,

b

Si la ecuación está dada en forma general, la intercección “y” se encuentra de la siguiente forma

C − b= B

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66

Nota:

Siempre que nos digan Codominio, contradominio, Rango, reflejo o imagen, se están refiriendo al mismo conjunto, los valores que contiene el eje “y” en una función.

Ejemplo 3. Sea f la función con dominio en los reales tal que f(x)=4x2 + 5x – 3. Encuentre f (−6) , f

( 3 ),

f (a + b) , f (a ) + f (b) .

Solución: Para resolver estos ejercicios, debemos sustituit el valor que nos dan, en todos los lugares en donde se encuentre la x en la ecuación. f (−6) = 4(−6) 2 + 5(−6) − 3 f (−6) = 4(36) − 30 − 3 f (−6) = 144 − 33 f ( −6) = 111

Esto significa que cuando la x vale -6, la “y” vale 111 f

( 3 ) = 4( 3 )

f

( 3 ) = 4(3) + 5( 3 ) − 3

f

( 3 ) = 12 + 5

f

( 3)= 9 + 5

2

( )

+5 3 −3

3 −3 3

Significa que cuando la x vale

3 , la “y” vale aproximadamente 17.66

f (a + b) = 4(a + b) 2 + 5(a + b) − 3 f (a + b) = 4(a 2 + 2ab + b 2 ) + 5a + 5b − 3 f (a + b) = 4a 2 + 8ab + 4b 2 + 5a + 5b − 3 f (a ) + f (b) = (4a 2 + 5a − 3) + (4b 2 + 5b − 3) f (a ) + f (b) = 4a 2 + 5a − 3 + 4b 2 + 5b − 3 f (a ) + f (b) = 4a 2 + 5a + 4b 2 + 5b − 6

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67

Observemos que f (a + b) ≠ f (a ) + f (b) Ejemplo 4.

Dada la función g ( x) =

x+2 , encuentre 1− x

a) El dominio b) g(7), g(-2), Solución: a) Para encontrar el dominio, que son todos los valores que puede tener x, vemos si existe alguna operación que no se pueda resolver. En este caso, no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos, por lo tanto x + 2 ≥ 0, despejando la x x ≥ -2 Significa que la x no puede tener valores menores que -2 porque el resultado sería un número negativo. A continuación podemos darnos cuanta que también hay una variable en el denominador y sabemos que no se puede dividir entre cero, entonces: 1–x≠0 1≠x la x entonces no puede ser igual a 1 porque el denominador se volvería cero y no se podría dividir. Por lo tanto: Los valores que puede tener x en el numerador son desde -2, incluido, hasta el infinito, pero como en el denominador no puede ser 1, el dominio que en los intervalos

D[− 2,1)U (1, ∞) c) Para hallar los valores de g, sustituimos con x g (7 ) =

7+2 1− 7

g (7 ) =

9 −6

g (7 ) =

3 −6

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68

g (7 ) = −

1 2

g ( −2) =

−2+2 1 − ( −2 )

g ( − 2) =

0 1+ 2

g (−2) =

0 3

g ( −2 ) = 0

Ejemplo 5. y codominio

Trazar la gráfica de f ( x) = x − 1 y encontrar su dominio

Solución: Para trazar la gráfica podemos imaginarnos y = x − 1 y ver cual es la variable que estaría elevada al cuadrado, que en este caso sería la “y”, entonces sería una parábola horizontal hacia la derecha, pero como es una raíz, la parábola está restringida solamente al lado positivo de las “y”, por lo tanto buscamos el vértice que es cuando la raíz se vuelve cero, sería cuando la x valga 1, luego nos alajamo uno hacia arriba y decimos uno al cuadrado es uno y nos alejamos una hacia la derecha. Luego nos alejamos dos del vértice y decimos dos al cuadrado igual a cuatro y nos alejamos 4 hacia la derecha y así sucesivamente.

Para encontrar el dominio tenemos que encontrar los valores que puede tener x, sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos, entonces el resultado tiene que ser positivo. En la gráfica presentada anteriormente podemos ver cual es el dominio y su codominio

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69

x–1≥0 x ≥ 1 Como no tenemos denominador, el dominio es [1, ∞ ) El codominio como son los valores de “y”, vemos que la “y” solamente tiene valores positivos, por lo tano el el codominio es

[0, ∞)

Ejemplo 6. Trazar la gráfica de f ( x) = 9 − x 2 y encontrar el dominio y codominio Solución: Usando nuestra imaginación, podemos darnos cuenta que x2 + y2 = 9, que corresponde a una circunferencia, pero como es una raíz, la gráfica es de una semicircunferencia en el eje positivo de las “y” y radio 3, entonces la gráfica nos queda de la siguiente forma

Quedando el dominio cerrado de – 3 hasta 3 y el codominio también cerrado de 0 a 3 Podemos encontrar el dominio también analíticamente de la siguiente forma. Procedemos a encontrar el dominio. 9 – x2 ≥ 0 Factorizando (3 + x)(3 – x) ≥ 0 Igualamos a cero cada factor para encontrar los intervalos en los cuales el resultado es positivo 3+x=0

3–x=0

x = -3

3=x

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70

Localicemos los ceros del polinomio en la recta numérica, para localizar con mayor facilidad los intervalos y hacemos la tabla.

3+x 3-x

− ∞,−3 + -

-3, 3 + + +

3, ∞ + -

Y encontramos el mismo dominio analizado anteriormente, de -3 hasta 3. Ejemplo 7 Trazar la gráfica de f ( x) = − x 2 − 9 y encontrar el dominio y codominio Solución: Sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a números negativos, sin embargo, el resultado después de haber extraído la raíz cuadrada, tiene que ser negativo por el signo que se encuentra afuera del radical. Sabemos entonces que la gráfica estará en el eje negativo de las “y”. Procedemos a encontrar el dominio. x2 – 9 ≥ 0 Factorizando (x + 3)(x – 3) ≥ 0 Igualamos a cero cada factor para encontrar los intervalos en los cuales el resultado es positivo x+3=0

x–3=0

x = -3

x=3

Localicemos los ceros del polinomio en la recta numérica al igual que el anterior, para localizar con mayor facilidad los intervalos y hacemos la tabla.

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71

x+3 x–3

− ∞,−3 +

-3, 3 + -

3, ∞ + + +

El dominio se encuentre entonces en los intervalos positivos desde menos infinito hasta menos 3 unido con el otro intervalo de 3 al infinito Dominio (− ∞,−3]U [3, ∞ ) La gráfica que nos queda es la siguiente.

El codominio es (− ∞ − 0]

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72

2.4 SIMPLIFICACION DE UN COCIENTE DIFERENCIA. La forma de simplificar un cociente de diferencia es la siguiente: m=

f ( x + h) − f ( x) h

En donde m es la pendiente de la recta tangente al punto dado. Ejemplo 8 Simplifique el cociente de diferencia para simplificar la función f ( x) = x 2 + 6 x − 4 Solución:

[

] [

f ( x + h ) − f ( x ) ( x + h ) 2 + 6( x + h ) − 4 − x 2 + 6 x − 4 = h h

[

]

]

f ( x + h) − f ( x ) x 2 + 2 xh + h 2 + 6 x + 6h − 4 − x 2 − 6 x + 4 = h h f ( x + h) − f ( x) x 2 + 2 xh + h 2 + 6 x + 6h − 4 − x 2 − 6 x + 4 = h h f ( x + h) − f ( x) 2 xh + h 2 + 6h = h h f ( x + h ) − f ( x ) h ( 2 x + h + 6) = h h f ( x + h) − f ( x ) = 2x + h + 6 h

Ejemplo 9 Hay que fabricar un tanque de acero para gas en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida a cada extremo. Aún no se establece el radio r. Expresa el volumen V (en pies3) del tanque como función de r (en pies).

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73

Solución: El tanque aparece en la figura. Encontramos el l volumen de la parte cilíndrica del tanque y luego el de los extremos y la suma de estos será el volumen del tanque. El volumen de un cilindro se encuentra multiplicando el área de la base por la altura. Vc = πr 2 h Vc = πr 2 (10) Vc = 10πr 2

Las dos semiesferas de los extremos forman una esfera completa. La fórmula para encontrar el volumen de la esfera es: 4 Ve = πr 3 3

El volumen total del tanque es 4   V = 10πr 2 + πr 3  3   2 Factorizando V = πr 2 (15 + 2r ) 3

Ejemplo 9 Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo, uno hacia el oeste a razón de 17 miph y el otro al sur a 12 miph. Si t es el tiempo (en h) después de su salida, expresa la distancia d entre los barcos como función de t.

Solución: El problema aparece en la figura anterior, de esta forma podemos visualizarlo correctamente. Como nos indican que uno va hacia el oeste y e otro hacia el sur, sus trayectorias forma un Centro Educativo Kinal

74

triángulo rectángulo el cual podemos resolver por el teorema de Pitágoras. d 2 = a2 + b2 Y como la distancia es igual a la velocidad por el tiempo. a = 17t b = 12t d = (17t ) 2 + (12t 2 )

d = 289t 2 + 144t 2 d = 433t 2 d ≈ 20.8t

Ejercicios: 1. Si f(x) = - x2 – x – 4 Encuentra f(-2), f(0) y f(4) 2. Si f(x) = - x3 – x2 + 3 Encuentra f(-3), f(0) y f(2) 3. Si f ( x) = x − 4 − 3 x Halla f(4), f(8) y f(13) x 4. Si f ( x) = , Halla f(-2), f(0) y f(3) x−3 En los siguientes ejercicios, si a y h son números reales, encuentra a)

f(a)

b)

f(-a)

c) – f(a)

e)

f(a) + f(h)

f)

f ( a + h) − f ( a ) , si h ≠ 0 h

d) f(a + h)

5.

f(x) = 5x – 2

6.

f(x) = 3 – 4x

7.

f(x) = - x2 + x + 4

8.

f(x) = 3 – x2

9.

f(x) = x2 – x + 3

10. f(x) = 2x2 + x – 7

En los ejercicios que se presentan a continuación, si a > 0, Encuentra a)

1 g  a

b)

1 g (a)

c) g

( a)

11.

g(x) = 4x2

12.

g(x) = 2x – 5

13.

g ( x) =

2x 2 x +1

14.

g ( x) =

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x2 x +1

d)

g (a )

75

determina el dominio D y la Imagen R de la función representada en la figura.

15.

16.

Para la gráfica de la función f dibujada en la figura, determina a) El dominio. B) El rango o contradominio c) f(1) d) Toda x tal que f(x) = 1 e) Toda x tal que f(x) > 1

17.

18.

En las funciones que aparecen en las siguientes gráficas a. Halla el dominio D y la imagen R de f. b. Determina los intervalos en los que f aumenta, disminuye o es constante. 19.

20.

En las siguientes funciones, encuentre el dominio

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76

21.

f ( x) = 2 x + 7

22.

f ( x) = 2 − 3x

23.

f ( x) = 9 − x 2

24.

f ( x) = 4 − x 2

25.

f ( x) = x 2 − 9 x −1 f ( x) = 2 x − 4x 2x − 3 f ( x) = 2 x − 5x + 4 2x f ( x) = 2 6 x + 13 x − 5 1 f ( x) = ( x − 3) x + 3

26.

f ( x) = x 2 − 16 x +1 f ( x) = 3 x − 4x 4x − 3 f ( x) = 2 x −4 x−4 f ( x) = x−2

27. 29. 31. 33.

f ( x) = x 2 − 8 x + 12

35. En las a) b) c) d)

37. 39. 41. 43. 45. 47.

49.

28. 30. 32. 34.

f ( x) = x + 2 + 2 − x

36.

f ( x) =

x+2 x+2

siguientes funciones: Traza la gráfica Encuentra el dominio D Encuentra la imagen R Encuentra los intervalos en los cuales f es creciente, decreciente o constante.

f(x) = f(x) = f ( x) = f(x) =

3x – 2 4 – x2 x+4 2

f ( x) = 25 − x 2 3 si x ≤ -1 f (x) =  - 2 si x > - 1

si x < - 2 3  f (x) = - x + 1 si x ≤ 2 - 3 si x > 2 

38. 40. 42. 44. 46. 48.

50.

f(x) = f(x) = f ( x) = f(x) =

-2x + 3 x2 – 1 4− x 3

f ( x) = 16 − x 2 - 1 si x es un entero f (x) =  - 2 si x no es un entro

- 2x  f ( x ) = x 2 - 2 

si x < - 1 si - 1 ≤ x < 1 si x ≥ 1

si x ≤ -1 si x ≤ -2 x + 2 x − 3  3  2 51. f ( x) = x si x < 1 52. f ( x) = - x si - 2 < x < 1 − x + 3  si x ≥ 1  - x + 4 si x ≥ 1 El símbolo x denota valores de la función mayor entero o máximo

entero. Traza la gráfica de: 53.

f ( x) = x − 3

54.

f ( x) = x − 3

55.

f ( x) = 2 x

56.

f ( x) = 2 x

57.

f ( x) = − x

58.

f ( x) = x + 2

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77

59.

f ( x) = x + 2

60.

f ( x) =

f ( x + h) − f ( x ) , para h ≠ 0 h f(x) = -2x2 + 3 1 f ( x) = 2 x

Simplifica el cociente de diferencias 61.

f(x) = x2 – 3x

62.

63.

f(x) = x2 + 5

64.

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1 x 2

78

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79

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80

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81

3.1

FUNCIONES CUADRATICAS

OBJETIVOS:
Identificar cuando una ecuación corresponde a una función cuadrática
Trazar gráficas de funciones cuadráticas
Encontrar los ceros de una función cuadrática
Resolver problemas que impliquen funciones cuadráticas

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f ( x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,y) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, escribo aquí dos funciones cuadráticas muy sencillas con su respectiva gráfica: •

f(x) = x2

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f(x) = -x2

82

3.1.1 Vértice de una parábola

El vértice de una parábola está situado en su eje. Para que sea función debe estar ubicado en el eje “y”, por tanto, su abscisa será el punto medio y este será su eje de simetría. En este punto, en el eje de las ordenadas (eje “y”), se ubicará el punto máximo o mínimo, dependiendo hacia donde se abra la parábola. Para encontrar la coordenada del vértice en el eje x, podemos utilizar la fórmula x = −

b y luego este valor lo sustituimos en la ecuación 2a

para encontrar la coordenada en el eje “y”, que será el máximo o mínimo.

Por ejemplo: si me dan la ecuación f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 7 , para encontrar el vértice, encuentro primero la coordenada en el eje x

Como a = 2 b = -4

Aplicando la fórmula x = −

b 2a

x=−

−4 4 = x=1 2( 2) 4

Tenemos ya la abscisa, solamente nos falta encontrar la ordenada para tener el vértice. Para encontrar la coordenada en el eje “y”, que en este caso será un mínimo por ser positivo el valor de a, que es el coeficiente de la x2, tomamos la ecuación y sustituimos el valor que encontramos de x. y = 2(1) 2 − 4(1) + 7 y = 2−4+7 y=5

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83

Tenemos entonces que el vértice es V(1, 5).

Podemos decir entonces que su eje de simetría es 1 y su valor mínimo es 5.

Tracemos ahora su gráfica. Para trazar la gráfica de una función cuadrática, necesitamos conocer su ecuación estandar que es la siguiente: f ( x) = a ( x − h) 2 + k

Esta es la forma que aparecerá en cualquier libro de algebra que consultemos, pero nosotros la trabajaremos de otra forma, que aunque es la misma, nos confundirá menos

Para demostrar que es la misma, escribiré la otra partiendo de esta misma y es la que más me servirá posteriormente, inclusive para las secciones cónicas.

f (x) = a(x − h)2 + k y = a ( x − h) 2 + k y − k = a ( x − h) 2

En donde el vértice es V(h, k) y a es el coeficiente que se multiplicará por el número que se aleje del vértice elevado al cuadrado. La

ecuación

anterior

f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 7

y = 2 x 2 − 4 x + 7 para llevarla a la forma y − 7 = 2x 2 − 4x

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la

podemos

escribir

84

El número que tiene la x2 hay que escribirlo afuera del paréntesis aunque no sea factor común y en lo que nos queda dentro del paréntesis hay que hacer una Completación al cuadrado

y − 7 = 2( x 2 − 2 x ) Recordemos

que

para

hacer

la

completación

al

cuadrado,

el

coeficiente del término del medio se divide entre dos y el resultado se eleva al cuadrado, en este caso, para que la ecuación no cambie, multiplicamos el número que estamos agregando por el que está afuera del paréntesis y este resultado se le agrega del otro lado y − 7 + 2 = 2( x 2 − 2 x + 1) ( y − 5) = 2( x − 1) 2 Tenemos nuevamente que el vértice es V(1, 5) los números, salen con el signo cambiado.

Para trazar la gráfica, localizamos el vértice y luego nos alejamos uno hacia los lados, lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por dos, ya

que

el

número

que

está

afuera

del

paréntesis

es

dos,

seguidamente nos alejamos 2 unidades, lo elevamos al cuadrado que nos da 4 y luego lo multiplicamos por dos que es el número que está afuera y nos da 8, entonces nos alejamos 8 a partir de la dirección del vértice

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85

3.1.2

Intersección de la parábola con los ejes

•

Intersección con el eje “Y”: Como todos los puntos (c) de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje “Y” tendrá de coordenadas (0,c)

•

Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.



Discriminante: Se le llama así al resultado de la operación que

se efectúa dentro del radical

b 2 − 4ac

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas: i.

Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje x en dos puntos distintos

ii.

Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje x en un punto el cual será el vértice

iii.

Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje x.

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86

•

Cálculo de puntos de la parábola

•

Podemos hallar los puntos de la parábola que necesitemos sin más que sustituir, en la ecuación de la función cuadrática, la variable x por aquellos valores que deseemos

Resumen Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que: 

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2.



Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.



Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.



Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.



Existe un único punto de corte con el eje “Y”, que es el (0,c)



Los cortes con el eje X se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.

 

b . 2a La ecuación estandar de la parábola es f ( x) = a ( x − h) 2 + k

La coordenada del vértice es x = −

Ejemplo 2 Dala la función f ( x) = −3 x 2 + 24 x − 50 a) b) c) d)

Encuentre el eje de simetría El valor máximo o mínimo El Vértice Trace la gráfica

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87

Solución: Como sabemos que todo lo podemos adquirir de la ecuación estandar, procedemos a encontrarla y + 50 = −3 x 2 + 24 x y + 50 - 48 = -3(x2 – 8x + 16) y +2 = -3(x – 4)2 Podemos

responder

entonces

todas

las

preguntas.

Para

no

confundirnos indiquemos primero el vértice V(4, -2) De aquí podemos indicar que el eje de simetría es x = 4 Como a es negativo, concluimos que la parábola tiene un máximo. Valor máximo y = -2 Luego, para trazar la gráfica nos ubicamos en el vértice y nos alejamos uno hacia el derecho o izquierdo y lo elevamos al cuadrado y lo multiplicamos por 3, entonces contamos 3 unidades hacia abajo por ser negativo. Nos alejamos ahora 2 y decimos: dos al cuadrado 4, por 3 = 12 y en esa ,misma línea nos alejamos 12 hacia abajo.

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88

Ejemplo 3: Utilice la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de la función f ( x) = 2 x 2 + x − 3 Como nos piden que encontramos los ceros de la función, esto significa que tenemos que encontrar cuando vale la x cuando la y valga cero, o bien, nos piden que encontremos los puntos en donde la gráfica corta al eje x.

La fórmula cuadrática es x =

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a − 1 ± 12 − 4(2)(−3) 2(2)

x=

− 1 ± 1 + 24 4

x=

− 1 ± 25 4

x=

x1 =

−1± 5 4

−1+ 5 4 = 4 4

x1 = 1 x2 =

−1− 5 − 6 = 4 4 x2 = −

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3 2

89

Ejemplo 4 Encuentre la ecuación estandar de la parábola que tiene su vértice en V(3, 5), suponiendo que a = 1 Solución: Como nos piden la ecuación estandar, procedemos a escribirla como hemos aprendido y − 5 = ( x − 3) 2 f ( x) = ( x − 3) 2 + 5 Ejemplo 5 Encuentre la ecuación general de la recta cuyo vértice es V(1, 3) y uno de sus brazos pasa por el punto P(4, 21), Solución: Procedemos a resolverla escribiendo la forma estandar, pero como en este caso no nos dicen que a = 1, procedemos a buscar el valor de a para escribir la ecuación de cualquier forma que nos indiquen. y − 3 = a ( x − 1) 2 x y “y” son los valores que tiene la ecuación en el punto que nos dan, entonces sustituimos 21 − 3 = a (4 − 1) 2 18 = a (3) 2 18 = 9a

a=

18 9

a=2

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90

Podemos escribir entonces la ecuación estandar, ya que conocemos el vértice y a y − 3 = 2( x − 1) 2 f ( x) = 2( x − 1) 2 + 3 Esta es la ecuación estandar, pero como nos piden la ecuación general, resolvemos las operaciones indicadas f ( x) = 2( x 2 − 2 x + 1) + 3 f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 2 + 3 f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 5 Ejemplo 6: A partir de una lámina metálica rectangular y larga de 12 pulgadas de ancho, hay que fabricar un canal doblando hacia arriba dos lados, de modo que sean perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas pulgadas deben doblarse para dar al canal su máxima capacidad? Solución: Recordemos que los máximos o mínimos están en el vértice y son valores que corresponden al eje “y”. Denotemos entonces x como la cantidad de pulgadas que se deben doblar

x

x

Como tenía 12 pulgadas de ancho y se le está doblando una cantidad x o sea desconocida, el ancho del canal queda 12 – 2x.

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91

El área máxima que le queda al canal para que baje el agua es alto por ancho, como el alto es x y el ancho 12 – 2x, el área en este caso es “y” y nos queda y = x(12 – 2x) y = 12x – 2x2 y = – 2x2 + 12x Entonces el área máxima nos quedará encontrando el valor de x en el vértice. x=−

b 2a

x=−

12 2( − 2)

x=3 Este es el lugar en donde se encuentra el área máxima aunque esta no sea. y = -2(3)2 + 12(3) y = -2(9) + 36 y = -18 + 36 y = 18 Deben doblarse tres pulgadas a cada lado de la lámina y el área máxima del canal será de 18 pulgadas cuadradas. Buscando lo que se debe doblar por ensayo y error: Si no doblamos nada, el ancho es el mismo Centro Educativo Kinal

92

A = 12 * 0 = 0 Doblando 1 pulgada de cada lado, el ancho queda de 10 pulgadas y el alto de 1 A = 10 * 1 = 10 Doblando 2 pulgadas a cada lado A = 8 * 2 = 16 Doblando 3 pulgadas a cada lado A = 6 * 3 = 18 Doblando 4 pulgadas a cada lado A = 4 * 4 = 16 Doblando 5 pulgadas a cada lado A = 2 * 5 = 10 Doblando 6 pulgadas a cada lado, ya no nos queda ancho A=0*6=0 Podemos ver que el área va aumentando desde cero hasta llegar al máximo y luego vuelve a bajar hasta cero nuevamente. Ejemplo 7 El director de un teatro estima que si organiza una presentación y cobra Q.300.00 por persona, podría contar con 500 espectadores; pero calcula que por cada descuento de Q.10.00 a cada boleto, esto le supondría un ingreso de 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de descuentos en el precio y cuál es el máximo de descuentos que puede hacer.

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93

Observa la tabla: Q. descuento

0

1

2

x

Precio

300

300 –10

300 – 20

300 –10 x

No espectado res

500+100*1

500+100*2

500+ 100x

500

Ingresos

300*500

(300-10)(500+100.10)

(300-20)(500+100.20)

(300-10x)(500+100x)

Los ingresos obtenidos son G ( x ) = ( 300 − 10 x )( 500 + 100 x )

G ( x ) = 150000 + 30000 x − 5000 x − 1000 x 2

G(x) = 150000 + 25000 x − 1000 x 2 siendo x el no. de descuentos, en el precio de la entrada. b 2a 25000 x=− 2(−1000) 25000 x= 2000 x = 12.5 El máximo de descuentos que puede hacer para obtener la máxima ganancia es de 12.5. x=−

Ejercicios: En los ejercicios que se le dan a continuación: a) Localice el vértice b) establezca el valor máximo o mínimo c) indique el eje de simetría d) Trace la gráfica 1.

f(x) = x2 –6x + 4

2.

f(x) = x2 + 2x +3

3.

f(x) = -x2 – 4x - 3

4.

f(x) = -x2 – 2x + 8

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94

5.

f(x) = - x2 – 2x – 8

6.

f(x) = -x2 – 6x – 10

7.

f(x) = 2x2 – 12x + 22

8.

f(x) = 2x2 + 12x + 7

9.

f(x) = 3x2 – 6x + 5

10. f(x) = 3x2 + 12x +3 11. f(x) = - 4x2 + 16x – 13 12. f(x) = - 5x2 – 20x + 17 13. f ( x) =

1 2 5 x +x− 2 2

14. f ( x) =

1 2 5 x +x+ 2 2

1 15. f ( x) = − x 2 + 3 x − 5 3 1 4 7 16. f ( x) = − x 2 + x − 3 3 3

17. f ( x) =

2 2 12 23 x − x− 5 5 5

18. f ( x) =

3 2 x + 6 x + 14 4

En los siguientes ejercicios a) utiliza la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de f (esto es en donde cruza la gráfica el eje x b) Encuentra el valor máximo o mínimo c) Traza la gráfica

1)

f(x) = x2 – 4x

2)

f(x) = -x2 – 6x

3)

f(x) = -12x2 + 11x – 15

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95

4)

f(x) = 6x2 + 7x – 24

5)

f(x) = 9x2 + 24x + 16

6)

f(x) = - 4x2 + 4x – 1

7)

f(x) = x2 + 4x + 9

8)

f(X) = - 3x2 – 6x – 6

9)

f(X) = - 2x2 + 20x – 43

10) f(x) = 2x2 – 4x – 11

Los siguientes datos son vértices correspondientes a parábolas. Encuentre la ecuación estandar de cada una, suponiendo que a =1 1)

V(3, 1)

2)

V(0, 2)

3)

V(-4, 5)

4)

V(-3, -1)

5)

V(0, -3)

6) 7) 8) 9) 10)

V(-2, 0) V(4, 3) V(5, 2) V(3, -5) V(-4, 2)

Encuentre la ecuación general de la parábola cuyo vértice está dado y un punto por donde pasa uno de sus brazos. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

V(3, – 1); P(4, 0) V(2 1) ; P(3, 3) V(3, 1) ; P(2, 4) V(0, -2); P(2, 10) (2, 0); P(4, 12) V(1, 3); P(3, 15) V( -3, 4); P(5, 36) V(-2, 1); P(2, 9)

Resolver correctamente los siguientes problemas.

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96

1)

La tasa de crecimiento “y”, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en libras. mediante la formula y = cx(21 - x), en la cual c es una constante positiva, y 0 < x < 21 . ¿A que peso se tiene la tasa máxima de crecimiento?

2)

El número de millas M que puede viajar cierto automóvil con un galón de gasolina, a una velocidad de v millas por hora, es 1 5 M = − v2 + v para 0 < v < 70 30 2 a) Calcule la velocidad más económica para un viaje. b) Obtenga el valor máximo de M.

3)

Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con velocidad inicial de 144 pies/seg Su distancia s(t) en pies sobre el piso a los t segundos esta dada por la ecuación s ( t ) = − 16 t 2 + 144 t + 100

a) b)

Calcule su altura máxima sobre el piso. Obtenga la altura del edificio

4)

Calcule dos números reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea máximo.

5)

Calcule dos números reales cuya diferencia sea 40 y su producto sea mínimo.

6)

En la construcción de 6 jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de maya como se ve en la figura. a. Exprese el ancho “y” como función de la longitud “x” b. Exprese el área A como función de “x” c. Encuentre las dimensiones que maximicen el área encerrada.

7)

Un granjero desea cercar un campo rectangular para luego dividirlo en tres lotes rectangulares, colocando dos cercas paralelas a uno de los lados. Si solo cuenta con 1 000 yardas de maya. Qué dimensiones dará el área rectangular máxima?

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8)

Las trayectorias de los animales saltadores son normalmente parabólicas. La longitud del salto de una rana es de 9 pies, y la altura máxima sobre el piso es de 3 pies. Encuentre la ecuación de la trayectoria del salto de la rana.

9)

En la década de 1940, Emmanuel Zacchini realizaba con regularidad el acto de la bala humana en el circo Ringling Brothers and Barnum & Bailey. La boca del cañón estaba a 15 pies del suelo y la distancia horizontal total que recorría era de 175 pies. Cuando el cañón se apunta a un ángulo de 45o la ecuación del tiro parabólico (ve la figura) tiene la forma y = ax2 + x + c. a) Con la información dada. determina una ecuación del vuelo. b)

Encuentra la altura máxima alcanzada por la bala humana.

El peso de una sección de un puente colgante se distribuye de manera uniforme entre dos torres gemelas que están a 400 pies de distancia una de la 10)

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98

otra y se elevan 90 pies sobre la calzada horizontal. El cable sujeto entre los extremos de las torres tiene la forma de una parábola y su punto central está a 10 pies sobre la calzada. Si se introducen ejes coordenados. a) b)

Encuentre una ecuación para la parábola Se utilizan 9 cables verticales equidistantes para sostener el puente. Indica la longitud total de estos soportes.

11)

Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura, “y”, de la pelota sobre el nivel del suelo viene dada por: y = − 5 t 2 + 20 t + 80 ; donde t es el numero de segundos que han transcurrido desde el instante que se lanzo la pelota. a. Que altura alcanza la pelota para x = 0, x = 2 y x = 5? b. Cuando alcanzara el punto mas alto? .A que altura está ese punto? c. haga una representación grafica que muestre la trayectoria de la pelota.

12)

Se quiere cercar un terreno rectangular con 30 m de tela metálica. Como el área cercada depende de la longitud de la tela ¿Cuanto deben medir los lados del cercado para que la superficie delimitada sea máxima?

13)

Un viajero quiere alcanzar un tren en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y el tiempo son, en cada caso: Viajero: Sv = 400t Tren: St = 500 + 30t2 Representa las graficas correspondientes. producirse el alcance? .¿En que momento?

14)

¿Llega

a

La distancia que un vehículo recorre a partir del momento en que se empieza a frenar depende del cuadrado de la velocidad del vehículo, de acuerdo con la siguiente formula: d = V2/100 donde la velocidad v viene expresada en km/h y d es la distancia recorrida en metros (distancia de frenado).

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99

a. Si vas circulando a 90 km/h y pisas el freno, .que distancia recorres hasta que se detiene el vehículo? b. Si circulas en caravana y la distancia que te separa del vehículo que va delante de tí es de unos 100 metros, ¿cual es la velocidad máxima a la que debes circular para evitar una colisión? c. En autopistas la velocidad máxima es de 120 km/h, para camiones; para vehículos es de 100 km/h y para automóviles con remolque es de 80 km/h. .Cual es la distancia de frenado para cada uno de estos vehículos a esa velocidad?

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100

3.2 OPERACIONES CON FUNCIONES Con las funciones también podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y otras más (composición de funciones).Veamos: Consideremos las dos funciones f y g , la suma f + g , la diferencia f f − g , el producto f • g y el cociente se definen como sigue: g i ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ii ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) iii ( f • g )( x) = f ( x) • g ( x) f  f ( x)  ( x) = g ( x) g El dominio en cada caso consiste en la intersección de los dominios de f y g y en el cociente g ( x) ≠ 0

iv

Funciones inversas: Si f y g son dos funciones tales que f (g(x)) = g( f (x)) = x, entonces f y g son funciones inversas. Ejemplo 1 Si f (x) = x + 3 y g(x) = x - 3, f y g son inversas pues, f (g(x)) = (x - 3) + 3 = x y g( f (x)) = (x + 3) - 3 = x.

Ejemplo 2 Dada f ( x) = 2 x 2 + 3 x − 1 , encuentre a) f (1) b) f (0) c) f (−2) d) f (2 x 2 − 1) e) f (a ) + f (h) f ( a + h) − f ( a ) f) f (a + h) g) h Solución: Como nos están dando una función y datos para evaluar la función, sustituimos len la función con los valores dados, en todos los lugares en donde se encuentre la x. a) f (1) = 2(1) 2 + 3(1) − 1 f (1) = 2 + 3 − 1 f (1) = 4 Esto lo podemos interpretar que cuando la x vale 1, la “y” vale 4 b) f (0) = 2(0) 2 + 3(0) − 1 f ( 0) = 0 + 0 − 1 f ( 0) = − 1 Significa que cuando la x vale cero, la “y” vale – 1 c) f (−2) = 2(−2) 2 + 3(−2) − 1 f ( − 2) = 2( 4) − 6 − 1 f (−2) = 1 Cuando la x vale –2 la “y” vale 1 Centro Educativo Kinal

101

d)

f (2 x 2 − 1) = 2(2 x 2 − 1) 2 + 3(2 x 2 − 1) − 1 f (2 x 2 − 1) = 2(4 x 4 − 4 x 2 + 1) + 6 x 2 − 3 − 1 f (2 x 2 − 1) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 + 6 x 2 − 4 f (2 x 2 − 1) = 8 x 4 − 2 x 2 − 3

e)

f)

f (a ) + f ( g ) = (2a 2 + 3a − 1) − (2h 2 + 3h − 1) f (a ) + f ( g ) = 2a 2 + 3a − 1 − 2h 2 − 3h + 1 f (a ) + f (h) = 2a 2 + 3a − 2h 2 − 3h f (a + h) = 2(a + h) 2 + 3(a + h) − 1 f (a + h) = 2(a 2 + 2ah + h 2 ) + 3a + 3h − 1 f (a + h) = 2a 2 + 4ah + 2h 2 + 3a + 3h − 1

[

] [

]

f (a + h) − f (a ) 2(a + h) 2 + 3(a + h) − 1 − 2(a ) 2 + 3(a ) − 1 = h h 2 2 f (a + h) − f (a ) 2(a + 2ah + h ) + 3a + 3h − 1 − (2a 2 + 3a − 1) = h h 2 2 f (a + h) − f (a ) 2a + 4ah + 2h + 3a + 3h − 1 − 2a 2 − 3a + 1 = h h 2 f (a + h) − f (a ) 4ah + 2h + 3h = h h Factorizando la h f (a + h) − f (a ) h(4a + 2h + 3) = h h 2 f ( a + h) = 4a + 2 h + 3 g)

[

Ejemplo 3 Si f(x) = x – 5 Encuentre: a)

]

y

g(x) = x2 – 1

( f + g )( x) b) ( f − g )( x) c) ( f * g )( x)

d)

f   (x) g

g e)  (x) f 

Y su dominio en cada una Solución: Primero procedemos a efectuar las operaciones indicadas ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f + g )( x) = ( x − 5) + ( x 2 − 1) ( f + g )( x) = x − 5 + x 2 − 1 ( f + g )( x) = x 2 + x − 6 Sabemos que al efectuar operaciones con funciones, el dominio de la función resultante es la intersección de las funciones principales

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102

Entonces: como el dominio de F(x) son los números reales y el dominio de g(x) también son los números reales, entonces la intersección de números reales con números reales son los números reales. b) ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x) ( f − g )( x) = ( x − 5) − ( x 2 − 1) ( f − g )( x) = x − 5 − x 2 + 1 ( f − g )( x) = − x 2 + x − 4 Dominio los Reales

c)

( f * g )( x) = ( x − 5)( x 2 − 1) ( f * g )( x) = x 3 − x − 5 x 2 + 5 ( f * g )( x) = x 3 − 5 x 2 − x + 5 Dominio los Reales

f  x −5 d)  ( x) = 2 Dominio los Reales excepto –1 y 1 porque es x −1 g donde el denominador se vuelve cero g x2 −1   e)  ( x) = Dominio los Reales Excepto 5 pues cuando x x −5 f  vale 5 el denominador se vuelve cero

Ejemplo 4 Si f ( x) =

x +1 ; x −1

g ( x) =

1 Encuentre ( f + g )( x) y el dominio en cada x

una

x +1 1 + x −1 x x( x + 1) + 1( x − 1) ( f + g )( x) = x( x − 1)

( f + g )( x) =

x2 + x + x −1 ( f + g )( x) = x( x − 1) x2 + 2x − 1 x( x − 1) Dominio de f(x) Los Reales excepto 1 ( f + g )( x) =

Dominio de g(x) Los reales excepto cero Dominio de ( f + g )( x) Los reales excepto (0, 1)

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103

3.3

Composición de funciones:

Dadas las funciones f y g, la función denotada por ( f o g )(x) , se define como ( f o g )( x ) = f ( g ( x)) . El dominio de la función compuesta son todos los valores de x que estén en el dominio de la segunda y que pertenezcan al dominio del resultado de la composición La función compuesta es la función de una función. Ejemplo ilustrativo:

Ejemplo 5 Dadas f ( x) = x 2 − 1 y g ( x) = x + 3 Hallar a) ( f o g )( x) , b) ( g o f )( x) y determinar el dominio en cada una Solución:

(

)

2

a) ( f o g )( x) = x + 3 − 1 ( f o g)x = x + 3 −1 ( ( f o g )( x) = x + 2 Como la segunda es g(x), para encontrar su dominio, sabemos que no se le puede sacar raíz cuadrada a los números negativos, x + 3 ≥0 X≥-3 Por los tanto, el dominio de g(x) es [− 3, ∞ ) Y como el dominio de la composición son los números reales, Dominio de ( f o g ) [− 3, ∞ ) porque es todo el conjunto g(x) que está contenido en el dominio de la composición b) ( g o f )( x) = x 2 − 1 + 3 = ( g o f )( x) = x 2 + 2 Ahora, como el segundo es f(x), el dominio de este es el que tiene que estar completo en el dominio de la composición.

El dominio de f(x) son los números reales. El dominio de la composición son también los números reales, ya que aunque le asignemos números negativos a la x, al elevarlos al cuadrados siempre serán positivos y a este resultado sumarle 2 seguirán siento positivos. Por lo tanto, como dominio de f(x) (−∞, ∞) Centro Educativo Kinal

104

Dominio de ( g o f )( x) = (−∞, ∞) Ejemplo 6 Si f ( x) =

1 x

y

g ( x) = x

Encuentre

a) ( f o g )( x) , b) ( g o f )( x) y determinar el dominio en cada una Solución: 1 ( f o g )( x) = x Como el dominio de la g(x) x ≥ 0 y el dominio de la composición son los números reales excepto 0, entonces Dominio ( f o g )( x) = (0, ∞) Sin tomar en cuenta el cero.

Ejemplo 6 Si f ( x) = x − 2 y g ( x) = x 2 − 2 Encuentre a) ( f o g )( x), b) ( g o f )( x) y el dominio de cada una. Solución: a)

( f o g )( x) = ( x 2 − 2) − 2

( f o g )( x) = x 2 − 4 Ahora para encontrar el dominio, sabemos que tenemos que tomar en cuenta la segunda que es g(x) y el resultado.

Como el dominio de g(x) son los números reales y el dominio de la composición x2 – 4 ≥ 0, por lo tanto, el dominio de ( f o g )( x) son los reales que estén contenidos en x2 – 4 ≥ 0; Entonces el dominio es: (− ∞,−2]U [2, ∞ )

(

b) ( g o f )( x) = x − 2 ( g o f )( x) = x − 2 − 2 ( g o f )( x) = x − 4

)

2

−2

Para encontrar el dominio, buscamos el dominio de la segunda, que ahora es f(x), que esté contenida en la composición. Como el dominio de f(x) es x – 2 ≥ 0 y el dominio de la composición son los números reales, entonces el dominio son los números mayores o iguales a 2 que estén contenidos en los números reales. Centro Educativo Kinal

105

Dominio [2, ∞ ) Ejercicios: En los ejercicios que se dan a continuación, encuentre: b) ( f − g )(3) a) ( f + g )(3) c)

( fg )(3)

1. 2.

f(x) = x + 3 f(x) = - x2

f   (3) g g(x) = x2 g(x) = 2x – 1 d)

En los siguientes ejercicios encuentra: a) ( f + g )( x) b) ( f − g )( x) c)

( fg )( x)

3. 4.

f ( x) = x 2 + 2 f ( x) = x 2 + x

f   ( x) g g ( x) = 2 x 2 − 1 g ( x) = x 2 − 3

5.

f ( x) = x + 5

g ( x) = x + 5

6. 7. 8.

d)

e) El dominio de cada operación

f ( x) = 3 − 2 x g ( x) = x + 4 2x x f ( x) = g ( x) = x−4 x+5 x 3x f ( x) = g ( x) = x−2 x+4 los ejercicios que se le dan a continuación encuentre: ( f o g )( x) b) ( g o f )( x) ( f o f )( x) d) ( g o g )( x)

En a) c) 9. f ( x) = 2 x − 1 g ( x) = − x 2 10. f ( x) = 3 x 2 g ( x) = x − 1 En los siguientes ejercicios encuentra: a) ( f o g )( x) b) ( g o f )( x) c) f ( g (−2)) d) g ( f (3)) 11. f(x) = 2x – 5 g(x) = 3x + 7 12. f(x) = 5x + 2 g(x) = 6x – 1 2 13. f(x) = 3x + 4 g(x) = 5x 14. f(x) = 3x – 1 g(x) = 4x2 15. f(x) = 2x2 + 3x – 4 g(x) = 2x – 1 16. f(x) = 5x – 7 g(x) = 3x2 – x + 2 En los siguientes ejercicios encuentra: a) ( f o g )( x) b) ( g o f )( x) c) El dominio de cada una 17. f ( x) = x 2 − 3 x g ( x) = x + 2 18.

f ( x) = x − 15

g ( x) = x 2 + 2 x

19.

f ( x) = x 2 − 4

g ( x) = 3x

20.

f ( x) = − x 2 + 1

g ( x) = x

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106

21.

f ( x) = 3 − x

g ( x) = x + 2

22.

f ( x) = x − 4

g ( x) = x 2 − 16

23

f ( x) = x − 2

g ( x) = x + 5

24.

f ( x) = x 3 + 5 3x + 5 f ( x) = 2 1 f ( x) = x −1

g ( x) = 3 x − 5 2X − 5 g ( x) = 3

25. 26. 27.

f ( x) = x 2

28.

x x−2 x −1 f ( x) = x−2 x+2 f ( x) = x −1

29. 30.

f ( x) =

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g ( x) = x − 1 1 x3 3 g ( x) = x x−3 g ( x) = x−4 x−5 g ( x) = x+4 g ( x) =

107

3.4

FUNCIONES INVERSAS

Antes de definir lo que es la función inversa de una función f necesitamos conocer qué es una función uno a uno (función inyectiva que también se le llama función biunívoca).

Definición: Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada “y”, y diferentes coordenadas x.

Teorema: Funciones uno a uno 1) Si f(a) = f(b) para al menos un par ordenado de valores del dominio a y b, para a diferente de b , entonces f no es una función uno a uno. Por ejemplo: En la función f(x) = x2+ 4x + 3 f(1) = (1)2 + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 f(1) = 8 f(-5) = (-5)2 + 4(-5) + 3 = 25 – 20 + 3 = 8 f(-5) = 8 Como f(1) = f(-5), entonces f no es una función uno a uno. Nota: La única forma que sea función uno a uno y que f(a) = f(b) es cuando es una función constante, pero en este caso todas las f(x) serán iguales puesto que es una línea recta horizontal. Pero si encontramos que f(a) = f(b) ≠ f(c) no será una función constante como en el ejemplo 1 si tomamos otro valor por ejemplo f(3) f(3) = (3)2 + 4(3) +3 = 9 + 12 + 3 = 24 f(1) = f(-5) ≠ f(3) Ejemplos para discusión: Determina si f es uno a uno. 1) f(x) = 2x - 1 2) f(x) = 4 - x2 Ejercicio de práctica: Determina si f(x) = 4 - 2x es uno a uno. Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a uno similar al de identificar si una gráfica corresponde a una función. Centro Educativo Kinal

108

Recordemos que para ver si la gráfica corresponde a una función, trazamos una recta vertical y si toca dos puntos de la gráfica, entonces no es función. Ahora, para ver si la gráfica corresponde a una función inyectiva se traza una recta horizontal y si intersecta solo un punto de la gráfica o ninguno, entonces la función es uno a uno que se le llama Inyectiva o biunívoca. Si por el contrario, si cada recta horizontal intersecta la gráfica en más de un punto, entonces la función no es uno a uno.

Teorema: Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal intersecta la gráfica de la función en un punto o en ninguno cuando es función constante. Nota: Una función constante es función uno a uno. Ejemplos: 1. f(x) = x2 Trazamos la gráfica

No es función uno a uno (No es Función inyectiva), (es función biyectiva) porque al trazar una recta horizontal sobre ella toca dos puntos de la gráfica. 2.

f(x) = 2x + 4

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109

Sí es función uno a uno porque al trazar rectas horizontales no toca dos puntos de la gráfica.

Teorema: Si una función f es creciente o decreciente en todo su dominio o toda su trayectoria, entonces f es una función uno a uno (Función inyectiva). Por ejemplo, las funciones lineales son crecientes o decrecientes en los números reales ; f(x) = x3 es una función creciente en su dominio que es los números reales. F(x) = x2 no es función uno a uno porque tiene una parte decreciente y otra creciente (es función biyectiva).

Funciones inversas

Definición: Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f −1 , es la función formada al invertir todos los pares ordenados en f. Por tanto: f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f} Si f no es una función uno a uno, entonces f no tiene una inversa y f −1 , pero sí es posible convertirla para que tenga función inversa, restringiendo parte del dominio. Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observa que f es −1 una función uno a uno. Por tanto, f = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}. Propiedades de las funciones inversas:

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110

Si f

−1

1)

f

−1

existe, entonces: es una función uno a uno

2) dominio de f −1 = recorrido de f 3) recorrido de f −1 = dominio de f En nuestro ejemplo anterior: 1) dominio de f es {1,2,3}. 2) recorrido de f es {2,4,9}

Dominio de f es el recorrido de f −1 . Recorrido de f es el dominio de f −1 .

3) dominio de f −1 es {2,4,9} Dominio de f-1 es el recorrido de f. 4) recorrido de f −1 es {1,2,3}. Recorrido de f-1 es el dominio de f. Como observarás hallar la inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados es fácil, pues sólo se intercambian los valores de x por los de “y”. Pero, ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una ecuación? Veamos el procedimiento algebraico en los siguientes ejemplos para discusión. Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa, esto es, en un sistema de coordenadas, los puntos (x, y) y (y, x) son simétricos con respecto a la recta y = x. Ejemplos para discusión: 1) Dibuja la gráfica de f(x) = x - 5 usando tablas de valores, asigna a x los valores: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Luego dibuja en el mismo plano la gráfica de y = x. (que aparece en la gráfica en color rojo) Intercambia las coordenadas de los pares ordenados de f(x) y construye la nueva gráfica, que es la inversa de f(x) (esta gráfica de f –1(x) es la que aparece en azul). Observa que los puntos de f(x) y los puntos de f-1(x) son simétricos con respecto a la recta y = x.

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111

Como ya expliqué anteriormente, que los valores de f(x) se invierten para la función inversa, podemos comprobarlo con este ejercicio. Si y = x – 5, localicemos los valores de y conforme a los valores de x que di anteriormente de –3 a 7, basta con que tomemos algunos valores. Y sin hacer nada más cambiemos el orden de los números para ver si coincide con los valores encontrados en la otra gráfica

X

y

-3 -2 -1 0 1 2

-3 – 5 = -8 -2 – 5 = -7 -1 – 5 = -6 0 – 5 = -5 1 – 5 = -4 2 – 5 = -3

x

y

-8 -7 -6 -5 -4 -3

-3 -2 -1 0 1 2

Esto también se puede hacer despejando la x y luego cambiando los ejes, x cambiarlo por “y”. f(x) = x – 5 Y=x–5 Despejando la x y+5=x Cambiando la x por y y=x+5 Trazando ahora esta gráfica encontramos la misma que hicimos anteriormente.

Ejercicios: En los siguientes ejercicios, encuentra f no existe y porqué x 1 2 3 4 1. F(x) 2 4 6 8

2.

x g(x)

-1 -1

0 -2

1 -1

2 2

3.

x F(x)

-1 -3

0 0

1 3

2 6

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−1

(1) , g-1(3) o establece que

112

x g(x)

4.

1 2

2 3

3 2

4 -1

Determine si las funciones correspondientes a los siguientes ejercicios son biunívocas 1 1) f ( x) = x+3 2) 1 f ( x) = 2x + 4 1 3) f ( x) = 2 x 4)

f ( x) =

1 2 x2

5) f ( x) =

1 x −1 2

6) f ( x) =

1 x −4 2

7) f ( x) =

1 1 − x2

8) f ( x) =

1 4 − x2

9) f ( x) = x 2 − 1 10) f ( x) = −3 x 2 − 2 11) f ( x) = −2 12) f ( x) = 5 13) f ( x) = x 3 + 1 14) 1 f ( x) = x 3 + 2 2 15) 1 f ( x) = 2 x +1 16) 1 f ( x) = 1− x2 Centro Educativo Kinal

113

En los siguientes ejercicios utiliza el teorema de funciones inversas para probar que g(x) es función inversa de f(x) y trace la gráfica en el mismo plano coordenado cartesiano. x+2 g ( x) = 17) f(x) = 3x – 2 3 2 18) f(x) = x + 5 g ( x) = x − 5 19)

f(x) = -x2+ 3

g ( x) = 3 − x

3

20) f(x) = x – 4 g ( x) = 3 x + 4 En los siguientes ejercicios encuentra la función inversa de f 1 21) f(x) = 3x – 2 27) f ( x) = x+3 3x − 2 22) f(x) = 2x + 1 28) f ( x) = x+5 23)

f(x) = -x + 4

29)

f(x) = 2 – 3x2

24)

f(x) = 2x2 – 4

30)

f(x) = 4x2 + 2

25)

f(x) = 3x2 + 6

31)

f ( x) = 3 − x

32)

f ( x) = 3 − 2 x

26)

f ( x) =

1 3x − 2

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117

4.1

DIVISION SINTETICA

Objetivos
Encontrar los factores de una expresión algebraica a través de la división sintética
Trazar la gráfica de funciones polinomiales de grado mayor que 2
Encontrar las asíntotas de funciones racionales
Trazar la gráfica de funciones racionales La división sintética es un proceso práctico para encontrar el cociente y el residuo de una división de un polinomio entero de grado mayor que 2, entre otro polinomio de grado 1. Por ejemplo: si dividimos 3x4 – 5x3 + 4x2 –10x + 12 entre x + 3 Solución Primero procedemos a igualar el divisor, que es x + 3, a cero y despejamos x x+3=0 x= –3 Luego escribimos todos los coeficientes del polinomio dividendo, con su mismo signo, colocando una línea vertical en cualquier lado y el valor que encontramos de la x. 3

-5

4

-10

12 –3

Colocamos a continuación una línea horizontal y debajo de la misma, escribimos el mismo coeficiente que tiene el primer termino. 3

-5

4

-10

12 –3

3 A continuación multiplicamos el valor que habíamos encontrado de la x por el número que bajamos y el resultado lo escribimos debajo del siguiente término y sumamos o restamos dependiendo del signo que nos queda.

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118

3

-5

4

-10

12 –3

3

-9 - 14

Siguiendo este mismo procedimiento de multiplicar por el resultado que quede en cada término y colocándolo en el siguiente, llegamos al siguiente resultado

3

-5

4

-10 12

3

-9 - 14

42 46

-138 444 -148 456

–3

Y con esto ya está resuelta, el cociente se forma con todos los números que quedaron debajo de la línea, a excepción del último, 456, que es el residuo, escribiendo la letra con un exponente menor del que tenía 3x3 – 14x2 + 46x – 148

Cociente

y el residuo es el último número que queda. 456 Residuo

4.2 TEOREMA DEL RESIDUO Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). Por ejemplo, si tomamos el polinomio anterior 3x4 – 5x3 + 4x2 –10x + 12 y lo dividimos entre x + 3, es equivalente, podemos encontrar el residuo solamente con encontrar f(-3) f ( x) = 3 x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 − 10 x + 12 f (−3) = 3(−3) 4 − 5(−3) 3 + 4(−3) 2 − 10(−3) + 12 f (−3) = 3(81) − 5(−27) + 4(9) + 30 + 12 f (−3) = 243 + 135 + 36 + 30 + 12 f (−3) = 456

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Ejemplo 1. Si f(x) = x3 – 3x2 + x + 5 usa el teorema del residuo para hallar f(2) Solución: Según el teorema del residuo, f(2) es el residuo cuando f(x) se divide entre x – 2 . Como solamente nos piden encontrar el residuo, buscamos f(2) f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 2 + 5 f(2) = 8 – 12 + 7 f(2) = 3

4.3

TEOREMA DEL FACTOR

Este teorema se utiliza para ver si un número es factor de una expresión algebraica. Este teorema nos es muy útil para factorizar, cuando la expresión es muy grande o de grado mayor que 2. Ejemplo 2 Prueba que x – 2 es un factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2 Solución: Si una expresión algebraica es factor de otra, al dividir, el residuo tendrá que ser cero, entonces podemos utilizar el teorema del residuo para probar el teorema del factor; si f(2) = 0 hemos comprobado que x – 2 si es factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2, si no nos da cero, también demostramos que x – 2 no es factor del polinomio dado, buscamos entonces f(2) f(2) = (2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 2 f(2) = 8 – 16 + 6 + 2 f(2) = 0 Entonces ya probamos que x – 2 es factor de f(x) = x3 – 4x2 + 3x + 2 puesto que f(2) nos dio cero. Ejemplo 3 Factorice la expresión x3 + x2 – 12 Solución: Por los métodos tradicionales que conocemos es difícil encontrar los factores, pero por los que hemos visto ahora nos lo facilitan, podemos utilizar el teorema del residuo para comprobar si un número es factor, pero nosotros utilizaremos de una vez la división sintética para poder resolver y encontrar de una sola vez el factor y los coeficientes que le quedan al polinomio cociente.

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120

Primero vemos los factores del término independiente que es 12 y estos son: ± 1,2,3,4,6 y 12 Escribimos los coeficientes de la expresión, si no existe algún exponente de la variable, el coeficiente es cero. Probemos primero con 1 1

1

0

-12 1

1

1

2

2

2

2

-10

Como el último resultado, que es el residuo, no nos dio cero, esto significa que x – 1 no es factor de la expresión. Probamos entonces con x + 1

1

1

0

-12 -1

1

-1

0

0

0

0

-12

Tampoco es factor, probemos entonces con x – 2 1

1

0

-12

2

6

12

3

6

0

2

1

Como ahora si nos dio cero el último resultado, significa que el residuo es cero, por lo tanto x – 2 si es factor de x3 + x2 – 12, los otros números son los coeficientes del polinomio que queda como cociente y debe tener un exponente menor del que tenía. Podemos entonces escribir

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121

x3 + x2 – 12 = (X2 + 3x + 6)(x – 2) Y el trinomio que nos quedó ya no es factorizable Ejemplo 4 Encuentra un polinomio f(x) de grado 3 que contenga ceros 2, -1 y 3. Nota: Los ceros de un polinomio es cuando la gráfica cruza al eje x, es decir, cuando la “y” vale cero. Solución: Los factores son: x – 2, x + 1, y x – 3 Ahora, conociendo los factores podemos encontrar el polinomio multiplicando los factores. (x – 2)(x + 1)(x – 3) = (x2 – x – 2)(x – 3) = x3 – x2 – 2x – 3x2 + 3x + 6 = x3 – 4x2 +x +6 Entonces el polinomio que tiene ceros 2, -1 y 3 es: f(x) = x3 – 4x2 +x +6 Ejemplo 5 Utiliza la división sintética para hallar el cociente y el residuo del polinomio 2x4 + 5x3 – x – 8 entre x + 3 Solución: Escribimos los coeficientes tomando en cuenta que no hay x2, por lo tanto debemos llenar el espacio con un cero y del divisor x+3 solamente escribimos -3 2

2

5

0

-1

-8

-6

3

-9

30

-1

3

-10

22

-3

Si no hubieran dicho que probáramos si x + 3 es factor del polinomio 2x4 + 5x3 – x – 8 diríamos que no porque el residuo no fue cero, El cociente es 2x3 – x2 + 3x – 10 y el residuo 22. Ejemplo 6 Si f(x) = 3x5 – 38x3 + 5x2 -1 Halla f(4) mediante la división sintética. Solución: Puede encontrarse f(4) también por el teorema del residuo, pero como nos lo piden por división sintética, procedemos a efectuarlo. Hago esta observación para que nos demos cuenta que no son cosas diferentes. Centro Educativo Kinal

122

En este caso, como no nos están diciendo que dividamos entre x + 4 sino que encontremos f(4) por división sintética, no se le cambia signo al 4. 3

0

3

12 12

-38

5

48 10

40 45

0

-1

180 720 180 719

Coeficientes del cociente

4

Residuo

Entonces f(4) = 719 Ejemplo 7 Demuestra que – 11 es un cero del polinomio f(x) = x3 + 8x2 – 29x + 44. Solución: Como en este caso no me están indicando de qué forma lo encuentre, puedo proceder directamente por el teorema del residuo. Nota: Si utilizamos el teorema del residuo para encontrar f (−11) y el resultado es cero, ya demostramos que – 11 es un cero del polinomio, es decir, este punto está ubicado en el eje x f(-11) f(-11) f(-11) f(-11)

= = = =

(-11)3 + 8(-11)2 – 29(-11) + 44 - 1331 +8(121) + 319 + 44 - 1331 + 968 + 363 0

Entonces como f(-11) es 0, está demostrado que -11 es un cero de f(x) Ejercicios: Encuentre el cociente y residuo si f(x) se divide entre p(x), a través de la división sintética. 1.

f(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 7x – 12

p(x) = x – 3

2.

f(x) = 3x4 + 2x3 – x2 – x – 6

p(x) = x + 1

3.

f(x) = 3x3 + 2x – 4

p(x) = 2x – 1

4.

f(x) = x3 – 6x2 – 4x + 6

p(x) = 3x + 1

5.

f(x) = 2x3 – 3x2 + 4x – 5

p(x) = x – 2

6.

f(x) = 3x3 – 4x2 – x + 8

p(x) = x + 4

7.

f(x) = x3 – 8x – 5

p(x) = x + 3

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123

8.

f(x) = 5x3 – 6x2 + 15

p(x) = x – 4

9.

f(x) = 3x5 + 6x2 + 7

p(x) = x + 2

10. f(x) = - 2x4 + 10x – 3

p(x) = x – 3

11. f(x) = 4x4 – 5x2 + 1

p(x) = x −

1 2

12. f(x) = 9x3 – 6x2 + 3x – 4

p(x) = x −

1 3

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124

4.4

FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES.

4.4.1

FUNCIONES POLINOMIALES

Las funciones polinomiales son las que se definen solo en términos de suma, resta y multiplicación. Se les denomina polinomiales por ser de grado mayor que 2. En la práctica a menudo es necesario dibujar sus gráficas y encontrar o calcular sus ceros. El objetivo de calcular sus ceros es para encontrar los puntos en los cuales atraviesa al eje x, es decir, cuando la “y” vale cero. Ejemplo 1. Trazar la gráfica de f ( x) =

1 3 x 2

Solución: En este caso, como es un solo término, no es necesario buscar los ceros del polinomio, pues al estar escrita la función de esta forma, sin importar el grado, solamente cruza una vez el eje x y es en el origen, esto ya lo aprendimos en las gráficas de ecuaciones. La gráfica es la siguente.

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125

Ejemplo 2 Demuestra que f(x) = x5 + 2x4 – 6x3 + 2x – 3 tiene un cero entre 1 y 2. Solución: Como nos están pidiendo que se demuestre que existe un cero entre 1 y 2, solamente tenemos que encontrar f(1) y f(2) si al resolver encontramos valores con el mismo signo, significa que no existe ningún cero entre uno y dos, pero si encontramos signos diferentes, hemos demostrado que si existe un cero porque atraviesa al eje x. f(1) = x5 +2(1)4 – 6(1)3 + 2(1) – 3 f(1) = 1 + 2 – 6 + 2 – 3 f(1) = -4 f(2) = 25 + 2(2)4 – 6(2)3 + 2(2) – 3 f(2) = 32 + 32 – 48 + 4 – 3 f(2) = 17 Como f(1) nos dio signo negativo, significa que está en el eje negativo de las “y” y f(2) nos dio signo positivo, significa que este punto está en el eje positivo de las y, entonces necesariamente tiene que cruzar el eje de las x, por lo tanto existe un cero entre uno y dos. Como sea el comportamiento de la gráfica, tiene que cruzar el eje x en alguna parte.

17

1

2

-4

Ejemplo 3 Trace la gráfica de f(x) = x3 + x2 – 4x – 4 Solución: Para trazar la gráfica de una función de este tipo, debemos de observar el signo del coeficiente y el exponente de la variable x, si es par o impar.

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126

Si el exponente es par: todas las x negativas, al multiplicarlas un número par de veces se volverán positivas, por lo tanto antes de llegar al primer cero, la gráfica estará en el segundo cuadrante puesto que este resultado corresponde al eje “y”. Si el exponente es impar, todas las x negativas nos darán como resultado “y” negativas, por lo tanto la gráfica estará en el tercer cuadrante. El signo menos del coeficiente cambiará de lugar la gráfica. Antes de trazar la gráfica debemos encontrar los ceros del polinomio. Si se puede factorizar, los valores de la x será en donde cruce la gráfica.

f(x) 0= 0= 0= 0= 0=

= x3 + x2 – 4x – 4 x3 + x2 – 4x – 4 (x3 + x2) – (4x + 4) x2(x + 1) – 4(x + 1) (x + 1)(x2 – 4) (x + 1)(x + 2)(x – 2)

Igualando cada paréntesis a cero para encontrar el valor de las x X+1=0 X=-1 X+2=0 X=-2 X–2=0 X=2 Esto significa que la gráfica cruza al eje x en -1, -2 y 2.

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127

Ahora hacemos el análisis siguiente: Como el exponente es par y el coeficiente positivo, la gráfica viene en el segundo cuadrante desde el menos infinito hasta el -2. Luego de punto a punto, tiene un máximo o un mínimo exactamente a la mistad de este intervalo, entonces buscamos el valor de la “y” en la mitad del intervalo. En el intervalo de -2 a -1, la mitad es

− 2 −1 − 3 = 2 2

 3 Entonces buscamos f  −   2  3 f  −  = x3 + x 2 − 4x − 4  2 3

2

 3  3  3  3 f  −  =  −  +  −  − 4 −  − 4  2  2  2  2 27 9  3 f −  = − + +6−4 8 4  2  3 7 f −  =  2 8

Entonces en el intervalo de -2 a -1 encontramos que tiene un máximo por ser positivo el resultado. Busquemos ahora si hay máximo o mínimo en el siguiente intervalo de -1 a 2. En el plano en donde ya fueron localizados los puntos en donde cruza la gráfica es fácil ver en donde se encuentra la mitad, pero podemos hacerlo mediante la fórmula del punto medio Pm =

x + x1 2

Pm =

−1+ 2 2

Pm =

1 2

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128

1 Buscamos entonces f   2 3 2 f (x ) = x + x − 4 x − 4 3

2

1 1 1 1 f   =   +   − 4  − 4 2 2 2 2 1 1 1 f  = + −2−4 2 8 4 45 1 f =− 8 2

Encontramos un mínimo. Localicemos entonces los puntos en el plano y luego trazamos la gráfica.

Como ya tenemos los puntos medios de los intervalos, solamente nos queda analizar los extremos del lado izquierdo del primer punto y del lado derecho del último. Observando el exponente, en este caso que es impar, todo número de la x negativo sigue siendo negativo, por lo tanto, la gráfica llega al primer punto en el tercer cuadrante. Y en el último intervalo, todo número positivo elevado a un exponente impar sigue siendo positivo, por lo tanto, en el último intervalo la gráfica sube en el primer cuadrante.

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129

Ejemplo 4

Trazar la gráfica de f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 3 x 2

Solución: Comenzamos por factorizar si es posible para encontrar los ceros del polinomio 0 = x4 – 4x3 + 3x2 0 = x2(x2 – 4x + 3) 0 = x2(x – 3)(x – 1) Los ceros son entonces x = 0 x=3 x=1 Localicemos estos ceros en el plano para que nos sea fácil identificar los puntos medios de los intervalos.

Puntos medios son

1 y2 2

Encontramos los máximos o mínimos de los intervalos 4

3

1 1 1 1 f   =   − 4  + 3  2 2 2 2 1 1 1 1 f = − 4  + 3   2  16 8  4 1 1 1 3 f = − +  2  16 2 4 1 5 f = ≈ 0 .3  2  16

f ( 2) = 2 4 − 4( 2) 3 + 3( 2) 2

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2

130

f (2) = 16 − 32 + 12 f ( 2) = −4

Para analizar los extremos de la gráfica, vemos el exponente y como es par, los valores negativos de la x se vuelven positivos para la “y”, por lo tanto la gráfica baja por el segundo cuadrante hasta el primer punto que es en el origen. Y el último que es positivo sigue siendo positivo su resultado.

Ejemplo 5 Dada la siguiente tabla, traza la posible gráfica.

Signo de f(x)

-

+

-3

+

-1

-

0

+

2

Solución: Por la forma en que está dada la tabla sabemos que los puntos en los cuales toca al eje x la gráfica es en x = -3, -1, 0 y 2. Localicemos entonces primero estos puntos en el plano para encontrar los puntos medios del intervalo y hallar así los máximos o mínimos.

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131

Encontramos los puntos medios que son: 1 − 2,− , y 1 2 Ya tengo los puntos medios, pero como no conozco aún la ecuación, no puedo encontrar los máximos o mínimos, pero conociendo los factores puedo encontrar la ecuación.

f(x) = (x + 3)(x + 1)2x(x – 2) La razón por la que deduje que x + 1 estaba elevada al cuadrado fue porque en los dos intervalos tenemos el mismo signo positivo, luego solo x porque toca al eje x en el origen. Ahora ya podemos encontrar los máximos o mínimos. Si necesito la ecuación solamente hay que multiplicar los factores. f(-2) = (-2 + 3)(-2 + 1)2(-2)(-2 – 2) f(-2) = 8 Máximo 2

 1  1  1   1  1  f  −  =  − + 3  − + 1  −  − − 2   2  2  2   2  2   1  25 f −  = ≈ 0.8 máximo  2  32

f (1) = (1 + 3)(1 + 1) 2 (1)(1 − 2) f (1) = −16 Mínimo

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132

Ejemplo 6 Encuentra un polinomio f(x) por la forma de factorización que tenga grado 3, con ceros 2, -1 y 3 y que satisfaga f(1) = 5 Solución: Por el teorema del factor sabemos que el polinomio en mención tiene factores (x – 2), (x + 1) y (x – 3). Ahora bien, como nos indican que debe cumplir que f(1) = 5, escribimos el polinomio de la siguiente forma: f(x) = a(x – 2)(x + 1)(x – 3) f(1) = 5 5 = a(1 – 2)(1 + 1)(1 – 3) 5 = a(-1)(2)(-2) 5= 4a 5 a= 4 Entonces 5 ( x − 2)( x + 1)( x − 3) 4 5 5 15 f ( x) = x 3 − 5 x 2 + x + 4 4 2 f ( x) =

Ejercicios: Trazar la gráfica de las siguientes funciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)

= = = = = = = = = =

2x3 + 3 -2x3 + 3 x3 – 2x2 – x + 2 x3 +2x2 – 5x – 6 x4 – 2x3 -5x2 + 6x x4 +2x3 – 11x2 – 12x 2x2 + 3x2 – 18x + 8 3x3+8x2 – 33x + 10 -3x3 + 5x2 + 34x – 24 -2x3 + 5x2 + 39x + 18

En las siguientes funciones, demuestra que f tiene un cero entre a y b 11. 12. 13.

f(x) = x3 – 4x2 + 3x – 2 f(x) = 2x3 + 5x2 – 3 f(x) = – x4 + 3x3 – 2x + 1

14.

f(x) = 2x4 + 3x – 2

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a = 3, b=4 a = - 3, b = -2 a = 2, b=3 1 3 a= b= 2 4

133

Dibuja la gráfica de un polinomio dado el diagrama de signos. 15.

Signo de f(x) +

-

-4

-

0

+

1

-

3

16.

Signo de f(x) +

+

-3

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-

-2

+

0

-

2

134

4.4.2 FUNCIONES RACIONALES Las funciones racionales son las que tienen como denominador también x. Estas funciones se caracterizan por tener asíntotas horizontales y verticales. Una gráfica tiene una asíntota vertical cuando el denominador se convierte en cero. Una gráfica tiene asíntota horizontal si ocurren los siguientes casos: ax m Sea f ( x) = n bx 1. Si m < n la asíntota es el eje x, porque “y” = 0 a 2. Si m = n la asíntota es b 3. Si m > n entonces la función no tiene asíntota horizontal. Ejemplo 1

Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 1 gráfica de f ( x) = x−2 Solución: Sabemos que la asíntota vertical es cuando el denominador se convierte en cero X–2=0 X=2 El denominador es cero cuando la x vale 2 La gráfica tiene asíntota horizontal y = 0 puesto que el exponente del denominador es mayor que el del numerador. La gráfica viene desde el infinito de las x por la parte negativa de las x y de las “y” y al llegar a la recta vertical de x = 2, baja hasta el infinito negativo de las “y”

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135

Luego, en el otro lado de la recta vertical de x = 2, la gráfica viene desde el infinito positivo de la “y” y cruza hacia la derecha del eje x y la gráfica completa queda de la siguiente forma

Ejemplo 2. Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 3x − 1 gráfica de f ( x) = 2 x − x−6 Solución: Primero encontramos las asíntotas tanto horizontal como vertical. La asíntota vertical sabemos que se encuentra cuando el denominador se vuelve cero x2 – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0 x=3 x = -2

Tenemos entonces dos asíntotas verticales en x = 3 y en x = -2 La asíntota horizontal es y = 0, ya que el grado del numerador es menor que el del denominador Queda entonces desde menos infinito en x y baja por la izquierda de la primera asíntota vertical. En el intervalo de -2 a 3, baja desde el infinito y tiene su punto de inflexión en y = 0 3x − 1 x − x−6 0 = 3x − 1

0=

2

1 = 3x 1 x= 3 1 Entonces el punto de inflexión o sea el cambio está en x = . 3

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136

El lado derecho baja desde el infinito y cruza hacia la derecha sobre la asíntota horizontal.

Ejemplo 3 Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 5x 2 + 1 gráfica de f ( x) = 2 3x − 4 Solución: Las asíntotas verticales son cuando el denominador se vuelve cero, en este caso 3x2 – 4 = 0 3x2 = 4 4 x2 = 3 Asíntotas verticales x = ±

4 3

Como el grado del numerador y denominador es igual, la asíntota horizontal es y=

5 3

Para trazar la gráfica, sabemos que todo número negativo elevado al cuadrado se vuelve positivo, entonces la gráfica queda sobre la asíntota horizontal porque la x está elevada al cuadrado tanto en el numerador como en el denominador. En el lado derecho de la asíntota vertical también. Para poder encontrar el comportamiento de la parábola entre las asíntotas verticales, buscamos por donde cruza en el eje “y”, esto es cuando la x vale cero. Centro Educativo Kinal

137

5x 2 + 1 f ( x) = 2 3x − 4 f ( x) =

1 −4

1 4 Colocando valores a la x a entre las asíntotas y el cero, comprobamos que queda una parábola hacia abajo que no cruza las asíntotas, de modo que la gráfica que queda es la siguiente. y=−

Ejemplo 4 gráfica de

Encuentra las asíntotas verticales y horizontal y trazar la 3x 2 + x − 4 f ( x) = 2 2x − 7x + 5

Solución: Antes de trazar la gráfica veamos si son factorizables tanto el numerador como el denominador (3 x + 4)( x − 1) (2 x − 5)( x − 1) 3x + 4 f ( x) = 2x − 5 Como ya sabemos encontrar las asíntotas y hacer el análisis del comportamiento de la gráfica nos es mucho más fácil. f ( x) =

Asíntota vertical 2x – 5 = 0 2x = 5 5 x= 2

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138

Asíntota horizontal: como el exponente de la x del numerador es igual al de la x del denominador, entonces nos queda 3 Asíntota horizontal y = 2 Como el exponente de la x es uno, la gráfica queda debajo de la asíntota horizontal del lado izquierdo y arriba de la asíntota en el lado derecho.

Tiene un vació en x = 1 porque en ese punto no existe imagen porque al sustituir en la ecuación queda cero sobre cero. Ejemplo 5 Encuentre la ecuación racional que cumpla con las condiciones siguientes: Intersección x = 4 Asíntota vertical x = 2 Asíntota horizontal y = −

3 2

Y un hueco en x = 1 Solución: La intersección en x = 4 implica que en el numerador existe un factor (x – 4) y una asíntota vertical x = -2 implica que hay un factor (x + 2) en el denominador. Podemos principiar entonces con la forma x−4 x+2 3 Luego, como la asíntota horizontal es − , colocamos estos números 5 en la forma correspondiente

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139

− 3( x − 4) 5( x + 2) Si no hubiera más información, la función ya estaría terminada puesto que solo tiene una asíntota vertical y como la asíntota 3 horizontal está en − , significa que el exponente es igual. 5 La información que tiene un vacío en x = 1, quiere decir que tanto en el numerador como en el denominador existe un factor (x – 1), por lo tanto la función queda f ( x) =

− 3( x − 4)( x − 1) 5( x + 2)( x − 1)

f ( x) =

− 3 x 2 + 15 x − 12 5 x 2 + 5 x − 10

Ejemplo 6 Traza la gráfica de f ( x) =

x −1 x − x−6 2

Solución: Factorizamos el denominador para ver si se puede eliminar algún factor. x −1 ( x − 3)( x + 2) En este caso, como no se puede eliminar ningún factor, la gráfica tendrá dos asíntotas verticales por tener dos factores en el denominador. f ( x) =

Las asíntotas verticales son x = 3 y x = -2 La asíntota horizontal es “y” = 0 por ser mayor el exponente del denominador que el del numerador. La gráfica viene desde el infinito por debajo de la asíntota horizontal y cruza hacia abajo siguiendo la primera asíntota vertical.

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140

x2 − 9 2x − 4 Solución: Buscamos la asíntota vertical igualando el denominador a cero. Ejemplo 7 Trace la gráfica de f ( x) =

2x – 4 = 0 2x = 4 4 x= 2 x=2 Al ver la función podemos darnos cuenta que no tiene asíntota horizontal ya que el exponente del numerador es mayor que el denominador, efectuemos entonces la división para encontrar la asíntota inclinada. 2x − 4 x 2 + 0x − 9

1 x 2 2x − 4 x 2 + 0x − 9 − x 2 + 2x 2x – 9

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141

1 x +1 2 2x − 4 x 2 + 0x − 9 − x 2 + 2x 2x – 9 -2x + 4 -5 2 x −9 1 5  =  x + 1 − 2x − 4  2  2x − 4 1 x + 1 que es una línea recta 2 Buscamos las intersecciones en los ejes

La asíntota es el cociente

Intersecciones en el eje “y” x tiene que ser cero y=

−9 −4

y=

9 4

Intersecciones en el eje x “y” tiene que ser cero x2 − 9 2x − 4 0 = x2 – 9 x=3 x = -3 0=

Las intersecciones en el eje x son 3 y -3 La gráfica es la siguiente

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142

EJERCICIOS: En los siguientes ejercicios: Encuentra las asíntotas horizontales y verticales y traza la gráfica. 1.

f ( x) =

2.

f ( x) =

3.

f ( x) =

4.

f ( x) =

5.

f ( x) =

6.

f ( x) =

7.

f ( x) =

8.

f ( x) =

9.

f ( x) =

10. f ( x) = 11. f ( x) = 12. f ( x) =

3 x−4 −3 x+3 − 3x x+2 4x 2x − 5 4x − 1 2x + 3 5x + 3 3x − 7 4x 2 − 9x + 2 2x 2 − x − 6 5x 2 + 8x + 3 3x 2 − 4 x − 7 x−2 2 x − x−6 x +1 2 x + 2x − 3 −4 2 x − 4x + 4 2 2 x + 2x + 1

13. f ( x) = 14. 15. f ( x) = 16. f ( x) = 17. f ( x) = 18. f ( x) = 19. f ( x) = 20. f ( x) = 21. f ( x) = 22. f ( x) = 23. f ( x) = 24. f ( x) = 25. f ( x) =

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x−3 x2 −1 x+4 x2 − 4 2x 2 − 2x − 4 x 2 + x − 12 − 3x 2 − 3x + 6 x2 − 9 − x2 − x + 6 x 2 + 3x − 4 x 2 − 3x − 4 x2 + x − 6 3 x 2 − 3 x − 36 x2 + x − 2 2 x 2 + 4 x − 48 x 2 + 3 x − 10 x2 − x − 6 x +1 2x 2 − x − 3 x−2 8 − x3 2x 2 x3 + 1 x2 − 9

143

4.5

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

4.5.1 FUNCIONES EXPONENCIALES Definición. Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x. para todo

Como en

,la función exponencial es una función de

.

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. 1.

ax

Cuando a > 1 y es decir, cuando la base a es mayor que 1 y el exponente es un número real, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

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144

2. Cuando la base es positiva pero menor que 1, la gráfica queda de la siguiente forma

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes inferior. Esto es , pero negativos. Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. Observación. Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente,

se

denota

por

Exp(x

)

=

.

En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas y que por su interés y combinaciones de las funciones características especiales merecen ser consideradas con algún Centro Educativo Kinal

145

tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas. Ejemplo 1.

Resuelva la ecuación 6 x = 6 2− x

Solución: Uno de los métodos para resolver ecuaciones exponenciales es que la base sea igual, al ser igual la base, se prescinde de ella y solamente se igualan los exponentes y se resuelve esta ecuación En este caso, como la base es igual x=2–x x+x=2 2x = 2 x=1 Ejemplo 2. Resolver la ecuación

3x = 9

x−6

Solución: Como sabemos que la base debe ser igual y en este caso no lo les, podemos hacerla igual ya que existe forma de hacerlo porque 9 = 3 2

( )

34 x = 32

x −6

3 4 x = 3 2 x −12

Ahora que ya es igual la base 4x = 2x – 12 4x – 2x = -12 2x = -12 x = -3 Ejemplo 3 Traza la gráfica de f ( x) = 3 x Solución: Cuando la base es mayor que uno, la gráfica es creciente en todo su recorrido, cuando x viene desde menos infinito, la “y” se aproxima a cero por lo tanto la gráfica viene sobre el eje x y sube cuando se acerca al origen de tal modo que cuando la x es cero, la y es uno y luego sube. Podemos decir: Cuando la x vale 0, la “y” = 1 Cuando x = 1, y = 3 Cuando x = 2, y = 9 y así sucesivamente Centro Educativo Kinal

146

x

1 Ejemplo 4 Trazar la gráfica de f ( x) =   2 Solución: Cuando la base es menor que uno, la gráfica es decreciente y queda de la siguiente forma:

Fórmula del Interés Compuesto nt

i  A = C 1 +   n En donde A es la cantidad acumulada durante t años, es decir, es la cantidad de dinero depositada más el interés que ha ganado durante el tiempo que ha estado depositado. C es el capital inicial depositado

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147

n es el número de períodos que se ha capitalizado durante un año, es decir, si se ha capitalizado bimestralmente, n es 6 porque el año tiene 6 bimestres. t es la cantidad de años que ha estado depositado el capital.

i Es la tasa de interés anual, esto es el número dividido 100

Ejemplo 5 Si se invierten Q.1,000.00 a una tasa de interés del 9% compuesto mensualmente. Encuentre la cantidad acumulada después de 5, 10 y 15 años. Solución: Escribiendo los datos para aplicar la fórmula durante 5 años tenemos C = 1,000 9 i = 9% = = 0.09 100 n=12 por estar capitalizado mensualmente t=5  0.09  A = 1,0001 +  12   A = 1,000(1.0075) 60 A = 1565.68 Para 10 años

12 ( 5 )

 0.09  A = 1,0001 +  12  

12 (10 )

 0.09  A = 1,0001 +  12   A = 2451.36

120

Para 15 años  0.09  A = 1,0001 +  12    0.09  A = 1,0001 +  12   A = 3838.04

12 (15 )

180

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148

4.5.2 FUNCIONES LOGARITMICAS Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f ( x) = b x , en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a dicho número. Si y es el número, b es la base y x es el exponente, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx. Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.) 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.

Nota: El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. Ejemplo 3: Encuentre el valor de x si log 3 81 = x Solución: Como sabemos escribir las ecuaciones logarítmicas en forma exponencial, la transformamos y despejamos la x 3x = 81 Entonces x es el número de veces que se debe multiplicar la base 3 para obtener 81, por lo tanto x = 4

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149

Ejercicios: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: 1) log 3 9 = 2 2) log 49 7 =

1 2

 1 3) log 2   = −2  4 4) log 3 27 = 3 1 5) log 36 6 = 2 1   6) log 3   = −2 9

pasar de la forma exponencial a la forma logarítmica: 1)81 = 9 2 2)

1 = 3−1 3 1

3)100 2 = 10

4) 64 = 4 3 5) 2 = 3 8 6)

1 = 4 −2 16

Resolver las siguientes ecuaciones 1) log3 9 = x.

7)

7 x +6 = 7 3 x − 4

2) logb 8 = 3. 3) log2 y = 7.

8)

6 7− x = 6 2 x +1

4) log3 27 = y.

9) 3

2 x +3

( x2 )

= 3( x

2

)

= 33 x + 2

5) logb 100 = 2.

10) 9

6) log2 x = -3.

11) 2 −29 x = (0.5) x − 4

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150

1 12)   2

6− x

3− 2 x

=2

1 15) 4 x  2

13) 4 x −3 = 8 4− x

1 16) 9 2 x   3

14) 27 x −1 = 9 2 x −3

= 8(2 x) 2 x+2

= 27(3 x) − 2

Trace la gráfica de: 17.

2 f ( x) =   5

2 18) f ( x) =   5

−x

x

x

1 19) f ( x) = 5  + 3 2 20) f ( x) = 8(4) − x − 2 x

21) 22)

1 f ( x) = −  + 4 2 f ( x) = −3 x + 9

Propiedades de las funciones logarítimicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces: 1) Si la base es diferente de cero y el exponente es cero, el número es 1 logb 1 = 0 2) Si la base es igual al número, el exponente es 1 logb b = 1 3) Si la base es igual al número escrito de forma exponencial, el exponente es igual logb bx = x 4) Cuando los números se multiplican, el logaritmo suma logb MN = logb M + logb N 5) Cuando los números se dividen, el logaritmo resta M 5) log b = log b M − log b N N 6) Cuando es exponencial, el exponente baja a multiplicar al logaritmo del número 6) logb Mp = p logb M

En los siguientes ejercicios, encuentre el valor que falta Centro Educativo Kinal

151

1) 2) 3) 4) 5) 6)

log5 1 = log10 10 = log10 0.01 = log10 1 = log5 25 = log10 10 -5 =

Usa las propiedades para expandir cada expresión: 1) logb 5x = 2) logb x9 = 1 3) log 2 = 5 xy 4) log 3 = 5 5) log 2 2 3 =

6)

log b uv =

7)

log b uv 3 =

8) log b

r = xy 1 5

9)

log b

u v3

Ejemplo 4 Resuelva la ecuación log 6 (4 x − 5) = log 6 (2 x + 1) Solución: Aplicando las propiedades que hemos visto, sabemos que si a los dos lados está la misma base, esta se elimina y se igualan los exponentes. En este caso, nos indican que es logaritmo de base 6 en ambos lados, al eliminar la base nos queda 4x – 5 = 2x + 1 4x – 2x = 1+5 2x = 6 X=3

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152

Para comprobar si la respuesta encontrada es solución, se sustituye en la ecuación original y si el resultado es positivo, la respuesta es solución, si es negativo, ecuación no tiene solución. Nota: al sustituir, con un solo valor que se encuentre negativo, la ecuación no tiene solución. Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

log3 (x) + log 3 (6) = log3 (24) - log3 (4) = log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) = log10 (5) + log10 (3) = log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) = 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) =

Logaritmos comunes y naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notación: Logaritmo común: log x = log10 x Logaritmo natural: ln x = loge x

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular: 1) ln e = 1

2) ln 1 = 0 3) ln(uv ) = ln u + ln v u = ln u − ln v v 5) ln u n = n ln u Ejercicios: Usa las propiedades de los logaritmos para expandir: 4) ln

2x − 1 = x−2 2) ln 3 x 2 y =

1) ln

Escribir como un solo logaritmo:

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153

3) ln y − ln ( x + 6) = 4) x ln 1.05 =

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones. Ejemplo 5 Resuelva la ecuación log(x+1) – logx = 3 Solución: Cuando no tiene escrito ningún subíndice, el logaritmo es común, por lo tanto se sobreentiende que la base es 10, resolvemos entonces un logaritmo de base 10, sabiendo que la propiedad de la división es resta x +1 log =3 x x +1 10 3 = x 1000x = x + 1 1000x – x = 1 999x = 1 1 x= 999

Resuelve las siguientes ecuaciones para aplicando las propiedades de los logaritmos: 1. 53x = 29 2. 2

3x-2

4. log(x+3)+log(x)=1

6.

log 4 x = log 4 (8 − x)

9.

log 3 ( x + 4) = log 3 (1 − x)

=5

3. 351-2x=7

5.

8.

log 3 ( x) + log 3 ( x − 2) = 1 1 log 8 3 + log 8 25 = log 8 x 2

7. log(x-15)=2-log(x) Centro Educativo Kinal

10. log 5 ( x − 2) = log 5 (3 x + 7) 11. logx2 = log(-3x-2) 12. lnx2 = ln(12 – x) 13. log 5 ( x − 4) = 2 14. log 2 ( x − 5) = 4

154

15. log 9 x =

3 2

16. log 4 x = −

3 2

17. ln x 2 = −2 18. log x 2 = −4 19. e 2 ln x = 9 20. e − ln x = 0.2 21. e x ln 3 = 27 22. e x ln 2 = 0.25

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155

4.5.3

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo: 8

3

6

2 1

4

0 -1 0

2

-2

4

6

8

-2

0 -4

2

0

2

4

-3

y = 2x y = log2 x Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales. Ejemplo 6 Trace la gráfica de f ( x) = log 3 x Podemos escribir la ecuación de la siguiente manera

y = log 3 x

3y = x Ahora no buscaremos valores de “y” sino de x,

1 9 1 Cuando “y” vale -1, x vale 3

Decimos entonces cuando “y” vale -2, x vale

Cuando “y” vale 0, x vale 1 Cuando “y” vale 1, x vale 3 Cuando “y” vale 2 x vale 9

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156

Y así sucesivamente, luego localizamos los valores en el plano y trazamos la gráfica, quedándonos de la siguiente forma

Ejercicios: 1)

f ( x ) = log

2)

f ( x) = − log 2 x

3)

f ( x) = 2 log 3 x

4)

f ( x) = log 3 ( x + 2)

5)

f ( x) = log 3 ( x − 1)

6)

f ( x) = log 3 x + 2

7)

f ( x) = log 3 x − 1

8)

f ( x) = log( x + 1)

9)

f ( x) = log( x − 5)

10) f ( x) = log 4 − 3

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2

x

157

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158

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159

5.1

SECCIONES CÓNICAS

Objetivos:
Definir una sección cónica
Obtener ecuaciones estándares de secciones figuras cónicas
Trazar la gráfica de una figura cónica
Identificar la figura cónica correspondiente a una ecuación
Encontrar propiedades de las figuras cónicas Definición Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono, de ahí se deriva su nombre.

Elipse

(h)Parábola

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(h)Hipérbola

(h)

160

PARÁBOLA Una parábola son todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz que se encuentran en el mismo plano. Ecuación de la parábola: Con vértice en el origen V(0, 0) x2 = 4py y2 = 4px Con vértice en V(h,k) (x – h)2 = 4p(y – k) (y – k)2 = 4p(x – h) En donde 4p es el número que aparece con la letra que no esté levada al cuadrado o el paréntesis que no esté elevado al cuadrado y p es la distancia del vértice al foco en todos los casos. La directriz es una línea recta que se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco, es decir, el vértice está al la mitad del foco y la directriz. Las gráficas tendrán la siguiente forma x2 = 4py

d1 FOCO d2 VERTICE DIRECTRIZ

d1 = d2

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161

Comportamiento de la parábola 1. Si la variable que está elevada al cuadrado es la x: x2, (x – h)2, la parábola se abre de la siguiente forma: a. Si p es positiva se abre hacia arriba. X2 = 4py

Foco p Vértice Directriz

b.

Si p es negativa se abre hacia abajo. X2 = -4py

p

2.

Si la variable que está elevada al cuadrado es la “y”: y2, (y – k)2, la parábola se abre de la siguiente forma:

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162

a.

Si p es positiva se abre hacia la derecha. y2 = 4px

b.

Si p es negativa se abre hacia la izquierda. y2 = -4px

Los valores de h y de k siempre saldrán con signos contrarios

Ejemplo 1 Encuentre el vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es x2 = 8y y trace su gráfica mostrando los focos y la directriz. Solución: Como la ecuación es x2 = 8y, por la forma de la ecuación tiene su vértice en el origen y 4p vale 8, despejamos entonces la p para encontrar la distancia del vértice al foco.

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163

4p = 8 8 4 p=2 p=

Para encontrar hasta donde se abre la parábola alineada con el foco, utilizaremos la siguiente fórmula x = ±2 p o y = ±2 p

Teniendo entonces los datos son: V(0,0) P=2 Extremos x = ±2 p x = ±2(2) Esto me indica que se aleja 4 hacia los lados del foco y la directriz 2 hacia abajo por estar a la misma distancia que el foco pero hacia el otro lado del vértice. La gráfica que queda es la siguiente:

En estas gráficas ya formales podemos ver que la distancia de cualquier punto al foco es igual que la distancia de ese mismo punto a la directriz, Ejemplo 2. Dada la ecuación de la parábola y2 = -4x. Encuentre el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y trace la gráfica mostrando el foco y la directriz. Solución: Por la forma que tiene, la parábola tiene su vértice en el origen V(0, 0) 4p = -4 Centro Educativo Kinal

164

−4 4 p = −1 Extremos del lado recto, este siempre debe estar alineado con el foco, como ahora la variable que está elevada al cuadrado es la “y”, y = ±2 p p=

y = ±2(−1) y = ±2 Esto significa que nos debemos alejar, alineado con el foco, 2 hacia arriba y dos hacia abajo. La ecuación de la directriz es más fácil obtenerla graficándola en el plano y viendo el eje que atraviesa. Trazamos la gráfica y luego escribimos la ecuación de la directriz, esta se localiza a la misma distancia del foco pero hacia el otro lado, el foco siempre se encuentra ubicado dentro de la parábola y la directriz afuera de ella.

Ejemplo 3. Resolvamos ahora la ecuación (x – 2)2 = -12y Solución: El vértice ahora ya no se encuentra en origen, como la “y” no tiene ningún número sumando ni restando, este eje si tiene su vértice sobre su eje. V(2, 0) 4p = -12 − 12 p= 4 p = −3 Extremos x = ±2 p x = ±2(−3) x = ±6

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165

Ejemplo 4. Encuentre el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y trace la gráfica de y2 – 3x + 6 = 0 Solución Como en este caso nos dan la ecuación general de la parábola, debemos llevarla a la ecuación estandar puesto que sabemos que de esta forma ya lo podemos encontrar todo, procedemos entonces a resolverla Primero dejamos la letra que está elevada al cuadrado sola Y2 = 3x – 6 Ninguna de las letras tiene que tener coeficiente diferente de uno, entonces sacamos el 3 que tiene la x aunque no fuera factor común Y2 = 3(x – 2) Con esto ya tenemos los datos que necesitamos V(2, 0) 4p = 3 3 p= 4 Extremos del lado recto y = ±2 p 3 y = ±2  4 3 y=± 2 Ahora ya podemos trazar la gráfica

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Ejemplo 5 Graficar x2 + 4x – 8y = 0 Solución: Aunque no nos pidan encontrar los elementos necesarios para trazar la gráfica, debemos buscarlos. Primero escribimos la ecuación estandar x2 + 4x = -8y Completamos al cuadrado y nos queda x2 + 4x + 4 = -8y + 4 1  ( x − 2) 2 = −8 y −  2  Tenemos entonces todos los datos  1 V  2,   2 4 p = −8

−8 4 p = −2 Extremos del lado recto x = ±2 p x = ±2(−2) x = ±4 p=

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Ejemplo 6 Graficar y2 -4y -2x +6 = 0 Solución: Llevamos la ecuación general a ecuación estandar Dejamos la y2 con la “y” y2 – 4y = 2x – 6 y2 – 4y + 4 = 2x – 6 + 4 (y – 2)2 = 2x – 2 (y – 2)2 = 2(x – 1) V(1, 2) 4p = 2 1 2 Extremos y = ±2 p p=

1 y = ±2  2 y = ±1

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Ejemplo 7 Trazar la gráfica de 2y2 – 12y – x + 16 = 0 Solución 2y2 – 12y = x – 16 Para completar al cuadrado debemos quitar el número que tiene y2 2(y2 – 6y) = x – 16 2(y2 – 6y + 9) = x – 16 + 18 Agregamos 18 del lado derecho ya que del lado izquierdo aumentamos 9 dos veces puesto que el número que está afuera del paréntesis multiplica a lo que está adentro. 2(y – 3)2 = x + 2 la letra o paréntesis que está elevado al cuadrado no debe tener coeficiente, por lo tanto debemos pasarlo del otro lado. ( y − 3) 2 =

1 ( x + 2) 2

V(-2, 3) 4p =

1 2

1 8 En este caso nos es más difícil encontrar los extremos del lado recto para trazar la gráfica, porque están muy amontonados los puntos, procedemos entonces a trazar la gráfica de la forma (x – h) = a(y – k)2 p=

(x+2) = 2(y – 3)2 Centro Educativo Kinal

169

Localizamos el vértice, luego nos alejamos uno hacia arriba por ser y2 y decimos uno al cuadrado uno por dos igual a 2; luego nos alejamos 2 siempre en “y” y decimos 2 al cuadrado = 4 por 2 = 8 y nos elajamos 8 y como es simétrica con el eje x, buscamos los mismos números en la parte de abajo del eje de simetría que en este caso es -2

Ejemplo 8: El interior de una antena de televisión por cable es un disco con forma de paraboloide (finito) con un diámetro de 16 pies y una profundidad de 2 pies. Encuentre la distancia desde el centro del disco a la cual se debe colocar el foco para que este pueda recibir toda la señal que la antena obtenga. Solución: Dibujamos la antena en un plano de coordenadas cartesianas, poniendo el vértice en el origen para poder darnos una idea de lo que tenemos que hacer.

Vemos entonces que la parábola pasa por el punto P(8,2), entonces procedemos a encontrar la ecuación, como no conocemos p, pero sabemos que el vértice lo tiene en el origen porque nosotros así lo decidimos, X2 = 4py En donde x y “y” son los valores del punto por donde pasa. (8)2 = 4p(2) Centro Educativo Kinal

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64 = 8p 64 =p 8 P=8 Encontramos entonces que el foco debe colocarse a una distancia de 8 pies del vértice.

Ejemplo 9: Encuentre la ecuación de la parábola que se muestra en la figura

Solución: Para encontrar la ecuación de una parábola necesitamos conocer el valor de p, el vértice y en qué eje se abre. En este caso, como la vemos que se abre hacia arriba, es x2 y p es 1 ya que p nos indica la distancia del vértice al foco, entonces ya podemos escribir su ecuación pues es x menos lo que vale x en el vértice entre paréntesis y este se eleva al cuadrado y escribimos el signo igual; luego escribimos 4p que en este caso es 4 x 1 = 4 y a continuación “y” menos lo que vale “y” en el vértice (x + 2)2 = 4(y – 1)

Ejemplo 10: Una parábola tiene vértice V(-4, 2) y directriz “y” = 5. Expresa la ecuación de la parábola de la forma y = ax2 + bx + c Solución: Como conocemos el vértice y la directriz, podemos encontrar p, ya que sabemos que la distancia del vértice a la directriz es igual que del vértice al foco, solamente cambie el signo.

p = 5−2 p=3

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171

Nota: Si la directriz está arriba del vértice, la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto p = -3 (x + 4)2 = -12(y – 2). Esta ya es la ecuación estandar; para escribirla de la forma que nos la piden debemos resolver. X2 + 8x + 16 = -12y + 24 X2 + 8x + 16 – 24 + 12y = 0 12y = -x2 – 8x + 8 y=−

1 2 8 8 x − x+ 12 12 12

y=−

1 2 2 2 x − x+ 12 3 3

Ejercicios: En los siguientes ejercicios encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola. Trace su gráfica mostrando el foco y la directriz. 1. x2 = 8y 10. (x – 3)2 = 12(y – 2) 2 2. x = 12y 11. x2 – 4x + 2y = 0 3. y2 = 4x 12. x2 + 4y – 8 = 0 2 4. y = 3x 13. y2 – 2y + 6 = 0 5. (x + 1)2 = 6y 14. y2 – 4y + 8 = 0 2 6. (x – 2) = 10y 15. x2 – 4x + 4y + 20 = 0 7. (y + 2)2 = - 12x 16. x2 + 6x – 8y + 41 = 0 2 8. (y – 3) = -10x 17. 2x2 + 4x – 6y + 14 = 0 9. (x + 1)2 = 16(y -2) 18. 3x2 + 12y – 12x – 48 =0 En los ejercicios 19 al encuentre una ecuación de la parábola que cumpla con las condiciones establecidas. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

F(3,0) F(-2, 0) F(0, -1) F(0, 3) F(-3 , 4) F(2, 5) F(4, -1) F(-2, 3) V(4, -2) V(3, 2) V(-1, 3)

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Directriz Directriz Directriz Directriz V(2, 4) V(-1, 5) V(4, 5) V(-2, 5) Directriz Directriz Directriz

y y x x

= = = =

-2 3 4 -1

y=2 y=0 x=2

172

30. V(2, 3) Directriz x = -2 31. Vértice en el origen, simétrica al eje “y” y pasa por el punto (3, 4) 32. Vértice en el origen, simétrica al eje “y” y pasa por el punto (1,2) 33. Vértice en V(2, 3), paralela al eje x y pasa por el punto (-1, 5) 34. Vértice en V(3, -2), paralela al eje x y pasa por el punto (5, 1)

5.1.2 ELIPSES Una elipse es el conjunto de los puntos en un plano que se obtienen al deformar un círculo, es decir, al estirar un círculo hacia cualquier lado, el centro se separa y estos puntos se van alejando hacia los extremos del lado que se está estirando; a estos puntos se les llama focos. Definición de elipse Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano. La suma de las distancias de cualquier punto p(x,y) a los focos nos dará como resultado la longitud de su eje. P(x,y) d2

d1 EJE FOCO

FOCO

Si a es la distancia del centro a uno de los vértices, la longitud del eje será igual a 2a, por lo tanto, d1 + d2 = 2a La ecuación estandar de la elipse es: Con centro en el origen C(0,0)

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173

x2 y2 + =1 a2 b2

b c F

a

V

Con centro en C(h, k)

V ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 a C(h,k)

b c F

Como la elipse tiene dos ejes, nombraremos a a la distancia del centro a uno de los vértices en el eje mayor o simplemente eje y b es la distancia del centro a uno de los vértices en el eje menor. c es la distancia del centro a los focos. Esta se encuentra de la siguiente forma c2 = a2 – b2 es decir, al mayor de los denominadores que está elevado al cuadrado se le resta el menor de ellos Ejemplo 1 Trace la gráfica de la ecuación 2 x 2 + 9 y 2 = 18 Solución: Para trazar una gráfica, la ecuación siempre debe estar escrita de forma estandar, en este caso que nos la dieron de forma general, debemos llevarla a forma estandar o sea igualada a 1. Centro Educativo Kinal

174

Para que el lado derecho sea 1, debemos dividir toda la ecuación por ese mismo número, en este caso, por 18

2 x 2 9 y 2 18 + = 18 18 18 Podemos simplificar, pero para nuestra conveniencia pasaremos a dividir el número que está como coeficiente de la letra x y2 + =1 18 18 2 9 x2 y2 + =1 9 2

Tenemos ahora que a2 = 9 a= 9 a = ±3 b2 = 2 b= 2 b = ±1.4 Y para encontrar C c2 = 9 − 2

c2 = 7 c= 7 c = ±2.6

Podemos entonces escribir una sola ecuación para los vértices y los focos. Los vértices serán los que se encuentran en el eje mayor. Si la elipse es horizontal, los vértices siempre serán V (h ± a, k ) y los focos F ( h ± c, k ) Centro Educativo Kinal

175

Si la elipse es vertical, los vértices serán V (h, k ± a ) y los focos F (h, k ± c)

Ejemplo 2 Encuentre los focos, los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ( x − 2) 2 ( y + 3) 2 ecuación es + =1 64 100

Solución: En este caso la ecuación ya está escrita en forma estandar por no tener número ni el paréntesis de la x ni el de la “y” y estar igualada a 1, entonces procedemos a indicar y encontrar lo que necesitamos para trazar la gráfica, C(2, -3) Como sabemos que a está eje el eje mayor a 2 = 100 b 2 = 64 c 2 = 100 − 64 = 36

a = ±10

b = ±8

c = ±6

Para trazar la gráfica localizamos el centro, luego nos alejamos 10 del centro hacia los extremos del eje “y” ya que sabemos que a nos indica cuantas unidades nos alejamos del centro hacia los vértices. Luego nos alejamos 8 unidades hacia los lados siempre a partir del centro. Los focos se localizan en el eje “y” porque siempre se localizan en el eje mayor.

V(2,-3±10) F(2,-3±6) Centro Educativo Kinal

176

Ejemplo 3 Encuentre los focos, los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ecuación es 4 x 2 + 16 y 2 = 1 Solución: Esta ecuación, a pesar de estar igualada a 1, tenemos que hacerle arreglos para que esté en forma estandar, ya que tanto la x como la “y” tienen coeficientes diferentes de 1. Sabemos que cuando no está igualada a uno dividimos toda la ecuación por el número que esté del lado derecho de la igualdad pero como en este caso ya es uno, bajamos el coeficiente de cada variable a dividir al 1 que por naturaleza divide a cualquier número. x2 y2 + =1 1 1 4 16

C (0,0) 1 a2 = 4 1 a=± 2

1 16 1 b=± 4 b2 =

1 1 − 4 16 3 c2 = 16 3 c=± 16 c2 =

 1  V  ± ,0   2   3  F  ± ,0  16  

Ejemplo 4 Encuentre los focos, los vértices y trace la gráfica de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 25y2 + 54x + 50y -119 = 0

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177

Solución: Para encontrar lo que necesitamos para trazar su gráfica tenemos que encontrar la ecuación estandar. Para encontrar esta ecuación, agrupamos en un paréntesis las x2 con las x y las y2 con las “y” y pasamos del lado derecho los valores que no tienen variable (9x2 + 54x) + (25y2 + 50y) = 119 Luego sacamos del paréntesis los coeficientes de la x2 y de la y2 aunque no fueran factores comunes. 9(x2 + 6x) + 25(y2 + 2y) = 119 y completamos al cuadrado cada paréntesis, debiendo agregar del lado derecho cada cantidad que haya agregado del lado izquierdo multiplicada por el número que sacamos 9(x2 + 6x + 9) + 25(y2 + 2y + 1) = 119 +81 + 25 Luego factorizamos cada paréntesis 9(x + 3)2 + 25(y + 1)2 = 225 Como del lado derecho no nos quedó uno, para que este sea 1 dividimos toda la ecuación por 225

9( x + 3) 2 25( y + 1) 2 225 + = 225 225 225 Pasando a dividir el coeficiente de cada paréntesis al denominador

( x + 3) 2 ( y + 1) 2 + =1 225 225 9 25 2 ( x + 3) ( y + 1) 2 + =1 25 9 C(-3, -1)

a2 = 25 a = ±5

V(-3±5, -1) Centro Educativo Kinal

F(-3±4, -1)

b2 = 9 b = ±3

c2 = 25 – 9 c2 = 16 c = ±4

178

Ejemplo 5 Encuentre la ecuación de la elipse que tiene su centro en El origen, su vértice en V(±4, 0) y sus focos F(±3, 0) Solución: En general, para encontrar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el centro y la longitud de sus ejes. En este caso conocemos el centro, los focos y la longitud de su eje mayor ya que nos indican su vértice y este siempre se encontrará en su eje mayor. Como estamos tomando el valor de a como la distancia del centro a los vértices en el eje x, a2 = 16 c2 = 9 c2 = a2 – b2 en este caso a = 16 y b = 3 el eje mayor es en donde se encuentran los vértices 9 = 16 – b2 b2 = 16 – 9 b2 = 7 Ya podemos encontrar la ecuación porque conocemos el centro y la longitud de los ejes.

x2 y2 + =1 16 7 Ejemplo 6 Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V(0, ±6) y focos F(0, ±2) y centro en el origen. Solución: Como nos indican que tiene centro en el origen, es igual que la anterior. También conocemos la longitud del eje mayor, que en este caso, los vértices están en el eje “y”. vértices y ±6. Centro Educativo Kinal

179

c2 = a2 – b2 c2 = 36 – b2 b2 = 36 – 4 b2 = 32

y la ecuación es

x2 y2 + =1 32 36 Ejemplo 7 Encuentre la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos F (0,± 10 ) y pasa por el punto P(2, 3) Solución: En este caso no conocemos la longitud de ninguno de los ejes, solamente la longitud del foco. Como sabemos que los focos siempre se encuentran en el eje mayor, este está nuevamente en el eje “y” y a está en el eje “y” c2 = 10 c2 = a2 – b2 10 = a2 – b2 b2 = a2 – 10

Escribiendo la ecuación estandar por tener centro en el origen x2 y2 + =1 b2 a2

Sustituyendo la x y la “y” por los valores que tienen en el punto por donde pasa y escribiendo la b como función de a nos queda 22 32 + =1 a 2 − 10 a 2

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180

4 9 + 2 =1 a − 10 a 4(a 2 ) + 9(a 2 − 10) =1 a 2 (a 2 − 10) 2

4a 2 + 9a 2 − 90 = a 4 − 10a 2 13a 2 − 90 = a 4 − 10a 2

a 4 − 10a 2 − 13a 2 + 90 = 0 a 4 − 23a 2 − 90 = 0 (a2 – 18)(a2 + 5) = 0 a2 = 18

a2 = - 5

Tomando solamente la respuesta positiva b2 = a2 - c2 b2 = 18 – 10 b2 = 8 Ahora ya podemos escribir la ecuación porque ya conocemos a2 y b2 x2 y2 + =1 8 18

La excentricidad de una elipse es la forma que tiene, si su excentricidad es cero, la elipse es una circunferencia; si su excentricidad es 1 se convertirá en una línea recta

e=

Longitud del centro al foco longitud del centro al vértice en el eje mayor

e=

c = a

a2 − b2 a

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181

Ejemplo 8 Encuentre la ecuación de la elipse cuya excentricidad es e =

1 y pasa por 2

el punto (1, 3) con vértices en el eje x. Solución: Como nos indican que tiene vértices en el eje x, esto significa que el eje mayor es a. e=

1 2

c pero no podemos asumir que c = 1 y que a = 2 a puesto que nos indican que pasa por el punto (1 ,3), de lo que sí debemos estar seguros es de lo siguiente:

Sabemos que e =

1 c = entonces a = 2c 2 a

Como c = a 2 − b 2

c = ( 2c ) 2 − b 2 c = 4c 2 − b 2 c2 = 4c2 – b2 b2 = 4c2 – c2 b2 = 3c2

como sabemos que a = 2c a c= 2 a b 2 = 3  2

2

 a2  b 2 = 3   4 

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182

b2 =

3 2 a 4

Escribiendo ahora la ecuación estandar

x2 y2 + =1 a2 b2 Sustituyendo por el punto en donde pasa y escribiendo b2 en función de a2 12 32 + =1 a2 3 a2 4

1 9 + =1 2 3 2 a a 4 1 36 + 2 =1 2 a 3a 1 12 + =1 a2 a2 13 =1 a2

a2 = 13

Como ya sabemos que 3 2 a 4 3 b 2 = (13) 4 39 b2 = 4 b2 =

Conociendo a2 y b2 podemos escribir la ecuación

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183

x2 y2 + =1 13 39 4 x2 4y2 + =1 13 39

Ejemplo 9: El cometa Halley tiene una órbita elíptica con excentricidad e = 0.967 . La distancia más pequeña a la que el cometa Halley pasa del sol es = 0.587 UA. Calcula la distancia máxima del cometa al sol, hasta la décima de UA más próxima. (unidad astronómica. 1UA ≈ 931000,000 millas) Solución: Haremos una ilustración del cometa y el sol, asumiendo que el sol es el foco.

Observando la figura podemos darnos cuenta que la distancia mínima entre el cometa y el sol es a – c, entonces a – c = 0.587 a = 0.587 + c Como e =

c a

0.967 =

c 0.587 + c

0.967(0.587 + c) = c 0.567629 + 0.967c = c 0.567629 = c – 0.967c 0.567629 = 0.033c

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184

c=

0.567629 0.033

c = 17.2 Como a = 0.587 + c a = 0.587 + 17.2 a = 17.787 La distancia más lejana es c + a. Entonces la distancia máxima es 17.2 + 17.787 = 34.987 UA. Como nos indican que encontremos cercana, en el número encontrado milésimas. La décima es 9 y como la se convierte en 10 y esto aproxima el

la distancia hasta la décima más tenemos décimas, centésimas y siguiente cifra es 8, entonces el 9 34 a 35

R: La distancia más lejana del sol es aproximadamente de 35 UA.

Ejercicios: Encuentre los vértices y los focos de la elipse. Trace su gráfica mostrando los focos.

1.

2.

x2 y2 + =1 9 4

4.

4x2+ y2 = 16

6.

y2 + 9x2 = 9

7.

4x2 + 25y2 = 1

8.

10y2 + x2 =5

9.

( x − 3) 2 ( y + 4) 2 + =1 16 9

x2 y2 + =1 25 16 2

3.

5.

2

y x + =1 15 16 x2 y2 + =1 45 49

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185

10.

11.

( x + 2) 2 ( y − 3) 2 + =1 25 4

12. x 2 +

( y + 2) 2 =1 17

( x − 3) 2 + y2 =1 9

13. 4x2 + 9y2 -32x -36y +64 =0 14. x2 + 2y2 + 2x – 20y + 43 = 0 15. 25x2 + 4y2 – 250x – 16y + 541 16. 4x2 + y2 = 2y

En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que tenga centro en el origen y cumpla con las condiciones dadas. 1.

Vértices V(±4, 0)

Focos F(±3,0)

2.

Vértices V(0, ±8)

Focos F(0, ±4)

3.

Vértices V(0, ±5)

Eje menor de longitud 3

4.

Focos F(±5, 0)

Eje menor de longitud 2

5.

Vértices V(0, ±6)

Pasa por P(3, 2)

6.

Vértices V(±5, 0)

Pasa por P(2, 3)

7.

Excentricidad

3 4

Vértices V(0, ±4)

8.

Excentricidad

2 5

Vértices V(±3, 0)

9.

Excentricidad

1 , pasa por P(1,3) Vértices en el eje x 2

10. Excentricidad

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1 , Pasa por P(2, -1) Vértices en el eje “y” 2

186

11. Intersecciones x ±2

12. Intersecciones x ±

1 2

Intersecciones y ±

1 3

Intersecciones y ±4

13. El arco de un puente es semielíptico con eje mayor horizontal. La base del arco mide 30 pies de longitud y su parte más alta 10 pies por arriba del camino horizontal, como se muestra en la figura. Encuentre la altura del arco a 6 pies por arriba del centro de la base.

14. Se construirá un puente a través de un río de 200 pies de ancho. El arco del puente será semielíptico y debe construirse de bodoque una embarcación de menos de 50 pies de ancho y 30 pies de altura pueda pasar seguramente por el arco, como se muestra en la figura. a. Encuentre una ecuación para el arco. b. Calcule la altura del arco a la mitad del puente.

15. Asume que la longitud del eje mayor de la órbita de la tierra mide 1861000,000 millasy que la excentricidad es 0.017. Aproxima a las 1000 millas más próximas la distancia máxima y mínima entre la tierra y el sol.

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187

16. El planeta Mercurio se desplaza en una órbita elíptica de excentricidad 0.206 y su eje mayor tiene una longitud de 0.774 UA. Encuentre la distancia máxima y mínima entre el planeta y el sol.

5.1.3 HIPÉRBOLAS Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Definición de Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ubicados en una curva abierta, en donde el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x,y) a los focos de la misma nos dará como resultado la longitud de su eje (x,y)

d1 Eje

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d2 F

188

La ecuación estandar de la hipérbola con centro en el origen y vértices x2 y2 y2 x2 en el eje x es: 2 − 2 = 1 y con vértices en el eje “y” 2 − 2 = 1 . Con a b b a 2 2 ( x − h) ( y − k) centro en C(h, k) es − =1 2 a b2

Al eje en el que se encuentran los vértices se le llama eje transverso y al del eje en el cual no están los vértices sino que solamente sirve para trazar el rectángulo en donde pasan las asíntotas se le llama eje conjugado. Llamaremos “a”, a la distancia del centro a los vértices en el eje x y “b” a la distancia del centro a los vértices en el eje “y”.

Ejemplo 1: Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las x2 y2 asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es − = 1 , Trace la gráfica 49 16 correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Solución: Por la forma que está escrita es una hipérbola con centro en el origen que se abre en el eje x por ser la variable positiva. a2 = 49 a = ±7

b2 = 16 b = ±4

c2 = a2 + b2 c2 = 49 + 16 c2 = 65 c = ± 65 La gráfica que queda es la siguiente:

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189

Ecuación de las asíntotas, como estas son líneas rectas, si el centro está en el origen y = ±

b x a

en donde la pendiente m = ±

b a

7 y=± x 4

Ejemplo 2: Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las ( y − 2) 2 ( x + 3) 2 asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es − = 1 , Trace la 9 16 gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Solución: Esta gráfica no tiene su centro en el origen por la forma en que está escrita sino su centro está en C(2, -3) y se abre en el eje “y” por ser la variable positiva, por consiguiente a está ahora en el eje “y” ya que a siempre le llamaremos al eje en donde está el vértice. b2 = 9

a2 = 16

c2 = a2 + b2

b = ±3

a = ±4

c2 = 16 + 9 c2 = 25 c=±5

La gráfica es la siguiente:

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190

Para encontrar los vértices, cuando el centro no está en el origen, localizamos el centro y vemos en qué eje se abre, luego escribimos la coordenada del centro en este eje a este le sumamos y restamos el valor de b dado que la parábola se abre en el eje “y”. V(-3±3, 2) De igual forma para encontrar los focos, solo que ahora sumamos y restamos c F(-3±5, 2) Para la ecuación de las asíntotas. Sabemos que para encontrar la ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa.

y − y1 = m( x − x1 )

3 y + 3 = ± ( x − 2) 4 Ejemplo 3: Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9 x 2 − 4 y 2 = 36 , Trace la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Solución: Esta ecuación no está escrita de forma estandar, debemos entonces escribirla como tal. Para que el lado derecho quede uno, debemos dividir toda la ecuación por este número 9 x 2 4 y 2 36 − = 36 36 36

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191

x2 y2 − =1 4 9

a2 = 4 a = ±2

b2 = 9 b = ±3

c2 = 4 + 9

c2 = 13

c = ± 13 c ≈ 3.6 A continuación aparece la gráfica

V(±2, 0) F(±3.6, 0) 3 Asíntotas y = ± x 2

Ejemplo 4 Encuentre los vértices, los focos y la ecuación de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 7 y 2 − 9 x 2 + 54 x + 14 y − 137 = 0 , Trace la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos. Solución: Esta ecuación está dada en forma general, para convertirla en ecuación estandar debemos primero agrupar las variables iguales y luego completar al cuadrado (7y2 + 14y) – (9x2 – 54x) = 137 Antes de completar al cuadrado debemos sacar los coeficientes que tienen las letras que están elevados al cuadrado y cuando ya se sacaron estos coeficientes se completa al cuadrado debiendo tener cuidado que el número que se agrega al completar al cuadrado se está agregando la misma cantidad de veces que tiene el coeficiente que se sacó del paréntesis. Centro Educativo Kinal

192

7(y2 + 2y + 1) – 9(x2 – 6x + 9) = 137 + 7 – 81 7(y + 1)2 – 9(x – 3)2 = 63

7( y + 1) 2 9( x − 3) 2 63 − = 63 63 63 ( y + 1) 2 ( x − 3) 2 − =1 9 7 Centro C(3, - 1) a2 = 7 a = ±2.65

b2 = 9 b=±3

c2 = 9 + 7

c2 = 16

c=±4 La gráfica

V(0, ± 3) F(0, ± 4) Asíntotas y = ±

3 3 7 =± 7 7

Ejemplo 5: Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene vértices en (±3, 0) y pasa por el punto P(5, 2). Solución: Aunque no nos lo mencionen, esta hipérbola tiene su centro en el origen por tener la misma distancia del cero hacia los dos lados. x2 y2 − =1 9 b2

Sustituimos la x y la “y” con los valores del punto por donde pasa Centro Educativo Kinal

193

52 22 − =1 9 b2 25 4 − =1 9 b2 25 4 −1 = 2 9 b 16 4 = 9 b2

16b2 = 4(9) b2 =

36 16

b2 =

9 4

x2 y2 − =1 9 9 4 2 x 4y2 − =1 9 9

x2 – 4y2 = 9

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194

Ejemplo 6: Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene focos F(±10,0) y pasa por el punto P 6, 105

(

)

Solución: Como sabemos que: el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de cualquier punto (x,y) a los focos de la misma nos dará como resultado la longitud de su eje, Sabemos también que la longitud del eje es 2a

(6,

-10

eje

)

10

d 1 − d 2 = 2a (6 + 10) 2 +

( 105 )

2

− (6 − 10) 2 +

( 105 )

2

= 2a

(16) 2 + 105 − (−4) 2 + 105 = 2a

256 + 105 − 16 + 105 = 2a 361 − 121 = 2a

19 − 11 = 2a 8 = 2a 8 a= 2 a=4 Ya que encontramos a y conocíamos c, podemos encontrar b Centro Educativo Kinal

195

c2 = a2 + b2 c2 – a2 = b2 100 – 16 = b2 84 = b2 Luego escribimos la ecuación

x2 y2 − =1 16 84

Ejemplo 6: La estación guardacostas de Honduras está a 200 millas hacia el sur de la estación guardacostas de Guatemala y ambas están a la misma distancia de la línea divisoria entre los dos países. Un barco navega a 50 millas al norte de la línea divisoria entre Guatemala y el Salvador y en forma perpendicular a esta línea. Desde las dos estaciones se envían señales de radio a una velocidad de 980 pies (pies por microsegundo). Si a la 1:00 p.m. la señal desde µs Guatemala llega al barco 400 microsegundos después que la señal enviada de Honduras, localiza la ubicación del barco en ese instante. Solución: Poniéndole A a la estación de Honduras y B a la estación de Guatemala y colocando las estaciones sobre el eje x y el barco en el eje “y”, nos queda la siguiente figura.

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196

Como a la 1 p.m. la llegada de la señal desde B tarda 400 microsegundos más que la llegada de la señal de A, la diferencia entre las distancias indicadas en ese momento es:

d1 − d 2 = (980)(400) = 392,000 pies Como sabemos que la diferencia entre las dos distancias nos da como resultado la longitud de su eje, 392,000 = 2a 392000 2 a = 196000 a=

Convirtiendo a millas por estar dadas las distancias entre las estaciones en millas, a = 196,000 pies *

a2 =

1milla 1225 = millas 5280 pies 33

1500625 1089

a 2 ≈ 1378 Conociendo a y c podemos encontrar b

c2 = a2 + b2 c2 – a 2 = b2 10000 – 1378 = 8622 Escribimos la ecuación

x2 y2 − =1 1378 8322 Teniendo la ecuación y la coordenada en el eje “y”, podemos encontrar la coordenada del eje x.

x2 50 2 − =1 1378 8322 Centro Educativo Kinal

197

x2 2500 − =1 1378 8322

x2 2500 = 1+ 1378 8322 x2 10822 = 1378 8322 10822(1378) 8322 14912716 x2 = 8322 x = 42.33 x2 =

La posición del barco es (42.33, 50) Ejercicios: Encuentre los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola. Traza la gráfica correspondiente mostrando las asíntotas y los focos.

1.

x2 y2 − =1 9 4

2.

x2 y2 − =1 49 16

3.

y2 x2 − =1 16 25 2

4.

7.

y 2 − 4 x 2 = 16

8.

y 2 − 2x2 = 8

9.

16 x 2 − 4 y 2 = 1

10. x 2 − 9 y 2 = 1

2

11.

( x − 3) 2 ( y + 2) 2 − =1 9 7

2

12.

( x + 1) y 2 − =1 25 4

y x − =1 25 16

5.

x2 −

y =1 8

6.

x2 −

y2 =1 15

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198

13. x2 – 4y2 + 2x – 3 = 0 14. y2–4x2 – 12y–16x+ 16 =0 15. 4y2 –x2 +40y–4x+60 = 0 16. 25x29y2+100x+54y+10=0 17. 144x2–25y2+864x–100y–2404=0

18. En 1911, el físico Ernest Rutherford (1871—1937) descubrió que si se disparan partículas alfa hacia el núcleo de un átomo, terminan siendo rechazadas por este en trayectorias hiperbólicas. En la figura se ilustra trayectoria de una partícula que empieza 1 hacia el origen a lo largo de la recta y = x y llega hasta menos 2 de 3 unidades del núcleo. Encuentre la ecuación de la trayectoria.

19. Un avión Un avión se desplaza a lo largo de la trayectoria hiperbólica que se ilustra en la figura. Si una ecuación de la trayectoria es 2y2 – x2 = 8, determina cuán cerca llega el avión a una ciudad ubicada en (3,0). (Sugerencia: Sea S el cuadrado de la distancia de un punto (x, y) sobre la trayectoria a (3, 0), y encuentra el valor mínimo de S)

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199

20. Un barco navega con un curso a 100 millas de una costa recta y paralelo a la misma. El barco envía una señal de peligro la cual reciben dos estaciones guardacostas A y B, situadas a 200 millas de distancia entre sí, como se muestra en la figura. Al medir la diferencia en los tiempos de recepción de la señal, se determina que el barco se encuentra a 160 millas más cerca de B que de A, localice las coordenadas en donde se encuentra el barco.

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200

5.2 LEYES DE LOS SENOS La ley de los senos se utiliza especialmente para resolver triángulos acutángulos. Un triángulo acutángulo es aquel que no tiene ningún ángulo recto. Los triángulos acutángulos se subdividen en triángulos acutángulos y ángulos obtusángulos. Triángulos acutángulos son los que sus tres ángulos son agudos. Triángulos obtusángulos son los que tienen un ángulo obtuso. En las leyes de los senos, el seno de un ángulo dividido entre su lado opuesto es igual al seno del otro ángulo dividido entre su lado opuesto. Para colocar los ángulos y lados en un triángulo, si a un lado renombramos A o α , el lado opuesto será a. Si a un ángulo le nombramos β, su lado opuesto será b

Si lo que necesitamos encontrar es un lado, colocamos los lados en el numerador

a b c = = senα senβ senγ Si necesitamos encontrar un ángulo,

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201

senα senβ senγ = = a b c

Ejemplo 1: Resolver el triángulo

α = 30 0

β = 95 0

a = 25

Solución: Para resolver triángulos aplicando la ley de los senos, debemos conocer una pareja, ángulo y lado opuesto del mismo y otra pareja que se conozca sólo un lado o ángulo. Por conveniencia trazaremos un triángulo como el anterior y le colocamos los datos como referencia para poderlo resolver sin confundirnos 300 c

b 950

γ 25

Como conocemos la pareja de alfa y a, tomamos el valor desconocido que es b, con su ángulo b 25 = 0 sen95 sen30 0 25sen95 0 b= sen30 0

b = 49.8 De la otra pareja no conocemos nada pero sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 1800, podemos encontrar el ángulo puesto que conocemos dos

γ = 180 0 − 30 0 − 95 0 γ = 55 0 Centro Educativo Kinal

202

Luego podemos encontrar el otro lado. c 25 = 0 sen55 sen30 0 25sen55 0 c= sen30 0 c = 41

Ejemplo 2: Resolver el triángulo

γ = 46.47 = 650

b= 40

c = 32

α 32

40

β 46.470 a

sen 46.47 senβ = 32 40 40 sen46.47 0 senβ = 32

senβ = 0.90627 El seno de un ángulo es igual en un ángulo agudo que en uno obtuso, por ejemplo, el seno de 300 es igual que el seno de 1500. Como encontramos el seno de un ángulo, este valor puede ser de un agudo o de un obtuso. Encontremos el ángulo agudo

β = sen −1 0.90627 Centro Educativo Kinal

203

β = 65 0 Como ya tenemos dos ángulos, podemos encontrar el tercero α = 180 0 − 65 0 − 46.47 0

α = 68.530

Ahora podemos encontrar el otro lado

a 40 = 0 sen68.53 sen65 0 a=

40sen68.530 sen65 0

a = 41 Como sabemos que el seno de un ángulo tiene el mismo valor un ángulo agudo que uno obtuso, resolveremos el triángulo pero con el ángulo obtuso

α 40 32 46.470 a

β Los lados conocidos podemos ver que no cambia su longitud pero sí los ángulos restantes y el lado a Como ya encontramos el seno del ángulo β, buscaremos el ángulo obtuso que sería el ángulo suplementario del de 650 β = 1800 – 650 β = 1150 Centro Educativo Kinal

204

Luego procedemos igual que el anterior, a encontrar las partes restantes.

α = 180 0 − 115 0 − 46.47 0 α = 18.530 a 40 = 0 sen18.53 sen65 0 a=

40sen18.530 sen65 0

a=14 Ejemplo 3: Resolver el triángulo

α = 35 0

a = 25

b = 75

γ 75

25

β

350 c

senβ sen35 0 = 75 25 senβ =

75sen35 0 25

senβ = 1.720729

Concluimos que no existe triángulo con estos datos puesto que el seno de un ángulo no puede ser mayor que uno ni menor que menos uno

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205

Ejemplo 4: Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfono inclinado a un ángulo de 9° en dirección opuesta al Sol proyecta una sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo, Calcula la longitud del poste.

Solución: Como nos indican que el poste está inclinado en dirección opuesta del sol, esto significa que el ángulo debe medirse a partir del eje “y”

El ángulo que conocemos es el de afuera del triángulo, buscamos entonces el ángulo complementario y dibujamos nuestro triángulo con su ángulos correspondientes

θ h 640

810

21 Para aplicar la ley de los senos debemos conocer una pareja, ángulo y su lado opuesto, en este caso no los conocemos pero sí podemos encontrar el ángulo opuesto al lado de que mide 21 θ = 1800 – 640 – 810 θ = 350

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206

h 21 = 0 sen64 sen35 0

21sen64 0 sen35 0 h = 33 h=

R. La altura del poste es de 33 pies. Ejemplo 5: Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 kilómetros al norte del punto Q. Un corredor avanza en dirección N25°E desde Q al punto R, y luego de R a P en dirección S70°O. Calcula la distancia recorrida. Solución: Principiamos dibujando los datos que nos dan P

Q Cuando los ángulos están dados de esta forma, se miden a partir del norte o del eje “y”. Haremos planos cartesianos por separado y luego los uniremos R 250 R Q 700

Cuando trazamos una línea inclinada entre dos rectas paralelas, los ángulos que quedan entre ellas son iguales Centro Educativo Kinal

207

R P

q 45

0

250 700

3Km p 250 Q Podemos encontrar el lado q q 3 = 0 sen 25 sen 45 0 q=

3sen25 0 sen45 0

q = 1.79 Km. Para encontrar p necesitamos conocer el ángulo P P = 1800 – 250 – 450 P = 1100 p 3 = 0 sen110 sen45 0

p=

3sen110 0 sen45 0

p=4 La distancia recorrida es entonces p + q d = 1.79+4 d = 5.79 Km. R. La distancia que recorrió el corredor fue de 5.79 kilómetros.

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208

Una embarcación pesquera comercial utiliza equipo de sonar para detectar un banco (o cardumen) de peces a 2 millas al este de la embarcación, la cual se mueve en dirección N5l°O a razón de 8 millas por hora (figura I

(a) Si la embarcación navega a 20 millas por hora, calcula en qué dirección debe avanzar la embarcación para interceptar el cardumen. (b) Encuentra el tiempo que tardará en interceptar el banco de peces. SOLUCIÓN: Sabemos que los ánulos dados de esta forma se miden a partir del eje vertical. Dibujamos entones nuestro triángulo.

β 20mi / h

390

θ 2 millas

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8mi / h

209

Para resolver un triángulo, las medidas de los lados deben ser homogéneas, en este caso tenemos dos lados con estas medidas, puesto que están dados en velocidades y las dos están en las mismas dimensionales.

senθ sen39 0 = 8 20 8sen39 0 senθ = 20 senθ = 0.25173 θ = 14.580 Como el ángulo que encontramos es el agudo y medido a partir de la horizontal, buscamos el ángulo complementario para poder escribir su dirección, el cual nos da de 75.42; luego la dirección que debe tomar la embarcación es de N75.420E. Para encontrar cualquier distancia necesitamos conocer el valor del ángulo β. β = 1800 – 390 – 14.580 β = 126.420 Ahora podemos escribir nuevamente el triángulo con los datos que encontramos. Para encontrar el tiempo, necesitamos conocer cualquiera de las dos distancias, ya sea la del barco o la de los peces puesto que solamente conocemos la velocidad de cada uno. Denotemos con x la distancia del barco y encontremos su distancia.

x 14.580 2 millas x 2 = 0 sen39 sen126.42 0 2 sen39 0 x= sen126.42 0

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126.420 390

210

x = 1.56millas

Encontrando el tiempo d v 1.56 t= 20 t = 0.078 horas convertido a minutos 0.078*60 = 4.78 minutos t ≈ 5 minutos Problemas propuestos Resuelve el triángulo ABC 1. α = 40 0 a = 56 γ = 70 0 t=

2.

β = 50 0

γ = 115 0

b = 48

3.

α = 60 0

β = 75 0

c = 150

4.

α = 72 0

γ = 75 0

b = 50

5.

a = 62

b = 55

α = 58 0

6.

b = 76

c = 45

β = 70

7.

α = 50 0 40´

β = 35 0 30´

a = 40

8.

α = 14 0 25´

γ = 55 0 35´

a = 25.36

9.

β = 65.28 0

γ = 100.25 0

a = 15

a = 60

c = 35

10. γ = 430

11. Un camino recto hace un ángulo de 15° con la horizontal. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 57°, un poste vertical que está a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo, como se muestra en la figura. Calcula la longitud del poste.

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211

12. Los ángulos de elevación de un globo desde los puntos A y B a nivel del suelo son de 24°10’ y 47°40’, respectivamente. Como se muestra en la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas uno del otro y el globo se encuentra entre ambos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo.

13. En la figura se muestra un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ángulo de 25° con la horizontal. Calcula la longitud d del soporte que se requiere para que el panel haga un ángulo de 45° con la horizontal

14. Un camino recto hace un ángulo de 22° con la horizontal. Desde un punto P sobre el camino, el ángulo de elevación de un aeroplano A es de 57°. En el mismo instante, desde un punto Q situado a 100 metros cuesta arriba, el ángulo de elevación al mismo aeroplano es de 63°. Como se indica en la figura, los p, Centro Educativo Kinal

212

Q y A están en el mismo plano vertical. Calcula la distancia desde P al aeroplano.

15. Un agrimensor observa que la dirección del punto A al B es S63°O y la dirección de A a C es S380O. La distancia de A a B es de 239 yardas y la distancia de B a C es 374 yardas. Calcula la distancia de A a C. 16. Un Guardabosques ubicado en un punto de observación A localiza un incendio en dirección N27°lO’E. Otro guardabosques ubicado en un punto de observación B a 6 millas directamente al este de A, advierte el mismo incendio en N52040´O. Calcula la distancia entre cada punto de observación y el incendio. 17. Originalmente una torre estaba perpendicular al suelo y medía 179 pies de altura. Debido al hundimiento del terreno, ahora se ha inclinado cierto ángulo θ con respecto a la perpendicular como se muestra en la figura. Cuando se observa la parte alta de la torre desde un punto situado a 150 pies del centro de su base, e1 ángulo de elevación es de 53.3°. a) b)

Calcula el ángulo de desviación θ Calcula la distancia d que se ha movido el centro de parte superior de la torre con respecto a a perpendicular.

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213

18. Una catedral se encuentra sobre una colina, como se muestra en la figura. Cuando se observa la parte superior del campanario desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48°; cuando la observación se hace desde una distancia de 200 pies de la base de la colina, el ángulo de elevación es de de 410. La colina se eleva en un ángulo de 32 la altura de la catedral. El ángulo de inclinación de la colina es de 320. Calcula la altura de la catedral.

19. Un helicóptero vuela a una altitud de 1000 pies sobre la cima de una montaña, la cual mide 5210 pies de altura, como se indica en la figura. Desde lo alto de esa montaña y desde el helicóptero se ve una segunda más elevada que la primera. Si desde el helicóptero, el ángulo de depresión es de 430, y desde la cima de la montaña el ángulo de elevación es de 180. (a) Calcula la distancia de pico a pico de cada montaña. (b) Calcula la altitud de la montaña más alta.

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214

20. El volumen V del prisma triangular recto que se muestra en la 1 figura es de Bh , donde B es el área de la base y h es la altura 3 del prisma. (a) Calcula h, (b) Calcula V.

5.3

LEY DE LOS COSENOS

La ley de los cosenos, al igual que la ley de los senos, nos sirve para resolver cualquier triángulo, la utilizaremos específicamente para resolver triángulos oblicuángulos. Para resolver triángulos aplicando la ley de los cosenos, necesitamos conocer las tres partes que se encuentren juntas, lado, ángulo y lado, el ángulo tiene que ser el que forman los dos lados que se tomen en cuenta.

γ a

b

c En donde el lado opuesto a cualquier ángulo se encuentra de la siguiente forma

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215

c = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

Con palabras podríamos decirlo: raíz cuadrado de la suma de los cuadrados de los lados menos 2 por los dos lados por el coseno del ángulo que forman los dos lados

γ a

b

β

α c

De igual forma podemos encontrar cualquier otro lado, por ejemplo si tomamos el lado a, los de enfrente de este lado serían b, c y α . a = b 2 + c 2 − 2bc cos α

Para encontrar los ángulos podemos también seguir un procedimiento que nos facilitará la solución de los triángulos, analizando los mismos.

γ a

b

β

α c

Si queremos encontrar cualquier ángulo, sería encontrando el coseno inverso de la suma de los cuadrados de los lados que lo forman menos el lado opuesto al ángulo también elevado al cuadrado y todo esto dividido entre el producto de 2 por los dos lados que forman el ángulo Por ejemplo: si queremos encontrar el ángulo β  a2 + c2 − b2 2ac 

β = cos −1 

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  

216

Para encontrar α , los lados que forman este ángulo son b y c y por supuesto su lado opuesto a  b2 + c2 − a2 2bc 

α = cos −1 

  

Ejemplo 1: Resolver el triángulo a=3 b=5 Solución: Dibujamos el triángulo para orientarnos

γ = 35 0

β c

3

α

350 5

c = 3 + 5 − 2 * 3 * 5 * cos 35 c=3.07 2

2

0

Ahora ya podemos encontrar otro ángulo de la forma que aprendimos

 3.07 2 + 5 2 − 3 2  2 * 3.07 * 5

α = cos −1 

  

α = 34.09 0 El l otro ángulo se puede encontrar por diferencia. β = 1800 – 39.09 – 350 β = 105.910 Ejemplo 2: Resolver el triángulo

34

12

α

β 25 Centro Educativo Kinal

γ

a = 34

b = 12

c = 25

217

Solución: En este caso no conocemos ningún ángulo pero conocemos los tres lados. Un triángulo de esta forma no se puede resolver por ley de senos, únicamente por la de cosenos.  34 2 + 25 2 − 12 2  2 * 34 * 25

β = cos −1 

  

β = 15.650  34 2 + 12 2 − 25 2  2 * 34 * 12

γ = cos −1 

  

γ = 34.19 0 El otro ángulo se puede encontrar por diferencia o por la misma fórmula  25 2 + 12 2 − 34 2   α = cos −1   2 * 25 * 12 

α = 130.160 Ejemplo 3: Un paralelogramo tiene lados de longitud de 30 cm, y 70 cm. Si uno de sus ángulos mide 650 calcula la longitud de cada diagonal. Solución: Hacemos una figura con los datos dados para poder visualizar lo que necesitamos conocer.

En la figura podemos ver que nos piden encontrar las distancias AD y BC. Como el ángulo CDB es suplementario, entonces D = 1800 – 650 D=1150.

d1 70 1150 30 Centro Educativo Kinal

218

d1 = 30 2 + 70 2 − 2 * 30 * 70 * cos1150

d1 = 87cm Para encontrar d 2 dibujamos el otro triángulo

70

d2

650 30

d 2 = 70 2 + 30 2 − 2 * 70 * 30 * cos 650 d 2 = 63.44cm R: La longitud de cada diagonal es de 87 cm y 63.44cm.

Ejemplo 4: Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 17° con la horizontal. Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un punto a 72 pies cuesta abajo medido desde la base de poste.

SOLUCIÓN: Recordemos que si tenemos una línea inclinada y le trazamos infinitas líneas horizontales, los ángulos correspondientes serán iguales, así también los ángulos opuestos por el vértice.

b

0

107 72 170 Centro Educativo Kinal

40

170

219

Como conocemos dos lados y el ángulo que forman estos dos lados, aplicamos la ley de los cosenos

b = 72 2 + 40 2 − 2 * 72 * 40 * cos107 0

b = 92 R: La mínima longitud del cable será de 92 pies. Ejemplo 5: Calcula el área del trilángulo ABC con a = 4, b = 7 y c = 5 Solución: Existen dos formas de encontrar el área de un triángulo oblicuángulo. 1ª. Encontrando cualquier ángulo y escribiendo A como área, no como ángulo. A=

1 cosθ*lados que forman el ángulo 2

Como no conocemos ningún ángulo, podemos encontrar cualquiera. Para ayudarnos podemosdibujar el triángulo A

7

C  7 2 + 4 2 − 52   C = cos  2 * 7 * 4   −1 C = cos (0.714286) −1

C = 44.420 A=

1 sen44.42 0 (7)(4) 2

A = 9.79cm 2 Centro Educativo Kinal

4

5

B

220

2ª. Si conocemos los tres lados del triángulo podemos utilizar la fórmula de Herón. A = s ( s − a )( s − b)( s − c)

En donde s es el semiperímetro del triángulo

s=

a+b+c 2

S=

7+4+5 2

S=8

A = 8(8 − 4)(8 − 7)(8 − 5) A = 8(4)(1)(3) A = 96 A = 9.8 cm2

EJERCICIOS: Resuelva los siguientes triángulos. 1. α = 60 0

b = 20

c = 30

2. γ = 450

b = 12

a = 15

3. β = 150 0

a = 150

c = 50

4. β = 730 50 ,

c = 14

a = 87

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221

5. γ = 115010 '

a = 1.1

b = 2.2

6. α = 230 40 '

c = 4.3

b = 3.2

7. a = 2

b=3

c=4

8. a = 10

b = 20

c = 30

9. a = 25

b = 150

c = 60

10.

b=5

c = 15

a=3

11. El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73040' y los lados que se unen en esta esquina miden 175 y 150 pies de largo. Calcula la longitud del tercer lado y el área del terreno. 12. Para hallar la distancia entre los puntos A y B, un agrimensor escoge un punto C que está a 420 yardas de A y a 540 yardas de B. Si el ángulo ACB mide 63°l0’, calcula la distancia entre A y B. 13. Dos automóviles salen de una ciudad al mismo tiempo y circulan en carreteras rectas que difieren 840 en dirección. Si viajan a 60 y 45 millas por hora, respectivamente, ¿a qué distancia aproximada se hallarán uno de otro al cabo de 20 minutos? 14. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 18O pies de longitud. Calcula el ángulo más pequeño entre los lados y el área del terreno. 15. Una embarcación sale del puerto a la 1:00 PM. y navega al S350E a una velocidad de 24 millas por hora. Otra sale del mismo puerto a la 1:30 PM. y navega al S200O a 18 millas por hora. ¿Aproximadamente a qué distancia se encuentran una de otra a las 3:00 PM.? 16. Un aeroplano vuela 165 millas desde el punto A en dirección 1300 y luego 80 millas en dirección 245°. ¿A qué distancia aproximada se encontrará del punto A 17. Un trotador corre a una velocidad constante de una milla cada 8 minutos en dirección S40°E durante 20 minutos y luego en dirección N20°E durante los siguientes 16 minutos. Calcula. al décimo de milla más cercano, la distancia desde el punto final al punto de partida de la pista. Centro Educativo Kinal

222

18. Los puntos P y Q ubicados a nivel del suelo están en lados opuestos de un edificio. Para hallar la distancia entro los puntos, un agrimensor escoge un punto R que está a 3 pies del punto P y a 438 pies del Q y luego determina que el ángulo PRQ mide 37°40' . Calcula la distancia entre P y Q. 19. Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta triangular con lados de 2 km., 4 km. y 3km. respectivamente. Recorrió el primer lado en dirección N20°O y el segundo en dirección SθoO donde θ es la medida en grados de un ángulo agudo. Encuentra la dirección en que recorrió el tercer lado. BIBLIOGRAFÍA


Algebra y Trigonometría con geometría swokowski
Matemáticas previas al cálculo de Leithold
Algebra de Baldor
Algebra de Lehman
Algebra elemental de Alfonse Gobran
Internet

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analítica

de