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• ROBINSON CIRO QUISPE PEREZ

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS DEPARTAMENTO DE GESTIÓN DE LA PRODUCCIÓN

TÍTULO “CORRECCIÓN DEL LIBRO DE ANÁLISIS ECONÓMICO EN INGENIERÍA”

CURSO: ANÁLISIS ECONOMICO DE INGENIERIA DOCENTE: EYZAGUIRRE TEJADA, Roberto ALUMNOS: • • • •

Chávez Zúñiga Rodrigo Alonso Gomez Lizana, Anthony Valerio Muñoz Rosas Katherine Allison Rojas Suarez, Gissel Andrea

2018-I

ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA - GP 234

FIIS – UNI

Contenido 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES:.............................................................4 1.1 Interés (I).................................................................................................4 1.2 Tasa de Interés (i)...................................................................................4 1.3 Equivalencia............................................................................................4 1.4 Costo de Capital......................................................................................5 1.5 Interés Simple..........................................................................................5 1.6 Interés Compuesto..................................................................................6 2. FACTORES Y SU EMPLEO........................................................................7 2.1 Símbolos y Definiciones..........................................................................7 2.2 Deducción de Fórmulas y Factores:.......................................................8 3. TIPOS DE TASAS DE INTERES:..............................................................17 3.1 Tasa de Interés Nominal (in)..................................................................17 3.2 Tasa de Interés Proporcional o del Periodo (i p)....................................17 3.3 Tasa de Interés Efectiva (ie)..................................................................18 3.4 Tasa de Interés Adelantado o Tasa de Descuento (d).........................19 3.5 Tasa de Interés al Rebatir.....................................................................20 4. INFLACIÓN Y DEVALUACION:...............................................................43 4.1 Definiciones...........................................................................................43 4.2 Definición de Evaluación y Aplicaciones..............................................52 5. PRINCIPALES MODALIDADES DE OPERACIONES FINANCIERAS.....58 5.1 Operaciones Activas Prestamos...........................................................58 5.2 Operaciones Pasivas...........................................................................67 6. BASES PARA LA COMPARACION DE ALTERNATIVAS:........................69 6.1 Valor Presente y Evaluación del Costo Capitalizado............................69 6.2 Valor Anual Equivalente........................................................................72 6.3 Tasa De Retorno...................................................................................72 6.4.

Tasa Interna De Retorno(Tasa De Retorno) En Inflación.-..............76

7. RELACION BENEFICIO COSTO Y PERIODO DE RECUPERACION DE CAPITAL.........................................................................................................86 7.1 Relación Beneficio Costo......................................................................86 7.2 Periodo de Recuperación de Capital (PRO)........................................88 8. REEMPLAZO, RETIRO, ANÁLISIS Y EQUILIBRIO..................................92 8.1 Objetivo.................................................................................................92 8.2 Análisis de reemplazo mediante el Costo Uniforme Equivalente (CAUE) .....................................................................................................................92

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8.3. Periodo de estudio en el análisis de reemplazo..................................93 8.4.

Cálculo del valor de reemplazo para un defensor............................96

8.5 Determinación del tiempo de retención de un activo............................96 Problemas....................................................................................................101 9. DEPRECIACIÓN Y AGOTAMIENTO.......................................................104 9.1

Depreciación. -................................................................................104

9.2

Métodos de Depreciación...............................................................104

9.3

Agotamiento....................................................................................109

9.4

Métodos de Agotamiento................................................................110

10.

LOS IMPUETOS SOBRE LA RENTA EN EL ANÁLISIS ECONOMICO 115

10.1. Definiciones......................................................................................115 10.2. El principio del Escudo Fiscal..........................................................116 11. EFECTO DE LA DEUDA SOBRE LA EMPRESA..................................123 12. COSTO DE CAPITAL.............................................................................126 12.1. Definición..........................................................................................126 12.2 Costos de los Componentes de la Estructura del Capital................126 13. EVALUACIÓN EMPRESARIAL.............................................................133 13.1. Evaluación económica....................................................................133 13.2. Evaluación Financiera.....................................................................134

CAPÍTULO 1

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1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: El objetivo de este capítulo es suministrar la terminología básica de la ingeniería económica y los conceptos fundamentales que forman la base del análisis económico. 1.1 Interés (I) Es la manifestación del valor en el tiempo, el cual es una medida del aumento de la cantidad original como inversión o préstamo, obteniéndose una cantidad final acumulada. Se obtiene al restar la cantidad original a la cantidad acumulada en un periodo de tiempo establecido: I =Cantidad Acumulada−Cantidad original 1.2 Tasa de Interés (i) Es la división entre el interés obtenido y la cantidad original en un determinado unidad de tiempo cuya representación es porcentual.

i=

I x 100 % Cantidad original

Ejemplo 1.1: Si se invierte S/. 100,000 al inicio de un año y se obtiene S/. 190,000 al final de ese año. Calcular el Interés y la tasa del Interés. Solución: a) Calculo del Interés (I):

I = 190 ,000 − 100,000 = S/.90,000 b) Calculo de la tasa de Interés (i):

i=

90,000 ( 100% )= 90% 100,000

Anual

1.3 Equivalencia El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizados simultáneamente, generan el concepto de equivalencia, lo que significa que sumas diferentes de dinero a términos diferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico. Por ejemplo: Si la tasa de interés es de 6% anual, $100 de hoy (es decir actualmente) equivaldrán a $106 en un año. Por que como sabemos:

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Cantidad Acumulada =100+100x0.06 = (1 + 0.06) = 100(1.06) = $106. 1.4 Costo de Capital Representa el costo del dinero obtenido de diversas fuentes tales como venta de acciones, bonos, préstamo directo, etc. 1.5 Interés Simple Es la ganancia del capital principal o stock de efectivo ignorando cualquier interés que se halla acumulado en los períodos anteriores, donde se obtiene al multiplicar el interés (i), el número de periodos(n) y el valor del dinero inicial (P) en una misma unidad de tiempo:

I = P. i. n

Interés Simple

Dónde: I: P: i: n:

Interés, ganancia, crédito o devengado. Principal, capital o stock inicial de capital. Tasa de interés por periodos considerados. Número de periodos.

El tamaño del período puede ser: un día, una semana, un mes. Si el interés (I) se agrega al principal (P) el resultado se denomina monto (F) o stock final.

F = P + I

Monto o Stock Final Del Efectivo

Ejemplo 1.2: Determinar el interés sobre S/. 1,000 al 12% de interés simple anual durante: a.- 2 años b.- 8 meses c.- 150 días. Determinar además el stock final para (c). Solución: a.- Para 2 años: P = S/. 1,000 i = 12% anual n=2 I =P .i . n I = (1,000) (0.12) (2) I = S/. 240 b.- Para 8 meses:

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P = S/. 1,000 im = (12%)/12 = 1% (tasa proporcional mensual) n = 8 días I = (1,000) (0.01) (8) I = S/. 80 c. - Para 150 días: P = S/. 1,000 id = 12%/360 (tasa proporcional diaria) n = 150 días I = 1,000 x (0.12/360) x 150 I = S/ 50 F=P+I F = 1,000 + 50 F = S/. 1,050 (stock final) 1.6 Interés Compuesto Es la suma de la ganancia del capital y de los intereses acumulados en períodos anteriores. En el interés compuesto, el interés de los períodos se incrementa al capital (capitalización de intereses). Ejemplo 1.3: Calcular el monto total adeudado al cabo de 3 años si se solicita un préstamo de S/. 1,000 al 70% de interés compuesto anual. Solución: Para el año 1: Interés año 1 = (1,000) (0.70) = S/. 700 Monto total adeudado al final del año 1 = 1,000 + 700 = S/. 1,700. Para el año 2: Interés año 2 = (1,700) (0.70)= S/. 1,190 Monto total adeudado al final del año 2 = 1,700 + 1,190 = S/. 2,890 Para el año 3: Interés año 3 = (2,890) (0.70) = S/. 2,023 Monto total adeudado al cabo del año 3 = 2,890 + 2,023 = S/. 4,913

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CAPÍTULO 2 2. FACTORES Y SU EMPLEO 2.1 Símbolos y Definiciones a. Símbolos y su Significado P = Valor o suma de dinero en un tiempo presente. F = Valor o suma de dinero en un tiempo futuro. A = Un pago simple en una serie de "n" pagos iguales hechos al final de un período. N = Número de períodos de pagos de interés. i = Tasa de Interés. b. Flujo de Caja Al resultado de la resta entre entradas (ingresos) y desembolsos (gastos) se le denomina flujo de caja.

Flujo de Caja = Entradas − Desembolsos Ejemplo 2.1: Si se compró un televisor en 1,992 por S/. 900 y los costos de mantenimiento anuales fueron de S/. 40 durante 3 años, y luego se vendió por S/. 500. ¿Cuál es el flujo de caja? Solución: Año 1992 1993 1994 1995

Entrada 0 0 0 500

Desembolso 900 40 40 40

Flujo de Caja -900 -40 -40 460

Es importante tener presente que todas las entradas, desembolsos y por lo tanto los valores de flujo de caja, se consideran cantidades de fin de período. c. Diagrama de flujo de caja Es la representación gráfica del flujo de caja en una escala de tiempo, en donde el tiempo cero representa el presente así por ejemplo, el tiempo tres representa el final del período de tiempo tres. En la escala de tiempo, de la siguiente figura, las flechas hacia arriba indican un flujo de caja positivo, y hacia abajo un flujo de caja negativo.

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0

10

30

1

2

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100 3

4

5

6

5 Otra manera de representar lo anterior es como sigue:

0

10

30

1

2

-5 3

100 4

5

6

Ejemplo 2.2: Supongamos que usted desea depositar en su cuenta de ahorro, a partir del siguiente año, una cantidad anual de S/. 20,000 durante los primeros 3 años y luego, una cantidad anual de S/. 50,000 durante los dos años siguientes. ¿Cómo resultará su flujo de caja? Solución: Colocando las cifras en miles de soles se tiene: 20 0

1

P =?

20

20

50

50

2

3

4

5

i = 70%

También: 20

20

20

50

50

1

2

3

4

5

0

2.2 Deducción de Fórmulas y Factores: a. Factor de capitalización de un solo pago o imposición Cálculo de un valor futuro (F) dado un valor presente (P) a una tasa de interés "i" en "n" períodos. Gráfico: F=

P 0

1

2

3

Deducción:

8

n-1

n

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Al final del primer período se tiene: F1 = P + P.i F1 = P (1 + i) Al final del segundo período se tiene: F2 = F1 + F1.i F2 = F1 (1 + i) = P (1 + i).(1 + i) F2 = P (1 + i) 2 Al final del tercer período se tiene: F3 = F2 + F2 i F3 = F2 (1 + i) = P (1 + i) 2 .(1 + i) F3 = P (1 + i) 3 Al final de n períodos por inducción matemática se tiene:

F ¿ P ( 1+i )

n

n

A la expresión ( 1+i ) se le denomina factor de capitalización de una sola imposición o pago y se le designa como (F/P i, n), entonces el valor futuro de una imposición se expresa como: F = P (F / P, i, n)

En las tablas de interés se dan los valores de los factores para cada período. Ejemplo 2.3: Si se invierte S/. 1,000 ahora al 6% de interés anual capitalizable anualmente. ¿Cuál es el monto al final del cuarto año? F = 1,000 (1 + 0.06) 4 F = S/. 1,262 b. Factor del valor actual de una imposición Calculo de P dado F, i y n, donde despejando P en la relación que calcula el monto de una imposición o pago único.

P = F

1

( ) ( 1+i )

n

1 n El factor: ( 1+i ) es el llamado: Factor del Valor de una Imposición. Su asignación es (P/F, i, n) entonces:

P = F (P / F, i, n)

Ejemplo 2.4: Si dentro de cuatro años se va a recibir S/. 1,262 entonces su valor actual al 6% anual capitalizable anualmente es: 9

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P = ( 1,262 ) .

(

1

( 1+0.06 )

4

)¿

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S/.1,000

O bien, utilizando la notación del factor y las tablas de intereses: P = 1,262 (P / F, 6%, 4) = 1,262 x 0.7921 = S/. 1,000 c. Factor de capitalización de una serie de imposiciones iguales: Cálculo de un valor futuro o stock final (F) dada una serie de imposiciones iguales (A) depositados al final de cada uno de los "n" períodos a una tasa de interés "i". Gráfico:

0

A

A

1

2

A n-1

A

F=?

n

Aplicando la formula F = P (1 + i) n, determinada en (a), para cada pago (A) se tiene: F = A (1 + i) n-1 + A (1 + i) n-2 +...... + A (1 + i) + A .0 Multiplicando esta igualdad por (1+i) se tiene: F ( 1 + i ) = A ( 1 + i ) n + A ( 1 + i ) n-1 + ...... + A ( 1 + i ) 2 + A ( 1 + i ) Restando la primera igualdad a esta última, resulta:

F = A

(

( 1+i ) n − 1

i

)

n

( 1+i ) − 1

i El factor, se denomina “Factor de Amortización de una serie de pagos o imposiciones iguales”, y se le denota como (F/A, i, n), entonces: F = A (F / A, i, n)

Ejemplo 2.5: Calcular el monto de una serie de 5 pagos de S/. 100 hechos al final de cada año al 6% de interés compuesto anual:

100

100

100

100 10

F =? 100

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0

1

2

3

4

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5

i = 6% anual. El punto marcado con 0 (cero) es el presente o inicio del año 1 y el marcado con 1 es el final del año 1 y comienzo del año 2. El valor futuro se puede calcular por partes aplicando la fórmula F= P (F/P, i, n) para cada valor A, pero es más fácil aplicando la fórmula encontrada en (c) así se tiene:

F = ( 100 ) . .

(

( 1+0.06 )5 − 1

0.06

)¿

S/.563.7

Aún más sencillo resulta con la notación del factor. F = 100 (F / A, 6%, 5) = 100 (5.637) = S/. 563.7 d. Factor de amortización constante o factor de capitalización en serie de pagos iguales: Despejando A en la fórmula hallada en (c) se tiene:

A = F

(

i n

( 1+i ) − 1 i

)

n

El factor que resulta, ( 1+i ) − 1 se denomina “Factor de amortización constante o factor de amortización en serie de pagos iguales", entonces: A = F (A / F, i, n)

Ejemplo 2.6: ¿Si se desea acumular S/. 563.7 mediante cinco entregas anuales al 6% de interés compuesto capitalizable anualmente el valor de cada pago ha de ser?

A= ( 563.7 ) .

(

0.06

( 1+0 .06 )

¿ ) − 1

5

S/.100

Equivalente a: A= 563.7 (A/F, 6%, 5)= S/.100

e. Factor de recuperación de capital: Cálculo de A dado un valor presente P, i y n. De las relaciones anteriormente encontradas tenemos:

11

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i

(

A = F

n

( 1+i ) − 1

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)

, F

= ( 1+i )

n

Reemplazando el valor de F se obtiene: A =

i. ( 1+i)

(

P

i. ( 1+i ) n

( 1+i )n − 1

)

n

n

El factor ( 1+i ) − 1 se denomina: Factor de recuperación de capital. Se le designa: (A/P, i, n), entonces: A = P (A / P, i, n)

Ejemplo 2.7: S/. 100,000 invertidos al 50% de interés compuesto capitalizable anualmente, suministrarán 8 pagos de fin de año de: Solución: Gráfico: - 100000 0

A.

A

A --------------------2 7

1

A = ( 100,000 ) .

(

0 .5. ( 1+0.5 )8

( 1+0.5 )8− 1

)

A 8

¿ S/.52,032

Usando la notación del factor y las tablas: A = 100,000 (A / P, 50%, 8) = 100,000 x 0.5203 A = S/. 52,03 f. Factor del valor actual de una serie de pagos iguales En la fórmula anterior se puede despejar P: P=

A

(

( 1+i ) n−

i. (1+i )

1 n

)

n

( 1+i ) − 1 n

i. ( 1+i ) El factor que resulta, se denomina: factor del valor actual de una serie de pagos iguales: se le simboliza con (P/A, i, n), entonces:

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P = A (P / A, i, n)

Ejemplo 2.8: El valor actual de una serie de 8 pagos anuales iguales de S/. 52.03 al 50% de interés compuesto anual será:

P = ( 52.37 ) .

(

( 1+0.5 )8 − 1

0.5. ( 1+0.5 )8

)

¿ S/.52,032

Usando la fórmula encontrada: (P / A, 50%, 8) = 52,030 x 1, 9220 = S/.100, 002 Se observa error no significativo de 2 unidades, motivado por el uso de las tablas. g. Gradiente uniforme: Cuando un flujo de caja varía en la misma cantidad de cada período la cantidad del aumento o disminución se denomina gradiente (G). La deducción de las fórmulas se hallan en el Anexo A.

N°

EXPRESIÓN MATEMATICA

NOTACIÓN USANDO EL FACTOR

SIGLAS EN INGLES

1

F  P (1  i ) n

F = P (F/P, i, n)

FCCPU

P = F (P/F, i, n)

FVPPU

F = A (F/A, i, n)

FCCSU

A = F (A/F, i, n)

FFA

P = A (P/A, i, n)

FVPSU

A = P (A/P, i, n)

FRC

2 3 4 5 6

 1  P  F n  (1  i )   (1  i ) n  F  A   i   i  A  F n  (1  i )   (1  i ) n  1 P  A n   i (1  i ) 

 i (1  i ) n  A  P  n  (1  i )  1

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CUADRO DE RESUMEN

PROBLEMAS: PROBLEMA 2.1.- Si una persona deposita S/. 600 hoy, S/. 300 dos años más tarde y S/. 400 de aquí a cinco años. ¿Cuánto tendrá en su cuenta dentro de diez años si la tasa de interés es del 5%? Solución: El valor futuro es igual a la suma de los pagos únicos individuales en el año 10 de esta manera: F= 600 (F / P, 5%, 10)+ 300 (F / P, 5%, 8)+ 400 (F / P, 5%, 5) = 600 (1.6289) + 300 (1.4774) + 400 (1.2763). = S/. 1,931.1 PROBLEMA 2.2.- ¿Cuánto dinero estará dispuesto a pagar ahora por un pagaré que producirá S/.600 anuales durante nueve años a partir del año entrante, si la tasa de interés es del 7%? Solución: P = 600 (P / A, 7%, 9) P = 600 (6.5152) P = S/. 3,909.1 PROBLEMA 3.3.- Determinar el valor presente a la tasa del 10% anual, de las siguientes cantidades S/. 300 a comienzo del año 3, S/. 400 al final del año 5, y S/. 200 al final del año 6. Solución: P=? 0

300 1

2

400 3

4

5

200 6

P = 300 (P / F, 10%, 2) + 400 (P / F, 10%, 5) + 200 (P / F, 10%, 6)

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P = 300 x 0.8264 + 400 x 0.6209 + 200 x 0.5645 P = S/. 609.2 PROBLEMA 2.4.- ¿Cuál es el flujo uniforme equivalente del problema anterior? Solución:

0

A

A

A

A

1

2

3

4

A 5

A 6

A = 609.2 (A / P, 10%, 6) A = S/. 139.87 PROBLEMA 2.5.- Calcule el valor presente al 10% de las cantidades colocadas en la siguiente escala de tiempo: (P) 100

100

100

0

1

2

3

100

100

4

5

100 6 (año)

Solución: A continuación se presenta dos métodos de solución: Primer Método: a) Se calcula el valor presente de las cantidades consideradas hasta el año 2. b) Se calcula el valor futuro de las tres últimas cantidades y se traslada al año cero. c) Se suman los resultados. Solución: a) P1 = 100 (P / A, 10%, 2) + 100 = 273.6 b) P2 = 100 (F / A, 10%, 3) (P / F, 10%, 6) = 186.8 c) P = P1 + P2 =S/. 460.4 Segundo Método:

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a) Se adiciona S/. 100 en el año 3 para completar la serie, se traslada al presente y se disminuye la cantidad equivalente sumada anteriormente. Gráficamente se tiene: 100

100

0

1

100

2

100

3

100

4

5

100

6

100 (agregado) P = 100 (P/A, 10%, 6) + 100 - 100(P/F, 10%, 3) P = S/. 460.4 PROBLEMA 2.6.- Si una persona puede hacer hoy una inversión que requiere un gasto de S/. 3,000 para recibir S/. 5,000 dentro de 5 años. ¿Cuál será la tasa de retorno sobre la inversión? Solución: 5,000

0

1

2

3

4

5

3,000 P = F (P/F, i, n) 3,000 = 5,000 x

1 (1+i)5

(1+i)5 = 5/3 i = 10.76% PROBLEMA 2.7.- Una reparación efectuada en la actualidad evitará otras reparaciones, si la reparación actual cuesta 5,000 dólares y el valor cronológico del dinero es 20%. ¿A cuánto debería elevarse el costo de las reparaciones al año siguiente, para justificar que se efectúe dicha reparación en el momento actual? Tómese en cuenta también una pérdida por producción de 400 dólares hasta el final del año siguiente: Solución: F=? -400

-5000 0

1 (Año)

5000 = (F - 400) (P/F, 20%, 1) F = $ 6 400.

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Reparación de fin de año deberá ser mayor que 6,400 dólares para que se justifique el costo de reparación actual.

CAPÍTULO 3

3. TIPOS DE TASAS DE INTERES: 3.1 Tasa de Interés Nominal (in) Es una tasa anual de interés donde se especifica la frecuencia de conversión (o número de periodo de conversión) y a partir de esta información se determina la tasa de interés del periodo. Ejemplo: Tasa de interés nominal es 40% capitalizable semestralmente, lo cual significa que el 40% es anual y su frecuencia de conversión es en cada 6 meses. 3.2 Tasa de Interés Proporcional o del Periodo (ip) Es el interés que gana la unidad monetaria en un periodo por lo general menor de un año. La tasa de interés proporcional se calcula dividiendo la tasa nominal entre el número de períodos (m) considerados. 0E in i p= m Ejemplo 3.1: La tasa de interés nominal (i n) es 60% capitalizable trimestralmente. Se pide calcular la tasa de interés proporcional del periodo (i p).

12 meses 3 meses i i p= n m

m=

ip = 15%

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Ejemplos de tasa de interés nominal con su respectivo periodo de conversión así como su correspondiente tasa de interés del periodo: Tasa nominal de interés

Periodo de conversión Por año ( m) 12% convertible anual 1 12% convertible semestral 2 12% convertible trimestral 4 12% convertible mensual 12

Tasa de interés del periodo (ip) 12% 6% 3% 1%

3.3 Tasa de Interés Efectiva (ie) Es el interés que gana la unidad monetaria en un año, dependiendo de una tasa de interés nominal y el número de periodos de capitalización. Deducción de la fórmula: P = Una cantidad presente. F = Una cantidad futura (al cabo de un año). in = Tasa de interés nominal. m = Número de períodos en el año. ie = Tasa de interés efectiva. ip = Tasa de interés del período. F=P(1+i p)m

i e =(1+i p )m−1

En un año se tiene que F = P (1+i e), reemplazando el valor F en la expresión anterior se obtiene: P ( 1+i e ) =P(1+i p)m

ie  (1 

in m ) 1 m

ie  (1  ip) m  1 Ejemplo 3.2: Si un banco pagó 12% de interés anual capitalizando trimestralmente ¿Cuál es el valor futuro en un año de S/. 100? Solución: P = 100 in = 12%

18

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12 m= =4 3 100 0

F =? (un año o 4 trimestres)

4

F = P (1 + ip )m F = 100(1+0.03)4 = 100 (F/P, 3%, 4) F = 112.55 De la expresión F = P (1+i n)n, donde (in) es el interés nominal anual y n el número de años que se deduce, en el Anexo B, las fórmulas de interés compuesto continuamente. La tabla siguiente nos muestra el efecto de la frecuencia de capitalización: Tasa de Interés Nominal con capitalización 5% anual 5% semestral 5% trimestral 5% mensual

Tasa de Interés Efectiva 5.0000 % 5.0625 % 5.0940 % 5.1160 %

3.4 Tasa de Interés Adelantado o Tasa de Descuento (d) Es la tasa de interés que se aplica como factor al valor final (F), para obtener un interés (D), denominado descuento o interés adelantado. Si se desea conocer el descuento en la unidad de tiempo se hace uso de la siguiente fórmula: D=d.F

Como se observa la tasa de descuento es referida a una cantidad futura y la tasa de interés a una cantidad presente. En consecuencia la cantidad presente se calcula mediante: P=F-D

Relación entre la Tasa de Interés (i) y Descuento (d) Se puede calcular el descuento (o interés) en una unidad de tiempo, usando la tasa de descuento o la tasa de interés. En el primer caso En el segundo casa

D = F .d I = P. i

… (a) … (b)

Para D = I, por tanto se iguale (a) con (b) F. d = P. i

19

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d=

Para un período se tiene:

P i F

FIIS – UNI

...

F = P.(1 + i)

(c)

...

(d’)

Reemplazando el valor F de (d’) en (c).

d=

Pi i = P (1 + i ) 1+i

En esta fórmula se observa que la tasa de descuento es menor que la tasa de interés. La fórmula también se puede presentar de la siguiente manera:

i=

d 1-d

3.5 Tasa de Interés al Rebatir Es una tasa de interés que se cobra sobre los saldos de la deuda pendiente. Por ejemplo Si tenemos una deuda de S/. 100,000 al 60% pagadera en cuatro cuotas semestrales. En el primer semestre el pago por concepto de interés asciende a S/. 30,000. 60% (S/.100.000) 2 En el segundo, la deuda pendiente es S/. 75,000 (se amortizó la cuarta parte de la deuda), los intereses son S/. 22,500. 60% (S/. 75,000) y así sucesivamente. 2

20

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FIIS – UNI

PROBLEMAS: PROBLEMA 3.1.- ¿Cuál es el interés eficaz de un inversionista que paga por un bono la cantidad de S/. 3,000 el cual tiene una antigüedad de 8 meses, siendo el valor nominal de S/.2,500 con un interés nominal de 20% capitalizable trimestralmente y con un tiempo de retención de 1 año . ? Solución: -2500

F

0

ip=

1 (año)

20% =5%=it 4

Hallando el F: F = 2,500 (F/P, 5%, 4) F = S/. 3,038.77 3000 0

1

F = 3,038.77

8

12

F = 3,000 (F/P, in, 4) 3,038.77= 3000 (F/ P, in, 4) 1.01 = (F/P, in, 4) De la formula F=P (1+i)n Hallando in

:

21

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in = 0.00249 Hallando ie : (1 + ie) = (1 + in)12 ie = (1 + in )12 - 1= 3.03% PROBLEMA 3.2.- Una empresa constructora recibió en calidad de préstamo, la cantidad de S/. 130,000 a pagarse en 3 meses. La tasa de interés trimestral es de 10%. Calcular el interés, el monto total y la tasa de descuento si en lugar de préstamo se realiza una operación de descuento. Solución: Como I = D

,I=F-P

-Hallando el Monto: F = P (1+ i) F = 130,000(1 + 0.1) = 143000 -Hallando el interés: I = 130000x10% = 13,000 D = I = 13,000 -Hallando tasa de descuento: D=d.F

D 13,000 d= = x100 F 143,000 d

0.1 0.1  1

 9.09%

PROBLEMA 3.3.- Se necesita S/. 8000 para comprar unas computadoras en los próximos 3 años, se desea saber cuánto se debe deflactar mensualmente a un interés nominal anual de 12% capitalizable semestralmente. Solución:

0

A

A

F = 8,000

1

2

36 (mes)

22

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m=2 ,

in =is=6% m

in =12%,

(1 + is ) = (1 + im )6

FIIS – UNI

d

( 1 + is )1/6 - 1 = im,

im = 0,00975

En los 3 años se tendrá: A = F (A/F, im,36) A = 8,000 (A/F, 0.97%, 36) A = 186.53

PROBLEMA 3.4.- ¿Cuánto dinero habrá que retirar de una cuenta de ahorros si estos retiros se realizan semestralmente, debido a inversiones que se realizan en la compra de bonos? Al cabo de 2 años se posee en la cuenta de ahorros S/. 150,000. Para no afectar dicho saldo se deposita mensualmente una pequeña suma de S/. 100 a la tasa de interés de 12 % capitalizable trimestralmente. Solución: m=4

12% im =it = =3% m 4

P

F

0

0

it = 3 %

1

2

(1 + in)3 = ( 1 + it ) in = ( 1 + it )1/3 – 1 in = 0.99 % Analizando los depósitos: F = A (F/A, in, 24) = A (F/A, i, n) F1 = 100 (F/A, in, 24) Analizando los retiros: F = A (F/A, i n, n)

23

1 (trimestre)

3 (mes)

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F2 = - A (F/A , is , 4 ) De F = 150,000 150,000 = 100 (F/A, in, 24) - A (F/A, is, 4) Hallando is: (1 + is ) = (1 + it )2 i s = ( 1 + i t )2 - 1 is = 6.09 % Del Gráfico:

0

100

100

-A 100

1

2

6

A=

100(F / A ,in,24 )−150 ,000 ( F/ A ,is,4 )

A=

100(F / A ,0 .99%,24 )−150 ,000 ( F / A ,6.09%,4)

-A 100 12

-A 100 24 (mes)

A = -33,627.96 PROBLEMA 3.5.- Se tiene un bono con un valor nominal de S/. 1,000, con una vida de 2 años y con un interés mensual del 2 %. Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono este inversionista si han transcurrido 13 meses desde la vigencia. El interés eficaz es del 36 %. Solución: 1,000 20 20 ………………...

Pinv =? 20 ……………. 0 1 2 Interés Mensual (I):

13

14

I = Vn. ip = (1,000)(0.02) = 20 ie= 0.36 1+ ie = (1 + in)12

24

15

24

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Inversionista: iinv = (1.36)1/12 - 1 Pinv = 20 (P/A, iinv, 11) + 1,000 (P/F, iinv, 11) Pinv =189.32 + 754.82 = 944.14 PROBLEMA 3.6.- Si una persona deposita S/.1,000 hoy, 3,000 dentro de cuatro años y 1,500 de 6 años, a una tasa de interés del 6% anual capitalizada semestralmente ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?

Solución: 1000 0 0

1 2

3000 2 4

3 6

4 5 8 10

1500

F=?

6 7 8 9 10 12 14 16 18 20

(P.anual) (P.semestral)

Primer Método: Consiste en calcular el interés efectivo anual y luego utilizarse para encontrar F en el año 10. ie = ( 1 + 0.06/2)2 -1 = 6.09% Entonces: F = 1,000(F/P, 6.09%,10) + 3000(F/P, 6.09%,6) + 1500(F/P, 6.09%,4) F = S/. 3,841.93 Segundo Método: Como la capitalización es semestral a un interés del 3% por período se calculará el valor futuro considerado los períodos semestrales. F = 1,000 (F/P,3%,20) + 3000(F/P,3%,12) + 1500 (F/P,3%,8) F = S/. 3,841.93 PROBLEMA 3.7.- Calcular el depósito mensual necesario para acumular S/.5, 000 en 5 años a un 6% nominal anual capitalizado diariamente. Solución: A

A

A

A ………………... 25

5,000 A=?

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0 1 2 59 60 (mes) El interés efectivo mensual se calcula de la manera siguiente:

Interés .Diario=id=

0. 06 360

Se considera como 30 el número de días por mes, por consiguiente existen 30 períodos de capitalización en el mes. Interés efectivo del período: En los cinco años hará un total de 60% depósitos.

im=(1+

0 , 06 30 ) −1 360

im = 0.501% A = F (A/F, 0.501%,60) A = 5,000 (A/F, 0.501%,60) A = S/. 71.64 mensual. Caso de Bonos.El bono es un documento valorado emitido por una institución con el propósito de financiar proyectos, en este documento consta el tiempo de vigencia y el interés que se ha de pagar periódicamente al tenedor del bono, en otros tipos de bonos el interés se capitaliza y al vencimiento de éste el tenedor del bono recibe el valor nominal más los intereses acumulados.

PROBLEMA 3.8.- Una persona tiene un bono de Reconstrucción con un valor nominal de S/. 100,000 al 56% capitalizable trimestralmente y con periodo de vigencia de 2 años. Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea ganar el 90% capitalizable trimestralmente? Solución: 100,000 0 0

1

F =? 2

3

1 4

5

6

7

2 8

(año) (trimestre)

El poseedor del bono recibiría al cabo de dos años la siguiente cantidad. F = 100,000(F/P, 56/4%, 8) F = S/. 285,529 El inversionista de acuerdo a lo que él desea ganar, estaría dispuesto a 26

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pagar en el presente: P = 285,259 (P/F, 90/4%, 8) P = S/. 56253.57 PROBLEMA 3.9.- Una persona tiene bonos de S/.1, 000 c/u al 60%. El interés se pagará trimestralmente siendo el tiempo de vigencia de 5 años. Si un inversionista desea ganar el 90% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por cada bono? Solución: 150 0 0

1

150 150 150

2

1,000 ………..

1 4

3

5 (año) 20 (Trimestre)

Datos del Bono: Valor Nominal = S/. 1,000 Duración (n) = 5 años o 20 (trimestres) Tasa nominal Anual = 60% Tasa trimestral = i = 15% Interés Trimestral = 15% x 1,000 = S/. 150 Datos del Inversionista: Tasa Nominal Anual = 90% Tasa Mensual im = 7.5% El inversionista al adquirir el bono en el presente (t=0) recibirá en el transcurso de los 5 años, las cantidades que se muestran en el gráfico pero como él desea obtener el 90% capitalizable mensualmente deberá hacer los siguientes cálculos para determinar la cantidad equivalente a pagar por el bono. Procedimiento: a) Calcular la tasa efectiva trimestral ya que el inversionista desea una capitalización mensual. b) Calcular el valor presente de las cantidades del gráfico, con la tasa determinada en (a). SOLUCION: a). (1+r) = (1+im)3 r = (1,075)3 - 1

27

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r = 0.2423 b).Cantidad dispuesta a pagar por cada bono (VP = Valor presente) VP = 150 (P/A, 24.23%, 20) + 1000 (P/F, 24.23%, 20) VP = S/. 624 PROBLEMA 3.10.- Diez compañeros de trabajo de una empresa deciden conformar una junta en las siguientes condiciones:  El Aporte acordado de cada participante que no ha obtenido la Junta deberá ser de S/. 100,000 mensuales.  La cantidad total recaudada al final de cada mes se ha de sortear entre los participantes que aún no han obtenido el monto.  El favorecido en el sorteo del monto, adquiere el compromiso de devolver en los meses restantes, la cantidad adeudada en cuotas mensuales iguales considerando para dicho cálculo una tasa del 5% de interés mensual a fin de compensar el efecto de la inflación. Se pide construir una tabla donde se señale los aportes mensuales de cada participante. Solución: Primer Mes: La cantidad total recaudada en el primer mes en miles de soles, es: P = 100 x 10 = S/.1000 Si el primer participante obtiene la Junta, entonces su deuda es: D = 1,000 - 100 = S/. 900 Por consiguiente el pago mensual (cuota) durante los 9 meses siguientes es: A = 900 (A/P, 5%, 9) A = S/. 126.62 1000 (100)

A

A

A

9

10

………………………... 1

2

Segundo Mes:

28

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Cantidad Recaudada: P = (100) x 9 + 126.3 = 1,026.3 Si el segundo participante obtiene la Junta se deuda es: D = 1,026.3 - 100 (F/A, 5%, 2) D = S/. 821.3 La cuota mensual es: A = 821.3 (A/P, 5%, 8) A = S/. 127.1 1,026.3 (100)

(100)

A

A

A

.……………. 1

2

3

9

10

En general se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar la cuota mensual de cada participante que ha obtenido la Junta. A = P - 100 (F/A, 5%n) (A/P, 5%, (10 - n)) Para n: 1,2, ......,10 Aplicando esta fórmula se obtiene la siguiente tabla: Participante por mes Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

.............

6

7

8

100.0 126.3 -

100.0 127.3 -

100. 0127. 6-

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............

100.0 129.1 -

100.0 129.6 -

100.0 130.1 -

PROBLEMA 3.11.- Calcular la tasa de interés vencida y efectiva de S/. 1000 a 90 días si el descuento es de S/. 130 Solución: D = d.F

29

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d = (130/1,000) = 0.13

i=

d 1−d

i = 14.94% , n = 360/90 ie = (1+i)n ie = 459.76% En consecuencia las tasas de interés vencida y efectiva son 14.94% y 174.55% respectivamente. PROBLEMA 3.12.- Si la tasa efectiva anual (ie) es 40% ¿Cuál es el descuento (D) de una letra por S/.100 que vence dentro de 90 días? Solución: F = S/.100 ie = 40% Período (p) = 90 días Número de períodos en el año (n) = 360/90 = 4 -Cálculo del interés del período (ip) ip = (1+ie)1/n – 1 = 8.7% -Cálculo de la tasa de descuento (d)

d=

ip 1+ip

..........(2)

d= 8% -Cálculo del descuento (D) D=d F D = S/. 8.00 Adicionalmente con la información anterior, se calcula el interés del período. P. ip = F .d = D

ip=

D p

30

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ip=

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d F −D

ip = 0.087%

PROBLEMA 3.13.- Con una tasa del 15% transfórmese la siguiente serie no uniforme en una serie uniforme: una suma de S/. 20,000 se presenta al comienzo del primer año, en los diez años siguientes, se presentan sumas de S/. 8,000 al final de cada año durante los primeros 4 años y 10,000 al final de cada año durante los 6 años restantes. Se presentan sumas complementarias de S/. 6,000 al principio del tercero y el sexto año. Solución: (En miles de nuevos soles) El diagrama de flujo será el siguiente:

20

8

6 8

8

8

6 10

10

10

10

10

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Cálculo de la serie anual: A = 20 + 8(P/A, 15%, 4) + 10 (P/A, 15%, 6) (P/F, 15%, 4) + 6 (P/F, 15%, 2) + 6(P/F, 15%, 5) (A/P, 15%, 10) A = S/. 68939.680 PROBLEMA 3.14.- Determinar el valor de una cantidad X de Soles, sabiendo que se efectúa los siguientes depósitos: X : al inicio del año 1 X + S/.100 : al final del año 3 A un interés del 12% capitalizado mensualmente. Estos depósitos han de cubrir 6 pagos trimestrales de s/.300 a partir del quinto año. Solución: X A

A

A

0

1

2

X+100 A A 3

4

Valor Presente de los Depósitos: 31

A

A = 300

5

6

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P = X + (X+100) (P/F, 1%, 36)................. (1)

Valor Presente de los Pagos Trimestrales: P = [300 + 300(P/A, ip, 5)] (P/F, 1%, 48)...... (2) 3

0.03 ip= 1+ −1=3.0301% 3

(

)

Igualando (1) y (2) se tiene:

X = S/. 569.56 PROBLEMA 3.15.- Una persona tiene un bono de S/. 1,000 al 70%. El interés se pagará trimestralmente siendo el tiempo de vigencia de 6 años. Si un inversionista desea ganar el 100% capitalizable cada dos meses ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono? Solución:

i p=(70/ 4 )% Bono: I = S/. 1,000x0.175 n = 24 períodos P = 175(P/A, 26%,24) + 1,000(P/F, 26%,24) P =VA (26%, 24,-175)+VA (26%, 24,-1000) P = S/. 674.4 Inversionista

i p =(100/6)% Tasas de interés trimestral (i T )

1 1.5 i = 1+ −1=26% T 6

( )

PROBLEMA 3.16.- Una persona tiene un bono de Reconstrucción con las siguientes características:  Valor nominal de S/. 100  Tasa de interés : 56% capitalizable trimestralmente  Vigencia del bono : dos años

32

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 Meses que faltan para su redención : 13 ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea un rendimiento efectivo de 181%? Solución: 100

Pi =? …………………..………………………

0

i=

11

F 24 mes

56 %=14 % 4

Valor del bono al cabo de dos años (F) F = 100 (F/P, 14%, 8) F = S/. 285,259 Tasa de interés del periodo (ip) para el inversionista ip =8.99% Monto que puede pagar el inversionista (P1) Para n =13

p, =

F 285 .259 = n ( 1+ i ) (1 . 0899 )n

P = S/. 93.156 PROBLEMA 3.17.- Una persona que depósito en una entidad financiera una suma A, hace tres años, desea determinar la cantidad de dinero que tiene en el presente, cuenta para ello con la siguiente información:

AÑO 1 2 3

TASA DE INTERES % 60 70 90

CAPITALIZACIO N mensual quincenal diario

a) ¿Cuánto dinero posee al cabo de 3 años? b) ¿Cuál es la tasa efectiva y la tasa nominal equivalente de una capitalización trimestral?

33

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Solución: A 0

1

2

3

a) Valor en el año 3 (A3) A

3

12 0.7 24 0.9 360 = A(1 + 0.6 ) (1 + ) (1 + ) 12 24 360

A3 = 8.797 A b) Tasa efectiva equivalente (ie) A (1 + ie)3 = 8.797 A ie = 106.43% Tasa nominal equivalente (in) 4

in =( √ 2. 0643−1) x 4

i 4 ie= 1+ −1 4

( )

in = 79.46% PROBLEMA 3.18.- Una importante compañía manufacturera compró una maquina semiautomática por un valor de S/.13,000. Su mantenimiento anual y el costo de operación ascendieron a S/. 1,700. Cinco años después de la adquisición inicial, la compañía decidió comprar una unidad adicional para que la maquina fuera totalmente automática. La unidad adicional tuvo un costo original de S/.7,100. El costo de operación de la maquina en condiciones totalmente automáticas fue de S/.900 anuales. Si la compañía uso la maquina durante 16 años y después vendió la unidad automática adicional en S/.1,800¿Cuál fue el costo anual uniforme equivalente de la maquina a una tasa de interés de 9% ? Solución: 13,000 0

7,100 1,800 (venta) 1,700 1,700 900 900 …………………………………. 1

5

6

34

16

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FIIS – UNI

-Valor presente de las adquisiciones y la venta....................... (P 1) P1 = 13,000 +7,100 (P/F, 9%, 5) - 1,800 (P/F, 9%, 16) P1= 17161.14727 -Valor presente del costo de operación.................................. (P2) P2 = 1,700 (P/A, 9%, 5) - 900 (P/A, 9%, 11)(P/F, 9%, 5) P2 = 2631.790911 -Costo anual uniforme (A) P1 + P2 = 19792.93091 A = (P1 + P2) (A/P, 9%, 16) = S/. 2,381.09

PROBLEMA 3.19.- Al inicio del primer año, la persona A hace un depósito de S/.100 en una entidad financiera. La tasa de interés es del 80% capitalizable trimestralmente, al término del primer semestre del primer año, otra persona B hace un depósito de S/. 100 en otra entidad financiera a una tasa del 90% de capitalización continúa. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la persona B tenga 50% más que A? Solución: A: 100 ………………………….. 0 

1

2

n años

80% cap. Trimestral B: 100 ………………………….. 0



1

2

n años

90% cap. Continuo

-Cálculo del valor futuro de A (FA) FA = P (F/P, 20%, n) = 100 [(1 + 0.20)4]n = 100 x (2.0736)n

35

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FIIS – UNI

-Cálculo del valor presente B (PB) p B=

100 100 = m (0 . 9 x 0 .5 ) e e

-Cálculo de la tasa de interés anual (iB)

iB=e

0. 9

−1=155 . 96 %⇒146 %

-Cálculo del valor futuro de B (FB) FB = 63.7628 (1 + 1.46)n FB = 1.5 F n= 2.63 años.

PROBLEMA 3.20.- Un señor tiene s/ 20000 quiere depositar el dinero suficiente con el fin de obtener S/ 50000 para educar a su hijo; si el hijo tiene 5 años y comienza sus estudios a los 18 años. ¿Cuánto deberá depositar el señor con el fin de poder ganar un 8% de interés con capitalización trimestral. Solución: P =?  Edad hijo

5

6

F = 50000 18

7 ………………….

0

1

2

13 años

in = 8% capitalizable trimestralmente Tenemos que m = 4 Entonces: i p=

in 8 % = =2 % m 4

ie = (1+ip)4 - 1 ie = 8.24% P = F (P/F, ie, n) P = 50000(P/F, 8.24%,13) P = 17861.94

36

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FIIS – UNI

RTA: 17861.94 PROBLEMA 3.21.- ¿Cuánto dinero podemos retirar trimestralmente durante 15 años de un fondo de retiro que produce 8% de interés anual capitalizable semestralmente? Se tiene actualmente 40000. Solución:

P = 4000 0

A

A A …………………………………

1

4

15 años

in =8% anual capitalizable semestralmente

in 8 = =4 m 2 it = (1+0.04)1/2 -1 i p=

it = 1.98% A = P (P/A, it, n) A = 40000 (P/A, 1.98%,60) A = 1145.15 RTA =1145.15 PROBLEMA 3.22.- ¿Cuántos depósitos mensuales de $45 debe efectuar una persona con el objeto de acumular $10000 si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable semestralmente? Solución:

0

45

45

45 45 …….………………..

1

2

3

n

in = 10% anual capitalizable semestralmente 10 in ip = 2 = 2 = 5% im = (1+0.05)1/6 - 1 im = 0.82% Sabemos:

F = A (F/A, im, n)

37

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10000 = 45 (F/A, 0.0082, n)

10000=45

(

n

( 1+0. 0082) −1

0. 0082

)

2.822= 1.0082n Log2.822 = n log1.0082 0.45= (n) 0.00354 n = 127 PROBLEMA 3.23.- Diez participantes en una Junta (100 $/ cu). La modalidad para obtener la junta es al remate. El primer mes salió con El segundo mes salió con El tercer mes salió con

: $ 150. : $ 160. : $ 175.

Al final del cuarto mes un participante por motivo de viaje se retira de la Junta. Se pide determinar la cantidad que se le deberá entregar. Solución: Para el 1er mes: Recibe : $ 1000 Deuda

: $ 900

Cuota

: $ 150

Número de Cuotas: 9 Cálculo del interés: P = D (P/A, i, 9) 900=150(P/A, i, 9)

Period o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Amortizació Deuda n Interés Saldo 900.00 69 81 831 831.00 75.21 74.79 755.79 755.79 81.99 68.021 673.81 673.81 89.31 60.69 584.45 584.49 97.39 52.60 487.09 487.09 106.16 43.811 380.85 380.85 115.76 34.285 265.14 265.14 126.13 23.866 139.08 139.08 137.48 12.52 1.51

Total Paga r 150 150 150 150 150 150 150 150 150

i= 8.98% Aproximando: i = 9.00% Para el 2do mes: -Recibe = 150 + 9x100 = 1050 -Deuda = 1050 - (100 + (900+81) / 9) = 841. -Cuota = 160

Period o 3 4 5 6 7 8 9 10

Deuda Amortización Interés 841 75.9 84.1 765.1 83.49 76.51 681.61 91.83 68.16 589.71 101.02 58.97 488.71 111.12 48.87 377.61 122.23 37.76 255.38 134.46 25.51 120.92 147.99 12.09 38

Total Saldo Pagar 765.1 160 681.61 160 589.71 160 488.74 160 377.62 160 255.38 160 120.92 160 -26.98 160

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# de Cuotas = 8 -Cálculo del interés: P = D (P/A, i, 8) i = 10.4 %

841=160(P/A, i, 8)

Para el 3er mes: -Recibe = 150 + 160 + 8x100 = 1110 -Deuda: 780.7 -Cuota: 175 -# De Cuotas: 7 -Cálculo del interés:

Period o 4 5 6 7 8 9 10

Deuda 780.70 704.84 619.36 523.02 414.44 292.08 154.17

Amortizació n 75.81 85.48 96.34 108.54 122.36 137.90 155.41

Interé s 99.14 89.51 78.65 66.42 52.63 37.09 19.58

Saldo 704.84 619.36 523.02 414.44 292.08 154.17 -1.23

Total Pagar 175 175 175 175 175 175 175

P = D (P/A, i, 7) 780.7 = 175(P/A, i, 7) i = 12.7 % Para el 4to mes: -Recibe = 150 + 160 + 175 + 7x100 = 1185 -Deuda = 1185 – ((755.79+68.02)/7 + (765.1+76.51)/7 + (780.7+99.1)/7 + 100) = 1185 – 463.59 = 721.41 -Se le entrega = 1185 – 721.41 = 463.59 PROBLEMA 3.24.- Se trata de un préstamo bancario de 40 millones de soles a una tasa de interés efectiva de 27%, pero el Banco cobra el interés por adelantado. Se debe hallar la Tasa de Descuento equivalente y los cuadros de pago de la deuda a lo largo de 4 meses (a cuotas, decrecientes, constantes y crecientes). Solución: Siendo:

i = 0.27

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1−d =

FIIS – UNI

1 1+i

Entonces: d = 0.2126 d = 21.26%. 1.-CUOTAS DECRECIENTES (Amortización constante = 50800/4) 8100 12700

10800 0 50800

5400 12700

1

2700 12700

2

12700

3

4

Importe Inicial = 40 000 000/(1-d) = 50 800. Nro.

SALDO

AMORTIZACI ON

0 1 2 3 4

50800 50800 38100 25400 12700

12700 12700 12700 12700 50800

INTERES

CUOTA

Saldo*0.2126 10800 8100 5400 2700 27000

10800 20800 18100 15400 12700

2.- CUOTAS CONSTANTES (Cuota = pago)

10800 0 50800

A1 C1 I1

A2 C2 I2

1

2

A3 C3 I3 3

A1 + A2 + A3 + A4 = 50800 C1 = (50800 – A1) d + A1 C1 = 50800d + A1.(1-d) C2 = (50800 – A1– A2) d + A2 40

A4 C4 I4 4

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C2 = 50800d + A2.(1-d) – A1d C3 = (50800 – A1- A2 - A3) d + A3 C3 = 50800d + A3.(1-d)– A2d– A1d C4 = (50800 – A1– A2– A3– A4) d + A4 C4 = 50800xd + A4.(1-d)- A3d- A2d- A1d Para (C1 = C2): 50800d + A1 (1-d) = 50800d + A2 (1-d) – A1d A1 = A2 (1-d) = A3 (1-d)2 = A4 (1-d)3 A2 = A3 (1-d) = A4 (1-d)2 A3 = A4 (1-d) A1 + A2 + A3 + A4 = 50800 A4 ((1-d)3 +(1-d)2 +(1-d)1 +1) Reemplazando (d = 0.2126), A4 = 17543.90 = C Nro

0 1 2 3 4

SALDO

50800.00 50800.00 42235.30 31358.10 17544.00

AMORTIZACI ON 3564.70 10877.20 13814.10 17544.00 50800.00

INTERES

CUOTA

Saldo*0.21 26 10800.00 8979.20 6666.70 3729.80 30175.70

10800.00 17543.90 17543.90 17543.90 17544.00

3.- CUOTAS CRECIENTES (Amortización creciente de acuerdo al N6ro de ubicación) 10800

50800

10160

15240

20320

0 50800

1

2

3

4

Nro.

0 1 2 3 4

SALDO

50800 50800 45720 35560 20320

FACTOR DE AMORTIZA CION

AMORTIZA CION 5080 10160 15240 20320 50800

1/10 2/10 3/10 4/10

41

INTERES Saldo*0.21 26 10800 9720 7560 4320 32400

CUOTA

10800 14800 17720 19560 20320

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PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa del 5,25% con capitalización diaria, que según dicho anuncio es equivalente a una tasa efectiva del 5.39%. Un inversionista tiene depositado su dinero en una cuenta que o paga el 5% capitalizable trimestralmente. Si esta persona transfiere 10000 de su cuenta al banco, ¿Qué interés adicional recibirá al año. RTA : 30% 2.- Una compañía maderera requiere incrementar su capital en 2 millones para financiar una pequeña expansión. ¿Cuál debería ser el valor nominal de sus bonos si los mismos pagarían un interés del 12% anual capitalizable trimestralmente y vencimiento en 20 años ?. Suponga que los inversionistas requieran una tasa de retorno del 16% anual capitalizable trimestralmente. RTA : 2’628,598 3.- Un inversionista compró un bono de 1,000 dólares al 5% en 825. El interés se paga semestralmente y el bono vence en 2 años. El bono se conservó durante 8 años y se vendió en 800 inmediatamente después del pago N° 16 de interés. ¿Qué tasa de retorno anual nominal se consiguió con esta inversión ?. RTA : 5.8%

42

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CAPÍTULO 4 4. INFLACIÓN Y DEVALUACION: Trataremos aquí este problema, que es muy común para las personas de todo el mundo, que es el cambio constante de los precios los cuales les crean un problema a aquellas que tienen ingreso fijo. 4.1 Definiciones La inflación (f) se describe más comúnmente en términos de un porcentaje anual que representa la tasa a la cual los precios del año en referencia han aumentado en relación con los precios del año anterior. Ejemplo 4.1: Si la tasa de inflación anual fue de 125% determinar la inflación promedio mensual.  Inflación en el año f = 125%  Inflación promedio mensual f m = ?  n =1 año = 12 meses Aplicando la fórmula determinada en el capítulo 3 "Tasa de Interés Efectiva", se obtiene: fm =

12

f + 1 - 1

12

f m= √ 1+1,25 -1

f m=7 % La pérdida del valor adquisitivo de la moneda puede expresarse matemáticamente utilizando el factor 1/(1+i) n. Deflactor El deflactor es un índice de precios con el que se convierte una cantidad ‘nominal’ en otra ‘real’. Numéricamente es el cociente entre el PBI nominal y el PBI real expresado en forma de índice. De acuerdo al siguiente cuadro

43

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AÑ O 198 8 198 9 199 0 199 1 199 2

PBI NOMINA L 40164.0 45024.9 50074.1 54775.2 58911.6

PBI REAL

DEFLACTO TASA R PBI INFLACIÓN

35911. 8 37622. 1 38980. 5 39903. 1 40378. 1

Deflactor. del . P BI . 1991 =

FIIS – UNI

111.8

5,7

119.7

7.0

128.5

7.3

137.3

6.9

145.9

6.3

PBI - nominal-1991 x100 PBI −real−1991

Deflactor.del .PBI .1991 =

54775 ,2 x100 = 137,27 39903 ,1

Deflactor . delPBI . 1992 =

PBI−nominal−1992 x100 PBI−real−1992

Deflactor . del . PBI . 1992 =

58911, 6 x 100 = 145 ,9 40378 ,1

Tasa de inf lacion. 1992= Deflactar .1992 -Deflactar . 1991 x 100 Deflactar . 1991 Tasa. inf lacion . 1992 =

145 , 9 x 100 = 6,3 137 ,3

Tasa de inflacion1992=

145.9−137.3 x 100=6.3 137.3

Ejemplo 4.2 Un empleado recibe actualmente S/. 145 como sueldo, considerando una tasa de interés real de 20% anual con una inflación anual estimada de 1.2%. Se pide el valor final del sueldo al cabo de 3 años. Solución: 145

F =?

44

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0

1

2

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3

ir = 20% fanual = 1,2% Usando:

ir =

i ′ n−f 1+f



i’ n = ir( 1+f ) +f

Y reemplazando los datos tenemos i' n=( 20 % )( 1+1,2 % )+ 1,2% i´n = 21, 44% F = P (1 + i´n )3 = 145 ( 1 + i´n )3 = 260 F = 260 Ejemplo 4.3: Se espera que la inflación aumente a razón de 15% durante 8 años. Se pide el valor futuro de la inversión actual de S/. 2 000 en una cuenta de ahorro, con un rendimiento del 10% de interés. Solución: Se calcula el valor futuro de S/ 2 000 sin descontar la inflación (Fn). Debido a eso: Fn= 2 000 (F/P, 10%, 8) Fn = 4 287,18 El valor futuro en unidades monetarias del mismo poder adquisitivo (Fr) se obtiene deflactando Fn: F r=4 287,18/(1+0,15)8 F r= 1 401,4 Ejemplo 4.4 Cuál es la inflación mensual equivalente (F m) si se tiene los estimadores para los siguientes tres trimestres: f1 = 12% , f2 = 13% , f3 = 14% Solución: F

P 0

1

2

3

45

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P (1 + fm )3 = P(1 + f1 )(1 + f2 )(1 + f3 ) (1 + fm )3 = ( 1 +f1 )( 1+ f2 )( 1+ f3 ) ( 1 + fm)3 = (1+ 0,12)( 1 + 0,13)( 1 + 0,14 ) fm = 12,9% Ejemplo 4.5 Si un trabajador tenía hace un año un haber mensual de S/. 480 y en la actualidad percibe S/. 750, considerando que la tasa de inflación anual es de 125%. Determinar el poder adquisitivo del haber actual con respecto al año anterior. Solución: P' = S/. 480 P = 750 P1 =? Poder adquisitivo del dinero al cabo de un año. f = 125% n = 1 P’ = 480 -1

Deflactando se tiene:

F

F

F1 = 750 0

F1 (1  f) n 750

1  333,33 (1  1,25)

Cálculo de la pérdida del poder de adquisición 333,33 3 0

480 -1

Pérdida del poder adquisitivo: 48 0 =

46

333,333 1+i

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i = - 30,56% Los S/. 333,333 tienen un poder adquisitivo de 69,44% con respecto al año anterior, o sea que ha perdido el 30,56% del poder adquisitivo. Los tipos de tasas de interés estudiados en el capítulo 3, tienen una característica en común: ignoran la existencia de la inflación; por eso en el lenguaje de inflación se dice que todas aquellas tasas de interés son NOMINALES. Al concepto de tasa de interés nominal, que es el que ignora la existencia de la inflación se opone la noción de interés REAL, que es la que precisamente la tiene en cuenta. Bajo estas denominaciones se tiene lo siguiente: in = tasa de interés nominal ir = tasa de interés real Se sabe que:

F 1 = P(1+i n) ................. (1) Si se toma en cuenta la inflación se tiene: F1

F= ................. (2) 1+f Remplazando (1) en (2) se tiene: F= P

(1+i n ) (1+f )

Por estar considerada la inflación, entonces: F=P(1+i r ) P(1+ i r )= P

(1+i n ) (1+ f )

i n -f i r =………...........(3) 1+f La fórmula Nº (3) también se acostumbra a ser presentada de la forma siguiente: (1+in) = (1+ir) (1+f) El problema anterior (ejemplo 4) se resuelve de la siguiente manera: De (1): i n=

−1 ∗100 (750 480 )

47

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i n = 56,25% f = 125% Aplicando (3) se tiene:

i r=

(0,5625-1,25 )*100 2,25

ir = -30,56% La tasa de interés real es negativa, lo que significa que el haber mensual del trabajador ha perdido poder adquisitivo. Observando el numerador de la fórmula: i f ir  n 1 f

Se apreciará de inmediato que se tendrá una tasa de interés real positiva si el interés nominal es mayor que la inflación. Ejemplo 4.6: Si una persona deposita una cantidad P en soles con un interés bancario de 11 % anual y la misma cantidad en dólares con un interés de 6 % anual y una devaluación anual de 10%. ¿Cuál opción le convendrá? Solución: 

Moneda Nacional: P

F

0

1

i1 = 11 % F1 = P (1 + 0,11) = 1,11P



Moneda Extranjera: P/ X

F

0

1

48

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i2 = 6 % Sea X = cantidad de soles por dólar F' 

P X

(1  0,06)

Convirtiendo los dólares a soles, aplicando la tasa de devaluación del 10%, se tiene: P F '(1,1)X = (1,06)(1,1 )X = F 2 X

F2=1,166P La mejor opción es depositar en dólares F2 Ejemplo 4.7:

P=12000

0

Un empleado recibe de sueldo en la actualidad 12 000 soles y al cabo de 5 meses recibe 19 000, asumiendo una inflación mensual del 1,5% se pide la tasa de interés real. 1

Solución: 2 3

5 mes

19 000 = 12 000( 1+ in’)5 5

i' n=9.626 % De:

F=19000

F = P (1+ in’)5

-Hallemos in:

4

19  1  in' 12

i r=

i n '−f 1+f

Tenemos: i '0,015 ir  n  0,08 1,015

ir = 8%

49

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Ejemplo 4.8: Se pide estimar la inflación mensual y anual, si las inflaciones en los tres primeros meses son: 0

f1 = 1,3% f2 = 1,2% f3 = 1,4%

0

  

f1=1.3% 1

¿Cuál es la inflación anual? Solución:

f2=1.2% 2

1 + Ft = (1+f1).(1+f2).(1+f3)

Ft = 1,013 x 1,012 x 1,014 - 1 Ft = 0, 04

fm =

3

1 f3(trimestre) =1.4% 3 (mes)

(1+fm)3 = (1+f1)(1+f2)(1+f3)

√1,04−1= 0,013

fanual = (1+ft)4 – 1 = 0,17 Ejemplo 4.9: Si se espera que la inflación aumente a razón de 125% anual, compárese la inversión actual de S/. 10 000 000 en una cuenta de ahorro por 3 años con un rendimiento del 80% de interés efectivo anual, con la inversión actual de S/. 10 000 000 en una máquina que se necesitará dentro de 3 años. Solución: Si la máquina aumenta de precio conforme a la inflación, como resultado de ésta, S/. 10 000 000 dentro de 3 años, no permitirá adquirirla, puesto que se tiene a una tasa inflacionaria del 125%, los S/. 10 000 000 se convierten en: F = 10 000 000 (1+1,25)3 = S/. 113 906 250 Esta cantidad tendrá igual poder adquisitivo que los 10 000 000 actuales; mientras que el depósito en el banco acumulará sólo: F = 10 000 000 (1+ 0,8)3 = S/. 58 320 000 Cantidad que no permite adquirir la máquina, ya que representa sólo el 51,2% del valor de ese monto. Para calcular el valor adquisitivo puede utilizarse también el cuadro de "ÍNDICE GENERAL DE PRECIOS AL CONSUMIDOR".

50

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Ejemplo 4.10 Si al 31 de abril de 1 982 una persona ganaba S/. 250 000 y al 31 de abril de 1983 gana S/. 400 000, calcular el valor real del dinero al 31/04/83. Índice General de Precios al Consumidor Io = 254,0 (índice al 31.04.82) I1 = 408,6 (índice al 31.04.83) 254,0

0

Solución:

Los índices se pueden tratar como cantidades equivalentes en el tiempo.

La tasa de inflación es: F = P (1+f)1

408,6

1

1 f 

408,6

408,6 = 254 (1+f) 254

1+ f = 1,6087 f = 60,87 % Por consiguiente, el valor adquisitivo de 400 000 (F) es de: Valor con respecto al 31.04.82: F 400 000 = = 248 654 (1+f ) (1+0,6087)

Esta cantidad representa, respecto a lo que ganaba al 31.4.82 - el 99,46% Luego calculamos el interés real: i 'n−f i r= 1+ f i r=

60 %−60.87 % 1+60.87 %

i r=0.50809 %

51

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Método Usual del Cálculo: En la práctica se opera de la siguiente manera:

408 ,6 = =1, 6087 DEFLACTOR: 254

Valor adquisitivo:=

400 000 = S/ 248 650 que viene a ser el 99,46% 1, 6087

4.2 Definición de Evaluación y Aplicaciones El término de evaluación significa simplemente el reconocimiento de que la unidad monetaria ha perdido parte de su valor adquisitivo y que en consecuencia está siendo ajustada a fin de reflejar dicha pérdida. La devaluación está referida a que la moneda ha perdido su valor adquisitivo al compararlo con otra moneda de valor más estable. Ejemplo 4.11 Se puede adquirir bonos de Reconstrucción de los tenedores primarios pagando el 38% del valor nominal. Estos bonos rinden un interés nominal del 56% capitalizable trimestralmente, siendo redimibles a los 2 años. Se puede adquirir también Certificados Bancarios en moneda extranjera al 16% anual a 30 días renovables (capitalización mensual), asumiendo una tasa mensual de probable devaluación del 4,52% se pide:

0

a) ¿Cuál es el rendimiento anual efectivo para los bonos de reconstrucción? b) ¿Cuál es el rendimiento anual del certificado bancario en moneda extranjera? c) ¿Cuál es la mejor alternativa? Solución: a) Sea B el valor nominal del bono y 0,38 lo que se pagó por éste, entonces al cabo de dos años recibe F = B (F/P, 56/4%,8) 1 4

Como sólo se convirtió 0.38 B el rendimiento o interés anual es: 0.38B = B (F/P, 56/4%,8) (P/F, i%,2) 2 (Año) 8 (Trimestre)

Con las fórmulas se tendría:

0,38 = (1+0,14)8* 1 i = 173,99% 52

(1+i)

2

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0

b) La inversión en certificado bancario en moneda extranjera es 0.38B, entonces el rendimiento anual efectivo de la inversión considerando la devaluación efectiva anual es: Dato moneda extranjera: 0,38 B 1 12

0

Interes ∗100 Inversión

Rendimiento anual =

Rendimiento anual =

0,38B

0,16 12 ) (1+0,0452)12−0,38B ] 12 2 (Año) 24 (Mes)

[ 0,38B(1+

*100

Rendimiento anual = 99,26% El factor (1+0,16/12)12 se aplica para determinar el interés de la moneda extranjera en un año y el factor (1+0,0452) 12se utiliza para convertir la moneda extranjera en nacional ya que como se menciona, en el enunciado, la devaluación es 4,52% mensual. El rendimiento se puede calcular también de la siguiente manera: (1+i) = (1+0,16/12)12(1+0,0452)12 i = 99,26% c) La mejor solución alternativa es (a). Ejemplo 4.12 Una compañía invierte S/. 3 000,00 anualmente durante 8 años comenzando dentro de un año en un nuevo proceso de producción ¿Cuánto dinero deberá recibir al final del año 8 en moneda corriente en ese entonces para que la compañía recupere su inversión a una tasa de interés del 13% anual y a una tasa de inflación del 10%? Solución: Sabemos que: if = i + if + f if =0,13+(0,13)(0,10)+0,1

53

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0

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A

2

A

…………. ……..…..….

F= A(F/A, if ,n)

1

if = 0,243

F = 3 000(F/A,24,3%,8) F = S/. 58 007

7

A

Ejemplo 4.13

8

F=? 0

P=35 000 A

¿Calcular cuánto dinero se debe ahorrar anualmente durante 12 años una fábrica empacadora de carne a través de la recuperación de residuos para justificar un desembolso de 35 000; si la tasa de interés es del 20% anual y la tasa de inflación del 7% anual? 1

A . 2 ………………… ..………….

Solución:

i = 20% anual

A

11

Hallaremos la tasa de interés inflada if = i + f + if

A

12

if = 0.2 + 0,07 +0,2 x 0,07 if = 28.4% Sabemos: A = P (A/P,if ,n) A = 35 000 (A/P, (28.4%), 12) A = S/ 10 461.00 Ejemplo 4.14

…………………

2 …...

a)

1

Solución:

P=33 000

0

Hallar la cantidad de moneda de hoy y moneda corriente en el año 10 que será equivalente a una inversión actual de S/. 33 000 a una tasa de interés anual del 15% y una tasa de inflación del 10%.

9

54

F

1

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i= 15% Sabemos P=33 000

0

F = P (F/P, i, n) F = 33 000 (F/P, 15%, 10) F = S/. 133 503, 4

1 F=?

10

Sabemos

9

if = i + f + if if = 0,15 +0,1 +0,15x0,1 if = 26,5%

…………………

2 ……

b)

F = P (F/P ; if, n) F = 33 000 (F/P, 26.5%, 10) F = S/. 346 273

Problemas Resueltos PROBLEMA 4.1 El gerente de la tienda de alimentos “Súper rápido” está tratando de determinar cuánto deberá gastar ahora para evitar el gasto de $10 000 dentro de dos años, en un equipo de refrigeración. Si la tasa de interés es de 3/2% mensual y la tasa de inflación es de 1% también mensual. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero de la que puede disponer el gerente para gastar? Solución: P = F (P/F, i’n%, 24 )

P=

F ( 1+i' n )24 55

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......................................(1) i’n = (1+f)(1+ir)-1 (1+ in)24 = (1+ f)24(1+ir)24 .............................(2) -(2) en (1)

P=

F (1+f ) (1+ir )24

P=

10 000 (1+0,01)24 (1+0,015 )24

24

P= 5 509 PROBLEMA 4.2.- A una chica con suerte le acaban de informar que su abuelo murió y le dejó una cuenta de ahorro de $3 000 000. Si el abuelo abrió la cuenta hace 50 años, con un depósito único y nunca depositó otro dólar a la cuenta original, ¿Cuánto se depositó? Suponga que la cuenta gana intereses a una tasa de 20% anual y la tasa de inflación fue de 5% durante ese período. Solución: Al igual que el problema anterior. P=

F (1+f )50(1+i r )50

P=

3 000 000 (1+0 , 05)50 (1+0,2)50

P= 28,74 PROBLEMA 4.3.- ¿Cuánto dinero podrá gastar la compañía GROQ hoy para evitar gastar $5 000 anuales por seis años a la tasa de interés de 15% y la tasa de inflación del 10% anual? Solución: Sabemos que: F P= 6 (1+f ) (1+ir )6

P=

5000 (1+0,1 )6 (1+0 , 15)6

P= 1 220,18.

56

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CAPÍTULO 5

5. PRINCIPALES MODALIDADES DE OPERACIONES FINANCIERAS 5.1 Operaciones Activas Prestamos Los préstamos de mayor interés son los que se otorgan a mediano y largo plazo. La devolución gradual de un préstamo se denomina amortización, la mayoría de las veces se efectúa pagos periódicos que incluyen además los intereses, comisiones, costos de operar el crédito, etc. La descomposición de los pagos en períodos se llama programa de amortización.

57

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Las formas usuales de pago son:  Plan de cuotas decrecientes.  Plan de cuotas constantes.  Plan de cuotas crecientes.  Sistema de reajuste de deudas. Plan de Cuotas Decrecientes También llamado " PLAN DE AMORTIZACIONES CONSTANTES ", bajo esta modalidad quien recibe un préstamo lo tiene que amortizar en partes iguales adicionando además los intereses a rebatir o sobre el saldo pendiente de cada período ya que los intereses disminuyen al disminuir el saldo de la deuda. En el cuadro No 5,1 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo esta modalidad de pago. Cuadro No 5.1:

Programa de Amortización Plan de Cuotas Decrecientes

Monto Plazo Interés Interés trimestral Amortización

: : :

Periodo Trimestra l 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL

:

Deuda S/. 10,000.00 S/. 8,750.00 S/. 7,500.00 S/. 6,250.00 S/. 5,000.00 S/. 3,750.00

S/.10 000 000 2 años = 8 cuotas trimestrales 15% anual : 15/4 = 3.75% trimestral 10 000 000 / 8 = 1 250 000

Interés y Comisión

Amortización S/. 1,250.00 S/. 1,250.00 S/. 1,250.00 S/. 1,250.00 S/. 1,250.00 S/. 1,250.00

S/. 375.00 S/. S/. 328.13 S/. S/. 281.25 S/. S/. 234.38 S/. S/. 187.50 S/. S/. 140.63 S/. S/. S/. 2,500.00 S/. 1,250.00 93.75 S/. S/. S/. 1,250.00 S/. 1,250.00 46.88 S/.   S/. 10,000.00    

58

Total a Pagar

Saldo 8,750.00 7,500.00 6,250.00 5,000.00 3,750.00 2,500.00

S/. 1,625.00 S/. 1,578.13 S/. 1,531.25 S/. 1,484.38 S/. 1,437.50 S/. 1,390.63

1,250.00

S/. 1,343.75

-

S/. 1,296.88 S/. 11,687.50

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Plan de Cuotas Constantes Mediante este sistema varía tanto las amortizaciones como los intereses, pero la suma de ambos, o sea la cuota, que se ha de pagar en cada período es constante, ésta se obtiene aplicando la siguiente fórmula: A = P (A / P, i, n) A P I n

: : : :

Cuota o armada constante Principal o préstamo Tasa de interés proporcional Número de períodos

Calculada la cuota, se determina los intereses del período y por diferencia se obtiene la amortización del préstamo en cada período. En el cuadro Nº 5,2 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo esta modalidad. Cuadro Nº 5.2: Monto Plazo Interés

Programa de Amortización Plan de cuotas Constantes : : :

S/.10 000 000 2 años = 8 cuotas trimestrales 15%  3.75% trimestral

A=10000000 ( A /P , 3.75 % , 8 ) =S /1469.98

Periodo Trimestr al 1 2 3 4 5

Interés y Deuda S/. 10,000,000.00 S/. 8,905,016.09 S/. 7,768,970.27 S/. 6,590,322.74 S/.

Amortización S/. 1,094,983.91 S/. 1,136,045.81 S/. 1,178,647.53 S/. 1,222,846.81 S/.

Comisión S/. 375,000.00 S/. 333,938.10 S/. 291,336.39 S/. 247,137.10 S/. 59

Total a Saldo S/. 8,905,016.09 S/. 7,768,970.27 S/. 6,590,322.74 S/. 5,367,475.93 S/.

Pagar S/. 1,469,983.91 S/. 1,469,983.91 S/. 1,469,983.91 S/. 1,469,983.91 S/.

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5,367,475.93 S/. 4,098,772.37 S/. 2,782,492.41 S/. 1,416,851.97

6 7 8 TOTAL

1,268,703.57 S/. 1,316,279.95 S/. 1,365,640.45 S/. 1,416,851.97 S/.   10,000,000.00

 

FIIS – UNI

201,280.35 S/. 153,703.96 S/. 104,343.47 S/. 53,131.95

4,098,772.37 S/. 2,782,492.41 S/. 1,416,851.97 S/. -0.00  

1,469,983.91 S/. 1,469,983.91 S/. 1,469,983.91 S/. 1,469,983.91 S/. 11,759,871.32

Plan de Cuotas Crecientes En este plan las cuotas aumentan en forma sucesiva a través del tiempo, esto se consigue de la manera siguiente:   

Se suma los dígitos de los períodos. Se divide el préstamo entre la suma de los dígitos ,y La amortización se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Amortización=( P )

( ms )

P : Monto Inicial m : Dígito del período S : Suma de dígitos de los períodos El sistema de cuotas crecientes es utilizado principalmente en el sector vivienda ya que permite un mayor acceso de viviendas a las familias de menores recursos. En el Cuadro Nº 5,3 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo esta modalidad. Cuadro Nº 5.3: Monto Plazo Interés

Periodo Trimestra

Deuda

Programa de Amortización Plan de Cuotas Crecientes : : :

S/. 10 000 000 2 años = 8 cuotas trimestrales 12 + 3 = 15 %  3.75% trimestral

Proporción Amortización

Amortización

60

Interés y Comisión

Saldo

Total a Pagar

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l 1

S/. 10,000,000.00

0.027778

S/. 277,777.78 S/. 375,000.00 S/. 9,722,222.22

S/. 652,777.78

2

S/. 9,722,222.22

0.055556

S/. 555,555.56 S/. 364,583.33 S/. 9,166,666.67

S/. 920,138.89

3

S/. 9,166,666.67

0.083333

S/. 833,333.33 S/. 343,750.00 S/. 8,333,333.33

S/. 1,177,083.33

4

S/. 8,333,333.33

0.111111

S/. 1,111,111.11 S/. 312,500.00 S/. 7,222,222.22

S/. 1,423,611.11

5

S/. 7,222,222.22

0.138889

S/. 1,388,888.89 S/. 270,833.33 S/. 5,833,333.33

S/. 1,659,722.22

6

S/. 5,833,333.33

0.166667

S/. 1,666,666.67 S/. 218,750.00 S/. 4,166,666.67

S/. 1,885,416.67

7

S/. 4,166,666.67

0.194444

S/. 1,944,444.44 S/. 156,250.00 S/. 2,222,222.22

S/. 2,100,694.44

8

S/. 2,222,222.22

0.222222

S/. 2,222,222.22

S/. 2,305,555.56

TOTAL

 

 

S/. 83,333.33

S/. 10,000,000.00  

S/. 0.00  

Suma de dígitos de los periodo (S) = 1+2+3+…+7+8 = 36 Operaciones de descuento con más de una amortización Plan de cuotas Decrecientes Ejemplo 5.1: Se tiene la siguiente información: 0

P = S/. 100 (cantidad recibida)

60

P=M-D

= = =

n=

180

Solución:

60 días 40% anual 180 días 12 0

Período de descuento ie Plazo

360 =6 60

d=1− 6

1

√1+ie

d=5 . 45 %

P=M−D P=M (1−d ) P 100 M= = 1−d 1−0. 0545 M=105 .76 Cálculo del monto total del préstamo (M):

61

S/. 12,125,000.00

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Cálculo del monto a amortizar cada 60 días:

180 =3 60 M 105 .76 A= = N 3 A=35 . 25

n=

Programa de Amortización Plan de Cuotas Decrecientes Monto Plazo Interés

: : :

Periodo Trimestral

Deuda S/. 105.76 S/. 105.76 S/. 70.51 S/. 35.25

0 1 2 3 TOTAL

S/. 10 000 8 cuotas trimestrales 15.75% trimestral

 

Amortización

Interés y Comisión

S/. 0.00

S/. 5.76

S/. 35.25

S/. 3.84

Saldo S/. 105.76

Total a Pagar S/. 5.76

S/. 70.51 S/. 39.09

S/. 35.25 S/. 1.92 S/. 35.25 S/. 37.17 S/. 35.25 S/. 0.00 S/. 0.00 S/. 35.25 S/. 70.50     S/. 82.02

Plan de Cuotas Constantes Sea: A = Cuota constante Cj = Amortización en el período j, j : 1,2, , , n D = Tasa de descuento M = Monto total del préstamo P = Cantidad neta recibida en el período cero n = Número de período de amortización. Para n =1 P= M-D

A

0

1

P = M-D M = C1 M = C1 = A

62

ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA - GP 234

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Para n =2

0 M A A C1 M

= = = = = =

A

A

1

2

C1 + C2 C2 C1 + C2d A - C 2d A - Ad A[ 1 + (1-d) ]

Para n =3 A

A

A

1

2

3

0

A= A = C 2 + C3 d

C3

A = C1+(C2 + C3).d

M C3 A C2 A C1 A M

= = = = = = = = = = = = =

C1 + C2 + C3 A C3 A - C 3d A - Ad C2 + C3d A - (C2 + C3)d A - (A- Ad +A)d C1 + (C2 + C3)d A + A - Ad +A(A - Ad + A)d A + [A - Ad + A](1-d) A + A[1 + (1-d)](1-d) A[1 +(1-d) + (1-d)2]

Para el período n, se tiene: M = A [1 + (1 – d) + ( 1 – d)2 + ... (1 – d)n-1 ]

...(1)

Multiplicando (1) por (1-d): M = A[ (1 – d) + (1 – d)2 + ... +(1 - d)n ] (1) - (2)

Md= A [ 1−( 1−d )n ] d 63 A=M n 1−( 1−d )

...(2)

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Efectuar el programa de amortización bajo de cuotas constantes para la siguiente información: P Período de descuento ie Plazo

= = = =

S/. 100 000 30 días 40% anual 120 días

Cálculo de la tasa de descuento:

360 30 1 d=1−12 n=

√ 1+0 . 4

=2 .765 %

Cálculo del monto del préstamo (en miles de Soles) M = M

100/ (1- 0,02765) = 102,84

Cálculo de la cuota constante: n

=

120 / 3 = 4

A=M

d n 1−( 1−d )

A=26.8

Programa de Amortización Plan de cuotas constantes Periodo Mensual 0

Deuda 102,84

Amortizació n 0

64

Dscto.

Saldo

2,843

102,84

Total a Pagar 2,84

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1 2 3 4

102,84 78,2 52,86 26,8

24,64 25,34 26,06 26,8

FIIS – UNI

2,162 1,462 0,741 0

78,2 52,86 26,8 0

26,8 26,8 26,8 26,8

Esta tabla se construye partiendo del último período, puesto que en él la amortización es igual a la cuota. Finalmente se aplica los índices que refleja la inflación y se tiene el siguiente sistema: Sistema de reajuste de deudas El sistema de reajuste de deudas o de indexación de capital está definida como el reajuste periódico y automático de determinados valores con índices que reflejan la inflación. Del capítulo anterior se tiene: (1 + in) = (1 + ir) (1 + f) f ir

: representa la tasa de reajuste de la deuda, : representa la tasa de interés básica

Programa de Amortización Sistema de Reajuste de Deudas Monto Total Plazo Interés Descuento Factor de reaj.

: : : : :

S/. 100 000 3 años 12% (ir = 3% trimestral) 90 días 40% anual (f = (1,4)0,5 - 1 = 8,77572 % trimestral)

Miles de Soles Periodo Trimestral 0 1 2 3 4 5

Deuda

Amortización

Dscto.

Saldo

100000 108776 94608 77131 55945 30397

0 21800 23700 25700 28000 30397

3000 3263 2838 2314 1678 0

100000 86976 70908 51431 27945 0

Total a Pagar 3 25603 26538 28014 29678 30397

Una modalidad de cálculo muy usada en el medio comercial para la adquisición de artefactos eléctricos, muebles, etc., es la aplicación de la tasa de interés flat. Tasa de Interés Flat o Directo

65

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Sea una tasa de interés mensual (i), el interés (I) se calcula de la manera siguiente: C : Cantidad a pagar (deuda total) n : Número de períodos (meses) I:C.i.n El monto a pagar es: M =C+C.i.n La cuota mensual (A) quedó determinada por: A = M/n = ( C + C . i . n) /n Esta modalidad de pago genera un mayor pago de intereses que los anteriores ya que el cálculo del total de estos es sobre la base de la deuda contraída inicialmente. Ejemplo 5.2 Un comprador adquirió una refrigeradora al precio de S/.2 000 y dio una cuota de S/. 200 como inicial. Para el saldo se comprometió a pagar 12 cuotas de S/. 240 c/u, el vendedor le dijo que la tasa mensual era de sólo 5%. El cálculo de la cuota mensual le demostró que se obtenía del siguiente modo: = 240 ¿Es 5% la tasa real mensual?. Determine la tasa efectiva anual. Solución: 1800

0

240

1

240

2

240

12

1 800 = 240(P/A, i, 12) (P/A, i, 12) = 1 800/240 = 7,5 DATOS DE TABLA Interés 8% i% 9%

: Factor : 7,5361 : 7,5 : 7,1607

Interpolando:

66

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La tasa de interés mensual es: i = 8,1% La tasa efectiva anual es: ief = (1+0,081)12 - 1 = 154,63% 5.2 Operaciones Pasivas Depósitos de ahorro y plazo fijo. El Banco Central de Reserva con fecha 14/01/ 98 unificó la tasa máxima de interés que las instituciones de crédito, están autorizadas a pagar por cualquier tipo de operación pasiva. En el mercado financiero la capitalización de los intereses quedó libre lo cual convirtió el tope máximo de 60% en una simple referencia para el cálculo de rendimiento efectivo. Así se tuvo que para una tasa del 60% capitalizable diariamente, el interés efectivo fue de:

0. 6 365 ) −1 365 ie=82 .12 % ie=(1+

Según la última circular del Banco Central de Reserva al Sistema financiero se tiene por ejemplo que las tasas de interés pasivo para depósito de ahorro es de 10% etc. en moneda nacional. En cuanto a la tasa de interés activa, la efectiva máxima anual por todo concepto será de 30% anual para cada año y de 15% para créditos a plazo mayor de un año. Ejemplo 5.3 Se formó una junta con 6 participantes, la cuota mensual será de S/.100 para todos aquello que no han obtenido la Junta. La forma de obtener la junta es bajo la modalidad de remate, es decir el monto total se entregará a aquel participante que presentó la mejor oferta o cuota que ha de pagar en cada uno de los meses restantes. Los ganadores de los tres primeros meses se comprometieron con cuotas de 200, 250 y 350 soles mensuales. En el cuarto mes uno de los participantes, que aún no ha obtenido la junta, decide retirarse. Se pide calcular la cantidad de dinero que le corresponde. Solución: MES 1 El primer ganador obtiene un monto de S/.600 pero le pertenecen S/.100 por consiguiente adquiere una deuda de S/.500 que devolverá en cinco cuotas constantes de S/.200 1

2

3

4 67

5

6

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199.92 ≈ 200 = 500 (A/P, i , 5) i = 28,63% MES 2 3 4 5 6

DEUDA 500 443,15 370,02 275,96 154,97

INTERES AMORT, 143,15 56,85 126,87 73,13 105,94 94,06 79,01 120,99 44,37 155,63

CUOTA 200 200 200 200 200

MES 2: Monto = 4(100) + 200 + 250 = S/. 850 Deuda = [ 850 – (443,15 + 126,87)/4 + (471,37 + 182,47)/4 +100] = S/. 444 350 = 444 ( A/P, i , 3) I = 59,3%

MES 4 5 6

DEUDA 444 358,18 221,3

INTERES AMORT. 264,18 85,82 213,12 136,88 131,67 218,33

CUOTA 350 350 350

MES 4: La cantidad que le corresponde al participante que se va a retirar es: Cantidad = (370,02 + 105,94)/3 + (403,84 + 156,33)/3 + (444 + 264,1)/3 = S/. 581,41

CAPÍTULO 6 6. BASES PARA LA COMPARACION DE ALTERNATIVAS: En el presente capítulo, se mostrará tres métodos básicos para la evaluación de alternativas:

68

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6.1 Valor Presente y Evaluación del Costo Capitalizado a) Valor Presente (VP): El objetivo de este método es comparar el valor presente de cada una de las alternativas. Ejemplo 6.1 Comparar el valor presente de las máquinas de igual servicio, i =10% (Costos con signo positivo y beneficios con signo negativo) dado en miles soles.   COSTO INICIAL CAO VS VU

MAQ A

MAQ B

100 40 10 5

130 30 13 5

Nota: El valor de salvamento es el valor que aún posee el activo al final de su vida útil. Solución: VP A =? 100

40

40

40

40

-10 40

0

1

2

3

4

5

Máquina A VPA = 100 + 40 (P/A, 10, 5) - 10(P/F, 10 ,5) = S/. 245 400 VP B =? 130

30

30

30

30

-13 30

0

1

2

3

4

5

Máquina B VPB

= 130 + 30 (P/A,10%, 5) - 13(P/F,10% ,5) = S/. 235 700

Se debe seleccionar la máquina B puesto que VP B < VP A En el ejemplo precedente la vida útil de las alternativas es la misma, cuando

69

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esto no ocurre, se procede como en el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.2 Comparar el valor presente de las máquinas de igual servicio, i =10%

COSTO INICIAL CAO VS VU

MAQ A

MAQ B

100 40 10 5

130 42 13 3

Solución: Cómo las máquinas tienen distintas vidas útiles, deben compararse sobre la base del mínimo común múltiplo de los años, es decir en este caso 6 años. MÁQUINA A VPA =?

100

40

0

1

100(P) -10(VS) 40 40 2

3

100(P) -10(VS) 40 40 4

-10 40

5

6

MÁQUINA A VPA =100+40(P/A, 10(P/F,10%, 6) =404,4

10%,6)+(100-10)(P/F,10%,2)+(100-10)(P/F,10%,4)-

MÁQUINA B: -13(VS) 130

42

42

130(P) 42

70

42

42

-13(VS) 42

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0

1

2

3

4

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5

6

VPB = 130+42(P/A,10%,6)+(130-13)(P/F,10% ,3) -13(P/F,10%, 6) = 393,5 Se debe seleccionar la máquina B, puesto que VP B < VPA b) Costo Capitalizado: Está referido al valor presente de un proyecto que se supone tendrá una vida útil perpetua. Límite del factor de recuperación de capital (A/P, i, n) Entonces si A = P (A/P, i, n), cuando n tiende a infinito se tiene que: A=Pi Ejemplo 6.3 Calcular el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de S/. 100 000 y un costo de inversión adicional de S/.30 000 después de 5 años, el costo anual de operación es S/.3 000 para los primeros 4 años y S/.5 000 de ahí en adelante. Además se espera un costo recurrente de mantenimiento general de S/.12 000 cada 12 años, suponer que i = 10%. Solución: Por conveniencia se supone a los costos con signo positivo y en miles de soles. 100 3

3

3

30 12 3 5 5 5 ……………………………..

12 5

5

……….. 0

1

2

3

4

5

6

12

24

25

1. Hallamos el valor presente del costo inicial y de la inversión adicional: P1 = 100 + 30 (P/F, 10%,5) = 118,63 2. Hallamos el valor presente del costo recurrente de mantenimiento: P2 = [ 12(A/F, 10%,12) ] / 0,10 = 5,61 3. Calculamos el costo capitalizado para la serie de 3 hasta el infinito P3 = 3/0,10 = 30 4. Calculamos el valor presente de la serie de 5-3 = 2 del año 5 en adelante

71

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P4 = [ 2/0,10] (P/F, 10,4) = 13,7 5. Luego, el costo total capitalizado se obtiene de la suma: PT = P1 + P2 + P3 + P4 = 118,6 + 5,6 + 30 + 13,7 = 167,9 6.2 Valor Anual Equivalente Es otra base de comparación la cual consiste en encontrar una cantidad anual equivalente, y a diferencia del método de valor presente no interesa uniformar el número de años para evaluar alternativas. Ejemplo 6.4 Comparar el costo anual y uniforme equivalente (CAUE) de las máquinas de igual servicio, i=10%, en miles de soles.

COSTO INICIAL CAO VS VU

MAQ A

MAQ B

100 40 10 2

130 42 13 3

Solución: CAUE A CAUE B

= 100 (A/P, 10%, 2) + 40 – 10 (A/F, 10% , 2) = 52,9 = 130 (A/P, 10%, 3) + 42 – 13 (A/F, 10% , 3)= 90,3

Se debe seleccionar la Máquina A puesto que CAUE A < CAUEB 6.3 Tasa De Retorno Definición.- Tasa de retorno o tasa de rendimiento, es un índice de rentabilidad ampliamente aceptado. Está definido como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de una serie de ingresos y egresos. En términos económicos la tasa de rendimiento representa el porcentaje o tasa de interés, ganado sobre el saldo no recuperado de una inversión. Se puede considerar el saldo no recuperado de una inversión como aquella parte de la inversión inicial que queda por recuperar después de haber sumado y deducido los pagos de interés y los ingresos respectivamente causados hasta que se haga el análisis. Cálculo de la Tasa de Retorno.- El cálculo de la tasa de retorno requiere por lo general una solución de ensayo y error. 72

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Ejemplo 6.5 Calcular la tasa de retorno para el flujo de efectivo presentado a continuación: fin de año t flujo de efectivo Ft 0 -1000 1 -800 2 500 3 500 4 500 5 1200 Es decir encuéntrese el valor de i que satisfaga la ecuación n

∑ F t ( P/ F ,i ,t )

=0

t =0 Donde n es el último año del flujo de efectivo. Solución: Aplicando la fórmula se tiene: 0 = -1 000 - 800 (P/F, i , 1) + 500(P/A, i , 1) (P/F, i , 1) + 700 (P/F, i ,5) Se puede resolver el problema aplicando el Métodos de tanteos: Para i = 0%, el valor presente VP es: VP ( i =0%) = -1 000 - 800 + 500 x 4 + 700 = 900 Puesto que el valor presente para i=0% es positivo, la tasa es mayor que 0. Si se toma otro valor por ejemplo i=12%, se tiene: VP( i=12%) = -1 000 - 800(P/F,12%,1) + 500(P/A,12%,4)(P/F,12%,1) + 700 (P/F,12%,5) = 32 Puesto que VP ( i =12%) sigue siendo mayor que cero se debe ensayar una tasa superior de interés. Con i=15% se tiene que: VP( i=15%) = -1000-800(P/F,15%,1) +500(P/A,15,4) +(P/F,15,1) +700 (P/F,15%,1) = -116 En esta forma se sabe entonces que la tasa de rendimiento está entre el 12% y el 15%.

73

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Graficando las dos últimas se tienen: C (12,32)

B

D

i

A

E(15,-116)

Por semejanza de triángulos se calcula la tasa que hace VP(i) =0 AC BC = AE BD BD = 0,649 La tasa de retorno = 12+ 0,6 = 12,6% Ejemplo 6.6: Comparar mediante el método de la tasa de retorno de máquinas de igual servicio si se tiene que la TMAR, para una inversión adicional es del 10%. (Miles de soles) MAQ A MAQ B -100 -130 COSTO INICIAL CAO -40 -30 VS 10 13 VU 2 3 Solución: Aquí interesa averiguar si las 30 unidades adicionales que cuesta la máquina B con respecto a la máquina A tiene un retorno mayor al 10%.

-130 +13

74

+13

ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA - GP 234 -130

-30

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-30

-30

-30

-30

-30

2

3

4

5

6

Flujo de B: 0

1 -100

-100

-40

-100

+10 - 40

-40

+10 -40

-40

+10 -40

2

3

4

5

6

Flujo de A: 0

1

-30

10

90 10

-117 10

90 10

10

3 10

0

1

2

3

4

5

6

Flujo de (B-A):

Valor presente a la tasa del 10% de (B-A): VP(B-A) = -30+10(P/A,10%,6) + 90(P/F,10%,2) 90(P/F,10%,4) + 3(P/F,10%,6)

- 117(P/F,10%,3) +

VP(B-A) = 63.2 Ya que el valor presente resultó positivo a la tasa del 10% se concluye que la tasa de retorno para (B-A) es mayor que el 10% y se elige la maquina B. Flujo De Efectivo Con múltiples Tasas De Rendimiento La ecuación del valor presente (VP (i) = 0) es un polinomio de grado n de la forma: VP (i) = 0 = F0 +F1X + F2X2 +........ + FnXn Donde X = 1/(1+i) Para este polinomio pueden existir raíces o valores de X diferentes que satisfagan la ecuación en un número de n. Una regla útil para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento es la regla de signos de Descartes para un polinomio de grado n. Esta regla dice que el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado n, con coeficientes reales, no es nunca mayor que el número de cambios de signo en la sucesión de sus coeficientes. En caso que el número de tales raíces sea menor, la diferencia será un número par. Ejemplo 6.7:

75

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Encontrar el posible número máximo de raíces reales positivas de los siguientes flujos:

FIN DE AÑO 0 1 2 3 4 5 Posible # máx de Raíces reales positivas (En miles de soles)

FLUJO A FLUJO B FLUJO C FLUJO D -1000 -1200 -1500 -1700 500 -300 0 4700 400 -200 15000 -6700 300 -300 0 3600 300 2500 0 0 100 4000 3000 0 1

1

1

2

Es de notar cuando existen ceros en los flujos de efectivo C y D, pueden ser considerados carentes de signo al aplicar la regla de los signos. 6.4.

Tasa Interna De Retorno(Tasa De Retorno) En Inflación.-

Cuando existe inflación es necesario expresar los flujos de efectivo a precios constantes o del mismo poder adquisitivo. De la expresión: VP (ir) = 0 = Fo + F1/(1+ir) + F2/(1+ir)2 + ... + Fn/(1+ ir)n ... (a) (ir) es la tasa interna de retorno cuando no existe inflación, pero cuando esta existe y se considera que la inflación anual es constante a través del tiempo la expresión anterior se convierte : VP (ir) = 0 = Fo + F1/((1+ir) (1+f)) + F2/((1+ir)(1+f)) 2 + ... + Fn/((1+ ir)(1+f)) n … (b) Si no se descuenta la inflación de cada flujo la tasa resultante es una tasa nominal. i’ = Tasa de interés nominal (1 + i’) =(1+ir)(1+f) i r = Tasa de interés real. f = Tasa de inflación. Según la expresión (c) se tiene que: 1+i’ = (1+ir)(1+f) i r=

i ' −f 1+ f

76

...

(c)

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Fórmula útil para calcular la tasa de retorno real (a precios constantes), cuando se ha determinado la TIR de un flujo con inflación. Analizando las expresiones anteriores, se observa que es lo mismo evaluar un flujo a precios corrientes, es decir incluyendo la inflación, y luego obtener el TIR real mediante (d) o evaluar el flujo a precios constantes (deflacionados) obteniendo así la TIR real del proyecto directamente. Ejemplo 6.8

Inv Inicial CAO VS VU

A -700 -220 70 5

B -650 -240 65 5

A-B -50 20 5

Tmar = 10% , Determine la mejor opción mediante TR. Sol. -50 0

20 1

20 2

20 3

20 4

5 20 5

i = ¿? VA = 0 = -50 +

20 20 20 20 25 + + + + 2 3 4 (1+i) (1+i) (1+i) (1+ i) (1+i)5

Mediante el Excel se puede utilizar la formula =TIR (valores, [estimar]) i = 30.06% ; 30.06% > TMAR = 10% El beneficio de invertir más es menor costo de operación, es escoge la A.

PROBLEMAS PROBLEMA 6.1.- Calcular la tasa de retorno del siguiente flujo de efectivo: -60000 0

25000 1

32000 2

49000 3

77

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Solución: Probando con i = 25% VP(25) = -60000 + 25000(P/F,25%,1) + 32000(P/F,25%,2) + 49000(P/F,25%,3) =5568 Como el VP es positivo se prueba con una tasa mayor i= 30% VP(30) = -60000 + 25000(P/F,30%,1) + 32000(P/F,30%,2) + 49000(P/F,30%,3) =468.82 Como aún se sigue teniendo un valor positivo se continua incrementando i, para i = 31% VP(31) = -60000 + 25000(P/F,31%,1) + 32000(P/F,31%,2) + 49000(P/F,31%,3) = -472.82 Como se tiene un valor negativo y el anterior positivo por interpolación resulta que:

i=30+

468.82 x 1 468.82+ 472.82

i=30.50 % 6.1.1 Si en el anterior problema se nos dice que es un flujo con inflación donde f=13%. ¿Cuál es la tasa de retorno real? Solución: i’ = 30.5% f = 13% ir ' =i −f 1+ f i r=15.48 % PROBLEMA 6.2.- Calcular la tasa de retorno real del siguiente flujo de efectivo.

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AÑOS 0 1 2 3

FLUJO(miles de soles -80000 60000 90000 150000

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tasa de inflación % 30 40 70

Solución: -80000 0

VP ( i r )=−80000+

60000 1

90000 2

150000 3

60000 90000 150000 + + 2 3 ( 1+i r ) (1+0.3) ( 1+i r ) (1+0.3)(1+0.4) ( 1+ir ) (1+ 0.3)( 1+ 0.4)(1+0.7)

Si se deflaciona esta expresión se tiene: VP ( i r )=−80000+

46150 49451 48481 + + ( 1+i r ) ( 1+i r )2 (1+ir )3

Primera prueba i = 30%

VP(30) = 6830

Segunda prueba i = 40%

VP(40) = -4135

TASA DE RETORNO (TR )=30+

10 x 6830 6830+4135

TASA DE RETORNO (TR )=36.2 % PROBLEMA 6.3.- Se está considerando dos máquinas que tienen los siguientes costos para un proceso de producción continua:

  Costo inicial Costo anual de operación Valor de salvamento Vida útil, años 79

MAQUIN AG 62000

MAQUIN AH 77000

15000

21000

8000 4

10000 6

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Utilizando una tasa de interés del 15% determine que alternativa debe seleccionarse con base a un análisis de valor presente. Solución: Maquina G VP = 62000 + (62000-8000)(P/F,15%,4) + (62000-8000) )(P/F,15%,8) – 8000(P/F,15%,12) + 15000)(P/A,15%,12) VP = 190344 Maquina H VP = 77000 + (77000-10000)(P/F,15%,6) – 10000(P/F,15%,12) + 210 00(P/A,15%,12) VP = 217928 Por consiguiente se debe elegir la máquina G dado que su valor presente es mayor. PROBLEMA 6.4.- Se han presentado al administrador de una planta de producción dos propuestas para automatizar un proceso de ensamble. La propuesta A incluye un costo inicial de $ 15000 y un costo anual de operación de $ 2000 al año para los cuatro años siguientes. De ahí en adelante se supone que el costo de operación aumenta en $ 100 al año. Se espera también que la vida útil del equipo sea de 10 años sin valor de salvamento. La propuesta B incluye una inversión inicial de $ 28000 y un costo anual de operación de $ 1200 para los tres primeros años. Posteriormente se prevé que el costo de operación aumente en $ 120 al año. Se espera que el equipo tenga una vida útil de 20 años y un valor de salvamento de $ 2000. Si la tasa mínima atractiva de retorno es del 10%, ¿qué propuesta se debe aceptar con base en el análisis del valor presente? Solución:

Propuesta A: VP = 15000 + 2000(P/A,10%,10) + 100(P/G,10%,7) (P/F,10%,3) VP = 28248 Propuesta B: VP = 28000 + 1200(P/A,10%,20) + 120(P/G,10%,18) (P/F,10%,2) 2000(P/F,10%,20) VP = 42842 El VPA < VPB por consiguiente se elige la propuesta A.

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PROBLEMA 6.5.- Un alumno adinerado de una pequeña Universidad quiere establecer u fondo permanente de becas. Desea ayudar a tres estudiantes, durante los cinco primeros años, después de que se haya establecido el fondo y a cinco estudiantes de ahí en adelante. Suponiendo que los derechos de matrícula tiene un valor de $ 400 al año, ¿cuánto dinero debe donar el estudiante hoy si la universidad puede obtener un 6% sobre el fondo? Solución: P=1200 ( P/ A , 6 % , 5 ) +

200 x 1(P /F , 6 % , 5) 0.6

P=29 965 La donación en el presente es de $ 29965. PROBLEMA 6.6.- Compare las siguientes máquinas en base a su costo anual uniforme equivalente. Utilice i = 8%.   MAQ.NUEVA MAQ.USADA Costo inicial 44000 23000 Costo anual de operación 7000 9000 Costo anual de reparación 210 350 Reparación cada dos años 1900 Reparación cada cinco 2500 años Valor de salvamento 4000 3000 Vida útil, años 15 8 Solución: Maquina nueva CAUE = 44000(A/P,8%,15) 4000(A/F,8%,15) CAUE = 12629.4

+

7210

+

2500(A/F,8%,5)

-

Maquina usada CAUE = 23000(A/P,8%,8) + 9350 + 1900(A/F,8%,2) - 3000(A/F,8%,8) CAUE = 13983 Se elige la maquina nueva por tener menor CAUE. PROBLEMA 6.7.- El administrador de una planta de conservación de carne quiere decidir entre dos cuartos fríos. El método de rociado atomiza agua sobre los jamones hasta que la temperatura se reduce a 95 0F. Con este 81

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método se requieren aproximadamente 20 galones de agua por jamón. Por otra parte podría ser útil un método de inmersión y sólo se necesitarían cuatro galones de agua por jamón. Sin embargo, este método requeriría una inversión inicial adicional de $ 2000 con gatos de reparación adicionales de $ 100 al año y el equipo tiene una vida útil de 10 años. La compañía cocina 10 millones de jamones al año y paga $ 0.25 por 1000 galones de agua. La compañía también debe pagar $ 0.09 por cada 1000 galones para la eliminación de aguas negras. Si la tasa mínima atractiva de retorno de la compañía es del 15%. Que método de enfriamiento debe utilizar? Solución: Rociado CAUE = 10000 x 20(0.025 + 0.09) CAUE = 68000 Inmersión CAUE = 10000 x 4(0.25+0.09)+2000(A/P,15%,10) + 100 CAUE = 14299 Conviene el método de inmersión PROBLEMA 6.8.- Una ciudad va a construir un estadio a un costo de $ 12 millones con el fin de traer un equipo de fútbol profesional. Se espera que el mantenimiento sea de $ 25000 anuales y además, que el césped artificial tendría que reemplazarse cada 10 años a un costo de $ 150000. La pintura del estadio cada 5 años costaría $ 65000. Si la ciudad espera mantener el servicio indefinidamente. ¿Cuál sería el costo anual uniforme equivalente si i = 6%? Solución: CAUE = 12000000 x 0.06 +25000 + 65000(A/F,6%,5) + 150000(A/F,6%,10) CAUE = $ 7247911 PROBLEMA 6.9.- Un inversionista compró tres clases de acciones (identificadas aquí como A, B y C). El inversionista compró 200 acciones de A, a $ 13 cada una, 400 de B, a $ 4 cada una y 100 de C a $ 18 cada una. Los dividendos fueron de $ 0.50 por acción de A durante tres años y luego la acción se vendió en $ 15. La acción B no produjo dividendos pero se vendió en $ 5.50, dos años después de su compra. La acción C dio dividendos de $ 2.10 durante 10 años, pero debido a una depresión del mercado de valores en el momento que se vendió, fue vendida por sólo $ 12 la unidad. ¿Calcule la tasa de retorno sobre cada grupo de acciones, así como la tasa de retorno total sobre la inversión en acciones? Solución: Acción A 2600 = 100(P/A,i, 3) + 3000(P/F,i,3) i = 8.56% Acción B

82

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1600 = 2200(P/F,i,2) i = 17.27% Acción C 1800 = 210(P/A,i,10) + 1200(P/F,i,10) i = 9.6% Tasa de inversión total 6000 = 100(P/A,i,3) + 3000(P/F,i,3) + 2200(P/F,i,2) + 210(P/A,i,10) + 1200(P/F,i,10) i = 10.4% PROBLEMA 6.10.- El ingeniero de una compañía de cigarrillos quiere efectuar un análisis de tasa de retorno utilizando los costos anuales de dos máquinas empacadoras. Los detalles se presentan a continuación; sin embargo, el ingeniero no sabe que valor de TMAR utilizar, dado que algunos proyectos se evalúan al 8% y otro al 10%. Determine si esta diferencia en la TMAR cambiaría la decisión sobre la compra de la máquina. Utilice el método de tasa de retorno sobre la inversión incremental.   Costo inicial Costo de mano de obra anual Costo anual de mantenimiento Valor de salvamento Vida útil, años

MAQUINA A 10000 5000

MAQUINA M 9000 5000

500

300

1000 6

1000 4

Solución: Maquina A CAUE = 1000(A/P,i,6) + 5500 - 1000(A/F,i,6) Maquina M CAUE = 9000(A/P,i,4) + 5300 - 1000(A/F,i,4) Cálculo de la tasa de retorno CAUEA - CAUEM = 0 Esta igualdad se cumple para la tasa del 38%. Puesto que el 38% > 10% > 8% se elige la máquina A PROBLEMA 6.11. Se desea decidir entre dos propuestas de inversión recíprocamente excluyentes, la TMAR es de 10% y los flujos de caja son: 83

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Flujo de caja (millones de soles) PROYECTO A -160 20 0 250

AÑO 0 1 2 3

PROYECTO B -160 200 0 20

Solución El camino correcto para decidir entre los dos proyectos es calculando el valor presente de los dos proyectos: VPA = -160 + 20(P/F,10%,1) + 250(P/F,10%,3) VPA = 46 millones VPB = -160 + 200(P/F,10%,1) + 20(P/F,10%,3) VPB = 36.8 millones Por consiguiente el proyecto A es mejor que B. El sustento del método de cálculo se puede extraer del siguiente gráfico

VP 46

A

13

B

20.4

33.8

PROY A 20.4% 46’

  TIR VP (10%)

84

TIR

PROY B 33.8% 36.8’

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Como se observa en el gráfico, la decisión de la elección está en función de la TMAR. Si la TMAR está entre 0 y 13% se elige el proyecto A Si la TMAR es13% es indiferente la elección Si la TMAR es mayor que 13% hasta 33.8% se elige el proyecto B Elegir el proyecto que tenga la mayor TIR cuando se trata de proyectos excluyentes, es un error, ya que esto implica que los fondos liberados ganen al ser reinvertidos la misma tasa que rinde el proyecto. Por ejemplo para el proyecto B se parte del supuesto de que pueden reinvertirse los 200 millones de soles obtenidos al final del primer año, ganando en esa reinversión el 33.8% anual cuando solamente la empresa está en capacidad de reinvertir ganando el 10%. Finalmente cabe indicar que se puede obtener también un resultado correcto aplicando el todo de la inversión incremental.

85

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CAPÍTULO 7 7. RELACION BENEFICIO COSTO Y PERIODO DE RECUPERACION DE CAPITAL 7.1 Relación Beneficio Costo El cálculo de la razón beneficio-costo es un método para decidir la justificación económica de un proyecto que pertenece generalmente – al sector público. Esta razón se puede expresar como:

Razón B/C=

Beneficios-desbeneficios Costos

Un proyecto será aceptado su B/C>1 Los beneficios son ventajas expresadas en términos monetarios que recibe al propietario como por ejemplo: los beneficios que se obtienen por la construcción de una carretera o una hidroeléctrica. Se presentan des beneficios cuando el proyecto involucra desventajas como por ejemplo inundaciones de terrenos de cultivo o pagos por derecho de vía de una carretera. Finalmente, los costos son los gastos anticipados de construcción, operación mantenimiento, etc. Si el estudio que analiza pertenece al gobierno es conveniente asumir que el público es el propietario y el que incurre en costos es el gobierno. Ejemplos 7.1: El Ministerio de Transporte y Comunicaciones, está considerando un proyecto para la localización de una nueva carretera. La información que se posee es:

costo de construcción beneficio anual costo anual de mantenimiento vida útil

en millones de soles 14000 2000 400 indefinida

Mediante la aplicación del método de beneficio y costo, determine – si es aceptable o no este proyecto si i=10%. Solución: Beneficio Costos B/C

= 2,000 = 14,000 x 0,1 + 400 =1,800 = 2,000/1800 =1.11

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B/C> 1 por tanto, al proyecto es aceptable. Si se tiene dos o más alternativas mutuamente excluyentes el mayor valor del B/C no es un indicador correcto para elegir la mejor alternativa, por ello es conveniente utilizar el principio del rendimiento incremental. Ejemplo 7.2: Se tiene identificadas tres alternativas, mutuamente excluyentes, la información es la siguiente:

(Miles de soles)

alternativa A B C

BENEFICIO ANUAL 185000 170000 115000

COSTO ANUAL 92000 80000 89000

B/C 2.01 2.12 1.29

¿Cuál de las alternativas se debe elegir? Solución: Comparando la alternativa A con C se tiene:

BENEFICIO ANUAL COSTO ANUAL

ALTERNATIVA A 185000 92000

ALTERNATIV DIFERENCI AB A 115000 70000 89000 3000

La razón B/C de las diferencias es:

B /C=

70 ,000 =23 .33 9 , 000

Lo que indica que por un costo incrementa de 3,000 (miles de soles) de A, se obtiene un mayor beneficio en congruencia alternativa A es mejor que la C. Comparando la alternativa A con B se tiene:

BENEFICIO ANUAL COSTO ANUAL

B /C=

ALTERNATIVA A 185000 92000

11, 000 =1. 25 12, 000 87

ALTERNATIV DIFERENCI AB A 17000 15000 80000 12000

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El resultado indica que la alternativa A es mejor que B, pese a que la razón B/C de la alternativa B, dada en la información inicial, es mayor que la obtenida en A y C. Respuesta: Se elige la alternativa A. Beneficio Costo Empresarial El coeficiente de Beneficio Costo de una empresa resulta de dividir el valor actual de los futuros ingresos netos descontados a la TMAR, por la inversión requerida. Ejemplo 7.3: La inversión necesaria para un proyecto es de 100 millones de soles, los ingresos anuales se muestran en el siguiente flujo de caja.

(100´) 0

30´

40´

40´

40´

40´

1

2

3

4

5

Si la TMAR es 30%, calcular el B/C. Solución: Costo = 100 Beneficio = 30´(P/F, 30%, 1) + 40´(P/A, 30%, 4) (P/F, 30%, 1).= 89.7

89.7 B/C = 100

= 0.897

El “Proyecto” no es aceptable por que la relación B/C es menor que la unidad. 7.2 Periodo de Recuperación de Capital (PRO) Llamado también periodo de repago. Es el lapso en el que la sumatoria de los valores actualizados de los beneficios iguala a la de los costos del proyecto. Dicho de otro modo, mide al tiempo necesario para que al inversionista recupere su inversión y como es de suponer, mientras más corto sea el periodo de recuperación, su efecto a la vida estimada del proyecto, es mayor el atractivo para invertir.

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Ejemplo 7.4: Sea el siguiente flujo: (Millones de soles)

AÑO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

COSTOS DE CONSTRUCCION

INGRESO NETO

1000 3000 800 15000 2000 2000 2000 2500 2500 2500

Si i=10%, determine el periodo de recuperación de capital. Solución: VP = 0 0 = -1,000 (P/F, 10%,1) - 3,000 (P/F, 10%,2) + 800 (P/F, 10%,3) + 1500 (P/F, 10%,4) El valor presente incluyendo el costo del año 5 es VO 5 = -521.3. Para el año 6 VP6 = 607.7 Por consiguiente se obtiene que el periodo de recuperación es 5.5 años.

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Problemas PROBLEMA 7.1.- Están bajo consideración dos rutas para una carretera interdepartamental. La carretera larga tendría una longitud de 14 kilómetros y un costo inicial de 21 millones. La ruta a través de la montaña tendría una longitud de 9 kilómetros y un costo inicial de US$ 45 millones. Se calculan 400,000 vehículos al año. Si los gastos de operación por vehículo son de US$ 0,12 por kilómetro, determine qué ruta se debe seleccionar por (a) análisis B/C y (b) análisis B-C. Supongamos una vida útil de 20 años para cada carretera y una tasa de interés del 6% anual. Solución: Ahorro (benéfico) por utilizar carretera que cruza las montañas: B = (14-9) x 0.12 x 400,000 = 240,000 Incremento anual en costo de la carretera que cruza las montañas con respecto a la carretera larga. Carretera larga (A) CAUEA =21000000(A/P, 6%,20) = S/. 1,830,875.70 Carretera que cruza las montañas (B) CAUEA =45000000 (A/P, 6%,20) = S/. 3,923,305.06 Incremento anual en costo CAUEB - CAUEA = S/. 2,092,429.37 Relación B/C B/C =

240000 2,092,429.37

= 0.11

Como B/C