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PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Nº 01

ARITMETICA TEORIA DE CONJUNTOS I. NOCION DE CONJUNTO: Un conjunto es un ente matemático por lo cual se puede tener una idea subjetiva de ello, como colección agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplos: - Los días de la semana. - Los países de América del Sur. - Los jugadores de un equipo de fútbol. 1.1 NOTACION DE CONJUNTO Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves. Ejemplos: A  a, e, i, o, u B = {los días de la semana} C = {cara, sello} 1.2 RELACION DE PERTENENCIA Se establece esta relación sólo de elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado. “. . . pertenece a . . .” :  “. . . no pertenece a . . .” :  Ejemplo: C  1; 2 ; 1,2; 5 ; 6 * * * * *

2C 8C {1; 2}  C 5C 6C

1.3 DETERMINACION DE UN CONJUNTO Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas: Por Extensión (forma tabular) Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los elementos. Ejemplos: A  a, e, i, o, u

D  2,4,6,8 Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. De este modo en el conjunto. A  a, e, i, o, u  a, o, u, i, e No todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación. Por Comprensión (forma constructiva) Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada. Esquema:

“tal que”     F  .... .......... ..........  / ..........       Características o 

Forma propiedad común de General la variable que del Elemento forma el elemento

Ejemplos: A = {n/n es una vocal} B = {los números pares menores que 13} C = {n2 - 1 / n es entero  1  n  7} 1.4 DIAGRAMA DE VENN - EULER Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así: .... Ejemplo:

A .1

A  1, 8 , 27 , 64

.8

.64 .27

Observación: Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es: DIAGRAMA DE LEWIS CARROL Hombres

Mujeres Fuman No Fuman

Se observa que: Hombres que fuman Mujeres que no fuman 1.5 NUMERO CARDINAL El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A). Ejemplos: * A = {5, 6, 6, 5}  n(A) = 2 * B = {x/x  N  3 < x < 9}  n(B) = 5 II. CLASES DE CONJUNTOS Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos: 2.1 FINITO Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento. Ejemplo: * K = {3n + 2 / n  Z  1  n  4} K es finito pues n(K) = 4 * L = {x/x es un día de la semana} L es finito pues n(L) = 7

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ARITMETICA

2.2 INFINITO Si posee una cantidad ilimitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo: M = {x/x  Q  1  x  2} M es infinito pues n(M) = . . . . ? Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ? III. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 3.1 INCLUSION  Se dice que A está incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B. Se denota: A  B Se lee: “A está incluido en B” “A está contenido en B” “A es subconjunto de B” Representación: ABxA:xAxB Gráficamente: B

A

Ejemplos: 1) A = {p, q} B = {p, q, r, s}

.s

 AB 2) D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5}

.1

.4 .6

.5

Observaciones: * Todo conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.  A : AA * El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.  A : A 3.2 IGUALDAD Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. Ejemplo: A = {3n+2 / n  Z  1  n  4} B = {5, 14, 8, 11} A

.5 .14 .8 .11

B

Se define: A = B  A  B  B  A

CICLO: VERANO ENERO

A

.2 .3 .4

B

.5 .6 .7

IV. CONJUNTOS ESPECIALES

Se observa que D no está contenido en E, en ese caso se denota: D E

se observa: A = B

3.4 CONJUNTOS DISJUNTOS Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo: A = {2, 3, 4}  A y B son disjuntos B = {5, 6, 7} Gráfica:

AB  n(A) = n(B)

.3

.2

Ejemplo: A = {3, 5, 7} ; B = {1, 3, 5, 7, 9}  A y B son comparables, porque A  B.

Simbólicamente:

E

D

AB ó BA

3.5 CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES “Para hablar de éstos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina”. Dos conjuntos serán coordinables cuando el número de sus elementos son iguales. Ejemplo: A = {10, 11, 12}  A y B son equipotentes B = {m, n, p}

B .r

A .p .q

3.3 CONJUNTOS COMPARABLES Dos conjuntos A y B son comparables cuando sólo uno de ellos está incluido en el otro, es decir:

- MARZO 2006 - I

4.1 CONJUNTO NULO O VACIO Es aquel conjunto que carece de elementos. Ejemplo: A = {x/x es el actual INCA del Perú} B = {x/x  N  7 < x < 8} Notación: “” ó { }  A=B= = { } Nota: El conjunto vacío “” es subconjunto de todo conjunto. 4.2 CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: A = {x/x  Z  10 < x < 12} = {11} B = {2, 2, 2, 2, . . . } = {2} 4.3 CONJUNTO UNIVERSAL (U) Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto. Ejemplo: A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6} Podrían ser conjuntos universales U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = {x/x  N} Pág. 2

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*

ARITMETICA

Gráficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante el rectángulo. .1 .3

.2 .5

.5 .6

.4

EJERCICIOS DE APLICACION

A   a; b;  a, b ;  b ;  

Ejemplo: A = {x/x es peruano} B = {x/x es colombiano} C = {x/x es mexicano}  U = {x/x es americano}

Indicar lo incorrecto: a) a, b A b) a  A d)   A e) a A

4.5 CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES Dado un conjunto A, el conjunto potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A. Notación: P ( A ) Ejemplo: A = {a, b, c} Subconjuntos propios de A P (A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } binarios

ternario

P (A) = {X/X  A} Observaciones: * Si un conjunto A tiene “n” elementos entonces el número de subconjuntos de A es 2 n , es decir:

*

B   ( 3b )  N / 2  b  4

C  1; 2; 2; 3; 3; 3 

Se define: S(X) = Suma de elementos del conjunto X. Hallar: S(B)  S( A) x n(C) a) 87 b) 93 c) 76 d) 102 03. Dados los conjuntos: A = {xN / el producto de cifras de x, es 2}

Ejemplo: Si n(A) = 5 entonces el número de subconjuntos es:

C={ } D={} ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas? I. A es conjunto finito. II. B es conjunto unitario. III. C es conjunto vacío. IV. D = C a) sólo I b) I y IV c) II y III d) I, II y III e) Sólo II 04. Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcular: a+b+c A= { 2 a + b; c } B= { 2 c - 7; 5 b + 2 } a) 9 b) 13 c) 10 d) 11 e) 12 05. ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?

B

A

A

B

C

# subconjuntos propios de A = 2 5  1  31

# de subconjuntos de “k” elementos = C nk( A ) V. DIAGRAMAS LINEALES Son representaciones gráficas que sirven para indicar relación de inclusión o igualdad. - MARZO 2006 - I

a) (AB)  C b) (AB) - C c) (AB) - C d) (AC)B e) (AC) – B

06. ¿Qué relación conjuntista expresa mejor la siguiente región sombreada?

nPA   2 5  32 ; además

Para determinar la cantidad de subconjuntos K-arios de un conjunto A, se utiliza la fórmula:

e) 113

B  abc / abc  x x  x  N 

C

Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A, entonces:

CICLO: VERANO ENERO

b ;b   A

A  a 2 / a  Z   3  a  4 

n

# de subconjuntos propios de A = 2 n  1

*

c)

02. Dados los conjuntos:

4.4 CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplos: A = { {2, 3}, {3}, {a}, {6, b},  } B = { {a, b, c}, {2, 3, 6}, {6}, c, 8 } Se observa que: A es familia de conjuntos B no es familia de conjuntos

nPA   2

B Si: A  B  | A Si: A = B  A  B

01. Dado el conjunto:

U=N

vacío unitarios  n [ P (A) ] = 23 = 8 Simbólicamente:

Ejemplo:

07. Del siguiente diagrama lineal: A B C | | D E Decir la alternativa correcta: a) AB b) D = E d) BC e) EB

a) (AB)  (BC) b) (A - C)  (B - C) c) (BA’)  C d) (AC)  B e) (A’C’)  B

c) DE Pág. 3

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08. Si: Calcular: a) 22

ARITMETICA

* 2 no aprobaron ninguno de los exámenes. * Ningún alumno aprobó lenguaje solamente. ¿Cuántos aprobaron un sólo curso? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 TAREA DOMICILIARIA

n(AB) = 50 n(A - B) = 12 n(AB) = 20 n(AB) - n(B - A) b) 28 c) 32

d) 36

e) 38

09. Los conjuntos A y B son conjuntos comparables, y se sabe que: * n(AB) + n(AB) = 25 * n(A - B) = 9 Calcular: n(B) a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 3 10. Dado el conjunto:

S  1; 6 ; 16 ; 6 ; 16 ; 16 

¿Cuántos subconjuntos tiene? a) 64 b) 8 c) 16 d) 128 e) 32 11. ¿Cuántos subconjuntos cuaternarios posee un conjunto cuyo cardinal es 8? a) 56 b) 24 c) 48 d) 112 e) 70 12. De 120 personas: * 60 no leen * 30 no escriben * 10 solamente leen ¿Cuántas personas leen y escriben? a) 50 b) 45 c) 55 d) 52 e) 60 13. De un grupo de 130 personas se sabe que hay: * 31 personas entre hombres blancos casados y mujeres blancas solteras. * 35 personas entre hombres morenos casados y hombres blancos solteros. * 38 personas entre mujeres blancas casadas y hombres morenos solteros. ¿Cuántas mujeres morenas hay en el grupo? a) 20 b) 28 c) 30 d) 26 e) 25 14. En una estación de combustible se dispone de 15 surtidores, los cuales operan todo el día (un grifero por surtidor). Cierto día de la semana se observó que 2 griferos trabajaron dos turnos no consecutivos del mismo día y 3 trabajaron todo el día, además entre las personas que trabajaron dos turnos consecutivos diferentes hay una relación de 40 a 32. ¿Cuántas personas, como mínimo, trabajaron exclusivamente en la noche? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10 15. En una clase de 40 alumnos, se tomaron cuatro pruebas; los cursos fueron: aritmética, historia, álgebra y lenguaje. Los resultados obtenidos se detallan a continuación: * Todos los que aprobaron aritmética, historia y álgebra; también aprobaron lenguaje. * 10 alumnos aprobaron los 4 cursos. * 2 alumnos aprobaron sólo historia y lenguaje. * 3 alumnos aprobaron álgebra y lenguaje pero no aritmética ni historia. * 4 aprobaron lenguaje y aritmética pero no historia ni álgebra. * Diez aprobaron lenguaje pero no álgebra. * 8 aprobaron lenguaje pero no aritmética. * 2 aprobaron aritmética, álgebra y lenguaje pero no historia. * Un alumno aprobó aritmética e historia pero no lenguaje. * 2 aprobaron aritmética y álgebra pero no lenguaje. * 15 aprobaron historia y álgebra. CICLO: VERANO ENERO

- MARZO 2006 - I

e) 2

01. Expresar el siguiente conjunto por extensión:

A   2a / 2  a  4  (3a)  N 

a) {4; 6; 8} b) {12; 18; 24} c) {12; 14; 16; 18; 20; 22; 24} d) {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} e)

4; 143 ; 163 ; 6; 203 ; 223 ; 8 

02. ¿Qué relación no representa la región sombreada? B

A

U

C

a) (AB) - C b) C’AB c) (A’B’)’ - C d) C’ - (AB)’ e) C’ - (A’B’)

03. El conjunto potencia de A, tiene 28 subconjuntos binarios. Hallar el cardinal de A. a) 4 b) 6 c) 8 d) 3 e) 5 04. Se tiene el siguiente conjunto unitario:

A  12.a1 ; 20.a2 ; 30.a3 ; 42.a4 ; .....; m.an 

y el conjunto:

B  ar / r  Z  4  r  9 

cuya

suma

de

elementos es 75. Hallar la suma de los elementos de:

C   a1 ; a2 ; a3 ; ......; a12 

a) 264

b) 286

c) 294

d) 312

e) 324

05. En la Asamblea General de una Sociedad Anónima, en la que participaron 950 accionistas, se discutió la iniciativa de incrementar el capital social: * 470 accionistas poseían acciones tipo A. * 104 accionistas con acciones tipo A votaron a favor de la proposición. * 350 accionistas del grupo mayoritario con acciones tipo B, votaron a favor de la proposición. * 113 accionistas del grupo mayoritario votaron en contra de la proposición. * 278 accionistas del grupo minoritario con acciones tipo A, votaron en contra de la proposición. Entre los accionistas que tomaron parte de la votación, los del grupo mayoritario superaban en 50 a los del grupo minoritario. La iniciativa fue aprobada por 54 votos de margen (no hubo abstenciones). Hallar: - El número de accionistas del grupo minoritario que poseen acciones tipo A y que votaron a favor de la proposición. - El número de accionistas del grupo minoritario que poseen acciones tipo B y que emitieron votos desfavorables. a) 37 - 48 b) 67 - 50 c) 37 - 57 d) 67 - 48 e) 67 - 57

Pág. 4

PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Nº 02

ARITMETICA NUMERACIÓN *

*

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:

DEFINICION.- Es la parte de la Aritmética cuyo objeto consiste en estudiar la formación, escritura y lectura de los números.

Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

* NUMERO.- Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad. * NUMERAL.- Es la representación escrita de los números por medio de símbolos; actualmente se usa el sistema de escritura Indo-Arábigo. Ejm: 5 = cinco = *

=

Cifras que se usan 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 

= five

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACION.Es un número entero mayor que uno, la cual nos indica de cuánto en cuánto se está agrupando las unidades simples en un sistema de numeración. Ejm: Representar 16 unidades simples: Base 10:

Sistema Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octonario Nonario Decimal Undecimal

Base 8:

*

REPRESENTACION NUMERALES:

LITERAL

DE

Cuando las cifras son desconocidas se reemplazan por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. Nota: ab  ab Ejemplos: -

16  sobra 6

20( 8)  sobra nada

Un grupo de 10

Dos grupos de 8

Observación:

16  208 

-

-

* REGLAS.- Para todo numeral:

ab : numeral de 2 cifras de la base 10 ab  10,11,12,......,99  abc : numeral de 3 cifras de la base 10

abc  100,101,.........,999 

abc5  : numeral de 3 cifras de la base 5.

abc 5  100 5 ,1015........,444 5 

- Toda cifra de un numeral es menor que su base.

- a(a  1)(b  5) : numeral de 3 cifras

- En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa.

-

- Cifra máxima = Base - 1 Cifra mínima = 0 - Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras griegas para su representación:  = 10;  = 11;  = 12;  = 13;. . . . . . Ejm:

2(10)3(11) 13   23 13 

aba : numeral capicúa de 3 cifras.

Nota: Un numeral es CAPICUA si las cifras equidistantes de los extremos son iguales. * CAMBIO DE BASE EN LOS ENTEROS: 1er. Caso: “Dado un número en base diferente de 10 convertirlo a base 10”. - Método: “Descomposición Polinómica” Consiste en multiplicar la primera cifra por la base del sistema elevado a un exponente igual al número de cifras que quedan a la derecha de la cifra considerada; se le suma

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ARITMETICA

la segunda cifra multiplicada por la base, cuyo exponente es una unidad menor que el anterior y así sucesivamente hasta la última cifra que es independiente de la base.

8429 

Ejm: Convertir:

a base 10

Ejm: Convertir:

base 2)

8429  8x9  4x9  2  686

Ejm: Convertir 418 al sistema quinario. 418 5 18 83 5 3 33 16 5 3

418 31335



4218  1000100012 * Propiedades: x a) (n  1)(n  1).....( n  1) n  n  1 “x” cifras b) Triángulo Aritmético (Triángulo de Tartaglia)

1

1 3

1

3er. Caso: “Dado un número en base  10 convertirlo a otro de base  10” Ejm: Convertir: Primero:

21016 

21016 

2

21016   2x6  1x6  0x6  1  469

1 1



1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

0 * 1n  1  (n  1)

1 * 11n  n  1  (n  1)

Segundo: 469 a base 5 469 5 19 93 5 4 43 18 5

1

a base 5

a base 10:

3

3

2  0102 ; 1 0012 

 4  1002 ;

2do. Caso: “Dado un número en base 10 convertirlo a una base  10”. Método: “Divisiones Sucesivas”:

a base 2

8  2 3  k=3 (cada cifra origina 3 cifras en

2

-

4218 

21016   469  33345 

3 3

2

* 121n  n  2n  1  (n  1)

2

3 2 3 * 1331n  n  3n  3n  1  (n  1)

* CASOS ESPECIALES DE CONVERSION: I) De base “n” a base “nk”:

*

A partir de la derecha se separa en grupo de “k” cifras y cada grupo se convierte al sistema decimal; de este modo se obtienen las cifras del número en base “nk”. Ejm: Convertir:

9  32 

1212213 

a base 9.

k = 2 (agrupar en bloques de 2

cifras)

1212213   123  5 y 213  7 1212213  5579 II) De base “nk” a base “n”: Cada cifra del número genera “k” cifras en base “n”; esto se consigue al pasar de manera individual las cifras a la nueva base.

CICLO: VERANO ENERO

- MARZO 2006 - I

14641n  (n  1) 4

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01. Si los siguientes numerales:

3a3 4  ; bbc  ; 2c a  Están bien representados. Calcular: (a + b + c) a) 4 b) 5 c) 6

d) 7

e) 8

d) 9

e) 8

02. Si: (a  1)(a  1) 3   bc 4  2 2 Calcular: (a  b)  c a) 3 b) 5 c) 7

Pág. 2

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ARITMETICA

03.El cuádruplo de un número es de la forma

ab , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2 se obtiene ba . Hallar: (a - b) a) 3 b) 2

c) 1

d) 8

e) 5

d) 15

e) 17

05.Pablito cuenta las manzanas y naranjas que tiene y dice tengo: 27 manzanas, 35 naranjas, total de frutas 63. ¿Qué sistema de numeración usó Pablito? a) Decimal b) Senario c) Octal d) Quinario e) Nonario 06.Si: abac   m1c 9  Calcular: (a + c + m) , sabiendo que: m > 5 a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

d) 16

e) 6

08.¿En qué sistema de numeración el mayor capicúa de 2 cifras es 17 veces el menor capicúa del mismo número de cifras? a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 18

d) 8

e) 9

N  15x135  18x134  27x132  5x13  80 ¿Cuál será la suma de las cifras del numeral que representa a N cuando se convierte a base 13? a) 17 b) 19 c) 20 d) 23 e) 25 11.Hallar la diferencia entre el mayor número en base 7 de la forma abc y el menor número en base 5 de la forma def . Si a letra diferente corresponde número diferente, dar la respuesta en base 10. a) 222 b) 317 c) 554 d) 306 e) 310

b) 18

c) 11

15.Hallar: a + b + n Si: 11abn  79n2  a) 9

b) 10

c) 11

d) 13

e) 14

d) 7

e) 8

16.Hallar: a + b Si: ab4 ab   212 a) 5 b) 6 c) 4

17.Si el numeral: 210010201021 de la base “n” se convierte a la base “n3” la suma de cifras se quintuplica. Hallar “n”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

(ef 4  )(ac5  )(ad5  )9   bdbbb03

Hallar: a + b + c + d + e + f a) 11 b) 12 c) 13

d) 14

e) 15

19.En una tienda se encuentra Ruperto, Agripino y Sósimo; quienes desean comprar, entre todos, un juguete de S/. 70. Ruperto tiene

13( b)

soles, Agripino

a) S/. 1 d) S/. 4

bb( a)

soles y Sósimo

b) S/. 2 e) S/. 5

c)S/. 3

20.Se desea pesar 500 kg de arroz, utilizando una colección de pesas de 1 kg, 6 kg, 36 kg, 216 kg, . . . .; y una balanza de dos platillos ¿Cuántas pesas se utilizarán? (Se disponen de 5 pesas de cada tipo y las pesas se colocan sólo en uno de los platillos). a) 13 b) 12 c) 11 d) 10 e) 9 21. Dada la expresión:

a

=4

b

c

d

e



f d) 13

e) 9

Hallar: a + b + c + d + e + f a) 37

CICLO: VERANO ENERO

c) 0,41136 

soles. ¿Cuánto dinero les falta para comprar dicho juguete?

10. Si:

a) 12

c) 0,57

aa( 6)

09.Si ababn  85 Hallar: a + b + n a) 5 b) 6 c) 7



14.Convertir: 0,8125 a base 6. a) 0,45106  b) 0,45126 

18.Si:

07.Si: 435n  PRE n1 Calcular: P + E + P + E a) 14 b) 18 c) 22

133111n    15x 144n

b) 0,56 e) 0,68

d) 0,45136  e) 0,35136 

04.Si: xxxx5   yz8 Hallar: (x + y + z) a) 9 b) 11 c) 13

12.Calcular “n” si:

0,245  a base 10

13.Convertir: a) 0,54 d) 0,52

- MARZO 2006 - I

b) 38

c) 39

d) 40

e) 36 Pág. 3

CENTRO PREUNIVERSITARIO

ARITMETICA

TAREA DOMICILIARIA

07.Si:

1000( a)  1331(b)

Además:

01.Si los numerales:

están correctamente escritos. valores puede tomar “a”? a) 2

b) 3

c) 4

= 171( 8)

1b

34a5 ( 7) ; 211b ( a) ; cc 2 (b)

1b

¿Cuántos

d) 5

14 veces

1b



e) 6

1b ( a) 02.Un número está compuesto de 3 cifras. La cifra de las centenas es 4 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de cifras de dicho número. a) 90

b) 64

c) 48

d) 36

e) 80

03.Sabiendo que: a, b, c y d son cifras significativas y diferentes entre sí. Hallar: m + n + p; sabiendo que:

abcd(5)  abc( 4)  ab(3)  a ( 2)  nmp a) 9

b) 11

c) 13

d) 10

e) 14

b  (a  2c )d(b  1)(2a) 2 ( 8)

05.Si:

c) 14

d) 15

e) 16

400803(m)  30034342(n)

b) 3

c) 5

b) 9

c) 10

a) 50

d) 18

e) 19

b) 47

c) 46

d) 25

e) 40

09.Al escribir el menor numeral en base “n”, donde la suma de sus cifras es:

n10  n9  n8  n7  n6  n5  1 , observamos que las tres últimas cifras suman 18.

d) 2

d) 11

b) 53 e) 58

c) 32

* N1 < N2 < N3 < N4 < N5 < N6 * N1 + N6 = N2 + N5 * N1 + N4 = N2 + N3 + 36

Calcular: e) 1

06.En una fiesta infantil se observó que unos niños consumieron un sólo caramelo, otros 4 caramelos solamente, algunos 16 caramelos únicamente y así sucesivamente. Lo curioso es que no más de 3 comieron la misma cantidad de caramelos; si se consumieron 1785 caramelos. ¿Cuántos niños comieron caramelos? a) 8

c) 17

10.Se tiene 6 numerales formados todos por las mismas cifras colocadas en distinto orden, tales que:

además: m + n = 14 Hallar: m – n a) 4

b) 16

08.¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual 2504 se escribe como un número de tres cifras?

a) 20 d) 41

es capicúa. Hallar el máximo valor de: a+b+c+d b) 13

a) 15

Expresar 2537 a base n 2 . (Dar como respuesta la suma de cifras)

04.Si el siguiente numeral:

a) 12

Calcular: a + b

N1  N 6 2

a) 555

b) 666

d) 657

e) 564

c) 77

e) 12

… INGRESO SEGURO!

CICLO: VERANO ENERO

- MARZO 2006 - I

Pág. 4

PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ARITMETICA

CUATRO OPERACIONES Concepto: Parte de la Aritmética que comprende el estudio de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división; en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será:  Directa o de composición: cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación.  Inversa o de descomposición; cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro número. 1. Adición (+) Es una operación directa, en la cual para dos números cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer número llamado suma o suma total.

a  b S Donde: *a y b: Sumandos *S : Suma Si: a1= Primer término; an=último término, N=número de términos; r=razón. Se tiene: 1. Suma de los términos de una progresión aritmética:



a a n  .n ó Sn  n a  n  1.r Sn   1   2 2 1  



2. Suma de los términos de una progresión geométrica:

a 1 1  r n    S  a 1  a n .r Sn  ó n 1 r 1 r 2. Sustracción (–) Es una operación inversa a la adición en la cual para dos números llamados minuendo y sustraendo se obtiene un tercer número llamado diferencia tal que si: M–S=D 

S+D=M

Nº 03

Donde: *M : Minuendo *S : Sustraendo *D : Diferencia Si: a > c:

TEOREMA

ac  ca  xy  x  y  9  a  c  x  1

abc  cba  mnp  m+p=9  n=9; a–c=m+1 En general: Dado: abc (n)  cba (n)  xyz(n) , se cumple que: a) x+z =n–1; b) y=n–1; c) a–c=x+1 3. Multiplicación (x) Es una operación directa, en la cual para dos números llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene un tercer número llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indique el multiplicador.

axb  aa  a ....a  P "b" sumandos Donde: * a : Multiplicando * b : Multiplicador * P : Producto Observaciones: * Una multiplicación se considera como una adición abreviada, donde los términos: multiplicando y multiplicador, son llamados factores. * Algoritmo de la Multiplicación: 2 7 3 x 5 8 2 1 8 4  273x8 Productos 13 6 5  273x5 Parciales 1 5 8 3 4(Suma de Productos Parciales)

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ARITMETICA

EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES (N) En el conjunto de números naturales, al sumar o multiplicar números naturales, se obtiene otro número natural, debido a esto, las operaciones de adición y multiplicación se encuentran bien definidas; en cambio al restar o dividir dos números naturales, el resultado no es siempre otro número natural, la sustracción y la división están parcialmente definidas en los naturales. Para que la sustracción pueda estar bien definida, se extienden los números naturales a otro conjunto de números, llamados números enteros, formado por: Enteros positivos : 1, 2, 3, . . . (Z+) Enteros negativos: -1, -2, -3,. . . (Z-) Cero o Neutro Aditivo: 0 

Números Enteros (Z)

Z  ...,3,2,1, 0, 1, 2,3 ....

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.) Se llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a la unidad del orden inmediato superior. * Representación: Sea:

N ( n)

un número de “k” cifras, entonces:

 

(Dividendo), al ser dividido por otro (divisor) se obtenga un tercer número (Cociente) tal que su producto con el divisor sea igual o se acerque lo más posible al dividendo. I. División Exacta Se cumple que el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. D=dxq Donde: D, d, q  Z y d  0 II. División Inexacta Es la división entera en la que el producto del divisor por el cociente es diferente al dividendo. D=dxq Donde: D, d, q  Z y d  0 2.1. División Inexacta por Defecto Cuando el producto del divisor por el cociente (cociente por defecto: q) es menor al dividendo. El número de unidades que le falta a dicho producto para ser igual al dividendo, se le llama residuo por defecto (r).

C.A. N(n)  nk  N(n) Ejemplos:

2

* C.A (24) = 10  24  76 * ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. * ¡Error! No se pueden crear objetos modificando códigos de campo. * Método Práctico: A la primera cifra significativa de menor orden, se le resta de la base y a las demás cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base. Estas diferencias obtenidas serán las cifras correspondientes en el C.A. del número. Si hay ceros después de la última cifra significativa, éstos quedan en el C.A. Ejemplos: *

*

 9 9 9 10  C.A 2 3 4 6   

= 7654

667  C.A 145000( 7 )  =  

¡Error! No se

pueden crear objetos modificando códigos de campo. 4. División () DIVISIÓN ENTERA Es un caso particular de la división, en la que todos los términos son números enteros. Donde conocido un número CICLO: VERANO ENERO

- MARZO 2005 - I

dxq 1), entonces:

02. Dos números primos suman 505. ¿Qué residuo se obtiene al dividir el producto de ellos entre 7? a) 1 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6 03. Si la descomposición cónica de (2a)a es a2(2a + 1). Calcular “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. ¿Cuántos números primos absolutos de 2 cifras, existen en el sistema hexal? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 05. Dado el numero 180 responder: I) ¿Cuántos divisores tiene? II) ¿Numero de divisores primos? III) Numero de divisores compuestos a) 4; 2; 1 b) 8; 3; 4 c) 18; 3; 14 d) 18; 4; 13 e) 18; 4; 14 06. Si: N = 72n tiene 117 divisores. Hallar “n” a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6 07. Hallar “K”, si: N = 4k-2 – 4k tiene 36 divisores. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 08. Calcular el valor de “K”, sabiendo que: N = 15 x 30k tiene 291 divisores que no son primos. a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1 a

0

a

O(N)

N +1

=

TEOREMA DE FERMAT

a

 P-1

0

= p +1

CICLO: ENERO – MARZO 2006-I

n

09. Sabiendo que: N a(a+1) . (3a+1) esta descompuesto cónicamente y además posee 24 divisores. Hallar “n” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Sabiendo que 35n tiene a 4 divisores. ¿Cuántos divisores tendrá: E = 6n – 6a? a) 38 b) 72 c) 98 d) 94 e) 96 Pág. 3

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ARITMETICA

11. De los divisores de 18000

19. ¿Cuántos numerales de 3 cifras existen tal que la suma de sus factores primos es 24, además su cuadrado es igual al producto de sus divisores? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2

0

I.

¿Cuántos son 3 ? 0

II. ¿Cuántos son 20 ? III. ¿Cuántos terminan en cero? IV. ¿Cuántos son impares? 0

V. ¿Cuántos son

20. Determinar un número capicúa de 4 cifras tal que dos de sus factores primos sean cifras del número, dar como respuesta la suma de las soluciones posibles. a) 8547 b) 5775 c) 2772 d) 4987 e) 7546

0

6 pero no de 5 ?

a) 50; 27; 36; 12; 10 b) 40; 36; 12; 10; 8 c) 40; 27; 40; 12; 8 d) 40; 27; 36; 12; 8 e) 40; 27; 34; 10; 8 12. ¿Cuántos números positivos de 3 cifras tienen exactamente 3 divisores? a) 6 b) 7 c) 4 d) 5 e) 6 13. ¿De cuántas maneras se puede descomponer 8100 como el producto de 2 factores? a) 18 b) 20 c) 19 d) 22 e) 23 14. Hallar

(a+b)

sabiendo

que

el

numero

aboab tienen tres divisores primos y 12 divisores compuestos. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 15. Hallar el valor de “a” para que: tenga 21 divisores. a) 2

b) 4

c) 3

aaaa ( 7 )

d) 5

e) 6

16. Al convertirse 200! Al sistema de base 14, en cuantos ceros termina. a) 32

b) 33

c) 29

d) 34

e) 36

mno = c! + p! + u! ¿En cuantos ceros termina el mayor numero de la forma cu!

17. Si:

cuando se expresa en base 12? a) 22 b) 30 c) 25 d) 31

e) 35

18. El numero 648. ¿en cuantos sistemas de numeración acaba en cifra 8? a) 16 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

TAREA DOMICILIARIA 01. Calcule la suma de cifras de “N” si su descomposición canónica es: N = a(2a+3) . (a+1) a) 13 d) 17

b) 18 e) 20

c) 15 k+2

k

02. Si el numero: N = 13 – 13 tienen 75 divisores compuestos. Halle el valor de “k”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 03. Calcular un número de la forma aabb (12) que tenga 14 divisores. Dar como respuesta: a+b a) 13 b) 14 c) 15 d) 12 e) 11 04. Si tenemos que además:

aaaaa (b ) =

b5 - 1 y

N = am x bb x cc

(Descomposición canónica) “N” tienen 60divisores cuya suma de cifras es múltiplo de 9 y 80 divisores cuya ultima cifra es cero. Hallar: m + n a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10 05. ¿Cuál será la ultima cifra del exponente de 11 en la descomposición canónica de 1117!? a) 2 b) 3 c) 9 d) 7 e) 5 06. Si el numero: N = 2457 . 11b . aa tiene 27 divisores primos con 3549. Hallar: a + b a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

CICLO: ENERO – MARZO 2006-I

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Nº 06

ARITMETICA

M.C.D Y M.C.M I. MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D) Se denomina así al mayor de los divisores comunes de 2 ó más números enteros positivos. Ejemplo: Sean los números 8 y 12 Números Divisores 8 1;2,4;8 12 1;2;3;4;6;12 Divisores Comunes: 1; 2; 4



El Mayor MCD (8;12) = 4

Observación:  El número de divisores comunes de un conjunto de números, es igual al número de divisores del MCD de dichos números.  El MCD está contenido en los números.

1.1.2 Descomposición Canónica. Ejemplo: Sean los números: 6 5 4 A=2 .3 .5 4 3 2 B=2 .5 .7 4 3  MCD (A; B) = 2 x 5 Explicación: “Se toman los factores primos comunes, elevados a sus menores exponentes” 1.1.3 Divisiones Sucesivas Algoritmo de Euclides.

Caso General: Calcular el MCD de A y B; donde A > B. q1 q2 q3 q4 A B r1 r2 r3 r1 r2 r3 0

1 1 2 60 36 24 12 24 12 0

1.1.1 Descomposición Simultánea.



Ejemplo: Calcular el MCD de: 42; 48 y 54

42 - 48 - 54 2 21 - 24 - 27 3 7 - 8 - 9 PESI

 MCD (42; 48; 54) = 2 x 3 = 6

CICLO VERANO ENERO - MARZO

Cocientes MCD Residuos

Ejemplo: Calcular el MCD de: 60 y 36

1.1 Formas Prácticas para determinar el MCD

Solución:

o

MCD

MCD (60; 36) = 12

1.2 Propiedades  P.1. Si: A, B y C son PESI.  MCD (A, B, C) = 1 O

 P.2. Si: A = B , se cumple que:  MCD (A, B) = B 

P.3. Si: MCD (A, B, C) = d, entonces: A=d  B=d  son PESI C=d  Pág. 1

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ARITMETICA

 P.4. Si: MCD (A; B) = X MCD (C; E) = Z  MCD (A; B; C; E) = MCD (X; Z)

2.2 Propiedades

 P.5. Dados los números m A=x –1 n B=x –1 p C=x –1 Se cumple que: MCD(m,n,p)

MCD (A; B; C) = x

P.1 Si: A y B son PESI  MCD (A; B) = A.B

–1

II. MINIMO COMUN MÚLTIPLO (M.C.M) Se denomina así al menor de los múltiplos en común de 2 ó más números enteros positivos. Ejemplo: Números Divisores 8 8; 16;24; 32; 40; 48;... 12 12; 24; 36; 48; 60; 72; ... Divisores Comunes: 24; 48 ; 72



El Menor MCD (8;12) = 24

Observación:  Los múltiplos comunes de un conjunto de números, son iguales a los múltiplos del MCM de dichos números.  El MCM contiene a los números. 2.1 Formas Prácticas para Determinar el MCM 2.1.1 Descomposición Simultánea Ejemplo: Calcular el MCM de 20 y 15 Solución: 20 - 15 4 5 - 15 5 1 - 3 3 1 - 1 MCD (20; 15) = 4 x 5x3 = 60



2.1.2 Descomposición Canónica Ejemplo: Sean los números: 6 5 4 A=2 .3 .5 4 3 2 B=2 .5 .7 6 5 4 2  MCD (A;B) = 2 x 3 x 5 x 7 CICLO VERANO ENERO – MARZO

Explicación: “Se toman los factores primos comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes”

P.2 Si: A = B ; Se cumple que:  MCM (A, B) = A P.3 Si: N = A + r N= B +r N= C +r Entonces: N = MCM (A,B,C) + r III. Propiedad fundamental Para dos números A y B; si: MCD (A,B) = d MCM (A,B) = m Se cumple: m = d. .

A.B = m.d

Donde  y  son PESI.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. El MCD de 24k, 60k y 84k es 96. Calcule el máximo de los múltiplos entre (k +2) y (k- 2) a) 30 d) 20

b) 60 e) 50

c) 80

2. La razón de 2 números es 45/20. Si su MCM es 900. Halla la suma de cifras del número mayor. a) 8 d) 4

b) 9 e) 1

c) 6

Pág. 2

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ARITMETICA

3. Hallar el valor de “n” en los números: A = 45.60n. B = 60.45n. Para que cumpla: MCM(A, B) = 12 MCD (A, B) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

5. Si:

b) 3 e) 7

c) 11

k2 2 2k - 5 MCD(C, D)  3 MCD(A,B) 

b) 60 e) 70

b) 4 e) 1

c) 3

b) 284 horas d) 288 horas

8. Cuántos números de 3 cifras múltiplos comunes de 18 y 42? a) 7 d) 5

b) 8 e) 9

CICLO VERANO ENERO – MARZO

c) 6

b) 32 e) 25

c)27

b) 180 e) 360

c) 240

12. Un profesor observa la cantidad de tizas que tiene y se da cuenta que si agrupa de 5 en 5 le sobran 2 tizas y si agrupa de 6 en 6 también le sobra 2 tizas. Calcular la cantidad de tizas si se encuentra entre 50 y 80

7. Si por un punto “A” pasan 2 móviles uno cada 72 horas y el otro cada 96 horas y en este momento salen de “A” simultáneamente. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar nuevamente por el punto A? a) 280horas c) 286 horas e) 282 horas

c) 230

11. Se desea formar un cubo con ladrillos de dimensiones de 20 cm. x 15 cm. x 6 cm. ¿cuantos ladrillos serán necesarios para formar 2 cubos de los mas pequeños? a) 120 d) 300

c) 30

6. Hallar el valor de ”n” en los números: A = 12.45n. B = 12n.45, Para que el MCM tenga 90 divisores a) 5 d) 2

b) 130 e) 120

10. Hemos dividido 3 barras cuyas longitudes son 360 m, 480 m y 540 m en trozos de igual longitud los más largos posibles. Se desea conocer cuantos trozos se han obtenido a) 23 d)45

y el MCD (A, B, C, D) = 9 ; Calcular “k” si esta comprendido entre 20 y 120 a) 40 d) 50

a) 210 d) 110

c) 3

4. Halla la suma de cifras del MCD (A, B) Si: A = 111 · · · 11(2) (30 cifras) B = 333 · · · 33(4) (21 cifras) a) 6 d) 9

9. Al calcular el MCD por divisiones sucesivas se obtuvieron como cociente: 1, 2, 2, 1, 3. Calcular la diferencia de los números si estos suman 630.

son

a) 42 d) 72

b) 52 e) 82

c) 62

13. Si se cumple que: MCD(n(n+1);nn) = n2-8 Calcular el MCM(n(n+1);nn) a) 1122 d) 3322

b) 2233 e) 2211

c) 1133

14. Se tienen disponibles 600 estampillas de lados 12 y 18 milímetros y se ordena una parte de estas estampillas formando un cuadrado. ¿De cuántas maneras se pueden formar este cuadrado? a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

Pág. 3

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ARITMETICA

15. Se tienen ladrillos de 8cm x 9cm x 12cm y disponen en la figura con los cuales se forma un cubo compacto más pequeño posible y se pinta todas sus caras excepto su base. ¿Cuántos ladrillos tienen una sola cara pintada? a) 244 d) 184

b) 268 e) 348

c) 155

6. Hallar la diferencia de 2 números enteros cuyo MCM es 22400 y tales que en el cálculo de MCD mediante divisiones sucesivas se obtuvieron 2, 5 y 3 sucesivamente como cocientes. a) 640 d) 760

b) 710 e) 830

c) 790

TAREA DOMICILIARIA 1. ¿Cuantos divisores comunes tienen 12 y 16? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Determinar el MCM de: 3, 4 y 5 4 5 6 a) 50 d) 120

b) 60 e) 150

c) 90 ES TU ALTERNATIVA

3. Al determinar el MCD de 2 números enteros por el algoritmo de Euclides los cocientes sucesivos fueron 4, 3, 2 y 5 los números son primos relativos. Determinar el mayor de ellos. a) 163 d) 228

b) 152 e) 242

c) 148

4. Hallar la diferencia de 2 números cuya suma de cubos es 40824 y su MCD es 6 a) 27 d) 12

b) 18 e) 6

c) 42

5. Un niño cuenta los animales que tiene de 3 en 3 y observa que le falta 2 para formar otro grupo; de 5 en 5 le sobra 2 y de 7 en 7 le sobra 4. ¿Cuantos animales tiene si dicha cantidad es menor que 100? a) 22 d) 67

b) 32 e) 76

CICLO VERANO ENERO – MARZO

c) 37

Pág. 4

PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Nº 07

ARITMETICA NUMEROS FRACCIONARIOS Una fracción es la división indicada de 2 números enteros positivos. Es decir:

f

a

Numerador

b

Denominador

Donde: 

a, b  Z + a

 a ≠ bº , es decir:

b

Ejemplo:

7 b) A la unidad se le aumenta 2/5  resulta 5 Total < > 1

1 1 1 1 1 5 5 5 5 5

 número entero

Unidad

Identificar cuáles de las siguientes divisiones indicadas son fracciones:

3 5

,

3

π

,

2

3

0

,

5

,

8

,

4

4 8

7

,

10

,

8 3

,

4

........................................................................ REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UNA FRACCION

F



7

7 partes

5

3

c) f  9

Total < > 1

1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 Quito

Queda

2 5

3 5

CICLO: ENERO-MARZO 2006-1

5

5

CONCLUSIÓN: QUITO QUEDA

AUMENTO RESULTA

8 15

8 15

3 7

3 7

6 11

6 11

FRACCION DE FRACCION:

OBSERVACION: Cuando a la unidad se le quita o aumenta una fracción, se puede analizar de la siguiente manera. a) A la unidad se le quita 2/5 

5

Resulta:

1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7

b) f  4

2

7

4 partes

4

Aumenta

5

5

Observamos que las únicas fracciones son: ..............................................................................

a)

1 1 5 5

3 queda

5

Es la fracción que se toma de otra fracción. Ejemplo:

Determinar la mitad de la tercera parte de la mitad de un todo.

1/6

1/2

1/12

1 1 1

  32

 1  1     2  3  2  Pág. 1

CENTRO PREUNIVERSITARIO

ARITMETICA

Nos damos cuenta gráficamente que la respuesta es 1/12. Observando la gráfica concluimos que el resultado se obtiene de:

1

x

1

1

x

2 3



2

5. FRACCIONES EQUIVALENTES:

1 12

OBSERVAMOS:

De, del De la

Indican una multiplicación

2

8

4

6. FRACCION GENERATRIZ:

De los

a

Ejemplo:

b

En cada caso, determine que fracción del total representa la región sombreada:

4

 Decimal

Exacto Periódico Puro Periódico Mixto

CASOS:

01. Decimal Exacto: 0,3 = 0,73 = 0,489 = 4,86 =

A=

C

A

B= C= D

B

D= 02. Decimal Periódico Puro:

PRINCIPALES TIPOS DE FRACCIONES:

0,7

1. FRACCION PROPIA

0,78 =

a b

2. FRACCION IMPROPIA

a

 1  a  b

b

 1 a  b

Ejemplos:

3 7 11 17 , , , 5 4 15 33

Ejemplos:

5 7 11 13 , , , 3 4 2 9

03. Decimal Periódico Mixto: 0,78

5

10

2

7

11

11

11

11

3

4

15

F. Heterogéneas

4. FRACCIONES IRREDUCTIBLES:

Llamadas también fracciones canónicas. Son aquellas cuyos términos tienen como único factor común la unidad, es decir, son primos entre sí:

3 5

,

11 15

,

7 9

CICLO ENERO – MARZO 2006-I

,

8

=

0,184 =

3

Ejemplo:

0,849 = 7,89 =

3.FRACCIONES: HOMOGÉNEA – HETEROGENEA:

F. Homogéneas

=

0,4813 = 7,814

=

RELACION PARTE – TODO

Es una comparación de una cantidad respecto a un todo.

f



parte todo

7 Pág. 2

CENTRO PREUNIVERSITARIO

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

¿Cuál es la fracción que dividido entre su inversa resulta 169 / 576? Dar como respuesta la suma de sus términos. a) 24 b) 37 c) 52 d) 41 e) 62

2.

Al cajero de una compañía le falta 1/9 del dinero que se le confió ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido? a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 1/9 e) 1/10

3.

Si a los 2 términos de una fracción irreductible se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción resultará la misma fracción ¿Cuál es la suma de sus términos? a) 10 b) 19 c) 13 d) 17 e) 15

4.

¿Cuántas fracciones irreductibles de denominador 72 existen; tales que sean mayores que 1/8 pero menores que 1/3? a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 2

5.

6.

7.

¿Cuál es el menor numero que se le debe sumar al denominador de la fracción 57 / 24 para que se convierta en una fracción propia? a) 33 b) 34 c) 18 d) 13 e) 19

ARITMETICA

8.

Si a un número se le quita 30 unidades queda 3/5 del número ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial para que quede las 2/3 del número? a) 35 b) 20 c) 15 d) 30 e) 25

9.

Un hombre gasta la tercera parte de su dinero y luego las 2 terceras partes del resto, quedándole al final 12 soles ¿Cuánto dinero tenia al principio? a) s/.56 b) s/.54 c) s/.51 d) s/.60 e) s/.70

10.

Si 1/3 del líquido contenido en un recipiente se evapora en el primer día y 3/4 del resto se evapora en el segundo día ¿Qué fracción del contenido original permanece al término del segundo día? a) 2/3 b) 7/2 c) ½ d) 5/2 e) 1/6

11.

De una pieza de tela se ha cortado la mitad y luego la cuarta parte del resto, sabiendo que al final quedaron 24 metros ¿Cuál es la longitud total cortada? a) 40 m b) 60 m c) 20 m d) 50 m e) 30 m

12.

Un agricultor lleva piñas en la maletera de su coche, se encuentra con 3 amigos y le da al primero la mitad de las piñas mas 2; al segundo la mitad de lo que queda mas 2 y al tercero la mitad de los sobrantes mas 2. Si aun le sobra 1 piña ¿Cuantos llevaba al principio? a) 36 piñas b) 20 piñas c) 18 piñas d) 46 piñas e) 38 piñas

13.

Mónica esta llenando el reservorio y observa que en las 2 primeras horas lleno la octava parte y en las 2 horas siguientes la veinteava parte, faltando 33 litros para llenar el reservorio. Determinar la capacidad del reservorio. a) 10 litros b) 20 litros c) 30 litros d) 40 litros e) 50 litros

¿Qué fracción impropia sumada con su inversa resulta 2, 666…? a) 5/7 b) 7/3 c) 3/5 d) 5/3 e) 7/5 Un carpintero tomó inicialmente 16 metros de un tronco de madera, luego tomó los 2/3 del resto y observó que ambas partes tenían igual longitud. Hallar la longitud del tronco. a) 40 m b) 10 m c) 20 m d) 30 m e) 50 m

CICLO ENERO – MARZO 2006-I

Pág. 3

CENTRO PREUNIVERSITARIO

ARITMETICA

La mitad de una fracción “m” es igual a 1/5 y la tercera parte de otra “n” es igual también a 1/5. Calcular “m + n” a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5

4.

¿Cuántas fracciones propias menores que 9/11 cuyos términos son números esteros consecutivos existen. a) 4 b) 3 c) 6 d) 2 e) 5

¿Cuántas fracciones cuyos términos sean enteros consecutivos son menores que 65/77? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. Un recipiente tiene una cantidad de vino que son las 2 terceras partes de lo que esta vacío del contenido. Se extrae la tercera parte de lo que no se extrae. ¿Qué parte del total es lo que queda? a) 3/7 b) 2/5 c) 3/10 d) 1/10 e) 3/2

5.

¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es los 3/5 de lo que falta transcurrir? a) 8 horas b) 9 horas c) 6 horas d) 4 horas e) 7 horas

6.

Maria tiene 5 docenas de lapiceros, de los cuales 2/3 son de color azul, los 3/4 del resto son de color negro y los demás de color negro ¿Cuántos lapiceros hay de color rojo? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14.

15.

TAREA DOMICILIARIA

1.

¿En cuanto debe aumentar el numerador de la fracción 2/9 para que sea equivalente a los 4/5 de 10/9? a) 10 b) 12 c) 6 d) 5 e) 13

2.

Hallar la suma de los numeradores de la menor y mayor de las siguientes fracciones: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9

3.

ES TU ALTERNATIVA

Con los s/. 65 que tenía compre libros por s/. 15. Además gaste los 7/10 del resto en una casaca ¿Cuánto me queda? a) s/. 5 b) s/. 15 c) s/. 25 d) s/. 35 e) s/. 45

CICLO ENERO – MARZO 2006-I

Pág. 4

PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ARITMETICA RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades, mediante las operaciones de sustracción o división. En general: Sean las cantidades a y b. RAZÓN ARITMÉTICA Determinar en cuanto excede una cantidad a la otra, y se obtiene mediante la sustracción.

RAZÓN GEOMÉTRICA Determinar cuantas veces cada una de las cantidades la unidad de referencia, y se obtiene mediante la división.

a–b=r

a K b

Donde:  ayb  a  b  r  K

    

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Propiedades Generales: P.1. Si: A B C D    K  a b c d

Proporción Aritmética

Proporción Geométrica

a - b = c - d

a c  b d

a + d = c + b

a x d = c x b

 Suma   Suma       de    de   Extremos   Medios     

 Pr oducto   Pr oducto       de    de   Extremos   Medios     

Proporción Aritmética

Proporción Geométrica

a - b = c - d

a c  b d

a + d = c + b

a x d = c x b

 Suma   Suma       de    de   Extremos   Medios     

 Pr oducto   Pr oducto       de    de   Extremos   Medios     

A = ak B = bk C = ck D = dk

Antecedente = Consecuente x k

P.2. Si:

A B C D     K , entonces: a b c d A BCD K abcd

términos de la razón Antecedente Consecuente Valor de la razón aritmética Valor de la razón geométrica

Nota: Cuando se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica.

Nº 08

Suma de Antecedent es K Suma de Con sec uentes

P.3. Si:

A B C D     K , entonces: a b c d A.B.C.D  K4 a.b.c.d Pr oducto de Antecedent es  Kn Pr oducto de Con sec uentes

Donde: “n” es el numero de razones geométricas que se multiplican.

A este tipo de serie se le denomina Serie de razones geométricas continuas equivalentes. En general: a = ek4 b = ek3 a b C d     k  c = ek2 Si: b c b e d = ek

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– CICLO VERANO ENERO – MARZO -2006-I Pag.1

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ARITMETICA

PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico, de dos razones de la misma clase. En general: Proporción Aritmética

Proporción Geométrica

a - b = c - d

a c  b d

a + d = c + b

a x d = c x b

 Suma   Suma       de    de   Extremos   Medios     

 Pr oducto   Pr oducto       de    de   Extremos   Medios     

Donde: * a y d *byc

 

Términos extremos Términos medios

Observación: Una proporción dependiendo de sus términos medios puede ser: Discreta o Continua PROPORCIÓN ARITMÉTICA Discreta Continua Extremos Extremos a - b = c - d

a - b = b - c

Medios

Medios

b: Media diferencial de a y c

d: Cuarta diferencial de a, b y c.

ac b 2

c: Tercera diferencial de a y b. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Discreta Continua

a c  b d

d: Cuarta proporcional de a, b y c.

a b  b c

b: Media proporcional de a y c.

b  ac . c: Tercera proporcional de ayb

ab c d  b d a c   ab c d ab c d   ab c d

 a c   b d

Es un valor que representa a un conjunto de datos (cantidades o números); dicho valor no es inferior que el menor de los datos, ni superior que el mayor de los datos. Es decir:

Menor Dato  Promedio  Mayor Dato

Promedios Importantes Para “n” datos:

a1, a2, a3, …, an: 1. Promedio Aritmético o Media Aritmética: ( MA )

MA 

a 1  a 2  a 3  ...  a n n

2. Promedio Geométrico o Media Geométrica: ( MG )

MG  n a1 . a2 . a3 ...an 3. Promedio Armónico o Media Armónica: ( MH )

MH 

n 1 1 1 1    ...  a1 a 2 a 3 an

PROPIEDADES: A) * Si todos los datos son iguales

MH  MG  MA * Si los datos presenta, al menos uno diferente:

MH MG  MA

PROPIEDADES:

Si:

PROMEDIO

CICLO: VERANO ENERO - MARZO 2006 - I

Conclusión:

MH MG  MA

Pág. 2

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B) Para 2 datos: “a” y “b”

ARITMETICA

ab 2

*

MA (ab) 

*

MG (a;b)  a.b

*

MH (a;b) 

*

MG



2

6. En una caja se tienen 15 bolas blancas y 16 bolas rojas. ¿Cuántas bolas blancas se deben aumentar para que la relación entre bolas blancas y rojas sea de 5 a 2? a) 18 b) 21 c) 30 d) 25 e) 20

2ab ab

7. Si:

10  MA . MH

(a - b)2 = 4 . ( MA

2

 MG

2

)

1. La relación de las temperaturas de dos ciudades es de 3 a 5. Si la mayor temperatura es de 25º C, determine la menor temperatura. a) 8º C b) 10º C c) 12º C d) 14º C e) 15º C 2. La razón aritmética de 2 números es 244 y la razón geométrica es 7/3. ¿Cuál es el mayor de los números? a) 150 b) 200 c) 740 d) 800 e) 427 Si se tiene las siguientes alturas de 8 árboles de un parque: 8,06m; 7m; 7,52m, 6,5m; 9,152m; 11m; 9,4m; 10,25m. ¿Cuál de las alternativas puede ser promedio de estas alturas? a) 6,49 m b) 11,01 m c) 4

π

m

d) 10 m.

e)

35

4. Hallar 2 números sabiendo que su mayor promedio es 5 y su menor promedio es: 24/5. a) 7 y 3 b) 8 y 2 c) 6 y 5 d) 6 y 4 e) 5 y 7 5. Las edades de Sofía y Eduardo están en la relación de 14 a 10 respectivamente. Hoy es cumpleaños de Eduardo y cuando nació Eduardo, Sofía tenía 18 años. ¿Hace 15 años en qué relación estaban sus edades? a) 6/5 b) 8/7 c) 8/5 d) 7/5 e) 8/3 CICLO: VERANO ENERO - MARZO 2006 - I

(8) . Halla el complemento aritmético de ab

sabiendo que sus cifras son primos entre si: a) 75 b) 57 c) 63 d) 69 e) 72

PROBLEMAS PROPUESTOS

3.

aa (8) es a bb0 (8) como 3 (8) es a

8. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13 440. luego, la suma de los consecuentes es: a)82 b)38 c)46 d)86 e)94

a0a ; a1a ; a2a ; a3a ; ...; a9a ; es igual a : ab8

9. La media aritmética de la sucesión Halla : a + b a) 7 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

10. La media armónica de 2 números pares consecutivos es: 8,888 .... Calcule la suma de los números a) 12 b) 14 c) 18 d) 20 e) 22 11. La media geométrica de cuatro enteros diferentes entre sí, es de 5 números. a) 39 d) 165

5 . Halle la suma de los 4 b) 29 e) 156

c) 120

12. Los cuadrados de 1/2; 1/4 y 1/8 son proporcionales a otros tres números que suma 147/176. Uno de dichos números es: a)8/41 c)5/44

b)7/176 d)8/21

e)7/18 Pág. 3

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13. Si:

ARITMETICA

a1 a 2 a 3    b1 b 2 b3

an  0,5 bn

Halla: “n”, si:

2  b1   b 2  b          n  a1   a 2   an a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

n    2046  c) 11

14. De los 5 integrantes de un equipo de básquetbol, ninguno sobrepasa de las 30 canastas en un juego. ¿Cuál será la mínima cantidad de canastas que uno de ellos podrá hacer para que el promedio del equipo sea de 26 canastas por juego? a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 24 15. Calcule la suma de 2 números que se diferencian en 32 además su MG y MA están en la relación de 5 a 3. a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) 36 16. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de todas las personas. a) 15 b) 16,2 c) 15,2 d) 15,1 e) 16,1

03. Un atleta corre 100 m planos y demora 9,01 s a favor del viento. Luego corre la misma distancia pero en contra del viento en 10,1 s. Luego la velocidad promedio en m/s, es: a) 9,92 d) 10,46

b) 10,14 e) 11,20

c) 10,24

04. La media armónica y media aritmética de dos números enteros es 10 y 6,4. El error que se comete al tomar el promedio aritmético como promedio geométrico (número entero), es: a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 2

05. La media geométrica y la media aritmética de dos números pares positivos, se diferencian en uno. Si la suma de dichos números es menor que 11, luego la diferencia de ellos es: a) 2 d) 6

b) 3 e) 8

c) 4

TAREA DOMICILIARIA 01. Tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente tienen como suma 42 y como producto 2688. Determina el tercer término. a)16 d)35

b)25 e)40

c)30

ES TU ALTERNATIVA

02. Tres números en progresión aritmética que aumentados en 2; 3 y 8 respectivamente, son proporcionales a 10; 25 y 50; Indica uno de ellos: a)4 d)3

b)6 e)7

CICLO: VERANO ENERO - MARZO 2006 - I

c)13

Pág. 4

PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ARITMETICA

Nº 09

MAGNITUDES PROPORCIONALES-REPARTO PROPORCIONAL EJERCICIOS 1. A es directamente proporcional con B2 e

c

inversamente proporcional a ; cuando A=4, B=8 Y C=16 .Hallar A cuando : B =12 Y C =36 a) 4 b)8 c) 9 d)12 e)6 2. Si A es directamente proporcional a B e

c En inversamente proporcional a la un determinado momento A vale 720. ¿Qué valor tomara A si B aumenta en un 80 % y C disminuye en un 36 %? a)1500 b1600 c)1620 d1520 e)1700 3. Se tiene dos magnitudes A y B, tal que A es directamente proporcional a la raíz cuadrada de B. ¿En que porcentaje aumentara o disminuirá A SI B disminuye en un 36%? a) disminuye en un 40% b) aumenta en un 18% c) disminuye en un 24% d)aumenta en un 24 % e) disminuye, en un 20% 4. Sabiendo que A es directamente proporcional con B! e inversamente proporcional con C! .si A=19 y B=17 . Hallar C cuando A=39 y B =39 a) 27 b) 37 c) 47 d) 57 e) N.A

5. A varia directamente proporcional con B y C , y C varia en forma proporcional con F3 . Cuando A=160; entonces B = 5 Y F = 2 .Si B =8 Y F =5 ¿Cuanto sera A sera? a)4000 b)3800 c)3500 d)3200 e) 2400 6. La duración de un viaje por ferrocarril es directamente proporcional a la distancia e inversamente proporcional al numero de vagones del tren . Si un tren de 20 vagones recorre 30 km. En ½ hora ¿Cuántas kilómetros puede recorrer un tren de 10 vagones en un minutos? a)10km b)20km c) 30km d) 15km e) 23km 7. ¿ Cuàl es el peso de un diamante que vale 55000 dolares , si uno de 6 kilates cuesta 19800 dolares y el precio es proporcional al cuadrado de su peso? (1 kilate 0 0,25g ) a) 6g b) 6,5g c) 2,5g d) 25g e) 62,5 g 8. El cuadrado de A varia proporcional al cubo de B; si A =3; B = 4. Determinando el valor de B cuando: A = 3 3 a )1/3 c) 11/3 e) 94

b) 2/3 d) 21/3

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– CICLO VERANO ENERO – MARZO -2006-I Pag.1

CENTRO PREUNIVERSITARIO

9. Se sabe que A directamente proporcional a 1/B y es inversamente proporcional al cubo de 1/C cuando A =12; B =48 y C vale 2.¿ Qué valor toma C si A =36 y B = 48 a) 2 b)3 c)4 d)5 e) 6 10. El peso de un animal es directamente proporcional a sus años , si dicho animal tuviera 360kg, su edad seria 32 años .¿ Cuántos años tendrá sabiendo que pesa 324kg? a) 28,6 b) 26,8 c) 29,8 d) 27,8 e) 28,8

ARITMETICA

14. Dividir 5320 en tres partes directamente proporcional a las raices cuadradas de los numeros 32;50 y128. Indicar la mayor de las partes. a) 2500 b)2600 c)2800 d)2900 e) 2400 15. Dividir 7956 en tres partes tales que sus raices cúbicas sea inversamente proporcional a ¼; 1/8 y 1/12. Indicar la diferencia de las dos menores. a)1247 b) 1547 c)1347 d)1647 e) N.A

11. Repartir 154 en partes directamente proporcional es a 2/3 ; 1/4 ; 1/5 y 1/6. a) 80;34;20;19 b) 80;32;24;18 c) 80;34;22;18 d) 80;30;24;20 e) 80;36;20;18

12. Repartir 1380 en 3 partes, tal que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que esta sea a la tercera como 5 es a 7. ¿Cuál es la cantidad menor? a)300 b)360 c)420 d)480 e)630

ES TU ALTERNATIVA

13. Descomponer el numero 934 en 3 partes inversamente proporcional a los cuadrados de 5,1/2 y 3. Indique las partes a) 9;900;25 b) 8;800;15 c) 6;600;15 d) 7;700;25 e) N.A

CICLO: VERANO ENERO - MARZO 2006 - I

Pág. 2

PREPARACIÓN A LA:

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ARITMETICA

Nº 10

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA EJERCICIOS 1. Un barco tiene víveres para 22 días, si lleva 39 tripulantes, diga cuanto puede durar un viaje de 33 tripulantes. a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28

2. 8 obreros pueden hacer una obra en 20 días. Después de 5 días de trabajo se retiran 3 obreros. ¿Con cuántos días de atraso se entregará la obra? a)8 días b) 9 días c) 10 días d) 12 días e) 6 días 3. Juan es el doble de rápido que Pedro y este el triple de rápido que Luis. Si entre los 3 pueden terminar una obra en 12 días. ¿ En cuántos días Pedro con Luis harían la misma obra? a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 4. Anita es el doble de rápida que Betty y esta el triple de rápida que Carmen; si juntas corren en una competencia de postas de 300 metros en 27 segundos ¿ En que tiempo correrá Anita el mismo espacio? a) 185 b) 95 c) 105 d) 155 e) 125 5. A una reunión asistieron 511 personas, se sabe que por cada 6 hombres habían 8 mujeres ¿Cuántos hombres asistieron a la reunión? a) 220 b) 219 c)218 d) 217 e) 216

6. 40 kg. De miel contiene 24 kg. de azúcar ¿ Cuántos kg. de H2O hay que agregar a esta miel para que 5 kg. de mezcla contengan 2 kg. de azúcar? a) 20 b) 30 c) 25 d) 15 e) 10 7. Para pintar las paredes de una sala rectangular de 15m. de largo, 6m de ancho y 5m. de altura se gasto 34650 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar las paredes de una sala de 12m. de largo, 7m. de ancho y 4m. de altura? a) 25080 b) 24800 c) 24080 d) 26980 e) 26080 8. 30 albañiles debían terminar una obra en 20 días, habían trabajado 5 días cuando 5 de ellos se retiraron. ¿Cuánto duró la construcción de la obra? a )16 d) 22

b) 18 e) 24

c) 20

9. Un buey atado a una cuerda de 7,5 mt. De longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días ¿Qué tiempo demoraría par comer la hierba que está a su alcance si la longitud de la cuerda fuese de 15m. a) 10 días b) 8 días c) 12 días d) 9 días e) 11 días

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CENTRO PREUNIVERSITARIO

10. En una caja hay 200 bolas de las cuales 60 son rojas y el resto blancas ¿Cuántas bolas blancas se deberán agregar si se quiere que por cada 3 bolas rojas hayan 20 blancas? Rpta. ………………… 11. Si un viajero aumenta su velocidad de marcha en 1/3 ¿Cuántas horas diarias habrá de caminar para recorrer en 4 días. El camino hecho e 6 días de 8 horas de marcha cada día, en su velocidad normal ? a) 7 h/d. b) 8 h/d c) 9d d) 10h/d e) 11h/d 12. Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días ¿ En cuántos días talarán 16 leñadores 16 árboles si estos últimos son ¼ menos rendidores que los anteriores? a) 10d. b) 8d. c) 9d. d) 12d. e) 16d. 13. Se contrató una obra para ser terminada en 20 días por 15 obreros que trabajan en 8 horas diarias. Habían trabajado ya dos días cuando se acordó que la obra quedase terminada 3 días antes del plazo estipulado para lo cual se contrataron 5 obreros más. Diga si la jornada deberá aumentar o disminuir y en cuanto? a) disminuir en 30m. b) aumentar en 30m. c) disminuir en 48m. d) aumentar en 48m. e) N.A.

ARITMETICA

15. Una obra que tiene una dificultad que es como 7 se puede hacer con 7 máquinas de un rendimiento del 45% en 20 días de 11horas. ¿En cuántos días de 10 horas de trabajo se hará una obra que es el volumen como 15/9 de la obra anterior, con una dificultad que es como 8 harán 12 máquinas con un rendimiento del 55%? a)10d b) 15d c)20d. d)25d. e) 30d. 16. 16 obreros puedes hacer el 20% de una obra en 15 días trabajando 5 h/d. Si 11 de estos obreros aumentan su rendimiento en 25% y los restantes disminuyen su rendimiento a su 25%. Determinar cuantas horas diarias deberán trabajar todos estos obreros para hacer el 30% de la obra en 20 días. a) 4h/d b) 5h/d c) 8h)d d) 9h/d e) 6h/d

ES TU ALTERNATIVA

14. Una familia de 5 personas gasta S/ 60000 para vivir 3 meses en una ciudad. ¿ Cuánto deben gastar para vivir en otra ciudad durante 5 meses si el costo de vida es los 5/4 del anterior, sabiendo que se une la suegra a la familia a) 150 000 b)160 000 c)140 000 d) 170 000 e) 2400 CICLO: VERANO ENERO - MARZO 2006 - I

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