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• Hugo Quezada Alegría

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Lugar Geométrico de las Raíces La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto. Mediante la técnica del lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica de un sistema de control, es posible analizar su estabilidad porque cuando la gráfica intercepta el eje imaginario o se prolonga a su derecha indica la posibilidad de que el lazo de control sea inestable. En la actualidad se dispone de recursos computacionales, como Matlab y Simulink que facilitan su construcción, el análisis de la estabilidad del sistema de control y el diseño de un controlador para una respuesta estable deseada. Sea el siguiente sistema de control con retroalimentación unitaria para el cual se realizará un esbozo de su lugar geométrico de manera analítica.

La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son 𝐺(𝑠) =

𝐾 𝑠(𝑠 + 4)

𝐶(𝑠) 𝐾 = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 4𝑠 + 𝐾

La ecuación característica de lazo cerrado es: 𝑠 2 + 4𝑠 + 𝐾 = 0 Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son 𝑠1,2 = −2 ± √4 − 𝐾

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Lugar geométrico de las raíces Del análisis del LGR podemos concluir: El sistema es estable si 𝐾 > 0, dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo del plano 𝑠. Respuesta transitoria 1. Sobreamortiguada (𝜉 > 1) (de la solución de la ecuación característica se tiene que los polos son reales y diferentes) 0 𝑚, se tiene un cierto número de ramas que comienzan en los polos pero, debido a que existen más polos que ceros, dichas ramas se dirigen a ceros en el infinito a lo largo de asíntotas. El número de asíntotas, 𝑁𝐴 , se determina como la diferencia entre polos y ceros, la ubicación 𝜎𝐴 de su punto de partida del eje real, y del ángulo 𝜙𝐴 de las mismas, se utilizan las ecuaciones siguientes respectivamente.

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donde 𝑞 = 𝑞, 1,2, … , (𝑁𝐴 − 1) A partir del conocimiento del número de asíntotas, de su ubicación y de sus ángulos es bastante simple trazar la forma aproximada del lugar geométrico. Los cálculos para nuestro ejemplo son:

Una vez ubicadas las asíntotas y los puntos de ruptura se deben determinar cuál de los polos termina en el infinito a través de ellas. En el caso en cuestión se tiene que el polo ubicado en 𝑠 = −2s termina en el cero ubicado en 𝑠 = −3, en tanto que los otros tres polos deben terminar en las asíntotas. El polo ubicado en 𝑠 = −4 está sobre una de las asíntotas, lo que indica que por allí habrá una rama del lugar geométrico que termina en el infinito y los polos restantes se acercan a medida que aumenta 𝐾 para finalmente despegarse del eje real y dirigirse al infinito por las dos asíntotas restantes. El valor exacto del punto en donde se despega el lugar geométrico del eje real puede calcularse tal como se indica en el siguiente paso. Paso 4 El punto o los puntos del eje real en el cual las raíces se despegan del eje y se convierten en raíces imaginarias se conocen como puntos de ruptura y ocurren cuando hay multiplicidad de raíces en un tramo, es decir, si dos o más raíces se van acercando a medida que aumenta 𝐾, llega un punto en donde se encuentran y son iguales. Es allí en donde, al seguir aumentando 𝐾, dichas raíces se convierten en raíces imaginarias y se despegan del eje real. Tomando en consideración lo anterior se determina que el punto de ruptura ocurre cuando se llega a un valor máximo de 𝐾 después del cual las raíces dejan de ser reales. Para obtener analíticamente dicho punto se debe reescribir la ecuación característica despejando el valor de 𝐾, de la condición del módulo. 𝐾=−

1 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

A partir de allí es posible obtener el máximo de 𝐾 derivando dicha ecuación con respecto a, 𝑠, e igualando a cero y encontrando el valor de las raíces, 𝑠𝑅 . Cabe destacar que no todas las raíces que son soluciones de dicha ecuación representan puntos de ruptura, eso 6

se determina partiendo de un análisis que indique cuales de los tramos del eje real pertenece al lugar de las raíces. 𝑑𝐾 =0 𝑑𝑠 Para conocer dicho punto de ruptura se sigue el procedimiento anterior tal como se muestra.

De todas las raíces encontradas solamente la raíz 𝑠𝑅1 = −0,43 está dentro de los límites determinados, es decir entre 0 y 1, por lo tanto, ese es el punto de ruptura. Paso 5 A partir de toda la información anterior es sumamente sencillo realizar un esbozo completo del lugar geométrico, el cual se muestra en la figura siguiente.

Figura: Esbozo del LGR Tal como se observa el grafico del lugar geométrico corta el eje imaginario en un punto y atraviesa hacia el semiplano derecho. El valor de dicho punto puede calcularse numéricamente tal como se indica en el siguiente paso. Paso 6 El punto en el cual el lugar geométrico corta el eje imaginario puede ser calculado de dos formas, utilizando el Criterio de Routh-Hurwitz o partiendo del hecho de que la raíz en dicho punto solamente tendrá parte imaginaria. Ambos métodos serán explicados utilizando el ejemplo que se está estudiando. El uso de Criterio de Routh-Hurwitz proporciona el valor de la ganancia crítica utilizando la ecuación característica a lazo cerrado tal como sigue. 7

De aquí se desprende que la ganancia crítica del sistema es igual a 9,65 y para dicho valor las raíces del lazo cerrado son las siguientes,

El valor de la raíz en el eje imaginario se obtiene a partir del polinomio auxiliar. El corte con el eje imaginario ocurre en 𝜔 = 1,58 y el valor correspondiente de la ganancia es de 𝐾 = 9,65. El otro método consiste en sustituir en la ecuación característica a lazo cerrado 𝑠 = 𝑗𝜔 y se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas, 𝐾 y 𝜔, los cuales se obtienen considerando las partes reales e imaginarias de la ecuación característica.

Como puede observarse es posible obtener numéricamente el corte con el eje imaginario por ambos métodos con iguales resultados. Utilizando el procedimiento anterior se puede obtener, de forma rápida y eficaz, un esbozo del lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado cuando se varía K desde cero a infinito. Si fuera necesario conocer el lugar geométrico con mayor exactitud se puede utilizar alguna herramienta computacional, como por ejemplo el MATLAB, el cual es sumamente sencillo de utilizar. Para el ejemplo desarrollado se puede observar el lugar geométrico exacto aplicando Matlab, el cual es completamente semejante al grafico realizado de forma analítica, aún en los puntos que fueron calculados numéricamente.

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Figura: Lugar Geométrico Exacto del ejemplo realizado Ejemplo. -Graficar el LGR de un sistema que tiene una función de transferencia en lazo abierto como la mostrada 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

(𝑠 + 3)(𝑠 + 8) 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)(𝑠 + 6)

Paso 1 Dibujar sobre el Plano s los polos y ceros del lazo abierto. (Fig. 1(a)) Paso 2 Determinar que parte del eje real pertenece al lugar geométrico. A partir de la condición de ángulo se determina que las partes del eje real que pertenecen al lugar geométrico son aquellas que se encuentran a la izquierda de un número impar de polos y ceros. (Fig. 1(b))

Figura 1: Polos y ceros en el Plano s. Paso 3 Determinar el número de asíntotas 𝑁𝐴 , la ubicación de su punto de partida 𝜎𝐴 y el ángulo de las mismas 𝜙𝐴 , respectivamente

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Paso 4 Si existe, calcular los puntos de ruptura o despegue del eje real. Como se puede observar en la Fig. 1 de las ramas del lugar geométrico que se encuentran sobre el eje real, solamente aquella que se encuentra entre 𝑠 = 0 𝑦 𝑠 = −1 contiene dos raíces que deberán despegarse y dirigirse al infinito a través de las asíntotas, las otras dos ramas están completas pues comienzan en un polo y terminan en un cero. Es por ello que solamente existirá un punto de ruptura y debe encontrarse entre 𝑠 = 0 𝑦 𝑠 = −1. Para obtenerlo se sigue el procedimiento que se mostró anteriormente.

De todas las raíces obtenidas solamente la raíz 𝑠𝑅5 = 0,52 está dentro de los límites posibles, es decir entre 0 y 1, por lo tanto ese es el punto de ruptura. Paso 5 Dibujar un esbozo completo del lugar geométrico de las raíces. Ya quedó determinado cuales de ramas del lugar geométrico están completas, pues comienzan en un polo y tienen en sus cercanías un cero en donde terminar. Además, ya se conoce el punto de ruptura, por lo tanto es posible realizar el esbozo del lugar, tal como se muestra en la Figura.

Figura: Gráfica del Lugar Geométrico. Paso 6 Si existe, calcular el corte con el eje imaginario.

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Como se puede observar, según el gráfico mostrado en la Figura, el lugar geométrico no cruza hacia el semiplano derecho, por lo tanto, no existe corte con el eje imaginario y el sistema a lazo cerrado es estable para todo valor de K. Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. 1.- Inicio y final de las trayectorias Las trayectorias del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) con 𝐾 = 0 y terminan en los ceros de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) o en el infinito (ceros finitos o ceros en infinitos) con 𝐾 = ∞. 2.- Trayectorias sobre el eje real: Existen trayectorias sobre el eje real si la cantidad total de polos y ceros reales de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) a la derecha de un punto de prueba es impar. 3.- Ubicación de los ceros infinitos: Cuando el lugar geométrico de las raíces tiende a infinito (𝑠 → ∞) lo hace en forma asintótica (en línea recta). a. Número de asíntotas (⋕ 𝑨𝒔 ) ⋕ 𝐴𝑠 = 𝑛𝑝 − 𝑛𝑧 b. Centroide de las asíntotas (𝝈𝒂 ) 𝜎𝑎 = c.

∑𝑝 − ∑𝑧 𝑛𝑝 − 𝑛𝑧

Angulo de las asíntotas (∠𝑨𝒔 ) ∠𝐴𝑠 =

±180°(2𝑘 + 1) 𝑛𝑝 − 𝑛𝑧

𝑘 = 0,1,2, …

4.- Puntos de quiebre o de ruptura (𝒔𝒒 ) a.- Cuando existen trayectorias entre dos polos o dos ceros reales, existe puntos de ruptura en el cuál el lugar de las raíces deja el eje real. Procedimientos para determinar los puntos de quiebre i) De la ecuación característica, despejar K ii) Derivar una vez con respecto a s e igualar a cero la ecuación resultante. iii) Obtener las raíces de la ecuación obtenidas en el inciso (ii), seleccionar el o los puntos de quiebre del sistema. Tal como se ha explicado en clase 5.- Ganancia de quiebre (𝑲𝒒 ) Es el valor de la ganancia 𝐾 en el punto de quiebre. Se obtiene utilizando la condición de magnitud en el punto 𝑠𝑞 6.- Ganancia Critica (𝑲𝒄 ) Es el valor de 𝐾 que hace que el sistema se encuentre en el límite de estabilidad. Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica, se establece el rango de valores de 𝐾 para que el sistema sea estable. Los límites de ese rango definirán los 𝐾𝑐 . 11

7. Frecuencia Critica (𝝎𝒄 ) El valor de las raíces (polos) cuando se cruza el eje imaginario; esto es cuando 𝐾 = 𝐾𝑐 Se obtiene sustituyendo 𝐾𝑐 en el polinomio auxiliar de la tabla de Routh. 8.- Pertenencia de un punto a la trayectoria del L.G.R. Para que un punto 𝑠 pertenezca a la trayectoria del L.G.R. debe cumplir la condición de ángulo: ∠𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = ±180°(2𝑘 + 1)

𝑘 = 1,2,3, …

9.- Cálculo de K para cualquier punto s del L.G.R. Si un punto 𝑠 pertenece al L.G.R. se puede obtener la ganancia 𝐾 que permite tener ese punto.

10. Cálculo del ángulo de salida (o ángulo de llegada) de una trayectoria a partir de un polo complejo (un cero complejo) Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Ángulo de salida desde un polo complejo = 180° - (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos) + (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros) Ángulo de llegada a un cero complejo = 180° - (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otros ceros) + (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos)

Ejemplo. - Considere el sistema de la figura. Graficar su LGR

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𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

𝐾 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)

Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de 𝐾 tal que el factor de amortiguamiento relativo 𝜉 de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea 0.5. Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

La condición de magnitud es

pasos a seguir 1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo abierto (0, −1 𝑦 − 2) con 𝐾 = 0, y terminan en el infinito con 𝐾 = ∞ 2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los polos (0 𝑦 − 1) y de (−2 𝑎 − ∞). 3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a infinito son 3, ya que no existen ceros finitos.

4. Puntos de quiebre o de ruptura (𝒔𝒒 ). Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 𝑦 − 1), entonces existe un punto de quiebre. De la ecuación característica despejamos 𝐾

derivando 𝐾 respecto a 𝑠 e igualando a cero

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resolviendo 𝑠 = −0.422

𝑠 = −1.577

Como el punto de ruptura debe estar entre (0 𝑦 − 1) entonces el punto sería 𝑠𝑞 = −0.422 5. Ganancia de quiebre (𝑲𝒒 ) Utilizando el punto de quiebre 𝑠𝑞 calculamos la ganancia de quiebre con la condición de magnitud

6. Ganancia Crítica (𝑲𝒄 ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica

7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar

Para determinar la ganancia 𝐾 que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.5 Primero se determina el punto 𝑠, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.5

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Se determina la ecuación de la recta de 𝜉 = 0.5

con esta ecuación de la recta se propone un valor en 𝑥 y se determina el valor en 𝑦 el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR.

El punto que cumple con las dos condiciones es: 𝑠 = −0.333 + 𝑗0.577 Aplicando la condición de magnitud

La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.5 es 𝐾 = 1.036

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Ejemplo 2 Considere el sistema de la figura

Trace la gráfica del lugar geométrico de las raíces y determine el valor de 𝐾 tal que el factor de amortiguamiento relativo 𝜉 de los polos dominantes complejos conjugados en lazo cerrado sea 0.6. Para el sistema determinado, la condición de ángulo se convierte en

La condición de magnitud es

1. Inicio y final de las trayectorias: Las trayectorias del L.G.R. empiezan en los polos de lazo abierto (0, −1 𝑦 − 2) con 𝐾 = 0, y terminan, una en (−5) y dos en el infinito con 𝐾 = ∞. 16

2. Trayectorias sobre el eje real: Las trayectorias del L.G.R. sobre el eje real existen entre los polos (0 𝑦 − 1) y de (−2 𝑎 − 5). 3. Ubicación de los ceros infinitos: La cantidad de trayectorias del L.G.R. que tienden a infinito son 2, ya que solo existe un cero finito.

4. Puntos de quiebre o de ruptura (𝒔𝒒 ). Como existe lugar de las raíces entre dos polos (0 𝑦 − 1), entonces existe un punto de quiebre. De la ecuación característica despejamos 𝐾

5. Ganancia de quiebre (𝑲𝒒 ) Utilizando el punto de quiebre 𝑠𝑞 calculamos la ganancia de quiebre con la condición de magnitud

6. Ganancia Crítica (𝑲𝒄 ): Se obtiene aplicando el criterio de Routh-Hurwitz en la ecuación característica

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7. El punto crítico se obtiene del polinomio auxiliar

Para determinar la ganancia 𝐾 que permite tener una respuesta con relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.6. Primero se determina el punto 𝑠, que este sobre el L.G.R. y que este sobre la recta de relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.6

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Se determinan los puntos que estén sobre la recta de 𝜉 = 0.6

con esta ecuación de la recta se propone un valor en 𝑥 y se determina el valor en 𝑦 el punto debe de cumplir la condición de ángulo para que este sobre el LGR

El punto que cumple con las dos condiciones es 𝑠 = −0.398 + 0.532𝑗 Aplicando la condición de magnitud

La ganancia que me permite tener una respuesta con una relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.6 es 𝐾 = 0.194

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SE RECOMIENDA QUE ESTUDIEN Y GRAFIQUEN EL LGR DE LOS SISTEMAS QUE TIENEN RAICES COMPLEJAS. EL EXAMEN HA SIDO PROGRAMADO PARA EL DIA JUEVES. VERIFICAR AULA Y HORA. EL EXAMEN SE INICIAR A LA HORA EXACTA PROGRAMADA.

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