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Universidad austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniera Instituto de Electricidad y Electrónica Escuela de ingeniería civil electrónica

LEY DE TENSIONES DE KIRCHOFF Y DIVISORES DE TENSIÓN

Integrantes: Franco Orellana Mathias Gutiérrez Renato Godoy Profesor: Alejandro Villegas M. Asignatura: Circuitos eléctricos 1 – ELEB037 Valdivia, Chile

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Índice Objetivos……………………………………………………………………………………………………….3 Resumen…………………………………………………………………………………………………….…4 Marco teórico…………………………………………………………………………………………... 5-9 Materiales e instrumentos utilizados…………………………………………………………..10 Experiencia 1……………………………………………………………………………………...… 11-17 Experiencia 2………………………………………………………………………………………….18-21 Conclusiones……………………………………………………………………………………………….22 Problema planteados………………………………………………………………………………....23 Bibliografía……………………………………………………………………………………………….…24

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Objetivos

  



Encontrar un modelo matemático general que describa la Ley de Tensiones de Kirchhoff. Encontrar y demostrar la regla “Divisor de Tensión”. Reforzar la práctica de conectar adecuadamente componentes electrónicos y utilizar los instrumentos de medición adecuados que permitan desarrollar la experiencia Relacionar e interpretar datos obtenidos en la experiencia para lograr los objetivos propuestos

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Resumen

En este trabajo realizaremos 2 experiencias en un circuito de corriente continua. La primera consiste en diseñar un circuito eléctrico mixto con 6 resistencias de 0.5W, donde se calculara la caída de tensión en los extremos de cada una de estas para luego demostrar que la suma de cada total de estas caídas de tensión de este circuito cerrado es igual a la tensión aplicada esto representado en una tabla donde se registraran los datos obtenidos. En la segunda experiencia se utilizara un potenciómetro y una resistencia fija, donde se evaluara el comportamiento del voltaje del voltaje de la resistencia fija en relación al cambio de voltaje en el potenciómetro en un gráfico donde se analizara la relación matemática obtenido de este.

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Marco Teórico Ley de OHM [1]: Postulada por el físico y matemático alemán Georg Simón Ohm, es una ley de la electricidad. Establece que la diferencia de potencial V que aparece entre los extremos de un conductor determinado es proporcional a la intensidad de la corriente I que circula por el citado conductor. Ohm completó la ley introduciendo la noción de resistencia eléctrica R; que es el factor de proporcionalidad que aparece en la relación entre V e I.

La fórmula anterior se conoce como ley de Ohm incluso cuando la resistencia varía con la corriente, y en la misma, V corresponde a la diferencia de potencial, R a la resistencia e I a la intensidad de la corriente. Las unidades de esas tres magnitudes en el sistema internacional de unidades son, respectivamente, Voltios (V), Ohmios (Ω) y Amperios (A).

Figura 1: “Georg Simón Ohm”

Figura 2: Diagrama circular de la Ley de Ohm

Como indica la Figura 2, es un diagrama que muestra las tres formas de relacionar las magnitudes físicas que intervienen en la ley de Ohm, V, R e I. La elección de la fórmula a utilizar dependerá del contexto en el que se aplique. Por ejemplo, si se trata de la curva característica I-V de un dispositivo eléctrico como un calefactor, se escribiría como: I = V/R. Si se trata de calcular la tensión V en bornes de una resistencia R por la que circula una corriente I, la aplicación de la ley sería: V= R I. También es posible calcular la resistencia R que ofrece un conductor que tiene una tensión V entre sus bornes y por el que circula una corriente I, aplicando la fórmula R = V/ I.

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Leyes de Kirchhoff [2]: Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la conservación de la energía y la carga en los circuitos eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1846 por Gustav Kirchhoff. Son ampliamente usadas en ingeniería eléctrica. Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente de las ecuaciones de Maxwell, pero Kirchhoff precedió a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue generalizado. Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica e ingeniería electrónica para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito eléctrico.

Figura 3. La corriente que pasa por un Nodo es igual a la corriente que sale del mismo.

Figura 4. Gustav Kirchhoff

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Circuitos serie [3]: Un circuito en serie es una configuración de conexión en la que los bornes o terminales de los dispositivos (generadores, resistencias, condensadores, interruptores, entre otros) se conectan secuencialmente. La terminal de salida de un dispositivo se conecta a la terminal de entrada del dispositivo siguiente. Siguiendo un símil hidráulico, dos depósitos de agua se conectarán en serie si la salida del primero se conecta a la entrada del segundo. Una batería eléctrica suele estar formada por varias pilas eléctricas conectadas en serie, para alcanzar así el voltaje que se precise. En función de los dispositivos conectados en serie, el valor total o equivalente se obtiene con las siguientes expresiones:

Circuitos en Paralelo [4]: El circuito eléctrico en paralelo es una conexión donde los puertos de entrada de todos los dispositivos (generadores, resistencias, condensadores, etc.) estén conectados y coincidan entre sí, lo mismo que sus terminales de salida. Siguiendo un símil hidráulico, dos tinacos de agua conectados en paralelo tendrán una entrada común que alimentará simultáneamente a ambos, así como una salida común que drenará ambos a la vez. En una casa habitación se conectan todas las cargas en paralelo para tener el mismo voltaje. En función de los dispositivos conectados en paralelo, el valor total o equivalente se obtiene con las siguientes expresiones:

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Circuitos Mixtos [5]: El circuito mixto es una combinación de elementos conectados en serie y en paralelo. Para la solución de los problemas se trata de resolver primero los elementos más sencillos o más pequeños para luego pasar a resolver los más difíciles. Si en un circuito mixto hay dos elementos conectados en paralelo seguidos uno del otro, se halla uno en serie que los reemplace para así poder solucionar el circuito más fácilmente.

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Resistencia equivalente [6]: Se denomina resistencia equivalente a la asociación respecto de dos puntos A y B, a aquella que conectada a la misma diferencia de potencial, UAB, demanda la misma intensidad, I. Esto significa que ante las mismas condiciones, la asociación y su resistencia equivalente disipan la misma potencia.

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Materiales e instrumentos utilizados Potenciómetro [7]: Un potenciómetro es una Resistencia Variable. Así de sencillo. El problema es la técnica para que esa resistencia pueda variar y como lo hace. Los potenciómetros limitan el paso de la corriente eléctrica (Intensidad) provocando una caída de tensión en ellos al igual que en una resistencia, pero en este caso el valor de la corriente y la tensión en el potenciómetro las podemos variar solo con cambiar el valor de su resistencia.

También se utilizaron otros materiales definidos en el desafío 1, estos son los siguientes [8]: -

Resistencias fijas. Protoboard. Multímetro. Voltímetro. Amperímetro. Fuente de poder PeakTech, modelo 6005D.

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EXPERIENCIA 1 En esta actividad se construirá un circuito mixto con un numero de 6 resistencias de

1 2

Watt

de potencia, con este circuito se probara, luego de varias mediciones, que la tensión entregada por la fuente es igual a la suma de las caídas de tensiones en cada una de las resistencias. El circuito propuesto como grupo es el siguiente:

Esquema 1. Circuito propuesto por grupo. Los valores teóricos de cada resistencia son: RESISTENCIA VALOR (Ω) R1 5000 Ω R2 1000 Ω R3 5000 Ω R4 220 Ω R5 30000 Ω R6 10000 Ω Tabla 1. Valores teóricos de las resistencias.

La tensión de la fuente se mantiene constante en 4 volts, con esto podemos calculas las caídas de tensión a través de la ya conocida ley de ohm. Como necesitamos saber la corriente total del circuito, primero se calculará la resistencia total como R2, R3 Y R4 están en paralelo entre si debemos sumarlas de la forma adecuada para obtener una resistencia equivalente: 𝑅𝑒 =

1

𝑅2∗𝑅3∗𝑅4

1 1 1 + + 𝑅2 𝑅3 𝑅4

= (𝑅3∗𝑅4)+(𝑅2∗𝑅4)+(𝑅2∗𝑅3)

𝑅𝑒 =

1000 ∗ 5000 ∗ 220 = 174.05 Ω (5000 ∗ 220) + (1000 ∗ 220) + (1000 ∗ 5000)

Luego de obtener el valor de esta resistencia equivalente podremos sumarla con el resto de las resistencias que están en serie y nos quedara: 𝑅𝑡 = 𝑅1 + 𝑅𝑒 + 𝑅5 + 𝑅6 11

𝑅𝑡 = 5000 + 174.05 + 30000 + 10000 = 45174,05Ω Con este resultado podemos calcular la corriente total, ya que como sabemos está dada por 𝐼𝑡 =

𝑉 4 = = 8,855𝑥10−5 𝐴 𝑅𝑡 45174,05

Con esta corriente total podremos calcular las caídas de tensión den todos los puntos del circuito utilizando la resistencia equivalente como nuevo modelo del circuito.

Esquema 2. Circuito con resistencia equivalente Utilizando la ley de ohm y sabiendo que la fuente se mantendrá constante en 4 volts además de los valores de las resistencias obtendremos la siguiente tabla. VR1

R R1

VRe

Re

I 8,855𝑥10−5 𝐴

VR 0,4427 V 0,0154 V

8,855𝑥10−5 𝐴 VR5

R5

8,855𝑥10−5 𝐴

2,6565 V

VR6

R6

8,855𝑥10−5 𝐴

0,8855 V

Tabla 2. Resulltados teoricos de caidas de tensiones para 4v. Con estos datos podemos comprobar si se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff a traves de la siguiente ecuación: 𝐸 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅𝑒 − 𝑉𝑅5 − 𝑉𝑅6 = 0 Como verificamos que esto si se cumple podemos decir que la ley de tensiones de Kirchhoff si se cumple en este circuito, lo cual es lo que queremos comprobar a través de este experimento. También haremos una prueba con el mismo modelo de circuito y solo cambiaremos el voltaje de la fuente al doble, o sea 8 volts.

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Como la tension cambio es correcto que cambie asi la corriente, definida de la misma manera obtendremos un valor de 1,7709𝑥10−4 A para la cual haremos una tabla para calcular lascaidas de tensiones en cada resistencia. I VR1 VRe VR5 VR6

R VR R1 0,88545 1,7709𝑥10 Re 0,0308 1,7709𝑥10−4 R5 1,7709 1,7709𝑥10−4 −4 R6 5,3127 1,7709𝑥10 Tabla 3. Resulltados caidas de tensiones para 8v. −4

Con estos resultados nuevamente podemos comprobar si la suma de las tensiones en cada resistencia es igual a la tension de la fuente. 𝐸 = 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅𝑒 + 𝑉𝑅5 + 𝑉𝑅6 8 =0,88545+0,0308+1,7709+5,3127 8 ≈ 7,99985 Este resultado no es exacto por las aproximaciones que entrega la calculadora. Aca vemos claramente que si se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff.

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Practica.

Luego de tener los cálculos teóricos podemos poner en práctica todo lo anterior, primero medimos el valor real de las resistencias. R1 R2 R3 R4 R5 R6 Tabla 4. Valores prácticos de las resistencias

5000 Ω 983 Ω 5000 Ω 220 Ω 30000 Ω 9680 Ω

Luego podemos crear el circuito en la protoboard según lo planeamos en la parte teórica.

Figura 5. Imagen del circuito de la experincia 1.

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Ahora ahora mediremos las caidas de tensiones en cada resistencia y veremos si se comprueba la ley de las tensiones de kirchhoff.

Figura 6. Imagen del cuircuito de la experiencia 1 siendo trabajado.

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Luego de todas las mediciones obtenemos los siguientes valores.

E R 4v 5000Ω 4v 983 Ω 4v 5000 Ω 4v 220 Ω 4v 30000 Ω 4v 9680 Ω Tabla 5. Resulltados practicos caidas de tensiones para 4v.

VR 0,427V 0,014V 0,014V 0,014V 2,761 V 0,834V

Ahora comprobamos si se cumple la ley de Kirchhoff.

𝐸 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅3 − 𝑉𝑅4 − 𝑉𝑅5 − 𝑉𝑅6 = 0 4 ≈ 0,427 + 0,014 + 0,014 + 0,014 + 2,761 + 0,834 4 ≈ 4,064 Este calculo no es exacto ya que los porcentajes de tolerancia de las resistencias y de la fuente hacen variar los resultados, por este mismo motivo los resultados de las caidas de tensiones varian con los teoricos. Probaremos que pasara cuando subimos el voltaje al doble.

E R 8v 5000Ω 8v 983 Ω 8v 5000 Ω 8v 220 Ω 8v 30000 Ω 8v 9680 Ω Tabla 5. Resulltados practicos caidas de tensiones para 8v.

VR 0,854V 0,029V 0,029V 0,029V 5,50V 1,66V

Nuevamente comprobaremos la ley de Kirchhoff. 𝐸 − 𝑉𝑅1 − 𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅3 − 𝑉𝑅4 − 𝑉𝑅5 − 𝑉𝑅6 = 0 8 ≈ 0,854 + 0,029 + 0,029 + 0,029 + 5,50 + 1,66 8 ≈ 8,101

Este valor es cercano y no igual por la misma razon de antes .

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Simulacion Utilizaremos el software Electronic Workbench para simular nuestro circuito y ver si nos entregas datos iguales o parecidos a los ya obtenidos en las dos etapas anteriores.

Figura 7. Imagen de la simulacion de la experiencia 1. Como podemos observar los valores de esta simulacion son muy parecidos a los obtenidos en las etapas anteriores, esto comprueba que si se cumple la ley de kirchhoff.

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Experiencia 2

En la siguiente actividad relacionaremos a traves de una grafica los valores de voltajes de entrada y salida de un circuito formado por un potenciometro y una resistencia de carga. Utilizaremos la caracteristica del potenciometro para ir variando la resistencia de 0Ω a 10 kΩ con intervalos de 1kΩ, el esquema del circuito es el siguiente.

Esquema 2. Circuito con potenciometro y resistencia fija. El potenciometro o R1 tiene una flecha por ser ese el simbolo de resistencia variable y como ya se menciono varia de 0 a 10 kΩ, R2 es una resistencia fija de 2,2 kΩ Comenzaremos haciendo los calculos de los resultados esperados en el laboratorio. El voltaje de entrada, o sea el de la fuente, sera constante en 5 volts y calcularemos el voltaje de salida el cual es el aplicado a la resistencia fija o de carga mientras se varia la resistencia del potenciometro en los intervalos ya nombrados. E R1 R2 5v 0Ω 2,2kΩ 5v 1 kΩ 2,2kΩ 5v 2 kΩ 2,2kΩ 5v 3 kΩ 2,2kΩ 5v 4 kΩ 2,2kΩ 5v 5 kΩ 2,2kΩ 5v 6 kΩ 2,2kΩ 5v 7 kΩ 2,2kΩ 5v 8 kΩ 2,2kΩ 5v 9 kΩ 2,2kΩ Tabla 6. Resultado teorico para variacion en potenciometro.

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Encontraremos una relacion entre el voltaje de entrada y el voltaje de salida como ya sabemos la corriente de nuestro circuito será : 𝐸

𝐼 = 𝑅1+𝑅2

Tambien sabemos que se debe cumplir la ley de tensiones de Kirchhoff la cual se representa como 𝐸 = 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅2

Como VR1 lo podemos representar de la manera 𝑉𝑅1 = 𝐼 ∗ 𝑅1 y la corriente ya la tenemos definida Reemplazando obtenemos 𝑉𝑅1 = R1

a la expresion 𝑉𝑅1 = R1+R2 ∗ 𝐸

E ∗ R1+R2

𝑅1 y arreglando la ecuacion llegamos finalmente

la cual es la expresion del divisor de tension y es la que

relaciona el voltaje de entrada con el de salida. R2

Analogamente aplicamos estas relaciones para VR2 y obtenemos 𝑉𝑅2 = R1+R2 ∗ 𝐸 Obtendremos los valores para VR2 mintras variamos R1 E R1 VR2 5v 0Ω 5v 5v 1kΩ 3,437v 5v 2 kΩ 2,619v 5v 3 kΩ 2,115v 5v 4 kΩ 1,774v 5v 5 kΩ 1,527v 5v 6 kΩ 1,341v 5v 7 kΩ 1,195v 5v 8 kΩ 1,078v 5v 9 kΩ 0,982v Tabla 7. Variacion teorica de volaje en resistenia fija a partir de variacion en potenciometro.

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R1 v/s VR2 6 5

VR2

4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

R1

Grafico 1. Gráfico de Tabla 7, relación entre cambio de voltaje en resistencia fija en función de cambio de resistencia en el potenciómetro En el grafico podemos observar como la tensión VR2 disminuye mientras se aumenta R1

Para comprobar que esta fórmula funciona creamos nuestro circuito en el laboratorio y nos dispusimos a medir las caídas de tensión en R2 mientras variábamos R1 los datos obtenidos fueron:

E R1 VR2 5v 0Ω 5v 5v 1kΩ 3,4v 5v 2 kΩ 2,62v 5v 3 kΩ 2,12v 5v 4 kΩ 1,77v 5v 5 kΩ 1,52v 5v 6 kΩ 1,34v 5v 7 kΩ 1,19v 5v 8 kΩ 1,08v 5v 9 kΩ 0,98v Tabla 8. Variacion practica de volaje en resistenia fija a partir de variacion en potenciometro.

Como podemos ver los datos obtenidos en la práctica son casi idénticos a los calculados previamente, esto nos muestra que la relación encontrada antes es efectiva.

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Simulación experiencia 2

Figura 8. Imagen de la simulación de la experiencia 2. En la simulación utilizamos nuevamente el software Electronics Workbench, como podemos ver en la imagen se está utilizando el potenciómetro a 70% de su total lo cual corresponde a 7kΩ el cual simula un valor de 1,194 v para VR2, este valor es igual a los obtenidos anteriormente, esto nos vuelve a afirmar que la relación encontrada es correcta.

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Conclusiones

En la experiencia 1 según los valores teóricos mostrados tanto en el cálculo práctico (Tabla 2) como en el práctico teórico (tabla 5) demostraba que la suma de la baja de tensiones de las resistencias era igual a la suma de la baja de tensiones de las resistencias al momento de tomar las medidas prácticas de esto. También la conclusión anterior puede ser corroborada por la simulación en el programa de computador en el cual se realizó la simulación de nuestro circuito. (Figura 7) La regla de divisor de voltaje se puede apreciar en la Experiencia 2 ya en Tabla 7 y 8 se puede apreciar el cambio de voltaje de la resistencia constante en relación al cambio de resistencia del potenciómetro, esta relación se puede analizar de mejor manera en el Grafico 1 donde se concluye que mientras más aumenta la resistencia del potenciómetro, mas disminuye el voltaje de nuestra resistencia fija, es decir, una relación inversamente proporcional. La conclusión anterior de la experiencia 2 también es corroborada por la simulación expresada en la Figura 8

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Problemas planteados

Ley de voltajes de Kirchoff. A partir del siguiente circuito.

Encontrar V1 y V2. A partir de la ley de sumatorias de voltajes de Kirchoff se obtiene que: 70V – V1 – 2V - V2 = 0 V= RxI , V = voltaje // R = resistencia // I = corriente 70 – 10xI – 2 – 5xI = 0 68 – 15xI = 0 68 = 15xI 4.53A =I V1 = IxR1 = 4.54x10 = 45.4V V2 = IxR2 = 4.54x 5 = 45.7V

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Bibliografía http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Electricidad_ley_Ohm.html [1] http://electronicacompleta.com/lecciones/leyes-de-kirchhoff/ [2] http://fisica.laguia2000.com/general/circuitos-en-serie-y-en-paralelo [3] [4] http://www.ammanu.edu.jo/wiki1/es/articles/c/i/r/Circuito_mixto.html [5] http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Electricidad_Resistencia_equivalente.html [6] http://www.areatecnologia.com/electronica/potenciometro.html [7] Informe desafío 1Formulación de la ley de OHM [8]

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