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• Emy Fernández

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LA TEORÍA

DEL EQUILIBRIO GENERAL W ALRASIANO: UN ANÁLISIS INTRODUCTORIO

José D. Liquitaya Briceño 1 Gerardo Gutiérrez Jiménez I

Resumen

En este trabajo se ofrece una primera lectura de la Teoría del Equilibrio General Walrasiano (TEGW) para una economía de intercambio puro, intentando soslayar las dificultades que entraña su árido desarrollo lógicojormal. Este empeño tiene un costo en términos de precisión y obliga a restringir al mínimo necesario el planteamiento formal; pero también libera de la necesidad de examinar in extensu las peculiaridades de esta teoría. El artículo se divide en cuatro secciones. En la primera se establecen los supuestos y consideraciones que constituyen el punto de partida de la TEGW. En las siguientes tres se explican las soluciones que ofrece a los problemas de la existencia, unicidad y estabilidad dinámica del equilibrio, respectivamente. Introducción La Teoría del Equilibrio General Walrasiano (TEGW) constituye, hoy en día, la contribución más elaborada frente al problema central de la Economía Política; esto es, explicar cómo, a través de la interacción de distintos individuos movidos por intereses diversos, se mantiene la cohesión social y se resuelve el problema de la asignación de recursos en una economía de mercado. La influencia que ésta tiene es evidente en todos los campos de la teoría ortodoxa- la más desarrollada desde el punto de vista de la precí1

Profesores del Departamento de Economía de la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa.

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sión de sus proposiciones- y los enfoques macroeconómicos dominan-

res- la reconocen como la teoría más general y satisfactoria e invocan a la misma en apoyo de sus modelos. Infelizmente, en su presentación formal esta teoría está configurada con matemáticas tan avanzadas que resulta incomprensible para un estudiante de licenciatura en Economía. Asimismo, tenemos la sensación de que, inclusive, las exposiciones más sencillas de las que conocemos -soslayando las extremadamente elementales, como aquellas que se ofrecen en los textos de microeconomía básica- no son, en el mejor de los casos, fácilmente asimiladas; sobre todo, por la terminología y formalización matemática (ineludible en varios casos) y la ausencia de una explicación más comprensible del significado de algunas hipótesis o proposiciones. Es justamente esta situación la que nos anima a elaborar el presente documento, pues nos proponemos allanar, hasta donde sea posible, las dificultades mencionadas, y ofrecer una primera lectura de la TEGW para el caso más sencillo: el de una economía de intercambio puro. Este empeño tendrá un costo en términos de precisión y nos obligará a restringir al mínimo necesario el planteamiento formal; pero también nos liberará de la necesidad de examinar con mayor detalle las peculiaridades de la TEGW propuestas por los diversos autores que se ocuparon de su desarrollo. Tenemos la esperanza de que, luego de esta primera aproximación, el lector no advertido pueda abordar con más facilidad (y algunos elementos de juicio) las presentaciones que tienen un mayor grado de profundidad y rigor analítico'. El trabajo está organizado de manera muy sencilla: en la primera sección se establecen algunas consideraciones y supuestos que constituyen el punto de partida de la TEGW. Las tres siguientes se ocupan de explicar las 2 Esto es, la síntesis neoclásica-keyncsiana y la escuela monetarísta marcas I y 11 fsiguiendo la denominación de Tobin (1980). A esta última· marca!l- se la conoce también como la escuela de las expectativas racionales]. 'Para un siguiente nivel de análisis recomendamos la obra de Ludlow (1987) Una presentación más extensa se encuenrra en Quirk y Saposnik (1968). Para un análisis de la 'integración de la moneda en la Teoría del Equilibrio General, se sugiere Harris (1985) y, sobre todo, Benetti (1990).

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El supuesto de homogeneidad constituye un elemento típico de la teoría de la demanda del consumidor, la cual establece que la restricción del presupuesto de los consumidores no varía si se multiplican todos los precios por una constante positiva. Esto significa que la función de demanda del consumidor es homogénea de grado cero en precios. Como la suma de funciones homogéneas es también homogénea, la función de exceso de demanda Z/Pl' P2"'" Po) es homogénea de grado cero en los precios. La Ley de Walras señala simplemente que, si cada agente cumple con su restricción presupuestaria, de modo que el valor de su exceso de , Como lo indica Benetti (1990), habría que afiadir la hípótesis S: La dotación inicial de los agentes abarca una canasta de bienes que les permite sobrevivir sin intercambiar. Esta es técnicamente útil para evitar una causa posible de discontinuidad.

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demanda sea cero, el valor de la suma de los excesos de demanda será obviamente nulo. Una implicación de esta ley puede definirse como sigue: "si, para un conjunto de precios estrictamente positivos, n-I de los mercados se vacían, entonces el mercado enésimo se vacía también". La hipótesis de continuidad implica, en este caso, convexidad de las preferencias. Intuitivamente esto significa (por ejemplo) que, si a un consumidor le es indiferente elegir entre una botella de brandy y otra de tequila, le será igualmente indiferente elegir una botella que contenga una mezcla de ambas bebidas. Formalmente la convexidad se puede expresar como sigue: Sea X, = Conjunto de posibilidades de consumo abiertas al consumidor h. X l h' X 2h = Vectores que representan las cantidades de bienes que puede demandar el consumidor h.

Entonces, como:

Por último, la hipótesis de acotamiento significa que se excluye la posibilidad de una oferta ilimitada de bienes, lo cual es patente desde el momento en que se define una cantidad finita de dotaciones iniciales de bienes para los agentes. Normalmente las pruebas que, con base en las hipótesis señaladas, definen la existencia de un equilibrio competitivo, hacen uso del Teorema del Punto Fijo de Brouwer. Este podemos expresarlo del modo siguiente:

Supongamos un conjunto A, convexo y compacto, y A e R". Si f A -> A (si F es una función continua del conjunto en sí misma), entonces existe un punto x E A. tal que f(x) = x.

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La demostración de este teorema para el caso general es ardua y compleja. Aquí nos limitaremos a ilustrarlo geométricamente para el caso más sencillo: Supongamos una función continua f: [0,1] --f [0,1] Y deseamos probar que existe un x en [0,1] tal que x = f(x) , como indica el Teorema de Brouwer. Geométricamente se puede constatar que alguna curva continua, cuyo origen parte de la línea x = y termina en la línea x = 1 (o sea, confinada en el producto cartesiano 1 x J), debe intersectar la diagonal al menos una vez.

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GRÁFICA 1.

f(x) 1

1

x

La Gráfica 1 muestra un ejemplo de una función continua f [0,1] en [0,1] con tres puntos fijos: a, by c. Esto es evidente, puesto que la diagonal es la gráfica de la función f(x) = x; por tanto, un punto fijo de ésta puede identificarse como el punto de intersección de la gráfica de la función con la diagonal.

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Nótese que el Teorema de Brouwer enuncia la existencia de al menos un punto fijo. Esto significa que puede haber 2, 3, ... , hasta infinito número de tales puntos (para lo cual basta que se dé la igualdad f(x) = x en un pequeñísimo intervalo); es decir, un número infinito de precios de equilibrio. Como se verá enseguida, la posibilidad de la existencia de más de un vector de precios de equilibrio constituye el segundo problema esencial al que se enfrenta la TEGW.

III. La unicidad del equilibrio En esencia, la unicidad del equilibrio significa que existe sólo un vector de precios de equilibrio y sólo un estado de la economía resultante del despeje de los mercados. Sin embargo, un equilibrio puede no ser único, tanto si la relaciones de oferta y demanda son funciones o son correspondencias. En otros términos, existe la posibilidad de que haya más de un vector de precios consistentes con la maximización individual y el despeje de los mercados o que se presente más de un estado de la economía asociado al conjunto de precios de equilibrio". Para evitar esta dificultad la TEGW supone que el exceso de demanda agregada para cada mercancía es una función monótona decreciente de su precio relativo o, en términos matemáticos, que Z¡{P) es continuamente diferenciable (si esta función poseyera puntos angulares, habría intervalos en que todos los precios serían de equilibrio). La demostración que asegura la unicidad del equilibrio parte de la hipótesis de que todos los bienes son sustitutos brutos, lo cual constituye una restricción sobre Zi(P), Esta se puede expresar como sigue: El bien i será un sustituto bruto del bien j si un incremento en Pp manteniéndose todos los demás precios constantes, incrementa Z¡{P). Del supuesto de homogeneidad se sigue que, si todos los bienes son sustitutos brutos, todos los términos de la matriz jacobiana de Z (P) que no pertenecen a su diagonal principal son positivos. En términos formales: " Una explicación más exhaustiva sobre este punto puede verse en Arrow y I1ahn (1977).

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