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Problemas resueltos

Ley de Gauss

De este resultado observamos, que el área efectiva es el área transversal al campo.

Problemas resueltos Problema 1.

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Objetivos 1 y 2 Problema 2.

Un campo eléctrico

constante, y unlforrne dado por E = E

o

ex

cruza un hemisferio de radio a. D~termine el flujo eléctrico que cruza el hemisferio. (figura 2.1) Solución: De la ecuación 2.2 tenemos que:

fE. ds

~==

Objetivos 1 y 2

Dos cascarones esféricos concéntricos de radios a y b, como se muestran en la figura 2.3 tienen cargas de -7Q y + 2Q respectivamente, calcule el flujo eléctrico para a) r < a, b) a < r

J

~ = donde ds = 2

rr

E

E. cos 8 ds

=

.

f

,-.J

,-.J

E . ds

y de la ley de Gauss, ecuación 2.4 obtenemos que: Y dl,

de la figura 2.2 vemos que:

r

sen

(J

Por lo tanto, ds = 2

tt

,=

B

y dI = a d O a sen

a

ad

e

Por lo tanto el flujo eléctrico es Igual a la carga neta encerrada entre la constante de permitividad, esto es:

Sustituyendo ds por su valor en la ecuación 2.2 tenemos que: 4> =

=

J

f

Ea cos 8 2 .". asen 8 ad 8

ds

IY .

."./2

~

E

E

E o 2.". a2 sen 8 cos 8 d 8 a

X

dJ

Integrando y evaluando obtenemos que el flujo está dado por:

Figura 2.1

Figura 2.2

42

Ley de Gauss Problemas resueltos

-

-7Q

ea

--

..--"--

-- --- ..--- --' -

---

b

..-----

':;3

E

= O

Vemos que para una superficie gaussiana cilíndrica, la carga encerrada es cero, entonces de la ecuación 2.4:

E

b) Por las razones expresadas en el inciso anterior la carga neta encerrada por una superficie gaussiana de radio a r b, es


b, podemos determinar el campo eléctrico de la ecuación 2.6, esto es:

- 70, por consiguiente: roJ

4>

E

= -70/t:

ds =

o

e) El flujo eléctrico para,

>

b es igual a:

(-7 0+ 2O)

c) Para,

45

consiguiente la carga neta encerrada por una superficie gaussiana de radio, (a < , < b) es' cero y de la ecuación 2.4:

a.

De la ecuación 2.6 tenemos que:

~ E . ds

f

= ~

p dv

de donde:

o

donde p = --

A

,

y dv = 2

7r ,

2

tt

r

J:..~ ~

>

AG •

r

J: Integrando:

Evaluando y despejando el campo:

E 4 7r ,2

A

E=

g

4.

Objetivos

=

Ole o

de donde:

o

Problema

O

e) la carga encerrada por una superficie cerrada con radio r b. la carga neta encerrada es +0, de la ecuaclón 2.4 tenemos que:

Sustituyendo e integrando:

G

=

E

Id,

1 y 3

O

Una esfera metálica maciza de radio b, con una cavidad esférica concéntrica de radio a, como se muestra en la figura 2.5 tiene. una carga O (positiva). Calcule el campo eléctrico para a) r < a, b) a < r < b, e) r > b.

Lo que era de esperarse· ya que la carga de la esfera metálica es cero y sólo tenemos una carga puntual + O.

Solución: Problema 5.

a) Para una superficie gaussiana de radio,