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• Francis N Lazo

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LEY DE FOURIER ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN:

Donde:

T : campo de temperaturas. T = f (x, y, z, t) qG : calor generado por las fuentes internas

k : conductividad térmica difusividad térmica

LEY DE FOURIER DE LA CONDUCCIÓN: Solo se considera la transferencia de calor unidireccional

Donde: T: campo de temperaturas T = f (x) en régimen Permanente. A: área de la superficies de transferencia

NOTA: - En regimen permanente la temperatura de los cuerpos que intervienen en la transferencia de calor permanece constante en el tiempo. - En régimen variable la temperatura varía con el tiempo.

PARED PLANA SIN FUENTES INTERNAS: (Temperaturas superficiales, T1 y T2 dadas): Hipótesis: Régimen permanente Transferencia unidireccional (dirección X)

Una vez realizadas las simplificaciones resulta la siguiente ecuación diferencial:

Cuya solución general es:

T  Ax  B

Las condiciones de contorno son las siguientes: x = 0 ----> T = T1 x = L ----> T = T2 El campo de temperaturas queda:

Según la Ley de Fourier de la conducción:

 dT  q  k    dx 

=>

Resistencia Térmica =

PARED PLANA CON FUENTES INTERNAS (Temperatura superficial: To dada)

Hipótesis: - Régimen permanente - Transferencia unidireccional (dirección X) - Se supone que la fuente interna está en el centro geométrico de la pared según la dirección X. EL origen de coordenadas se sitúa en ese punto

Simplificando:

Cuya solución general es:

Las condiciones de contorno son las siguientes:

x = 0 -->

x = L -->

dT 0 dx

=> B = 0

 dT   k   h0 Ts  T0   dx 

=>

El campo de temperaturas queda:

El flujo de calor:

 dT  q  k    dx 

=>

q  qG .x

PARED CILÍNDRICA SIN FUENTES INTERNAS (Temperaturas superficiales, T1 y T2, dadas) Hipótesis: Régimen permanente Transferencia unidireccional (dirección radial) A partir de la ecuación general de la conducción en coordenadas cilíndricas y después de efectuar las simplificaciones:

1 d  dT  r 0 r dr  dr 

=>

T  ALx  B

Las condiciones de contorno son las siguientes:

r  r1



T  T1

r  r2



T  T2

Con lo que el campo de temperaturas queda:

Según la Ley de Fourier:

 dT  q  k    dr 



  2Lk T1  T2  cte Q A  2 .r.L  r  L 2   r1 

T r  

q  k

T1  T2  r  L   T1  r1   r1  L   r2 

T1  T1 1  cte  r2  r L   r1 



,

Q  q. A

T T T T Q  2 .k 1 2  1 2 L r  r  L 2  L 2  1  r1   r1  2 k

r  L 2  1  r1  RESISTENCI A  TERMICA  2 k k RADIO  CRITICO  a ho

k a : Conductividad del aislante h0 : Coeficiente de película

CILINDRO CON FUENTES INTERNAS (Temperatura superficial, To, dada)

Hipótesis: Régimen permanente Transferencia unidireccional (dirección radial) Se supone que la fuente interna está en el eje longitudinal del cilindro A partir de la Ecuación general de la conducción en coordenadas cilíndricas y después de efectuar las simplificaciones:

1 d  dT  qG 0 r  r dr  dr  k



qG .r 2 T r     C1.L.r  C2 4k

Las condiciones de contorno son las siguientes:

r 0 

Hay un máximo puesto que se ha supuesto que la fuente está situada ahí

r  r0 

q

Conducción =

q

convección

Con lo que el campo de temperaturas queda:

El flujo de calor:

 dT  q  k    dr 

q 





dT 0 dr

 dT   k   h0 Ts  T0   dr 

qG .r 2 qG .r02 qG .ro T r       T0 4k 4k 2h0

qG .r 2

PARED ESFÉRICA SIN FUENTES INTERNAS (Temperaturas superficiales, T1 y

T2

,dadas)

Hipótesis: Régimen permanente Transferencia unidireccional (dirección radial) A partir de la Ecuación general de la conducción en coordenadas esféricas y después de efectuar las simplificaciones:

1 d  2 dT  r 0 2 r dr  dr 



T 

A B r

Las condiciones de contorno son las siguientes:

r  r1



T  T1

r  r2



T  T2

Con lo que el campo de temperaturas queda:

T r  

e : espesor  r2  r1 Según la Ley de Fourier:

 dT  q  k    dr 

A  4 .r 2

RESISTENCI A  TERMICA 

2.ka RADIO  CRITICO  ho

q  k

T1  T2 T T  T1  1 2  e  e    r   r1 .r2   r2 

T1  T2  cte r2 e     r1.r2 

Q  q. A

T T T1  T2 Q  4 .k 1 2   cte     e e r   r   r . r r . r . 4  . k  1 2  1 2 

e h0 r1.r .k k a : Conductividad del aislante h0 : Coeficiente de película

PROBLEMA 1: La temperatura a ambos lados de una pared de ladrillos de 25cm. De espesor son 10 y 20 grados centigrados. . Hallar en calorías el calor perdido por hora, por metro cuadrado, sabiendo que el coeficiente de conductividad térmica es 0,0015. Solución: El calor fluye perpendicularmente a la superficie de la pared. Es claro que las superficies isotérmicas son planos paralelos a la pared. Haciendo un gráfico para un instante t: Para un metro cuadrado: Además:

x0 x  25

 

T  20 T  10

k  15 10 4

Ecuación:

dT q  kA dx

4  q  k  10

dT dT  15 dx dx

 dT  

q dx 15

 C.I.:

x0 En (1):

T 



q xc 15

………….(1)

T  20

c  20

La ecuación queda de la siguiente manera: C.I.:

x  25



T 

q x  20 15

….. (2)

T  10

En (2):

 10  

q (25)  20 15



q  18 cal

s

 64800 cal

h

PROBLEMA 2: Encontrar las pérdidas de calorías por día del tubo de 15cm de radio que contiene vapor a 100 grados centígrados si el cubo estaba cubierto de una capa de hormigón (k = 0,0022) con espesor de 10cm y la superficie exterior del hormigón se mantiene a 35 grados centígrados. Tomar una longitud de 20m de tubo. Solución: Se observa que el calor fluye radialmente, por lo tanto lo hace perpendicularmente a la superficie lateral del cilindro (las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con el dado).

Haciendo un grafico para un instante t:

Ecuación:

Para:

q  kA

dT dx

r 15  x

………… (1)

0  x  10

A  2 .r.L  2 (2000)(15  x) En (1):

dT q  88  10  dx 1

88 10 1 ln(15  x)    T  c1 q





A  4 103  (15  x)

dx 88 10 1   dT 15  x q

15  x  ce

8.8T

q

…..…. (2)

x0

C.I. :

En (2):

T  100



15  ce

880

q

c  15e



880

q

……..(a)

Ahora (a) en (2):

15  x  15e C.I. :

880

q

.e

8.8T

x  10



q



15  x  15e

8.8 (100T ) q

.

………. (3)

T  35

En (3):

25  15e

8.8 ( 65) q



5 8.8 ( 65) q e 3



 5  8.8 (65) ln    q  3

q

8.8  65   cal 8.8  65   cal 24  60  60s   s s 1dia 5 5 ln   ln    3  3

8.8 156  36 3 cal q 10  303940.07 103 cal dia dia 5 ln   3

PROBLEMA 3: Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 0.15, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 200°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo? Solución: . Sabemos que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio r y longitud L es: A  2 .r  x .L

La distancia d en este caso

dx :

dT dT Así, la ecuación: q  kA puede escribirse como: q  k 2 .(r  x).L  dx dx

Puesto que k = 0.15, L = 20 m = 2000cm, tenemos que:

q  600 .10  x 

dT dx

…… (1)

De esta última ecuación, q es por supuesto una constante.

De la ecuación (1), integrando obtenemos:

600 ln( x  10)   .T  C1 q



dx 600  .dT x  10 q

x  10  ce

Reemplazando la siguiente condición en la ecuación 2:

x0

C.I:

10  ce



600 .200 q





T  200º C

c  10e

120000. q

…….. (a)



600 .T q

…….. (2)

x  10  10e

Ahora (a) en (2):

x  10

Ahora en (3):

20  10e

120000. q



e

600 50 q

Ahora (b) en (3): r  10  e

r  10e Cuando:

r  15



120000. q





600 ( 200T ) q

4 ln 2 ( 2 ln 2 )T  3 300



T



e

600 .T q

…….. (3)

T  50º C

2e  10e



90000. q



600 . ln 2 ( 200T ) 90000

2T   43  300     10 2   

q

 10e





90000 ln 2

…… (b)

2 ln 2 ( 200T ) 300

300   r  4 T  log 2     2   10  3 

300   15  4   log 2     2   10  3 

Se hallo el calor en calorías por segundo:

q

90000 cal 60s cal   54  105 ln 2 s min min