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• Milton Ortega

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Primera y segunda ley de fick Difusión en estado estacionario Desde el punto de vista macroscópico la difusión es un proceso que depende del tiempo, es decir la cantidad de elemento transportado dentro de otro depende del tiempo, por lo que muchas veces es necesario conocer a qué velocidad se produce la transferencia de masa. Normalmente ésta velocidad se expresa como flujo de difusión(J), definido como la masa o nº de átomos (M) que difunden perpendicularmente a través de la unidad de área de un sólido por unidad de tiempo.

J

M 1 dM ; siendo la forma diferencial J   At A dt

Este flujo se expresa en Kg o átomos por metro cuadrado por segundo Para que exista estado estacionario es necesario que el flujo de difusión no cambie con el tiempo. Un ejemplo de éste tipo sería la difusión de átomos de un gas a través de una lámina metálica, donde las concentraciones o presiones de las sustancias que difunden se mantienen constantes a ambos lados de la lámina. Al representar la concentración C frente a la posición dentro del sólido (x), la gráfica resultante se denomina perfil de concentraciones, siendo la pendiente de ésta gráfica el gradiente de concentraciones (GC). GC 

dC C C2  C1   dX X X 2  X 1

En los problemas de difusión es más frecuente expresar la concentración en función de la masa de las sustancias que difunden por unidad de volumen del sólido. Luego la expresión matemática de la difusión en estado estacionario en una dirección es relativamente sencilla, ya que el flujo es proporcional al gradiente de concentración J   D 

dC , siendo la constante de proporcionalidad D lo que dX

denominamos coeficiente de difusión y se expresa en m2/s.

El signo negativo de ésta expresión indica que la dirección de flujo de difusión es contraria al gradiente de concentraciones –como el flujo va de mayor a menor concentración, C2 – C1, es negativo, por lo que el signo negativo delante hace que el flujo específico sea siempre un número positivo-.

Esta ecuación es llamada Primera Ley de Fick y afirma que para condiciones de flujo en estado estacionario, la densidad de flujo neto de átomos (J) es igual a la difusividad D por el gradiente de concentración

dC . Las unidades dx

son las siguientes en el sistema internacional:

 m2  dC  Atomos 1   Atomos  J 2 *    D  ( )    3 m  m s   s  dX  m

Difusión en estado no estacionario En la mayoría de los casos, la difusión es en estado no estacionario, en la cual la concentración de los átomos de soluto en cualquier punto del material cambia con el tiempo. Por ejemplo si se difunde carbono en la superficie de un árbol de levas de acero para endurecer su superficie, la concentración de carbono bajo la superficie de cualquier punto cambiará con el tiempo a medida que el proceso de difusión avanza. Para casos de difusión en estado no estacionario, en el cual la difusividad es independiente del tiempo, se aplica La Segunda Ley de Fick sobre difusión: dC d  dCx   D  dt dx  dx 

Esta ley establece que la velocidad de cambio de la composición de la muestra es igual a la difusividad por la velocidad de cambio del gradiente de concentración. La derivación y resolución de esta ecuación diferencial se realiza con ayuda de la transformada de Laplace. La solución particular, en la cual un gas se difunde en un sólido, es de gran importancia en aplicaciones de Ingeniería y es aplicada para resolver problemas prácticos de difusión industrial. Deducción de la ecuación de la Segunda ley de fick

Ésta figura muestra el perfil de concentraciones en la dirección x, y en cualquier  c  punto de esta curva, la derivada parcial   , es proporcional al flujo específico.  x 

Como puede apreciarse el flujo que cruza el plano en x1, J(x1), es mayor que el flujo que pasa por el plano x1 + dx, J(x1 + dx), por lo que la diferencia de flujos específicos (masa o átomos) que cruzan por los planos deben acumular en el volumen representado por dx (es decir, dx multiplicado por unidad de área). Esto puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma:

 c    dx  J ( x1 )  J ( x1  dx)  t  x1

(1)

Si dx es pequeño entonces:

 J  J ( x1  dx)  J ( x1 )    dx  x  x1 Luego considerando esto y sustituyéndolo en la ecuación (1), obtenemos:

 c   J    dx  J ( x1 )  J ( x1 )    dx  t  x1  x  x1 Cancelando dx y J ( x1 )  J ( x1 ) tenemos:  c   J        t   x 

Si tomamos en cuenta la Primera Ley de Fick, y sustituimos el valor de J, nos queda la ecuación dada para la Segunda Ley de Fick, que es: J   c   c   D    x x  x   t 

Considerando D como una constante obtenemos: c  2c D 2 t x

Donde c es una función de la posición y el tiempo, es decir, c(x,t).