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Experiencia sobre el conocimiento del Lenguaje Matemático

Juan Fco. Ortega Dato Universidad de Castilla-La Mancha. Facultad de CC. Económicas y Empresariales de Albacete. Área de Matemáticas. Correo electrónico: [email protected]

José Ángel Ortega Dato Instituto de Educación Secundaria “Diego Tortosa” de Cieza (Murcia). Departamento de Matemáticas. Correo electrónico: [email protected]

Resumen El lenguaje utilizado en el estudio y didáctica de las matemáticas, comprende una serie de estructuras de presentación y símbolos propios que contribuyen de forma determinante a la perfecta comprensión de la materia. El desconocimiento del Lenguaje Matemático complica la transmisión de conceptos en esta ciencia por lo que, en nuestra opinión, su estudio debe constituir una tarea primordial en los diferentes niveles académicos. Con el fin de determinar el nivel de conocimiento sobre el Lenguaje Matemático, hemos diseñado una Encuesta-Test, que se ha propuesto a los alumnos de primera matrícula en las licenciaturas y diplomaturas de Economía y Empresa en los diferentes campus de la Universidad de Castilla-La Mancha. En el presente trabajo analizamos los resultados obtenidos, y presentamos unas líneas de acción con el propósito de subsanar las deficiencias observadas. Palabras Clave: Lenguaje Matemático. Matemáticas Preuniversitarias. Universidad.

Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ 1.- INTRODUCCIÓN Como otras ciencias, la matemática posee un lenguaje específico que simplifica y clarifica la comunicación, designando de una manera exacta sus contenidos. En el Lenguaje Matemático, los enunciados se presentan de forma genuina, sin ambigüedades, aportando demostraciones de su veracidad. Los símbolos utilizados en matemáticas expresan una única tarea, y la presentación de los contenidos se realiza mediante una estructura adecuada para su correcta comprensión. El desconocimiento de este lenguaje produce errores de construcción y de interpretación, dificultando la comunicación entre el profesor y los alumnos. Si se pierde la gran virtud de las matemáticas que supone su exactitud y precisión, nos quedaría una ciencia con un lenguaje pobre que produciría errores y confusiones. En los diversos trabajos que tratan sobre las dificultades que encuentran los alumnos al pasar de la enseñanza secundaria a la universidad (ver por ejemplo: Gascón 1997; Álvarez y otros 1998; o Fernández y otros 2000), se olvida este tema que, en nuestra opinión, puede ser el causante de un primer desconcierto para estos alumnos. Con el fin de obtener información sobre el nivel de conocimiento del Lenguaje Matemático con el que acceden los alumnos a las licenciaturas y diplomaturas de Economía y Empresas, se ha realizado un estudio en alumnos de nueva matrícula, para el curso 2001/2002, en los diversos campus de la Universidad de Castilla-La Mancha. El estudio se basa en una Encuesta-Test que ha sido propuesta a dichos alumnos en los primeros días de clase, en la que se pretende medir el grado de conocimiento que poseen sobre el Lenguaje Matemático. La distribución del presenta trabajo queda de la siguiente manera. En la segunda sección, se presenta la Encuesta-Test, comentando algunas cuestiones sobre su confección y el modo de tratar la información obtenida de ella. En la sección tercera se estudian los resultados obtenidos, poniendo énfasis en las cuestiones que creemos más interesantes. En la cuarta sección, se proponen unas líneas de acción con la finalidad de subsanar las deficiencias observadas. Por último, en la sección quinta, se exponen las conclusiones del trabajo.

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ 2.- ENCUESTA-TEST SOBRE EL LENGUAJE MATEMÁTICO Hemos diseñado un test compuesto por dos grandes bloques. En el primero se pretenden conocer algunos datos particulares de los alumnos, como su edad, sexo, estudios preuniversitarios cursados en matemáticas, y su predisposición y gustos por esta asignatura. En el segundo bloque se proponen cuestiones concretas relativas al Lenguaje Matemático, donde se evalúa el grado de conocimiento del significado de los símbolos más usuales y de los enunciados o etiquetas que suelen aparecer en textos matemáticos. Así, la Encuesta-Test propuesta es la siguiente: ENCUESTA-TEST sobre LENGUAJE MATEMÁTICO. 1.- Datos Personales y sobre cursos preuniversitarios (último año) 1.a.- Edad ......... 1.b.- Sexo: ∼Hombre ∼Mujer 1.c.- Centro de Estudios: .......................................................................................................... 1.d.- Modalidad de Estudio: ................................ 1.e.- Opción: ................................................ 1.f.- Calificación en Matemáticas: ............................ Calificación Media del curso: .................. 1.g.- Opinión sobre las Matemáticas:(Calificación de 1 a 5) 1.g.1.- Calidad de la enseñanza recibida: _____ ( 5 = muy buena, 4 = buena, … , 1 = muy mala) 1.g.2.- ¿Te gustan las Matemáticas?: _____ ( 5 = mucho, …, 1 = nada) 1.g.3.- ¿Te resultan fáciles? _____ ( 5 = muy fáciles, 4 = fáciles, …, 1 = muy difíciles) 1.g.4.- ¿Te parecen interesantes?_____ ( 5 = muy interesantes, …, 1 = muy poco interesantes) 1.g.5.- ¿Son útiles las Matemáticas? _____ ( 5 = muy útiles, …, 1 = muy poco útiles) 2.- Datos sobre conocimiento del Lenguaje Matemático. 2.a.- Simbología y Enunciados en Matemáticas: Símbolos y Enunciados

¿Sabes ¿Lo has ¿Te es lo que utilizado familiar? significa ? ?

Describe en pocas palabras su significado

0 φ ⌠ Ψ ] 3 1 ∫ Definición Proposición Teorema Demostración Hipótesis Ejemplo Contraejemplo Axioma

3

Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________

2.b.- Decir si son ciertas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta con un pequeño comentario o ejemplo 2.b.1.2.b.2.2.b.3.2.b.4.-

x0, y0 ∋ y ∃x Si u,v0 ∋ u ∃v Ψ x0 ∋ u ∃ x ∃v Siendo x,y0, entonces: “xy∃0 ] x∃0 e y∃0” Siendo x0 entonces: “ x2#1 Ψ x0[0,1] “

2.c.- Escribir en forma matemática las siguientes afirmaciones. 2.c.1.- “Para todo número real, existe un número entero mayor que él”. 2.c.2.- “Dado un número real, su cuadrado es un número real positivo”. 2.c.3.- “Dados dos números reales positivos con el primero mayor que el segundo, entonces el cuadrado del primero es mayor que el cuadrado del segundo”. 2.c.4.- “Existe un número real, cuyo cuadrado es un número entero positivo”.

Con el fin de interrelacionar las informaciones que se desprenden de la encuesta, hemos decidido considerar lo siguiente: a) Sobre Datos personales y cursos preuniversitarios (pregunta 1), se toma una Medida de Preparación del estudiante como la media aritmética entre la calificación en matemáticas y calificación media en el último curso preuniversitario (preguntas de 1f). Se considera como una Medida de Predisposición del alumno ante las matemáticas la media ponderada de las preguntas 1g2 a 1g5 con pesos de 1 para 1g2 y 1g3, y pesos de 1/2 para 1g4 y 1g5. b) Sobre Simbología y Enunciados en Matemáticas (pregunta 2a), se tiene en cuenta, sobre todo, la descripción de los elementos propuestos, y en menor medida las respuestas a la familiaridad y uso, con puntuaciones: No Sabe/No Contesta = 1; Mal = 2; Regular = 3 y Bien = 4. c) Sobre las interrelaciones de los elementos del Lenguaje Matemático (preguntas 2b y 2c), se consideran las siguientes puntuaciones: No Sabe/No Contesta = 1; Mal = 2; Regular = 3 y Bien = 4.

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________

3.- RESULTADOS DE LA ENCUESTA-TEST La Encuesta-Test ha sido contestada por los alumnos de nueva matricula en los estudios de Economía y Empresa de los cinco campus que conforman la Universidad de CastillaLa Mancha (UCLM), a saber: la Licenciatura de Economía de Albacete (ABec); las Licenciaturas en Administración y Dirección de Empresas de los campus de Albacete (ABem), Ciudad Real (CRem), Cuenca (CUem) y Toledo (TOem); y la Diplomatura en Ciencias Empresariales de Talavera de la Reina (TRem). En total hemos obtenido datos sobre 437 alumnos de esta universidad, que representa un 62% de la matrícula total en dichas titulaciones, que ha sido de 704 alumnos, donde se observa una menor representación en el campus de Ciudad Real y en el de Albacete en la sección de Empresa, donde los porcentajes son del 41% y 62%, mientras que en el resto de campus los porcentajes son superiores al 74%, llegándose a un 82% en el de Cuenca. Los resultados obtenidos, en los que todos los cálculos los hemos realizado considerando el total de encuestados o sobre el total de matriculados, según sea el caso, se pueden dividir en tres grupos, relacionados con otros tantos tipos de preguntas de la Encuesta-Test. Por un lado, información sobre la procedencia, preparación y predisposición ante las matemáticas de los alumnos encuestados, pregunta 1 que tiene por título Datos Personales y sobre cursos preuniversitarios, estas cuestiones se estudian en la sección 3.1. Por otra parte, de la encuesta es extrae información sobre el conocimiento

de

las

elementos

del

Lenguaje

Matemático como

partículas

independientes, es decir, se determina el grado de conocimiento de los diferentes tipos de símbolos y enunciados que conforman este lenguaje. Esta información se desprende de las preguntas en 2a, con título Simbología y Enunciados en Matemáticas, y la estudiamos en la sección 3.2. Por último, en la sección 3.3. intentaremos obtener información sobre los conocimientos de los alumnos en la interrelación entre los símbolos del Lenguaje Matemático, mediante las respuestas obtenidas a las preguntas de 2b, donde se propone “traducir” del Lenguaje Matemático una serie de afirmaciones, y en las preguntas de 2c, donde se pide “traducir” un enunciado verbal al Lenguaje

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ Matemático. En la sección 3.4. se realizan unos comentarios a modo de resumen del estudio realizado. 3.1.- Resultados sobre procedencia de los alumnos y preparación y predisposición ante las matemáticas Del estudio sobre la procedencia de los alumnos que ingresan en los estudios de Economía en esta universidad, donde presentamos su distribución por campus en el Gráfico 1, se desprende que la mayoría cursaron el bachiller LOGSE (76%), siendo la modalidad predominante la de Ciencias Sociales (opción C) con un total del 60%. Un 13% de los alumnos proceden de las opciones de COU.

LOGSE-A

LOGSE-B

LOGSE-C

COU-A

COU-B

COU-C

Otros

NoContesta

100%

80%

60%

65.63

58.04

72.55 77.36 40%

46.07

46.94

20%

0%

ABec

ABem

CRem

CUem

TOem

TRem

Gráfico 1: Porcentajes de alumnos encuestados según la opción bachiller estudiada, distribuidos por campus de la UCLM.

La preparación y predisposición de los alumnos para las matemáticas se estudia en el presente trabajo mediante dos indicadores, ya nombrados en la sección 2: Medida de Preparación (MPp) y Medida de Predisposición (MPd). Un histograma para los valores de MPp, Gráfico 2a, revela que la preparación de los alumnos encuestados está

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ en un entorno de valores entre 6 y 8, lo que significa que dichos alumnos deben ser unos estudiantes que podríamos considerar medios. En el caso de la medida MPd, Gráfico 2b, los valores se distribuyen entre 1, una muy mala predisposición ante las matemáticas, y 6, muy buena predisposición. Las puntuaciones obtenidas se encuentran en su mayoría en un entorno de 3, con mayor peso en valores superiores, lo que nos hace pensar que, en general, los alumnos encuestados tiene una buena predisposición al estudio de las matemáticas. Los valores “0” en ambos gráficos se corresponden con alumnos que no han contestado a alguna de las cuestiones propuestas sobre este tema.

Gráfico 2a: Histograma de la Medida de Preparación (MPp).

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ Gráfico 2b: Histograma de la Medida de Predisposición (MPd). Se obtienen resultados similares si el estudio se realiza de forma independiente en cada campus, mientras que respecto a cada opción de bachiller, tanto de LOGSE como de COU, tampoco existen diferencias significativas. Este último hecho puede estar justificado en la existencia de cierta compensación entre las notas de matemáticas y la media del curso, dado el carácter del curso y las matemáticas impartidas.

3.2.- Resultados sobre el conocimiento de los elementos del Lenguaje Matemático En esta subsección estudiaremos la información que se desprende de la Encuesta-Test sobre el conocimiento de los elementos del Lenguaje Matemático como partículas independientes, es decir, se determina el grado de conocimiento de los diferentes tipos de símbolos y enunciados que conforman este lenguaje. De los resultados obtenidos respecto del conocimiento de los símbolos, recogidos en el Gráfico 3, podemos comentar que son en general poco conocidos, destacando los símbolos “φ”, “Ψ” y “]”, mientras que por otra parte los símbolos “0” y “⌠” son de los más conocidos.

NoSabe 100%

Mal

Regular

Bien

6.86

90%

80%

70%

51.95

57.67

63.84

67.05

59.73

64.53

74.37

79.63

60%

44.16

50%

78.95

40%

30%

20%

39.82

38.67

45.31 32.27

28.15 10%

24.49

29.06

16.25

12.59 0%

0

φ

⌠

Ψ

]

3

1

∫

Gráfico 3: Resultados, en porcentajes, sobre Simbología.

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ En el caso de los enunciados utilizados habitualmente en matemáticas, Gráfico 4, el resultado es más desalentador todavía. Hemos comprobado que, aunque sí parece que los alumnos han utilizado o reconocen algunos de los enunciados, no son capaces de explicar de una manera satisfactoria su significado, dando respuestas como: “Un Ejemplo sirve para demostrar una teoría”, “Un Teorema es una forma de resolver un problema”, “Una Demostración es una explicación con un ejemplo o de cómo lo has hecho”. Así, salvo por el enunciado “Definición” y quizás “Proposición” el resto son poco conocidos.

NoSabe

Mal

Regular

Bien

100%

80%

60%

54.92 20%

82.84

84.90

Contraejemplo

Axioma

81.46

40%

46.00

51.49

55.61

51.03

0%

Definición

Proposición

Teorema

Demostración

Hipótesis

Ejemplo

Gráfico 4: Resultados, en porcentajes, sobre Enunciados.

Hemos desagregado esta información por opción de bachiller elegida y por campus de procedencia para ambos elementos, simbología y enunciados matemáticos, donde hemos observado ciertas diferencias que debemos comentar. Respecto a la opción de bachiller, independientemente del tipo de bachillerato cursado LOGSE o COU, sobre el conocimiento de los signos matemáticos se detecta una mejor respuesta en los alumnos de las opciones “A” (Ciencias e Ingeniería) con respecto a las opciones “B” (Biosanitaria), y ésta a su vez mejor que la opción “C”

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ (Ciencias Sociales). Así, los porcentajes de respuestas calificadas como “bien” en las cuestiones referentes a la simbología en los bachilleres de opciones “A” son, para símbolos como “ ”, “ ”, “0”, y “∫” del orden del 90%, en cambio, para estos mismos símbolos los porcentajes en las opciones “B” y “C” son del orden del 70% y del 50% respectivamente. Por otra parte, para otros símbolos como “Ψ”, “]”, y “3” se han obtenidos porcentajes más bajos, siendo del orden del 70% en los de opción “A” y del orden del 60% y 50% en las opciones “B” y “C” respectivamente. Por último, los signos más desconocidos, conservando las diferencias por opción, son “φ” y “]”, donde se han obtenidos respuestas calificadas por “bien” de órdenes muy bajos. Con relación a los diferentes tipos de enunciados matemáticos, se mantienen las diferencias entre los alumnos de las opciones “A” y los de las opciones “B” y “C”, tanto de LOGSE como COU, pero siendo los porcentajes de respuestas calificas como “bien” mucho más bajos, no superando el 55% en el mejor de los casos. Teniendo en cuenta los alumnos de cada campus, tanto para las cuestiones referidas a los símbolos como a las de los enunciados matemáticos, las diferencias son poco significativas. Quizás, citar que los alumnos con mejores porcentajes de respuestas calificadas como “bien” en la Encuesta-Test son los pertenecientes al campus de Toledo, en el caso de la simbología matemática, mientras que para los enunciados matemáticos destacan los del campus de Cuenca, siendo siempre estas diferencias pequeñas.

3.3.- Resultados sobre el conocimiento en la comprensión y construcción del Lenguaje Matemático Los resultados obtenidos en las cuestiones planteadas sobre la interrelación entre los símbolos del Lenguaje Matemático, presentados en el Gráfico 5, han corroborado los obtenidos en la subsección anterior, ya que, aunque el desconocimiento de los elementos como partículas independientes en el Lenguaje Matemático es patente, al intentar interrelacionar dichos elementos los resultados son muy pobres. Los porcentajes relativos a las interpretaciones de los enunciados (cuestiones 2b) quedan por debajo del

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ 6%, mientras que los referidos a “traducir” al Lenguaje Matemático (cuestiones 2c) son algo mejores, con máximos del 10%.

NoSabe

Mal

Regular

Bien

100%

90%

80%

70%

60%

50%

84.44

40%

73.00

67.28

74.14

74.83

72.31

2c3

2c4

62.70

30%

53.32 20%

10%

0%

2b1

2b2

2b3

2b4

2c1

2c2

Gráfico 5: Resultados en porcentajes sobre comprensión y construcción. (preguntas 2b y 2c de la Encuesta–Test).

Si centramos nuestra atención en los resultados obtenidos según la opción de bachiller, se observa que los alumnos que provienen de las opciones “C” y particularmente del bachiller LOGSE, que es la más numerosa en la Encuesta-Test y que realmente conforman la mayoría en las aulas de nuestra facultades, son los que peores porcentajes obtienen en estas cuestiones, siendo nuevamente los alumnos que proceden de bachilleres de opción “A” los que consiguen mejores resultados. En el caso de la desagregación por campus, los alumnos pertenecientes a los de Albacete, sección Economía, y al de Cuenca son los que presentan mejores conocimientos, aunque las diferencias son, como en la subsección anterior, poco representativas.

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ 3.4.- Comentarios finales sobre los resultados Considerando los resultados obtenidos en la Encuesta-Test, y teniendo en cuenta las limitaciones por porcentaje de encuestados en cada campus y otras propias del estudio, podemos concluir que: aunque los alumnos tienen en general una preparación y predisposición aceptable para el estudio de las matemáticas, su desconocimiento del Lenguaje Matemático es francamente preocupante, independientemente de las diferentes opciones de bachiller cursadas.

4.- POSIBLES LÍNEAS DE ACCIÓN Los problemas de adaptación de los alumnos en los primeros cursos de matemáticas, y materias afines, en los estudios universitarios de Economía se deben en parte al desconocimiento del Lenguaje Matemático. Con objeto de subsanar o amortiguar, en la medida de lo posible, las diferencias que existen entre la docencia de las matemáticas en los cursos preuniversitarios y los universitarios, proponemos las siguientes líneas de acción: En primer lugar, los profesores de enseñanza secundaria deben tomar conciencia del desconocimiento casi total de sus alumnos sobre el buen uso del Lenguaje Matemático. Por esta razón se debería dedicar un mayor tiempo a este tema, con una incorporación progresiva en el quehacer diario de las clases de los símbolos y enunciados matemáticos, sus relaciones y aplicaciones, de manera que su uso fuese habitual, donde la previsible dificultad inicial se vería recompensada por la utilidad que el propio alumno iría descubriendo en el uso de un lenguaje claro y preciso. En segundo lugar, proponemos la implantación en el primer curso universitario de una asignatura de matemáticas básicas que podrían servir para recordar los conocimientos adquiridos en el instituto (idea apuntada en algunos artículos bajo la denominación de Matemáticas-0). En esta materia no se ampliarían conocimientos, sino que se realizaría un repaso exhaustivo de las matemáticas cursadas, partiendo de las notaciones más intuitivas hasta llegar a las más rigurosas. Con el fin de apoyar estos cursos, sería recomendable que los alumnos contasen con manuales específicos que

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ sirvieran de puente entre los modos y notaciones que se emplean en los textos de bachillerato y los universitarios.

5.- CONCLUSIONES Con la implantación progresiva de la Reforma Educativa se está procediendo a la extinción de los estudios de BUP y COU, de forma que la mayoría de los alumnos matriculados en estudios de Economía proceden de la opción de Ciencias Sociales, Administración y Gestión (opción C) de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales del bachillerato LOGSE. Esta opción es la más afín a los estudios de Economía y Empresa, ya que en ella se cursan materias como Economía, en el primer curso, y Economía y Organización de Empresas, en el segundo curso, pudiéndose elegir en este último curso de bachillerato la optativa Fundamentos de Administración y Gestión. Las matemáticas que se estudian en esta opción de bachillerato, Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales I y II, dado el propio carácter de la modalidad y el perfil de los alumnos que las cursan, se suelen impartir con un menor grado de teorización y, por lo tanto de uso riguroso del lenguaje propio de las matemáticas, en comparación con las de la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud. Así, aquellas se orientan fundamentalmente al “saber hacer matemáticas”, es decir, los procedimientos son parte fundamental de los contenidos, aportando un enfoque práctico y funcional. La preparación de muchos de los alumnos que llegan a la universidad para cursar estudios de Economía no es satisfactoria en líneas generales, lo que queda corroborado por los malos resultados que obtienen en las materias de matemáticas y afines en los primeros cursos. Estamos convencidos de que estos malos resultados son en cierta medida debidos, dada nuestra experiencia y como resultado del presente estudio, al desconocimiento por parte de los alumnos del Lenguaje Matemático, suponiendo una dificultad añadida al ya gran salto que supone el paso a la universidad. Por todo esto, se hace necesario prestar una mayor atención a este tema, adoptando las medidas correctoras propuestas en el presente trabajo.

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Ortega, J.Fco. y Ortega, J.A. Experiencia ... Lenguaje Matemático ______________________________________________________________________ REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS ÁLVAREZ, P. y otros (1998): “Un diagnóstico del conocimiento básico matemático para la economía y la empresa”. Acta de V Jornadas de ASEPUMA. ANTOMIL, J. y otros (2001): “Matemáticas en los estudios de Economía y Gestión de Empresas: ¿porqué?, ¿para qué?, cuáles?, ¿son posibles?”. Acta de IX Jornadas de ASEPUMA. FERNÁNDEZ, P. y otros (2000): “Algunas consideraciones sobre la influencia de los estudios previos en las calificaciones de matemáticas para alumnos de la diplomatura de empresariales”. Acta de VII Jornadas de ASEPUMA. GARCÍA, J.M. (2000): “¿Qué matemáticas?”. Acta de VII Jornadas de ASEPUMA. GARCÍA, J.M. (2001): “Sobre la opción cursada en los estudios previos y su incidencia en las notas obtenidas en matemáticas de la L.A.D.E.”. Acta de IX Jornadas de ASEPUMA. GASCÓN, J. (1997): “Cambios en el contrato didáctico: el paso de estudiar matemáticas en secundaria a estudiar matemáticas en la universidad”. Revista SUMA. ICE de la Univ. de Zaragoza, 26. JIMÉNEZ, M. y AREIZAGA, A. (2001): “Reflexiones acerca de los obstáculos que aparecen, en la enseñanza de las matemáticas, al pasar del bachillerato a la universidad”. Acta de IX Jornadas de ASEPUMA. ORTEGA, J.Fco. y ORTEGA, J.A. (2001): “Matemáticas: ¿Un problema de lenguaje?”. Acta de IX Jornadas de ASEPUMA.

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