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• Lilian Tejada Niquen

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Dr. ACOSTA PISCOYA JORGE Licenciado en Estadística Docente

HISTORIA  La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país.  El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares).

Dr. Acosta Piscoya Jorge Antonio

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 Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias.

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DEFINICIÓN “La Investigación de Operaciones es la aplicación por grupos interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”.

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OBJETIVO “Encontrar soluciones óptimas para un determinado problema relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades de una organización”.

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Fases de la Investigación Operativa DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

CONSTRUCCIÓN DEL MODELO SIMULACIÓN DEL MODELO

REFORMULACIÓN DEL MODELO

NO

ES VALIDO

SI IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO

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SISTEMA Un sistema es un conjunto de elementos relacionados entre sí y que funcionan como un todo.  Sistema operativo  Sistema de información

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MODELO Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad. La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situación real, es que nos permite analizar tal situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que el modelo es como si fuera “un espejo” de lo que ocurre.

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TIPOS DE MODELOS

ANÁLOGOS • Son imágenes a escala del sistema cuyo problema se quiere resolver. Por ejemplo las fotografías, las maquetas, los dibujos, etc.

ICÓNICOS

• Se basan en las representaciones de las propiedades de un sistema, por ejemplo las propiedades de un sistema hidráulico son semejantes a la de un sistema eléctrico.

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• Son conceptualizaciones abstractas del problema real a base del uso de letras, números, variables y ecuaciones, son fáciles de manipular y se puede hacer con ellos un gran número de experimentos.

SIMBÓLICO

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MODELO MATEMÁTICO Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de elementos. Estos son:  Variables de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo.  Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión.

 Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles. La solución óptima del modelo será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.

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PROGRAMACION LINEAL Es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión. Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

PROGRAMACIÓN LINEAL

MODELO

TOMA DE DECICIONES

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Modelo de programación Lineal

Función objetivo

Restricciones

Condición de No negatividad

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Donde:

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Ejemplo1. Una sastrería confecciona dos nuevos tipos de ternos ; elegante profesional y noche de

gala. Los tiempos empleados en las áreas de corte y confección para cualquier tipo de terno se presenta en la siguiente tabla: Corte

Confección

Elegante profesional

3

2

Noche de gala

4

7

Las horas disponibles empleadas por semana para el área de corte son 23 horas y para la confección son 24 horas. Las utilidades de cada tipo son $5 y $8. repectivamente. Además la sastrería tiene

una capacidad de producción semanal de 7 ternos.

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Problema: ¿Cuántos ternos de cada tipo debe producirse por semana el fabricante? Objetivo:

Maximizar las utilidades Variables de decisión: X1 = Número de ternos tipo elegante profesional.

X2 = Número de ternos tipo noche gala.

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MPL

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Ejemplo2. Una fabrica de muebles elabora y vende tres tipos de camas: personal, matrimonial y

real. El requerimiento de cada cama que se elabora se muestra a continuación Pegamento(frasco)

Madera(listones)

Clavos (docenas)

Personal

2

2

3

Matrimonial

1

2

4

Real

1

3

6

La fábrica dispone de la siguiente cantidad de insumos para la elaboración de las camas 500 frascos de pegamento, 650 listones de madera y 2000 docenas de clavos. Asimismo, las camas de tipo personal, matrimonial y

real se venden en $700, $900 y $1600, las ventas se han caracterizado por la emisión total de la producción.

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Problema: ¿ Cuántas camas de cada tipo se deben producir y vender de cada tipo ? Objetivo:

Maximizar el ingreso Variables de decisión: X1 = Número de camas de tipo personal.

X2 = Número de camas de tipo matrimonial. X3 = Número de camas de tipo real.

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MPL

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Ejemplo 3. Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio de la Producción obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2 000 toneladas de merluza y 2 000 toneladas de anchoveta, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3 000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 468 nuevos soles/Ton y el precio de la anchoveta es de 485 nuevos soles/Ton. Se sabe que el mantenimiento de cada una de las especies en la bodega genera costos equivalentes de 175 nuevos soles /Ton en merluza y de

156 nuevos soles/Ton en anchoveta. Se desea saber ¿Qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?

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Ejemplo 4. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima

de 15 unidades de una sustancia “A” y otras 15 de una sustancia “B”. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo “X” con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo “Y”, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo “X” es de 1000 soles y el del tipo “Y” es de 3000 soles. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

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Ejemplo 5. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda

publicitaria. La empresa “A” le paga 3.5 nuevos soles, por cada impreso repartido y la empresa “B”, con folletos más grandes, le paga 4.7 nuevos soles por impreso.

El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

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Ejemplo 6. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 45 nuevos soles y las halógenas 60 nuevos soles. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 375 normales y 325 halógenas ni más de 550 en total. Si se vende debido a la exigencia del mercado toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá

producir para obtener la máxima facturación?

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Problema de Planificación de Personal. La oficina encargada del cobro de peaje tiene el siguiente requerimiento mínimo diario de cobradores de peaje

TURNO

HORARIO (24 HORAS)

# MÍNIMO DE COBRADORES

1

06 am. a 10 am.

8

2

10 am. a 02 pm.

6

3

02 pm. a 06 pm.

8

4

06 pm. a 10 pm.

12

5

10 pm. a 02 am.

5

6

02 am. a 06 am.

3

Los cobradores de peaje se presentan a su sitio de trabajo al inicio de cada turno para laborar 8 horas consecutivas, la oficina desea determinar el numero de cobradores de peaje que debe emplear para tener el personal suficiente en

cada turno. Formule el modelo de programación lineal Dr. Acosta Piscoya Jorge Antonio

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Larry Edinson es el director del centro de computo de Buckly College, en donde debe programar las

horas de trabajo del personal. Abre desde las 8 a.m hasta la media noche. Larry estudio el uso del centro de las diferentes horas del día y determino los siguientes números de asesores en computación

necesarios: TURNO

HORARIO

# MÍNIMO DE ASESORES

1

08 a.m. a 12 m.

4

2

12 m. a 04 p.m.

8

3

04 p.m. a 08 p.m.

10

4

08 p.m. a 12 a.m.

6

Cual es el requerimiento mínimo de asesores por turno

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Problema de Perdida por ajuste. Una empresa produce rollos de papel de un ancho de 240 cm. Y 150 cm. Para atender pedidos de clientes. Estos rollos se cortan en rollos de menor ancho. Para el presente periodo se debe de atender los siguientes pedidos: 500 rollos de 70 cm. De ancho, 500 rollos de 90 cm. De ancho y 800 rollos de 30 cm. De ancho. Los rollos cortados de menos de 30 cm. De ancho son considerados como desperdicio. Formule el problema como un modelo de programación lineal,

de modo que se puede atender los pedidos y que el desperdicio total sea mínimo.

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Problema de Producción

Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?

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Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C) cada una de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas en un taller de lijado y 50 en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y una hora de taller de pintado estos mismos valores para los muebles B y C son 7.5; 3; 1 y 5; 2; 1 respectivamente. Se requiere formular y resolver un modelo de programación lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio.

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PROBLEMA DE LA DIETA: Un nutricionista está planeando la alimentación para un batallón. Se sirven 3 alimentos principales, carne, papa y menestras. Todos ellos con distintos contenidos vitamínicos. El nutricionista quiere suministrar tres vitaminas en la alimentación, con un tamaño de la proporción total de 9 onzas por lo menos. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de vitaminas que proporciona cada onza de alimentos: Los costos por onza de carne, papa y menestra son US$0.10, US$0.15, US$0.12, respectivamente. Determinar el número de onzas que se requiere para cada alimento, con el objeto de minimizar el costo, si una persona requiere raciones mínimas diarias de 290 mg., 200 mg., y 210 mg., para las vitaminas 1, 2, y 3 respectivamente.

ALIMENTO CARNE PAPA MENESTRA

1 50 30 20

VITAMINAS (mg) 2 20 10 30 Dr. Acosta Piscoya Jorge Antonio

3 10 50 20 29

PROBLEMA DE MÁXIMOS: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg de chocolate, 100 kg de almendras y 85 kg de frutas. Produce dos tipos de cajas: la de tipo A contiene 3 kg de chocolate, 1 kg de almendras y 1 kg de frutas; la de tipo B contiene 2 kg de chocolate, 1,5 kg de almendras y 1 kg de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 15 soles, respectivamente. ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su venta?

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PROBLEMA Una costurera fabrica y vende faldas y pantalones de Gabardina, para lo cual cada semana compra un rollo de 50 metros de Gabardina. Para hacer un pantalón requiere 2 metros de tela, mientras que para hacer una falda 1.5 metros. Por lo general, ella trabaja ocho horas diarias, de lunes a viernes. Para hacer un pantalón requiere tres horas, mientras que para hacer una falda le toma una hora. Un pantalón le genera 50 soles de ganancia, mientras que al vender una falda gana 30 soles. Construir un modelo matemático que permita maximizar la ganancia semanal de la costurera, considerando que todo producto que fabrique puede venderlo.

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