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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Facultad de Ingeniería E.A.P. de Ingeniería Mecatrónica.

SINTONIZACIÓN PID ZIGLER & NICHOLS: método de curva de reacción 2° Informe para el curso de Control Avanzado

DOCENTE: Ing. Vargas Díaz, Luis

ASIGNATURA: Control Avanzado

ESTUDIANTES: Ortiz Basilio, Wilson Eli

Trujillo – Perú 2018

INDICE

1. RESUMEN ............................................................................................. 3 2. OBJETIVOS............................................................................................ 3 2.1. Objetivos generales.................................................................... 3 2.2. Objetivos específicos .................................................................. 3 3. FUNDAMENTO TEORICO ...................................................................... 4 4. MATERIALES Y EQUIPO......................................................................... 5 5. PROCEDIMIENTO.................................................................................. 6 6. DISCUSION Y RESULTADOS ................................................................. 12 7. CONCLUSIONES .................................................................................. 19 8. CUESTIONARIO ................................................................................... 19 9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .......................................................... 19 10.

ANEXOS ........................................................................................... 20

10.1.

Código experimental ................................................................. 20

1.

RESUMEN En el presente laboratorio se estudiará la sintonización para lazos de control PID propuestos por Ziegler and Nichols, donde obtendremos de manera rápido un conjunto de valores de Kp, Ti y Td de un controlador PID. Para ello existen dos métodos, uno es el método de oscilación, y el otro es el de la respuesta al escalón o también llamada de la curva de reacción. Cada uno de ellos se aplica en dependencia del tipo de planta que intentemos sintonizar en lazo de control. En este informe se realizará una sintonización experimental simulada en el Matlab de un sistema de control para una planta mediante el método de curva de reacción. Como primer paso, se hallaron los factores de referencia para este método, los cuales fueron obtenidos de la gráfica de respuesta al escalón unitario del sistema inicialmente en lazo abierto; estos valores de t0, t1, t2, y0 y y1 de la gráfica sirvieron para obtener los parámetros de Kp, Ti y Td sugeridos en la tabla de sintonización de Ziegler and Nichols, para el controlador P, PI o PID. También se estudió el gráfico de la respuesta al escalón unitario del sistema de control en cada caso (P, PI, PID) para ver la curva de respuesta del sistema. Finalmente se hizo una prueba experimental de modificar ligeramente los valores sugeridos por la tabla de Ziegler and Nichols para tratar de mejorar el comportamiento de la respuesta según el objetivo.

2.

OBJETIVOS 2.1.

Objetivos generales

 Comprender la forma en que se realiza la sintonización para controladores PID por el método de respuesta al escalón o curva de reacción por Ziegler & Nichols. 2.2.

Objetivos específicos

 Utilizar Matlab como herramienta para probar la respuesta de los sistemas de control.

3

3.

FUNDAMENTO TEORICO Los métodos de sintonización para lazos de control PID propuestos por Ziegler and Nichols son métodos experimentales y aproximados para obtener de manera rápida un conjunto de valores para los factores Kp, Ti y Td de un controlador PID. Existen dos métodos Ziegler and Nichols, uno es el método de oscilación, y el otro es el de la respuesta al escalón. Cada uno de ellos se aplica en dependencia del tipo de planta que intentemos sintonizar en lazo de control. En este informe desarrollaremos una sintonización experimental simulada en el matlab de un sistema de control para una planta por el método de respuesta al escalón o también llamado de curva de reacción. Según este método para hallar los parámetros sugeridos de los factores Kp, Ti y Td se siguen los siguientes pasos. En primer lugar se toma la planta en lazo abierto, es decir solamente la planta sin ningún elemento adicional, y se le aplica un nivel de estímulo inicial en su entrada llamado U0, y se espera a que la salida de la planta alcance un valor estable al cual llamaremos Y0. En segundo lugar, en un momento que llamaremos t0 se cambia la entrada de U0 a otro valor que llamaremos U1. Este cambio debe estar en alrededor del 10% del rango de entrada de la planta. En respuesta a este cambio en la entrada, la salida cambiará desde el valor Y0 hasta estabilizarse en un nuevo valor que llamaremos Y1. Esta curva de respuesta de la señal de salida nos servirá para obtener algunos valores de referencia de acuerdo a la siguiente figura.

Figura 1. Curva de reacción de la planta a lazo abierto ante un estímulo de tipo escalón

4

En este gráfico trazamos una línea recta con la tendencia de incremento en la curva y luego estimamos los siguientes parámetros.

𝐾0 =

𝑦∞ − 𝑦0 𝑢∞ − 𝑢0

(𝑒𝑐. 1)

𝜏0 = 𝑡1 − 𝑡0

(𝑒𝑐. 2)

𝑣0 = 𝑡2 − 𝑡1

(𝑒𝑐. 3)

En tercer lugar, se busca los factores Kp, Ti y Td sugeridos en la tabla de sintonización y con ellos se establece el controlador P, PI o PID según sea el caso.

Figura 2. Tabla de sintonización Ziegler and Nichols para la obtención de la curva de reacción o de respuesta al escalón

Como cuarto paso se puede hacer una prueba experimental e intuitiva de modificar estos valores sugeridos tratando de mejorar la respuesta del sistema ante una entrada de tipo escalón unitario en el set point. (Es decir reducir el tiempo de establecimiento, reducir el sobre pico y reducir el error de estado estacionario en la salida).

4.

MATERIALES Y EQUIPO  Computador con software Matlab.

5

5.

PROCEDIMIENTO El procedimiento seguido ha sido detallado en la guía de este laboratorio, sin embargo, aquí se volvió a mencionar los puntos relevantes y reproducidos de manera propia. 1. Se definió la función de transferencia de una planta de estudio:

(𝑠 2

1 + 5𝑠 + 6)(𝑠 + 1)

Estimulamos directamente esta planta para obtener la curva de reacción o de respuesta al escalón unitario mediante la función interna step del software de Matlab y graficando ésta, como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Grafica de curva de reacción o de respuesta al escalón unitario del sistema en lazo abierto.

2. Dibujamos una recta tangente en el punto de inflexión de la curva para calcular sus parámetros, determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la amplitud como se aprecia en la Figura 4:

6

Figura 4. Grafica de curva de reacción con línea tangente y parámetros para el controlador.

Los parámetros de referencia están dados: 𝐾0 =

𝑦1 − 𝑦0 0.166 − 0 = = 0.166 𝑢1 − 𝑢0 1−0

𝜏0 = 𝑡1 − 𝑡0 = 0.43 − 0 = 0.43 𝑣0 = 𝑡2 − 𝑡1 = 2.73 − 0.43 = 2.3

3. Nos dirigimos a la tabla de sintonización de Ziegler and Nichols por el método de curva de reacción y hallamos los parámetros sugeridos para un controlador P, PI y PID. Control Proporcional(P): 𝐾𝑝 =

𝑣0 2.3 = = 32.22 𝑘0 𝜏0 0.166 ∙ 0.43

Control Proporcional Integral(PI): 0.9𝑣0 0.9 ∙ 2.3 = = 28.99 𝑘0 𝜏0 0.166 ∙ 0.43 𝑇𝑖 = 3 ∙ 𝜏0 = 3 ∙ 0.43 = 1.29 𝐾𝑝 =

7

Control Proporcional Integral(PID): 1.2𝑣0 1.2 ∙ 2.3 = = 38.66 𝑘0 𝜏0 0.166 ∙ 0.43 𝑇𝑖 = 2 ∙ 𝜏0 = 2 ∙ 0.43 = 0.86 𝑇𝑑 = 0.5 ∙ 𝜏0 = 0.5 ∙ 0.43 = 0.215 𝐾𝑝 =

Ahora que tenemos los valores de sintonización de los controladores. Podemos probar el comportamiento en lazo cerrado de control. Obtenemos el gráfico de la respuesta al escalón unitario del sistema de control en cada caso para ver la curva de respuesta del sistema.

En control Proporcional(P):

Figura 5. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado con ganancia proporcional.

Para la respuesta del sistema proporcional al estímulo de tipo escalón unitario se obtuvo el siguiente gráfico:

Figura 6. Respuesta al escalón unitario a un control Proporcional. 8

En la Figura 6. Se observa que el sobre pico es aproximadamente 49% y que el tiempo de establecimiento Ts es aproximadamente 15seg, además el error de estado estacionario es de 0.16 aproximadamente, por lo que no es una buena curva de respuesta. En control Proporcional-Integral (PI):

Figura 7. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado con ganancia proporcional e integral.

La respuesta del sistema PI al escalón unitario se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 8. Respuesta al escalón unitario a un control ProporcionalIntegral.

En este gráfico podemos ver como el error de estado estacionario ha desaparecido, pero el sobre pico se ha elevado al 75% y el tiempo de establecimiento Ts se encuentra por encima de los 40 seg., por lo tanto, tampoco es una respuesta muy buena. 9

En control Proporcional-Integral-Derivativo (PID):

Figura 9. Diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado con ganancia proporcional, integral y derivativa.

La respuesta esperada al escalón unitario del sistema con control PID da como resultado:

a)

b) Figura 10. Respuesta al escalón unitario a un control Proporcional-IntegralDerivativo. a) Ploteo global. b) Valores de las ganancias, salida del comando Windows

En el grafico resultante vemos que no hay error de estado estacionario, el sobre pico se ha reducido un poco con respecto a la respuesta anterior y está dado en 52% y que el tiempo de establecimiento es más o menos de 8 seg.

10

La salida anterior puede ser aun mejorada si se evalúa con criterio los parámetros Kp, Ki y Kd

Figura 11. Ploteo de señal de salida mejorada.

Figura 12. Código de mejora para la respuesta al escalón del sistema en PID.

11

6.

DISCUSION Y RESULTADOS Hallar los valores sugeridos según la tabla de sintonización Ziegler and Nichols para los controladores P, PI y PID en el sistema de control de la siguiente planta ::

Figura 13. Planta de sistema mecánico para la realización de la sintonización PID

Determinando la función de transferencia de la planta: 𝑮(𝒔) = 𝒙𝟏/ 𝑭 Para determinar las ecuaciones del sistema de la planta, se aplica la segunda ley de Newton en cada bloque, ya que estos contienen masa finita y según su diagrama de cuerpo libre se tienen: Para el bloque de masa1 (M1) ∑𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 𝑀1 ∙ 𝑎1 = 𝐹 − 𝑘1 ∙ 𝑥1 − 𝐵1 ∙ 𝑣1 − 𝐵2 (𝑣1 − 𝑣2 ) 𝑀1 ∙ 𝑥̈ 1 = 𝐹 − 𝑘1 ∙ 𝑥1 − 𝐵1 ∙ 𝑥̇ 1 − 𝐵2 (𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ) 𝑀1 ∙ 𝑥1 (𝑠)𝑠 2 = 𝐹(𝑠) − 𝑘1 ∙ 𝑥1 (𝑠) − 𝐵1 ∙ 𝑥1 (𝑠)𝑠 − 𝐵2 (𝑥1 (𝑠)𝑠 − 𝑥2 (𝑠)𝑠) 𝑥1 (𝑠)[𝑀1 𝑠 2 + 𝑘1 + 𝐵1 𝑠 + 𝐵2 𝑠] = 𝐹(𝑠) + 𝑥2 (𝑠)[𝐵2 ∙ 𝑠] (1)

Para el bloque de masa2 (M2) ∑𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 𝑀2 ∙ 𝑎2 = 𝐵2 (𝑣1 − 𝑣2 ) 𝑀2 ∙ 𝑥̈ 2 = 𝐵2 (𝑥̇ 1 − 𝑥̇ 2 ) 𝑀2 ∙ 𝑥2 (𝑠)𝑠 2 = 𝐵2 (𝑥1 (𝑠)𝑠 − 𝑥2 (𝑠)𝑠) 𝑥2 (𝑠)[𝑀2 ∙ 𝑠 2 + 𝐵2 ∙ 𝑠] = 𝑥1 (𝑠)[𝐵2 ∙ 𝑠] 𝑥1 (𝑠)[𝐵2 ∙ 𝑠] 𝑥2 (𝑠) = [𝑀2 ∙ 𝑠 2 + 𝐵2 ∙ 𝑠]

12

(2)

Reemplazando 𝑥2 (𝑠) de (2) en (1):

𝑥1 (𝑠) ∙ [𝑀1 𝑠 2 + 𝑘1 + 𝐵1 𝑠 + 𝐵2 𝑠] = 𝐹(𝑠) +

𝑥1 (𝑠)[𝐵2 ∙ 𝑠] [𝐵 ∙ 𝑠] [𝑀2 ∙ 𝑠 2 + 𝐵2 ∙ 𝑠] 2

[𝐵2 2 ∙ 𝑠 2 ] 𝑥1 (𝑠) ∙ [𝑀1 𝑠 + 𝑘1 + 𝐵1 𝑠 + 𝐵2 𝑠 − ] = 𝐹(𝑠) [𝑀2 ∙ 𝑠 2 + 𝐵2 ∙ 𝑠] 2

𝑀1 𝑀2 𝑠 4 + 𝑀1 𝐵2 𝑠 3 + 𝑀2 𝑘1 𝑠 2 +𝐵2 𝑘1 𝑠 + 𝑀2 𝐵1 𝑠 3 + 𝐵1 𝐵2 𝑠 2 + 𝑀2 𝐵2 𝑠 3 𝑥1 (𝑠)[ ] = 𝐹(𝑠) 𝑀2 ∙ 𝑠 2 + 𝐵2 ∙ 𝑠

𝑥2 (𝑠) 𝑀2 𝑠 + 𝐵2 = 3 𝐹(𝑠) 𝑀1 𝑀2 𝑠 + (𝑀1 𝐵2 + 𝑀2 𝐵1 + 𝑀2 𝐵2 )𝑠 2 + (𝑀2 𝑘1 + 𝐵1 𝐵2 )𝑠+𝐵2 𝑘1 Reemplazando los valores numéricos de 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑘1 , 𝑘2 y 𝐵, se obtiene la siguiente función de transferencia: 𝑥2 (𝑠) 5𝑠 + 4 = 𝐹(𝑠) 50𝑠 3 + 75𝑠 2 + 13𝑠 + 0.8

Visto de una mejor manera: 𝑥2 (𝑠) 0.1𝑠 + 0.08 = 3 𝐹(𝑠) 𝑠 + 1.5𝑠 2 + 0.26𝑠 + 0.016

Ahora estimulamos este sistema de planta en lazo abierto con escalón unitario para obtener la curva de reacción, utilizando la función interna del software Matlab como se muestra en la Figura 14.

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Figura 14. Grafica de curva de reacción o de respuesta al escalón unitario del sistema en lazo abierto.

Dibujamos una recta tangente en el punto de inflexión de la curva para calcular sus parámetros.

Figura 15. Grafica de curva de reacción con línea tangente y parámetros para el controlador.

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Los parámetros de referencia son: 𝐾0 =

𝑦1 − 𝑦0 5 − 0 = =5 𝑢1 − 𝑢0 1 − 0

𝜏0 = 𝑡1 − 𝑡0 = 2.2 − 0 = 2.2 𝑣0 = 𝑡2 − 𝑡1 = 25.1 − 2.2 = 22.9 Nos dirigimos a la tabla de sintonización de Ziegler and Nichols por el método de curva de reacción y hallamos los parámetros sugeridos para un controlador P, PI y PID. Control Proporcional(P): 𝐾𝑝 =

𝑣0 22.9 = = 2.08 𝑘0 𝜏0 5 ∙ 2.2

Control Proporcional Integral(PI): 0.9𝑣0 0.9 ∙ 22.9 = = 1.87 𝑘0 𝜏0 5 ∙ 2.2 𝑇𝑖 = 3 ∙ 𝜏0 = 3 ∙ 2.2 = 6.6 𝐾𝑝 =

Control Proporcional Integral(PID): 1.2𝑣0 1.2 ∙ 22.9 = = 2.5 𝑘0 𝜏0 5 ∙ 2.2 𝑇𝑖 = 2 ∙ 𝜏0 = 2 ∙ 2.2 = 4.4 𝑇𝑑 = 0.5 ∙ 𝜏0 = 0.5 ∙ 2.2 = 1.1 𝐾𝑝 =

Llegado hasta aquí, con los valores de sintonización de los controladores, probamos el comportamiento en lazo cerrado de control, obteniendo el gráfico de la respuesta al escalón unitario del sistema de control en cada caso.

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En control proporcional :: La respuesta del sistema proporcional al escalón unitario se muestra como el siguiente gráfico:

Figura 16. Respuesta al escalón unitario a un control Proporcional.

Vemos que el sobre pico es aproximadamente 32% y que el tiempo de establecimiento Ts es aproximadamente 40seg, además el error de estado estacionario es de 0.09 aproximadamente, por lo que no es una buena curva de respuesta. En control proporcional-integral :: La respuesta del sistema PI al escalón unitario se muestra a continuación:

Figura 17. Respuesta al escalón unitario a un control ProporcionalIntegral.

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Se puede apreciar en la Figura 17. que el sobre pico es del 63% y que el tiempo de establecimiento Ts es demasiado grande pasando los 100s, además el error de estado estacionario desaparece completamente con el tiempo.

En control proporcional-integral-derivativo:: La respuesta del sistema PID al escalón unitario se muestra como la Figura 18.

a)

b) Figura 18. Respuesta al escalón unitario a un control Proporcional-IntegralDerivativo. a) Ploteo global. b) Valores de las ganancias, salida de la ventana de comandos.

En el grafico resultante vemos que no hay error de estado estacionario, el sobre pico reducido al 44% y el tiempo de establecimiento es más o menos pasando el segundo 60.

17

Ajuste de los parámetros en control PID:: Para corregir eficazmente los parámetros PID al bucle de control, se procedió a modo de prueba a variar cada uno estos valores de forma independiente y en base al análisis, se eligió el mejor criterio. El resultado, fue un aumento del valor derivativo debido a que permitió aumentar la respuesta del control y disminuir las oscilaciones causadas por el control proporcional. A continuación, se presenta la salida optimizada:

Figura 19. Ploteo mejorado de la salida del sistema

Figura 20. Código de mejora para la respuesta al escalón del sistema en PID.

18

7.

CONCLUSIONES  La sintonización de controladores PID por el método de curva de reacción propuesto por Ziegler & Nichols tiene que ser visto como un método aproximado y servir como referencia para realizar control. Es el criterio del evaluador quien decide el resultado de los parámetros más óptimos.  El uso computacional para el modelamiento de control de una planta implica precisión en su diseño y un ahorro operacional. La ventaja que ofrece Matlab es que cuenta con múltiples funciones dedicadas al control PID, permitiendo un ahorro de recursos computacionales y confiabilidad de los resultados.

8.

CUESTIONARIO 

¿En qué tipo de plantas se puede aplicar la sintonización por el método de curva de reacción? ¿En qué casos no se puede aplicar? Los métodos de sintonización de Ziegler and Nichols son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de las plantas (también para modelos conocidos) y especialmente se puede aplicar el método de curva de reacción a plantas que no contengan integradores ni polos dominantes complejos conjugados ya que esto garantiza que la gráfica de respuesta tenga forma de s. No se puede aplicar a plantas en las cuales su grafica de salida no tiene forma de s, a una respuesta de escalón unitario en lazo abierto.

9.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS    

OGATA Katsuhiko (2004). Ingeniería de control moderna. Prentice hall grupo editor (4ta edición), México 2004. Ibarra Viteri, I.R. (1990). Simulación y control analógico de temperatura en líquidos. B.S. thesis, Quito: ESP, 1990. Documentación de clase. Ayuda interna de Matlab.

19

10. ANEXOS 10.1. Código experimental %Sintonizacion PID Ziegler y Nichols por metodo curva de reaccion %CONTROL AVANZADO - UNT %Ing. Mecatronica IX ciclo %Wilson Eli Ortiz Basilio %% EJERCICIO DE EJEMPLO num=[1]; den=[1 6 11 6]; step(num,den) grid minor; t0=0; t1=0.43; t2=2.73; y0=0; y1=0.166; u0=0; u1=1; K0=(y1-y0)/(u1-u0); T0=t1-t0; V0=t2-t1; %Control Proporcional KpP=V0/(K0*T0); numP=[KpP]; denP=[1 6 11 6+KpP]; figure step(numP,denP) grid minor; %Control Proporcional Integral KpPI=0.9*V0/(K0*T0); TiPI=3*T0; KiPI=KpPI/TiPI; numPI=[KpPI KiPI]; denPI=[1 6 11 6+KpPI KiPI]; figure step(numPI,denPI) grid minor; %Control Proporcional Integral Derivativo KpPID=1.2*V0/(K0*T0); TiPID=2*T0; TdPID=0.5*T0; KiPID=KpPID/TiPID; KdPID=KpPID*TdPID; numPID=[KdPID KpPID KiPID]; denPID=[1 6 11+KdPID 6+KpPID KiPID]; figure step(numPID,denPID) grid minor;

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%% Prueba de mejora del sistema del ejercicio de ejemplo Kp=16; Ki=10; Kd=7; num=[Kd Kp Ki]; den=[1 6 11+Kd 6+Kp Ki]; step(num,den,10) grid minor;

%% EJERCICIO PROPUESTO num=[0.1 0.08]; den=[1 1.5 0.26 0.016]; step(num,den) grid minor; t0=0; t1=2.2; t2=25.1; y0=0; y1=5; u0=0; u1=1; K0=(y1-y0)/(u1-u0); T0=t1-t0; V0=t2-t1; %Control Proporcional KpP=V0/(K0*T0); numP=[0.1*KpP 0.08*KpP]; denP=[1 1.5 0.26+0.1*KpP 0.016+0.08*KpP]; figure step(numP,denP) grid minor; %Control Proporcional Integral KpPI=0.9*V0/(K0*T0); TiPI=3*T0; KiPI=KpPI/TiPI; numPI=[0.1*KpPI 0.08*KpPI+0.1*KiPI 0.08*KiPI]; denPI=[1 1.5 0.1*KpPI+0.26 0.08*KpPI+0.1*KiPI+0.016 0.08*KiPI]; figure step(numPI,denPI) grid minor; %Control Proporcional Integral Derivativo KpPID=1.2*V0/(K0*T0); TiPID=2*T0; TdPID=0.5*T0; KiPID=KpPID/TiPID; KdPID=KpPID*TdPID; numPID=[0.1*KdPID 0.1*KpPID+0.08*KdPID 0.08*KpPID+0.1*KiPID 0.08*KiPID]; denPID=[1 0.1*KdPID+1.5 0.1*KpPID+0.08*KdPID+0.26 0.08*KpPID+0.1*KiPID+0.016 0.08*KiPID]; figure step(numPID,denPID) grid minor;

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%% Prueba de mejora del sistema de control del ejercicio propuesto Kp=2.13; Ki=0.135; Kd=10.05; num=[0.1*Kd 0.1*Kp+0.08*Kd 0.08*Kp+0.1*Ki 0.08*Ki]; den=[1 0.1*Kd+1.5 0.1*Kp+0.08*Kd+0.26 0.08*Kp+0.1*Ki+0.016 0.08*Ki]; step(num,den,20) grid minor;

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