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• Jhoncitho Riveros Ignacio

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CONTROL NO LINEAL POR REALMENTACION DE ESTADOS DE NIVEL DE TANQUES INTERCONECTADOS I.

OBJETIVOS a) Obtener el modelo no lineal transformado en espacio de estados para el sistema de nivel de tanques interconectados. b) Diseñar una ley de control no lineal por realimentación total y simular la respuesta del sistema en lazo cerrado, usando simulink.

II.

SISTEMA DE TANQUES INTERCONECTADOS En la figura 1 se muestra el sistema de dos tanques interconectados Planta: se tiene dos tanques idénticos colocados en cascada. Con sección transversal A = 1m2, constante para cada tanque. El objetivo es controlar la altura H2 del tanque inferior.

Fig. 1 sistema de tanques interconectados Donde P1, P2 y P0 son las posiciones en el fondo de los tanques y en el exterior respectivamente, y   1 es una constante que depende de la geometría del orificio. Considere si   1.23kg / m3 (la densidad del líquido),

g  9.81m / s 2 Las ecuaciones del sistema pueden se dadas por: Q1   P1  P0 ; Q2   P2  P0

P1  P0   gH1; P2  P0   gH 2 El flujo acumulado en cada tanque viene dado por:

A  9m 2 y

dH1 .....(1) dt dH Q1  Q2  A 2 .....(2) dt Q0  Q1  A

III.

PROCEDIMIENTO DE LABORATORIO 1. Obtener el modelo no lineal en espacio de estados para el sistema de nivel de tanques interconectados De (1) despejamos H1 H1 

Q0  Q1 Q1 Q0   A A A

  gH1 Q0  .......(3) A A Reemplazando valores: H1  0.39 H1  0.111Q0  H1 

Igualmente hacemos para H 2 : H2 

Q1  Q2 Q1 Q2   A A A

 H2 

  gH1



  gH 2

A A Reemplazando valores: H 2  0.39 H1  0.39 H 2

.......(4)

Finalmente obtenemos nuestras ecuaciones de estado: H1  0.386 H1  0.111Q0 H 2  0.386 H1  0.386 H 2

2. Obtener una transformación de estados (z=z(x)), y luego obtener la nueva representación en espacios de estados. Considerando: X 1  H1

X 2  H2 Eligiendo la siguiente transformación Z1  X 2 Z 2  0.386 X1  0.386 X 2

Entonces

Z 2  0.386 X 2 Z  2  Z1 0.386 0.386 X1  0.111Q0  (Z 2  0.386 X 2 ) X1 

X1  0.111Q0  (Z 2  0.386 Z1 )

X 2  Z2 De la transformada de estados: Z1  X 2

Z1  Z 2 Z2 

[0.111Q0  ( Z 2  0.386 Z1 )] 0.193Z 2 0.193 X 1 0.193 X 2   0.193  X1 X2 2.59Z 2  Z1 Z1

Z2 

( Z  0.386 Z1 ) 0.193Z 2 0.021 .Q0  0.193 2  (2.59Z 2  Z1 ) 2.59Z 2  Z1 Z1

Z2 

0.193Z 2 0.00827 .Q0  0.047  ( Z 2  0.386 Z1 ) Z1

De donde: Z2 

0.193( Z 2  0.386 Z1 ) 0.00827 .Q0  ( Z 2  0.386 Z1 ) Z1

Z2  

0.193( Z 2  0.386 Z1 ) Z1



0.00827 .Q0 ( Z 2  0.386 Z1 )

Pero: Q0  u f (Z )  

b( Z ) 

0.193( Z 2  0.386 Z1 ) Z1

0.00827 ( Z 2  0.386 Z1 )

Entonces: Z1  Z 2

Z2  f (Z )  b(Z ).u 3. Escoger de una ley de control no lineal u(t) que permita linealizar el sistema 1 u [V  f (Z )] b( Z ) u

0.193( Z 2  0.386 Z1 ) 1 [V  ] 0.00827 Z1 ( Z 2  0.386 Z1 )

u  120.92( Z 2  0.386 Z1 )[V 

0.193( Z 2  0.386 Z1 ) Z1

]

4. Seleccionar una ley de control lineal v(t) por localización de polos, y diseñe el controlador de tal manera que la salida siga a una

referencia. Considere los siguientes polos deseados en lazo cerrado: Ley de control V   KZ  [ K1

Z  K2 ]  1   Z2 

Se tiene que: Z1  Z 2

Z2  V Entonces: Z  AZ  BV  Z1   0 1   Z1   0  Z1  Z 2          V  Z 2   0 0   Z 2  1  Verificando la controlabilidad: 0 1 M  [ B AB]    1 0 Entonces Rango M  2  n Por lo tanto, es completamente controlable. Ecuación característica deseada de 2do orden: (s  u1 )(s  u2 )  0 ( s  2  j 2)( s  2  j 2)  0

s 2  4s  8  0...(a) Ecuación característica de L.C. considerando K  [ K1 | sI  ( A  BK ) | 0

 0 1  0 0 1  0 0  A  BK        ( K1 K 2 )     0 0  1   0 0   K1 K 2  0   0 A  BK      K1  K2  0   s 1   s 0  0 | sI  ( A  BK ) ||   |  |    | 0    0 s    K1  K 2   K1 s  K 2  | sI  ( A  BK ) | s(s  K2 )  K1  0 s 2  K 2 s  K1  0...(b)

Igualando (a) y (b) K1  8

K2  4

K  [8 4]

K2 ]

5. Ejecute un programa en simulink que permita obtener la respuesta deseada.

IV. 



CONCLUSIONES Cuando se diseña el modelo en Matlab, se tendrá que poner los parámetros correspondientes, logrando un menor tiempo de asentamiento. El tiempo de estabilidad que obtenemos en el sistema es menos a los cuatro segundos, lo cual nos da como respuesta. Así nos permite lograr un control de la altura H2 estable.