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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN

SISTEMA DE CONTROL DIGITAL LABORATORIO LABORATORIO N°3 INTEGRANTES: HILASACA CHAMBI , LUIS ANGEL CABRERA MELGAR , PABLO ENRIQUE TURNO: JUEVES 10:20—12:00 AM

ESCUELA: INGENIERIA ELECTRONICA

AREQUIPA – 2018 MODELO MATEMATICO: Sea la figura:

A partir de las ecuaciones de los elementos del sistema en el dominio del tiempo se procede a construir la ecuación diferencial: Torque del motor:

𝑇 = 𝑘𝑓 𝑖𝑓 𝑘1 𝑖𝑎 Al ser Ef constante no influiría en el control, por lo tanto el torque se reduce a la siguiente expresión. 𝑇 = 𝑘 𝑖𝑎 El Eb es directamente proporcional a la velocidad angular del motor, y Kb es una constante de fuerza contra-electromotriz. 𝐸𝑏 = 𝑘𝑏

𝑑𝜃 𝑑𝑡

Malla para Ia: 𝐿𝑎

𝑑𝑖𝑎 + 𝑅𝑎 𝑖𝑎 + 𝐸𝑏 = 𝐸𝑎 𝑑𝑡

Ecuación diferencial para el torque: 𝐽

𝑑2𝜃 𝑑𝜃 + 𝑓 = 𝑇 = 𝐾𝑖𝑎 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

Se aplica Transformadas de Laplace para las ecuaciones anteriores: 𝐾𝑏 𝑆𝜃(𝑠) = 𝐸𝑏 (𝑠) (𝐿𝑎 𝑆 + 𝑅𝑎 )𝐼𝑎 (𝑠) + 𝐸𝑏 (𝑠) = 𝐸𝑎 (𝑠) (𝐽𝑆 2 + 𝑓(𝑠))𝜃(𝑠) = 𝑇(𝑠) = 𝐾𝐼𝑎 (𝑠) Función transferencia de la planta en el dominio “s”: 𝜃(𝑠) 𝐾 = = 𝐺(𝑠) 𝐸𝑎 (𝑠) 𝑆[𝐿𝑎 𝐽𝑆 2 + (𝐿𝑎 𝑓 + 𝑅𝑎 𝐽)𝑆 + (𝑅𝑎 𝑓 + 𝐾𝐾𝑏 )] Ecuaciones para un sistema en función de las entradas: 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑟 [𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠)] 𝐸𝑎 (𝑠) = 𝐾𝑝 𝐸(𝑠) 𝐶(𝑠) = Donde las constantes son:

𝑁1 𝜃(𝑠) 𝑁2

𝐊 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐚𝐫 𝐦𝐨𝐭𝐨𝐫 ; 𝐥𝐛. 𝐟𝐭/𝐀 𝐋𝐚 = 𝐈𝐧𝐝𝐮𝐜𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐯𝐚𝐧𝐚𝐝𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐢𝐧𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐨; 𝐦𝐇 𝐉 = 𝐈𝐧𝐞𝐫𝐜𝐢𝐚 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐟𝐞𝐫𝐢𝐝𝐚 𝐚𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐝𝐞𝐥 𝐦𝐨𝐭𝐨𝐫 𝐚 𝐭𝐫𝐚𝐯𝐞𝐬𝐝𝐞𝐥 𝐭𝐫𝐞𝐧 𝐝𝐞 𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐧𝐞𝐬 ; 𝐥𝐛. 𝐟𝐭. 𝐬 𝟐 𝐟 = 𝐅𝐫𝐢𝐜𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐯𝐢𝐬𝐜𝐨𝐬𝐚 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐟𝐞𝐫𝐢𝐝𝐚 𝐚𝐥 𝐞𝐣𝐞 𝐝𝐞𝐥 𝐦𝐨𝐭𝐨𝐫 𝐚 𝐭𝐫𝐚𝐯𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝐭𝐫𝐞𝐧 𝐝𝐞 𝐞𝐧𝐠𝐫𝐚𝐧𝐞𝐬; 𝐟𝐭 𝐥𝐛. /𝐬 𝐫𝐚𝐝 𝐑 𝐚 = 𝐑𝐞𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐯𝐚𝐧𝐚𝐝𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐫𝐨𝐭𝐨𝐫; 𝐨𝐡𝐦 𝐊 𝐛 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 𝐝𝐞 𝐟𝐮𝐞𝐫𝐳𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐫𝐚𝐞𝐥𝐞𝐜𝐭𝐫𝐨𝐦𝐨𝐭𝐫𝐢𝐳 ; 𝐕. 𝐬/𝐫𝐚𝐝

ANÁLISIS EN MATLAB -Definicion de constantes y comandos para el analisis: K = 6E-5; La = 10E-3; J = 5.4E-5; f = 4E-4; Ra = 0.2; Kb = 5.5E-2; s = tf('s'); G = K/(s*(La*J*s^2+(La*f+Ra*J)*s+(Ra*f+K*Kb))) ;%Funcion de transferencia en el dominio de Laplace zpk(G) % comando para expresar la FT en formato de polos y ceros Kr = 24/pi; Kp = 10; n = 1/10; Gtd = Kr*Kp*G*n Gla = Gtd*1 ;% FT en lazo abierto Glc = feedback(Gtd,1) ;% FT en lazo cerrado zpk(Glc) Gztd = c2d(Gtd,0.1,'zoh');% Discretizando la FT de lazo abierto zpk(Gztd) Gzlc = feedback(Gztd,1) ;%FT en el dominio Z en lazo cerrado zpk(Gzlc) pzmap(Gzlc,'r') zgrid eee = 1-dcgain(Gzlc) step(Gzlc) rlocus(Gztd) pole(Gzlc) allmargin(Gztd) G1 = 0.1*Gztd G1zlc = feedback(G1,1) step(G1zlc)

La consola de matlab muestra la Función de transferencia G(s):

6e-05 G(s) = ----------------------------------------------5.4e-07 s^3 + 1.48e-05 s^2 + 8.33e-05 s Continuous-time transfer function.

FT expresado en function de polos y ceros : 111.11

G(s) =-----------------------s (s+19.49) (s+7.913)

Continuous-time zero/pole/gain model.

Función de transferencia de trayectoria directa (Gdt): 0.0004584 Gtd(s)= ----------------------------------------------5.4e-07 s^3 + 1.48e-05 s^2 + 8.33e-05 s Continuous-time transfer function.

Función de transferencia de lazo abierto (Gla): 0.0004584 Gla(s)= ----------------------------------------------5.4e-07 s^3 + 1.48e-05 s^2 + 8.33e-05 s Continuous-time transfer function.

Función de transferencia de lazo cerrado (Glc): 0.0004584 Glc(s)= --------------------------------------------------------------5.4e-07 s^3 + 1.48e-05 s^2 + 8.33e-05 s + 0.0004584 Continuous-time transfer function.

Función de transferencia de lazo cerrado (Glc) expresado en función de polos y ceros: 848.83 Glc(s)= ------------------------------(s+22.18) (s^2 + 5.23s + 38.27) Continuous-time zero/pole/gain model.

DISCRETIZANDO LA FUNCION DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO: Función (Gtd) en función insertando un bloqueador de (orden cero) y transformada al dominio de Z considerando un periodo de muestreo T=0.1s. 0.07569 z^2 + 0.163 z + 0.01937 Gztd(z)= -----------------------------------z^3 - 1.596 z^2 + 0.6601 z - 0.06452 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.

Y su correspondiente expression en function de polos y ceros: 0.075693 (z+2.027) (z+0.1263) Gztd(z)= ----------------------------(z-1) (z-0.4533) (z-0.1424) Sample time: 0.1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model.

Función de transferencia de lazo cerrado en dominio de Z (Gzlc): 0.07569 z^2 + 0.163 z + 0.01937 Gzlc(z)= ----------------------------------z^3 - 1.52 z^2 + 0.8231 z - 0.04515 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.

Y su correspondiente expression en function de polos y ceros: 0.075693 (z+2.027) (z+0.1263) Gzlc(z)= ----------------------------------(z-0.06157) (z^2 - 1.458z + 0.7333) Sample time: 0.1 seconds Discrete-time zero/pole/gain model.

Ecuación característica de FT en LC: EC: z^3 - 1.52 z^2 + 0.8231 z - 0.04515

Estabilidad absoluta del sistema: Ceros: 0.7292 + 0.4490i 0.7292 - 0.4490i 0.0616 + 0.0000i Pole-Zero Map 1 0.6/T 0.8

0.5/T

0.4/T 0.1 0.3/T

0.7/T

0.2 0.3

0.6

0.8/T

0.9/T 0.2 Imaginary Axis

0.2/T

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.4

0.1/T

0.9 1/T 1/T

0

-0.2 0.9/T

0.1/T

-0.4 0.8/T

-0.6

0.2/T

0.7/T

-0.8

0.3/T 0.6/T

-1 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5 Real Axis

Error en estado estable (eee): eee = -2.2204e-16

0.5/T 0

0.4/T 0.5

1

Respuesta en el tiempo del sistema de lazo cerrado: Step Response 1.5

Amplitude

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (seconds)

Step Response 1.5

System: Gzlc Peak amplitude: 1.4 Overshoot (%): 40.3 At time (seconds): 0.6

System: Gzlc Final value: 1

System: Gzlc Settling time (seconds): 2.46

1

Amplitude

System: Gzlc Rise time (seconds): 0.239

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 Time (seconds)

3

3.5

4

4.5

5

Lugar geométrico de las raíces del sistema en lazo abierto (Gzla): Root Locus 4 3

Imaginary Axis

2 1 0 -1 -2 -3 -4 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

Real Axis

Polos dominantes del sistema a través de la ecuación característica (EC): ans = 0.7292 + 0.4490i 0.7292 - 0.4490i 0.0616 + 0.0000i

Rango de estabilidad Kcp: Función G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8

Ganancia del controlador proporcional (k) 0.1 0.2 0.24579 0.4 0.6 1 2 K máxima

Tipo de respuesta C. amortiguado C. amortiguado C. amortiguado subamortiguado subamortiguado subamortiguado subamortiguado oscilante

Estabilidad

Error en estado estable

1 1 1 1 1 1 0 0

-2.8866e-15 5.5511e-16 -2.2204e-15 -8.8818e-16 0 -2.2204e-16 0 -4.4409e-16

CUESTIONARIO 1. Analizando el error estable de las diferentes formas de respuesta del sistema justifique en base a la función de transferencia porque se tiene ese comportamiento

Para las funciones desde G1 hasta G7, se observa que los polos están dentro del círculo del radio uno por lo que son estables; mientras que en la función G8, sus polos coinciden con el circulo de radio 1.

2. Si el sistema de control de posición es de tercer grado, porque la respuesta se asemeja a la de un sistema de segundo grado.

Porque la respuesta es similar en cualquier sistema de grado n, sin embargo el tiempo de respuesta es más lento a medida que el orden del sistema es mayor.

3. Qué ventajas tiene la aplicación de un controlador proporcional a un sistema de control.

Podemos modificar el lugar de los polos en lazo cerrado, para así obtener estabilidad.

Problema Sea el sistema formado por el muestreador de periodo de muestreo T, bloqueador de orden cero y planta G(s)=Kp/(s+1). Realizar el cálculo manual y verificar con los comando de Matlab. Planta e(t)

e*(t)

𝟏 c(t) (𝒔 + 𝟏)

(𝟏 − 𝒆−𝑻𝒔 ) 𝒔

a. Hallar la FT G(z), del sistema en LA para Kp=1  Hallar y graficar la salida c(t), para una entrada Delta de Kronecker, T=1seg; T=0.05seg. PARA T=1 SEG. kp=1; num=[1]; den=[1 1]; Gs=tf(num,den)*kp T=1; Gz=c2d(Gs,T,'zoh') Gz = 0.6321 ---------z - 0.3679 Sample time: 1 seconds Discrete-time transfer function. num1=[0.6321];%numerador de la funcion transferencia den1=[1 -0.3679];% D0_k=[1 zeros(1,10)]; x_kc=filter(num1,den1,D0_k); k=0:10; stem(k,x_kc) grid,title('Gráfica obtenida sP') Gráfica obtenida sP 0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PARA T=0.05 SEG. kp=1; num=[1]; den=[1 1]; Gs=tf(num,den)*kp T=0.05; Gz=c2d(Gs,T,'zoh') Gz = 0.04877 ---------z - 0.9512 Sample time: 0.05 seconds Discrete-time transfer function. num1=[0.04877];%numerador de la funcion transferencia den1=[1 -0.9512];% D0_k=[1 zeros(1,100)]; x_kc=filter(num1,den1,D0_k); k=0:100; stem(k,x_kc) grid,title('Gráfica obtenida sP')

Gráfica obtenida sP 0.05

0.045

0.04

0.035

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

 Hallar y graficar la salida c(t), para una entrada Delta de escalón unitario, T=1seg; T=0.05seg. PARA T=1 SEG. num=[0.6321];%numerador de la funcion transferencia den=[1 -0.3679];% D0_k=[1 ones(1,10)]; x_kc=filter(num,den,D0_k); k=0:10; stem(k,x_kc) grid,title('Gráfica obtenida sP')

Gráfica obtenida sP 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

90

100

PARA T=0.05 SEG. num=[0.04877];%numerador de la funcion transferencia den=[1 -0.9512];% D0_k=[1 ones(1,100)]; x_kc=filter(num,den,D0_k); k=0:100; stem(k,x_kc) grid,title('Gráfica obtenida sP') Gráfica obtenida sP 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

b. Hallar la FT G(z), del sistema en LC:  Graficar la salida c(t), para Kp=1 con una entrada escalón unitario. Verificar TVI y TVF. Con T=1 seg y T=0.05 seg; verificar estabilidad en LC. PARA T=1 SEG. num=[0.6321];%numerador de la funcion transferencia den=[1 -0.3679];% D0_k=[1 ones(1,30)]; x_kc=filter(num,den,D0_k); k=0:30; stem(k,x_kc) grid,title('Gráfica obtenida SP')

Gráfica obtenida SP 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

90

100

PARA T=0.05 SEG. num=[0.04877];%numerador de la funcion transferencia den=[1 -0.9512];% D0_k=[1 ones(1,100)]; x_kc=filter(num,den,D0_k); k=0:100; stem(k,x_kc) grid,title('Gráfica obtenida SP') Gráfica obtenida SP 1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

 Hallar el rango de Kp para asegurar estabilidad e LC, con T=1 seg y T=0.05 seg.