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• Harold Andres Wilches

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INTRODUCCION En este laboratorio vamos a estudiar el ajuste lineal o regresión lineal en el método de mínimos cuadrados para unas determinadas medidas, es un procedimiento experimental que frecuenta medir dos variables cuya relación al momento de graficar los datos tomados, es en buena aproximación, lineal. Llámese X la variable independiente y Y la variable dependiente. También es necesario ser capaz de relacionar resultados experimentales, con modelos teóricos y concluir sobre la validez de los mismos, estar en capacidad de tomar medidas experimentales que le permitan estudiar un sistema físico, haciendo un tratamiento de datos y una entrega de resultados correctos.

OBJETIVOS Objetivo general. Identificar si un movimiento o fenómeno físico implica una relación lineal entre dos variables y hacer el análisis del mismo en forma experimental. Objetivos específicos.  

 

Hacer un tratamiento de datos y análisis adecuado, cuando dos variables experimentales se relacionan linealmente. A partir de una imagen (fotografía) experimental, tomar medidas y obtener una gráfica de posición vs tiempo para un cuerpo en movimiento. Hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados a la anterior gráfica y extraer información de la misma, correctamente. Aplicar la técnica aprendida (ajuste lineal por mínimos cuadrados) siempre que sea necesario, en diferentes ambientes de laboratorio. Determinar mediante criterios experimentales, la rapidez promedio del auto.

MARCO TEORICO Para esta práctica de laboratorio es necesario tener claros los siguientes conceptos: DISTANCIA La distancia se refiere a cuanto espacio recorre un objeto durante su movimiento. Es la cantidad movida. También se dice que es la suma de las distancias recorridas. Por ser una medida de longitud, la distancia se expresa en unidades de metro según el Sistema Internacional de Medidas. Al expresar la distancia, por ser una cantidad escalar, basta con mencionar la magnitud y la unidad. RAPIDEZ La rapidez promedio o celeridad promedio es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Su magnitud se designa como v. La celeridad es una magnitud escalar con dimensiones de [L]/[T]. La rapidez se mide en las mismas unidades que la velocidad, pero no tiene el carácter vectorial de ésta. La rapidez se refiere, en otras palabras, a qué tan lejos puede viajar un objeto determinado en un tiempo dado, sin importar la dirección de éste. La celeridad instantánea representa justamente el módulo de la velocidad instantánea. Aunque los términos de celeridad o rapidez son apropiados cuando deseamos referirnos inequívocamente al módulo de la velocidad, es correcto y de uso corriente (no sólo en el uso popular, sino también en el científico y técnico) utilizar los términos "velocidad", "celeridad" y "rapidez" como sinónimos. Esto es así para la totalidad de las magnitudes vectoriales (aceleración, fuerza, momento, cantidad de movimiento, etc.) a cuyos módulos no se les asigna nombres especiales. VELOCIDAD Una definición de qué es la velocidad física puede ser el ritmo del movimiento. Recuérdese que el modelo físico de la Dinámica Global opera sobre el espacio de Euclides y el tiempo absoluto u objetivo. Lógicamente, cada tipo de movimiento tendrá su fórmula para calcular el ritmo temporal de su desplazamiento espacial o qué velocidad existe con determinados parámetros y ecuaciones, pero siempre la definición de velocidad estará referida a la relación entre el espacio recorrido y el tiempo empleado. En otras palabras, el concepto de velocidad física es un concepto derivado de la relación entre el espacio y el tiempo.

AJUSTE LINEAL POR MÍNIMOS CUADRADOS. En un procedimiento experimental es frecuente medir dos variables cuya relación al momento de graficar los datos tomados, es en buena aproximación, lineal. Llámese X la variable independiente y Y la variable dependiente. A continuación se bosqueja la posible gráfica:

Como se observa, los datos tienen un comportamiento aproximadamente lineal pero no es exacto ya que se trata de datos experimentales. Surge entonces la pregunta: Si el comportamiento es lineal ¿Cómo se obtiene la pendiente (m) y el punto de corte (b) en la ecuación Y = mX + b que relaciona las dos variables? Un primer criterio es el que se conoce como método gráfico. En este se utiliza una regla para trazar una línea recta que pase lo mejor posible por todos los puntos o que en su defecto deje igual número de puntos experimentales por encima que por debajo de la recta. Luego se obtiene m y b directamente en forma gráfica. Este método no es experimentalmente riguroso ya que depende mucho de la observación subjetiva de quien trace la recta. Un segundo criterio es el ajuste lineal por mínimos cuadrados. Este método es mucho más riguroso y es el que se debe aplicar siempre en las prácticas de laboratorio. El método surge de minimizar la suma de los errores al cuadrado para Y, entre la recta y los valores experimentales. Sin embargo el objetivo del curso no es comprender la deducción del método sino aprender a utilizarlo. De esta manera, a continuación se muestran las ecuaciones que se utilizan en el método de mínimos cuadrados para hallar m y b.

Donde: N = Número de datos. b = y -mx (A1-2)

Donde:

y = Promedio de los valores de Y. x = Promedio de los valores de X.

Las incertidumbres de m y b se calculan de la siguiente manera:

Donde:

σm = Incertidumbre de m. σb = Incertidumbre de b.

A su vez σ está dado por:

Es muy importante mencionar que la pendiente y el punto de corte en un laboratorio en el que se hace un ajuste lineal, siempre tienen un significado físico, el cual se obtiene revisando el modelo teórico que describe el sistema. También hay que tener en cuenta que m y b deben tener unas determinadas unidades, que se obtienen a partir del análisis dimensional, según las unidades de X y Y.

TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES Los resultados de las medidas se expresan numéricamente, asociando valores concretos a las magnitudes medidas directa o indirectamente: masa, volumen concentración, temperatura, etc. Al asignar un determinado valor a una magnitud mediante un proceso de medición, directa o indirecta, hemos de contar con el hecho de que siempre va a ir acompañado de cierta imprecisión. Dado que todas las leyes experimentales surgen de la sistematización de los resultados de medidas de laboratorio, es totalmente imprescindible tener en cuenta las limitaciones en la exactitud y precisión de dichos resultados para tener una idea clara de su validez, en definitiva, de las propias leyes y de sus conclusiones.

MONTAJE EXPERIMENTAL

PROCEDIMIENTO Aunque es un requerimiento obvio y necesario en todas las prácticas, se ha hecho explícito el hecho de que es necesario realizar una investigación o consulta anterior al día de la práctica. Claramente esta labor es obligatoria en todos los laboratorios. En la práctica es necesario valerse de las imágenes dadas para tomar los datos de posición y tiempo del móvil, en cada caso. Luego se hace el tratamiento experimental de dichos datos. 1. encuentre una manera de hallar la escala a la que se encuentra la imagen de su anexo. en otras palabras. es necesario responder la PREGUNTA: ¿cada centímetro sobre la imagen a qué distancia real corresponde? 2. Teniendo en cuenta que la imagen muestra además las medidas de tiempo para cada posición del auto. Reporte los datos de posición y tiempo con su respectiva incertidumbre en la tabla No 1 según corresponde cada caso. 3. Con los datos reportados realice la grafica de posición vs tiempo y haga un ajuste lineal por método grafico. 4. Haga ahora, el ajuste mediante el método de mínimos cuadrados y en una nueva grafica trace la recta obtenida junto con los puntos experimentales. 5. De la ecuación de cada recta extracte el valor de la rapidez promedio del auto.

MATERIALES. 1. Hilo o pita.

2. Regla

3. Papel milimetrado

4. Anexo de imagen

ANEXO 02 CIRCUITO DE SILVERSTONE (GRAN BRETAÑA) Longitud: 5.141 km

RESULTADOS 1. ERROR CUADRATICO. Formula error cuadrático = Formula de σ = √∑

Δx =

√

̅

Tiempos con error instrumental 1 (6.28 +/0.01) s 2 (20.24 +/0.01) s 3 (34.48 +/0.01) s 4 (55.83 +/0.01) s 5 (75.58 +/0.01) s Tabla No 1. MEDIA ARITMETICA = ((6.28)+(20.24)+(34.48)+(55.83)+(75.58))/5 MEDIA ARITMETICA = 38.48 Datos para hallar σ ̅ ( 6.28 – 38.48 (20.24 – 38.48 (34.48 – 38.48 (55.83 – 38.48 (75.58 – 38.48

x 6.28 20.24 34.48 55.83 75.58

∑ Tabla No 2 Formula de σ = √∑

̅

σ=√ σ =27.6 Formula error cuadrático = Δx =

√

Δx = 12.3 Respuesta: t (38.48 +/- 12.3)

Δx =

√

2. AJUSTE LINEAL. Valores de tiempo vs posición TIEMPO (s) POSICION (m) 1 ( 6.28 +/- 0.01)s (0.027 +/- 0.001)m 2 (20.24 +/- 0.01)s (0.062 +/- 0.001)m 3 (34.48 +/- 0.01)s (0.11 +/- 0.001)m 4 (55.83 +/- 0.01)s (0.078 +/- 0.001)m 5 (75.58 +/- 0.01)s (0.08 +/- 0.001)m Tabla No 3 AJUSTE LINEAL POR MÉTODO GRAFICO M= M= M= 2.000 B= 0.05 X (T)= 0.05 + 2000(t) m AJUSTE LINEAL POR MÍNIMOS CUADRADOS

Xi 6.28 20.24 34.48 55.83 75.58

1 2 3 4 5

Tabla para ajuste lineal por mínimos cuadrados Yi Xi*Yi 0.027 0.16956 0.062 1.25488 0.11 3.7928 0.078 4.35474 0.08 6.0464

∑

∑

192.41 Tabla No 4

∑

M= M=

∑ (

0.357

∑ ∑ ∑ )

(

M= 0.0007

)

∑

Xi² 39.4384 409.6576 1188.8704 3116.9889 5712.3364

∑

M=

Media aritmética de ̅̅̅= 38.482 Media aritmética de ̅ = 0.0714

̅̅̅ = M ̅̅̅ + B B = ̅̅̅ - M ̅̅̅ B = (0.0714) – ((0.0007) (38.482)) B = 0.04 X (T)= 0.04 + 0.007(t) m

Valores experimentales de rapidez 1 y 2 MEDIDA Rapidez 1 (Ajuste con método grafico) Rapidez 2 (Ajuste con método de mínimos cuadrados) Tabla No 5

VALOR (0.001 +/- 12.3)m/s (38.482 +/- 12.3)m/s

ANÁLISIS DE RESULTADOS

1. ¿fue apropiado trabajar con el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados? R/. Si por que al trabajar con el ajuste lineal por el método de mínimos cuadrados se tienen valores más exactos para poder graficar mejor la línea del ajuste lineal. 2. ¿en qué intervalo de tiempo el auto tuvo una rapidez mayor y en cual menor? reporte todos los valores. R/.  En 6.28s con una rapidez de = 6.28 (tuvo la menor rapidez)  En 20.24s con una rapidez de = 20.24  En 34.48s con una rapidez de = 34.48  En 55.83s con una rapidez de = 55.83  En 75.58s con una rapidez de =75.58 (tuvo la mayor rapidez) 3. ¿Qué tan grandes son las incertidumbres en los valores de rapidez obtenidos? es conveniente hallar el error relativo para responder esta pregunta. R/. Error cuadrático=12.37 Error relativo= Las incertidumbres en los valores de rapidez obtenidos es de 2.47%

BIBLIOGRAFÍA     

http://portalweb.ucatolica.edu.co/easyWeb2/fisica/fisicaI/guias/AJUSTE%20LINEAL.pdf http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/josem/static/errores.pdf http://www.molwick.com/es/movimiento/112-velocidad.html http://es.wikipedia.org/wiki/Rapidez https://sites.google.com/site/timesolar/cinematica/distanciadesplazamiento