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• Néstor Valles Villarreal

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Elaboró: Nelson Bahamón Cortés1 FISICA I

1.

CARTA DE COMPETENCIAS

Competencias

AJUSTE LINEAL

Ser capaz de relacionar resultados experimentales, con modelos teóricos y concluir sobre la validez de los mismos. Estar en capacidad de tomar medidas experimentales que le permitan estudiar Genérica(s) un sistema físico, haciendo un tratamiento de datos y una entrega de resultados correctos. Identificar si un movimiento o fenómeno físico implica una relación lineal entre Específica(s) dos variables y hacer el análisis del mismo en forma experimental.

2.

TEORÍA DE LA ENSEÑANZA – APRENDIZAJE PARA LA COMPRENSIÓN.

Básica(s)

Relación lineal entre dos variables experimentales. Topico(s) Generador(es): Meta(s) de Hacer un tratamiento de datos y análisis adecuado, cuando dos variables comprensión: experimentales se relacionan linealmente. A partir de una imagen (fotografía) experimental, tomar medidas y obtener una Desempeño(s) gráfica de posición vs tiempo para un cuerpo en movimiento. Hacer un ajuste lineal de por mínimos cuadrados a la anterior gráfica y extraer información de la misma, comprensión: correctamente. Valoración Aplicar la técnica aprendida (ajuste lineal por mínimos cuadrados) siempre que sea continua: necesario, en diferentes ambientes de laboratorio.

3.

PROBLEMA

Se ha tomado una fotografía2 aérea de un auto de carreras de la formula 1, en el circuito de Siverstone (Gran Bretaña). Se debe hacer un diagnóstico respecto del desempeño del conductor y

1

Docente UCC. Físico UN

del equipo. Para ello es necesario determinar mediante criterios experimentales, la rapidez promedio del auto. Se tiene, por otro lado, una imagen satelital3 de un auto que cruza el puente Golden Gate (San Francisco). La imagen satelital es de tan buena resolución que se ha obtenido la placa del auto. Mediante un procedimiento similar al del caso anterior, se quiere determinar si la rapidez promedio del auto excede el límite de velocidad y en consecuencia si es necesario sancionar al conductor.

4.

BASE TEÓRICA Para esta práctica de laboratorio es necesario tener claros los siguientes conceptos: Distancia Rapidez Velocidad Ajuste lineal por mínimos cuadrados Tratamiento de datos experimentales

El ajuste lineal por mínimos cuadrados es un concepto proveniente de la estadística que se aprende en esta práctica y que se necesitará constantemente en este, y otros cursos de física. En el anexo 1 se deja un resumen teórico sobre este concepto. El anexo 2 es un ejercicio muy útil para comprender el ajuste lineal por mínimos cuadrados. Se recomienda resolver, el problema 72 del capítulo 6 de la referencia [10.1.]4.

5.

MONTAJE Ver anexo 4

2

Ver anexo 3

Realmente no es una fotografía sino un montaje con imágenes. Hay que tener en cuenta que se trata de un ejercicio para aprender y ganar habilidades experimentales. 3 Se trata de una imagen satelital modificada. Ver nota 2. 4 Vea el numeral 10 de esta guía (Tenga en cuenta que es el volumen 1)

6.

MATERIALES 1. 2. 3.

7.

Hilo o pita. Regla. Papel milimetrado.

PROCEDIMIENTO

Aunque es un requerimiento obvio y necesario en todas las prácticas, en el numeral 7.1, se ha hecho explícito el hecho de que es necesario realizar una investigación o consulta anterior al día de la práctica. Claramente esta labor es obligatoria en todos los laboratorios. En la práctica es necesario valerse de las imágenes dadas (anexos 3 y 4) para tomar los datos de posición y tiempo del móvil, en cada caso (numeral 7.2). Luego se hace el tratamiento experimental de dichos datos (numeral 7.3).

7.1.

Investigación previa.

Lea cuidadosamente el numeral 3, donde se formulan los problemas a trabajar en esta práctica (observe los anexos 3 y 4). Investigue los datos previos que considere necesarios para dar una solución correcta a los mismos.

7.2.

Datos de posición y tiempo.

Con los elementos disponibles encuentre una manera de hallar la escala a la que se encuentra la imagen del anexo 3 (observe la información del anexo) y hágalo. En otras palabras, es necesario responder la pregunta: ¿Cada centímetro sobre la imagen a que distancia real corresponde? En forma similar y teniendo en cuenta que la imagen muestra además las medidas de tiempo para cada posición del auto, construya una tabla de posición y tiempo para el mismo. Es necesario reportar la incertidumbre para ambos tipos de medidas.

7.3.

Ajuste lineal. Con los anteriores datos haga un ajuste lineal por el método gráfico.

Haga ahora, el ajuste mediante el método de mínimos cuadrados y en una nueva gráfica trace la recta obtenida junto con los puntos experimentales. De la ecuación de cada recta extracte el valor de la rapidez promedio del auto. Repórtelos en la tabla 2 como valores experimentales de rapidez 1 y 2, respectivamente. Tenga en cuenta que debe reportar cada dato con su incertidumbre.

Repita todo el procedimiento desde el numeral 7.2. para el movimiento representado en la imagen del anexo 4.

8.

TABLA(S) DE DATOS La tabla 1 corresponde a la tabla diseñada en el numeral 7.2.

Tabla 2 Medida

Valor

Rapidez 1 (Ajuste con método gráfico) Rapidez 2 (Ajuste con método de mínimos cuadrados) Tenga en cuenta que todos los datos consignados deben tener claras las unidades correspondientes. Igualmente tenga en cuenta que todos los datos deben tener su respectiva incertidumbre.

9.

ANALISIS Y RESULTADOS

De acuerdo a los resultados obtenidos, dé una respuesta clara y explicada a los problemas planteados en la guía (ver numeral 3). Responda en forma clara y justificada sobre sus resultados experimentales las siguientes preguntas: • • •

¿Fue apropiado trabajar con el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados?. ¿En que intervalo el auto tuvo una rapidez mayor y en cual menor?. Reporte los valores. ¿Qué tan grandes son las incertidumbres en los valores de rapidez obtenidos? Es conveniente hallar el error relativo para responder esta pregunta.

Si hay diferencias, debe dar una respuesta por separado para cada uno de los problemas (auto de la fórmula 1 y auto sobre el puente Golden Gate). 10.

BIBLIOGRAFIA [10.1.] SERWAY, Raymond A. y JEWETT, Jhon W. (2005) Física I y II Texto basado en cálculo, 6a Ed. Editorial Thomson.

[10.2.] SEARS Francis W, ZEMANSKY Mark W, YOUNG Hugo D, FREEDMAN Roger A. (2004) Física Universitaria volúmenes I y II, 11ra Ed. Editorial Pearson Educación. [10.3.] Documentos en internet:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/regresion/regresion.htm
http://recursos.gabrielortiz.com/index.asp?Info=059
http://filemon.upct.es/~mathieu/organizacion/practicas/practregsimp.pdf Créditos de las imágenes:
http://goldengatebridge.org/tolls_traffic/
http://www.renaultf1.com/es/season/great_britain/race/
http://www.fondosescritorio.net/wallpapers/Lugares-Del-Mundo/Puente-De-SanFrancisco/index.htm
http://www.misterprice.it/img/prodotti/big/CSCNM008.jpg
http://es.wikipedia.org/wiki/Puente_Golden_Gate
http://maps.google.es/

ANEXO 1 AJUSTE LINEAL POR MÍNIMOS CUADRADOS En un procedimiento experimental es frecuente medir dos variables cuya relación al momento de graficar los datos tomados, es en buena aproximación, lineal. Llámese X la variable independiente y Y la variable dependiente. A continuación se bosqueja la posible gráfica:

Y

Y vs X

X

Como se observa, los datos tienen un comportamiento aproximadamente lineal pero no es exacto ya que se trata de datos experimentales. Surge entonces la pregunta: Si el comportamiento es lineal ¿Cómo se obtiene la pendiente (m) y el punto de corte (b) en la ecuación Y = mX + b que relaciona las dos variables? Un primer criterio es el que se conoce como método gráfico. En este se utiliza una regla para trazar una línea recta que pase lo mejor posible por todos los puntos o que en su defecto deje igual número de puntos experimentales por encima que por debajo de la recta. Luego se obtiene m y b directamente en forma gráfica. Este método no es experimentalmente riguroso ya que depende mucho de la observación subjetiva de quien trace la recta. Un segundo criterio es el ajuste lineal por mínimos cuadrados. Este método es mucho mas riguroso y es el que se debe aplicar siempre en las prácticas de laboratorio. El método surge de minimizar la suma de los errores al cuadrado para Y, entre la recta y los valores experimentales. Sin embargo el objetivo del curso no es comprender la deducción del método sino aprender a utilizarlo. De esta manera, a continuación se muestran las ecuaciones que se utilizan en el método de mínimos cuadrados para hallar m y b.

m=

i =1

i =1

i =1

  N∑ x -  ∑ x i  i =1  i =1  N

N

2 i

Donde : N = Número de datos.

N

N

N

N∑ x i y i - ∑ x i ∑ y i 2

(A1-1)

b = y - mx Donde:

(A1-2)

y = Promedio de los valores de Y. x = Promedio de los valores de X.

Las incertidumbres de m y b se calculan de la siguiente manera: N

σm =σ

 N  N∑ x -  ∑ x i  i =1  i =1  N

2

(A1-3)

2 i

N

∑x

σb =σ

2 i

i =1

 N  N∑ x i2 -  ∑ x i  i =1  i =1  N

2

(A1-4)

Donde: σm = Incertidumbre de m. σb = Incertidumbre de b. A su vez σ está dado por: N

σ=

∑ (y - (mx i

+ b ))

2

i

i =1

N-2

(A1-5)

Es muy importante mencionar que la pendiente y el punto de corte en un laboratorio en el que se hace un ajuste lineal, siempre tienen un significado físico, el cual se obtiene revisando el modelo teórico que describe el sistema. También hay que tener en cuenta que m y b deben tener unas determinadas unidades, que se obtienen a partir del análisis dimensional, según las unidades de X y Y.

ANEXO 2 EJERCICIO DE PREPARACIÓN Los datos de la gráfica presentada en el anexo 1 son los siguientes: X 0.55 1.11 1.72 2.31 3.14 3.58 4.12 4.48 5.21 4.83

Y 3.11 4.02 4.08 5.03 6.07 7.08 7.09 8.03 8.55 8.59

Haga el ajuste por el método gráfico. Haga el ajuste mediante el método de mínimos cuadrados y trace la recta obtenida, junto con los puntos experimentales. Para hacer este ajuste de una manera más organizada y rápida es recomendable trabajar con una tabla como la siguiente: xi

N

∑ xi = i =1

xi2

yi

N

∑ yi = i =1

N

∑ x i2 = i =1

Debe obtener un resultado similar al siguiente:

xi* yi

N

∑x y

i i

i =1

=

Y vs X

Y

y = 1.2287x + 2.3499

X

Las calculadoras científicas así como diversos programas de computador permitan hacer muy rápidamente el ajuste por mínimos cuadrados. Repita el ajuste usando una de estas herramientas tecnológicas y compruebe su resultado. Finalmente obtenga las incertidumbres para m y b en su ajuste lineal. De nuevo, es conveniente utilizar una tabla que permita hacer este procedimiento en forma organizada. Como se mencionó en el anexo 1 es muy importante el análisis dimensional de las cantidades trabajadas. En este anexo se trabajó sin unidades porque se está presentando la teoría en forma genérica.

ANEXO 3 CIRCUITO DE SILVERSTONE (GRAN BRETAÑA)

Longitud: 5.141 km

0:00’20’’24

0:00’13’’07

0:00’30’’09 0:00’06’’28

0:00’27’’32

0:00’34’’48

0:01’15’’58

0:01’21’’59

0:00’42’’91

0:01’01’’80

0:00’55’’83 0:00’50’’38

0:01’10’’04

ANEXO 4 PUENTE GOLDEN GATE (SAN FRANCISCO)

0:00’04’’09

0:00’02’’43

0:00’01’’88

0:00’00’’84 0:00’00’’00