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• Diego Chucuri

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Apellido y Nombre: Métodos Numéricos

Actividades Laboratorio #2: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales mediante el método directo o iterativo Preparación del laboratorio Para la ejecución del presente laboratorio es necesario que los alumnos tengan instalado en sus ordenadores: » Usuarios Windows: Matlab Descripción del laboratorio Objetivo: Resolver ejercicios y problemas aplicados a la ingeniería civil en el que deberá programar en Matlab (en el caso que se requiera) el código correspondiente para la resolución, por medio de un método directo o iterativo según lo indicado en los problema propuestos. Tiempo estimado: 4 horas: ((2) Extra e (2) Intra clase) » 2 horas -> investigación y programación » 1 hora

-> ejecución

» 1 hora

-> elaboración del informe

Descripción: el trabajo consta de dos partes: 1. Deberá resolver los siguientes problemas utilizando Matlab y la aplicación de un método numérico de acuerdo a las características del problema: i)

Del libro:

Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.) Chapra, Steven C.; Canale, Raymond P. McGraw-Hill Interamericana 2007

UNIDAD 2 – Actividades Docente: Ph.D. Guillermo Machado Sotomayor

© Universidad Nacional de Chimborazo (UNACH)

Carrera de Ingeniería Civil

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Ejercicios 1 9.12 página 281 Ejercicios 2 11.9 Ejercicios 3 11.10 página 325 Ejercicios 4 Ejercicio 12.18 página 342 Ejercicios 5 ii) Un bloque de 10Kg está suspendido de un sistema de cables y anillos, como se muestra en la figura 1.

Fig.1. Carga suspendida Determine la tensión en cada cable del sistema.

2. Además, generará un informe con los resultados obtenidos para cada uno de los métodos aplicados, hacer una comparativa y exponer las conclusiones que estime oportunas.

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»

Se espera que el código sea fácilmente interpretable, de modo que cualquier aclaración o explicación sobre el código deberá ponerse en forma de comentario. » Todos los archivos de código deberán tener la siguiente cabecera: %%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ %% LABORATORIO 2. PROBLEMA1 %% Métodos Numéricos aplicado a Ingeniería Civil %% INTEGRANTES DEL GRUPO: %% Semestre: %% Paralelo: %%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Entrega del laboratorio La entrega de este laboratorio es en la AULA VIRTUAL, será un único archivo comprimido («.zip»). Su nombre deberá ser «apellido.zip». El contenido del archivo, serán dos carpetas. »

[CODE] o «tension1.m», «Gauss.m», etc. En estos archivos tendrá que aparecer la forma de ejecución y todos los comentarios que se consideren oportunas.

»

[REPORT] o «Informe.docx»

Extensión máxima: 6 páginas (Georgia 11, interlineado 1,5).

CREDITO: 10 PUNTOS

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RESULTADOS Y CONCLUSIONES EJERCICIO 1 Ejercicio 9.12 Página 281 Emplee la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema siguiente: 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 1 5𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = −4 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5 No utilice pivoteo. Compruebe sus respuestas con la situación en las ecuaciones originales. RESPUESTA EJERCICIO 1 De acuerdo a al código Problem9_12_GJ.m utilizado la ejecución de ingresar los valores de la matriz requerida tanto en columnas como en filas, la respuesta es

Figura 1. Cuadro de respuestas Fuente: Autoría Matlab 2017 Para estar totalmente de acuerdo con los valores obtenidos por los códigos de Matlab se debe realizar una comprobación manual que se muestra en la siguiente tabla: Variables X1 = 14 X2 = -32 X3=-5

Comprobación 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 𝟏 2(14) + (−32) − (−5) = 1 28 − 32 + 5 = 1 1=1 𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = −𝟒 5(14) + 2(−32) + 2(−5) = −4 70 − 64 − 10 = −4 −4 = −4

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𝟑𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟓 3(14) + (−32) + (−5) = 5 42 − 32 − 5 = 5 5=5

EJERCICIO 2 Ejercicio 11.9 Repita el problema 11.8 pero use la iteracion de Jacobi Ejercicio 11.8 Del problema 10.8, recuerde que el sistema de ecuaciones siguiente esta disenado para determinar concentraciones (las c estan en

𝒈 ) 𝒎𝟑

en una serie

de reactores acoplados como funcion de la cantidad de masa de entrada a 𝒈 𝒅

cada uno de ellos (los lados derechos estan en ),

15𝑐1 − 3𝑐2 − 𝑐3 = 3800 −3𝑐1 + 18𝑐2 − 6𝑐3 = 1200 −4𝑐1 − 𝑐2 + 12𝑐3 = 2350 R: De acuerdo al código Problem11_9_J.m ingresando completamente la matriz al sistema MatLap se puede observar una ejecución de 17 procesos para poder encontrar el valor buscado tomando en cuenta un error del 0,0001, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2. Cuadro de respuestas Fuente: Autoría Matlab 2017

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Variables

Comprobación 

𝑐1 = 320,207 𝑔/𝑚

3

𝟏𝟓𝒄𝟏 − 𝟑𝒄𝟐 − 𝒄𝟑 = 𝟑𝟖𝟎𝟎 15(320.207) − 3(227.202) − 321.503 = 3800 3800 = 3800 Aprox.

𝑐2 = 227,202 𝑔/𝑚3 𝑐3



= 321,503 𝑔/𝑚3

−3𝑐1 + 18𝑐2 − 6𝑐3 = 1200 −3(320.207) + 18(227.202) − 6(321.503) = 1200 1200 = 1200 Aprox.



−4𝑐1 − 𝑐2 + 12𝑐3 = 2350 −4(320.207) − (227.202) + 12(321.503) = 2350 2350 = 2350 Aprox.

EJERCICIO 3 Ejercicio 11.10 Emplee el método de Gauss-Seidel para resolver el sistema siguiente hasta que el error relativo porcentual este por debajo de 𝜺𝒓 = 𝟓% 10𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 27 −3𝑥1 − 6𝑥2 + 2𝑥3 = −61.5 𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5 R: Según el código Prooblem11_10_GS.m, la respuesta se generó luego de 4 iteraciones utilizado la respuesta, tomando en cuenta el error relativo porcentual de 5 % o 0.05, como se muestra en la figura:

Figura 3. Cuadro de respuestas Fuente: Autoría Matlab 2017

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Variables

Comprobación

𝑥1 = 0.497326



𝑥2 = 7.999091

𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 𝟐𝟕 10(0.5) + 2(8) − (−6) = 27

𝑥3 = −5.999283

5 + 16 + 6 = 27 27 = 27 

−𝟑𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 = −𝟔𝟏. 𝟓 −3(0.5) − 6(8) + 2(−6) = −61.5 −1.5 − 48 − 12 = −61.5 −61.5 = −61.5



𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = −21.5 0.5 + 8 + 5(−6) = −21.5 8.5 − 30 = −21.5 −21.5 = −21.5

EJERCICIO 4 Ejercicio 12.18 Con el mismo método que se uso para analizar la figura 12.4, determine las fuerzas y reacciones para las trabes que se ilustran en la figura P12.18.

Figura 12.4

Figura P12.18

Figura 4. Ejercicios 12.4 y 12.18 Fuente: Chapra Steven C.; Canale, Raymond P. McGraw-Hill Interamericana 2007

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Nodo A

∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑇1𝑐𝑜𝑠 30° + 𝐴𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑇1 𝑠𝑒𝑛 30° + 𝐴𝑦 = 0

Nodo B

∑ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇1 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑇2 𝑐𝑜𝑠45° + 𝑇3 + 𝑇4 𝑐𝑜𝑠 60° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑇2 𝑠𝑒𝑛 45° − 𝑇1 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑇4 𝑠𝑒𝑛 60° = 0

Nodo C

∑ 𝐹𝑥 = 0 −500 − 𝑇2𝑠𝑒𝑛 45° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 −𝑇5 − 𝑇2𝑐𝑜𝑠 45° = 0

Nodo D

∑ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇3 − 250 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑇5 − 𝑇6 = 0

Nodo E

∑ 𝐹𝑥 = 0 −𝑇4𝑐𝑜𝑠 60° = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0

Con la sumatoria de fuerzas tanto horizontal y verticalmente, se identifica la matriz

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0,86 0 0 0 0 0 1 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.5 0 0 0 0 0 −0,86 0.71 0 −0,86 0 0 0 0 0 0.71 −0.5 𝐴= −0,71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −0,71 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 1 [ 0 0 0 0 0 1 0 0 1] 0 0 0 0 𝑏 = 500 0 250 0 [ 0 ] R. Con el código Guass_ejercico1 se trató de resolver el ejercicio pero al final no se obtuvo un resultado favorable EJERCICIO 5 Un bloque de 10Kg está suspendido de un sistema de cables y anillos, como se muestra en la figura 1.

Fig.1. Carga suspendida Determine la tensión en cada cable del sistema. UNIDAD 2 – Actividades Docente: Ph.D. Guillermo Machado Sotomayor

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R: Según el código utilizado Guass_ejercico1 en 41 iteraciones la solución es:

Resultados: 𝑇𝐴𝐵 = 24.39 𝑇𝐴𝐶 = 69.67 𝑇𝐴𝐷 = 81.52 𝑇𝐵𝐶 = 38.04 𝑇𝐸𝐵 = 54.62 𝑇𝐶𝐹 = 92.39 Comprobación:



∑ 𝐹𝑦 = 0

𝑇𝑐𝑔 − 𝑊 = 0 𝑇𝑐𝑔 − 98.1 = 0 𝑇𝑐𝑔 = 98.1𝑁

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

∑ 𝐹𝑥 = 0

3 24 𝑇𝑎𝑏 + 𝑇𝑎𝑐 − 𝑇𝑎𝑑 = 0 5 25 

∑ 𝐹𝑦 = 0

4 7 𝑇𝑎𝑏 − 𝑇𝑏𝑐 = 0 5 25



∑ 𝐹𝑥 = 0

3 5 − 𝑇𝑎𝑏 + 𝑇𝑏𝑐 = 0 5 13 

∑ 𝐹𝑦 = 0

4 12 𝑇𝑒𝑏 − 𝑇𝑎𝑏 − 𝑇𝑏𝑐 = 0 5 13

 −

∑ 𝐹𝑦 = 0

5 15 24 𝑇𝑏𝑐 + 𝑇𝑐𝑓 − 𝑇𝑎𝑐 = 0 13 17 25 

∑ 𝐹𝑦 = 0

12 8 7 𝑇𝑏𝑐 + 𝑇𝑐𝑓 + 𝑇𝑎𝑐 = 0 13 17 25 12 8 7 𝑇𝑏𝑐 + 𝑇𝑐𝑓 + 𝑇𝑎𝑐 = 98.1𝑁 13 17 25

−98.1𝑁 +

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Matriz:

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