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ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES 1. Objetivos de la presente práctica  

Analizar la estabilidad de sistemas continuos definidos por funciones de transferencias y modelos en espacio de estados. Utilizar la aproximación de pade para analizar la estabilidad de sistemas continuos con atraso de tiempo.

2. Fundamento teórico Analizaremos la estabilidad de sistemas continuos definidos por funciones de transferencia y modelos en espacio de estados.

Un sistema G es estable si para entradas u limitadas, la salida y también es limitada (sistema BIBO estable). Función de transferencia continúa Sea G(s) una función de transferencia. La salida Y(s)=G(s)U(s) es limitada para toda U(s) limitada si los polos de G(s) tienen parte real negativa. Ejemplo

Los términos en e-αt tenderán a cero cuando el tiempo tienda al infinito. Ahora representemos un sistema en espacio de estados:

Aplicando Laplace tendremos:

Luego,

El denominador de G(s) es el polinomio característico de A, dado por det(sI-A)=0. Las raíces del polinomio característico de A son los autovalores de A. Así, si los autovalores de la matriz A esta en el semiplano izquierdo, los polos de la correspondiente función de transferencia G(s) también lo estarán. Ejemplo

Los polo s de la función de transferencia son las raíces de det (sI-A), que son los autovalores de A,{-1,-2}. Entonces, el sistema es estable pues los autovalores de A estan en el semiplano complejo izquierdo. Atención: puede haber cancelamiento de polos de G(s) con ceros de la misma. Por tanto, los polos de G(s) no siempre son iguales a los autovalores de A. Criterios de estabilidad. Estos criterios permiten verificar la estabilidad de un sistema en función de un parámetro variable. Ejemplo 𝑘

¿Para qué valores de K la función de transferencia en lazo cerrado de 𝐺(𝑠) = 𝑠+0.5 es estable?

Como para la estabilidad, el polo debe tener parte real negativa, los valores de K deben ser menores a -0.5. Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Permite verificar si todas las raíces de un polinomio pertenecen al semiplano izquierdo del plano complejo. Ejemplo Considere la ecuación:

La cual posee un coeficiente negativo. Por eso, por la condición necesaria de estabilidad, sabemos que no todas las raíces de la ecuación están en el semiplano izquierdo del plano S (para que exista un coeficiente negativo es preciso que alguna raíz se encuentre en el semiplano derecho). Por la forma factorizada de la ecuación, sabemos que existen dos raíces en el semiplano derecho, en s=2 y s=3. Para ilustrar el criterio de Routh-Hurwitz, la tabla de Routh se presenta a continuación:

Como existen dos cambios de signo en la primera columna de la tabla, la ecuación tiene dos raíces en el semiplano derecho del plano s, lo que confirma el resultado anterior. Estabilidad de sistemas con atraso de tiempo Sea la siguiente función de transferencia:

Opción: aproximar e-ӨS por cociente de polinomios y luego realizar el análisis.

Aproximación de pade Ejemplo Analizar la estabilidad de la siguiente ft:

Luego, podemos analizar la estabilidad de sistema según criterio de Routh-Hurwitz.

3.-Desarrollo del laboratorio Realizar los ejercicios propuestos por el docente en laboratorio, comparar y analizar los resultados. Con ayuda del simulink realizamos el siguiente diagrama de bloques para los ejemplos propuestos.

Utilizando el diagrama de bloques para cada ejercicio. Ejercicio 1 Determinar para qué valores de K la función de transferencia en lazo cerrado es estable?

Resolviendo por ROUTH-HURWITZ tenemos:

Entonces: El sistema será estable para todo valor de K mayores a - 0,5 Con Matlab , nos damos valores de k para ver su estabilidad: k=1(estable) k=-2(inestable).

Ejercicio 2 Para qué valores de K la función de transferencia en lazo cerrado es estable?

Por ROUTH-HURWITZ tenemos:

De donde.

El sistema será estable para todos los valores de K mayores de -0,0312 Con Matlab si por ejemplo nos damos algunos valores de k para ver su estabilidad: k=0.04 (estable) k=3 (inestable).

Ejercicio 3 Para qué valores de K la función de transferencia en lazo cerrado es estable?

Por ROUTH-HURWITZ tenemos:

El sistema será estable para el rango de: 0