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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

Facultad de Ingeniería Mecánica Licencia en Ingeniería Mecánica

Laboratorio de Mecánica de Fluidos I Instructor Gabriel Ayú Prado

Informe de Laboratorio N°1 Determinación de la Densidad en Sólidos y Líquidos

Fecha (06/05/2019)

Marco teórico Una placa sumergida en un fluido se verá sometida a una fuerza de presión (centro de presión) que actuará en forma sobre su superficie plana. Ésta fuerza depende de la profundidad a la que está el centroide del sólido y de la densidad del fluido. Considere una superficie plana que presente cualquier figura geométrica, la misma se sumerge en un fluido (líquido), como se muestra en la figura 1, el plano de esta superficie se intersecta con la superficie libre horizontal y forma un ángulo θ. La presión absoluta que esta sobre el líquido es P 0, que es la presión del ambiente o atmosférica Patm sólo si el líquido está expuesto a la atmósfera, ya que puede ser distinto de no ser así. [1]

Figura 1, Fuerza hidrostática sobre la superficie plana de una figura. Tomando en cuenta que

P

es la presión sobre la superficie, tenemos que:

P−P0 =ρgh(1) ρ

Donde

es la densidad del fluido, y

g es la aceleración gravitatoria.

Con respecto a la figura 1, se logra reescribir la ecuación anterior como: P−P0 =ρgysenθ(2) Recordando la definición de fuerza equivalente: 0

Fequ .=∫ PdA( 3) A 0

Fequ .=∫ ( P 0+ ρgysenθ ) dA=( P0 ) A+ A ( ρgsenθ ) A

0

1 ∫ ydA (4) A A

0

1 Donde ∫ ydA , es la coordenada y del centroide de superficie ( y c ) , y puede A A ser encontrada al calcular el primer momento de área. Es primordial conocer el punto de la superficie plana donde la fuerza actúa. Éste punto de estudio ( x p , y p ) se puede obtener al realizar el balance de momento entre la sumatoria de las fuerzas infinitesimales y la fuerza equivalente con respecto a los ejes x , y en torno al punto O. 0

0

0

1 y p ( F equ . )=∫ ( P 0+ ρgysenθ ) dA= A ( P0 ) ∫ ydA+ ( ρgsenθ )∫ y 2 dA (5) A A A A 0

∫ y 2 dA

Donde

es el momento de inercia sobre el eje

x

con respecto, al

A

punto O ( I xx , 0 ) . El momento de inercia suele hallarse con respecto al centriode de una figura geométrica ( I xx ,C ) , para esto se puede resolver el teorema de ejes paralelos:

( I xx , 0 )=( I xx , C ) + y 2 A (6) Al calcular la ecuación (6) tenemos que: y p= y c +

ρgsenθ I xx ,C (7) [ y c ( ρgsenθ )+ P 0 ] A

Realizamos el mismo procedimiento para calcular x p al igualar con respecto al y , que hace la fuerza equivalente y las sumatoria de las fuerzas eje infinitesimales, en torno al punto O. x p=x c +

ρgsenθ I xy ,C (8) [ y c ( ρgsenθ ) + P0 ] A I xy ,C es el producto de inercia con respecto al centroide de la geometría:

Donde 0

I xy ,C =∫ xydA(9) A

Para el caso que estamos estudiando, las ecuaciones (4), (7) y (8) se reducen a: 2 s+ b/ ¿ P0 + ρg ¿(10) Fequ .=( P 0 ) ab+ ( sρg ) ab+ab ( ρgsen 90 ° )

[

]

a b2 /2 =ab ¿ ab

2 s +b /¿ ¿ 2 s +b /¿ ¿ ¿ ab ¿ ¿ y p=¿ x p=x c (12)

Figura 2, Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical totalmente sumergida en un fluido.

Figura 3, Diagrama del equipo utilizado para la realización de la experiencia.

Donde tenemos que: b=100 mm . a=50 mm . Contrapeso=350 g .

Procedimiento Experimental 1. Se colocó la masa en el otro extremo de la figura curva del dispositivo hasta que se balanceo. 2. Después se procedió a medir con una regla la distancia desde el punto de pivote hasta el punto de la masa donde se logró el equilibrio. sabiendo que a esta distancia también se le sumó la distancia al centro de masa del contrapeso. 3. Luego se quitó el dispositivo curvo y se llenó el depósito inferior con agua. 4. Después se introdujo el dispositivo curvo, y por medio de un dispositivo de bombeo se logró incrementar el fluido en la parte superior de la base, para la toma de medidas. 5. Se realizaron dos mediciones a una elevación parcial. 6. Luego tres mediciones cuando se cubrió totalmente la superficie plana tomando en cuenta que para cada medición el contrapeso se tenía que mover para que alcanzar la posición de equilibrio el dispositivo. 7. los datos obtenidos se registraron en la tabla 1.

Resultados 1. A partir de los datos obtenidos, calculamos el momento que produce el

M

0 ) y la fuerza equivalente o de contrapeso sobre el punto de pivote ( presión hidrostática sobre la superficie plana. Registre en la tabla 2. 2. Haga un balance de momento sobre el punto pivote, de manera tal que

pueda determinar el punto de aplicación de la fuerza hidrostática ( cada uno de los casos estudiados. Registre en la tabla 2.

y p ) en

y

3. Determine el punto de aplicación de la fuerza hidrostática ( p ) a partir de las ecuaciones mencionadas en el marco teórico para cada uno de los casos estudiados. Registre en la tabla 2. Elevación (m) Distancia L (m) Distancia s (m) Distancia y (m) 0.021 0.211 0 0.160 0.041 0.201 0 0.140 0.073 0.169 0 0.089 0.111 0.117 0.011 0.066 0.136 0.080 0.036 0.056 Tabla 1. Datos experimentales empleados para el cálculo de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical y su coordenada (

Elevación (m)

M0 ( kN⋅m )

F equi (kN )

y p ) del centro de presión.

y p experimental (m)

0.021 0.74620 0.10815 0.01399 0.041 0.76695 0.41226 0.02733 0.073 0.80985 1.30693 0.04867 0.111 0.92749 3.02172 0.08500 0.136 1.13959 4.53614 Tabla 2. Resultados de los cálculos de la fuerza hidrostática sobre plana vertical y su coordenada (

y p ) del centro de presión.

y pteórico 0.01399 0.02733 0.04867 0.08500 0.12667 una superficie

Cálculos Experimentales

3

b + 2

( )

Y p= s+

ρg

( ) ab 12

[( ) ] s+

b ( ρg) ab 2

Elevación 1

(

kg

)(

3 m ( 0 . 050 m) ( 0 . 021m ) 9 .81 2 s 12

)(

)

1000 3 m 0 .021 m Y p= + 2 0. 021 m kg m 1000 3 9 . 81 2 ( 0 . 050 m×0 . 021 ) 2 m s Y P =0 .01399 m

(

)

[(

)]

)(

)(

Elevación 2

(

kg

)(

3 m ( 0 . 050 m) ( 0 . 041m ) 9 .81 2 s 12

)(

)

1000 3 m 0 .041 m Y p= + 2 0. 041 m kg m 1000 3 9 . 81 2 ( 0 . 050 m×0 . 041 ) 2 m s Y P =0 .02733 m

(

)

[(

)]

)(

)(

Elevación 3

(

kg

)(

3 m ( 0 . 050 m )( 0 . 073 m ) 9 . 81 2 s 12

)(

)

1000 3 m 0 .073 m Y p= + 2 0 .073 m kg m 1000 3 9 .81 2 ( 0 .050 m×0. 073 m ) 2 m s Y P =0 .04867 m

(

)

[(

)]

)(

)(

Elevación 4

(

Y p = 0 .011 m+ Y P =0 .085 m

(

)(

1000 kg3 9 . 81

3 m ( 0 . 050 m )( 0 . 111m ) 2 s 12

)(

)

m 0 . 111m + 2 0 .111 m kg m 1000 3 9 . 81 2 ( 0 . 050 m×0 .111 m ) 2 m s

)

[(

)(

)(

)]

Elevación 5

(

Y p = 0 .036 m+

(

)(

1000 kg3 9. 81

3 m ( 0 .050 m ) ( 0 .136 m ) 2 s 12

)(

)

[(

)]

)(

)(

Y P =0 .12667 m

[ ( )]

F eq=ab ρg s+

b 2

Elevación 1

[(

)(

[(

)(

)( )]

m 0 . 021 kg F eq=( 0 . 05 m×0 . 021 ) 1000 3 9 .81 2 m s 2 F eq=0 . 10815 N Elevación 2

)( )]

m 0 . 041 kg F eq=( 0 . 05 m×0 . 041 ) 1000 m3 9 .81 2 s 2 F eq=0 . 41226 N Elevación 3

[(

m 0 .073 m F eq=( 0 . 05 m×0 . 073 m ) 1000 kg3 9. 81 2 m s 2 F eq=1 .30693 N

)(

)(

)]

Elevación 4

[

(

kg

)(

m 0 . 111m 2 s 2

)]

)(

m 0 .136 m 2 s 2

)]

F eq=( 0 . 05 m×0 . 111m ) 1000 m3 9 . 81

)(

F eq=3 . 02172 N Elevación 5

[

F eq=( 0 . 05 m×0 . 136 m ) 1000 kg3 9. 81 F eq=4 . 53614 N

)

m 0 . 136 m + 2 0 . 136 m kg m 1000 3 9 . 81 2 ( 0 . 050 m×0 .136 m ) 2 m s

(

m

)(

M 0 =wg ´ l+ F eq ( Y P +Y ) Elevación 1

(

m

)

M 0 = 0 .35 kg×9 . 81 2 ×0 .211 m + ( 0 . 10815 ) ( 0. 01399 m+0 .187 m ) s

M 0 =0 .74620 Nm

Elevación 2 M 0 = 0 .35 kg×9 . 81 m2 ×0 .201 m + ( 0 . 41226 ) ( 0 .02733 m+0 . 159m )

(

)

s

M 0 =0 .76695 Nm

Elevación 3

(

m

)

M 0 = 0 .35 kg×9 . 81 2 ×0 .169 m + ( 0 .10815 )( 0 . 04867 m+ 0 .127 m ) s

M 0 =0 .80985 Nm

Elevación 4

(

m

)

M 0 = 0 .35 kg×9 . 81 2 ×0 .117 m + ( 3. 02172 ) ( 0 .085 m+0 . 089 m ) s

M 0 =0 .92749 Nm

Elevación 5 M 0 = 0 .35 kg×9 . 81 m2 ×0 . 08 m + ( 4 .53614 ) ( 0. 12667 m+0 . 064 m )

(

s

M 0 =1. 13959 Nm

Análisis de Cálculos

)

Análisis de Resultados

En la experiencia se lograron hacer cinco mediciones en las cuales tres fueron con el fluido parcial o sea que el área superficial no estaba completamente sumergido (s=0) logrando observar que la fuerza hidrostática es muy pequeña a comparación de cuando se tiene el área completamente sumergida. Lo que buscamos con estos datos es encontrar la fuerza hidrostática que equilibre el sistema teniendo en cuenta la utilización de una masa de 0,350 kg y que esta masa se va a encontrar a una distancia determinada del punto de pivote cuando se logra el equilibrio. Esta distancia L disminuye a medida que el fluido aumenta.

Preguntas 1- ¿Existe diferencia entre este hecho?

y p experimental y y pteórico ? ¿A qué cree que se deba

Si se observa una diferencia muy pequeña entre el centro de presión experimental y teórico que puede dar por errores de exactitud al observar la medición, por calibración del instrumento utilizado. 2- Al realizar el balance de momento sobre el punto pivotado, ¿qué fuerzas tomo en cuenta? Cuanto se tiene la superficie plana sin el contacto del agua las fuerzas que se aplicas es la del contrapeso que está dirigida hacia abajo y la fuerza del mecanismo. Cuando se tiene agua en el recipiente se aplica la fuerza aplicada en la compuerta. 3- ¿Cuál es la magnitud de la coordenada � del centro de presión?

La magnitud de la coordenada x es cero ya que la placa se encuentra en contacto con la atmosfera, es decir la presión se encuentra en ambos lados de la pieza. 4- ¿Cómo afectaría a la magnitud de la fuerza hidrostática un cambio en fluido de trabajo? Lo que afectaría la magnitud de la fuerza hidrostática seria el peso del fluido ya que al tener mayor fluido la fuerza aumenta y al tener poco fluido la fuerza va hacer más pequeña. 5- ¿Cómo afectaría a la localización del centro de presión un cambio en un fluido de trabajo? El cambio del centro de presión no es afectado por el fluido sino de las distancias que se obtienen para sacar el momento de inercia y el centroide de la figura.

Conclusiones Mediante la elaboración de este laboratorio en el que se aplicaron conceptos de hidrostática se logró calcular experimentalmente el centro de presión de un fluido a determinadas alturas observando así que la fuerza de empuje para que exista un equilibrio en el sistema es mayor a medida que se aumenta la altura del líquido.