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La identidad de Euler Publicado por ^DiAmOnD^ el 13 de Octubre de 2006 en Demostraciones, Números complejos, Otras constantes, Pi, Teoremas | 35 comentarios En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación ¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie:

Sustituímos x por z·i, usamos que i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

llegamos a:

Sustituímos z por π (Pi):

Pasando -1 a la izquierda como +1 llegamos a la identidad buscada:

http://gaussianos.com/la-identidad-de-euler/

Aplicaciones en la vida cotidiana Sin duda que Euler es uno de los matemáticos más importantes de la historia, y podemos apreciarlo en la vida cotidiana, ya que Todavía se utilizan conocimientos y aportes de este matemático en diversas actividades o en el diseño de objetos que utilizamos a diario.

Los avances que logro Euler en las matemáticas son muy utilizadas en la quimica para graficar o interpretar la reproducción de bacterias, o para calcular la desintegración radioactiva del carbono 14.

También se pueden apreciar los aportes de Euler en los postes de la Luz, en la forma que estan distribuidos los cables asemejandose bastantes a la gráfica de la función exponencial.

De dónde viene esta identidad? Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores de la historia. Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue verdaderamente un genio.

Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: “250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler” (Imagen de dominio público)

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas. Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de-1,

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por lo tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún. Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

O, resulta lo mismo escribir,

que es la identidad de Euler, considerada como decía por muchas personas como la ecuación más elegante de las matemáticas.

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La identidad de Euler 6 de enero de 2008

πi

e +1=0 La identidad de Euler (1748) es considerada la ecuación más bella de la historia de las matemáticas. El mismísimo Príncipe de las Matemáticas, Carl Friedrich Gauss, decía que quien no apreciara en ella algo sublime no será nunca un gran matemático. Richard Feynman la llamaba «nuestra joya». Se ha dicho de ella que «trasciende las profundidades mismas de la existencia, así como un soneto de Shakespeare encierra la esencia propia del amor». También ha sido votada como teorema más hermoso de las matemáticas o —junto con las ecuaciones de Maxwell— la más grande ecuación de todos los tiempos entre los lectores de publicaciones especializadas. Exagerado o no, lo cierto es que la identidad de Euler relaciona con inusual elegancia tres operaciones básicas (suma, producto y potencia) y cinco de las constantes matemáticas fundamentales:   

 

El número 0. El número 1, la unidad. El número e (2,71828…), que es la base de los logaritmos naturales o neperianos, y fundamental en el análisis matemático. El número π (3,14159…), que es básico en trigonometría y muchas ramas de las matemáticas. El número i, o unidad imaginaria, que es la base de los números complejos.

http://jaime.gomezobregon.com/la-identidad-de-euler/