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TAREA 1 - VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

JOSE JOAQUIN MORENO ARANGUREN ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS

INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

YOPAL-CASANARE 2019

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo se procederá a dar solución a ejercicios referentes a vectores en R2 y R3, matrices y determinantes; se dará explicación detallada de la solución de cada uno de los ejercicios desarrollados para entender cómo se realizan y efectúan los diferentes procesos. Además, se explicará los diferentes usos del algebra lineal en la vida diaria, en los métodos de ahorro y en los modelos para minimizar costos; dicha explicación estará en una presentación en prezi para hacerla más interactiva.

EJERCICIO 1: CONCEPTUALIZACIÓN DE VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES. Para el desarrollo de la tarea 1, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 1. Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro, un Mentefacto conceptual que ilustre alguno de los contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier otra herramienta de desarrollo de esquemas mentales. Se recomienda subirlo en formato de imagen (*.jpg, *.bmp, etc). a) Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector.

EJERCICIO 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE VECTORES EN R2 Y R3. DESCRIPCIÓN DEL EJERCICIO 2 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:

1. Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos.

ENCONTRAR MAGNITUD: Procedemos a nombre el vecto 1 como V con los puntos X = -4 y el punto Y =1 , ademas definimos el vector 2 como U con los puntos X = 3 y el punto Y = 5. V = (-4,1)

U = (3,5)

Luego para hallar cada magnitud tenemos que usar la formula |V| = sqrt(a^(2)+b^(2)) = (a) este sería el resultado de la magnitud del vector Procedemos a reemplazar los valores y a operar: |V| = sqrt((−4)^(2)+1^(2)) = sqrt (16+1)= sqrt(17) = 4.12 |U| = sqrt(3^(2)+5^(2)) = sqrt (9+25)= sqrt(34)= 5.83 ENCONTRAR DIRECCION: Para hallar la dirección usamos la formula : ϕ=tg^(-1)((b)/(a)) con esto hallamos el valor de la dirección . Procedemos a reemplazar los valores de cada vector. V ϕ=tg^(-1)((1)/(-4))= -14.036° este es el angulo del vector respecto al eje X negativo asi que restamos 180 ° - 14.036° = 165.97° Entonces respecto al eje X positivo la dirección de este vector es 165.97°

Realizamos la operación del segundo vector : U ϕ=tg^(-1)((5)/(3))= 59.03° este sería la dirección del vector U. 2. Encontrar el ángulo entre los vectores. El angulo entre los vectores es igual a la diferencia del vector con el angulo de mayor tamaño y el vector con el menor angulo asi que podríamos decir que : V ϕ = 165.97°

U ϕ = 59.03°

V ϕ – Uϕ= 106.9° El angulo entre V y U seria ϕ = 106.9°

3. Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. LA SUMA ENTRE VECTORES SE REALIZA CON LA SIGUIENTE FORMULA: V+U = (x1+x2 + y1+y2) la cual significa que se suman los puntos iguales es decir las X y las Y. Entonces realizamos la siguiente operación reemplazando valores Le damos un nombre a nuestro nuevo vector. V = (-4,1)

U = (3,5)

C = (-4,3) + (1+5) = (-1,6) Y de esta manera al igual que los otros vectores sacamos su dirección C ϕ=tg^(-1)((6)/(-1)) = -80.54 respecto al eje X negativo Pero si restamos 180° - 80.54 = 99.46 ° esta es la magnitud respecto al eje X positivo.

4. Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial.

El área del paralelo gramo es la magnitud del producto cruz. A = |U| .b Primero decimos que como el paralelogramo se da en R3 determinados que este solo se encuentra en el plano X y Y entonces su Z = (0,0) Entonces nuestros vectores serian : V = (-4,1,0)

U = (3,5,0)

Asi que seria de la siguiente forma:

V.U = {{-4x,1y,0z},{3x,5y,0z} =(1x0-5x0)x - (-4x0-3x0)y + (-4x5-3x1)z = 0+0 +(-20-3)z = -23z A = sqrt(−23^(2)) = 23 ENTONCES PODEMOS DECIR QUE EL AREA DEL PALELOGRAMOS ES 23 .

5. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

b) Dados los vectores V = 3i -4j + 2k

W= 2i+5j + 4k calcular:

1.) -3V + 2W = Primero debemos determinar que el numero al lado del vector es un escalar por lo que la formula para hallar estos valores es : 3V=(3xai)+(3xaj)+(3xak) esto se aplica para las multiplicaciones de un vector por un escalar.

-3V = (-3x3)i + (-3x-4)j + (-3x2)k = -9i + 12j - 6k

2W = (2x2)i + (2x5)j + (2x4)k = 4i+10j+8k

Asi que de esta forma procedemos para hallar el resultado final operando cada valor correspondiente: -3V + 2W = (-9i + 12j - 6k) + (4i+10j+8k) = -5i + 22j + 2k

2.) 6(V.W) = V = 3i -4j + 2k

W= 2i+5j + 4k

Primero procedemos a realizar la operación entre vectores: V.W = (3x2)i + (-4x5)j+(2x4)k = 6i + (-20)j + 8k

Teniendo el resultado de V.W continuamos multiplicando por el escalar 6; 6(V.W)= (6x6)i + (6x(-20))j + (6x8)k = 36i -120j +48k

3.) Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. Los cosenos directores son los ángulos de cada uno de los puntos con su respectivo eje. La formula para resolver este punto es ϕx=cos^(-1)(a/|U|) Asi que primero debemos hallar las magnitudes de cada uno de los vectores :

| V |= 3i -4j + 2k = sqrt(3^(2)+4^(2)+2^(2)) = sqrt(9+16+4)= sqrt(29)= 5.38

|W|= 2i+5j + 4k= sqrt(2^(2)+5^(2)+4^(2))= sqrt( 4+25+16)= sqrt( 45) = 6.71

Ya teniendo las magnitudes de cada valor procedemos a calculas los cosenos directores, en este caso calcularemos COSENOS DIRECTORES VECTOR: |V| Φx= cos^(-1)(3/ sqrt(29))= cos^(-1)(0.56)= 56.15° Φy= cos^(-1)(-4/ sqrt(29))= cos^(-1)(-0.74)= 137.7° Φz= cos^(-1)(2/ sqrt(29))= cos^(-1)(0.37)= 68.28°

COSENOS DIRECTORES VECTOR: |W| Φx= cos^(-1)(2/ sqrt(45))= cos^(-1)(0.3)= 72.76° Φy= cos^(-1)(5/ sqrt(45))= cos^(-1)(0.75)= 41.25° Φz= cos^(-1)(4/ sqrt(45))= cos^(-1)(0.6)= 53.28°

4.Calcular el producto cruz y el producto punto. Para calcula el producto cruz procedemos a colocar nuestros vectores como si fueran una matriz,

La operación del producto cruz se logra cancelando la fila i , para que de esta manera tomemos los valores de j y k y será el nuevo valor de i y asi respectivamente con cada valor de la recta. El orden de como colocar los valores luego de hallar los cruces es + - + respectivamente.

VxW

=

-

+

VxW = (-4x4 - 5x2) – (3x4 – 2x2) + (3x5 – 2x-4) = (-16-10)i - (12-4)j + (15-8)k = - 26i -8j + 7k EL PRODUCTO CRUZ DE VxW ES : - 26i -8j + 7k

PRODUCTO PUNTO: el producto punto es la multiplicación entre vectores y la suma entre sus valores: V.W = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 En este caso reemplazamos valores y operamos: V.W = (3x2)+(-4.5)+(2.4) = 6-20+8 = -6 El producto punto de esta operación es -6. 5.Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

EJERCICIO 3: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE VECTORES EN R2 Y R3 DESCRIPCIÓN DEL EJERCICIO 3 La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2 = (4,8) m/s. 

¿CUÁNTO VALE EL CAMBIO DE VELOCIDAD?

Primero que todo definimos los vectores en nuestro plano

El cambio de la velocidad es la resta entre la velocidad final y la inicial, que en este caso sería entre el vector 2 menos el vector 1 por lo que se expresaría con la siguiente formula. Δv = v2 – v1 Ya con esta fórmula sabemos que la resta de vectores se da entre valores iguales ósea entre las x y entre las y Δv = (-4,8) – (5,-3) Δv = (-4-5) - (-8,-3) como se puede ver el resultado de y es -11 queda positivo. Δv = (-9,11) m/s -> cambio de velocidad es (-9,11)



¿CUÁL ES LA VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD POR UNIDAD DE TIEMPO?

Entonces para variación de la velocidad por unidad de tiempo se da A = Δv/ Δt asi que tomamos la variación de tiempo A= (-9,11) / (29-25) = -9/4, 11/4 (m/s) La variación de velocidad por unidad de tiempo es {-9/4, 11/4} m/s.

B) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector dados:

a= (5, 12) y b=(1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en 𝜋 radianes del ángulo b y a sea 3 Primero que todo debemos definir la fórmula utilizada que nos permitirá hallar el valor de k la cual es ab = |a| . |b| . cos() a.b=(5,12) . (1,k) = (5 x 1) + (12 x k) ab=5 + 12k;

hacemos la respectiva multiplicación.

procedemos a hallar la magnitud o módulo de cada uno de los vectores: |a| = sqrt (5^ (2)+12^(2)) = sqrt(25+144)= sqrt(25+144)= sqrt(169)= 13

|b|= sqrt (1^(2) +k^(2))= sqrt(1+k^(2))

Procedemos a reemplazar la valores de la formula :

𝜋

5 + 12k= 13. sqrt((1)/(k^(2))) , Cos ( 3) 2(5 + 12𝑘) = (13)^(2) + (𝑠𝑞𝑟𝑡(1^(2) + (𝑘^(2))))^(2)

100 + 480k + 576k^(2) = 169 .(1+ k^(2) ) 100 + 480k + 576k^(2) = 169 + 169 k^(2) 100 + 480k + 576k^(2) – 169 - 169 k^(2) =0

Hacemos las respectivas restas:

(100-169) + (576 k^(2) -169 k^(2) = 0 -69 + 480k + 407k ^(2) = 0 Luego de haber obtenido los siguientes resultados vemos que se puede utilizar la fórmula cuadrática para continuar con la operación ya que como vemos cumple con

(ak ^(2) +ak - a = 0)

formula:𝑥

=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎

407k ^(2) + 480k-69=0

−480±√4802 −4(407𝑘−69)

Procedemos a reemplazar los valores de la formula .

2(407)

−480±√4802 +112332𝑘

operamos 4x407 (-69) = 112332 queda positivo porque menos por menos es positivo.

2(407) −480±√230400+112332

Completamos el resto de numero con exponentes.

814

−480±√342732

sumamos y procedemos a sacar raíz de ese valor

814 −480−585,43 814

=

- 1,308

−480+585,43

= 0,129

814

el valor de nuestro valor k seria entonces k1= -1,30889 y k2 = 0,129. Entonces procedemos a graficar los vectores ya teniendo K como escalar:

y a operar con el resto

DIRECCION DE LOS VECTORES: Procedemos a hallar la dirección del vector a: a = tg^(-1)((12)/(5)) = 67.38 ° o 1.18 radianes. Procedemos a hallar la dirección del vector b : b =tg^(-1)((-1,308)/(1))= -52.71212 ° o -.92 radianes ; si hacemos la conversión de grados del eje x seria 360 ° - 52.71° = 307.29°. teniendo en cuenta el otro escalar seria : b =tg^(-1)((0.129)/(1))= 7.44 ° o 0.13 radianes . EL SENTIDO DEL VECTOR SE REPRESENTA CON UNA FLECHA COMO MUETRA CADA VECTOR

EJERCICIO 4: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES. Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

Descripción del ejercicio 4 Sean las siguientes matrices:

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: a) A . B .C = Para realizar esta operación debemos de realizar una multiplicación de matrices en la cual para que sea posible primero debemos multiplica (A.B) y ese resultado multiplicarlo por C. A:= {{1,0,2,3},{-2,5,6,3},{1,0,3,8},{5,2,-3,0}} x B:= {{9,-5,6},{1,3,6},{0,-1,3},{5,7,-5}} La operación de cómo se operan matrices es multiplicar cada fila de la primera matriz por la columna de la segunda matriz ósea mxn , que en este caso se realizaría asi : AB = a11 a12 a13 , b11 b12 b13 , c11 c12 c13 , d11 d12 d13. Esta es la forma como queda luego de organizar la operación de multriplicacion la cual a11 seria igual que multiplicar la fila 1 de la matriz A por la columna 1 de la matriz B ya asi sucesivamente. AB = (1*9 + 1*0 + 2*0 + 3*5)(1*-5 + 0*3 + 2*-1 + 3*7) (1*6 + 0*6+2*3+3*-5) (-2*9 + 5*1 +6*0 + 3*5 ) (-2* -5 + 5*3 +6*-1 + 3*7 ) (-2* 6 + 5*6 +6* 3+ 3*-5 ) (1*9+0*1+3*0+8*5) (1*-5+0*3+3*-1+8*7) (1*6+0*6+3*3+8*-5) (5*9+2*1+-3*0+0*5) (5*-5+2*3+-3*-1+0*7) (5*6+2*6+-3*3+0*-5) Una vez teniendo la multiplicación de las matrices planteada calculamos los resultados: AB = ( 9 + 15) (-7 + 21) (6+6-15)

(-18+5+15) (10+15-6+21) ( -12+30+18-15) (9+40) (-5-3+56) (6+9-40) (45+2)(-25+6+3) (30+12-9)

Luego de tener los valores resultantes de la operación tenemos la matriz (A*B) AB= {{24,14,-3},{2,40,21},{49,48,-25},{49,48,-25},{47,-16,33}}

Despues para lograr A.B.C tenemos que multiplicar la nueva matriz por la matriz C. (A.B).C ={{24,14,-3},{2,40,21},{49,48,-25},{49,48,-25},{47,-16,33}} x {{0,2,3,5},{4,3,5,4},{-1,0,-9,8}}

Procedemos a multiplicar las matrices nuevamente. (A.B).C = (24*0+14*4+-3*-1) (24*-2+14*3+-3*0) (24*3+14*5+-3*-9) (24*5+14*4+-3*8) (2*0+40*4+21*-1) (2*-2+40*3+21*0) (2*3+40*5+21*-9) (2*5+40*4+21*8) (49*0+48*4+-25*-1) (49*-2+48*3+-25*0) (49*3+48*5+-25*-9) (49*5+48*4+-25*8) (47*0+-16*4+33*-1) (47*2+-16*3+33*0) (47*3+-16*5+33*-9) (47*5+-16*4+33*8) Operamos y organizamos las operaciones:

(A.B).C =

b)4B. 2A = En este caso podemos saber que cada número junto a la matriz es un escalar, por lo que procede a multiplicar cada número de la matriz por el número correspondiente.

4B= {{9*4,-5*4,6*4},{1*4,3*4,6*4},{0*4,-1*4,3*4},{5*4,7*4,-5*4}} 4B= {{36,-20,24},{4,12,24},{0,-4,12},{20,28,-20}}

2A={{1*2,0*2,2*2,3*2},{-2*2,5*2,6*2,3*2},{1*2,0*2,3*2,8*2},{5*2,2*2,-3*2,0*2}} 2A={{2,0,4,6},{-4,10,12,6},{2,0,6,16},{10,4,-6,0}}

Luego de haber calculado 4B y 2A procedemos a realizar la respectiva multiplicación:

 4B.2A=

No es posible realizar la multiplicación porque mxn no es igual es decir 4x3 no se puede operar con 4x4.

C) 3C. (-7B) = Primero que todo calculamos 3C multiplicando cada valor por 3, 3C=

3. =

Luego procedemos a hallar (-7B):

-7 B= {{9*-7,-5*-7,6*-7},{1*-7,3*-7,6*-7},{0*-7,-1*-7,3*-7},{5*-7,7*-7,-5*-7}} -7 B= {{-63,35,-42},{-7,-21,-42},{0,7,-21},{-35,-49,35}}

Ahora teniendo las dos matrices procedemos a realizar las respectivas multiplicaciones: 3C. (-7B) = {{0,-6,9,15}, {12,9,15,12}, {-3,0,-27,24}}*{{-63,35,-42},{-7,-21,-42},{0,7,-21},{35,-49,35}}

d) D^(2) = La operación consiste en multiplicar por si misma la matriz es decir D*D = D^(2) = {{0,3x^(2),-2},{3,y^(2),3},{1,0,x+y}}* {{0,3x^(2),-2},{3,y^(2),3},{1,0,x+y}} = {{9x^(2)-2,3x^(2)y^(2),9x^(2)-2 (x+y)},{3y^(2)+3,y^(4)+9x^(2),3y^(2)+3x+3y6},{x+y,3x^(2),(x+y)^(2)-2}}

e) D.C = Esta es una multiplicación normal de matrices por lo que es solo multiplicar : D.C= {{0,3x^(2),-2},{3,y^(2),3},{1,0,x+y}}*{{0,-2,3,5},{4,3,5,4},{-1,0,-9,8}} D.C= {{12x^(2)+2,9x^(2),15x^(2)+18,12x^(2)-16},{4y^(2)-3,3y^(2)-6,5y^(2)18,4y^(2)+39},{-x-y,-2,-9x-9y+3,8x+8y+5}}.

f) C^(T). D= C^(T) significa que a la matriz original se le aplica la traspuesta de esta, es decir que sus filas pasan a ser columnas y sus columnas a ser filas. C^(T) = {{0,-2,3,5},{4,3,5,4},{-1,0,-9,8}} = {{0,4,-1},{-2,3,0},{3,5,-9},{5,4,8}}

Ahora solo multiplicamos las matrices normalmente ya que es posible su multiplicación: C^(T). D = {{0,4,-1},{-2,3,0},{3,5,-9},{5,4,8}}*{{0,3x^(2),-2},{3,y^(2),3},{1,0,x+y}} C^(T). D= {{11,4y^(2),-x-y+12},{9,-6x^(2)+3y^(2),13},{6,9x^(2)+5y^(2),-9x9y+9},{20,15x^(2)+4y^(2),8x+8y+2}}

g) Determinante(B) = La determinante de la matriz B no es posible debido a que no es una matriz simple o cuadrática por lo tanto no se puede operar. h) Determinante(D) = La determinante consiste en seleccionar la fila con mayor cantidad de 0 o cercanos a 0 y luego tachando en cruz la matriz, luego multiplicamos usando el número de la fila por los números que tenemos resultantes y estos se multiplican en cruz y restando el resultado entre ellos. Determinante(D) = {{0,3x^(2),-2},{3,y^(2),3},{1,0,x+y}}= 0*((y^(2)*(x+y) − 0*3)) - 3x^(2)*(3*(x+y)−1*3)3*(x+y)−1*3) + -2*(3*0-y^(2))

= 0 - 3x^(2)*(3x + 3y -3) - 2(-y^(2) el resultado de la determinante es : Determinante(D) = -9x^(3)-9x^(2)y+9x^(2)+2y^(2)

i) ( B^(T) – C ) ^(T)= Lo que sugiere este ejercicio es primero tomar la traspuesta de B y restarla con la matriz C , luego del resultado que tengamos aquí procedemos a trasponerla y este sería el resultado:

B^(T) = {{9,-5,6},{1,3,6},{0,-1,3},{5,7,-5}} = {{9,1,0,5},{-5,3,-1,7},{6,6,3,-5}}

Para hallar –C procedemos a multiplicar por -1 y tenemos otra matriz.

-C= -1*{{0,-2,3,5},{4,3,5,4},{-1,0,-9,8}} = {{0,2,-3,-5},{-4,-3,-5,-4},{1,0,9,-8}}

( B^(T) – C )= {{9,1,0,5},{-5,3,-1,7},{6,6,3,-5}} + {{0,2,-3,-5},{-4,-3,-5,-4},{1,0,9,-8}} = Realizamos la respectiva suma de cada valor.

( B^(T) – C )= {{9,3,-3,0},{-9,0,-6,3},{7,6,12,-13}}

Finalmente culminamos calculando la transpuesta de la matriz anterior.

( B^(T) – C ) ^(T)= {{9,-9,7},{3,0,6},{-3,-6,12},{0,3,-13}}

EJERCICIO 5: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE MATRICES

Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación OX , Rotación en OY , Rotación en 0Z .

AQUÍ MISMO PODEMOS VER QUE ES UNA OPERACIÓN DE MATRICES EL CUAL NOS DAN LA FORMULA PARA HALLAR LO QUE NOS PIDEN. a) Encontrar el vector Pxyz , cuando el punto puvw = {{1},{1},{2}} , con ϕ=90° , con respecto al eje OY.

Lo que primero debemos de hacer es usar la formula anterior y reemplazar los ángulos y multiplicar esta matriz con la matriz que nos dan puvw = {{1},{1},{2}}

En el enunciado nos dan un angulo de 90° asi que reemplazamos en la matriz R(y, ϕ)

R(y,ϕ)= {{cos(90°),0,sen(90°)},{0,1,0},{−sen(90°),0,cos(90°)}}

Ahora podemos realizar la multiplicación.

R(y,ϕ)= {{cos(90°),0,sen(90°)},{0,1,0},{−sen(90°),0,cos(90°)}} *{{1},{1},{2}} =

= {{0,0,1},{0,1,0},{-1,0,0}}*{{1},{1},{2}} = {{0*1+0*1+1*2},{0*1+1*1+0*2},{-1*1,0*1+0*2}} Realizamos la respectiva multiplicación y sumas = {{2},{1},{-1}}

Pxyz = {{2},{1},{-1}}

b) Encontrar el vector Pxyz , cuando el punto puvw = {{1},{2},{3}} , con ϕ=45° , con respecto al eje OY. IGUALMENTE REALIZAMOS LOS MISMOS REEMPLAZOS EN LA FORMULA: R(y,ϕ)= {{cos(45°),0,sen(45°)},{0,1,0},{−sen(45°),0,cos(45°)}}

Pxyz = {{0.71,0,0.71},{0,1,0},{-0.71,0,0.71}}*{{1},{2},{3}}= {{0.71*1+0*2+0.71*3},{0*1+1*2+0*3},{-071*1+0*2+0.71*3}}

Realizamos la respectiva multiplicación y sumas: Pxyz = {{2.83}, {2}, {1.41}}

EJERCICIO 6: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS BÁSICOS SOBRE MATRICES Descripción del ejercicio 6 Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones. ELIMINACION GAUSSIANA: Es un procedimiento sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales; se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente simple como para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por observación. Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación:

Estimado estudiante tener en cuenta lo siguiente para la solución del ejercicio # 6. A. Reescribimos la tabla con las condiciones que se requieren para la preparación del alimento: Materia Prima A B C

Costo $/Kg 2,35 2 1,7

% Azúcares 12 10 8 ≥ 10

% Grasas 10 10 6 ≤ 95

% Proteínas 60 50 44 ≥ 52

% Inertes 18 30 42

Sean: 𝑥 = cantidad de materia prima A, que se requiere para preparar el alimento 𝑦 = cantidad de materia prima B, que se requiere para preparar el alimento 𝑧 = cantidad de materia prima C, que se requiere para preparar el alimento

Función objetivo (para minimizar costos): 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2.35𝑥 + 2𝑦 + 1.7𝑧 Dado que, para la preparación del alimento, no importa el contenido de inertes, no se tienen en cuenta para las restricciones. Escribimos entonces las restricciones: 12𝑥 + 10𝑦 + 8𝑧 ≥ 10 10𝑥 + 10𝑦 + 6𝑧 ≤ 95 60𝑥 + 50𝑦 + 44𝑧 ≥ 52

Como la inversa solo se puede calcular para matrices cuadradas, armamos la matriz cuadrada con los coeficientes de los porcentajes que se requieren para los alimentos A, B y C: 12 𝐴 = [10 60 

10 10 50

8 6] 44

Hallar la inversa de la matriz A de acuerdo a la siguiente fórmula: 1 𝐴−1 = ∙ (𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 )) |𝐴|

Como dice la formula primero debemos hallar la determinante de la matriz A . 12 10 8 |𝐴| = [10 10 6 ]= ((10*10*44)+(10*6*60)+(8*10*50)) – 60 50 44 ((60*10*8)+(50*6*10)+(44*10*10)) |A|= (5280+3600+4000) – (4800+3600+4400) = 80.

Determinante (A)= 80 esto significa que tiene inversa, ahora hallamos la traspuesta de A.

12 A^(t) = [10 8

10 60 10 50] 6 44

Calculamos la nueva matriz utilizando el método de las determinantes, la cual consisten en hallar la adjunta empleando la matriz de los menores y cofactores de los elementos de una matriz. (𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 ))= A^(t)11=((10*44)-(6*50))= 440-300=140 A^(t)12=((10*44)-(8*50)) =440-400=40 A^(t)13=((10*6)-(8*10))=60-80=-20 A^(t)21=((10*60)-(6*60))=440-360=80 A^(t)22=((12*44)-(8*60))=528-480=48 A^(t)23=((12*6)-(8*10))=72-80=-8 A^(t)31=((10*50)-(10*60))=500-600=-100 A^(t)32=((12*50)-(10*60))=600-600=0 A^(t)33=((12*10)-(10*10))=120-100=20

Debemos recordar que si la suma de la fila y la columna da un numero par se deja el mismo signo, pero si esta suma da número impar se le añade el signo – a la operación. Ejemplo A11= se deja igual, A21= se le añade – a la operación 80 = -80 140 (𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 ))= [ −80 −100

−40 −20 48 8 ] 0 20

ahora que ya tenemos los valores de la determinante de A y la (𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑇 )) procedemos a realizar la respectiva operación: −1

𝐴

140 1 = ∙ (𝐴𝑑𝑗([ −80 |80| −100

−40 −20 48 8 ] )) 0 20

El resultado de esta operación seria 0.0125 por cada uno de los valores de la matriz resultante :

Esta seria la inversa de A



Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad de la matriz identidad.

Para poder saber si nuestra inversa es la correcta , podemos realizar el mismo procedimiento que hicimos antes : EMPLEAMOS EL METODO DE LAS DETERMINANTES Y NUEVAMENTE ESE RESULTADO QUE NOS RESULTE, LO MULTIPLICAMOS POR 80 Y DEBERIA DARNOS LA MATRIZ IDENTIDAD. Inversa 𝐴−1 =

USAMOS EL METODO DE LAS DETERMINANTES CON ESTA MATRIZ Y NOS DA COMO MATRIZ:

Luego procedemos a multiplicar este valor por la determinante y de esta manera debería darnos nuevamente la matriz identidad después de que le hallemos la traspuesta.

=

Luego de realizar toda la operación nuevamente tenemos la matriz original.

EJERCICIO 7: USOS DEL ALGEBRA LINEAL A continuación, se describe la importancia de ésta rama de las matemáticas.

DESCRIPCIÓN DEL EJERCICIO 7 El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales, sin embargo, es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana, tales como en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, ingenierías.

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