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Tarea 1- vectores, matrices y determinantes

Presentado por: NYREIDY GIRALDO GONZALEZ CC: 1.039.697047

GRUPO: 100408_145

Tutor(a) JHON ALEXANDER GUEVARA

CURSO: ALGEBRA LINEAL.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD PROGRAMA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS OCTUBRE

Introducción

Con este trabajo se pretende que el estudiante reconozca algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos. En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas. Las matrices constituyen un instrumento muy poderoso para tratar con los modelos lineales. En esta unidad se hace la introducción a la teoría general de matrices, además se definen los determinantes estrechamente relacionados con ellas.

Tarea 1- vectores, matrices y determinantes 1) Presentar un mapa conceptual que ilustre los siguientes contenidos, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. a. Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector, Para descargar

la

herramienta

Cmaptools

diríjase

a

la

siguiente

url:

https://cmaptools.softonic.com/descargar, el mapa debe guardarlo como imagen.

Fig. 1. Mapa Conceptual Determinante 3x3

2) Operaciones con vectores: a. Hallar modulo, dirección y sentido del siguiente vector:

Fig. 2. Representación gráfica del vector A. Solución a): Basados en la definición de magnitud (módulo o longitud) de un vector 𝒖 = (𝑥1 , 𝑦1 ) como: ‖𝒖‖ = √(𝑥1 )2 + (𝑦1 )2, Se tiene que 𝑥1 = 9 y 𝑦1 = 12 , Entonces el módulo del vector sería el siguiente: ‖𝑨‖ = √(9)2 + (12)2 → ‖𝑨‖ = 15 Hallemos la dirección del vector de la siguiente manera: 𝑦 −𝑦

tan 𝜃 = 𝑥1 −𝑥0 1

0

En este caso 𝑦0 y 𝑥0 son las coordenadas del origen cero, tenemos lo

siguiente:

tan 𝜃 =

12 12 → 𝜃 = tan−1 ( ) = 53.13° 9 9

b. Dados los siguientes vectores en forma polar |𝑢| = 2; 𝜃 = 120°

|𝑣| = 3; 𝜃 = 60°

y

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: 𝑣̅ − 𝑢̅

𝑦

5𝑣̅ − 2𝑢̅

Desarrollo Para poder realizar las operaciones convertimos los vectores de coordenadas polares a coordenadas rectangulares a través de las siguientes ecuaciones: 𝑥 = 𝑟 ∗ cos(𝜃)

𝑦 = 𝑟 ∗ sin(𝜃)

Dónde: 𝑟 = 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝜃 = 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 Aplicando las ecuaciones se obtiene para se obtiene lo siguiente: 𝑥𝑣 = 3 ∗ cos(60) = 1.5 𝑦𝑣 = 3 ∗ sin(60) = 2.6 𝑣̅ = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) = (1.5 , 2.6) Para 𝑢: 𝑥𝑢 = 2 ∗ cos(120) = −1 𝑦𝑢 = 2 ∗ sin(120) = 1.73 𝑢̅ = (𝑥𝑢 , 𝑦𝑢 ) = (−1 , 1.73) ̅∶ 𝒗̅ − 𝒖 ̅ = (2.5 , 0.87) 𝑣̅ − 𝑢̅ = (1.5 − (−1), 2.6 − 1.73) → 𝒗̅ − 𝒖 ̅ − 𝟐𝒖 ̅∶ 𝟓𝒗 5𝑣̅ − 2𝑢̅ = 5 ∗ (1.5 , 2.6) − 2 ∗ (−1 , 1.73) 5𝑣̅ − 2𝑢̅ = (7.5 , 13) − (−2, 3.46)

5𝑣̅ − 2𝑢̅ = (7.5 − (−2) , 13 − 3.46) ̅ − 𝟐𝒖 ̅ = (9.5 , 9.54) 𝟓𝒗

c. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: 𝑢̅ = 2𝑖 + 9𝑗

𝑦

𝑣̅ = −6𝑖 – 4𝑗

Solución c): Basados en la ecuación que es obtenida de aplicar la ley de cosenos al triángulo formado por dos vectores con origen en o, se puede obtener el ángulo entre ellos

Fig. 3. Ángulo entre dos vectores u y v cos(𝜃) =

𝑢 ∙ 𝑣 ‖𝑢‖ ‖𝑣‖

0≤𝜃≤𝜋

Se halla primero el producto punto entre 𝑢 y 𝑣: 𝒖 ∙ 𝒗 = (2)(−6) + (9)(−4) = −48 Se halla la magnitud/módulo de 𝑢 y 𝑣: ‖𝒖‖ = √(2)2 + (9)2 = √85

‖𝒗‖ = √(−6)2 + (−4)2 = 2√13

El ángulo nos da:

cos(𝜃) =

−48

−48 → 𝜃 = cos −1 ( ) → 𝜽 = 𝟏𝟑𝟔. 𝟐𝟐° (√85)(2√13) (√85)(2√13)

d. Encuentre la distancia entre los puntos:

P1=(3, −4, 7); P2 = (3, −4,9) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(3 − 3)2 + (−4 − (−4))2 + (7 − 9)2 ‖𝑷𝟏𝑷𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝟐 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Es la distancia entre los puntos P1 y P2. ‖𝑷𝟏𝑷𝟐 e. Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. 𝑢 = −7𝑖 + 9𝑗 − 8𝑘; 𝑣 = 9𝑖 + 3𝑗 − 8𝑘 Producto punto o escalar: ⃗ ∙𝒗 ⃗ =< −7, +9, −8 > ∙ < +9, +3, −8 > → 𝒖 ⃗ ∙𝒗 ⃗ = (−7)(9) + (9)(3) ∗ (−8)(−8) 𝒖 ⃗ ∙𝒗 ⃗ = 𝟐𝟖 𝒖 Producto cruz: para hallar el producto cruz se utiliza el proceso que se describe a continuación: 𝒊 𝑢 𝑥 𝑣 = |𝑢1 𝑣1

𝒋 𝑢2 𝑣2

𝒌 𝑢 𝑢3 | → 𝑢 𝑥 𝑣 = |𝑣2 2 𝑣3

𝑢3 𝑢1 𝑣3 | 𝒊 − |𝑣1

𝑢3 𝑢1 𝑣3 | 𝒋 + |𝑣1

𝑢2 𝑣2 | 𝒌

(𝟔)

Aplicando la ecuación 6 tenemos: 𝒊 𝒋 𝒌 9 −8 −7 −8 7 𝑢 𝑥 𝑣 = |−7 9 −8| → 𝑢 𝑥 𝑣 = | |𝒊− | |𝒋 + | 3 −8 9 −8 9 9 3 −8

9 |𝒌 3

𝒖 𝒙 𝒗 = [(9)(−8) − (3)(−8)]𝒊 − [(−7)(−8) − (9)(−8)]𝒋 + [(7)(3) − (9)(9)]𝒌 𝒖 𝒙 𝒗 = −48𝒊 − 128𝒋 − 60𝒌 3) Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R

Fig. 4. Desplazamientos de partícula

Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano (figura 4), como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle: a. Las componentes de cada desplazamiento Solución: Para el desplazamiento A tenemos: 𝑨𝒙 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 4.13 ∗ cos(225°) = −2.9 𝑚 𝑨𝒚 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 4.13 ∗ 𝑠𝑒𝑛(225°) = −2.9 𝑚 ⃗𝑨 = −2.9 𝑖 − 2.9 𝑗 [𝑚] = < 2.9 𝑜𝑒𝑠𝑡𝑒 , 2.9 𝑠𝑢𝑟 > [𝑚] Para el desplazamiento B tenemos: 𝑩𝒙 = 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 5.26 ∗ cos(0°) = 5.26 𝑚 𝑩𝒚 = 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 4.13 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0°) = 0 𝑚 ⃗𝑩 ⃗ = 5.26 𝑖 + 0 𝑗 [𝑚] = < 5.26 𝑒𝑠𝑡𝑒 , 0 𝑠𝑢𝑟/𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒 > [𝑚]

Para el desplazamiento C tenemos: 𝑪𝒙 = 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 5.94 ∗ cos(90 − 64°) = 5.34 𝑚 𝑪𝒚 = 𝐶𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 5.94 ∗ 𝑠𝑒𝑛(90 − 64°) = 2.6 𝑚 ⃗𝑪 = 5.34 𝑖 + 2.6 𝑗 [𝑚] = < 5.34 𝑒𝑠𝑡𝑒 , 2.6 𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 > [𝑚] b. Las componentes del desplazamiento resultante: Se halla a través de las componentes de cada desplazamiento individual sumándolas: ⃗ → 𝑹 ⃗⃗ = 𝑨 ⃗ +𝑩 ⃗⃗ + 𝑪 ⃗⃗ = (−2.9 𝑖 − 2.9 𝑗 ) + (5.26 𝑖 + 0 𝑗) + (5.34 𝑖 + 2.6 𝑗) 𝑹 ⃗𝑹 ⃗ = (−2.9 + 5.26 + 5.34) 𝑖 + (−2.9 + 0 + 2.6) 𝑗 ⃗⃗ = 7.7 𝑖 − 0.3 𝑗 [𝑚] = < 7.7 𝑒𝑠𝑡𝑒 , 0.3 𝑠𝑢𝑟 > [𝑚] 𝑹 c. La magnitud y dirección del desplazamiento resultante: ⃗⃗ ‖ = √(7.7)2 + (−0.3)2 = 7.7058 [𝑚] → tan 𝜃 = ‖𝑹

𝑅𝑦 −0.3 = 𝑅𝑥 7.7058

−0.3 𝜃 = tan−1 ( ) = −2.23° = 357.77° 7.7058

d. El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

Fig. 6. Desplazamiento de retorno El desplazamiento que se requerirá para traer la partícula al punto de arranque O es de 7.7058 metros con dirección 90°-2.23° igual a 87.77° NO (Noroeste) partiendo de este último punto de ubicación. 4) Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. a. Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales y compruebe sus respuestas en Geogebra. 2 1 A = (1 3 5 −2 Solución: 2 1 4 A = (1 3 5) 5 −2 7

𝐹1 𝐹2

4 5) 7

1 3 5 A = (2 1 4) 5 −2 7

−2𝐹1 + 𝐹2 −5𝐹1 + 𝐹3

1 3 5 A = (0 −5 −6 ) 0 −17 −18

−1 𝐹2 5

1 3 5 A = (0 1 6/5 ) 0 −17 −18

−3𝐹2 + 𝐹1

1 A=

0 0 (

7⁄ 5 6 1 ⁄5 0 12⁄5 )

17𝐹2 + 𝐹3

0

1 0 A = (0 1 0 0

7⁄ 5 6⁄ ) 5 1

𝟏 𝐀 = (𝟎 𝟎

𝟎 𝟎) 𝟏

𝟎 𝟏 𝟎

5 𝐹3 12 7 − 𝐹3 + 𝐹1 5 6 𝐹3 + 𝐹2 5

b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de Sarrus −2 −10 7 0 0 −5 4 −1 𝐴=[ ] 0 −10 0 0 0 0 0 6

1 0 3 𝐵 = [0 1 4]

2 1 0 7 9 −5 𝐶=[ 9 3 1] −8 −8 10

Y

realice

las

siguientes

operaciones

si

es

posible:

i. B*C ii. DET(C)*DET(A)*B iii. 3 * A iiii. Compruebe todas sus respuestas en Geogebra Solución: Determinante de A: −2 −10 7 0 −5 4 𝐴=[ 0 −10 0 0 0 0

0 −1 ] 0 6

Se elige la columna C1 como la de mayor número de ceros para ser el cofactor y obtener: −5 4 𝑫𝒆𝒕𝑨 = +(−2) ∗ |−10 0 0 0 −10 − (0) | −5 −10

−10 7 −1 (0) ∗ |−10 0 0 |− 0 0 6 7 0 4 −1| 0 0

0 −10 7 0| + (0) | −5 4 6 0 0

0 −1| 0

−5 4 −1 𝑫𝒆𝒕𝑨 = (−2) ∗ |−10 0 0 | − 0 + 0 − 0 0 0 6 Aplicando la ley de Sarrus tenemos: −5 4 𝑫𝒆𝒕𝑨 = (−2) ∗ |−10 0 0 0

−1 0| 6

|

−5 4 −1 |−10 0 0 | 0 0 6

𝑫𝒆𝒕𝑨 = (−2) ∗[( (-5)(0)(6)+(4)(0)(0)+(-10)(0)(-1) ) – ( (0)(0)(-1) + (-10)(4)(6) + (-5)(0)(0) ) ] 𝑫𝒆𝒕 = (−2) ∗[240] 𝑫𝒆𝒕𝑨 = −𝟒𝟖𝟎

Fig. 7. Comprobación en Geogebra Determinante de A Determinante de B: 1 0 3 𝐵 = [0 1 4]

1 0 3 |

[0 1 4]

2 1 0

2 1 0

𝑫𝒆𝒕𝑩 = [( (1)(1)(0) + (0)(4)(2) + (0)(1)(3)) – ( (3)(1)(2) + (0)(0)(0) + (1)(1)(4))] 𝑫𝒆𝒕𝑩 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟎 − (𝟔 + 𝟎 + 𝟒) 𝑫𝒆𝒕𝑩 = −𝟏𝟎

Fig. 8. Comprobación en Geogebra determinante de B

Determinante de C:

7

9 −5 3 1] | −8 −8 10

𝐶=[ 9

7

9 −5 3 1] −8 −8 10

[ 9

𝑫𝒆𝒕𝑪 = [( (7)(3)(10) + (9)(1)(−8) + (9)(−8)(−5)) – ( (−8)(3)(−5) + (9)(9)(10) + (−8)(1)(7))]

𝑫𝒆𝒕𝑪 = 498 − (874) 𝑫𝒆𝒕𝑪 = −𝟑𝟕𝟔

Fig. 9. Comprobación en Geogebra determinante de C

i. R= B*C: 1 0 𝑅 = [0 1 2 1

𝑅11 3 7 9 −5 4] ∗ [ 9 3 1 ] = [𝑅21 𝑅31 0 −8 −8 10

𝑅11 = (1)(7) + (0)(9) + (3)(−8) = −17 𝑅12 = (1)(9) + (0)(3) + (3)(−8) = −15 𝑅13 = (1)(−5) + (0)(1) + (3)(10) = 25 𝑅21 = (0)(7) + (1)(9) + (4)(−8) = −23 𝑅22 = (0)(9) + (1)(3) + (4)(−8) = −29 𝑅23 = (0)(−5) + (1)(1) + (4)(10) = 41 𝑅31 = (2)(7) + (1)(9) + (0)(−8) = 23 𝑅32 = (2)(9) + (1)(3) + (0)(−8) = 21 𝑅33 = (2)(−5) + (1)(1) + (0)(10) = −9 −𝟏𝟕 −𝟏𝟓 𝟐𝟓 𝑹 = [−𝟐𝟑 −𝟐𝟗 𝟒𝟏 ] 𝟐𝟑 𝟐𝟏 −𝟗

𝑅12 𝑅22 𝑅32

𝑅13 𝑅23 ] 𝑅33

Fig. 10. Comprobación en Geogebra B*C ii. R= DET(C)*DET(A)*B 1 𝑅 = (−385) ∗ (−480) ∗ [0 2 1 𝑅 = (184800) ∗ [0 2 𝑹=[

0 3 1 4] 1 0

0 3 1 4] 1 0

𝟏𝟖𝟒𝟖𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟖𝟒𝟖𝟎𝟎 𝟕𝟑𝟗𝟐𝟎𝟎] 𝟑𝟔𝟗𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟒𝟖𝟎𝟎 𝟎

Fig. 11. Comprobación en Geogebra DET(C)*DET(A)*B

iii. R=3 * A −2 −10 0 −5 𝑅 =3∗[ 0 −10 0 0

7 0 4 −1 ] 0 0 0 6

−𝟔 −𝟑𝟎 𝟎 −𝟏𝟓 𝑹=[ 𝟎 −𝟑𝟎 𝟎 𝟎

𝟐𝟏 𝟎 𝟏𝟐 −𝟑 ] 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏𝟖

Fig. 12. Comprobación en Geogebra 3 * A

5) Resolución de problemas básicos sobre matrices. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos. Solución:

Bandeja tipo A:

40 𝑞𝑚 𝐴 = [160 𝑟𝑞 ] 80 𝑐𝑚

Bandeja tipo B:

120 𝑞𝑚 𝐵 = [ 120 𝑟𝑞 ] 120 𝑐𝑚

Bandeja tipo C:

150 𝑞𝑚 𝐶 = [ 80 𝑟𝑞 ] 80 𝑐𝑚

Dónde: qm= queso manchego, rq= roquefort, cm= camembert. La cantidad en kg que necesitarán se puede calcular como: 𝑅 = 50 ∗ 𝐴 + 80 ∗ 𝐵 + 100 ∗ 𝐶 40 𝑞𝑚 120 𝑞𝑚 150 𝑞𝑚 𝑅 = 50 ∗ [160 𝑟𝑞 ] + 80 ∗ [ 120 𝑟𝑞 ] + 100 ∗ [ 80 𝑟𝑞 ] 80 𝑐𝑚 120 𝑐𝑚 80 𝑐𝑚 2000 𝑞𝑚 9600 𝑞𝑚 15000 𝑞𝑚 𝑅 = [ 8000 𝑟𝑞 ] + [ 9600 𝑟𝑞 ] + [ 8000 𝑟𝑞 ] 4000 𝑐𝑚 9600 𝑐𝑚 8000 𝑐𝑚 𝟏 𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒒𝒎 𝑹= [ 𝟐𝟓𝟔𝟎𝟎 𝒓𝒒 ] [𝒌𝒈] 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎 26.6 kg de queso manchego 25.6 kg de queso roquefort 21.6 kg de queso camembert.

6) Resolución de problemas básicos sobre matrices. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg.

a. Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por

determinantes utilizando la fórmula Solución: Matriz con cantidad de fruta de las 3 personas: 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐹𝑟𝑢𝑡𝑎 = 𝐶𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐶

𝑃 [2 2 1

𝑀 1 2 2

𝑁 6] 4 3

Matriz de precios de las dos fruterías: 𝐹1 𝐹2 1.5 1.8] [𝐸𝑢𝑟𝑜𝑠/𝑘𝑔] 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠 𝐹𝑟𝑢𝑡𝑎𝑠 = 𝑃𝐹 = [ 1 0.8 2 2 Gasto de cada persona por comprar la fruta en cada frutería: 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 = 𝐶𝐹 ∗ 𝑃𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐶

𝑃 [2 2 1

𝑀 1 2 2

𝑁 𝐹1 𝐹2 6 ] ∗ [1.5 1.8] 1 0.8 4 3 2 2

𝐹1 𝐹2 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 = 𝐺 = 𝐴 [ 16 16.4 ] 𝐵 13 13.2 9.4 𝐶 9.5

Inversa: de 𝐶𝐹 : 2 1 6 𝐶𝐹 = [2 2 4] 1 2 3 2 1 𝐶𝐹 = |2 2 1 2

6 1 4| 0 3 0

0 0 1 0 0 1

𝐹1 = 𝐹1/2

1 1⁄2 3 1⁄2 0 𝐶𝐹 = |2 2 4| 0 1 1 2 3 0 0

0 0 1

𝐹2 = 𝐹2 − 2𝐹1

1 1⁄2 3 1⁄2 0 0 𝐶𝐹 = |0 1 −2| −1 1 0 1 2 3 0 0 1 1 𝐶𝐹 = |0 0

𝐹3 = 𝐹3 − 𝐹1 1 𝐹1 = 𝐹1 − 𝐹2 2

1⁄ 1⁄ 2 3 2 0 0 1 −2| −1 1 0 3⁄ 1 2 0 − ⁄2 0 1

1 0 4 1 0 0 1 0 𝐶𝐹 = |0 1 −2| −1 0 3⁄2 0 − 1⁄2 0 1

3 𝐹3 = 𝐹3 − 𝐹2 2

1 0 𝐶𝐹 = |0 1 0 0

0 0 4 1 −1 1 0 −2| 3 3 1 − ⁄2 1

1 0 𝐶𝐹 = |0 1 0 0

1 4 −1 −2| 1 1/3

1 0 𝐶𝐹 = |0 1 0 0

−1⁄ 4⁄ −4⁄ 0 3 3 3 −2| −1 1 0 1 1/3 − 1⁄ 3 1/3

1 0 𝐶𝐹 = |0 1 0 0

−1⁄ 4⁄ −4⁄ 3 3 3 0 5 1 2 ⁄3 ⁄3 0| − ⁄3 1 1/3 − 1⁄3 1/3

𝐹3 = 𝐹3/3

0 0 1 0 1 − ⁄3 1/3

𝐶𝐹−1

𝐹1 = 𝐹1 − 4𝐹3

𝐹2 = 𝐹2 + 2𝐹3

−1⁄ 4⁄ −4⁄ 3 3 3 5⁄ 1⁄ 2⁄ − = 3 3 3 1 1 − 1⁄3 [ 3 3 ]

Inversa por método 2: 𝐴−1 =

1 ∗ 𝐴𝑑𝑗𝐶𝑓 𝐷𝑒𝑡𝐶𝑓

Determinante de Cf 2 1 6 𝐶𝑓 = [2 2 4]

1 2 3

2 1 6 |

[2 2 4]

1 2 3

𝑫𝒆𝒕𝑪𝒇 = [( (2)(2)(3) + (1)(1)(4) + (2)(2)(6)) – ( (1)(2)(6) + (2)(1)(3) + (2)(2)(4))] 𝑫𝒆𝒕𝑪𝒇 = 𝟒𝟎 − 𝟑𝟒 𝑫𝒆𝒕𝑪𝒇 = 𝟔

𝐴𝑑𝑗𝐶𝑓 = 𝐶 𝑇

Adjunta: 𝐶 𝑇 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝑓

𝐶11 𝐶 = [𝐶21 𝐶31

𝐶12 𝐶22 𝐶32

𝐶13 −2 −2 2 𝐶23 ] = [ 9 0 3] 𝐶33 2 3 2

𝐶11 = (2)(3) − (2)(4) = −2 ∗ (−1)1+1 = −2 𝐶12 = (2)(3) − (1)(4) = 2 ∗ (−1)1+2 = −2 𝐶13 = (2)(2) − (2)(1) = 2 ∗ (−1)1+3 = 2 𝐶21 = (1)(3) − (2)(6) = −9 ∗ (−1)2+1 = 9 𝐶22 = (2)(3) − (1)(6) = 0 ∗ (−1)2+2 = 0 𝐶23 = (2)(2) − (1)(1) = 3 ∗ (−1)2+3 = −3 𝐶31 = (1)(4) − (2)(6) = −8 ∗ (−1)3+1 = −8 𝐶32 = (2)(4) − (2)(6) = −4 ∗ (−1)3+2 = 4 𝐶33 = (2)(2) − (2)(1) = 2 ∗ (−1)3+3 = 2 −2 9 −8 𝐶 = [−2 0 4 ] 2 3 2 𝑇

Aplicando la ecuación del segundo método tenemos:

𝐶𝐹−1 =

𝐶𝐹−1

1 −2 9 −8 ∗ [−2 0 4 ] 6 2 3 2

−1/3 3/2 −4/3 2/3 ] = [−1/3 0 1/3 1/2 1/3

7) Ejercicio Usos del algebra lineal A continuación se describe la importancia de ésta rama de las matemáticas. Descripción del ejercicio 7 El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales, sin embargo es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana, tales como en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, ingenierías. Ejemplo:

Link Prezi https://prezi.com/p/ytoqn_hwtr-7/

a. Usos del álgebra lineal en la vida cotidiana La manera en que esta rama de las matemáticas impacta e influye en nuestro día a día es sorprendente, ya que se encuentra detrás de muchas de nuestras actividades cotidianas, que a simple vista pareciera que nada tienen que ver con el álgebra lineal, ya sea: realizando una búsqueda en internet, escuchando música en algún reproductor vía streaming o en el desarrollo de diversos productos. El álgebra se aplica cuando hacemos compras, como por ejemplo: si compramos 5 lápices y 6 borradores en nuestra mente se representa con 5a + 6b y si nos da los valores/precios de a y b nos facilita más para sacar el total de los precios, no solo en precios sino también en la solución de problemas financiero o contables de nuestra vida personal b. Cómo influye el álgebra lineal en el programa de estudio escogido (administración de empresas) (aplicación). Para un administrador de empresas es importante ya que se puede llevar los registros de ingresos, gastos, calcular saldos para un tiempo determinado y llevar un registro detallado de las transacciones a largo plazo, con estos resultados se puede conocer la situación financiera en que se encuentra la empresa en determinado momento y tomar decisiones acertadas a la hora de efectuar cualquier transaccion que tenga que ver con la operación de la empresa, en lo que se refiere la optimización de recursos escasos, todo esto hace del algebra lineal una herramienta vital en la formación de nosotros como estudiantes de esta carrera.

Conclusiones Con el desarrollo de este trabajo reconocimos y aplicamos los conceptos y ejercicios de la Unidad 1, cuyo contenido puntual es la solución de matrices, vectores y determinantes. Esta materia tiene una gran importancia, ya que nos permite resolver los diferentes enfoques empresariales en lo que respecta a su desarrollo financiero y que a través de matrices, sistemas lineales podremos evidenciar su funcionamiento y así tomar de decisiones, respecto al rumbo que deberá tomar una compañía en determinadas situaciones

Referencias

David, L. (2007). Álgebra Lineal y Sus Aplicaciones. México: Pearson Educación. Ditutor. (2015). Obtenido de https://www.ditutor.com/determinantes/metodo_sarrus.html Kolman, B., & R. Hill, D. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. Morales, C. (2011). Ciencias de la Administración - Introducción al álgebra Lineal y los métodos. Medellín: Institución Universitaria Esumer. Rodriguez, B. (11 de Marzo de 2016). Algebra https://bechyalgebralineal.wordpress.com/generalidades/

Lineal.

Obtenido

de

Rojas Matas, A., & Cano Rojas, A. (2009). Aplicaciones del álgebra Lineal en la vida cotidiana. XIV JAEM GIRONA, 1-2.