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• Yenny Alexandra Bacca Cuasapaz

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g. Un triángulo tiene como vértices a (𝟏, 𝟑), (𝟒, −𝟐)𝒚 (−𝟑, 𝟔). Dibuje en un plano cartesiano la situación y encuentre el coseno de cada uno de sus ángulos. Distancia entre dos puntos 𝑃1 = (𝑋1 , 𝑌1 ) 𝑃2 = (𝑋2 , 𝑌2 ) √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑋2 )²

√(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑋2 )²

√(−3 − 1)2 + (6 − 3)² = 5 √(4 − 1)2 + (−2 − 3)² = √34 2

√(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑋2 )² √(−3 − 4)2 + (6 − (−2)) = √113

La ley del coseno en este caso se conoce la longitud de los 3 lados del triangulo cos 𝐵 =

𝑏 2 −𝑎2 −𝑐 2 −2𝑎𝑐

2

=

(√34) −(5)2 −(√113)² −2∗5∗√113

= 0.97834

𝐵 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,97834 = 11.94° 2

𝑐 2 − 𝑎2 − 𝑏 2 (√113) − (5)2 − (√34)² cos 𝐶 = = = 0.92609 −2𝑎𝑏 −2 ∗ 5 ∗ √34 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,926099 = 22.16° 2

𝑎2 − 𝑏 2 − 𝑐 2 (5)2 − (√34) − (√113)² cos 𝐴 = = = 0.98413 −2𝑏𝑐 −2 ∗ √34 ∗ √113 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 −1 (0,98413) = 10,22°

I Determine una ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas de las rectas:

a) Contiene los puntos (𝟓, −𝟏, 𝟒) y (𝟔, 𝟐, 𝟓) b) Contiene el punto (𝟏, 𝟑, 𝟐) y es paralela a 𝟑𝒊 − 𝒋 − 𝒌 Contiene los puntos (𝟓, −𝟏, 𝟒) y (𝟔, 𝟐, 𝟓) Utilizamos la fórmula de la ecuación canónica o simétrica de la recta. x - xa

=

y - ya

=

z - za

xb - xa yb - ya zb - za Se coloca la fórmula las coordenadas de puntos: x-5 y - (-1) z-4 = = 6-5 2 - (-1) 5-4 Ecuación canónica de la recta: x-5 y+1 z-4 = = 1 3 1 Se encuentra la ecuación paramétrica de la recta se Utiliza la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta: x = l t + x1 y = m t + y1 z = n t + z1 donde las:  

{l; m; n} - coordenadas del vector director: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 (x1, y1, z1) - coordenadas de un punto situado en la recta (coordenadas de un punto A).

Ecuación vectorial ̅̅̅̅ = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = { 6 - 5 ; 2 - (-1) ; 5 - 4 } = { 1 ; 3 ; 1 } 𝐴𝐵 Ecuación paramétrica de la recta: x=t+5 y = 3t - 1 z=t+4 B. Contiene el punto (𝟏, 𝟑, 𝟐) y es paralela a 𝟑𝒊 − 𝒋 − 𝒌 la ecuación canónica de la recta se Utiliza la fórmula de la ecuación canónica o simetrica de la recta: x - xa = y - ya = z - za

xb - xa yb - ya zb - za Pongamos en la fórmula las coordenadas de puntos: x-1 y-3 z-2 = = 3-1 (-1) - 3 (-1) - 2 Ecuación canónica de la recta: x-1 y-3 z-2 = = 2 -4 -3

Encuentra la ecuación paramétrica de la recta Utilizamos la fórmula de la ecuación paramétrica de la recta: x = l t + x1 y = m t + y1 z = n t + z1 donde las:  

̅̅̅̅ {l; m; n} - coordenadas del vector director: 𝐴𝐵 (x1, y1, z1) - coordenadas de un punto situado en la recta (coordenadas de un punto A).

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = { 3 - 1 ; -1 - 3 ; -1 - 2 } = { 2 ; -4 ; -3 } Ecuación paramétrica de la recta: x = 2t + 1 y = -4t + 3 z = -3t + 2

J Determine la por la ecuación del plano que contiene los puntos: a) (1, 1, 1), (1, 1,0) y (1,0,0)

b) (2, 1, 1), (3, 2, 1) y (3, 1, –1) a)

(1, 1, 1), (1, 1,0) y (1,0,0)

Para calcular la ecuación del plano se utiliza la siguiente formula: 𝑥 − 𝑥𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑥𝐶 − 𝑥𝐴

𝑦 − 𝑦𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴

𝑧 − 𝑧𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 = 0 𝑧𝐶 − 𝑧𝐴

Se introduce datos y se reduce la expresión. 𝑥−1 1−1 1−1

𝑦−1 𝑧−1 1−1 0−1 =0 0−1 0−1

𝑥−2 𝑦−1 0 0 0 −1

𝑧−1 −1 = 0 −1

(𝑥 − 2)(0(−1) − (−1) − (−1)) − (𝑦 − 1)(0(−1) − (−1)0) + (𝑧 − 1)(0(−1) − 0 ∗ 0) =0 (−1)(𝑥 − 1) + 0(𝑦 − 1) + 0(𝑧 − 1) = 0 Ecuación: −𝑥 + 1 = 0

b)

(2, 1, 1), (3, 2, 1) y (3, 1, –1)

Para calcular la ecuación del plano se utiliza la siguiente formula: 𝑥 − 𝑥𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 𝑥𝐶 − 𝑥𝐴

𝑦 − 𝑦𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴

𝑧 − 𝑧𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 = 0 𝑧𝐶 − 𝑧𝐴

Se introduce datos y se reduce la expresión. 𝑥−2 𝑦−1 𝑧−1 3−2 2−1 1−1 = 0 3 − 2 1 − 1 (−1) − 1 𝑥−2 𝑦−1 1 1 1 0

𝑧−1 0 =0 −2

(𝑥 − 2)(1(−2) − 0 ∗ 0) − (𝑦 − 1)(1(−2) − 0 ∗ 1) + (𝑧 − 1)(1 ∗ 0 − 1 ∗ 1) = 0

(−2)(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) + (−1)(𝑧 − 1) = 0 Ecuación: −2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 3 = 0

A. Halle la ecuación del conjunto de todos los puntos de intersección del plano:

a) 𝝅𝟏 : −𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎 y 𝝅𝟐 : −𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟕𝒛 − 𝟓 = 𝟎

B. Encuentre el punto de intersección de la recta:

𝒙 = 𝟒 + 𝟓𝒕 𝒚 = −𝟐 + 𝒕𝝐ℝ 𝒛=𝟒−𝒕 Y el plano 𝝅𝟏 : 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝟕𝒛 + 𝟖 = 𝟎 𝟒 + 𝟓𝒕 = 𝟎 𝟒 + 𝟓𝒕 − 𝟒 = 𝟎 − 𝟒 Se simplifica 𝟓𝒕 = −𝟒 Lo que esta multiplicando pasa al otro lado a dividir 𝒕=−

𝟒 𝟓

𝟒 (− , 𝟎) 𝟓 𝟒

Puntos de intersección con el eje x de la ecuación (− 𝟓 , 𝟎) 𝒚= 𝟒+𝟓∗𝟎 Se resuelve la operación 𝒚=𝟒+𝟎=𝟒 Puntos de intersección con el eje y=(0,4) 𝟒

Puntos de intersección: 𝒙 = (− 𝟓 , 𝟎) 𝒚 = (𝟎, 𝟒)