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JEFFERSON RIASCOS JOJOA 216033626 TALLER METODO GRAFICO 1. MAXIMIZAR Z = 16X1 + 12X2 S.A.R.: 4X1 + 2X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 48 X1 ≥ 0; X2 ≥ 0 •

GRAFICACION DE RESTRICCIONES: 4X1 + 2X2 = 60 → 0 + 2X2 = 60 → 𝑿𝟐 = 𝟑𝟎 → 𝐏(𝟎, 𝟑𝟎) 4X1 + 2X2 = 60 → 4X1 + 0 = 60 → 𝑿𝟏 = 𝟏𝟓 → 𝐏(𝟏𝟓, 𝟎) 2X1 + 4X2 = 48 → 0 + 4X2 = 48 → 𝑿𝟐 = 𝟏𝟐 → 𝐏(𝟎, 𝟏𝟐) 2X1 + 4X2 = 48 → 2X1 + 0 = 48 → 𝑿𝟏 = 𝟐𝟒 → 𝐏(𝟐𝟒, 𝟎)

•

DETERMINACION DE LA REGION DE SOLUCIONES FACTIBLES: 4X1 + 2X2 ≤ 60 → 0 + 0 ≤ 60 → 𝐕𝐄𝐑𝐃𝐀𝐃𝐄𝐑𝐎 2X1 + 4X2 ≤ 48 → 0 + 0 ≤ 48 → 𝐕𝐄𝐑𝐃𝐀𝐃𝐄𝐑𝐎 X2

V1 V2

V4 X1 V3

•

EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN LOS VÉRTICES DE LA REGIÓN DE FACTIBILIDAD: - POR EXPLORACIÓN EXHAUSTIVA: ❖ V1 → (0,12) ❖ V3 → (15,0) ❖ V4 → (0,0) ❖ V2 → Se necesita determinar 4X1 + 2X2 = 60 2X1 + 4X2 = 48

[1] [2]

Se multiplica Ecuación [1] por -2 −8X1 − 4X2 = −120 2X1 + 4X2 = 48 −6X1 + 0X2 = −72 X1 = 12

X2 =

48 − 2X1 48 − 2(12) = =6 4 4 V2 → (12,6)

-

EVALUACION DE LOS VERTICES EN LA FUNCION OBJETIVO: ▪ Z = 16(0) + 12(12) = 144 ▪ Z = 16(15) + 12(0) = 240 ▪ Z = 16(0) + 12(0) = 0 ▪ 𝒁 = 𝟏𝟔(𝟏𝟐) + 𝟏𝟐(𝟔) = 𝟐𝟔𝟒

Como el objetivo es maximizar, el valor óptimo para esta función es V2 → (12,6), siendo el valor optimo 264.

2. MAXIMIZAR Z = 4X1 + 2X2 S.A.R.: 4X1 + 4X2 ≤ 60 2X1 + 4X2 ≤ 60 X1 ≥ 0; X2 ≥ 0 •

GRAFICACION DE RESTRICCIONES: 4X1 + 4X2 = 60 → 0 + 4X2 = 60 → 𝑿𝟐 = 𝟏𝟓 → 𝐏(𝟎, 𝟏𝟓) 4X1 + 4X2 = 60 → 4X1 + 0 = 60 → 𝑿𝟏 = 𝟏𝟓 → 𝐏(𝟏𝟓, 𝟎) 2X1 + 4X2 = 60 → 0 + 4X2 = 60 → 𝑿𝟐 = 𝟏𝟓 → 𝐏(𝟎, 𝟏𝟓) 2X1 + 4X2 = 60 → 2X1 + 0 = 60 → 𝑿𝟏 = 𝟑𝟎 → 𝐏(𝟑𝟎, 𝟎)

•

DETERMINACION DE LA REGION DE SOLUCIONES FACTIBLES: 4X1 + 4X2 ≤ 60 → 0 + 0 ≤ 60 → 𝐕𝐄𝐑𝐃𝐀𝐃𝐄𝐑𝐎 2X1 + 4X2 ≤ 60 → 0 + 0 ≤ 60 → 𝐕𝐄𝐑𝐃𝐀𝐃𝐄𝐑𝐎

X2

V1

V2 X1

V3

•

EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN LOS VÉRTICES DE LA REGIÓN DE FACTIBILIDAD: - POR EXPLORACIÓN EXHAUSTIVA: ❖ V1 → (0,15) ❖ V2 → (0,0) ❖ V3 → (15,0)

-

EVALUACION DE LOS VERTICES EN LA FUNCION OBJETIVO: ▪ Z = 4(0) + 2(15) = 30 ▪ Z = 4(0) + 2(0) = 0 ▪ 𝐙 = 𝟒(𝟏𝟓) + 𝟐(𝟎) = 𝟔𝟎

Como el objetivo es maximizar, el valor óptimo para esta función es V3 → (15,0), siendo el valor optimo 60.

3. MINIMIZAR Z = 10X1 + 20X2 S.A.R.: 2X1 + 3X2 ≤ 30 3X1 + 4X2 ≥ 36 2X1 + X2 ≥ 10 X1 ≥ 0; X2 ≥ 0 •

GRAFICACION DE RESTRICCIONES: 2X1 + 3X2 = 30 → 0 + 3X2 = 30 → 𝑿𝟐 = 𝟏𝟎 → 𝐏(𝟎, 𝟏𝟎) 2X1 + 3X2 = 30 → 2X1 + 0 = 30 → 𝑿𝟏 = 𝟏𝟓 → 𝐏(𝟏𝟓, 𝟎) 3X1 + 4X2 = 36 → 0 + 4X2 = 36 → 𝑿𝟐 = 𝟗 → 𝐏(𝟎, 𝟗) 3X1 + 4X2 = 36 → 3X1 + 0 = 36 → 𝑿𝟏 = 𝟏𝟐 → 𝐏(𝟏𝟐, 𝟎) 2X1 + X2 = 10 → 0 + X2 = 10 → 𝑿𝟐 = 𝟏𝟎 → 𝐏(𝟎, 𝟏𝟎) 2X1 + X2 = 10 → 2X1 + 0 = 10 → 𝑿𝟏 = 𝟓 → 𝐏(𝟓, 𝟎)

•

DETERMINACION DE LA REGION DE SOLUCIONES FACTIBLES: 2X1 + 3X2 ≤ 30 → 0 + 0 ≤ 30 → 𝐕𝐄𝐑𝐃𝐀𝐃𝐄𝐑𝐎 3X1 + 4X2 ≥ 36 → 0 + 0 ≥ 36 → 𝐅𝐀𝐋𝐒𝐎 2X1 + X2 ≥ 10 → 0 + 0 ≥ 10 → 𝐅𝐀𝐋𝐒𝐎

V1

X2

V3

X1 V4

•

EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN LOS VÉRTICES DE LA REGIÓN DE FACTIBILIDAD: - POR EXPLORACIÓN EXHAUSTIVA: ❖ V1 → (0,10) ❖ V2 → (15,0) ❖ V4 → (12,0) ❖ V3 → Se necesita determinar 2X1 + X2 = 10 3X1 + 4X2 = 36

[1] [2]

Se multiplica Ecuación [1] por -4 −8X1 − 4X2 = −40 3X1 + 4X2 = 36 −5X1 + 0X2 = −4 4 X1 = = 0.8 5 X2 = 10 − 2X1 = 10 − 2(0.8) = 8.4 V3 → (0.8,8.4)

V2

-

EVALUACION DE LOS VERTICES EN LA FUNCION OBJETIVO: ▪ Z = 10(0) + 20(10) = 200 ▪ Z = 10(15) + 20(0) = 150 ▪ 𝒁 = 𝟏𝟎(𝟏𝟐) + 𝟐𝟎(𝟎) = 𝟏𝟐𝟎 ▪ 𝑍 = 10(0.8) + 20(8.4) = 176

Como el objetivo es minimizar, el valor óptimo para esta función es V4 → (12,0), siendo el valor optimo 120.