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MICROECONOMÍA. MERCADOS Y COMPETENCIA GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS CURSO 2012-2013

INTRODUCCIÓN: PRODUCCIÓN Y COSTES INTRODUCCIÓN LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN: ANÁLISIS A CORTO Y LARGO PLAZO Características de la función de producción Productividad total, media y marginal de un factor: Un análisis a corto plazo El largo plazo: Rendimientos de escala

LAS POSIBILIDADES DE SUSTITUCIÓN: ISOCUANTAS EL PRECIO DE LOS FACTORES Y LA FUNCIÓN DE COSTES Minimización de los costes de la producción Las demandas condicionadas de factores

COSTES TOTALES, MEDIOS Y MARGINALES A CORTO Y LARGO PLAZO El largo plazo El corto plazo: Costes fijos y variables Relación entre las curvas de costes a corto y largo plazo

APÉNDICE: FORMAS ESPECÍFICAS DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Tecnologías Leontief Tecnologías lineales Tecnologías Cobb-Douglas

1

PRODUCCIÓN Y COSTES INTRODUCCIÓN En un sistema libre de mercado como el que suponemos, el objetivo final de la empresa es alcanzar el máximo beneficio posible con los recursos existentes y las técnicas productivas disponibles. De forma simple el beneficio de la empresa se puede plantear como la diferencia entre los ingresos obtenidos por la venta del producto en el mercado y el coste de su producción

  I C La obtención del máximo beneficio posible se podría plantear directamente sobre la expresión anterior, pero nos encontramos con el problema de que los ingresos de las ventas van a depender de una forma determinante de las condiciones del mercado en el que se desenvuelva la competencia, o dicho de otra forma del poder que la empresa tenga en el mercado. No será lo mismo maximizar el beneficio bajo supuestos de competencia perfecta, en donde la empresa carece absolutamente de poder, que bajo los supuestos de monopolio, en donde la empresa tiene capacidad para fijar el precio, o en los estados intermedios de oligopolio. Por tanto, para estudiar la maximización de beneficios de la empresa debemos saber en qué condiciones se va a desarrollar la competencia en el mercado. Antes de abordar la maximización del beneficio nos vamos a plantear un problema que no requiere la definición previa de unas condiciones de mercado y por tanto es común para cualquier empresa, tenga o no poder de mercado, que es en qué manera producir una determinad cantidad de output de la mejor forma y al menor coste posibles. Se supondrá que la empresa conoce la forma de producir, cómo combinar los factores productivos para obtener un output. El coste será el derivado de la compra de dichos factores y se tratará de encontrar la forma de hacerlo mínimo. Matemáticamente se trata de minimizar el coste necesario para obtener una determinada cantidad de output

LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN: ANÁLISIS A CORTO Y LARGO PLAZO Características de la función de producción La función de producción (o tecnología) indica la cantidad física de output que se puede producir con determinadas cantidades físicas de inputs. Es una relación puramente técnica. Se expresa de la forma siguiente:

q  f  x1 , x 2 ,...., x n   q x1 , x 2 ,...., x n 

Supondremos que la función de producción incorpora sólo las combinaciones productivas eficientes, es decir, que si para alcanzar un determinado nivel de output se puede utilizar dos combinaciones diferentes de inputs, y una requiere mayores cantidades de todos ellos, esta posibilidad será descartada, y no formará parte de la función de producción por ser ineficiente. En cuanto a la forma de la función de producción, normalmente se utilizan funciones matemáticas que son continuas, diferenciables y estrictamente cuasicóncavas. A continuación vamos a analizar tres aspectos de la función de producción. En primer lugar, veremos de qué forma afecta a la producción total la variación en la cantidad de un factor, cuando todos los demás permanecen constantes, a través de los conceptos de productividad de los factores. A continuación analizaremos las variaciones de escala, las alteraciones que variaciones de todos los factores en la misma proporción provocan sobre el nivel de producción. Y por último, veremos la sustituibilidad entre factores manteniendo constante el nivel de producción, a través de las isocuantas 2

Productividad total, media y marginal de un factor: Un análisis a corto plazo La productividad total de un factor concreto, por ejemplo, xi, en la producción de Q, se define como la cantidad de Q que puede obtenerse del input xi manteniendo fijas las cantidades de los demás factores, la función de productividad total o de producto total del factor xi, sería:

q xi  f  x1 *, x 2 *,....xi ,...., x n * Más utilizados que este concepto, son sus valores medio y marginal:

PMe xi 

q xi

PMa xi 

q xi

La productividad media o producto medio que es la cantidad que de media produce cada unidad del factor estudiado. Y la productividad marginal o producto marginal que es la cantidad de output que genera la última unidad de factor empleada en la producción (en todos los casos se suponen constantes las cantidades de todos los demás factores). Existe una relación entre ambos, ya que siempre que el producto marginal esté por encima del medio este será creciente y viceversa. Estas medidas se expresan en unidades físicas de output, lo que complica las comparaciones entre diferentes procesos. Una medida que no depende de las unidades en que se esté midiendo es la elasticidad output o producto del factor, definida como la relación entre la variación porcentual del output y la variación porcentual del factor:

 q,x  i

dq q dq xi PMai   dxi xi dxi q PMei

La elasticidad producto de un factor será mayor, menor o igual que 1 según la

PMai sea mayor, menor o

igual que la PMei . En función de estos valores se pueden distinguir tres etapas en la producción (Cassel): Etapa I:

Etapa II:

Etapa III:

PMei  0   q , xi  1 xi PMei 0  PMaii  PMei   0   q , xi  1 xi PMei  0   q , xi  0 PMaii  0  xi PMaii  PMei



Estas relaciones se pueden ver gráficamente:

3

q xi

xi q xi

PMei PMai

I

II

III

xi

Se comprueba además la ley de los rendimientos decrecientes o de la productividad marginal decreciente que indica que cuando solamente varía uno de los factores permaneciendo constantes todos los demás en algún momento la producción que este factor añade disminuirá, llegando incluso a ser negativo si se continúa aumentando la cantidad del factor.

El largo plazo: Rendimientos de escala Se dice que varía la escala de la producción cuando varían todos los factores en la misma proporción. Normalmente se considera que es posible repetir simplemente el proceso de producción, con lo que se estaría duplicando la escala, y se obtendría el doble de producción. Con lo que una variación proporcional de todos los factores provocaría un aumento del output en la misma proporción. Generando lo que llamamos rendimientos constantes de escala. Sin embargo puede ocurrir que al aumentar en una proporción determinada todos los factores ello permita utilizar un método de producción más eficiente, que permita aumentar la producción en una proporción mayor. Estaríamos en el caso de la existencia de rendimientos crecientes de escala. Una tercera posibilidad es que ocurra lo contrario, es decir que un incremento de todos los factores en la misma proporción provoque aumentos en la producción de menor proporción. Es decir que existan rendimientos decrecientes de escala. Rendimientos crecientes y decrecientes se suelen explicar en base a la existencia de costes fijos aún a largo plazo como los ligados a I+D que encarecen los costes medios en los niveles bajos de producción. En realidad en estos casos no se trata exactamente de variaciones de escala en el sentido de que todos 4

los factores varían en la misma proporción, ya que de hecho algo permanece fijo. Según la proporción en que varíe el output al hacerlo los factores (en escala) tendremos rendimientos crecientes a escala cuando aquella sea mayor, decrecientes cuando sea menor, y constantes si el output varía en la misma proporción que los factores. Los rendimientos de escala pueden variar para diferentes niveles de producción. Para medir esta variación se utiliza la elasticidad de escala que se define como el cociente entre la variación porcentual en la producción y la variación porcentual en las cantidades de todos los factores, o sea variación porcentual de la escala

e x  

dq q dt dxi Donde t a la variación en la escala  , i t xi dt t

La tecnología muestra localmente rendimientos crecientes, constantes o decrecientes de escala cuando e x  es mayor, igual o menor que 1, lo que indicará que la producción aumenta en mayor, igual o menor proporción de lo que lo hacen los factores. n

La elasticidad de escala es igual a la suma de las elasticidades producto de los factores

e x     q , xi . i 1

Se puede comprobar esta igualdad diferenciando la función de producción

dq 

q  f  x1 , x 2 ,...., x n  :

q q q dx1  ...  dxi  ....  dx n x1 xi x n

Multiplicando y dividiendo cada sumando por la cantidad del factor correspondiente y dividiendo los dos lados de la igualdad por q tendremos:

q x n dx n q xi dxi dq q x1 dx1   ...   ....  q x1 q x1 xi q xi x n q x n Ya tenemos las expresiones de las elasticidades producto de cada uno de los factores. Si además tenemos en cuenta que lo que se hace es una variación a escala de todos los factores, todas las variaciones coincidirán: dx1 x1  ....  dxi xi  ....  dx n x n  dt t :

dq  n  dt     q , xi  q  i 1  t

n

 e x     q , xi i 1

Si las productividades marginales de todos los factores son positivas, la igualdad implica que para que haya rendimientos decrecientes a escala, e x   1 , todas las elasticidades producto deben ser menores que 1 (se cumplirá en todos los factores la ley de rendimientos decrecientes). Para rendimientos constantes a escala, las elasticidades producto no podrán sobrepasar la unidad, y para rendimientos crecientes las elasticidades producto pueden tomar cualquier valor, podrán ser mayores o menores que 1. El gráfico siguiente muestra la tendencia de crecimiento del output en relación al aumento proporcional de todos los factores. Con rendimientos crecientes de escala la tendencia es creciente convexa, aumenta más el output proporcionalmente. Con rendimientos constantes de escala la tendencia de crecimiento de la producción es una recta, ya que ambos, producción y factores aumentan en la misma proporción. Por último para rendimientos decrecientes la tendencia es creciente cóncava, al aumentar menos proporcionalmente el output que los factores

5

q

e x   1 Rendimientos crecientes e x   1 Rendimientos constantes

e x   1 Rendimientos decrecientes

t

LAS POSIBILIDADES DE SUSTITUCIÓN: ISOCUANTAS En muchos casos, los factores se pueden sustituir unos por otros en determinado grado, lo que significa que la empresa podrá llegar a obtener la misma cantidad de output q utilizando combinaciones diferentes de unos y otros factores sin perder eficiencia. Esto significa que generalmente existirán varios procesos técnicamente eficientes para obtener el mismo nivel de producción. Las isocuantas representan el lugar geométrico de todos los métodos técnicamente eficientes que producen un determinado nivel de producto. Su forma se deriva de la forma de la función de producción, ya que es la función de producción la que las genera. Para distintos niveles de producción obtenemos el mapa de isocuantas. Para poder representar gráficamente las isocuantas debemos simplificar el análisis suponiendo que solamente hacen falta dos factores para producir: q  q  x1 , x 2 

x2

q1 q0 x1 En general las isocuantas asociadas a una función de producción no se podrán cortar y cuanto más 6

alejadas se encuentren del origen de coordenadas mayor nivel de producción representarán. La pendiente de las curvas isocuantes tiene un sentido económico, representa la relación a la que se puede sustituir un factor por otro para mantener el mismo nivel de producción y se denomina relación técnica de sustitución entre factores. Tal como se ha definido será:

RTS x2 , x1  

dx 2 dx1

Si tenemos en cuenta que dentro de una isocuanta la producción no varía, resulta que tendremos:

dq 

dx q x1 q q dx1  dx 2  0   2  x 2 dx1 q x 2 x1

 RTS x2 , x1  

dq  0 , así

dx 2 PMa1  dx1 PMa 2

De esta forma vemos que la relación técnica de sustitución de factor 2 por el factor 1 es inversamente igual a la relación existente entre sus productividades marginales. El sentido económico de esta relación está en el hecho de que cuando sustituimos un factor por otro, el que se va haciendo relativamente mas escaso se hace relativamente más productivo que el otro. La relación técnica de sustitución será siempre decreciente en isocuantas de forma convexa. Aunque para los supuestos que hemos citado relativos a la forma de la función de producción, las isocuantas son siempre convexas hacia el origen, si se relajan dichos supuestos, las isocuantas pueden tomar diversas formas según el grado de sustituibilidad de los factores: -

Isocuanta lineal: Sustituibilidad perfecta. Generadas por funciones de producción lineales. Isocuanta en ángulo recto: Sustituibilidad nula, factores complementarios, hay un único método de producción de la mercancía. Generadas por tecnologías de coeficientes fijos o tipo "Leontief". Isocuanta quebrada: Sustituibilidad limitada, solo hay unos pocos métodos de producción de la mercancía. Se utiliza en programación lineal. Isocuanta convexa lisa: Sustituibilidad continua en un intervalo determinado. Funciones de producción Cobb-Douglas o CES generan este tipo de isocuantas.

El hecho de excluir las combinaciones técnicamente ineficientes hace que la isocuanta tenga forma convexa (combinaciones que requieran más factores para obtener el mismo nivel de output se desechan). Por otra parte siempre será así cuando se trabaje con funciones de producción cuasi-cóncavas. Aunque las isocuantas quebradas son más realistas, normalmente se utilizan funciones de producción que generan isocuantas convexas por su fácil manejo. Además, un número grande de procesos en una isocuanta quebrada hace que se acerque mucho a la forma convexa.

EL PRECIO DE LOS FACTORES Y LA FUNCIÓN DE COSTES La empresa para llevar a cabo el proceso de la producción utiliza múltiples factores como hemos visto, trabajo, suministros, productos fabricados por otras empresas, materias primas, etc. En su mayor parte estos factores son comprados en diversos mercados y por tanto la empresa pagará un precio por los mismos. La suma de los costes de todos los factores constituye el coste total de la empresa, y en general podría expresarse como:

C  i 1 xi wi n

donde

wi representa el precio de factor xi

También como hemos visto la empresa generalmente dispone de diversas opciones técnicamente eficientes para poder producir una determinada cantidad de producto, combinando los factores en distintas formas. Todas las combinaciones de factores representadas por una isocuanta permiten a la empresa la producción de una determinada cantidad de output de forma igualmente eficiente desde el 7

punto de vista técnico. La empresa se encuentra ahora con que debe elegir una de esas combinaciones, y lo hará en base a los costes de los factores. Se tratará por tanto de encontrar la combinación de factores que cueste a la empresa lo menos posible. Si simplificamos el problema a dos factores podemos ver la resolución gráficamente. Así lo haremos y después veremos la generalización a un número mayor de factores. El coste con dos factores sería:

C  x1 w1  x 2 w2 Esta expresión se puede reorganizar y representar gráficamente en función de las cantidades de los dos factores:

x2 

C  w1     x1 w2  w2 

La expresión anterior es una recta isocoste. Suponiendo que los precios de los factores tienen un valor determinado y se mantienen constantes, la recta isocoste nos indica combinaciones de los factores x1 y

x 2 que cuestan lo mismo a la empresa, el valor de C Se puede comprobar fácilmente en un gráfico que rectas más alejadas del origen de coordenadas representarán un mayor coste a la empresa, siendo menor el coste de las más cercanas. Todas las rectas isocoste tienen la misma pendiente w1 w2  , ya que depende los precios relativos de los factores, y en tanto supongamos que no cambian la pendiente tampoco variará.

x2 C 2 w2

C1 w2

C1 w1

C 2 w1

x1

Minimización de los costes de la producción Tenemos ya los instrumentos necesarios para que la empresa pueda resolver el problema de encontrar el método de producción técnicamente eficiente que resulte más barato. Una vez decidida la cantidad de output que se quiere producir, la curva isocuanta correspondiente nos indicará todas las combinaciones de factores técnicamente eficientes, se tratará de elegir entre ellas la que represente menor coste. Gráficamente se tratará de hallar el punto de la isocuanta que se encuentre además sobre la isocoste más cercana al origen de coordenadas: 8

x2

C * w2 x2 *

q0 x1 *

x1

C * w1

Para calcularlo matemáticamente hemos de tener en cuenta que en dicho punto la pendiente de la curva coincide con la pendiente de la recta, y además que dicho punto se encuentra sobre la isocuanta deseada, para el problema planteado con dos factores tendremos:

PMa1 w1  PMa 2 w2 q  q x1 , x 2 

   x1 *, x 2 * 

Una vez conocidas las cantidades de los factores, podemos saber cual es el coste mínimo necesario para producir el output deseado C*  x1 * w1  x 2 * w2 . Si vamos calculando los costes mínimos necesarios para la producción de diferentes cantidades de output obtendremos la trayectoria de expansión de la empresa, y a partir de ella la función de costes, que relaciona directamente el nivel de producción con el coste mínimo necesario para obtenerlo

x2

Función de costes

C

C 2 w2 1

C w2

C  C q 

C2 C1 C0

Trayectoria de expansión de la empresa

C 0 w2

q0 q2 q C 0 w1 C 1 w1

C 2 w1

9

0

q1 x1

q1

q2

q

Las demandas condicionadas de factores Generalizando a un número mayor de factores n , el problema se resuelve matemáticamente como una optimización con restricciones. Se trata en este caso de buscar una combinación de factores que hagan mínimo el coste sujeto a la restricción que supone que dicha combinación de factores sirva para producir el output deseado q  q  x  n

Min :  xi wi i 1

s.a. : q  q x1 , x 2 ,.....x n 

   xi  xi w1 , w2 ,...wn , q   

Si además dejamos los precios de los factores y el nivel de output como parámetros en el modelo, sin darles unos valores concretos, entonces las soluciones que se obtienen son funciones que nos indican la cantidad de cada factor que a la empresa le interesará comprar en función de los precios del factores que tenga que pagar y de la cantidad de output que quiera producir. Estas funciones se denominan demandas condicionadas de los factores Para resolver este tipo de maximización con restricciones se utiliza la función de Lagrange, que en este caso es: n

V   wi xi   q  qx1 , x 2 ,...x n  Donde  es el multiplicado de Lagrange i 1

Igualando las derivadas parciales con respecto a cada una de las variables a cero y resolviendo el sistema se obtienen las soluciones, las demandas condicionadas de factores, que son funciones de elección óptima

q V  w1   0 x1 x1 ............ V q  wn   0 x n x n V  q  q x1 , x 2 ,.., x n   0 

      xi  xi w1 , w2 ,...wn , q      

Siguiendo con el problema podemos ir más allá de la elección de los factores y ver cuál es el coste mínimo que la empresa se verá obligada a soportar, para ello basta con sustituir los valores obtenidos para las cantidades de los factores en este proceso de minimización en la función objetivo, y así obtendremos la función de costes, función de valor óptimo que nos indicará el coste mínimo necesario para la obtención de un determinado de output a unos precios de los factores dados: n

w x i 1

i

i

 w1 x1 w1 , w2 ,..wn , q  w2 x 2 w1 , w2 ,..wn , q   .....  wn x n w1 , w2 ,..wn , q   C w1 , w2 ,..wn , q 

Los precios de los factores en la expresión anterior actuan como parámentro, sin embargo el nivel de output, aunque también es un parámetro en la minimización, va a depender directamente de la decisión de la empresa. La empresa va a decidir qué cantidad de otuput quiere producir, pero en general no decidirá sobre los precios de los factores, por eso normalmente cuando se estudia la función de costes se prescinde de los precios de los factores suponiéndolos constantes, ya que se consideran algo ajeno a la 10

empresa, centrándose el estudio sobre la relación entre nivel de oputput y coste mínimo necesario para producirlo: C  C q 

COSTES TOTALES, MEDIOS Y MARGINALES ACORTO Y LARGO PLAZO El largo plazo A partir de la función de costes totales se obtienen los costes medios y marginales. El coste medio nos indica el coste por unidad de output y el coste marginal el coste que supone a la empresa la producción de una unidad adicional de output. El coste medio se calcula dividiendo el coste total por el número de unidades de output fabricadas y el coste marginal se calcula a través de la derivada de la función de costes

CMeq  

C q  q

CMaq  

C q  q

La relación que existe entre los costes totales, medios y marginales se puede observar en el gráfico siguiente:

COSTES A LARGO PLAZO

C  C q 

q CMa q 

CMeq 

q

La forma de las curvas de costes medios y marginales se deriva de la que toma la curva de costes totales. Se suele suponer que la curva de costes totales a largo plazo toma la forma que se representa en el gráfico, a niveles bajos de la producción creciente cóncava y para niveles más altos creciente convexa. A largo plazo esta forma se justifica por la existencia, en niveles relativamente bajos de producción, de economías de escala (rendimientos crecientes) debido a la existencia de costes fijos ligados al I+D de las grandes empresas. El nivel para el cual se agota en la práctica el aprovechamiento de las economías de 11

escala se denomina la escala mínima eficiente, sería el mínimo de la curva de costes medios a largo plazo. A partir de ese nivel de producción se supone que la complejidad burocrática de la empresa puede provocar deseconomías de escala (rendimientos decrecientes) haciendo que los costes medios se incrementen. El comportamiento descrito para las funciones de costes origina las típicas curvas de costes medios en forma de U. La forma de las curvas de costes en función del nivel de producción depende en definitiva de la forma que tenga la función de producción. En numerosas ocasiones, las funciones de producción que se utilizan no se comportan a largo plazo en la forma descrita, variando con el nivel de producción, sino que mantienen la misma forma a todos los niveles de producción. Concretamente, en las tecnologías que siempre presentan deseconomías de escala, la función de costes será creciente y convexa en q , con CMa y CMe crecientes. Para tecnologías con rendimientos constantes de escala, la función C(q) crece uniformemente, y CMa y CMe son horizontales. Y en tecnologías con economías de escala, la función de costes es creciente y cóncava y los CMa y CMe siempre decrecen (monopolio natural). Se ha de notar en estos casos que cuando se habla de escala no se hace referencia a que las cantidades de factores varíen en la misma proporción, sino solamente a variaciones en el nivel de producción que se pueden conseguir con variaciones desiguales en las cantidades de los factores.

El Corto plazo: Costes fijos y variables El análisis realizado hasta ahora se refería al largo plazo, en el sentido de que no hemos tenido en cuenta ninguna restricción en cuanto a la cantidad a utilizar de determinados factores. Las únicas restricciones eran las derivadas de la tecnología y los precios de los factores. En los estudios a corto plazo en cambio nos encontramos con restricciones en forma de contratos o compromisos que obligan a la utilización o más bien a la remuneración de determinadas cantidades fijas de factores. La diferenciación entre el corto y el largo plazo no es una cuestión exactamente temporal, sino metodológica. Se pueden distinguir diversos plazos en función del número de restricciones que existan. En plazos muy cortos el número de restricciones será grande, a medida que el plazo aumenta éstas disminuirán hasta lo que se considera "largo plazo" cuando la elección es totalmente libre. Para calcular la función de costes a corto plazo se seguirá el mismo procedimiento que para la obtención de la curva de largo plazo, la diferencia está en que la empresa solamente puede elegir las cantidades de los factores considerados variables, los fijos ya estarán establecidos. Se tratará por tanto de minimizar el coste variable: k  n  Min :  xvi wi    x f i wi  i 1  i  k 1  s.a. : q  q  x1 , x 2 ,.....x n 

  CP CP  xvi  xvI w1 , w2 ,...wn , q, x f k 1 , x f k  2 ,...x f n  



Donde el término entre paréntesis indica el coste fijo de la empresa

CF 



n

x

i  k 1

fi

wf

Igual que antes, sustituyendo estos valores en la función objeto de la minimización se obtiene la función de costes a corto plazo:

 w x w, q, x   CF  C w, q, x  k

i 1

i

CP vi

CP

f

f

La diferencia con la curva de costes a largo plazo son por tanto los factores fijos que constituyen el coste fijo de la empresa

12

A partir de la función de costes totales a corto plazo, se pueden obtener las de costes marginales a corto plazo, costes medios a corto plazo, y costes variables medios y fijos medios, del mismo modo que vimos con las curvas a largo plazo.

CVMeq  

CV q  q

CFMeq  

CF q

CMaq  

C CP q  q

Los costes medios a corto plazo son la suma de costes variables medios y fijos medios:

CMe CP q  

C CP q  CV q  CF   q q Q

COSTES A CORTO PLAZO

C CP  CV q   CF CV  CV q 

CF

q CMa q 

CMeq 

CVMeq 

CFMeq 

q

Relación entre las curvas de costes a corto y largo plazo Simplificando el problema, suponiendo que existen solamente dos factores, uno fijo y otro variable podemos ver la relación que existe entre las curvas de corto y largo plazo gráficamente

13

Funciones de costes

x2

Producción a corto plazo

Corto plazo

C

C 2 w2

Largo plazo

C2 C1

C 1 w2

C  C q 

C0

0

C w2 x12

q q

2

q0

q1

q2

q

1

q0 C 0 w1 C 1 w1

x1

C 2 w1

La línea que parte del origen de coordenadas representa la trayectoria de expansión, que indica como irá ajustando la empresa su elección de factores a medida que varíe el nivel de producción. Supondremos que el factor

x 2 es fijo al nivel x 12 . El efecto principal es que las combinaciones técnicamente asequibles

se han reducido, limitándose a las que utilizan la cantidad de factor

x12 .

x 12 , surge como consecuencia de las expectativas de producir q 1 , lógicamente la combinación 1 2 de tangencia es en este caso la óptima. Una vez fijado x 2 si la producción es mayor, q , la elección ya Este nivel

no puede ser ese punto, tendrá que ser el que corta la horizontal que indica la cantidad de factor fijo (señalado por la flecha), que representa una mayor utilización del factor x1 y también un mayor coste. Lo

q 0 , con el factor fijo nos situaríamos en el punto indicado en vez de el de tangencia, ya que aunque probablemente sea posible utilizar una menor cantidad de x 2 habrá que 1 pagar la cantidad x 2 , y dicho punto representa un mayor coste que el de tangencia. mismo ocurre si la producción es menor,

1

Por tanto en general, salvo para el nivel de producción q el coste a corto plazo con un factor fijo será mayor a cada nivel de producción que el coste a largo plazo con todos los factores variables. Lo mismo sucede con los costes medios:

CMe CP  CMe LP

Esta relación será válida independientemente del crecimiento o decrecimiento del CMe

14



CMe CP q, x1f





CMe CP q, x 2f

 

CMe CP q, x 3f



CMe LP q 

q q

Se dice que la curva de

3

CMe LP q  es la envolvente de todas las curvas de CMe CP q, x f , porque para

cada nivel de producción se define una familia de curvas de costes medios a corto plazo, una para cada nivel de factores fijos, que estarán situadas por encima de la curva de costes medios a largo plazo. Solamente la curva de costes a corto que se corresponde con la cantidad de factores fijos que minimizan el coste coincide con la curva de largo plazo, siendo tangente a la misma.

Matemáticamente se puede obtener la curva de costes a largo plazo a partir de la de costes a corto. Para ello, debemos optimizar las funciones de costes a corto plazo con respecto a las cantidades de factores fijos, y una vez obtenidos éstos sustituyéndolos en la propia función de corto plazo.

w, q, x f   CF Min : C CP w, q, x f    wi xvCP i k

i 1

C CP w, q, x f x f i



 0  x f i  x f i w, q 

Al minimizar la función de costes a corto plazo con respecto a las cantidades de los factores fijos lo que obtenemos son las demandas condicionadas de dichos factores (convertidos ya en variables). Sustituyendo estas funciones en la función de costes a corto plazo obtenemos la función de costes a largo plazo:





C CP w, q, x f   C CP w, q, x f w, q   C LP w, q 

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APÉNDICE FORMAS ESPECÍFICAS DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Tecnologías Leontief Es el tipo más sencillo de función de producción, su forma general es la siguiente:

x x  x q  min  1 ,... 2 ,...., n  n   1  2

 i

 0

Su característica fundamental es que sólo se puede producir con una proporción única y fija de factores. Los parámetros  i , indican las cantidades mínimas necesarias de cada factor para producir una unidad de output. Para ver su funcionamiento, supongamos que tenemos para los factores los siguientes valores para los parámetros:  1  2;  2  5 . A partir de la función de producción podríamos saber qué cantidad de cada factor necesita la empresa para producir por ejemplo

q  100 , sería:

x1  q 1  200; x 2  q 2  500 Si la empresa utilizase una cantidad mayor de uno de los factores, por ejemplo x1 unidades no servirían para nada, tendrían una productividad marginal igual a 0.

RTS x2 , x1  x2

 210 las 10 últimas

PMa1 1  1   PMa 2 0

RTS x2 , x1 

1 1  2  1  2 1 RTS x2 , x1 

2

PMa1 0  0 PMa 2 1  2

q0

x1

1

Las isocuantas de este tipo de funciones tendrán forma de ángulo recto, los factores son perfectamente complementarios. Solamente el vértice de cada isocuanta sería una combinación de factores eficiente. Se trata de una caso extremo, no hay ninguna posibilidad de sustitución de un factor por el otro.

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Tecnologías lineales Las funciones de producción de tipo lineal representan el caso contrario al anterior en el sentido de que los factores son perfectamente sustitutivos. La forma general de la función es: n

q    i xi i 1

 i

 0

q   1 x1   2 x 2 , las productividades marginales de cada factor tienen un valor constante independiente de la cantidad utilizada del factor, PMa1   1 y PMa 2   2 , y la relación

Para dos factores tendríamos

técnica se sustitución tiene también el mismo valor independientemente de las cantidades utilizadas de los factores En este caso las isocuantas son rectas decrecientes, representa el caso opuesto al anterior, a la empresa le es totalmente indiferente desde el punto de vista técnico utilizar uno u otro factor, el grado de sustitución entre ellos es el máximo posible.

x2

RTS x2 , x1 

1 2

x1

Tecnologías Cobb-Douglas (CD) Son funciones homogéneas, se utilizan por su fácil tratamiento y razonable adecuación empírica dada su sencillez, aunque implican algunas restricciones. La forma general de la función es: n

q  A xi i

 i

 0

i 1

Se puede comprobar que en estas funciones los parámetros factor

 i indican la elasticidad output de cada

 q , x   i . Por tanto una visión de la función nos permite saber cómo se comporta la producción i

ante variaciones de cada uno de los factores.

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En general, en las funciones homogéneas la elasticidad de escala coincide con el grado de homogeneidad. Una función es homogénea de grado será:

f tx   t k f  x  . La elasticidad de escala

k si

n

n

i 1

i 1

e x   k    q , xi    i Así simplemente sumando los exponentes de las variables podremos saber si la función de producción presenta rendimientos crecientes, constantes o decrecientes de escala. Por ser funciones homogéneas la relación técnica de sustitución no se altera cuando todos los factores varían en la misma proporción:

RTS tx2 ,tx1  RTS x2 , x1 Esto afecta a la forma de las isocuantas. Simplificando a dos factores para ver la representación gráfica tendríamos:

q  Ax11 x 2 2 . Y la relación técnica de sustitución será: RTS x2 , x1

PMa1  1 Ax11 1 x 2 2  1 x 2    PMa 2  2 Ax11 x 2 2 1  2 x1

Con la expresión anterior se puede comprobar que si multiplicamos por el mismo número las cantidades de cada uno de los factores la relación técnica de sustitución no varía, seguirá teniendo el mismo valor.

x2 Igual pendiente para cada isocuanta sobre cada una de las rectas que salen del origen de coordenadas

x1 Las isocuantas son por tanto convexas hacia el origen y están ordenadas de una forma regular manteniendo la pendiente sobre las rectas que salen del origen de coordenadas.

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