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CAPITULO 2 NOTACIÓN INDICIAL O TENSORIAL En el capítulo 1 los vectores se introdujeron en términos de un segmento de recta. El uso de un sistema de coordenadas es muy conveniente para definir los componentes de un vector; pero los vectores en si existen independientemente de cualquier sistema de coordenadas en particular. Muchos sistemas de coordenadas diferentes pueden ser utilizados para describir un mismo vector. El más importante es el rectangular o sistema de coordenadas rectangulares utilizado en el capítulo 1. Otros sistemas de coordenadas comunes son las cilíndricas y las esféricas, los que se describen en el capítulo IV. Sistemas de coordenadas más generales se discuten en el capítulo 8 y 9. Para aplicaciones del análisis vectorial, incluyendo la derivación de importantes ecuaciones vectoriales en ingeniería y ciencia. El sistema de coordenadas cartesiano es totalmente adecuado. La introducción de una notación indicial para describir las componentes cartesianas de un vector simplifica muchas expresiones, hacen claro el significado de otros, permite proceder con gran facilidad la derivación de vectores, y nos lleva directamente a la generalización de los tensores cartesianos de orden superior descritos en el capítulo 3. Los elementos básicos de la notación indicial se describen en este capítulo. Después de completar el capítulo el estudiante será capaz de escribir cualquier ecuación vectorial algebraica en la notación simbólica vectorial o en la

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notación indicial y debe ser capaz de probar fácilmente cualquier identidad involucrando el producto punto y cruz. El estudiante será capaz de probar cualquier identidad vectorial incluyendo expresiones del cálculo vectorial que después completaremos en el capítulo 6. Ningún prerrequisito que no sea conocido en el capítulo 1 se requiere para el desarrollo de este capítulo.

COMPONENTES CARTESIANOS DE UN VECTOR En el capítulo anterior encontramos que podemos describir el vector en términos de sus componentes cartesianas referidas al sistema de coordenadas y con los vectores unitarios .

Algunas veces es concerniente identificar al vector A listando sus tres componentes cartesianas entre paréntesis, así:

Es usual renombrar y por como se muestra en la figura 1. Los tres vectores unitarios son designados como . Los componentes de los vectores unitarios son dados por:

𝒰 𝒰 𝒰 𝒰 𝒰

Como hemos escrito

FIGURA 1

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Podemos escribirlo como:

En la expresión, los subíndices de denotan las componentes del vector , mientras que los subíndices de los vectores no denotan componentes pero denotan al vector completo. Esta distinción se nota encerrando los subíndices de las entre paréntesis. El término general del lado derecho de la expresión dada arriba es de la forma donde es 1,2, ó 3, podemos por tanto escribir el vector como ∑ Para simplificar la notación introducimos la siguiente convención de sumatoria: Cuando un índice es repetido (ocurre dos veces) en cualquier termino, se establece que los índices indican una suma de 1 a 3 a menos que se indique lo contrario. Usando esta convención la expresión para escribirlo como:

Ejemplo:

dada arriba podemos

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La forma final de la notación indicial no contiene a los vectores unitarios . Nosotros solo usaremos ello como un paso intermedio para llegar de la notación simbólica dada en el capítulo previo a la notación indicial. En esta forma final la notación indicial solo contiene cantidades tales como , las cuales son las componentes cartesianas del vector . Las tres componentes se encuentran haciendo que tome independientemente los valores 1, 2 y 3. Así establece los tres componentes escalares . Como tal, es estrictamente una cantidad escalar. Es esta propiedad que hace que la notación indicial sea poderosa (y fácil). Además nos referiremos a como un vector y a los escalares por . No debemos olvidar que lo que queremos decir es que representa tres escalares a lo largo de tres ejes mutuamente perpendiculares (independientes). Cuando estos escalares son multiplicados por los tres vectores unitarios y sumados, ello representa al vector . (nota sobre el futuro material: nos encontraremos con cantidades tales como que tienen dos subíndices diferentes y así representan nueve cantidades separadas. Estas nueve componentes son llamadas las componentes cartesianas de un tensor de segundo orden. Nos referimos a simplemente como el tensor de segundo orden, recordando que estas son realmente las componente de este tensor que se ha mencionado).

Observaciones: 

es válida, puesto que en la notación indicial los elementos en un término dado puede ser escritos en cualquier orden.

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 La convención de suma es muy importante y es fundamental en la notación indicial. Esta se cumple siempre que el mismo índice se repite en un término dado. Así

Y

 De acuerdo a la convención de suma no es posible tener más de dos subíndices idénticos en cualquier término simple. Si esto ocurriera, entonces se ha cometido un error.  Puesto que los subíndices repetidos indican suma, ellos se llaman subíndices mudos y tiene la propiedad que cualquier par de letras indican lo mismo. Así podemos escribir: También En esta expresión la subíndice en no se repite en un término simple y por lo tanto es llamado un subíndice flotante o subíndice libre. Si un subíndice es un subíndice flotante, la misma letra se usara para el subíndice en cada término de la ecuación.

Ejemplo:

en las siguientes cuatro expresiones, identificar los

subíndices mudos y los subíndices flotantes.

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Solución: mudo, flotante mudo, mudo,

flotante flotante

mudo, flotante

Ejemplo: indicar cuáles de las siguientes ecuaciones son expresiones válidas.

Solución: Válido No válido: el subíndice i se repite tres veces en un término simple. Válido No válido: el subíndice flotante debe ser el mismo en ambos lados de la ecuación.

Observación: Si escribir

y queremos escribir no podemos puesto que existen ahora más de dos subíndices

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en un término simple. Las en son subíndices mudos, por lo que pueden ser cambiados por cualquier otra letra. Así por ejemplo, podemos escribir y tener que es una igualdad válida.

Ejemplo: si

, escribir

en términos

de

Solución: por

Donde se cambian los índices mudos respetivamente.

y por por en

LA DELTA DE KRONECKER El símbolo sigue:

es llamado la delta de kronecker y se define como

{ Puesto que pueden tomar los valores 1, 2 y 3 independientemente, existe nueve componentes de tal que pueden escribirse en un arreglo matricial en la forma: [ De la definición de de unos y ceros como

]

esta matriz puede ser escrita en términos

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[

]

Ejemplo: Considere el término . El subíndice es un subíndice mudo puesto que esta repetido. Esta por lo tanto indicando una suma de 1 a 3. Escribir esta suma explícitamente. Solución:

Como esta expresión tiene un subíndice flotante , es un vector (componentes cartesianas), lo cual puede llamarse . Así,

Ejemplo: Del ejemplo previo podemos escribir

Ahora tiene tres componentes, , que se encuentran haciendo independientemente. Si hacemos esto usamos la definición de , y obtenemos:

Así, el vector

es igual al vector

.

El resultado del ejemplo previo puede ser escrito como

e ilustra una importante propiedad de la delta de kronecker. Cuando la delta de kronecker aparece en un término de una

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ecuación con índices en la cual uno (o ambos) de estos índices es (esta) repetida en el otro símbolo del mismo término; entonces la delta de kronecker puede ser eliminada si el índice repetido en el otro símbolo es reemplazado con el índice restante de la delta de kronecker. Por ejemplo,

Si ambos subíndices de la delta de kronecker se repiten en un término, entonces uno o el otro (pero no ambos) puede ser eliminado. Por ejemplo, (Eliminamos ) (Eliminamos ) Estos resultados son claramente idénticos puesto que y son ambos subíndices mudos. Así, ambos resultados son realmente

Un término puede contener más de una delta de kronecker. Por ejemplo,

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Ejemplo: Si

el índice repetido en

indica suma, se encuentra

que

.

Ejemplo:

Eliminar la delta de kronecker de las siguientes

expresiones:

.

Solución:

.

EL PRODUCTO ESCALAR Del capítulo I conocemos que el producto punto o escalar de dos vectores ̅ y ̅ es ̅ ̅ donde es el ángulo más pequeño entre ̅ y ̅ . Si los dos vectores son ortogonales (perpendiculares), el producto punto es cero; mientras que si dos vectores son paralelos, el producto punto es igual a, . Recordando que podemos escribir los vectores ̅ y ̅ como ̅ y ̅ . Pero y son índices mudos y subíndices diferentes entonces pueden usarse cuando se forme el producto punto ̅ ̅

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Donde no hay más de dos índices repetidos en un término. Ahora puesto que

representan a los componentes

de los vectores ̅ y ̅ , ellos en realidad son escalares y pueden moverse en la expresión. Por lo que podemos escribir ̅ ̅ Recordemos que . Por lo que podemos escribir

Así:

̅ ̅ Así en la notación indicial el producto escalar ̅ ̅ se escribe como . Es claro por consiguiente que ̅ ̅ La cantidad se refiere como el vector , que significa que representa a las tres componentes cartesianas del vector ̅, los cuales pueden encontrarse explícitamente haciendo respectivamente. Ejemplos:  La expresión indicial es incorrecta puesto que contiene más de dos índices idénticos.  La ecuación vectorial es incorrecta pues el índice flotante del primer miembro es

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diferente al índice flotante del segundo miembro, es decir los subíndices flotantes no son los mismos en ambos lados de la ecuación.  La expresión se escribe en notación simbólica vectorial como ̅ ̅ ̅ y esta es una cantidad vectorial.  La expresión simbólica ̅ ̅ ̅ ̅

vectorial ̅.  La expresión ̅ ̅ ̅ ̅ notación indicial como

se escribe en notación ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ como puede ser escrito en

Note que los subíndices repetidos en de los de y .

y

son diferentes

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Eliminar las deltas de kronecker de las siguientes expresiones: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

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2. Escribir las siguientes expresiones en notación simbólica vectorial. (a) (b) (c) (d) 3. Escriba las siguientes expresiones en notación indicial. (a) ̅ ̅ (b) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (c) ̅ ̅ EL TENSOR UNITARIO ALTERNANTE Los tres enteros 1, 2, y 3 se dice que están en orden cíclico si se produce el orden 1 2 3 siguiendo el camino anti horario mostrado abajo. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Orden cíclico: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ El orden inverso se denomina no cíclico o anti cíclico, ello puede encontrarse siguiendo los enteros 1, 2 y 3 en el camino horario. Así Orden no cíclico: ⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ejemplo: Si

están en orden cíclico, indicar cuales de las

siguientes están en orden cíclico y no cíclico.

Solución:

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⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Con la finalidad de utilizar toda la potencia de la notación indicial, debemos escribir el vector o producto cruz en esta notación. Esto requiere la introducción del nuevo símbolo , llamado el tensor unitario alternamente (algunas veces llamado el tensor alternante, el símbolo , el símbolo de permutación, o el tensor de Levi-civita), el cual se define como sigue: {

Por ejemplo,

.

Note que intercambiando dos subíndices adyacentes cambia el signo del tensor unitario alternante. El signo sigue siendo el mismo siempre y cuando el orden cíclico (o nocíclico) se mantiene. Elimine el signo incorrecto en las siguientes expresiones.

Resulta: .

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Con la finalidad de investigar las propiedades de consideremos la expresión .

,

Existen dos subíndices flotantes en ambos lados de la igualdad, lo cual significa que existen nueve componentes que podemos escribirlo como una matriz . El subíndice en el lado derecho de la igualdad es un subíndice mudo. Vamos a sumar en de 1 a 3 para obtener

Ahora en la expresión

Alguno de los términos en el lado derecho son cero para ciertas componentes de . Consideremos . Puesto que para todo , entonces . En el caso de , el único término que sobrevive en el lado derecho es puesto que y . Continuando de esta forma podemos completar la matriz y escribir [

] ,

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, ,

, . Consideremos la expresión . Los subíndices y son todos subíndices mudos que al sumarse desaparecen. Así el resultado es una cantidad escalar. Puesto que y serán de 1 a 3 independientemente, el resultado es la suma de 27 términos. La mayoría de estos términos se anulan, puesto que para cualquier par de subíndices iguales. Solo los términos que sobreviven en la expresión son aquellos en los cuales está en orden cíclico o nocíclico. Existen solo seis de estos; estos son,

Por lo tanto podemos escribir la suma:

Evaluando el determinante

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|

|

Se observa que |

|

EL PRODUCTO VECTORIAL ̅ ̅ se usa en el capítulo I. El producto vectorial ̅ utilizando los ejes en vez de , podemos escribir los componentes cartesianos de en términos de las componentes de ̅ y ̅ como:

Considerando la expresión . Esta es una cantidad vectorial caracterizada por un solo subíndice flotante . Los subíndices y son ambos índices mudos y desaparecen al sumarse. Las tres componentes se encuentran haciendo que tome los valores 1,2 y 3 independientemente. Por ejemplo, para encontrar , hacemos . Entonces para que no sea cero, los subíndices deben tomar los valores 23 o 32.

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Como

y podemos escribir . De manera similar y pueden encontrarse, escribiendo:

Comparando este resultado con lo visto previamente vemos que da las componentes del producto vectorial ̅ ̅ . Así en notación indicial el producto cruz ̅ ̅ se escribe como

.

Expresiones tales como pueden siempre escribirse en notación simbólica rotando los subíndices en orden cíclico hasta que el subíndice flotante (en este caso ) aparezca primero. Así

Lo cual es la notación indicial para ̅ Ejemplo: Escribir la expresión simbólica.

̅

̅

̅.

en notación

Solución: lo cual indica ̅

̅

̅

̅.

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̅ ̅ en notación indicial, sea Observación: Para escribir ̅ ̅ ̅ o ̅ ̅ , lo cual ̅ ̅ . Entonces ̅ ̅ en notación indicial es . Ejemplo: Escribir las siguientes expresiones en la notación ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ indicial, ̅ Solución: utilizaremos ̇ para indicar la equivalencia entre las dos notaciones. ̅ ̇

̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̇ ̅ ̅ ̇

Ejemplo: Escribir las siguientes expresiones en la notación simbólica,

Solución:  Como

̅ ̅ ̇ ̅ ̅

̇   

̅ ̇

̇

̇

̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅.

̅

̅

̅ ̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅

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̅ ̅ en la ̅ Supongamos que queremos escribir ̅ ̅ ̅ donde notación indicial. Como esto es igual a ̅ ̅ , escribimos ̅ y ̅ ̅ ̅ por ̅ ̅ ̇ . Note que todos los subíndices son mudos excepto el al escribir , la elección del subíndice fue determinada por que se había escrito . Cualquier otro subíndice se pudo haber usado para y excepto y puesto que se ha utilizado en y resultarían más de dos índices repetidos en la expresión final para . Recordemos que siempre podemos elegir libremente los nombres de los índices mudos.

Ejemplo: Escribir las siguientes expresiones en la notación ̅

indicial,

̅

̅ y ̅

̅

̅

Solución: ̅

̅ ̇

̅

. ̅

̅

̅ ̇

(

)

.

Ejemplo: simbólica:

Escriba las siguientes expresiones en la notación

,

.

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Solución: (

) ̇ ̇ ̅

̅

̅ ̅

̅ . ̅ .

IDENTIDADES VECTORIALES Uno de los muchos beneficios de la notación indicial es que hace innecesario recordar las decenas de identidades vectoriales que se requiere para llevar a cabo el análisis vectorial. En vez de ello solo tenemos que conocer una sola relación simple entre el tensor unitario alternamente y la delta de Kronecker. Esta relación es la siguiente

Note que en esta expresión existen cuatro subíndices flotantes no repetidos . Puesto que cada uno de estos cuatro subíndices flotantes toma los valores 1,2 y 3 independientemente, la expresión de arriba realmente representa 81 igualdades separadas. La prueba de esta identidad consiste en mostrar que esta es válida para cada una de los 81 casos. Esto no es tan malo como aparece pues bloques grandes de casos pueden considerarse en conjunto. Consideraremos la prueba un poco después.

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La identidad es muy fácil de recordar. Los subíndices utilizados en particular carecen de importancia; sin embargo, uno de los subíndices en cada uno de los tensores unitarios alternantes debe ser el mismo. Los subíndices deben rotarse en orden cíclico hasta que ambos índices repetidos estén primeros. Realizado esto, los subíndices de las cuatro deltas de Kronecker pueden ser leídos directamente de los subíndices no repetidos de los dos tensores unitarios alternantes. Ellos son, respectivamente, 1. Los segundos subíndices 2. Los terceros subíndices 3. Un segundo y un tercer subíndice 4. El otro segundo y el otro tercer subíndice.

Ejemplo: Utilizando esta identidad, escriba las siguientes expresiones en términos de las deltas de Kronecker:

Solución:

Como un ejemplo de la utilización de la relación de arriba, consideremos la prueba de la identidad vectorial

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̅ Escribamos ̅

̅

̅

̅ ̅

̅

̅

̅

̅ en notación indicial

̅

̅

̅

̅

̅

̇ (

)

Podemos eliminar la delta de Kronecker cambiando los índices repetidos y escribir

̅ ̇

̅ ̅

̅

̅

̅.

Con lo cual en notación simbólica tenemos:

̅

̅

̅

̅

̅ ̅

Esto completa la prueba.

Ejemplo: Probar la identidad vectorial ( ̅

̅

̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅

Y así verificar que

̅

̅

̅

̅

̅

̅

Solución: ̅

̅

̅ ̇

(

)

̅

̅

̅

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̇ ̅

̅ ̅

̅ ̅

̅ y se ve que

̅

̅

̅

̅

̅

̅ .

Ejemplo: Mostrar que Solución: .

Ejemplo: Demostrar que

.

Solución:

Ahora consideraremos la prueba de la identidad:

Para cada uno de los 81 casos los valores en cada lado son +1,1, o 0. El desglosamiento de los 81 casos se lista abajo. Indica la lista el valor de cada lado de la ecuación para todos los casos. Por ejemplo, existen 27 casos cuando y bajo estas condiciones el valor de ambos lados de la ecuación es cero.

1 2 3 4 5 6 Total

Número de casos

Valor de ambos lados de la ecuación

27 18 6 6 12 12 81

0 0 +1 -1 0 0

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Una propiedad importante del tensor unitario alternante es que si esta multiplica una expresión que es simétrica en dos de sus subíndices, el resultado es cero. Por ejemplo, en la expresión la cantidad es simétrica con respecto a los subíndices y . Por lo tanto . Para probar este resultado, note que y son ambos subíndices mudos y por lo tanto pueden ser cambiados. En particular, renombremos la con y renombremos con . Así Ahora como de arriba, y escribimos

en el lado derecho de la ecuación

Ahora intercambiando la y en en el lado derecho de la igualdad previa. Esto introduce el signo menos tal que De esto resulta que es idénticamente cero, pues esta es la condición bajo la cual una expresión puede ser igual a su propio negativo. Así, concluimos que Esta expresión puede escribirse en notación simbólica como ̅ ̅ .

Observaciones 1. El tensor alternante unitario

tiene la propiedad de que

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es un vector, que es el vector, que es el producto cruz que se escribe en notación simbólica ̅. vectorial como ̅ 3. La expresión 2. La cantidad

Simetrica en sus dos subíndices

O de otra forma

.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Escribir las siguientes expresiones en la notación simbólica vectorial. a. b. c. d. 2. Escriba los siguientes expresiones en notación indicial a. ̅ ̅ b. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ c. ̅ ̅ d. ̅ ̅ 3. Probar las siguientes identidades vectoriales. ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ a. ̅ ̅ ̅ b. ̅ ̅

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c. ̅ d. ̅ e. ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅ ̅