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“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”

INTEGRANTES: Palma Retete Cristhian Panta Antón Víctor Ruiz Aguirre Carlos Wilfredo Ruiz Aguirre Daniel Alexander Yovera Segura Cristhian DOCENTES: LIC. Raúl Yajahuanca Huancas CURSO: Estadística y Probabilidades TEMA: Intervalos de Confianza

PIURA – PERÚ 2017

INTERVALOS DE CONFIANZA A) INTERVALO DE CONFIANZA PARA MEDIA (𝝁)  VARIANZA CONOCIDA (𝝈𝟐 ) Si 𝑥̅ es la media de una muestra aleatoria de tamaño “n” de una población de varianza conocida el intervalo de confianza de (1 − 𝛼) ∗ 100% es:

𝑃 (𝑥̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∗

𝜎 √𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∗

𝜎 √𝑛

)= 1−𝛼

Si se utiliza 𝑥̅ como una estimación de 𝜇 se puede tener una confianza de que el error no exceda una cantidad específica “e” cuando el tamaño de la muestra es:

𝑛=(

𝑧𝛼⁄2 ∗ 𝜎 𝑒

2

)

EJERCICIOS 1. Se calcula que la media de los promedios de los puntos de calidad de una muestra aleatoria de 36 alumnos universitarios del último año es 2.6. a) Encuentre los intervalos de confianza del 95% y 99% para media del total de alumnos del último año. Asuma que la desviación estándar de la población es 0.3 b) Que tan grande se requiere que sea la muestra si se desea una confianza del 95% de que la estimación de 𝜇 difiera de esta con menos de 0.05 SOLUCION a) X= Puntos de calidad  1 − 𝛼 = 95% 𝑁𝑋

X n = 36 𝑋̅ = 2.6

𝛼 = 0.05  𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.025 = 1.96  𝑃 (𝑥̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∗ 𝑃 (2.6 − 1.96 ∗

𝜎 √𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∗

0.3 √36

𝜎 ) √𝑛

< 𝜇 < 2.6 + 1.96 ∗

=1−𝛼 0.3 √36

) = 95%

𝑷(𝟐. 𝟓𝟎𝟐 < 𝝁 < 𝟐. 𝟔𝟗𝟖) = 𝟗𝟓%

 1 − 𝛼 = 99% 𝛼 = 0.01  𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.005 = 2.575  𝑃 (𝑥̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∗ 𝑃 (2.6 − 2.575 ∗

𝜎 √𝑛

0.3 √36

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∗

𝜎 ) √𝑛

< 𝜇 < 2.6 + 2.575 ∗

=1−𝛼

0.3 √36

) = 99%

𝑷(𝟐. 𝟒𝟕𝟏𝟓 < 𝝁 < 𝟐. 𝟕𝟐𝟖𝟓) = 𝟗𝟗%

b)

1.96 ∗ 0.3 2 𝑛=( ) = 139 0.05  VARIANZA DESCONOCIDA(𝐒 𝟐) Si 𝑥̅ y s son la medida de una muestra aleatoria de una población normal con varianza desconocida, un intervalo de confianza de (1 − 𝛼) ∗ 100% para 𝜇 es: 𝑃 (𝑥̅ − 𝑡(𝛼 , 𝑛 − 1) ∗ 2

𝑠 √𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑡(𝛼 , 𝑛 − 1) ∗ 2

𝑠 √𝑛

)=1−𝛼

EJERCICIOS 2. Los contenidos de 7 recipientes asimiladores de ácido sulfúrico son: 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los recipientes, suponiendo una distribución aparentemente normal. SOLUCION X= Contenido de recipientes X

𝑁𝑋

n=7 𝑋̅ = 10 S=0.2828

 1 − 𝛼 = 95% 𝛼 = 0.025 2 Donde: 𝑡(𝛼 , 𝑛 − 1)= t(0.025,6)=2.447 2 𝑠 𝑠 𝑃 (𝑥̅ − 𝑡(𝛼 , 𝑛 − 1) ∗ < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑡(𝛼 , 𝑛 − 1) ∗ ) = 1 − 𝛼 2 2 √𝑛 √𝑛 0.2828 0.2828  𝑃 (10 − 2.447 ∗ 7 < 𝜇 < 10 + 2.447 ∗ 7 ) = √

95% 𝑷(𝟗. 𝟕𝟒 < 𝝁 < 𝟏𝟎. 𝟐𝟔) = 𝟗𝟓%

√

B) INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS ( 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 )  VARIANZAS CONOCIDAS (𝝈𝟐𝑿 𝒀 𝝈𝟐𝒚 ) Si 𝑥̅ y 𝑦̅ son medias de muestras aleatorias independientes de tamaños 𝑛𝑥 𝑦 𝑛𝑦 de poblaciones con varianzas conocidas con un intervalo de confianza de (1 − 𝛼) ∗ 100% para ( 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 ) es:

𝜎𝑋2 𝜎𝑦2 𝜎𝑋2 𝜎𝑦2 𝑃 ((𝑥̅ − 𝑦̅ ) − 𝑧𝛼⁄ ∗ √( + ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (𝑥̅ − 𝑦̅ ) + 𝑧𝛼⁄ ∗ √( + )) = 1 − 𝛼 2 2 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑥 𝑛 𝑦

EJERCICIOS 3. Una muestra aleatoria de tamaño n=25 que se toma de una población con una desviación estándar igual a 5 tiene una media igual a 80, una segunda muestra aleatoria de tamaño n=36, tomada de una población normal diferente con una desviación estándar igual a 3 con una media igual a 75. ¿Encuentra un intervalo de confianza del 94% para 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 . SOLUCION

X

𝑁𝑥

𝑁𝑦

y

𝑛𝑥 = 25

𝑛𝑦 = 36

̅𝑥̅ = 80

𝑦̅ = 75 𝜎𝑥 = 5 𝜎𝑦 = 3

 1 − 𝛼 = 94% 𝛼 = 0.06  𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.03 = 1.88 𝜎2

𝜎2

𝜎2

𝜎2

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

 𝑃 ((𝑥̅ − 𝑦̅ ) − 𝑧𝛼⁄2 ∗ √(𝑛𝑋 + 𝑛𝑦 ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (𝑥̅ − 𝑦̅ ) + 𝑧𝛼⁄2 ∗ √(𝑛𝑋 + 𝑛𝑦 )) = 1 − 𝛼

𝑃 ((80 − 75 ) − 1.88 ∗ √(

25 9 25 9 + )𝑔 < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (80 − 75 ) + 1.88 ∗ √( + )) = 94% 25 36 25 36

𝑷(𝟐. 𝟗 < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < 𝟕. 𝟏) = 𝟗𝟒%

 VARIANZAS IGUALES PERO DESCONOCIDAS Si 𝑥̅ y 𝑦̅ son medias de muestras aleatorias independientes de tamaños 𝑛𝑥 𝑦 𝑛𝑦 de poblaciones aproximadamente normales con varianzas iguales pero conocidas con un intervalo de confianza de (1 − 𝛼) ∗ 100% para ( 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 ) es: 𝑃 ((𝑥̅ − 𝑦̅ ) − 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 − 2) ∗ 𝑠𝑝 ∗ √(

Donde: 𝑠𝑝

2

=

1 1 1 1 + ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (𝑥̅ − 𝑦̅ ) + 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 − 2) ∗ 𝑠𝑝 ∗ √( + )) = 1 − 𝛼 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑥 𝑛𝑦

(𝑛𝑥 −1)𝑠𝑥2 +(𝑛𝑦 −1)𝑠𝑦2 𝑛𝑥 +𝑛𝑦 −2

EJERCICIOS 4. Se registraron los siguientes datos en días que representan los tiempos de recuperación de pacientes tratados aleatoriamente con uno de los medicamentos para aliviarlos de graves infecciones en la vesícula. Medicamento 1 𝑛𝑥 = 14 𝑥̅ = 17 𝑠𝑥2 = 1.5

Medicamento 2 𝑛𝑦 = 16 𝑦̅ = 19 𝑠𝑦2 = 1.8

Encuentre un intervalo de confianza del 99% para 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 para los medicamentos suponiendo poblaciones normales con varianzas iguales. SOLUCION X: tiempo de recuperación de los pacientes que se administran el medicamento 1 Y= tiempo de recuperación de los pacientes que se administran el medicamento 2

𝑁𝑥

X

𝑁𝑦

y

𝑛𝑥 = 14

𝑛𝑦 = 16

𝑥̅ = 17

𝑦̅ = 19

𝑠𝑥2 = 1.5

𝑠𝑦2 = 1.8

 1 − 𝛼 = 99% 𝛼 = 0.01 𝛼⁄ = 0.005 2 t (0.005,28)=2.763 

𝑠𝑝2 =

(14−1)∗1.5+(16−1)∗1.8 14+16−2

= 1.66

sp=1.29

𝑃 ((𝑥̅ − 𝑦̅ ) − 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 − 2) ∗ 𝑠𝑝 ∗ √(

1 1 1 1 + ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (𝑥̅ − 𝑦̅ ) + 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 − 2) ∗ 𝑠𝑝 ∗ √( + )) = 1 − 𝛼 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑥 𝑛𝑦

1 1 1 1 𝑃 ((19 − 17 ) − 2.763 ∗ 1.29 ∗ √( + ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (19 − 17 ) + 2.763 ∗ 1.29 ∗ √( + )) = 99% 14 16 14 16

𝑷(𝟎. 𝟔𝟗𝟓𝟔 < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < 𝟑. 𝟑𝟎𝟒𝟏) = 𝟗𝟗%  VARIANZAS DIFERENTES Y DESCONOCIDAS Si 𝑥̅ , 𝑦̅ y 𝑠𝑥2 , 𝑠𝑦2 son medias y varianzas de muestras pequeñas de muestras aleatorias independientes de tamaños 𝑛𝑥 𝑦 𝑛𝑦 de poblaciones aproximadamente normales con varianzas diferentes pero desconocidas con un intervalo de confianza de (1 − 𝛼) ∗ 100% para ( 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 ) es: 𝑠𝑥2 𝑠𝑦2 𝑠𝑥2 𝑠𝑦2 𝑃 ((𝑥̅ − 𝑦̅ ) − 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑣) ∗ √( + ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (𝑥̅ − 𝑦̅ ) + 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑣) ∗ √( + )) = 1 − 𝛼 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑥 𝑛 𝑦

2

2

𝑠𝑦 𝑠 ( 𝑥 + )2

Dónde:

v=

𝑛𝑥 𝑛𝑦

𝑠2 𝑦 𝑠2 ( )2 ( 𝑥 )2 𝑛𝑦 𝑛𝑥 ( )+( ) 𝑛𝑥 −1 𝑛𝑦 −1

EJERCICIOS 5. Una compañía de taxis está tratando de decidir si compra la marca A o marca B de neumáticos para su flotilla de automóviles. Para estimar la diferencia entre dos marcas se lleva a cabo un experimento con 12 neumáticos de cada marca, los neumáticos se utilizan hasta que se gastan, los resultados son: Marca A 𝑥̅ = 36 300 𝑘𝑚 𝑠𝑥 = 5 000 𝑘𝑚

Marca B 𝑦̅ = 38 100 𝑘𝑚 𝑠𝑦 = 6 100 𝑘𝑚

Calcule un intervalo de confianza para 𝜇𝑥 − 𝜇𝑦 . Suponiendo poblaciones normales con varianzas desconocidas y diferentes.

SOLUCION X=marca A Y= marca B

𝑁𝑥

X

𝑁𝑦

y

𝑛𝑥 = 12

𝑛𝑦 = 12

𝑥̅ = 36 000

𝑦̅ = 38 100

𝑠𝑥 = 5 000

𝑠𝑦 = 6 100

 1 − 𝛼 = 95% 𝛼 = 0.05 𝛼⁄ = 0.025 2 t (0.025,22)=2.074 2

2

𝑠𝑦 𝑠 ( 𝑥 + )2

 v=

𝑛𝑥 𝑛𝑦

𝑠2 𝑦 𝑠2 ( )2 ( 𝑥 )2 𝑛 𝑛𝑥 𝑦 ( )+( ) 𝑛𝑥 −1 𝑛𝑦 −1

=

50002 61002 2 + ) 12 12 50002 2 61002 2 ( ) ( ) 12 ( )+( 12 ) 12−1 12−1

(

= 21.18 ≈ 21𝑔𝑙

𝑠𝑥2 𝑠𝑦2 𝑠𝑥2 𝑠𝑦2 𝑃 ((𝑥̅ − 𝑦̅ ) − 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑣) ∗ √( + ) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (𝑥̅ − 𝑦̅ ) + 𝑡(𝛼⁄2 , 𝑣) ∗ √( + )) = 1 − 𝛼 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑥 𝑛 𝑦

5 0002

𝑃 ((36 000 − 38 100 ) − 2.074 ∗ √(

12

+

6 1002 12

5 0002

) < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < (36 000 − 38 100 ) + 2.074 ∗ √(

12

+

6 1002 12

)) = 95%

𝑷(−𝟔𝟖𝟐𝟐. 𝟐𝟒𝟏𝟗 < 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 < 𝟐𝟔𝟐𝟐. 𝟐𝟒𝟏𝟗) = 𝟗𝟓% Como:

𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 = 𝟎

𝝁𝒙 = 𝝁𝒚

Dado que el intervalo contiene al cero (0) la compañía de taxis para decidir comprar cualquiera de las dos marcas.

C) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCION (𝑷)

Para el parámetro binomial es: 𝑝̅ ∗ 𝑞 𝑝̅ ∗ 𝑞 𝑃 (𝑝̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∗ √( ) < 𝒑 < 𝑝̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∗ √( )) = 1 − 𝛼 𝑛 𝑛

Si 𝑝̅ se utiliza como una estimación de 𝑷 se puede tener una confianza (1 − 𝛼) ∗ 100% de que el error será menor que una cantidad específica “e”. Cuando el tamaño de la muestra sea aproximadamente.

𝑛=

𝑧𝛼⁄2 2 ∗ 𝑝̅ ∗ 𝑞 𝑒2

Si 𝑝̅ se utiliza como una estimación de 𝑷 se puede tener una confianza al menos del (1 − 𝛼) ∗ 100% de que el error no excederá una cantidad específica “e”, con el tamaño de la muestra sea:

𝑛=

𝑧𝛼⁄2 2 4 ∗ 𝑒2

EJERCICIOS 6. En una muestra aleatoria de 500 familias que poseen televisores en la ciudad de Piura se encontró que 340 se habían suscrito a netflix. a) Encuentra un intervalo del 95% para la proporción actual de familias en esta ciudad que se escriben a netflix. b) Que tan grande se desea que sea una muestra, si desea tener una confianza del 95% de la estimación de P estará 0.02. c) Que tan gran se requiere que sea una muestra. Si se requiere tener una confianza al menos del 95% de que la estimación de P este dentro de 0.02. SOLUCION 𝑁𝑋

X

 1 − 𝛼 = 95%

n = 500

𝛼 = 0.05  𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.025 = 1.96

𝑥 = 340 340

𝑝̅ = 500 = 0.68

𝑎)

𝑝̅ ∗𝑞 ) 𝑛

𝑃 (𝑝̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∗ √(

𝑝̅ ∗𝑞 )) 𝑛

< 𝒑 < 𝑝̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∗ √(

=1−𝛼

0.68 ∗ 0.32 0.68 ∗ 0.32 𝑃 (0.68 − 1.92 ∗ √( ) < 𝒑 < 0.68 + 1.92 ∗ √( )) = 95% 500 500

𝑷(𝟎. 𝟔𝟒 < 𝒑 < 𝟎. 𝟕𝟐) = 𝟗𝟓%

𝑏) 𝑛 = 𝑐)

𝑛=

𝑧𝛼⁄ 2 ∗𝑝̅ ∗𝑞 2

𝑒2 𝑧𝛼⁄ 2 2 4∗𝑒 2

=

=

1.962 ∗0.68∗0.32 0.022

1.962

4∗0.022

= 2 089.8304 ≅ 2 090

= 2 401

 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES Si 𝑝̅𝑥 y 𝑝̅𝑦 son las proporciones de éxitos en muestras aleatorias de tamaño 𝑛𝑥 y 𝑛𝑦 respectivamente y 𝑞̅𝑥 = 1 − 𝑝̅𝑥 y 𝑞̅𝑦 = 1 − 𝑝̅𝑦 un intervalo de confianza para la diferencia entre los dos parámetros binomiales para 𝑝𝑥 𝑝𝑦 es:

𝑝̅𝑥 ∗𝑞𝑥

𝑃 ((𝑝̅𝑥 − 𝑝̅𝑦 ) − 𝑧𝛼⁄2 ∗ √(

𝑛𝑥

𝑝̅𝑦 ∗𝑞𝑦

)+(

𝑛𝑦

𝑝̅𝑥 ∗𝑞𝑥

) < 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 < (𝑝̅𝑥 − 𝑝̅𝑦 ) + 𝑧𝛼⁄2 ∗ √(

𝑛𝑥

𝑝̅𝑦 ∗𝑞𝑦

)+(

𝑛𝑦

)) = 1 − 𝛼

EJERCICIOS 7. Se está considerando cambiar el procedimiento de manufactura de partes. Se toman muestras tanto del procedimiento actual como del nuevo. Para determinar si este último suele ser mejor. Si 75 de los 1500 artículos del procedimiento actual presentaron defectos y lo mismo sucedió con 80 de 2000 partes del nuevo procedimiento. Determine el intervalo de confianza del 90% para la diferencia real de partes de dos fracciones defectuosas. SOLUCION X= número de partes del procedimiento actual Y= número de partes del nuevo proporcional

𝑁𝑥

X

𝑁𝑦

y

𝑛𝑥 = 1500

𝑛𝑦 = 2000

𝑥 = 75

y=80

75

𝑝̅𝑥 = 1500 = 0.05

80

𝑝̅𝑦 = 2000 = 0.04

 1 − 𝛼 = 90% 𝛼 = 0.01  𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.005 = 1.64

𝑝̅𝑦 ∗ 𝑞𝑦 𝑝̅𝑦 ∗ 𝑞𝑦 𝑝̅𝑥 ∗ 𝑞𝑥 𝑝̅𝑥 ∗ 𝑞𝑥 𝑃 ((𝑝̅𝑥 − 𝑝̅𝑦 ) − 𝑧𝛼⁄2 ∗ √( )+( ) < 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 < (𝑝̅𝑥 − 𝑝̅𝑦 ) + 𝑧𝛼⁄2 ∗ √( )+( )) = 1 − 𝛼 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑥 𝑛𝑦

𝑃 ((0.05 − 0.04) − 1.64 ∗ √(

0.05∗0.95

𝑃 ((0.05 − 0.04) − 1.64 ∗ √(

0.05∗0.95

1500

1500

)+(

)+(

0.04∗0.96

0.05∗0.95

0.04∗0.96

2000

1500

2000

) < 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 < (0.05 − 0.04) + 1.64 ∗ √(

)+(

)) = 90%

0.04∗0.96

0.05∗0.95

0.04∗0.96

2000

1500

2000

) < 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 < (0.05 − 0.04) + 1.64 ∗ √(

)+(

)) = 90%

𝑷 (−𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟕 < 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 < 𝟎. 𝟎𝟐𝟐) = 𝟗𝟎% Como:

𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 = 𝟎

𝒑𝒙 = 𝒑𝒚

Dado que el intervalo contiene el valor cero (0), no hay razón para creer que el nuevo procedimiento ocasiona una disminución significativa con respecto al procedimiento actual. D) INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA(𝝈𝟐 ) si 𝑠 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño “n” de una población normal. Un intervalo de confianza del (1 − 𝛼) ∗ 100% para 𝜎 2 es:

(𝑛 − 1) ∗ 𝑠 2 (𝑛 − 1) ∗ 𝑠 2 2 𝑝( < 𝜎 < )=1−𝛼 𝑥 2𝛼 𝑥2 𝛼 ( ,𝑣) 2

Donde:

𝑥𝑣2 = 𝑣 = 𝑛 − 1

(1− ,𝑣) 2

EJERCICIOS 8. Los siguientes datos son los pesos en decagramos de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidos por determinada compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, 46.0. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que se distribuyó por esta compañía suponiendo una población normal. SOLUCION X= pesos de los paquetes de semillas de pasto. 𝑁𝑋

X

 1 − 𝛼 = 95%

n = 10

𝛼 = 0.05 𝛼 = 0.025 2

𝑥̅ = 46.16

2  𝑥(0.025,9)=19.0228 2  𝑥(0.975,9)=2.70039 

𝑠 2 = 0.2862

(𝑛 − 1) ∗ 𝑠 2 (𝑛 − 1) ∗ 𝑠 2 2 𝑝(

𝑝̅𝐴 = 40% E = 3% a) 0.37 ˂

𝑝̅𝐴 ˂ 0.43

,

0.31 ˂ 𝑝̅𝐵 ˂ 0.39

Dado que los intervalos de confianza se interpretan, no hay ganador absoluto pero si un empate teórico.

b)

1 − 𝛼 = 0.98 n=

(2.33)2 (0.4)(0.6) (0.02)2

n = 3257

, e = 0.02 = 3257.34

8) Una firma distribuye 2 marcas de cerveza. En una reciente encuesta se encontró que 60 de 120 prefieren la marca A y 50 de 80 prefieren la marca B. use un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones con el fin de determinar si son diferentes las proporciones de preferencias poblacionales. SOLUCION x = número de personas que prefieren la marca A. Y = número de personas que prefieren la marca B.

𝑁𝑥

X

𝑁𝑦

y 𝑥

𝑛𝑥 = 120

𝑛𝑦 = 80

p= 𝑛

x = 60

y = 50

60

𝑝̅𝑥 = 120 = 0.5

50

𝑝̅𝑦 = 80 = 0.625

Sabemos: P (( 𝑝̅𝑥 − 𝑝̅𝑦 ) − 𝑍𝛼⁄2 √

a.

𝑝̅𝑥 𝑞̅𝑥 𝑛𝑥

+

𝑝̅𝑦 𝑞̅𝑦 𝑛𝑦

1 − 𝛼 = 0.99 𝛼⁄ = 0.005 2

˂ 𝑝𝑥 − 𝑝𝑦 ˂( 𝑝̅𝑥 − 𝑝̅𝑦 ) + 𝑍𝛼⁄2 √

,

( 0.5 − 0.625) ± 2.58 √

𝑝̅𝑥 𝑞̅𝑥 𝑛𝑥

𝑍𝛼⁄2 = 2.58

(0.5)(0.5) (0.625)(0.375) + 120 80

− 0.30 ˂ 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 ˂ 0.057 No hay diferencia significativa.

+

𝑝̅𝑦 𝑞̅𝑦 𝑛𝑦

) = 0.99

9) Veinte estudiantes de estadística general de la facultad de economía de la UNP fueron divididos en 10 parejas, teniendo cada miembro de la pareja aproximadamente el mismo coeficiente de inteligencia. Uno de cada pareja se selecciona al azar y se asigna a una selección que utiliza video. El otro miembro se asigna a una sección que cuenta con profesor. Al analizar el ciclo ambos grupos se presentan al mismo examen obteniendo los siguientes resultados. Pareja

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Con video

15

12

17

11

18

15

16

13

14

10

Con profesor

16

10

17

14

17

16

18

12

15

11

Suponiendo que la característica en estudio se distribuya como una normal, obtener el intervalo de confianza del 98% para la diferencia real en el promedio de calificaciones de los dos procedimientos de enseñanza con base a los resultados, ¿se puede concluir que el procedimiento de enseñanza con profesor es mejor que con el del video? SOLUCION X = con profesor Y = con video

X

𝑁𝑥

𝑁𝑦

y

𝑛𝑥 = 10

𝜇𝑥

𝑛𝑦 = 10

𝜎𝑥 2

𝜎𝑦 2

𝑋̅ = 14.6

𝑦̅ = 19.1

𝑠𝑥 2 = 7.6 𝑡(

𝛼⁄ , 𝑣) 2

𝑡(

𝛼⁄ , 𝑣) 2

0.01, 18)

7.6

= 2.552

0.5 ± 2.552 √ 10 + − 2.559

𝑠𝑦 2 = 6.77

, v = 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 – 2 𝑣 = 18 = 𝑡(

𝜇𝑦

6.77 10

˂ 𝝁𝒙 − 𝝁𝒚 ˂ 3.5592

10) Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmación se escogen al azar 20 latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es de 18.5 onzas. Suponga que la población de los pesos es normal con una desviación estándar de 2 onzas. a) Utilizando un intervalo de confianza del 95% para µ, ¿se puede aceptar la afirmación del fabricante? b) ¿Qué tamaño de muestra se debe escoger para estimar µ si se quiere un error no superior a 0.98 onzas con confianza del 98%? SOLUCION

X= Numero de latas de fruta de conserva. a)

𝑁𝑋

X

 1 − 𝛼 = 95%

n = 20

𝛼 = 0.05 𝑋̅ = 2.6

 𝑧𝛼⁄2 = 𝑧0.025 = 1.96  𝑃 (𝑥̅ − 𝑧𝛼⁄2 ∗

𝜎 √𝑛

< 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼⁄2 ∗

𝑃 (18.5 − 1.96 ∗

2 √20

𝜎 ) √𝑛

=1−𝛼

< 𝜇 < 18.5 + 1.96 ∗

2 √20

) = 95%

𝑷(𝟏𝟕. 𝟔𝟐 < 𝝁 < 𝟏𝟗. 𝟑𝟖) = 𝟗𝟓%

Se puede aceptar la afirmación del fabricante que el peso promedio de las latas de fruta en conserva es 19, ya se encuentra en el intervalo de confianza para 𝜇, con una confianza de 95%. Se puede aceptar

b) 1 − 𝛼 = 98% 𝛼 = 0.02

𝑧𝛼⁄ = 𝑧0.01 = 2.33 2

𝑧𝛼⁄2 ∗ 𝜎 2 2.33 ∗ 2 2 𝑛=( ) =( ) = 22.61 𝑒 0.98

11) Una agencia de publicidad realiza un estudio para comparar la efectividad de un anuncia en la radio en dos distritos. Después de difundir el aviso se realizó una encuesta con 900 personas seleccionadas al azar, en cada uno de los dos distritos, resultando las proporciones 20% y 18% respectivamente. Si de los datos muéstrales se difiere que 𝒑𝒙 − 𝒑𝒚 ∈ [−0.0162,0.0562]. ¿Qué nivel de confianza se utilizó? SOLUCION 𝑝𝑥 = 0.2

𝑝𝑦 = 0.18

𝑞𝑥 = 0.8

𝑞𝑦 = 0.82

( 𝑝𝑥 − 𝑝𝑦 ) ± 𝑍𝛼⁄2 √

𝑝𝑥 𝑞𝑥 𝑛𝑥

+

𝑝𝑦 𝑞𝑦 𝑛𝑦

0.02 − 𝑍𝛼⁄2 (0.01849) = − 0.00162 𝑍𝛼⁄2

= 1.17

𝛼⁄ = 2

0.3790

α = 75.8

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por ahora que se producen en un kiosco. Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que realizaron durante 1 000 horas distintas; muestra cuyos resultados fueron: ventas medias por hora 4000 puntos, y varianza de dicha muestra 4000 puntos al cuadrado. Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95%. 2. Resolver el ejercicio anterior si consideramos los mismos resultados muéstrales pero la muestra ha sido de 26 horas.

3. Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la proporción de amas de casa de compran solo una vez a la semana. Si se sabe que en una muestra aleatoria simple de 400 amas de casa solo 180 afirmaron comprar una vez a la semana. 4. Estimar el porcentaje de individuos que no lee ningún periódico al día en un pueblo de 1000 habitantes y con un nivel de significación del 1%. Para ello llevamos a cabo una muestra de tamaño 100 personas distintas del pueblo, resultando que de estas 80 no leen el periódico.

5. En una empresa de 5000 trabajadores desea conocerse se ha variado mucha la valoración positiva de la gestión de la dirección, que el año pasado se concluyó fehacientemente que era del 80% de los trabajadores. Para ello se realiza una muestra de tamaño 200 resultando que la valoración positiva era considerada por el 55% de los trabajadores encuestados. ¿podemos afirmar que la valoración ha variado con probabilidad de equivocarnos del 1%? 6. El ratio de productividad anual de nuestra empresa es una variable aleatoria de comportamiento desconocido si bien conocemos que su dispersión relativa es de 2 unidades de medida, desconociendo la media de dicho ratio dar un intervalo de confianza mínima del 90%, para dicha medida si escogidos 40 días, resulto que la productividad de la productividad media se situó en el valor 6.

7. El número de errores diarios que se comenten al intentar conectar con una determinada red informática se distribuye normalmente con media desconocida. Para intentar conocer dicha media se realiza un muestra aleatoria simple de tamaño de 10 días; resultando: 2, 3, 4, 5, 4, 3, 5, -1.98, 1.98, 1 errores. Obtener un intervalo de confianza para la media de errores cometido diariamente con un nivel de significación del 1%.

8. Para la estimación de la proporción de familias con ingresos superiores 80 000 soles al año, se han realizado dos muestreos distintos, en ambos el tamaño muestral es el mismo, así como la forma de muestrear; en ambos, también, el nivel de confianza es idéntico (95.5%). En la ficha técnica del muestreo A se nos indica que p=q=0.05. en el muestreo B se nos indica que se utiliza como p la proporción de familias con ingresos superiores a 80 000 soles que se obtuvo en un sondeo anterior. Nos preguntamos por: ¿Cuál de los dos muestreos nos dará un intervalo de confianza para dicha proporción de familias con menor amplitud? ¿Por qué? ¿cuál de los dos muestreos es más riguroso? 9. Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso que pueden resistir los 300 forjados (suelo) de una construcción, realizamos 12 pruebas resultando la resistencia media hasta la rotura de 350 kg/cm2 con desviación típica de 20. Si trabajamos con un nivel de confianza de 0.9. a) ¿Ante qué tipo de muestreo nos encontramos? ¿Por qué? b) ¿Entre que valores oscila la resistencia media de los 300 forjados, si por experiencias anteriores sabemos que dicha resistencia se distribuye normalmente? 10. Intentamos conocer el porcentaje con el que se da una determinada característica de una muy amplia población, para ello decidimos realizar un muestreo aleatorio simple. Cada encuesta tiene un coste de 1 000 u.m y disponemos de 1000 000 de u.m. si se pretende trabajar con un error del 8%. ¿Cuál será el nivel de confianza con el que trabajaremos, si conocemos que dicha característica a estudiar es imposible que se de en más del 35% de la población? 11. Una muestra aleatoria extraída de una población normal de varianza de 100, presenta una media muestral 𝑥̅ = 160. Con una muestra de tamaño 14, se pide: a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional b) Calcular un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional 12. El peso en gramos de caja de cereales de una determinada marca sigue una distribución N(𝜇, 5). Se han tomado los pesos de 16 cajas seleccionadas aleatoriamente, y los resultados obtenidos han sido: 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496. a) Obtener los intervalos de confianza del 95%, 90%, 99% para la media poblacional. b) Determinar cuál sería el tamaño muestral necesario para conseguir, con un 95% de confianza, un intervalo de longitud igual a 2 gramos. c) Suponiendo ahora que 𝜎 es desconocido, calcular los intervalos de confianza para la media al 90%, 95%, 99%.

13. En una muestra de 65 sujetos de puntuación, en una escala de extroversión tienen una media de 32.7 puntos y una desviación típica de 12.64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cuál sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. 14. Se debe realizar una investigación para estimar el peso medio de los recién nacidos de madres fumadoras. Se admite un error máximo de 50 gramos, con una confianza del 95%. Si por estudios anteriores se sabe que la desviación típica del peso medio de tales recién nacidos es de 400 gramos. ¿Qué tamaño mínimo de muestra se necesita en la investigación? 15. La desviación típica de altura de los habitantes de un país es e 8cm. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 1cm con un nivel de confianza del 90%.

16. Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza? 17. En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de universitarios que acuden todas las semanas al cine.

18. En 16 recorridos de prueba, el consumo de gasolina de un motor experimental tuvo una desviación estándar de 2.2 litros. Construir un intervalo de confianza del 99% para la varianza y para la desviación estándar esperadas de este motor. 19. Supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierra población es igual a la media nacional de 3 250 gramos. Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población de estudio, se obtuvo: 𝑥̅ = 2 930 𝑠 = 450 𝑛 = 30 a) construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional 20. En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un instituto a un total de 100 votantes elegidos al azar a su ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% y otro al 99.73% para la proporción de votantes favorables al alcalde actual.

BIBLIOGRAFIA

 Intervalos de confianza. Recuperado de https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias  Santiago de la Fuente Fernández. estadística teórica II: Intervalos de confianza. Recuperado de https://www.fuenterrebollo.com