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Física – 2º Bach.

Miguel Isla

LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1.

INTRODUCCIÓN

2.

MODELOS GEOCÉNTRICO Y HELIOCÉNTRICO

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3.

– EL UNIVERSO EN LA ANTIGÜEDAD – MODELO GEOCÉNTRICO – MODELO GEOCÉNTRICO DE PTOLOMEO – MODELO HELIOCÉNTRICO DE COPÉRNICO – LAS LEYES DE KEPLER

TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

– UNIFICACIÓN DE LA MECÁNICA TERRESTRE Y LA MECÁNICA CELESTE – IDEA DE LA FUERZA GRAVITATORIA – LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL (LGU) – ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA – APLICACIONES DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL – CAOS DETERMINISTA: EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS

1 – INTRODUCCIÓN Este tema constituye el primero del 1er bloque de la asignatura, en el cual abordaremos una de las 4 fuerzas fundamentales de la Naturaleza: la fuerza gravitatoria. Este bloque consta de 3 temas:  La Interacción Gravitatoria: En este primer tema vamos a estudiar los diferentes pasos que llevaron al establecimiento de la fuerza gravitatoria, partiendo del modelo geocéntrico de Ptolomeo, pasando por el modelo heliocéntrico de Copérnico y las leyes de Kepler, y culminando en la Teoría de la Gravitación Universal formulada por Isaac Newton en el siglo XVII que describe la fuerza gravitatoria entre diferentes masas. Aprenderemos a usar dicha teoría para el estudio del movimiento planetario y de los satélites artificiales: velocidades y periodos orbitales, energías de lanzamiento, cambios de órbita, planificación de misiones espaciales, etc.  El Campo Gravitatorio: En el segundo tema se reformula la fuerza gravitatoria de Newton utilizando el concepto de campo gravitatorio, más moderno y en línea con la descripción de la Naturaleza que hace la Física en la actualidad.  El Universo: El Universo a grandes escalas se rige principalmente por la fuerza gravitatoria, de ahí que en el último tema del 1er bloque estudiemos cómo se formó el Universo (teoría del Big Bang), cuál es su estructura y composición y, no menos importante, cuál es su destino final.

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2 – MODELOS GEOCÉNTRICO Y HELIOCÉNTRICO Desde los albores de la Civilización el ser humano ha mirado el cielo y se ha preguntado por el movimiento de los astros, en especial del Sol, la Luna y los planetas1. En concreto, los modelos cosmológicos que intentan explicar el Universo y la posición de la Tierra en él han sido un problema muy discutido, que ha evolucionado a lo largo de la Historia en un proceso que alterna épocas de pocos y de muchos avances. 2.1- EL UNIVERSO EN LA ANTIGÜEDAD: EGIPCIOS Y BABILONIOS Son los primeros en realizar observaciones astronómicas sistemáticas. Poseen un cierto conocimiento de los movimientos celestes que les lleva a establecer el concepto y duración del año ya antes del 2500 aC. Esto tuvo grandes aplicaciones para sus civilizaciones, en especial la planificación de las cosechas2. A pesar de ello, ya desde entonces se considera a los fenómenos celestes algo supraterrenal, asociado a los dioses, y se dejan en manos de la religión. No se buscan explicaciones racionales. 2.2- MODELO GEOCÉNTRICO: GRECIA CLÁSICA (S IV – II aC) Los griegos3 se plantean ya modelos sobre la organización del Universo. Como era habitual en ellos, lo hacen sobre bases puramente filosóficas, basadas en razonamientos lógicos que no están comprobados experimentalmente: 1. Se separa el mundo terrestre de los hombres (imperfecto y cambiante) del mundo celestial de los dioses (perfecto e inmutable). 2. Observan que todo gira alrededor de la Tierra: las estrellas, el Sol, la Luna… 3. El movimiento perfecto es el circular uniforme, sin principio ni fin. Sobre esta base se elabora la Concepción Geocéntrica del Universo: La Tierra es esférica, inmóvil y está en el centro del Universo. La materia celeste gira a su alrededor con un movimiento circular uniforme y se estudia separada de los fenómenos y de las leyes terrestres. Para los griegos no hay relación entre lo que pasa en la Tierra y lo que pasa fuera de ella, especialmente porque afuera están los dioses que viven en su ámbito de perfección e inmutabilidad. Los objetos celestes que conocen son básicamente las estrellas del fondo, las cuales se mueven simultáneamente, y otros 7 astros cuyo movimiento era conocido y diferente para cada uno: el Sol, la Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Para explicar esto Aristóteles (S. IV a.C.) plantea un modelo geocéntrico en el cual los planetas están en esferas transparentes interconectadas entre sí y con la esfera mayor (la de las estrellas fijas), movida a su vez por un “móvil primario” de origen divino.

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Stonehenge o el disco celeste de Nebra, de hace 4500 y 3600 años respectivamente son dos ejemplos impactantes de esto. Para los egipcios era vital poder predecir las inundaciones anuales del Nilo en primavera, las cuales llevan a sus desérticas orillas los necesarios nutrientes para sus cultivos. 3 La griega fue la primera civilización que se preguntó acerca de las Leyes de la Naturaleza, tal y como iremos viendo a lo largo del curso (en electricidad, magnetismo, óptica…). Lamentablemente, en casi todos los casos se basaron únicamente en razonamientos aparentemente lógicos, en deducciones mentales que no se ocupaban de verificar experimentalmente. Esto condujo a muchas teorías erróneas que se mantuvieron durante siglos, como el geocentrismo, o el considerar que los cuerpos pesados caen más rápido que los ligeros. Aunque hubo notables excepciones (Arquímedes, Eratóstenes…), no fue hasta Galileo (S. XVI-XVII) que se generalizó la comprobación experimental de las hipótesis, base del método científico y de la Ciencia Moderna. Más info aquí. 2

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En la misma época Aristarco de Samos plantea el primer modelo heliocéntrico, con el Sol en el centro, pero es tachado de impío y olvidado. La fama de Aristóteles era tan grande que oponerse a sus ideas era algo inadmisible. 2.3- MODELO GEOCÉNTRICO DE PTOLOMEO Ptolomeo4 (S. II d.C.) en su libro Almagesto, modifica el modelo de Aristóteles para explicar los problemas que éste tenía: – Movimiento retrógrado de los planetas: 5 de los astros conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) tienen un movimiento diferente al resto. Se mueven de manera extraña, errática: su trayectoria vista desde la Tierra parece, en ocasiones, cambiar de sentido y retroceder, para luego retornar al sentido original – ver foto de abajo – . Por este hecho se les llamó “planetas”, que viene del griego errante, vagabundo.5 – Los planetas tienen además un brillo variable a lo largo del año.

Movimiento retrógrado de Marte

Introduce así los llamados epiciclos: los planetas describen una órbita circular más pequeña (epiciclo) que sigue la órbita principal (deferente). Como resultado de ambas, desde la Tierra el planeta parece hacer unos rizos a medida que sigue la órbita o deferente. Explica así el movimiento retrógrado (al hacer el rizo parece retroceder) y el brillo variable (unas veces se acerca y otras se aleja de la Tierra). A diferencia de los planetas, el Sol y la Luna no tienen epiciclo, pues su movimiento es circular uniforme, sin retrocesos. Trayectoria aparente del planeta vista desde la Tierra

Planeta

Epiciclo Retroceso aparente Tierra Tierra

Deferente Epiciclo

Deferente Planeta

Este modelo geocéntrico se mantuvo vigente unos 14 siglos, complicándose sobremanera con movimientos y esferas adicionales a medida que se realizaban más observaciones que había que cuadrar con el modelo.

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Claudio Ptolomeo (100 – 170), fue un astrónomo, astrólogo, geógrafo y matemático greco-egipcio. En todo este primer apartado de modelos geocéntrico y heliocéntrico se recomienda encarecidamente ir revisando los applets y vídeos de la hoja adjunta. Están en orden y explicados uno por uno. 5

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2.4- EL MODELO HELIOCÉNTRICO DE COPÉRNICO Copérnico6, un monje polaco del S. XV-XVI, en su obra De Revolutionibus Orbium Coelestium elabora un modelo heliocéntrico, en el cual el Sol es el centro del Universo7. La Tierra y los demás planetas giran a su alrededor, mientras que las estrellas permanecen fijas. Además la Tierra gira sobre sí misma (rotación) mientras que la Luna gira alrededor de la Tierra. Es un modelo más simple que el de Ptolomeo, ya que elimina los epiciclos y demás añadidos posteriores, volviendo al movimiento circular puro. Además explica el movimiento retrógrado de una manera más elegante: Fig. de la derecha: la mayor velocidad de traslación de la Tierra hace que ésta adelante a Marte entre las posiciones 5 y 6, lo cual visto desde la Tierra se aprecia como un retroceso aparente de Marte. Después retoma su trayectoria original.

El modelo heliocéntrico se encuentra con una feroz oposición por partida doble: por un lado se opone a la cosmología geocéntrica aristotélica vigente casi 20 siglos y que, a su modo, había tenido un relativo éxito. A esto hay que añadir que el sistema geocéntrico fue cristianizado y asumido por la Iglesia católica, estableciendo como dogma de fe de la Iglesia que la Tierra es el centro de la creación, no un simple planeta más en torno al Sol. Por ello se prohibió y se persiguió a sus defensores: Copérnico de hecho no lo publica en vida por miedo a posibles represalias de la Iglesia8, Giordano Bruno fue quemado vivo en la hoguera por defenderla9 y Galileo casi siguió sus pasos, siendo finalmente encerrado en casa de por vida. La importancia de la obra de Copérnico va más allá de su valor científico: es una obra revolucionaria, precursora de grandes cambios científicos inminentes. Copérnico logra poner en marcha unos caminos que a la larga romperán las intransigentes barreras de la religión e inaugurarán la Ciencia moderna basada en la razón y en los hechos demostrables. Además, en realidad al inicio no explicaba nada que Ptolomeo no explicara a su manera, por lo que hicieron falta más pruebas experimentales.

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Nicolás Copérnico (1473–1543) astrónomo polaco considerado como el fundador de la astronomía moderna, y pieza clave en lo que se llamó la Revolución Científica en la época del Renacimiento. 7 Entendiendo por Universo el Sol, los planetas, la Luna y las estrellas (ni las galaxias ni nada parecido se conocían entonces). 8 Es un editor y conocido suyo, Andreas Osiander, el encargado de publicar la primera edición en 1543. 9 Giordano Bruno, astrónomo italiano (1548-1600) condenado por la Inquisición. Sus teorías cosmológicas superaron el modelo copernicano proponiendo que el Sol era simplemente una estrella, y que el Universo contenía un infinito número de mundos habitados por seres inteligentes.

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2.5- LAS LEYES DE KEPLER  Tycho Brahe Era el astrónomo real de la corte danesa10. Observó y anotó durante 20 años la posición de los astros con una precisión sin precedentes (estamos aún en la era pre-telescopio), compilando unos valiosísimos datos sobre los planetas y sus posiciones. Descubre además que ni siquiera las estrellas son inmutables al observar por vez primera una supernova. También acaba con la idea, que aún persistía desde Aristóteles, de que las esferas en las que se mueven los planetas son sólidas: “existen solo en la imaginación”, afirmó Brahe. Sin embargo no acepta el modelo de Copérnico, planteando un modelo híbrido entre el heliocentrismo y el geocentrismo: La Tierra es el centro. La Luna, el Sol y las estrellas fijas giran alrededor. Pero los planetas giran alrededor del Sol, no de la Tierra.

 Johannes Kepler Astrónomo alemán, fue colaborador de Tycho Brahe durante un tiempo. Mejor teórico que Brahe, y firme defensor del heliocentrismo, Kepler ansiaba los datos que este último había recabado durante años para probarlo. Brahe, desconfiado, no se los dejaba y no es hasta la muerte del astrónomo danés que Kepler se hace con ellos.11 Trabajando con esos datos deduce sus famosas 3 leyes sobre el movimiento planetario, conocidas como: LEYES DE KEPLER

1. Los planetas giran alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos. 2. El vector de posición que une el Sol con cada planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad areolar constante). 3. El periodo de la órbita al cuadrado dividido por el radio medio de la órbita al cubo es una constante idéntica para todos los planetas:

T2  cte → R3

3ª ley de Kepler

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Tycho Brahe (Dinamarca 1546 – Praga 1601): el más grande observador del cielo de la era pre-telescopio. Más allá de sus logros científicos, fue todo un personaje de su época: perdió su nariz en una pelea, excéntrico, aficionado a la bebida y las comilonas… Ver más detalles aquí. 11 Johannes Kepler (Alemania 1571 – 1630) y Tycho Brahe tuvieron una relación muy tensa, marcada por la desconfianza. Sobre la forma en la que Kepler obtuvo las tablas de datos de Brahe se ha escrito mucho; desde que en su lecho de muerte Brahe se las entregó a Kepler para que su vida “no fuera en vano”, hasta que Kepler asesinó a Brahe con mercurio – se encontraron grandes cantidades en su exhumación de 1999 – para hacerse con ellas.

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Periodo T Radio orbital T2/R3 (años) promedio R (UA) (años2/UA3) Mercurio 0.241 0.39 0.98 Venus 0.615 0.72 1.01 Tierra 1.00 1.00 1.00 Marte 1.88 1.52 1.01 Júpiter 11.8 5.20 0.99 Saturno 29.5 9.54 1.00 Planeta

1ª y 2ª Ley de Kepler

3ª Ley de Kepler

Esas tres leyes confirmaron experimentalmente el Modelo Heliocéntrico y perfeccionaron el modelo de Copérnico. Se abandonaron de forma definitiva las ideas griegas: ni la Tierra es el centro, ni las órbitas son circulares, ni el movimiento es uniforme: Para cumplir la 2ª ley los planetas deben ir más rápido cerca del Sol (perihelio) que lejos de él (afelio)

De hecho estas leyes se cumplen para cualquier cuerpo que orbita en torno a otro (por ejemplo, para la Luna y todos los satélites artificiales alrededor de la Tierra también se verifican). Otra consecuencia de la 3ª Ley de Kepler es que cuanto más cerca está el planeta/satélite al cuerpo en torno al cual orbita (menor R), más rápido se mueve (menor T). Por eso Mercurio va mucho más deprisa que la Tierra o que Júpiter, como vemos en la tabla de arriba.

 Galileo Galilei Es muy importante destacar los aportes del genio de Pisa12. Con su perfeccionamiento y uso del telescopio acaba con la idea de un cielo inmutable: descubre cráteres y montañas en la Luna, nuevas estrellas invisibles a simple vista, satélites en Júpiter, manchas en el Sol… Aporta además pruebas que apoyan el Modelo Heliocéntrico, en especial que Venus tiene fases como la Luna, algo sólo explicable si este planeta gira alrededor del Sol. Sus trabajos se publican en 1632 en un libro llamado Diálogos sobre los dos máximos sistemas del mundo. En él Galileo utiliza tres personajes que dialogan sobre el geocentrismo y el heliocentrismo; el personaje defensor del sistema copernicano es él mismo bajo el nombre de Salviati “el académico” (Galileo tenía dicho título), mientras que el defensor del sistema ptolemaico, con un innegable sentido del humor por parte de Galileo, es llamado Simplicio. El tercero es Sagredo, que representa la búsqueda de la verdad sin aferrarse a dogma alguno. Como es de esperar, Simplicio es superado y casi ridiculizado en la obra. Al ser el geocentrismo la doctrina defendida por la Iglesia, Galileo es acusado formalmente de herejía, y el libro prohibido casi 200 años13. Como es conocido, en el juicio Galileo es obligado a retractarse bajo pena de muerte y afirmar que la Tierra es el centro del Universo, tras lo cual se afirma que pronuncia entre susurros una de las más famosas frases de la Física: Eppur si muove (y sin embargo se mueve – la Tierra–) Finalmente es encerrado en casa de por vida, donde sigue trabajando hasta su muerte en los fundamentos de la Física, la primera Ciencia en desarrollarse como tal. Y es que Galileo inicia así una nueva astronomía basada en la observación y experimentación y alejada de la religión y la filosofía griega, concepto que se extiende con rapidez a toda la Física e influye notablemente en Newton y sus contemporáneos. Descubre además que todos los cuerpos caen a la vez, con la misma aceleración independientemente de su masa (el legendario experimento en la torre de Pisa). Esto ayudará a Newton en sus razonamientos sobre la Teoría de la Gravitación Universal que veremos a continuación. 12

Galileo Galilei (Pisa 1564 – Florencia 1642), fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el heliocentrismo. Es considerado el padre de la física moderna y el “padre de la ciencia”. 13 La discusión no se limita a los asuntos astronómicos, sino que se extiende sobre buena parte de la ciencia contemporánea. Se ilustra lo que Galileo consideraba buena ciencia, es decir, aquella basada en la experimentación. En este libro introduce también conceptos fundamentales sobre el movimiento, como el principio de inercia que posteriormente desarrollará Newton en sus famosas Leyes de la Dinámica.

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3 – TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON (TGU) 3.1- UNIFICACIÓN DE LA MECÁNICA TERRESTRE Y LA MECÁNICA CELESTE Tras el Modelo Heliocéntrico de Kepler, puramente descriptivo, se planteaba ahora el determinar qué fuerzas rigen esos movimientos de los astros; por qué es así, y no de otra manera. Newton14 observa las fuerzas que actúan sobre los objetos terrestres en caída libre, las cuales vienen dadas por las tres leyes de la dinámica ideadas por él mismo. En un acto de intuición genial razona que dichas fuerzas han de ser las mismas fuerzas que rigen la dinámica planetaria. La leyenda dice que un día estaba descansando en su jardín cuando vio caer una manzana de un árbol. Newton, que llevaba tiempo pensando en el movimiento de la Luna, supuso que en realidad la Luna también está cayendo (como explicaremos después), y que ambos fenómenos, el movimiento de la manzana al caer y el de la Luna alrededor de la Tierra, están relacionados entre sí.

Esto no es un razonamiento trivial: recordemos que, fruto de los pensamientos aristotélicos, durante 2000 años se viene pensando que los fenómenos terrestres tienen un origen muy diferente a los fenómenos celestes (ver aptdo 2.2). Con esta idea Newton realiza la primera unificación en la Física: la unión de la mecánica celeste con la mecánica terrestre15. Es realmente un concepto revolucionario en la época, que necesitó de las irrefutables pruebas que Newton aportó para ser aceptado. Newton culmina así el cambio introducido por Galileo: se impone el método experimental para ratificar y probar los razonamientos y las leyes naturales. Es decir, se impone el Método Científico como herramienta para buscar la verdad: Nace la Física como ciencia moderna. Es más, la Física es la primera ciencia moderna. 3.2- IDEA DE LA FUERZA GRAVITATORIA En su obra cumbre Principia Mathemática Philosophie Naturalis, Newton expone sus razonamientos acerca de la fuerza gravitatoria que da lugar a los movimientos planetarios16. La mayoría están basados en sus tres leyes de la dinámica que definen el concepto de fuerza: i.

Existe una fuerza sobre los planetas. Si no fuera así, tendríamos F  m  a  0 , y en consecuencia se moverían con un MRU.

ii.

Esa fuerza ha de ser central o centrípeta. Recordemos que una fuerza central es aquella que está dirigida a lo largo de una recta radial hacia un centro fijo y cuya magnitud sólo depende de la distancia a dicho centro r. Una fuerza central cambia la dirección de la velocidad, creando una aceleración que llamamos centrípeta, ac. Newton demuestra que solo una fuerza así es capaz de crear las elipses que describen los planetas.

iii. Depende de la masa. A mayor masa, más intensa será la fuerza, tal y como indica su ley de la dinámica: F = ma. 14

Isaac Newton (Inglaterra, 1643-1727), es uno de los más grandes científicos – si no el que más – de la historia de la Ciencia. Describió la Ley de la Gravitación Universal (primera de las cuatro fuerzas fundamentales en ser descrita), las bases de la mecánica clásica que estudia el movimiento y las fuerzas, desarrolló el cálculo diferencial e integral básico en toda la Ciencia, hizo importantísimos descubrimientos en óptica, termodinámica, mecánica de fluidos, matemáticas… Fue respetado durante toda su vida como ningún otro científico: fue profesor en Cambridge, presidente de la Royal Society, miembro del Parlamento, presidente de la Casa de la Moneda, y recibió el título de Sir de manos de la Reina Ana. 15 Habrá muchas más posteriormente, alguna de las cuales estudiaremos. Por ejemplo, la unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos en el electromagnetismo, el cual a su vez incorporará a la óptica. 16 Los Principia de Newton marcaron un punto de inflexión en la historia de la Ciencia y son considerados, por muchos, como la obra científica más importante de la Historia. Puede verse online su primera edición aquí.

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iv. Depende de la distancia entre las masas. Newton deduce matemáticamente que la fuerza centrípeta que hace mover a los planetas debe ser directamente proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia Sol-planeta:

FGRAV  v.

1 r2

Esa fuerza gravitatoria es universal: no se ejerce solo entre el Sol y los planetas, sino entre todos los objetos con masa del Universo. Entre la Tierra y la manzana, la Tierra y la Luna, el Sol y la Tierra…

Y plantea la siguiente hipótesis: “Todos los cuerpos del Universo se ejercen entre sí una fuerza gravitatoria igual a la que existe entre la Tierra y un objeto que cae a ella”

3.3- LA LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL (LGU) Como se ha descrito arriba, Newton supone entonces que la Tierra es la responsable tanto del movimiento de caída libre de los objetos hacia ella, como del movimiento de la Luna a su alrededor. Eso le llevó a la siguiente pregunta: “¿Por qué los objetos caen en línea recta hacia la Tierra (como las famosas manzanas), pero no cae la Luna hacia nosotros?” Para ello razona qué sucedería si desde la cima de una montaña disparásemos una bala en horizontal (figura de la derecha). Al aumentar la velocidad llega cada vez más lejos antes de caer a la Tierra, hasta que alcanza una velocidad tal que retorna al punto de partida (velocidad orbital). Si eliminamos el rozamiento pasará de nuevo con la misma velocidad inicial y permanecerá indefinidamente dando vueltas17. Newton deduce acertadamente que la Luna sí cae también hacia la Tierra, pero su velocidad orbital es tan alta que nunca acaba cayendo a la Tierra (recordemos que al no haber aire en el espacio la Luna no se frena nunca). Al realizar un movimiento circular uniforme su aceleración “de caída” será la aceleración centrípeta: v2 v2 a cent   a luna  luna r rTierra-luna Basándose en la unificación del punto 3.1 compara entonces la caída libre de un objeto como la manzana en la superficie terrestre – la aceleración de la gravedad g – con la aceleración de caída de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra – aceleración centrípeta aluna – (fig. abajo). Newton descubre que efectivamente las aceleraciones de ambos cuerpos están en razón inversa del cuadrado de las distancias de cada objeto hasta la Tierra, lo que prueba el razonamiento de 3.2 iv). Esto le reafirma en su idea de que efectivamente tanto la manzana como la Luna (y en general cualquier objeto del Universo) se rigen por una misma fuerza, la fuerza gravitatoria. ¿Qué ecuación describe esa fuerza gravitatoria? Basándose en sus razonamientos anteriores, en las leyes de Kepler (especialmente la 3ª), y en el hecho de que todos los objetos caen bajo la misma aceleración – tal y como dedujo Galileo y tal y como comprueba Newton que también se cumple con la Luna–, llega a que:

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Ver el primer applet del ap. 3.3 de la hoja de applets.

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Fgravit  G

m1 m 2

(1)

r122

“La fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 es atractiva, directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia que las separa, r12, al cuadrado”. G es una constante universal.

aluna

F21

FT-L

m1

g

F12 rˆ12

rˆ21

m2

r12 FL-T La atracción gravitatoria creada por la Tierra causa la aceleración g en la manzana y aluna en la Luna

Vectorialmente:

F12   G

m1 m 2 r122

rˆ12

→ Ley de Gravitación Universal

• F12 : fuerza gravitatoria que la masa m1 ejerce sobre la masa m2. • Dirección: está dirigida a lo largo de la línea que une ambas masas. Viene dada por el vector unitario rˆ12 . • Sentido: siempre atractivo entre las dos masas (de ahí el signo –). • Módulo: ecuación (1).

Características generales: • Se ejercen siempre en parejas: por la 3ª Ley Newton (ley de acción-reacción): F12   F21 Las fuerzas gravitatorias actúan en ambas masas con la misma magnitud pero en sentidos opuestos (fig. arriba). Ej: la misma fuerza ejerce la Tierra sobre la manzana, que la manzana sobre la Tierra, pero en sentidos opuestos; sobre la Tierra el efecto es inapreciable por la gran diferencia de masas (la aceleración con la que sube la Tierra hacia la manzana es a = Fgrav/MTierra).

• Ppio. Superposición: Si hay varias masas actuando sobre otra, el efecto total sobre ésta es la suma vectorial de las fuerzas creadas por cada una de las masas sobre aquella.

FT1 

F

i1

 F21  F31  F41  ...

i 2

• Supone cuerpos puntuales: Newton demostró que un cuerpo esférico extenso es equivalente gravitatoriamente a concentrar toda su masa en un punto en su centro. Se deben calcular entonces las distancias r12 desde el centro de la masa 1 al centro de la masa 2. Ej: para calcular la gravedad sobre la manzana que está a una altura h respecto del suelo, la distancia a usar será r12 = RT + h.

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• Constante de Gravitación Universal, G: Es muy pequeña, ya que la fuerza gravitatoria entre cuerpos normales es minúscula. Henry Cavendish la midió experimentalmente en el S. XVIII con una balanza de torsión18. Las masas M, fijas, atraen a las m y el sistema gira un ángulo φ. En ese equilibrio alcanzado, Fgravedad = Ftorsión = cte∙φ. Midiendo φ, y conocida la cte de torsión del hilo se puede hallar G. El valor actual es:

G = 6,67∙10–11 Nm2/kg2

• Órbitas Circulares: En los problemas supondremos, por simplificar cálculos, que las órbitas son circulares. El procedimiento general es usar la 2ª ley de la dinámica de Newton: F = m∙a, donde F es la fuerza gravitatoria entre m1 y m2 – ec. (1) – y a la aceleración centrípeta (ac = v2/R), que es la que actúa en movimientos circulares uniformes19.

F  m  a  Fgrav,12  m 2  a centr

•

 G

m1 m 2 r122

 m2 

v

acent

2

v r12

Éxitos: o Permitió demostrar las Leyes de Kepler. Newton demuestra que las únicas órbitas cerradas compatibles con la LGU son las elipses (1ª Ley Kepler). En los problemas veremos la demostración de la 2ª y la 3ª.

o Fue capaz de predecir la existencia de nuevos planetas aún no observados. Las pequeñas discrepancias observadas en las posiciones de Urano respecto a las predichas por la LGU llevaron a suponer la existencia de un nuevo planeta más allá de Urano que lo perturbaba gravitacionalmente. Usando la LGU Leverrier calculó la órbita de ese supuesto octavo planeta en función esas anomalías. En 1846 fue encontrado justo donde Leverrier había predicho que se encontraría (así se descubrió también Plutón). Con este método también se detectan planetas extrasolares midiendo las perturbaciones gravitatorias sobre su estrella, se descubren agujeros negros viendo cómo las estrellas orbitan en torno a “algo” invisible20…

o Explicó el fenómeno de las mareas. o Permite describir con gran precisión el movimiento de satélites artificiales y de sondas espaciales a otros planetas. En muchos casos son misiones que se planifican para varios años. Las sondas viajan de manera prácticamente automática, teniendo en cuenta únicamente las atracciones gravitatorias con los planetas que se encuentra, sin apenas correcciones con los motores en su camino. Todo eso se calcula con gran precisión gracias a la LGU de Newton (ver ap. 3.5 D)). Ej. las Voyager 1 y 2.21

o Supuso el triunfo del Método Científico: Hipótesis de Copérnico, medidas experimentales de Brahe, análisis de datos de Kepler y teoría explicativa final de Newton. 18

Henry Cavendish, físico y químico británico (1731–1810). Realmente el propósito de Cavendish con este experimento era medir la densidad de la Tierra (“pesar el mundo”, como dijo); el valor de G se obtuvo a partir de ahí más tarde. Además es conocido por descubrir la composición del agua. Una animación sobre su experimento con la balanza de torsión puede verse en la hoja de applets, ap. 3.3. 19 Por supuesto, la LGU es igualmente válida para las órbitas elípticas o de cualquier forma en general. Sin embargo eso complica los cálculos, y no entra dentro de los objetivos de este curso. La aproximación de órbitas circulares es bastante buena para los planetas y satélites, cuyas órbitas son muy cercanas a una circunferencia. 20 Por ej: http://www.youtube.com/watch?v=5P9Ib4-xuic 21 Ver este vídeo sobre sus trayectorias respectivas: http://www.youtube.com/watch?v=cTIGOe5ckj0&feature=related

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3.4- ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA, Ep Las interacciones gravitatorias se suelen estudiar también en términos energéticos22. Dos o más masas cercanas acumulan siempre una cierta cantidad de energía; para estudiarlo se introduce una nueva magnitud que se denomina ENERGÍA POTENCIAL, Ep. La energía potencial está asociada a la configuración de nuestro sistema; en este caso, el cómo estén dispuestas las masas, que son las responsables de la interacción gravitatoria, va a determinar la cantidad de ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA que hay almacenada: Supongamos la Tierra y una pesa de 5 kg que queremos subir en alto. Como ambos objetos tienden a atraerse, para subir la pesa es necesario aplicar una cierta cantidad de energía +E para vencer la gravedad (nos cuesta trabajo, no es algo espontáneo). Esa energía que hemos aplicado para cambiar la configuración del sistema se almacena en forma de energía potencial gravitatoria, Ep.

Lo más interesante de esto es que, en gravitación, el camino por el cual movemos un objeto en presencia de otro es irrelevante. El trabajo necesario para mover una masa m desde el punto A al punto B en presencia del objeto M es independiente de la trayectoria que escojamos. Solo depende del punto inicial y del punto final23.

Cuando eso sucede se dice que la fuerza es conservativa. La gravedad cumple esta condición, por eso se dice que la fuerza gravitatoria es conservativa. Por lo tanto, para mover una masa en presencia de otra será preciso realizar un trabajo, W. Este trabajo depende, si las fuerzas son conservativas, únicamente de la configuración inicial y final de las masas. Es decir, depende solamente de la distancia que hay entre ellas tanto al inicio como al final. Esas posiciones inicial y final de las masas se expresan a través de la energía potencial gravitatoria, y se cumple que:

WAB  Ep →

Trabajo para desplazar una masa

El trabajo realizado para mover una masa en presencia de otra, desde la posición A a la B, es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo.

Es decir:

WAB  Ep    Ep, final  Ep, inicial   Ep, inicial  Ep, final Criterio de Signos del Trabajo: o W > 0 : un trabajo positivo indica que la Ep,inicial > Ep,final , es decir, que se libera energía. Es un proceso espontáneo, que no cuesta trabajo. o W < 0 : un trabajo negativo indica que la Ep,inicial < Ep,final , es decir, que se acumula energía. Es un proceso no espontáneo, que cuesta trabajo externo.

Nos falta ahora averiguar cómo se calcula esa energía potencial, lo cual veremos en el siguiente apartado. 22

Ya en otros cursos se ha calculado por ej. la velocidad de un objeto al llegar al suelo de dos formas equivalentes: usando las ecuaciones de la cinemática o usando la conservación de la energía. 23 Démonos cuenta de que no hemos incluido las fuerzas de rozamiento en esta descripción (estas fuerzas no son conservativas).

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A) ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ASOCIADA A UN SISTEMA DE DOS MASAS

La Ep no se puede calcular de manera absoluta24: al depender de la posición relativa de, al menos, dos masas, es necesario establecer siempre un origen de referencia. Ese origen se escoge cuando las masas están infinitamente alejadas entre sí. En el infinito (r → ∞) la fuerza gravitatoria entre ellas es nula (Fgrav → 0), luego no habrá interacción entre ellas y la Ep gravitatoria será también cero:

E p   0

Supongamos ahora dos masas, m1 y m2; m1 está fija, y m2 en el infinito. Si ahora acercamos a la masa 2 hasta una cierta distancia r12 entre de m1, la energía potencial gravitatoria almacenada por ese sistema se calcula como:

Ep   G

m1m 2 r12

→ Energía potencial gravitatoria

o Físicamente representa el trabajo que hay que hacer para llevar a la masa m2 desde el ∞ hasta una distancia r12 de m1 en presencia de dicha masa: W  r12 o Se mide en Julios [J], unidad del S.I. de energía y trabajo. o Criterio de signos de la Energía:  E > 0 : energías positivas significan repulsión, sistemas no ligados.  E < 0 : energías negativas significan atracción, sistemas ligados. La energía potencial gravitatoria, calculada con la ec. anterior siempre es negativa (G, m, r son cantidades positivas siempre); es decir, siempre indica atracción entre las masas m1 y m2 (como ya sabemos).

o La Ep es un escalar, no un vector. Se define únicamente con un número. o La Ep es mínima cuando las masas están juntas del todo: aumenta en número, pero es negativa (Ep = – ∞). Al alejar las masas la Ep va creciendo hasta valer cero, su valor máximo (con r12 = ∞, ver gráfica de arriba). Por lo tanto si levantamos una masa en la Tierra, o alejamos un satélite de ella, la Ep ↑. Es lo que se explicó al inicio; aumenta porque el sistema almacena energía (la que estamos aplicando externamente para separar las masas). Esa Ep almacenada se libera si dejamos las masas libres (al atraerse se transforma en Ecinética).

o Si hay varias masas: se suman las Ep de las masas tomadas de dos en dos. Ep,total = Ep,1-2 + Ep,1-3 + Ep,2-3

24

Al contrario que la energía cinética, que siempre se calcula Ec = mv2/2, sea el sistema que sea.

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B) VARIACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA ENTRE DOS PUNTOS A Y B

Hemos visto antes que a cada posición relativa de dos masas le corresponde una cierta E p gravitatoria. Si cambiamos esa posición relativa, la Ep también cambiará. Supongamos un caso habitual: la Tierra y otra masa, por ej. un satélite artificial, el cual queremos mover de una órbita A a otra órbita B. ¿Cuánto cambia la energía potencial al hacerlo? Sean sus masas respectivas MT y ms. Recordar: las distancias se miden hasta el centro de la Tierra, ya que se consideran cuerpos puntuales, con la masa concentrada en su centro de masas.

E p  E p (B)  E p (A)   G

M T ms  M m    G T s rB rA 

  1 1   G M T m s      rA rB 

Recordemos que esa variación de energía potencial, cambiada de signo, se corresponde con el trabajo que hay que hacer para mover ese satélite de A → B:

WAB  E p o Si pasa a una órbita superior, A → B 

WAB  0 : No espontáneo, cuesta energía.

o Si pasa a una órbita inferior, B → A  WA B  0 : Espontáneo, libera Epot (en forma de Ecin) o Si no cambia de órbita ΔEp = 0, luego no cuesta trabajo moverle dentro de la misma órbita. A esas superficies se las llama superficies equipotenciales. En el caso de cuerpos puntuales o esféricos, las superficies equipotenciales son esferas alrededor de esa masa. Por eso los satélites se mantienen en su órbita sin necesidad de motores: no consumen energía/trabajo dentro de ella.25 o Si el cambio de posición es desde la superficie hasta una altura h pequeña, se puede demostrar que ΔEp = mgh, la expresión que se enseña inicialmente en los cursos inferiores.

C) ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE

Es un caso particular muy habitual. Una de los dos cuerpos es la Tierra, de masa MT, y el otro es un cuerpo cualquiera de masa m, situado a una altura h respecto del suelo. La Ep de ese cuerpo dentro de la gravedad terrestre será:

Ep   G

MTm MTm  G R T  h  r

25

En realidad hay un cierto rozamiento con la tenue atmósfera que hay a esas alturas, por eso van perdiendo energía y altura poco a poco, y hay que encender los motores cada cierto tiempo para compensar dicha pérdida: corrección de órbita.

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3.5- APLICACIONES DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Permite calcular el movimiento de planetas, satélites, galaxias… y de cualquier cuerpo celeste en general con una gran precisión. Nos va a permitir conocer su periodo orbital, su velocidad en la órbita, el valor de la masa en torno a la cual da vueltas, etc. Como se mencionó arriba, el proceso es siempre muy similar: a) Se consideran órbitas circulares. b) Se aplica la 2ª ley de Newton al cuerpo en movimiento m2, donde F será la fuerza gravitatoria con la que m1 atrae a m2 y a la aceleración centrípeta del objeto m2 que está moviéndose orbitando en torno a m1:

F  m  a  Fgrav,1-2  m2  a centr

v

acent

mm v2  G 12 2  m2  r12 r12

A partir de aquí podemos extraer varios parámetros del objeto en órbita: • Velocidad Orbital, v: Despejamos arriba:

v

G m1 r12

Observar que no depende de la masa del objeto, solo de la masa del cuerpo en torno al cual orbita. Cuanto más cerca está, más rápido se mueve en su órbita.

→

• Periodo Orbital, T: Para ello recordemos que la velocidad de un satélite en una órbita circular es constante; luego v = espacio/tiempo. Es decir, v = 2πr/T. Si lo sustituimos arriba podemos despejar el periodo:

T  2

3 r12

G m1

Observar que tampoco depende de la masa del objeto, solo de la masa del cuerpo en torno al cual orbita. Cuanto más cerca está, menor es su periodo.

→

Con esta misma fórmula se puede deducir la masa de cualquier planeta. Basta con observar un satélite que orbite en torno a él: se mide el tiempo que tarda en dar una vuelta completa al planeta (es decir, su periodo T) y la distancia entre ambos (de centro a centro, recordemos). Despejando la masa m1 arriba tendremos la masa del planeta en torno al cual orbita dicho satélite. Podemos así hallar la masa de la Tierra utilizando los datos conocidos de la Luna. Pero no tiene por qué ser un planeta. Basta con que sea un cuerpo que orbite en torno a otro. Por ejemplo, podemos deducir a partir de ahí la masa del Sol utilizando los datos conocidos de la Tierra.

• Gravedad en la Superficie, g0: Se puede calcular también el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de cualquier planeta, satélite… Se le suele indicar como g0 (en lugar de g a secas, que indica la aceleración de la gravedad a una cierta distancia r del planeta). Para ello se tiene en cuenta que la fuerza gravitatoria en las cercanías de la superficie terrestre crea una aceleración que es g0:

m

F  m a  Fgrav  m g 0

Fgrav g0 G

MT RT

MT R T2

→

 G

MTm R T2

 m g0



Aceleración de la gravedad en las cercanías de la superficie terrestre. Si sustituimos el valor de G, MT y RT nos da el conocido valor de 9,8 m/s2.

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ENERGÍA TOTAL DE UN SATÉLITE: En otros problemas necesitamos conocer la energía total que tiene un satélite situado en una órbita de altura h. Con este dato podremos, por ejemplo, calcular la energía necesaria para ponerlo en órbita, o para cambiar dicha órbita, para expulsarlo de la gravedad terrestre y que visite otros planetas, etc. A) ENERGÍA TOTAL DE UN SATÉLITE EN SU ÓRBITA La energía que tiene un satélite es energía mecánica, es decir, la suma de la energía asociada a su movimiento (Ecinética), más la energía asociada a estar en presencia de otra masa, generalmente la Tierra (Epotencial gravitatoria):

E mec  E cin  E pot Sea un satélite de masa ms, orbitando a una altura h de la Tierra (si es otro sistema, pues no hay más que cambiar las masas, el procedimiento es idéntico). Teniendo en cuenta la expresión general para la energía cinética, la fórmula de la energía potencial gravitatoria vista antes (3.4-A), y la expresión para la velocidad orbital de arriba (3.5), tenemos26:

E mec  E cin  E pot 

M m M m GM T 1 1 ms v 2  G T s  ms G T s 2 RT  h 2 RT  h RT  h v2

Es decir:

E mec  

1 G M T ms → Energía de un satélite en órbita 2 RT  h

o Es de signo negativo, lo que significa que es energía atractiva, es un sistema de masas ligado. o A medida que se aleja, se hará menos negativa, es decir, estará menos unido a la Tierra gravitacionalmente. Se hará nula en el infinito.

B) ENERGÍA PARA PONER UN SATÉLITE EN ÓRBITA: ENERGÍA DE LANZAMIENTO Ahora queremos calcular la energía necesaria que hay que dar para lanzar un satélite desde la superficie de la Tierra hasta una órbita de altura h (esa energía se suministra mediante un cohete que quema combustible). Por conservación de la energía:

Esuperficie terrestre  Elanzamiento  Eórbita Por lo tanto la energía necesaria de lanzamiento será la diferencia entre la energía final (en la órbita) menos la energía inicial (en la superficie terrestre):

Elanzamiento  E  Eórbita  Esuperficie terrestre Simplifiquemos llamándolos puntos inicial, i, y final, f. En cada lugar tiene Ecinética y Epotencial, luego:

Elanzamiento   Ecin, f  Epot, f    Ecin, i  E pot, i 

26

Recordar: en esas expresiones, r12 es ahora (RT + h), ya que las distancias entre los cuerpos se miden de centro a centro.

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Sustituyendo:

1 M m  1 M m  Elanzamiento   ms vf2  G T s    ms vi2  G T s  RT  h   2 RT  2 vf es la velocidad del satélite en la órbita, que ya conocemos (ap. 3.5): vf  GMT R T + h vi es la velocidad del satélite previa al lanzamiento; podría pensarse que es nula ya que el cohete está en reposo antes de lanzarlo. En realidad el satélite ya tiene inicialmente una cierta velocidad inicial porque la Tierra está girando, luego ya tiene una cierta energía cinética. Sin embargo, para facilitar los cálculos, se considerará la aproximación de que la Tierra está en reposo, es decir, que no gira. Por lo tanto: vi = 0. Si sustituimos en la Elanzamiento lo que valen vf y vi queda:

E lanzamiento  

1 G M T ms M m  G T s → Energía de lanzamiento de un satélite 2 RT  h RT

Energía de un satélite en órbita (ap. A)

o En definitiva lo que queda es la energía del satélite en la órbita (ver parte A) menos la Epot gravitatoria en la superficie terrestre. o Es de signo positivo, lo que significa que es energía que hay que suministrar al satélite. o La aproximación hecha de Tierra en reposo es aceptable, pero en la realidad se intenta aprovechar al máximo la rotación terrestre. Para ello los satélites se lanzan hacia el Este (sentido de rotación de la Tierra), y lo más cerca posible del ecuador, ya que es donde la velocidad lineal de rotación (v = 2πRT/T) es mayor. Se consigue así un impulso adicional que hace necesario menos combustible para el lanzamiento27. o Sacamos así los julios de energía necesarios. Si ahora conocemos el rendimiento energético del combustible (J/kg) ya podremos saber cuánto combustible necesitaremos. o VELOCIDAD DE LANZAMIENTO Es la velocidad inicial con la cual hay que lanzar el satélite para que alcance una altura determinada, h. A partir de la ecuación anterior es muy sencillo: no hay más que tener en cuenta que la Elanzamiento es Ecinética:

M m 1 1 G M T ms 2 Elanzamiento  ms vlanz  G T s 2 2 RT  h RT Despejando la velocidad de lanzamiento (también llamada “de satelización”):

 2 1  vlanz  GM T    →  RT RT  h 

Velocidad de lanzamiento de un satélite

Observar que la velocidad de lanzamiento no depende de la masa del satélite. La energía de lanzamiento sí, porque obviamente no es lo mismo dar esa velocidad a una piedra que a un cohete de 10 toneladas28.

27

En el ecuador la vrotación es de 1668 km/h. Por eso los países sitúan las bases de lanzamiento lo más cerca que puedan del ecuador dentro de sus territorios: EEUU en Florida (Cabo Cañaveral), Rusia en Kazajistán (Baikonur) y la UE en la Guayana Francesa (Kourou). 28 Esa velocidad de lanzamiento es en el caso de que se lanzara con un único impulso (como un cañón). En la práctica eso no es plausible por varios motivos (como las tremendas aceleraciones que destrozarían el cohete), por lo que se lanzan por etapas, acelerando el cohete de forma progresiva y desprendiendo por el camino las partes ya usadas para aligerar la masa de la nave y ganar más velocidad hasta alcanzar la vorbital.

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C) VELOCIDAD DE ESCAPE Es la velocidad inicial mínima con la cual hay que lanzar un objeto para que escape de la atracción gravitatoria de un objeto, por ej. de la Tierra. Como el alcance de la gravedad es infinito, eso significa que su posición final será el infinito. Y como es la velocidad inicial mínima, llegará al infinito justo en reposo, es decir, con velocidad final nula. Por conservación de la energía: Emec, i  Emec,f → E cin, i  E pot,i  E cin, f  E pot,f →

M m 1 M m 1 ms vi2  G T s  ms vf2  G T s 2 RT 2 RT  h

A la velocidad inicial vi se le llama velocidad de escape, ve. Sustituimos h = ∞ y vf = 0. Luego queda: 2GM T ve  RT Se suele expresar también usando el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del objeto del que se quiere escapar. En el caso de la Tierra es g0 (ap. 3.5). Sustituyéndolo arriba:

ve 

2GM T  2g 0 R T → Velocidad de escape RT

o Para la Tierra el valor es de 11,2 km/s. Es decir, hace falta lanzar un objeto a dicha velocidad como mínimo para que no retorne a la Tierra. Si la velocidad de lanzamiento es menor caerá de nuevo a la superficie o entrará en órbita alrededor de la Tierra. Si es mayor, llegará al ∞ con una velocidad final no nula. o Cuanta más masa tiene el planeta mayor gravedad tiene en su superficie y en consecuencia hace falta una velocidad de escape mayor. Sustituyendo la masa y el radio del planeta o satélite que queramos, obtenemos su vesc correspondiente:  Mercurio: 4,3 km/s  Júpiter: 59,5 km/s  Luna: 2,3 km/s  Sol (Sistema Solar): 617,7 km/s

o La velocidad de lanzamiento tampoco depende de la masa del objeto que se lanza. o La velocidad de escape real es mayor, ya que no hemos tenido en cuenta el rozamiento con la atmósfera, si la hubiera.

D) ENERGÍA DE CAMBIO DE ÓRBITA DE UN SATÉLITE Ahora queremos calcular la energía necesaria para trasladar a un satélite de una órbita a otra. Como en el ap. B) la energía necesaria será la diferencia de la energía final menos la inicial: Ecambio órbita  Eórbita final  Eórbita inicial

Usando la expresión para la energía orbital de un satélite (ap. A), nos queda: E cambio órbita  

1 G M T ms 1 G M T ms G M T ms   2 R T  hf 2 R T  hi 2

 1 1   R  h R i T  hf  T

  → Energía de cambio de órbita 

o Saldrá positiva si pasamos a una órbita más alta, ya que hay que suministrar energía al satélite. o Es negativa si el satélite pasa a una órbita inferior, puesto que es energía que tiene acumulada y que libera.

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En realidad, como siempre, el proceso es algo más complejo. Un cambio de órbita muy habitual es lo que hacen las sondas espaciales: cambian de una órbita alrededor del Sol a otra diferente; por ej. de la órbita terrestre a la de Marte.  Órbita de Transferencia de Hohmann Es el método habitual para cambiar de órbita entre órbitas cercanas, puesto que es la que menor gasto de energía requiere (y por lo tanto menor gasto de combustible). Se usa por ej. para mandar sondas de la órbita terrestre a la de Marte29.

Trayectoria de Curiosity a Marte

 Asistencia Gravitacional También llamado “efecto honda”, se usa para cambios de órbitas más largos como mandar una sonda espacial desde la órbita terrestre hasta la órbita de Júpiter: básicamente consiste en hacer pasar a la nave por uno o varios planetas para que al pasar junto a ellos el planeta le dé un impulso extra que hace que aumente su velocidad. Es como una honda: la honda gira y al colocar una piedra ésta sale despedida a gran velocidad (la honda es el planeta que asiste gravitacionalmente y la piedra es el satélite)30.

Trayectorias de las Voyager I y II a los planetas exteriores

En ambos casos la posición inicial de todos los planetas involucrados es muy relevante para aprovechar esos efectos al máximo. Las posiciones adecuadas entre ellos solo se dan cada cierto tiempo; en astronáutica se les llama ventanas de lanzamiento. Entre Marte y la Tierra se dan cada dos años. Las Voyager aprovecharon una configuración entre Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno que solo se da cada 175 años.

29 30

Cómo ir a Marte: video. Un ejemplo sencillo: http://www.youtube.com/watch?v=I3F88w3LkiI Observar cómo aumenta la velocidad al acercarse al planeta. Un completo applet sobre esta maniobra: aquí (instrucciones en la hoja de applets ap. 3.5).

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E) VELOCIDAD DE LANZAMIENTO, ENERGÍA Y ÓRBITAS La velocidad con la que lanzamos un objeto al espacio va a determinar el tipo de órbita que seguirá. Depende principalmente de si esa velocidad de lanzamiento es menor o mayor a la velocidad orbital del ap. 3.5: o vlanz < vorbital : Si lo lanzamos a una velocidad pequeña acabará cayendo de nuevo, siguiendo una trayectoria parabólica (tiro parabólico estudiado en 1º Bach.). o vlanz = vorbital : Si aumentamos la velocidad al final se acabará encontrando en el punto de partida de nuevo. No llega a caer, y se dice que “entra en órbita”. La forma de dicha órbita es circular. La mayor parte de satélites artificiales tienen órbitas prácticamente circulares. o vlanz > vorbital : Si aumentamos la velocidad aún más, la órbita que toma el satélite es una elipse cada vez más excéntrica (más achatada). o vlanz = vescape : Si aumentamos la velocidad todavía más, se alcanza la velocidad de escape y el satélite abandona la gravedad del planeta siguiendo una parábola y llegando al infinito con velocidad nula. o vlanz > vescape : Si se supera la velocidad de escape, el satélite abandona la gravedad del planeta siguiendo una hipérbola y llegando al infinito con velocidad mayor que cero.

En el dibujo siguiente podemos ver las distintas órbitas formadas. Cualquier órbita cerrada, sea circular o elíptica, debe contener en su plano orbital al centro de la Tierra. La inclinación, como veremos en el ap. siguiente, puede variar desde órbitas polares hasta ecuatoriales.

También se pueden clasificar las órbitas por la energía mecánica total del satélite que lanzamos, la que nos da la expresión del ap. 3.5A: o Emec < 0: Si la energía es negativa el satélite queda ligado a la Tierra (recordar que energías negativas quieren decir atracción). El satélite cae o entra en órbita circular/elíptica. o Emec = 0: El satélite abandona la gravedad del planeta con una órbita parabólica y llega al infinito con velocidad nula (es decir, se lanza justo con la velocidad de escape). o Emec > 0: Si la energía es positiva el satélite abandona la gravedad terrestre con una órbita hiperbólica (es decir, se lanza con una velocidad superior a la de escape).

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F) TIPOS DE ÓRBITAS MÁS USADAS La mayor parte de los satélites artificiales que orbitan alrededor de la Tierra se suelen clasificar en 3 tipos de órbitas, que se diferencian fundamentalmente en la altura a la que se encuentran. Así tenemos: o LEO (Low Earth Orbit): Órbita terrestre baja. La más cercana a la Tierra, con alturas en torno a 200-2000 km sobre la superficie terrestre. La mayor parte de los satélites se sitúan en LEO, ya que es la que menos energía requiere para alcanzarse, la que permite observaciones más detalladas de la superficie (satélites de teledetección), y la que permite comunicaciones más potentes y rápidas (satélites de telecomunicaciones). Estos satélites viajan a unos 8 km/s y orbitan la Tierra cada 90 min aprox. Desventajas: al estar cerca la cobertura es limitada (se mueven más rápido que lo que tienen debajo y su campo de visión es relativamente pequeño, lo que hace necesario una red de satélites). Además el rozamiento con la tenue atmósfera hace necesarias maniobras de corrección orbitales cada cierto tiempo para evitar que caigan, con el gasto de combustible que eso supone. Todos los vuelos tripulados, incluida la estación espacial internacional (ISS), se sitúan en esta órbita. La única excepción fue el Proyecto Apolo. o MEO (Medium Earth Orbit): Órbita terrestre media. Con alturas en torno 20000 km sobre la superficie terrestre. Su principal uso es para sistemas de posicionamiento geográfico (GPS, GLONASS, Galileo). Estos satélites tienen periodos de 12 horas aprox. o GEO (Geostationary Earth Orbit): Órbita geoestacionaria. Es una órbita cuyo periodo es de 24 horas (T = 24 h) y que se sitúa sobre el ecuador terrestre. La altura es aprox. de 36000 km sobre la superficie terrestre. Por su periodo de 24 h, un satélite en GEO da vueltas a la Tierra al mismo ritmo que ésta gira sobre sí misma. Es decir, se mueve simultáneamente con la Tierra, por lo que desde tierra un satélite geoestacionario parece inmóvil en el cielo31. La ventaja principal es que un satélite geoestacionario observa siempre la misma parte de la Tierra (prácticamente media esfera completa, al estar relativamente lejos), por lo que su cobertura es continua – a diferencia de los situados en LEO –. Esto la convierte en la órbita de mayor interés para los operadores de satélites de telecomunicaciones y meteorológicos (como el METEOSAT).

31

Animación: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geostat.gif

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3.6- CAOS DETERMINISTA: EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS La LGU permite calcular con sencillez la interacción gravitatoria entre dos cuerpos, como la Tierra y un satélite artificial, la Tierra y el Sol… El movimiento resultante se puede conocer con total precisión. Pero generalmente tenemos muchos objetos interaccionando gravitacionalmente mutuamente todos entre sí; por ej. la Tierra está influida principalmente por el Sol, pero también por la Luna, los demás planetas del Sistema Solar (especialmente Júpiter), etc. Y estos a su vez están perturbados por la influencia gravitatoria de la Tierra... En esos casos, tal y como vimos en la pág. 9, hay que sumar vectorialmente (ppio. de superposición) todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre el cuerpo que estemos estudiando. A primera vista no parece complicado, pero realmente no existe solución matemática exacta cuando se tienen tres cuerpos o más, debido a que las ecuaciones se acoplan todas entre sí (resultado de la interacción gravitatoria mutua que se ejercen todos los objetos simultáneamente). Es el llamado Problema de los Tres Cuerpos: Hasta finales del siglo XIX se pensaba que, conocidas la posición y la velocidad de dichos objetos en un instante dado, se podría conocer con total precisión la evolución pasada y futura de ese sistema. A eso se le llama “determinismo”. Sin embargo la cosa cambia si hay tres o más objetos. Lo que se encontraron matemáticos como Euler o Lagrange es que en un sistema de este tipo la evolución del sistema es en extremo caótica, pues una pequeñísima variación en el estado inicial de cualquiera de los cuerpos, como por ejemplo, las debidas a los errores de medición por mínimos que sean, podría conducir a resultados completamente diferentes. A este fenómeno se le conoce como “caos determinista”, el cual se estudia a través de la Teoría del Caos. Veámoslo con unos ejemplos:  Estudiemos un tiro parabólico típico, como golpear un balón. Es un problema de 2 cuerpos: el balón y la Tierra. Si conocemos la posición y la velocidad inicial del balón podremos calcular dónde caerá. Si lo lanzamos ligeramente más rápido, caerá un poco más lejos, pero el resultado será más o menos similar al anterior. A condiciones iniciales similares, resultados similares. Eso es determinismo clásico.  Sin embargo, si estudiamos el Sistema Solar en su conjunto (más de 3 cuerpos), una pequeña variación en la posición inicial de, por ejemplo, Júpiter, daría lugar a un Sistema Solar completamente diferente del anterior. Como es prácticamente imposible evitar esas minúsculas diferencias en las condiciones iniciales por muy bien que se midan, el resultado práctico es que no se podrá conocer con precisión la posición de los planetas en un futuro dado. Se nota sobre todo a largo plazo, ya que cualquier mínima variación inicial se amplifica con el tiempo, haciendo que las posibles soluciones diverjan entre sí cada vez más. Eso es el caos.

Sistema determinista: condiciones iniciales similares producen resultados similares.

Sistema caótico: condiciones iniciales similares producen resultados muy diferentes.

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Los sistemas caóticos se encuentran en multitud de fenómenos naturales muy sensibles a pequeñas perturbaciones, muchos de ellos muy importantes en nuestra vida cotidiana. El ejemplo más conocido es el de la meteorología: las variables atmosféricas a tener en cuenta son tantas y tan entrelazadas entre sí que es imposible en la práctica medirlas todas con precisión, por lo que cualquier pequeña variación inicial que no se haya tenido en cuenta se amplifica con el tiempo y provoca cambios enormes. El resultado es que no se puede conocer con seguridad qué tiempo hará más allá de unos pocos días. A eso también se le conoce como efecto mariposa32 (“el aleteo de una mariposa en Japón puede provocar un huracán en EEUU). Otros ejemplos son las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento (como la sangre o el aire sobre el ala de un avión), los crecimientos de población, las epidemias, la bolsa y diferentes modelos económicos… Nota: a pesar de todo, no debe confundirse caos con aleatoriedad total. Los sistemas caóticos siguen patrones característicos, tienen ciertas regularidades que permiten su estudio, (aunque no en la forma del determinismo clásico). Uno de los más famosos es el Atractor de Lorenz, que describe un modelo meteorológico básico en el que no hay dos resultados iguales, pero aun así todos se agrupan en una gráfica con forma de alas de mariposa – de ahí el nombre de efecto mariposa –.

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Término acuñado por Edward Lorenz (EEUU, 1917-2008), matemático y meteorólogo que se dio cuenta de esto probando varios modelos meteorológicos en una primitiva computadora en los años 50 y 60. Se le conoce como el padre de la Teoría del Caos ya que, aunque los fenómenos caóticos se conocían desde hace tiempo, habían caído en el olvido. Fue Lorenz quien los rescató y propició que sus estudios fueran llevados a multitud de campos desde entonces.

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