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INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Teorías y módulos. Ley de gravitación universal de Newton. El campo gravitatorio. Energía potencial gravitatoria. El potencial gravitatorio. Movimientos de masas en campos de fuerzas gravitatorias.

Física 2º bachillerato

Interacción gravitatoria

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0. CONOCIMIENTOS PREVIOS Los conocimientos previos que son necesarios dominar y ampliar son: •Las fuerzas de pesos, rozamiento, y normales. •La fuerza resultante. •El módulo, la dirección y el sentido de las vectores. •Diferenciar entre vector y escalar. •Las energías mecánicas, cinética y potencial. •El trabajo. •Las fuerzas conservativas y disipativas. •La fuerza gravitatoria (ley de gravitación universal). Física 2º bachillerato

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1. TEORÍAS Y MODELOS. Los modelos sobre el sistema solar han ido evolucionando: • Teorías geocéntricas: Todo gira en torno a la Tierra y las estrellas son el límite del universo.

– Modelo de Aristóteles (384-322 a. de C.): Los cuerpos celestes giran en esferas concéntricas alrededor de la Tierra. – Modelo de Ptolomeo (100-170 a. de C.): La Tierra inmovil en el centro del universo. Los planetas (excepto el Sol y la Luna) realizan un movimiento alrededor de la Tierra (deferente) y otro orbital de giro (epiciclo). Física 2º bachillerato

• Teorías heliocéntricas: Todo gira alrededor del Sol, es el centro. – Modelo de Copérnico (1473-1543): La Tierra gira alrededor del Sol, como el resto de los planetas. La diferencia angular con las estrellas es inapreciable por su gran distancia.

– Modelo de Galileo (1564-1642): Introdujo teorías divinas en el heliocentrismo enfrentándose a la inquisición. – Modelo de Kepler (1571-1630).

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1. TEORÍAS Y MODELOS. Las leyes de Kepler son: • Primera ley (ley de las órbitas): Los planetas describen órbitas elípticas (no circunferencia) planas alrededor del Sol, el cual se encuentra situado en uno de los focos. • Segunda ley (ley de las áreas): El radiovector de los planetas respecto al Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales, su velocidad no es constante.

• Tercera ley (ley de los periodos): Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de las distancias (radios) medio de sus órbitas. Posteriormente fue reformulada de manera más precisa indicando que los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas. Física 2º bachillerato

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1. TEORÍAS Y MODELOS. Perihelio

Afelio 1 de enero 

r 1 enero

Foco   Eje menor

 Sol

30 de julio

A

b

A 

r 1 julio

Sol a

30 de enero

1 de julio

Eje mayor

El perihelio es el punto de la órbita más próximo al Sol y el afelio es el punto de la órbita más alejado del Sol (en la órbita terrestre se les denomina perigeo y apogeo respectivamente). Física 2º bachillerato

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T  k r 2

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1. TEORÍAS Y MODELOS. Las principales nociones actuales sobre el sistema solar son:

• Los planetas tienen un movimiento de rotación y traslación (suelen ser perpendiculares). • Las órbitas son elípticas y planas. • Las órbitas planetarias están casi en el mismo plano. • Los movimientos planetarios tienen el mismo sentido. Física 2º bachillerato

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2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. La ley de gravitación universal de Newton indica que todos los cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separa.

 m1  m2  Fg  G ur 2 d

G  6, 67 10

11

N  m2

kg 2

La línea de acción de dicha fuerza es la de la recta m m   que los une. F F • • 2

1

 ur

r

Como todas las fuerzas se miden en newton (N). Física 2º bachillerato

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2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. La ley de gravitación universal se puede expresar: z

• De forma vectorial: 

m1  m2  Fg  G ur 2 d

m’ 

r

• De forma escalar:

m1  m2 Fg  G 2 d

m



g

y x

En ambos casos el signo menos indica que es una fuerza de atracción. Física 2º bachillerato

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2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. Demostración de la tercera ley de Kepler a partir de la ley de gravitación universal:  mM  m  M m  v2 GM  d 2   v G 2  2 2 G  M 2    r 4    d d d mv 2   T  r3  K  r3 Fc    d T GM d  s 2   r  v   t T  Fg  G

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2. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. Las fuerzas gravitatorias son vectoriales, por lo que las fuerzas que actúan sobre una masa cualquiera de un conjunto de masas es igual a la resultante vectorial de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, considerando a cada una de ellas individualmente (principios de superposición de las fuerzas).



g3 

r3

P



g1 





r1

g 2 g 1

m1



g3

gT



r2

m2 m3

n   FT   Fi ,1 i 2

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EJERCICIO-EJEMPLO Dos masas iguales, M = 20 kg, ocupan posiciones fijas separadas por una distancia de 2 m, según indica la figura. Una tercera masa, m’ = 0,2 kg, se suelta desde el reposo en el punto A, equidistante de las dos masas anteriores y a una distancia de 1 m de la línea que las une (—AB = 1 m). Si no actúan más que las acciones gravitatorias de las masas, determina: a) La fuerza ejercida (módulo, dirección y sentido) sobre la masa m’ en la posición A. b) Las aceleraciones de m’ en las posiciones A y B. Dato: G = 6,67 · 10–11 N m2 kg–2. Física 2º bachillerato

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RELACIÓN DE EJERCICIOS FUERZAS GRAVITATORIAS

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. Un campo es una región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula. Toda masa (m) crea a su alrededor un campo de fuerzas en el espacio que lo rodea que interaccionará con cualquier cuerpo (m´) situado dentro del campo. Para describir un campo tengo: •

Magnitudes que definen el campo: – Intensidad. – Potencial.

•

Magnitudes inherentes a la interacción del campo con la partícula: – Fuerza. – Energía potencial

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. La intensidad de campo gravitatorio (g) en un punto es una magnitud vectorial que representa la fuerza por unidad de masa en dicho punto. Es una perturbación de las propiedades del espacio que rodea a un cuerpo material, en el sentido de que cualquier otro cuerpo material, colocado en esa zona del espacio, es atraído hacia el  primero.

m   Fg g  G 2 ur m d

Su dirección es la línea recta que une la masa con el punto y su sentido del punto al cuerpo.   m1

 u2

F1,2

F2,1

m2

 u1

r

Se mide en Newton por kilogramo (N/Kg) Física 2º bachillerato

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. Según el principio de superposición la intensidad de campo gravitatorio en un punto, debido a la acción de varias masas puntuales, es la suma vectorial de las intensidades de campo en dicho punto creadas por cada una de las masas individualmente e independientemente. Cuando un cuerpo se ve sometido simultáneamente a la acción de varias fuerzas, el efecto resultante es igual a la suma (vectorial) de los efectos que experimentaría si estuviera sometido a cada una de las fuerzas individuales.



g3 

r3

P





g1 



r1

g 2 g 1

m1



g3

gT



r2

m2 m3

  gT   g i n

i 1

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. El campo gravitatorio es un campo conservativo, el trabajo realizado por las fuerzas (conservativas) del campo para llevar una partícula de un punto a otro depende solo de los estados inicial y final (y no del camino recorrido). WAB

mM    F  d r    G 2 A A r  B



B

La energía conserva.

2

3 B

 B 1  1    d r   G  m  M   d r  GmM     2  A r rA   

mecánica

B



se

El trabajo realizado en un campo conservativo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero. Física 2º bachillerato

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A

m’

m 16

3. EL CAMPO GRAVITATORIO. Hay tres modos de definir un campo de fuerzas conservativo:

1

•Aquel en el que el trabajo realizado por las fuerzas de campo no depende de la trayectoria. B 

2

3



WAB   F  d r  WAC B  WADB A

B

•Aquel en el que el trabajo de las fuerzas del campo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada vale cero.    



B

WAB   F  d r  WAB A    F d r  0

A

A

•Aquel en el que existe una función de Ep tal que: r WAB   F  dr  EP  rA   EP  rB  r B

m’

m

A

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EJERCICIO-EJEMPLO En tres vértices de un cuadrado de 5 m de lado se disponen sendas masas de 12 Kg. Determinar el campo gravitatorio en el cuarto vértice y el trabajo realizado por el campo para trasladar una masa de 12 Kg desde el cuarto vértice hasta el centro.

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. Las líneas de campo (o líneas de fuerza) representan los campos de fuerza. Son líneas imaginarias y tangentes en cada punto al vector intensidad de campo.

Su sentido es entrante hacia la masa que origina el campo. No tienen origen definido (no tiene fuentes – puntos donde empiezan las líneas de campo-, pero sí sumideros - puntos donde terminan las líneas de campo- ). Indica el sentido en que se movería la unidad de masa al colocarla en ese punto. El número de líneas de fuerzas por unidad de superficie es proporcional al valor de la intensidad de campo, a mayor densidad mayor es el valor. El módulo del vector intensidad de campo viene dado por la densidad de líneas de campo. La dirección es la tangente a la línea de campo. El sentido corresponde a la fuerza sobre una masa en el punto. El campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes. Las líneas de campo no pueden cortarse. Física 2º bachillerato

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. Representaciones de líneas de campo:

 g

 g

 g

 u M

 g

 r u

 g

 g m

 g

M

 g

Al representarlo debo dibujar un vector dirigido hacia la partícula que crea el campo y el módulo debe ser mayor cuanto más cerca esté de dicha partícula. La línea de campo coincide con la fuerza que experimenta una masa que se colocara en el punto informando sobre la aceleración que obtendría esa masa en ese punto Física 2º bachillerato

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3. EL CAMPO GRAVITATORIO. El campo gravitatorio terrestre es el originado por el planeta Tierra. P

Se toma el planeta como una masa puntual y la distancia a la superficie se suma a la del radio del planeta.

 gT  G

MT  u 2 r ( RT  h)

El módulo de la intensidad de campo gravitatorio terrestre en un punto de la superficie del planeta coincide con el valor de la aceleración de la gravedad en dicho punto.

h A

r = RT+h

RT

El peso (fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo en la superficie) se calcula a partir de esta ecuación.

P  m  gT

En la superficie de la Tierra (h=0) su valor es de 9,8 m/s2. La intensidad de campo gravitatorio de un planeta es máxima en la superficie.

El campo gravitatorio en el interior de la Tierra solo es debido a la masa contenida en una esfera que pasa por ese punto Física 2º bachillerato

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M T  5,97 1024 kg RT  6,37 106 m 21

EJERCICIO-EJEMPLO ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra se debe encontrar un cuerpo para que su peso disminuya un 10 % respecto del que tiene en la superficie?

Dato: radio de la Tierra = 6370 km.

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RELACIÓN DE EJERCICIOS CAMPOS GRAVITATORIOS

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4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. La energía potencial gravitatoria es una magnitud escalar que indica el trabajo realizado por las fuerzas de campo. Es una función de la posición que ocupa el cuerpo.

m1  m2 Ep  G d

Es una medida de la capacidad de la posibilidad de realizar un trabajo sobre una partícula susceptible de moverse bajo la acción de las fuerzas de una campo. Es la energía de una masa por estar en presencia de otra masa. La energía potencial total será la suma algebraica de las energías potenciales correspondientes a cada partícula de manera individual e independiente. Lo que realmente interesa no es el valor de la energía potencial sino sus variaciones. Física 2º bachillerato

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4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. Según el teorema de la energía potencial en un campo de fuerzas conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas de campo para llevar una partícula de A a B es igual a la variación de energía potencial cambiada de signo.

WAB  Ep  ( EpB  EpA )  EpA  EpB Así, el valor de la energía potencial coincide con la del trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una partícula desde el punto en el que se encuentra hasta un punto donde la energía potencial valga cero (en el infinito). Cuando el trabajo es positivo es espontáneo, lo realiza el campo (y viceversa, si es negativo es realizado en contra del campo-necesito de fuerzas externas a él-). Esto es debido al signo negativo intrínseco de las energías potenciales.

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4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA.

La energía potencial gravitatoria terrestre será la originada por el planeta Tierra (MT) sobre una masa (m) situada a una distancia (h) del centro de la Tierra.

Ep

RT

r

U0   G

MT RT

MT  m Ep  G ( RT  h)

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5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO. El potencial gravitatorio en un punto es una magnitud escalar que se define como la energía potencial gravitatoria por unidad de masa en ese punto.

Ep m V  G m d n

Se mide en J/kg.

VT   Vi i 1

WA B  Ep  ...  m  (VA  VB )

Se corresponde con el trabajo (cambiado de signo) que hace el campo gravitatorio para traer una masa de 1 kg desde el infinito hasta un punto. Física 2º bachillerato

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5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO.

El potencial gravitatorio terrestre será el originado por el planeta Tierra. E R p

r

T

U0   G

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MT V  G ( RT  h)

MT RT

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5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO. Las superficies equipotenciales son lugares geométricos del espacio formados por la unión de puntos con el mismo valor de potencial. Hay una superficie equipotencial para cada valor de potencial. Son perpendiculares a las líneas de campo y forman planos paralelos.

El trabajo para mover una masa dentro de una superficie equipotencial es nulo. El campo tiene el sentido de los potenciales decrecientes. Si la partícula se mueve bajo la acción de las fuerzas de campo (en la dirección espontánea que le indica el campo) lo hará disminuyendo su potencial (y su energía potencial). La dirección en la que la variación de potencial por unidad de longitud es máxima es la de la perpendicular a las superficies equipotenciales.

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5. EL POTENCIAL GRAVITATORIO. Representaciones de superficies equipotenciales: Líneas de campo

m

M

Superficies equipotenciales

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EJERCICIO-EJEMPLO Un satélite artificial de 1,2 t de masa se eleva a una distancia de 6 500 km del centro de la Tierra y recibe un impulso, mediante cohetes propulsores, para que describa una órbita circular alrededor de ella. a) ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar este movimiento? ¿cuánto tardará en realizar un ciclo? b) ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio al llevar el satélite desde la superficie de la Tierra hasta esa altura? c) ¿Cuál es la energía total del satélite? Datos: radio de la Tierra = 6360 km; g0 = 9,8 m s–2. Física 2º bachillerato

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RELACIÓN DE EJERCICIOS ENERGÍA POTEMCIAL Y POTENCIAL

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6. MOVIMIENTOS DE MASAS EN CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS. Un satélite es un cuerpo con una masa (m) que gira en una órbita circular estable en torno a la Tierra.

Sobre él actúa la fuerza de atracción gravitatoria terrestre que es igualada por la fuerza centrípeta. Poner en órbita un satélite requiere un consumo de energía igual a la energía necesaria para colocarlo a la altura deseada más la energía que hay que comunicarle para que adquiera la velocidad orbital buscada.

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6. MOVIMIENTOS DE MASAS EN CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS. La velocidad de escape es la mínima velocidad que debe adquirir, en la posición que esté, para escapar de la acción del campo gravitatorio. MT  m 2  G  MT 1 2 0  Ec  Ep   m  ve  (G )  ve  2 R R

La energía de amarre o de ligadura o de escape es la energía máxima menor de la cual no es posible escapar de la acción del campo gravitatorio. MT  m Ep  G R Física 2º bachillerato

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6. MOVIMIENTOS DE MASAS EN CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS. La velocidad de orbitar (o velocidad orbital) es la velocidad para que la masa realice una órbita alrededor de la masa que origina el campo.

vo2 G  MT M m Fg  Fc  G 2  m  vo  d d R



El periodo de revolución del satélite es el tiempo necesario para realizar una órbita.

T



2   r vo

FG

La energía orbital es la energía mecánica cuando está en una órbita circular. 2

 M G  1 M m 1 M m 1 M m Eo  Ec  Ep   m  v 2  (G  )   m     G   G  2 d 2 d  d 2 d 

La energía necesaria para cambiar de órbita (para elevarlo el trabajo es positivo y viceversa): E

12

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

FG  FC

 G

M m  1 1     2  r1 r2  35

6. MOVIMIENNTOS DE MASAS EN CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS. En función de la energía puedo conocer la forma de la órbita: E=Ec+Ep • Circunferencia (cerrada). E≤Eo • Elipse (cerrada). EEp Física 2º bachillerato

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Sol

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6. MOVIMIENNTOS DE MASAS EN CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS.

1 Mm G r 2 1 Mm  Si  G  ET  0 r 2

 Si ET  

CIRCUNFERENCIA ELIPSE

 Si ET = 0  Ec = Ep

PARÁBOLA

 Si ET > 0  Ec > Ep

HIPÉRBOLA

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6. MOVIMIENNTOS DE MASAS EN CAMPOS DE FUERZAS GRAVITATORIAS. Un satélite geoestacionario es el que se encuentra siempre sobre el mismo punto de la Tierra, su periodo coincide con el movimiento de rotación de la Tierra (periodo de 24h). Las órbitas geoestacionarias corresponden a alturas elevadas (>36.000 km) y suelen ser órbitas ecuatoriales para aplicaciones metereológicas y de comunicaciones. Física 2º bachillerato

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EJERCICIO-EJEMPLO Un satélite artificial se desplaza en una órbita circular a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) Su velocidad de orbitar. b) Su periodo de revolución. c) Su aceleración centrípeta. Datos: radio de la Tierra = 6370 km; g0 = 9,8 m s–2. Física 2º bachillerato

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RELACIÓN DE EJERCICIOS MOVIMIENTOS DE MASAS

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