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• jumagaso

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MATEMÁTICAS V PROGRAMA: I INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. 1.- Diferencial de una función. 2.- Funciones primitivas e integrales indefinidas. 3.- Formulario. 4.- Integrales reducidas a las inmediatas. 5.- Sustitución trigonométrica. II INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. 1.- Integración de las potencias del seno y de coseno. 2.- Integración de las potencias de la tangente y de la cotangente. 3.- Integración de las potencias de la secante y de la cosecante. 4.- Formulas de reducción. III INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.- Caso I. 2.- Caso II. 3.- Caso III. IV INTEGRACIÓN POR PARTES. 1.- Descripción del método. 2.- Ejemplos ilustrativos. V INTEGRACIÓN DE LAS FRACCIONES RACIONALES.

1.- Factores de un Polinomio. 2.- Descomposición de las fracciones racionales en fracciones simples. 3.- Los cuatro casos de integración. VI LA INTEGRAL DEFINIDA. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. 1.- Derivada de un área plana. 2.- Definición de la integral definida. 3.- Signos de áreas planas. VII APLICACIONES GEOMETRICAS. 1.- Cálculo de áreas simples. 2.- Área entre dos curvas. 3.- Volúmenes de revolución. 4.- Volúmenes de sólidos de sección conocida. VIII INTEGRALES DOBLES. 1.- Definición de la Integral Doble 2.- Momentos estáticos y centroides.

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS:

01) ∫ (du + dv - dw) = ∫ du + ∫ dv - ∫ dw

02) ∫ a dv = a ∫ dv 03) ∫ dx = x + c

04) ∫ v n dv = v n+1 + c n+1

05) ∫ dv / v = ln v + c 06) ∫ a v dv = a v ln a

+c

07) ∫ e v dv = e v + c

08) ∫ sen v dv = - cos v + c

09) ∫ cos v dv = sen v + c 10) ∫ sec2 v dv = tg v + c

11) ∫ csc2 v dv = - cot v + c

12) ∫ sec v • tg v dv = sec v + c

13) ∫ csc v • ctg v dv = - csc v + c

14) ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c 15) ∫ ctg v dv = ln sen v + c

16) ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v) + c

17) ∫ csc v dv = ln (csc v - ctg v) + c dv 1 arc tg v = 2 2 v +a a a 18)

∫

19)

∫

dv v - a2

20)

∫

dv a - v2

2

2

=

1 ln v - a 2a v+a

=

1 ln a + v 2a a- v

c

+

+

+

c

c

APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS 18-20 Ejercicios del Granville páginas: 248-249. Se quitan los radicales 3,4,6,12,15,16, 17,18,23-26,28 Ejercicios páginas: 250-252. Se usa el término de completar cuadrados, quitar: 4,7,10,11,14,17,21-28,29-31,33,38,39. Ejercicios páginas: 253-254. Son los que utilizan un artificio matemático, quitar: 2,3,5,6,8,13-18,22,23,25,27-29,31,34.

INTEGRACIÓN DE DIFERENCUALES TRIGONOMÉTRICAS: CASO I : INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sen u • cos u du n

m

m o n : Entero positivo impar y no importa lo que sea el otro Identidad usada: Fórmula usada:

sen2 A + cos2 A = 1

∫ v n dv =

v n+1 + c n+1

El impar se separa en dos factores. EJEMPLOS:

∫ sen ∫ sen ∫ sen

GRANVILLE pág. 257

2

x cos5 x dx

3

x dx

2

x cos x dx

CASO II. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ tg n v dv

o

∫ ctg n v dv

n: entero positivo. Identidad usada:

sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1

Fórmula usada:

∫ v n dv =

v n+1 + c n+1

EJEMPLOS:

∫ tg

4

∫ = ∫ sec

∫

x dx = tg2 x tg2 x dx = tg2 x (sec2x - 1) dx 2

3

∫ tg

2

x dx = 1 tg3 x 3

∫ (sec x - 1) dx

1 tg3 x - tg x + c 3

=

∫ ctg

x tg2 x dx -

∫

∫

x dx = ctg2 x ctg x dx = ctg x (csc2x - 1) dx

CASO III. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sec n v dv

∫ csc n v dv

o

n: entero positivo par. NOTA: Para el impar se usa integración por partes . Identidad usada:

sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1

Fórmula usada:

∫ v n dv =

v n+1 + c n+1

EJEMPLOS:

∫ sec4 2x dx = ∫ csc 6 x dx = CASO IV. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ tg m v • sec n v dv

o

CUANDO: n: entero positivo par se procede como caso III.

EJEMPLOS:

∫ ctg m v • csc n v dv

2

∫ tg6 x sec4 x dx = ∫ tg5 x sec3 x dx = CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:

∫ sen m v • cos n v dv m y n: enteros positivos pares. Identidad de Angulos Dobles: sen u • cos u = 1/2 sen 2u sen2 u = 1/2 - 1/2 cos 2u cos2 u = 1/2 + 1/2 cos 2u

2 sen u • cos u = sen 2u

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA: B

Teorema de Pitágoras:

a

c2 = b2 + a2

c

C

c = √ b2 + a2

A

de donde: ,

b = √ c2 - a2

, a = √ c2 - b2

b sen A = c.o. / h cos A = c.a. / h tg A = c.o. / c.a.

sec A = h / c.a. csc A = h / c.o. ctg A = c.a. / c.o.

I CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : 2

2

√ a -v

dv = a cos z dz a

v v = sen z • a

sen z = v / a

Z

√ a2 - v2

cos z = √ a2 - v2

a EJEMPLOS: 1) x2 dx

∫

√ 4 - x2

=

√ a2 - v2

= a cos z

dv = 2 cos z dz x

2 sen z = x / 2

Z

√ 4 - x2

v = 2 sen z

cos z = √ 4 - x2

√ 4 - x2

= 2 cos z

2

∫

(2 sen z)2 • 2 cos z dz

=

2 cos z

4 ∫ sen 2 z dz

2)

∫

√ 16 - x2 dx

=

2

x

3) dx

∫

(5 - x2) 3/2

∫

(√ 5 - x2 )2

x

=

dx

=

dv = 2 cos z dz

√5

v = 2 sen z

Z

√ 5 - x2

∫

√ 4 - x2

√ 5 cos z dz (√ 5 cos z)3

= 1/5 tg z + c

=

=

∫

1 x 5 √ 5 - x2

. dz 5 cos2 z +

c

=

= 2 cos z

1/5 ∫ sec 2 z dz =

II CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : 2

√ v -a

dv = a sec z tg z dz

√a -v 2

2

2

v

v = sec z • a

sec z = v / a Z

tg z = √ v2 - a2

a

√ v2 - a2

= a tg z

a

III CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : 2

√ v +a

2

dv = a sec2 z dz √ a2 - v2

v

Z

a

v = tg z • a

tg z = v / a sec z = √ a2 + v2

√ a2 + v2

= a sec z

a INTEGRACION POR PARTES: ∫ u dv = uv - ∫ vdu u y v son funciones de la misma variable independiente. Se separa el integrando en dos partes, una se iguala a u, la otra se iguala a dv (con dx) y debe ser fácilmente integrable.

∫ v du

no debe ser más complicada que ∫ u dv

SUGERENCIAS:

∫ (algebraica) (trigonométrica) dv ∫ (algebraica) (exponencial) dv ∫ (algebraica) (logaritmica) dv ∫ (algebraica) (inv. trigonométrica) dv

u = algebraica dv = trigonométrica ; exponencial u = log ; inv. trigonométrica dv = algebráica o dx en caso de no aparecer la algebráica.

NOTA: Para logaritmos se tiene la fórmula:

∫ ln u du = u (ln u - 1) + c ∫ sec

3

∫

z dz = sec z • sec2 z dz u = sec z dv = sec2 z dz

du =sec z tg z dz v = tg z

∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ tg z • sec z • tg z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ tg z • sec z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ (sec z - 1) • sec z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ sec z dz + ∫ sec z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ sec z dz + ∫ sec z dz ∫ sec z dz + ∫ sec z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c 2 ∫ sec z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c ∫ sec z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c 3

3

2

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

∫ ln(x + 2) dx = 2

u = ln(x2 + 2) dv = dx

du = 2x dx / (x2 + 2) v=x

∫ ln(x + 2) dx = x ln(x + 2) - ∫ x • 2x dx / (x + 2) = x ln(x + 2) - 2 ∫ x dx / (x + 2) 2

2

2

2

∫x√

1+ x

2

2

dx = u=x dv = √ 1 + x

dx

= (2x / 3) √ (1 + x )3

du = dx v = (2 / 3) √ (1 + x )3 - (2 / 3)

∫√

(1 + x )3 dx

∫e

x

cos x dx = u = ex dv = cos x dx

∫e

x

du = ex dx v = sen x

∫

cos x dx = ex sen x - ex sen x dx u = ex dv = sen x dx

du = ex dx v = - cos x

∫ e cos x dx = e sen x - [- e cos x - ∫ - (e cos x) dx ] ∫ e cos x dx = e sen x + e cos x - ∫ e cos x dx 2 ∫ e cos x dx = e sen x + e cos x + c ∫ e cos x dx = (e sen x + e cos x )/2 + c x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Fracciones propias son aquellas que tienen el grado del numerador menor que el denominador. Fracciones impropias son aquellas que tienen el grado del numerador mayor o igual al del denominador en cuyo caso se realiza una división, resultando un cociente más una fracción propia. INTEGRACION DE FRACCIONES RACIONALES. CASO I.- Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ningún factor se repite. Ejemplo:

∫

(3-x) dx x3+4x2+3x

=

Factorizando el denominador: x3+4x2+3x = x(x2+4x+3) = x(x+3)(x+1)

∫

(3-x) dx x3+4x2+3x

=

∫

(3-x) dx x(x+3)(x+1)

=

Aplicación de la teoría de las Fracciones Racionales

3-x x(x+3)(x+1)

=

A x

+

B x+3

+

C x+1

3-x = A(x+3)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x+3) si: x=0 x = -3 x = -1

3 = A(3)(1) 6 = B(-3)(-2) 4 = C(-1)(2)

A=1 B=1 C = -2

ALGEBRA

CASO II.- Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten. Ejemplo:

∫

(x3+1) dx x(x-1)3

∫

( x3+1) dx x(x-1)3

=

∫

=

(3-x) dx x(x-1)(x-1)(x-1)

=

Aplicación de la teoría de las Fracciones Racionales x3+1 x(x-1) 3

=

A x

+

B ( x-1) 3

+

C ( x-1) 2

+

D ( x-1)

x3+1 = A(x-1)3 + B(x) + C(x)(x-1) + D(x)(x-1)2 CASO III.- Cuando el denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos factores se repite. Ejemplo:

∫

4 dx x 3+4x

=

INTEGRALES POR SUSTITUCION DE UNA NUEVA VARIABLE Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de x (RACIONALIZACION).

x = zn n = denominador común menor de los exponentes fraccionarios de x. x, dx y cada radical puede expresarse racionalmente en términos de z

Ejemplo:

∫

x1/2 dx 1+x 3/4

=

n=4 x = z4 1/2 x = z2 x3/4 = z3 dx = 4z3 dz

∫

x1/2 dx 1+x3/4

=

∫

z2 (4z3)dz 1+z3

∫

=

4

z5 dz 1+z3

División: z2 z3+1 z5 -z5-z2 -z2

∫

( z2 - z2 )dz z 3+1

=

4

∫

z2 dz .

-

4

∫

z2 dz z3+1

= (4/3) z3 - (4/3) ln(z3 + 1) + c = (4/3) x3/4 - (4/3) ln(x3/4 + 1) + c Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de ax + b:

ax + b = zn n = denominador común menor de los exponentes fraccionarios de ax + b. Ejemplo:

∫

dx (x+1)3/2 + (x+1)1/2

n=2 x+1 = z2 x = z2 - 1 dx = 2z dz (x + 1)3/2 = z3 (x + 1)1/2 = z

=

∫

dx (x+1)3/2 + (x+1)1/2

=

∫

2z dz z3+z

=

2

∫

dz z2+1

= 2 arc tg z + c = 2 arc tg (x + 1)1/2 + c

TRANSFORMACION DE DIFERENCIALES TRIGONOMETRICAS tg u a

2

2z

1+z u

=

z

sen u = 2z 1+z2

2

1- z

du = 2 dz 1+z2 cos u = 1-z2 1+z2

CONSTANTE DE INTEGRACION: En cada punto de cierta curva y'' = x. Hallar la ecuación de la curva, sabiendo que pasa por el punto (3,0) y tiene en ese punto la pendiente 7/2

∫ y'' = ∫ x

y' = x2/2 + c' 7/2 = 32/2 + c' c' = 7/2 - 9/2 c' = -1

∫

y' = (x2/2 - 1) dx y = x3/6 - x + c 0 = 33/6 - 3 + c c = 3 - 27/6 c = - 3/2 Ecuación:

y = x3/6 - x - 3/2

En cada punto de cierta curva es y'' = 12/x3, hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (1,0) y es tangente en ese punto a la recta 6x+y=6. Sol. xy+6x=6

En cada punto de cierta curva es y'' = 3/√x+3 , hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (1,1) y tiene una inclinación de 45o en ese punto.

TEOREMA: b

∫a

f(x) dx = F(b) - F(a)

4

∫0

(2x+1) (x2+x)1/2 dx = 59.63

8

∫1

(x1/3+x4/3)dx = 65.68

¶

∫0

sen3 2x • cos 2x dx = INTEGRALES MULTIPLES:

a

√a2-x2

∫0 ∫0

(x+y) dy dx = 2a3/3

2b a

∫b ∫0 (a-y)x

2

dy dx = 7a2b3/6

Son expresiones diferenciales que contienen dos o más variables independientes que se integran considerando en primer lugar que una sola de ellas varía y que todas las otras son constantes. Entonces se integra el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes y así sucesivamente. 1

2

∫0 ∫0 (x+2) dy dx = 4

x

a

√x

5

∫0 ∫0 y dy dx = ∫0 ∫0 2

dy dx =

y/2

∫1 ∫0 2

x2

∫0 ∫0 2

y dx dy = y dy dx =

y2

∫1 ∫y

(x+2y) dx dy =

-1 2y

∫0 ∫y+1 1

xy dx dy =

x2

∫-1 ∫0

(x+y) dy dx =

FRACCIONES RACIONALES CASO I.

1.-

∫

(4x-2) dx x(x-2)(x+1)

4x-2 x(x-2)(x+1)

=

A x

=

+

B x-2

+

C x+1

4x-2 = A(x-2)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x-2)

∫

(4x+3) dx x(2x+3)(2x+1)

∫

(2-x2) dx x(x+2)(x+1)

∫

(x2-3x+1) dx (x-1)(x+2)(x-3)

2.-

3.-

4.-

=

=

=

CASO II.

1.-

∫

(x-3) dx x2(x+1)2

x-3 x (x-1)2 2

=

=

A x2

+

B x

+

C ( x+1) 2

+

D ( x+1)

x-3 = A(x+1)2 + B(x)(x+1)2 + C(x)2 + D(x)2(x+1) si: x=0 x = -1 x=1

-3 = A(1) A = -3 -4 = C(-1)2 C = -4 -2 = (-3)(4) + B(1)(4) + (-4)(1) + D(2) -2 = -12+4B-4+2D 0 = -14+4B+2D 0

x=2

= -7+2B+D

1

-1 = (-3)(9) + B(2)(9) + (-4)(4) + D(4)(3) -1 = -27+18B-16+12D 0 = -42+18B+12D 0 = -7+3B+2D

2

De las ecuaciones 1 y 2: 0 = -7+2B+D 0 = -7+3B+2D

0 = 14-4B-2D 0 = -7+3B+2D 0 = 7-B

0 = -7+2(7)+D 0 = -7+14+D 0 = 7+D

2.-

∫

(3x2+5x) dx (x-1)2(x+1)2

(3x2+5x) (x-1)2(x+1)2

3.-

∫

=

=

A ( x-1)2

(x2-3x+1) dx (x-1)3

(x2-3x+1) (x-1)3

=

D = -7

+

B ( x-1)

+

C ( x+1)2

D ( x+1)

+

=

A B C + + 3 2 ( x-1) ( x-1) ( x-1)

x2-3x+1 = A + B(x-1) + C(x-1)2 si: x=1 x=0

-1 = A(1) 1 = -1-B+C

A = -1

0 = -2-B+C

x = -1

1

1+3+1 = -1+B(-2)+C(4) 5 = -1-2B+4C 0 = -6-2B+4C 0 = 3+B-2C

2

De las ecuaciones 1 y 2: 0 = -2-B+C 0 = 3+B-2C 0 = 1-C

C=1

0 = -2-B+1 0 = -1-B

B = -1

B=7

4.-

∫

(x+3) dx (x-2)3

=

CASO I y II.

∫

(3x2+5x) dx (x-1)

∫

9x2 dx (2x+1)(x+2)2

∫

dx (x-1) (x+1)(x-3)2

∫

(x4-3x2+1) dx x2(x-1) (x+1)2

1.-

2.-

3.-

4.-

=

=

=

=

CASO I y III.

∫

(4x2+6) dx x(x2+3)

∫

(x2+x) dx (x-1)(x2+1)

∫

(2y3+y2+2y+2) dx (y2+2)(y2+1)

∫

(x2-3x+1) dx (x-1)(x+1)(x2+3x+4)

1.-

2.-

3.-

4.-

=

=

=

=

CASO IV.

1.-

∫

(x3-3x2+1) dx (x +2x+2)(x2-3x+5) 2

=

AREAS: Determinar el área de la superficie limitada por la circunferencia x2+y2=16 y la elipse 9x2+16y2=144. x2+y2=r2

c(0,0)

figura:

4

4

4

4

9x2+16y2 (9)(16)

=

x2 16

144 144

a2=b2+c2

y2 9

2

-

-4

√144-9x2 4

c(0,0)

= 1

16-9=c2

∫ ( √16-x 4

+

v(±4,0)

c=√7

) dx

=

y = √16-x2 y = √144-9x2 4

∫ ( 4

√16-x2

-4

=

-

√

9 (16 - x2) 16

(3/4) √144-9x2

=

(3/4)√16-x2

)

dx

=

Hallar el área limitada por las siguientes curvas: y2+x-6y+3=0 x-4y+11=0 2x+y-5=0 Parábola: y2-6y+3=-x

1 (parábola) 2 (recta) 3 (recta)

∫

4

-4

(1/4) (√144-9x2 ) dx

y2-6y+9 = -x+6 (y-3)2 = -(x-6) Vértice (6,3)p Corte en el eje X y Y: Si: y=0 x = -3 (-3,0) x=0 y2-6y+3 = 0 y = 6 ±√ 36-12 = 6 ±√ 24 2 2 y1 5.45 (0,5.45) y2 0.56 (0,0.56) Intersecciones de 1 y 2: y2+x-6y+3=0 x-4y+11=0

1 (parábola) 2 (recta)

y2+x-6y+3 = x-4y+11 y2-2y-8 = 0 (y-4)(y+2) = 0 y1 = 4 x1 = 5 y2 = -2 x2 = -19

(5,4) (-19,-2)

La ecuación de la curva OA es y2 = x3. Hallar el volumen del sólido que se engendra cuando la superficie: solución a) OAB gira alrededor de OX 64 ¶ b) OAB gira alrededor de AB (1024 ¶) / 35 c) OAB gira alrededor de CA (704 ¶) / 5 d) OAB gira alrededor de OY (512 ¶) / 7 e) OAC gira alrededor de OY (384 ¶) / 7 f) OAC gira alrededor de CA (576 ¶) / 5 g) OAC gira alrededor de AB (3456 ¶) / 35 h) OAC gira alrededor de OX 192 ¶

CENTROS DE GRAVEDAD: El centro de gravedad de una superficie plana se define del modo siguiente: Un trozo de cartón rígido, plano y horizontal permanecerá en equilibrio. Si se sostiene en un punto determinado. Este punto de apoyo es el CENTRO DE GRAVEDAD de la superficie plana del cartón. Para un rectángulo o un círculo, el centro de gravedad son evidentes.

y

y = f(x)

• y

x

x a

b

Momento de Superficie: Producto de su área por la distancia de su centro de gravedad. Mx = yA

y = Mx A

My = xA

x = My A y

y = f(x) h

•

k = y/2 h=x

y

k

x a dA = y dx

b d Mx = k dA

b

∫

A = a y dx d My = h dA = x dA b

∫

My = a x dA b

∫

My = a xy dx

∫

b

Mx = a

∫

k dA

b

Mx = a y/2 dA

∫

b

Mx =a

y/2 y dx

∫

b

Mx = (1/2)a

y2 dx

EJEMPLOS: Hallar el centro de gravedad de cada una de las superficies limitadas por las siguientes curvas: 1)

y = x3

x=2

y=0

gráfica:

2

∫

2

2

A = 0 x3 dx = [x4/4]0 = [ 24/4] = 16/4 = 4 A=4

∫

2

∫

2

3 2

2

Mx = (1/2) 0 (x ) dx = (1/2) 0 x6 dx = [(1/2)(x7/7)] = [(1/2)(27/7)] = [26/7] = 64/7 0 Mx = yA

y = Mx A

∫

y = Mx A =

(64/7) 4

∫

2

64 = 32 = 16 28 14 7

=

2

2

My = 0 (x)x3 dx = 0 x4 dx = [x5/5] = [25/5] = 32/5 0 My = xA

x = My A

( 85

x = My A =

(32/5) 4

16 , 7

)

=

32 = 16 = 8 20 10 5

CENTRO DE GRAVEDAD.

2)

x = 4y-y2

y=x

y2-4y = -x y2-4y+4 = -x+4 (y-2)2 = -(x-4) v(4,2) Puntos de intersección: y = 4y-y2 y2 -3y = 0 y(y-3) = 0 y1 = 0 x1 = 0 y2 = 3 x2 = 3

(0,0) (3,3)

EJERCICIOS: 1) Hallar el área limitada por las parábolas y = 6x-x2 y y = x2-2x . 2) Hallar el área de las superficie limitada por la recta 3x-2y-5=0 y la parábola: x2-2x-4y+5=0. Volumen: 1) Hallar el volumen que se engendra al hacer girar alrededor de lo que se indica la superficie limitada por la curva y2 = 4x, el eje x y la recta x = 4. 2) Hallar el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la superficie que se forma entre la curva y = -x2-3x+6 y x+y-3 = 0. Hallar el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la superficie que se forma entre la curva y = -x2-3x+6 y x+y-3 = 0. y = -x2-3x+6 x+y-3 = 0. x2+3x-6 = -y x2+3x+9/4 = -y+6+9/4 (x+3/2)2 = -y+33/4 (x+3/2)2 = -(y-33/4) vértice(-3/2 , 33/4) Puntos de intersección: y = -x2-3x+6 y = -x+3. -x2-3x+6 = -x+3. -x2-2x+3 = 0 x2+2x-3 = 0 (x+3)(x-1) = 0

x1 = -3 x2 = -1

y1 = 6 y2 = 2

(-3,6) (1,2)

Centro de Gravedad: 1)

Determinar el centro de gravedad en el primer cuadrante de la parábola y = 4-x2, x = 2, y = 0. x2 = 4-y x2 = -(y-4)

∫

v(0,4)

3

A = - 0 (4-y)1/2 -dy = [-(2/3)(4-y)3/2]3 0 A = -(2/3)√ (4-3)3 -[-(2/3)√ (4-0)3 ] = -2/3+4/3 = 2/3 3

∫

3

Mx = -(1/2) 0 (4-y) dy = -[(1/4)(4-y)2]0 = (-1/4) - [-16/4] = -1/4+16/4 = 15/4 y = Mx A

∫

=

(15/4) 2/3

∫

3

=

45 8

3

My = 0 (y)x dy = 0 (y)√ (4-y) dy

∫

3

My = 0 (y)(4-y)1/2 dy 4-y = z2 y = 4-z2 dy = -2zdz (4-y)1/2 = z

∫

3

My = 0 (4-z2) z (-2z) dz My = -2

My =

My =

[

∫03 (4-z ) z dz = -2 ∫0 (4z -z )dz 2

2

3

2

3

]

-(2/3)(4z3)+(2/5)(z5)

0

[ -(2/3)(4(3) )+(2/5)(3 )] 3

4

5

= -(8/3)(27) + 486/5 = -72+486/5 = 25.5

My = xA

x = My A

x = My A =

(25.2) 0.66

=

37.8

VOLUMEN:

∫

b

V = ¶ a (y12- y22) dx

∫

b

V = ¶ a (y1-y2)2 dx Ejercicios: ay = x√ (a2-x2)

x=0

x=a

y = (x/a)√ (a2-x2) a

1.-

∫

a

∫0

(x/a)√ (a2-x2)

∫

=

[

=

[ (-1/3a) (a -a ) ] - [ (-1/3a) (a -0 ) ]

dx = (-1/2a) 0

]

(-1/3a) (a2-x2)3/2 2

a 0

2 3/2

2

=

(-1/3a) (0)3/2

=

0 + (1/3)(a)2 = a2/3

(7-2x) dx (x-1)(x2+2x-8)

7-2x (x-1)(x2+2x-8)

=

(a2-x2)1/2 (-2x) dx

-

(-1/3a) (a)3

=

A x-1

+

Bx+C (x2+2x-8)

7-2x = A(x2+2x-8) + (Bx+C)(x-1) si: x=1 x=0

5 = A(-5) 7 = (-1)(-8) + C(-1) C = 8-7

A = -1 C=1

2 3/2

x = -1

∫

9 = (-1)(1-2-8) + (-B+1)(-2) 9 = 9+2B-2 2B = 2 B=1

7-2x (x-1)(x2+2x-8) =

∫

∫ ( x-1 -1

=

-dx x-1

∫

+

1/2

+

x+1 (x2+2x-8)

)

dx

2( x+1 )dx (x2+2x-8)

EJERCICIOS:

∫

dx (x3-1)

∫

(x2-2x+3) dx (x3-4x2+x+6)

∫

(7-2x) dx (x-1)(x2+2x-8)

4.-

∫

(1+x)1/2 dx (1-x)

5.-

∫

x dx (1+x1/2)

1.-

2.-

3.-

=

=

=

=

=

∫

dx 2(x ) + (x1/3)

7.-

∫

dx 4+5(Cos x)

8.-

∫

dx 2(Sen x) - Cos x + 3

9.-

∫

Cos x dx 5 - 3(Cos x)

6.-

=

1/2

=

=

=

10.- La segunda derivada es igual a 6x+2. Hallar la ecuación de la curva si se sabe que pasa por (1,3) y el valor de la pendiente es igual a 3 en ese punto

11.- Determinar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4,2) y cuya primera derivada es 2x-1. 12.- En cada punto de cierta curva la y'' = 3/(x+3)1/2. Hallar la ecuación de la curva si se sabe que pasa por el punto (1,1) y tiene una inclinación de 45o en ese punto. 13.- Calcular el Área de la superficie limitada por y = x3/2, y = 2x. 14.- Calcular el área limitada por y = x+1, el eje "Y" y las rectas y = -2, y = 3. 15.- Hallar el área de una arcada de la función y = Sen x. 16.-

∫ 9x

2

-x

(e)

∫

3

3

-x

3

-x

2

dx = (-9/3) (e) (-3x ) dx =

-3 e

+c

d(-x3) = -3x2 dx

∫

dx 1 - Cos x

∫

(1+Cos x) dx (1-Cos x)(1+Cos x)

∫

dx (Sen2 x)

17.-

∫ Csc

2

18.-

∫

1/4

x dx

=

∫

+

+

∫ (Sen

-2

Csc x Ctg x dx 5 - 4Csc x

∫

∫

=

(Cos x) dx (Sen2 x) x)(Cos x) dx

(1+Cos x) dx (1-Cos2 x)

=

=

- Ctg x - Sen-1 x + c

(1/4) ln (5-4Csc x) + c

d(5-4Csc x) = 4Cscx x Ctg x dx

19.-

∫ 1/5

dx 25x2+4

∫

5 dx (5x)2+4

=

=

∫

=

=

4(Csc x Ctg x) dx 5 - 4Csc x

=

(1/10) arc tg (5x/2) + c

(1+Cos x) dx (Sen2 x)

=

20.-

∫

dx 2+2x-x2

∫

dx -(x2-2x-2) -

=

21.-

∫

1 ln 2√ √3

=

∫

=

√3 ( x-1-√ x-1+√ √ 3)

(2x+6) dx x2+2x+6

dx x2-2x+1-2-1

=

.

+

∫

dx (x-1)2-3 .

c

=

DERIVADA: Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1.-

y = 4-3x-2x3 y' = -3-6x = -3(1+2x)

2.-

y=

1 √ 9-x2

=

(9-x2)-1/2

y' = -1 (9-x2)-3/2 (-2x) 2 3.-

x2-xy = 5 2x-xy'-y = 0 xy' = 2x-y y' = (2x-y)/x

4.-

y = √ 4+x2 x

=

x (9-x2)3/2

y' = x (1/2) (4+x2)-1/2(2x) - (4+x2)1/2 (1) x2 5.-

y = x√ 2+3x y' = x (1/2) (2+3x)-1/2 (3) + (2+3x)1/2 (1) y' = (3x/2) (2+3x)-1/2 + (2+3x)1/2

6.-

y = ln x3

=

x2 (4+x2)-1/2 - (4+x2)1/2 x2

y' = (1/x3)(3x2) = 3/x 7.-

y = x ex y' = x ex + ex (1) = ex (x+1)

8.-

y = tg √ 1-x y' = sec (1-x)1/2 (1/2) (1-x)-1/2(-1)

9.-

=

- Sec√ √ 1-x 2√ √ 1-x

y = e2x Sen 2x y' = e2x (Cos 2x) (2) + Sen 2x (e2x) (2) y' = 2e2xCos 2x + 2e2x Sen 2x = 2e2x(Sen 2x + Cos 2x)

10.-

y = arc Sen √ x y' = (1/2) (x)-1/2 √ 1- (x1/2)2

=

1 2√ √ x (1- x)

Ejercicios de Geometría Analítica: Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0,-4/3) y cuya directriz es la recta y-4/3 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (3,2) y foco(5,2). Hallar la ecuación de la parábola de foco(6,-2) y directriz la recta x-2 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (2,3) de eje paralelo al "Y" y pasa por el punto (4,5). (x-h)2 = 4p (y-k) (4-2)2 = 4p (5-3) 4 = 4p(2) 4/8 = p = 1/2 (x-2)2 = 4(1/2)(y-3) (x-2)2 = 2(y-3) Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de coordenadas "X" y pasa por los puntos (-2,1) (1,2) (-1,3). Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice esta sobre la recta 2y-3x = 0 , que su eje sea paralelo al de coordenadas "X" y pasa por los puntos A(3,5) y B(6,-1).

EXAMEN 1

1.-

∫ ( x2

+

1

) x dx ∫ ( x8 3

3

=

+

3x2 2

+

3x 4

+

1

) x dx

=

∫ x dx + (3/2) ∫ x dx + (3/4) ∫ x dx + ∫ x dx 4

= (1/8)

2

3

= x5/40 + x3/2 + (3/4)(x4/4) + x2/2 + c = x5/40 + x3/2 + 3x4/16 + x2/2 + c 2.-∫ (

x2 x3+5

)

dx

1/3∫ (

=

.

.

3x2 x3+5

) dx

=

v = x3+5 dv = 3x2 dx = (1/3) in (x3+5) + c

∫ ( x-1x ) dx 3

3.-

=

x2+x+1 x3 -x3+x2 -x2+x -x+1

x-1

∫( ) x3 x-1

dx

=

∫

x2 dx

+

∫

x dx

+

= x3/3 + x3/2 +x + ln(x-1) + c

4.-

∫

t dt (t2-2)1/3

=

∫

1/2

(t2-2)-1/3 (2t) dt

= (3/4) (t2-2)2/3 + c AREAS: 1.- Hallar el área limitada por las siguientes curvas x2+y2 = 9 y = x+3

∫

dx

+

∫

dx x-1

=

figura:

x2+(x+3)2 = 9 x2+x2+6x+9 = 9 2x2+6x = 0 2x(x+3) = 0 x1 = 0 y1 = 3 x2 = -3 y2 = 0

∫

(0,3) (-3,0)

2

A = 0 (x+3+√ √ x2+9 ) dx 2.- Hallar el área limitada por las siguientes curvas y = -x2+8x-5 y = x+1 figura:

y = -(x2-8x+5) -y+11 = x2-8x+5+11 -y+11 = x2-8x+16 -(y-11) = (x-4)2 (x-4)2 = -(y-11) v(4,11)

Puntos de Intersección: x+1 = -x2+8x-5 0 = -x2+7x-6 0 = x2-7x+6 0 = (x-6)(x-1)2 x1 = 6 y1 = 7 x2 = 1 y2 = 2

∫

6

∫

[

-(x3/3) + (7x2/2) - 6x

(6,7) (1,2)

6

A = 1 (-x2+8x-5-x-1 ) dx = (-x2+7x-6) dx 1 A=

]

6

= [-(63/3) + (7(6)2/2) - 6(6)] - [-(13/3) + (7(1)2/2) - 6(1)]

1

A = -216/3 +252/2 -36 +1/3 -7/2 +6 = -215/3 + 245/2 -30 A = (-430 +735)/6 -30 = 305/6 - 30 A = (305-180)/6 = 125/6 u2