MATEMÁTICAS V PROGRAMA: I INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. 1.- Diferencial de una función. 2.- Funciones primitivas e integr
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MATEMÁTICAS V PROGRAMA: I INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN. 1.- Diferencial de una función. 2.- Funciones primitivas e integrales indefinidas. 3.- Formulario. 4.- Integrales reducidas a las inmediatas. 5.- Sustitución trigonométrica. II INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. 1.- Integración de las potencias del seno y de coseno. 2.- Integración de las potencias de la tangente y de la cotangente. 3.- Integración de las potencias de la secante y de la cosecante. 4.- Formulas de reducción. III INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 1.- Caso I. 2.- Caso II. 3.- Caso III. IV INTEGRACIÓN POR PARTES. 1.- Descripción del método. 2.- Ejemplos ilustrativos. V INTEGRACIÓN DE LAS FRACCIONES RACIONALES.
1.- Factores de un Polinomio. 2.- Descomposición de las fracciones racionales en fracciones simples. 3.- Los cuatro casos de integración. VI LA INTEGRAL DEFINIDA. CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. 1.- Derivada de un área plana. 2.- Definición de la integral definida. 3.- Signos de áreas planas. VII APLICACIONES GEOMETRICAS. 1.- Cálculo de áreas simples. 2.- Área entre dos curvas. 3.- Volúmenes de revolución. 4.- Volúmenes de sólidos de sección conocida. VIII INTEGRALES DOBLES. 1.- Definición de la Integral Doble 2.- Momentos estáticos y centroides.
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS:
01) ∫ (du + dv - dw) = ∫ du + ∫ dv - ∫ dw
02) ∫ a dv = a ∫ dv 03) ∫ dx = x + c
04) ∫ v n dv = v n+1 + c n+1
05) ∫ dv / v = ln v + c 06) ∫ a v dv = a v ln a
+c
07) ∫ e v dv = e v + c
08) ∫ sen v dv = - cos v + c
09) ∫ cos v dv = sen v + c 10) ∫ sec2 v dv = tg v + c
11) ∫ csc2 v dv = - cot v + c
12) ∫ sec v • tg v dv = sec v + c
13) ∫ csc v • ctg v dv = - csc v + c
14) ∫ tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c 15) ∫ ctg v dv = ln sen v + c
16) ∫ sec v dv = ln (sec v + tg v) + c
17) ∫ csc v dv = ln (csc v - ctg v) + c dv 1 arc tg v = 2 2 v +a a a 18)
∫
19)
∫
dv v - a2
20)
∫
dv a - v2
2
2
=
1 ln v - a 2a v+a
=
1 ln a + v 2a a- v
c
+
+
+
c
c
APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS 18-20 Ejercicios del Granville páginas: 248-249. Se quitan los radicales 3,4,6,12,15,16, 17,18,23-26,28 Ejercicios páginas: 250-252. Se usa el término de completar cuadrados, quitar: 4,7,10,11,14,17,21-28,29-31,33,38,39. Ejercicios páginas: 253-254. Son los que utilizan un artificio matemático, quitar: 2,3,5,6,8,13-18,22,23,25,27-29,31,34.
INTEGRACIÓN DE DIFERENCUALES TRIGONOMÉTRICAS: CASO I : INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ sen u • cos u du n
m
m o n : Entero positivo impar y no importa lo que sea el otro Identidad usada: Fórmula usada:
sen2 A + cos2 A = 1
∫ v n dv =
v n+1 + c n+1
El impar se separa en dos factores. EJEMPLOS:
∫ sen ∫ sen ∫ sen
GRANVILLE pág. 257
2
x cos5 x dx
3
x dx
2
x cos x dx
CASO II. INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ tg n v dv
o
∫ ctg n v dv
n: entero positivo. Identidad usada:
sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1
Fórmula usada:
∫ v n dv =
v n+1 + c n+1
EJEMPLOS:
∫ tg
4
∫ = ∫ sec
∫
x dx = tg2 x tg2 x dx = tg2 x (sec2x - 1) dx 2
3
∫ tg
2
x dx = 1 tg3 x 3
∫ (sec x - 1) dx
1 tg3 x - tg x + c 3
=
∫ ctg
x tg2 x dx -
∫
∫
x dx = ctg2 x ctg x dx = ctg x (csc2x - 1) dx
CASO III. INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ sec n v dv
∫ csc n v dv
o
n: entero positivo par. NOTA: Para el impar se usa integración por partes . Identidad usada:
sec2 A - tg2 A = 1 csc2 A - ctg2 A = 1
Fórmula usada:
∫ v n dv =
v n+1 + c n+1
EJEMPLOS:
∫ sec4 2x dx = ∫ csc 6 x dx = CASO IV. INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ tg m v • sec n v dv
o
CUANDO: n: entero positivo par se procede como caso III.
EJEMPLOS:
∫ ctg m v • csc n v dv
2
∫ tg6 x sec4 x dx = ∫ tg5 x sec3 x dx = CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ sen m v • cos n v dv m y n: enteros positivos pares. Identidad de Angulos Dobles: sen u • cos u = 1/2 sen 2u sen2 u = 1/2 - 1/2 cos 2u cos2 u = 1/2 + 1/2 cos 2u
2 sen u • cos u = sen 2u
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA: B
Teorema de Pitágoras:
a
c2 = b2 + a2
c
C
c = √ b2 + a2
A
de donde: ,
b = √ c2 - a2
, a = √ c2 - b2
b sen A = c.o. / h cos A = c.a. / h tg A = c.o. / c.a.
sec A = h / c.a. csc A = h / c.o. ctg A = c.a. / c.o.
I CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : 2
2
√ a -v
dv = a cos z dz a
v v = sen z • a
sen z = v / a
Z
√ a2 - v2
cos z = √ a2 - v2
a EJEMPLOS: 1) x2 dx
∫
√ 4 - x2
=
√ a2 - v2
= a cos z
dv = 2 cos z dz x
2 sen z = x / 2
Z
√ 4 - x2
v = 2 sen z
cos z = √ 4 - x2
√ 4 - x2
= 2 cos z
2
∫
(2 sen z)2 • 2 cos z dz
=
2 cos z
4 ∫ sen 2 z dz
2)
∫
√ 16 - x2 dx
=
2
x
3) dx
∫
(5 - x2) 3/2
∫
(√ 5 - x2 )2
x
=
dx
=
dv = 2 cos z dz
√5
v = 2 sen z
Z
√ 5 - x2
∫
√ 4 - x2
√ 5 cos z dz (√ 5 cos z)3
= 1/5 tg z + c
=
=
∫
1 x 5 √ 5 - x2
. dz 5 cos2 z +
c
=
= 2 cos z
1/5 ∫ sec 2 z dz =
II CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : 2
√ v -a
dv = a sec z tg z dz
√a -v 2
2
2
v
v = sec z • a
sec z = v / a Z
tg z = √ v2 - a2
a
√ v2 - a2
= a tg z
a
III CASO: INTEGRALES QUE CONTIENEN : 2
√ v +a
2
dv = a sec2 z dz √ a2 - v2
v
Z
a
v = tg z • a
tg z = v / a sec z = √ a2 + v2
√ a2 + v2
= a sec z
a INTEGRACION POR PARTES: ∫ u dv = uv - ∫ vdu u y v son funciones de la misma variable independiente. Se separa el integrando en dos partes, una se iguala a u, la otra se iguala a dv (con dx) y debe ser fácilmente integrable.
∫ v du
no debe ser más complicada que ∫ u dv
SUGERENCIAS:
∫ (algebraica) (trigonométrica) dv ∫ (algebraica) (exponencial) dv ∫ (algebraica) (logaritmica) dv ∫ (algebraica) (inv. trigonométrica) dv
u = algebraica dv = trigonométrica ; exponencial u = log ; inv. trigonométrica dv = algebráica o dx en caso de no aparecer la algebráica.
NOTA: Para logaritmos se tiene la fórmula:
∫ ln u du = u (ln u - 1) + c ∫ sec
3
∫
z dz = sec z • sec2 z dz u = sec z dv = sec2 z dz
du =sec z tg z dz v = tg z
∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ tg z • sec z • tg z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ tg z • sec z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ (sec z - 1) • sec z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ sec z dz + ∫ sec z dz ∫ sec z dz = sec z tg z - ∫ sec z dz + ∫ sec z dz ∫ sec z dz + ∫ sec z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c 2 ∫ sec z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c ∫ sec z dz = sec z tg z + ln(sec z + tg z) + c 3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
∫ ln(x + 2) dx = 2
u = ln(x2 + 2) dv = dx
du = 2x dx / (x2 + 2) v=x
∫ ln(x + 2) dx = x ln(x + 2) - ∫ x • 2x dx / (x + 2) = x ln(x + 2) - 2 ∫ x dx / (x + 2) 2
2
2
2
∫x√
1+ x
2
2
dx = u=x dv = √ 1 + x
dx
= (2x / 3) √ (1 + x )3
du = dx v = (2 / 3) √ (1 + x )3 - (2 / 3)
∫√
(1 + x )3 dx
∫e
x
cos x dx = u = ex dv = cos x dx
∫e
x
du = ex dx v = sen x
∫
cos x dx = ex sen x - ex sen x dx u = ex dv = sen x dx
du = ex dx v = - cos x
∫ e cos x dx = e sen x - [- e cos x - ∫ - (e cos x) dx ] ∫ e cos x dx = e sen x + e cos x - ∫ e cos x dx 2 ∫ e cos x dx = e sen x + e cos x + c ∫ e cos x dx = (e sen x + e cos x )/2 + c x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fracciones propias son aquellas que tienen el grado del numerador menor que el denominador. Fracciones impropias son aquellas que tienen el grado del numerador mayor o igual al del denominador en cuyo caso se realiza una división, resultando un cociente más una fracción propia. INTEGRACION DE FRACCIONES RACIONALES. CASO I.- Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ningún factor se repite. Ejemplo:
∫
(3-x) dx x3+4x2+3x
=
Factorizando el denominador: x3+4x2+3x = x(x2+4x+3) = x(x+3)(x+1)
∫
(3-x) dx x3+4x2+3x
=
∫
(3-x) dx x(x+3)(x+1)
=
Aplicación de la teoría de las Fracciones Racionales
3-x x(x+3)(x+1)
=
A x
+
B x+3
+
C x+1
3-x = A(x+3)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x+3) si: x=0 x = -3 x = -1
3 = A(3)(1) 6 = B(-3)(-2) 4 = C(-1)(2)
A=1 B=1 C = -2
ALGEBRA
CASO II.- Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten. Ejemplo:
∫
(x3+1) dx x(x-1)3
∫
( x3+1) dx x(x-1)3
=
∫
=
(3-x) dx x(x-1)(x-1)(x-1)
=
Aplicación de la teoría de las Fracciones Racionales x3+1 x(x-1) 3
=
A x
+
B ( x-1) 3
+
C ( x-1) 2
+
D ( x-1)
x3+1 = A(x-1)3 + B(x) + C(x)(x-1) + D(x)(x-1)2 CASO III.- Cuando el denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos factores se repite. Ejemplo:
∫
4 dx x 3+4x
=
INTEGRALES POR SUSTITUCION DE UNA NUEVA VARIABLE Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de x (RACIONALIZACION).
x = zn n = denominador común menor de los exponentes fraccionarios de x. x, dx y cada radical puede expresarse racionalmente en términos de z
Ejemplo:
∫
x1/2 dx 1+x 3/4
=
n=4 x = z4 1/2 x = z2 x3/4 = z3 dx = 4z3 dz
∫
x1/2 dx 1+x3/4
=
∫
z2 (4z3)dz 1+z3
∫
=
4
z5 dz 1+z3
División: z2 z3+1 z5 -z5-z2 -z2
∫
( z2 - z2 )dz z 3+1
=
4
∫
z2 dz .
-
4
∫
z2 dz z3+1
= (4/3) z3 - (4/3) ln(z3 + 1) + c = (4/3) x3/4 - (4/3) ln(x3/4 + 1) + c Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de ax + b:
ax + b = zn n = denominador común menor de los exponentes fraccionarios de ax + b. Ejemplo:
∫
dx (x+1)3/2 + (x+1)1/2
n=2 x+1 = z2 x = z2 - 1 dx = 2z dz (x + 1)3/2 = z3 (x + 1)1/2 = z
=
∫
dx (x+1)3/2 + (x+1)1/2
=
∫
2z dz z3+z
=
2
∫
dz z2+1
= 2 arc tg z + c = 2 arc tg (x + 1)1/2 + c
TRANSFORMACION DE DIFERENCIALES TRIGONOMETRICAS tg u a
2
2z
1+z u
=
z
sen u = 2z 1+z2
2
1- z
du = 2 dz 1+z2 cos u = 1-z2 1+z2
CONSTANTE DE INTEGRACION: En cada punto de cierta curva y'' = x. Hallar la ecuación de la curva, sabiendo que pasa por el punto (3,0) y tiene en ese punto la pendiente 7/2
∫ y'' = ∫ x
y' = x2/2 + c' 7/2 = 32/2 + c' c' = 7/2 - 9/2 c' = -1
∫
y' = (x2/2 - 1) dx y = x3/6 - x + c 0 = 33/6 - 3 + c c = 3 - 27/6 c = - 3/2 Ecuación:
y = x3/6 - x - 3/2
En cada punto de cierta curva es y'' = 12/x3, hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (1,0) y es tangente en ese punto a la recta 6x+y=6. Sol. xy+6x=6
En cada punto de cierta curva es y'' = 3/√x+3 , hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto (1,1) y tiene una inclinación de 45o en ese punto.
TEOREMA: b
∫a
f(x) dx = F(b) - F(a)
4
∫0
(2x+1) (x2+x)1/2 dx = 59.63
8
∫1
(x1/3+x4/3)dx = 65.68
¶
∫0
sen3 2x • cos 2x dx = INTEGRALES MULTIPLES:
a
√a2-x2
∫0 ∫0
(x+y) dy dx = 2a3/3
2b a
∫b ∫0 (a-y)x
2
dy dx = 7a2b3/6
Son expresiones diferenciales que contienen dos o más variables independientes que se integran considerando en primer lugar que una sola de ellas varía y que todas las otras son constantes. Entonces se integra el resultado dejando variar alguna otra de las variables y manteniendo las otras como constantes y así sucesivamente. 1
2
∫0 ∫0 (x+2) dy dx = 4
x
a
√x
5
∫0 ∫0 y dy dx = ∫0 ∫0 2
dy dx =
y/2
∫1 ∫0 2
x2
∫0 ∫0 2
y dx dy = y dy dx =
y2
∫1 ∫y
(x+2y) dx dy =
-1 2y
∫0 ∫y+1 1
xy dx dy =
x2
∫-1 ∫0
(x+y) dy dx =
FRACCIONES RACIONALES CASO I.
1.-
∫
(4x-2) dx x(x-2)(x+1)
4x-2 x(x-2)(x+1)
=
A x
=
+
B x-2
+
C x+1
4x-2 = A(x-2)(x+1) + B(x)(x+1) + C(x)(x-2)
∫
(4x+3) dx x(2x+3)(2x+1)
∫
(2-x2) dx x(x+2)(x+1)
∫
(x2-3x+1) dx (x-1)(x+2)(x-3)
2.-
3.-
4.-
=
=
=
CASO II.
1.-
∫
(x-3) dx x2(x+1)2
x-3 x (x-1)2 2
=
=
A x2
+
B x
+
C ( x+1) 2
+
D ( x+1)
x-3 = A(x+1)2 + B(x)(x+1)2 + C(x)2 + D(x)2(x+1) si: x=0 x = -1 x=1
-3 = A(1) A = -3 -4 = C(-1)2 C = -4 -2 = (-3)(4) + B(1)(4) + (-4)(1) + D(2) -2 = -12+4B-4+2D 0 = -14+4B+2D 0
x=2
= -7+2B+D
1
-1 = (-3)(9) + B(2)(9) + (-4)(4) + D(4)(3) -1 = -27+18B-16+12D 0 = -42+18B+12D 0 = -7+3B+2D
2
De las ecuaciones 1 y 2: 0 = -7+2B+D 0 = -7+3B+2D
0 = 14-4B-2D 0 = -7+3B+2D 0 = 7-B
0 = -7+2(7)+D 0 = -7+14+D 0 = 7+D
2.-
∫
(3x2+5x) dx (x-1)2(x+1)2
(3x2+5x) (x-1)2(x+1)2
3.-
∫
=
=
A ( x-1)2
(x2-3x+1) dx (x-1)3
(x2-3x+1) (x-1)3
=
D = -7
+
B ( x-1)
+
C ( x+1)2
D ( x+1)
+
=
A B C + + 3 2 ( x-1) ( x-1) ( x-1)
x2-3x+1 = A + B(x-1) + C(x-1)2 si: x=1 x=0
-1 = A(1) 1 = -1-B+C
A = -1
0 = -2-B+C
x = -1
1
1+3+1 = -1+B(-2)+C(4) 5 = -1-2B+4C 0 = -6-2B+4C 0 = 3+B-2C
2
De las ecuaciones 1 y 2: 0 = -2-B+C 0 = 3+B-2C 0 = 1-C
C=1
0 = -2-B+1 0 = -1-B
B = -1
B=7
4.-
∫
(x+3) dx (x-2)3
=
CASO I y II.
∫
(3x2+5x) dx (x-1)
∫
9x2 dx (2x+1)(x+2)2
∫
dx (x-1) (x+1)(x-3)2
∫
(x4-3x2+1) dx x2(x-1) (x+1)2
1.-
2.-
3.-
4.-
=
=
=
=
CASO I y III.
∫
(4x2+6) dx x(x2+3)
∫
(x2+x) dx (x-1)(x2+1)
∫
(2y3+y2+2y+2) dx (y2+2)(y2+1)
∫
(x2-3x+1) dx (x-1)(x+1)(x2+3x+4)
1.-
2.-
3.-
4.-
=
=
=
=
CASO IV.
1.-
∫
(x3-3x2+1) dx (x +2x+2)(x2-3x+5) 2
=
AREAS: Determinar el área de la superficie limitada por la circunferencia x2+y2=16 y la elipse 9x2+16y2=144. x2+y2=r2
c(0,0)
figura:
4
4
4
4
9x2+16y2 (9)(16)
=
x2 16
144 144
a2=b2+c2
y2 9
2
-
-4
√144-9x2 4
c(0,0)
= 1
16-9=c2
∫ ( √16-x 4
+
v(±4,0)
c=√7
) dx
=
y = √16-x2 y = √144-9x2 4
∫ ( 4
√16-x2
-4
=
-
√
9 (16 - x2) 16
(3/4) √144-9x2
=
(3/4)√16-x2
)
dx
=
Hallar el área limitada por las siguientes curvas: y2+x-6y+3=0 x-4y+11=0 2x+y-5=0 Parábola: y2-6y+3=-x
1 (parábola) 2 (recta) 3 (recta)
∫
4
-4
(1/4) (√144-9x2 ) dx
y2-6y+9 = -x+6 (y-3)2 = -(x-6) Vértice (6,3)p Corte en el eje X y Y: Si: y=0 x = -3 (-3,0) x=0 y2-6y+3 = 0 y = 6 ±√ 36-12 = 6 ±√ 24 2 2 y1 5.45 (0,5.45) y2 0.56 (0,0.56) Intersecciones de 1 y 2: y2+x-6y+3=0 x-4y+11=0
1 (parábola) 2 (recta)
y2+x-6y+3 = x-4y+11 y2-2y-8 = 0 (y-4)(y+2) = 0 y1 = 4 x1 = 5 y2 = -2 x2 = -19
(5,4) (-19,-2)
La ecuación de la curva OA es y2 = x3. Hallar el volumen del sólido que se engendra cuando la superficie: solución a) OAB gira alrededor de OX 64 ¶ b) OAB gira alrededor de AB (1024 ¶) / 35 c) OAB gira alrededor de CA (704 ¶) / 5 d) OAB gira alrededor de OY (512 ¶) / 7 e) OAC gira alrededor de OY (384 ¶) / 7 f) OAC gira alrededor de CA (576 ¶) / 5 g) OAC gira alrededor de AB (3456 ¶) / 35 h) OAC gira alrededor de OX 192 ¶
CENTROS DE GRAVEDAD: El centro de gravedad de una superficie plana se define del modo siguiente: Un trozo de cartón rígido, plano y horizontal permanecerá en equilibrio. Si se sostiene en un punto determinado. Este punto de apoyo es el CENTRO DE GRAVEDAD de la superficie plana del cartón. Para un rectángulo o un círculo, el centro de gravedad son evidentes.
y
y = f(x)
• y
x
x a
b
Momento de Superficie: Producto de su área por la distancia de su centro de gravedad. Mx = yA
y = Mx A
My = xA
x = My A y
y = f(x) h
•
k = y/2 h=x
y
k
x a dA = y dx
b d Mx = k dA
b
∫
A = a y dx d My = h dA = x dA b
∫
My = a x dA b
∫
My = a xy dx
∫
b
Mx = a
∫
k dA
b
Mx = a y/2 dA
∫
b
Mx =a
y/2 y dx
∫
b
Mx = (1/2)a
y2 dx
EJEMPLOS: Hallar el centro de gravedad de cada una de las superficies limitadas por las siguientes curvas: 1)
y = x3
x=2
y=0
gráfica:
2
∫
2
2
A = 0 x3 dx = [x4/4]0 = [ 24/4] = 16/4 = 4 A=4
∫
2
∫
2
3 2
2
Mx = (1/2) 0 (x ) dx = (1/2) 0 x6 dx = [(1/2)(x7/7)] = [(1/2)(27/7)] = [26/7] = 64/7 0 Mx = yA
y = Mx A
∫
y = Mx A =
(64/7) 4
∫
2
64 = 32 = 16 28 14 7
=
2
2
My = 0 (x)x3 dx = 0 x4 dx = [x5/5] = [25/5] = 32/5 0 My = xA
x = My A
( 85
x = My A =
(32/5) 4
16 , 7
)
=
32 = 16 = 8 20 10 5
CENTRO DE GRAVEDAD.
2)
x = 4y-y2
y=x
y2-4y = -x y2-4y+4 = -x+4 (y-2)2 = -(x-4) v(4,2) Puntos de intersección: y = 4y-y2 y2 -3y = 0 y(y-3) = 0 y1 = 0 x1 = 0 y2 = 3 x2 = 3
(0,0) (3,3)
EJERCICIOS: 1) Hallar el área limitada por las parábolas y = 6x-x2 y y = x2-2x . 2) Hallar el área de las superficie limitada por la recta 3x-2y-5=0 y la parábola: x2-2x-4y+5=0. Volumen: 1) Hallar el volumen que se engendra al hacer girar alrededor de lo que se indica la superficie limitada por la curva y2 = 4x, el eje x y la recta x = 4. 2) Hallar el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la superficie que se forma entre la curva y = -x2-3x+6 y x+y-3 = 0. Hallar el volumen que se genera al hacer girar alrededor del eje x la superficie que se forma entre la curva y = -x2-3x+6 y x+y-3 = 0. y = -x2-3x+6 x+y-3 = 0. x2+3x-6 = -y x2+3x+9/4 = -y+6+9/4 (x+3/2)2 = -y+33/4 (x+3/2)2 = -(y-33/4) vértice(-3/2 , 33/4) Puntos de intersección: y = -x2-3x+6 y = -x+3. -x2-3x+6 = -x+3. -x2-2x+3 = 0 x2+2x-3 = 0 (x+3)(x-1) = 0
x1 = -3 x2 = -1
y1 = 6 y2 = 2
(-3,6) (1,2)
Centro de Gravedad: 1)
Determinar el centro de gravedad en el primer cuadrante de la parábola y = 4-x2, x = 2, y = 0. x2 = 4-y x2 = -(y-4)
∫
v(0,4)
3
A = - 0 (4-y)1/2 -dy = [-(2/3)(4-y)3/2]3 0 A = -(2/3)√ (4-3)3 -[-(2/3)√ (4-0)3 ] = -2/3+4/3 = 2/3 3
∫
3
Mx = -(1/2) 0 (4-y) dy = -[(1/4)(4-y)2]0 = (-1/4) - [-16/4] = -1/4+16/4 = 15/4 y = Mx A
∫
=
(15/4) 2/3
∫
3
=
45 8
3
My = 0 (y)x dy = 0 (y)√ (4-y) dy
∫
3
My = 0 (y)(4-y)1/2 dy 4-y = z2 y = 4-z2 dy = -2zdz (4-y)1/2 = z
∫
3
My = 0 (4-z2) z (-2z) dz My = -2
My =
My =
[
∫03 (4-z ) z dz = -2 ∫0 (4z -z )dz 2
2
3
2
3
]
-(2/3)(4z3)+(2/5)(z5)
0
[ -(2/3)(4(3) )+(2/5)(3 )] 3
4
5
= -(8/3)(27) + 486/5 = -72+486/5 = 25.5
My = xA
x = My A
x = My A =
(25.2) 0.66
=
37.8
VOLUMEN:
∫
b
V = ¶ a (y12- y22) dx
∫
b
V = ¶ a (y1-y2)2 dx Ejercicios: ay = x√ (a2-x2)
x=0
x=a
y = (x/a)√ (a2-x2) a
1.-
∫
a
∫0
(x/a)√ (a2-x2)
∫
=
[
=
[ (-1/3a) (a -a ) ] - [ (-1/3a) (a -0 ) ]
dx = (-1/2a) 0
]
(-1/3a) (a2-x2)3/2 2
a 0
2 3/2
2
=
(-1/3a) (0)3/2
=
0 + (1/3)(a)2 = a2/3
(7-2x) dx (x-1)(x2+2x-8)
7-2x (x-1)(x2+2x-8)
=
(a2-x2)1/2 (-2x) dx
-
(-1/3a) (a)3
=
A x-1
+
Bx+C (x2+2x-8)
7-2x = A(x2+2x-8) + (Bx+C)(x-1) si: x=1 x=0
5 = A(-5) 7 = (-1)(-8) + C(-1) C = 8-7
A = -1 C=1
2 3/2
x = -1
∫
9 = (-1)(1-2-8) + (-B+1)(-2) 9 = 9+2B-2 2B = 2 B=1
7-2x (x-1)(x2+2x-8) =
∫
∫ ( x-1 -1
=
-dx x-1
∫
+
1/2
+
x+1 (x2+2x-8)
)
dx
2( x+1 )dx (x2+2x-8)
EJERCICIOS:
∫
dx (x3-1)
∫
(x2-2x+3) dx (x3-4x2+x+6)
∫
(7-2x) dx (x-1)(x2+2x-8)
4.-
∫
(1+x)1/2 dx (1-x)
5.-
∫
x dx (1+x1/2)
1.-
2.-
3.-
=
=
=
=
=
∫
dx 2(x ) + (x1/3)
7.-
∫
dx 4+5(Cos x)
8.-
∫
dx 2(Sen x) - Cos x + 3
9.-
∫
Cos x dx 5 - 3(Cos x)
6.-
=
1/2
=
=
=
10.- La segunda derivada es igual a 6x+2. Hallar la ecuación de la curva si se sabe que pasa por (1,3) y el valor de la pendiente es igual a 3 en ese punto
11.- Determinar la ecuación de la curva que pasa por el punto (4,2) y cuya primera derivada es 2x-1. 12.- En cada punto de cierta curva la y'' = 3/(x+3)1/2. Hallar la ecuación de la curva si se sabe que pasa por el punto (1,1) y tiene una inclinación de 45o en ese punto. 13.- Calcular el Área de la superficie limitada por y = x3/2, y = 2x. 14.- Calcular el área limitada por y = x+1, el eje "Y" y las rectas y = -2, y = 3. 15.- Hallar el área de una arcada de la función y = Sen x. 16.-
∫ 9x
2
-x
(e)
∫
3
3
-x
3
-x
2
dx = (-9/3) (e) (-3x ) dx =
-3 e
+c
d(-x3) = -3x2 dx
∫
dx 1 - Cos x
∫
(1+Cos x) dx (1-Cos x)(1+Cos x)
∫
dx (Sen2 x)
17.-
∫ Csc
2
18.-
∫
1/4
x dx
=
∫
+
+
∫ (Sen
-2
Csc x Ctg x dx 5 - 4Csc x
∫
∫
=
(Cos x) dx (Sen2 x) x)(Cos x) dx
(1+Cos x) dx (1-Cos2 x)
=
=
- Ctg x - Sen-1 x + c
(1/4) ln (5-4Csc x) + c
d(5-4Csc x) = 4Cscx x Ctg x dx
19.-
∫ 1/5
dx 25x2+4
∫
5 dx (5x)2+4
=
=
∫
=
=
4(Csc x Ctg x) dx 5 - 4Csc x
=
(1/10) arc tg (5x/2) + c
(1+Cos x) dx (Sen2 x)
=
20.-
∫
dx 2+2x-x2
∫
dx -(x2-2x-2) -
=
21.-
∫
1 ln 2√ √3
=
∫
=
√3 ( x-1-√ x-1+√ √ 3)
(2x+6) dx x2+2x+6
dx x2-2x+1-2-1
=
.
+
∫
dx (x-1)2-3 .
c
=
DERIVADA: Hallar la derivada de las siguientes funciones: 1.-
y = 4-3x-2x3 y' = -3-6x = -3(1+2x)
2.-
y=
1 √ 9-x2
=
(9-x2)-1/2
y' = -1 (9-x2)-3/2 (-2x) 2 3.-
x2-xy = 5 2x-xy'-y = 0 xy' = 2x-y y' = (2x-y)/x
4.-
y = √ 4+x2 x
=
x (9-x2)3/2
y' = x (1/2) (4+x2)-1/2(2x) - (4+x2)1/2 (1) x2 5.-
y = x√ 2+3x y' = x (1/2) (2+3x)-1/2 (3) + (2+3x)1/2 (1) y' = (3x/2) (2+3x)-1/2 + (2+3x)1/2
6.-
y = ln x3
=
x2 (4+x2)-1/2 - (4+x2)1/2 x2
y' = (1/x3)(3x2) = 3/x 7.-
y = x ex y' = x ex + ex (1) = ex (x+1)
8.-
y = tg √ 1-x y' = sec (1-x)1/2 (1/2) (1-x)-1/2(-1)
9.-
=
- Sec√ √ 1-x 2√ √ 1-x
y = e2x Sen 2x y' = e2x (Cos 2x) (2) + Sen 2x (e2x) (2) y' = 2e2xCos 2x + 2e2x Sen 2x = 2e2x(Sen 2x + Cos 2x)
10.-
y = arc Sen √ x y' = (1/2) (x)-1/2 √ 1- (x1/2)2
=
1 2√ √ x (1- x)
Ejercicios de Geometría Analítica: Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0,-4/3) y cuya directriz es la recta y-4/3 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de vértice (3,2) y foco(5,2). Hallar la ecuación de la parábola de foco(6,-2) y directriz la recta x-2 = 0. Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (2,3) de eje paralelo al "Y" y pasa por el punto (4,5). (x-h)2 = 4p (y-k) (4-2)2 = 4p (5-3) 4 = 4p(2) 4/8 = p = 1/2 (x-2)2 = 4(1/2)(y-3) (x-2)2 = 2(y-3) Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al de coordenadas "X" y pasa por los puntos (-2,1) (1,2) (-1,3). Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice esta sobre la recta 2y-3x = 0 , que su eje sea paralelo al de coordenadas "X" y pasa por los puntos A(3,5) y B(6,-1).
EXAMEN 1
1.-
∫ ( x2
+
1
) x dx ∫ ( x8 3
3
=
+
3x2 2
+
3x 4
+
1
) x dx
=
∫ x dx + (3/2) ∫ x dx + (3/4) ∫ x dx + ∫ x dx 4
= (1/8)
2
3
= x5/40 + x3/2 + (3/4)(x4/4) + x2/2 + c = x5/40 + x3/2 + 3x4/16 + x2/2 + c 2.-∫ (
x2 x3+5
)
dx
1/3∫ (
=
.
.
3x2 x3+5
) dx
=
v = x3+5 dv = 3x2 dx = (1/3) in (x3+5) + c
∫ ( x-1x ) dx 3
3.-
=
x2+x+1 x3 -x3+x2 -x2+x -x+1
x-1
∫( ) x3 x-1
dx
=
∫
x2 dx
+
∫
x dx
+
= x3/3 + x3/2 +x + ln(x-1) + c
4.-
∫
t dt (t2-2)1/3
=
∫
1/2
(t2-2)-1/3 (2t) dt
= (3/4) (t2-2)2/3 + c AREAS: 1.- Hallar el área limitada por las siguientes curvas x2+y2 = 9 y = x+3
∫
dx
+
∫
dx x-1
=
figura:
x2+(x+3)2 = 9 x2+x2+6x+9 = 9 2x2+6x = 0 2x(x+3) = 0 x1 = 0 y1 = 3 x2 = -3 y2 = 0
∫
(0,3) (-3,0)
2
A = 0 (x+3+√ √ x2+9 ) dx 2.- Hallar el área limitada por las siguientes curvas y = -x2+8x-5 y = x+1 figura:
y = -(x2-8x+5) -y+11 = x2-8x+5+11 -y+11 = x2-8x+16 -(y-11) = (x-4)2 (x-4)2 = -(y-11) v(4,11)
Puntos de Intersección: x+1 = -x2+8x-5 0 = -x2+7x-6 0 = x2-7x+6 0 = (x-6)(x-1)2 x1 = 6 y1 = 7 x2 = 1 y2 = 2
∫
6
∫
[
-(x3/3) + (7x2/2) - 6x
(6,7) (1,2)
6
A = 1 (-x2+8x-5-x-1 ) dx = (-x2+7x-6) dx 1 A=
]
6
= [-(63/3) + (7(6)2/2) - 6(6)] - [-(13/3) + (7(1)2/2) - 6(1)]
1
A = -216/3 +252/2 -36 +1/3 -7/2 +6 = -215/3 + 245/2 -30 A = (-430 +735)/6 -30 = 305/6 - 30 A = (305-180)/6 = 125/6 u2