• Author / Uploaded
• Franciisco R. Coliin Siilva

• Categories
• Rotación
• Mapa lineal
• Espacio vectorial
• Linealidad
• Base (Álgebra Lineal)

Citation preview

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTEPEC ING. ELECTROMECÁNICA ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES ING. JOSÉ MANUEL VARGAS JIMÉNEZ ARIEL IVÁN DURAN BELLO SEMESTRE: 1°

Página 1

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

INTRODUCCIÓN Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

Página 2

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

TEMARIO TRANSFORMACIONES LINEALES 5.2 Introducción a las transformaciones lineales. 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal. 5.3 La matriz de una transformación lineal. 5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: Reflexión, Dilatación, Contracción y Rotación.

Página 3

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONES LINEALES. Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro. Los espacios vectoriales son conjuntos de una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dad, conviene utilizar funciones que perseveren dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Ms adelante mostraremos las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matemáticas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos importantes para ver lo que es posible realizar.

Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x. En R2 se define una función “T” mediante la fórmula . 2 Geométricamente T toma un vector en R y lo refleja el eje x. esto se ilustra en la figura 5.1. una ves que ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal R2 a R2.

Página 4

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en uno de materia prima. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P1, P2, P3 y P4 y a los materiales por R1, R2 y R3, la tabla siguiente muestra el número de unidades de cada materia prima que se requiere para fabricar 1 unidad de cada producto

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos. ¿Cuántas unidades de material se necesitan? Sean p1, p2, p3 y p4 el número de artículos de los cuatro productos y sean r1, r2 y r3 el número de unidades necesario de los tres materiales. Entonces se define.

Por ejemplo suponga que

. ¿Cuántas unidades de R1 se

Página 5

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

necesitan para producir estos número de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que:

de manera similar

y

en general se ve

o

esto puede verse de otra manera. Si a p se le conoce como vector de producción y a r como vector de materia prima, se define la función T por r = T(p) = Ap. Esto es T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector d materia prima y se hace mediante la multiplicación de matrices ordinarias. Como se verá esta función es también una transformación lineal.

Página 6

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

PROPIEDADES DE TRANSFORMACIONES LINEALES: IMAGEN Y NÚCLEO Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u,v,v1,v2………..vn y todos los escalares a1,a2……an: i. ii. iii.

T(0) = 0 T(u – v) = Tu – T T(a1v1 + a2v2+ … +anvn) = a1Tv1 + a2Tv2 +… + anTvn

Nota. En la parte i) el 0 de la izq es el vector cero en V: mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W i. ii. iii.

T(0) = T(0 + 0) = T (0) + T(0). Asi 0= t(0)- T(0) = T(0) +T(0) –T(0) = T(0) T(u-v) = T[u+(-1)v] = Tu+T[(-1)v]= Tu+ (-1)Tv = Tu-Tv. Esta parte se prueba por inducción. Para n=2 se tiene T(a1v1 + a2v2) = T(a1v1 )+ T(a2v2) = a1Tv1 + a2Tv2. Asi, la ecuación (1) se cumple para n=2.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B= { v1,v2…vn}. sean w1,w2….wn vectores en W. suponga que T1y T2 son dos transformaciones lineales de V y W tales que T1v1=T2v1=w1, para i =1,2…..n. entonces para cualquier vector vE V,T1v = T2v; es decir T1=T2. Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares a1,a2….an tales que v= a1v1 + a2v2+ … +anvn. entonces del inciso iii) del teorema 1

Página 7

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

De manera similar

Por lo tanto T1 = T2v.

El teorema 2 indica que si T: V W y V tiene dimensión finita, entonces es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto , sean v1,v2…vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces , igual que en la prueba del teorema 2.

a1Tv1 + a2Tv2 +… + anTvn asi, se puede calcular Tv para cualquier v E V si se conocen T1,T2v…..Tvn

Página 8

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V lineal. Entonces i. ii.

W una transformación

El núcleo de T, denotado por un T, dado por Un T= {v E V: Tv = 0} La imagen de T, denotado por 1m T, esta dado por Im T = {w E W:w = Tv para alguna v E V}

Página 9

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

NUCLEO E IMAGEN DE LA TRANSFORMACIÓN CERO Sea Tv=0 para todo v e V (T es la transformación cero). Entonces un T = V e Im T = {0}.

NUCLEO E IMAGEN DE LA TRANSFORMACIÓN IDENTIDAD Sea Tv = v para todo v e V (T es la transformación identidad). Entonces un T{0} e im T – V Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera se encuentra en el núcleo. En la segunda solo el vector cero encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Núcleo E Imagen De Un Operador De Proyección

Página 10

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Si A es una matriz de m × n y T: Rn → Rm está definida por T x= Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación línea de Rn en Rm existe una matriz A de m × n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad, si Tx = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn → Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices. Pero esto no es todo. Como se verá cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una mariz. Sea T: Rn → Rm una transformación línea. Existen entonces una matriz única de m × n, AT tal que:

TEOREMA 1 Sea w1 = Te1, w2 = Te2……wn = Ten. Sea AT La matriz cuyas columnas son w1, w2.....wn y hagamos que AT denote también a la transformación de Rn → Rm, que multiplica un vector de Rn por AT Si:

Página 11

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

De esta forma, ATei = wi para i = 1, 2, ……, n. T y la transformación AT son la misma porque coinciden en los vectores básicos. Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o establecido CT = AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei = 0 para i = 1, 2, …. N. Pero como se deduce de la demostración de la primera parte del teorema, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m × n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado. Observación 1. En este teorema se supone que todo vector de Rn y Rm está expresado en términos de los vectores de la base estándar en esos espacios. Si se eligen otras bases para Rn y Rm. Por su puesto, se obtendrá una matriz AT diferente. Observación 2. La demostración del teorema muestra que es sencillo obtener AT como la matriz cuyas columnas son los vectores Tei.

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Nota. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en Rm. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz diferente.

TEOREMA 2 Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal. T. Entonces: I. II. III. IV.

Im T = Im A = CAT p(T) = p(AT) nu T = NAT v(T) = v(AT)

Página 12

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

TEOREMA 3 Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m y T: V→W una transformación lineal. Sea B1 = {v1, v2,….., vn} una base para V y sea B2 = {w1, w2,…, wn} una base para W. Entonces existe una matriz única AT de m × n tal que:

Observación 1.

Observación 2. Como en el teorema 1, la unicidad de AT es relativa a las bases B1 y B2. Si se cambian las bases AT cambia. Si se usan las bases estándar, entonces esta AT de la definición 1.

Página 13

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

DEMOSTRACIÓN

Página 14

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

De manera similar, Tx = T(c1v1 + c2v2 + …. + cnvn) = c1Tv1 + c2Tv2 + …. + cnTvn = c1y1 +c2y2 + …. Cnyn, de Así, T(x)B2 = AT(x)B1. La prueba de la unicidad es exactamente igual que la prueba de unicidad en el teorema 1.

Página 15

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

TEOREMA 4 Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. Sea T: V→W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2 en W. Entonces: I. p(T) = p(AT)

II. v(A) = v(AT)

III. v(A) + p(T) = n

Nota. I) y II) implican que p(AT) y v(AT) son independientes de las bases B1 y B2.

TEOREMA 5 Sea T: Rn→Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 a la base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2 entonces:

Página 16

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

TEOREMA 6 Toda matriz elemental de E de 2 × 2 es uno de los siguientes I. II. III. IV. V. VI.

La representación matricial de una expansión a lo largo del eje x o y. La representación matricial de una compresión a lo largo del eje x o y. La representación matricial de una reflexión respecta a la recta y = x. La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y. La representación matricial de una reflexión respecto del eje x o y. El producto de la representación matricial de un reflexión al eje x o y y la representación matricial de una expansión o comprensión.

Página 17

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

DEMOSTRACIÓN

Página 18

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

TEOREMA 7 Sea T: R2→R2 una transformación lineal tal que su representación matricial es invertible. Entonces T se puede obtener como una secesión de expansiones, comprensiones, cortes y reflexiones. Nota. ATes invertible si sólo si p(AT) = 2. Pero según el teorema 4, p(AT) = p(A). Esto significa que AT es invertible respecto a todas las bases en R2 o no es invertible respecto a alguna.

APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. Dilatación o escalamiento 2D El escalamiento 2D implica el cambio de tamaño de un polígono, donde cada punto p = (x1, x2) es transformado por la multiplicación de dos factores de escalamiento: s1 y s2 a lo largo de los ejes X1 y X2 respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p =(x1, x2) se obtienen como: x1’ = x1 ∙ s1 x2’ = x2 ∙ s2 Sea s = (s1, s2) el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en 2D se puede expresar como el producto matricial p' = p ⋅ S(s), es decir:

Este ejemplo muestra el efecto de escalamiento de una figura con s1 = 1.5 y s2 = 2.

Página 19

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Dilatación o escalamiento 3D Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamaño de un poliedro, donde cada punto p = (x1, x2, x3) es transformado por la multiplicación de tres factores de escalamiento: s1, s2 y s3 a lo largo de los ejes X1, X2 y X3 respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p’ = (x1, x2, x3) se obtienen como: x1’ = x1 ∙ s1 x2’ = x2 ∙ s2 x3’ = x3 ∙ s3 Sea s = (s1, s2, s3) el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en 3D se puede expresar como el producto matricial p' = p ⋅ S(s), es decir:

Este ejemplo muestra el efecto de escalamiento de una figura con s1 = 2, s2 = 2.5 y s3 = 1.5.

Página 20

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Escalamiento o dilatación 4D Extendiendo nuevamente la idea anterior a 4D, el escalamiento implica el cambio de tamaño de un politopo 4D, donde cada punto p = (x1, x2, x3, x4) es transformado por la multiplicación de cuatro factores de escalamiento: s1, s2, s3 y s4 a lo largo de ejes que forman el espacio 4D, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p’ = (x1’, x2’, x3’, x4’) se obtienen como: x1’ = x1 ∙ s1 x2’ = x2 ∙ s2 x3’ = x3 ∙ s3 x4’ = x4 ∙ s4 Sea s = (s1, s2, s3, s4) el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en 4D se puede expresar como el producto matricial p' = p ⋅ S(s), es decir:

Escalamiento o dilatación nD De esta forma, el escalamiento nD implica el cambio de tamaño de un politopo nD en todas sus dimensiones, como se observó anteriormente, se puede representar el escalamiento nD en su forma matricial, donde los factores de escalamiento se localizan en la diagonal principal, cada uno colocado en la columna que le corresponde a su respectivo eje. Así, se obtiene la expresión matricial de escalamiento para cualquier dimensión:

Página 21

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

ROTACIÓN La rotación permite girar un objeto sobre un eje de rotación, dado un valor de ángulo de rotación θ y su dirección.

ROTACIONES 2D La rotación de un objeto en 2D se lleva a cabo alrededor de un punto, que es el eje puntual (cero-dimensional) de rotación. Las rotaciones principales 2D son aquellas que se llevan a cabo alrededor del origen, las rotaciones sobre cualquier otro punto arbitrario se llaman rotaciones generales 2D. Se analizan sólo las rotaciones principales para todas las dimensiones, se discuten las rotaciones generales. Para generar una rotación, se especifica el ángulo de rotación θ, y el punto de rotación (pivote) sobre el cual el objeto será rotado. Los ángulos de rotación positivos definen una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj sobre el punto pivote (del eje X 1 al eje X2), entonces los ángulos de rotación negativos producen una rotación en el sentido de las manecillas (del eje X2 al eje X1). [Hearn 95] describe la rotación 2D como el giro sobre el eje de rotación que es perpendicular al plano X1X2 (mejor conocido como plano XY) y que pasa a través del punto pivote. Si el punto pivote se encuentra sobre el origen, se tiene que: r es la distancia del punto p = (x1, x2) al origen, φ define la posición angular del punto p desde la horizontal, y θ el ángulo de rotación de p para producir el nuevo punto p’ =(x1’, x2’).

Página 22

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Utilizando coordenadas polares, el punto p = (x1, x2) se puede escribir como p = (r,φ) y el punto p = (x1, x2) como p '= (r, φ + θ) . Pasando después estos puntos de coordenadas polares a rectangulares se tiene que:

x1 = r cos(φ) x1’ = r cos(φ + θ)

x2 = r sin(φ) x2’ = r sin(φ + θ)

Aplicando algunas propiedades trigonométricas: x1’ = r cos(φ + θ) = r cos φ cos θ – r sin φ sin θ x2’ = r sin(φ + θ) = r cos φ sin θ + r sin φ cos θ Substituyendo los valores de x1 = r cos(φ) y x2 = r sin(φ) Se obtienen las ecuaciones para rotar un punto p = (x1, x2) alrededor del origen dado un ángulos θ:

Sea R(θ) la matriz de rotación sobre el origen, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor del origen en 2D se puede expresar como el producto matricial p = p ⋅ R , es decir:

El Ejemplo muestra el efecto de rotación de una figura con θ = 45°

Página 23

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Rotaciones 3D A diferencia de la rotación en el espacio 2D, donde para hacer rotar un objeto se necesita un punto (cero-dimensional), en 3D para hacer rotar un objeto se necesitan dos puntos no coincidentes que determinan un segmento de recta, cuya línea de soporte define un eje lineal (uni-dimensional) de rotación. Las rotaciones principales 3D, son aquellas cuando el eje de rotación se encuentra sobre alguno de los tres ejes principales: X1, X2 o X3, las rotaciones sobre cualquier otro eje arbitrario son llamadas rotaciones generales 3D. Se recuerda que inicialmente, se analizan las rotaciones principales. Por convención, los ángulos de rotación positivos producen rotaciones en contra de las manecillas del reloj sobre el eje de rotación, esto es si se observa el giro desde la parte positiva del eje hacia el origen. Otra forma de determinar la dirección de un giro positivo es mediante la regla de la mano derecha, que dice que: “Si se coloca el dedo pulgar de la mano derecha sobre el eje de rotación apuntando hacia la parte positiva de dicho eje, el giro natural del resto de los dedos indica la dirección positiva del giro”.

Página 24

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Para entender el concepto de rotación en 3D como una extensión de la rotación 2D, hay que recordar que la rotación 2D es el giro sobre el eje de rotación, que es perpendicular al plano X1X2, el cual en 3D corresponde al eje X3, entonces se tiene la primera de las rotaciones principales. De esta forma, por cada punto p = (x1, x2, x3) dado un ángulo θ, puede ser rotado sobre el eje X3 en sentido contrario a las manecillas del reloj, obteniendo las coordenadas del nuevo punto p’ = (x1’, x2’, x3’) de la misma forma en cómo se analizó en el espacio 2D quedando la coordenada x3 sin cambio, entonces, se extienden las fórmulas para la rotación 2D a 3D como:

Sea R3(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X3, en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial p = p ⋅ R3 θ, es decir:

Página 25

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

El ejemplo muestra el efecto de rotación sobre el eje X3 de una figura con θ = 20°.

Las ecuaciones para las rotaciones sobre el eje X1, y el eje X2, pueden ser obtenidas mediante las permutaciones cíclicas de los parámetros x1, x2, x3: x1→x2→x3→x1 Como se muestra aquí:

Entonces, aplicando sus substituciones cíclicas en la Ecuación Anterior, se obtiene las ecuaciones para la rotación alrededor del eje X1 dado un ángulo θ.

Página 26

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

Sea R1(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X1 en coordenadas homogéneas la rotación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial de p = p ∙ R1 θ , es decir:

Aplicando nuevamente las substituciones cíclicas en la Ecuación Anterior, se obtienen las fórmulas para la rotación alrededor del eje X2 dado un ángulo θ.

Sea R2(θ) la matriz de rotación alrededor del eje X2, en coordenadas homogéneas la ratación de un punto p alrededor de dicho eje, se puede expresar como el producto matricial p = p ∙ R2 θ , es decir:

Página 27

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

CONCLUSIÓN Se han visto más detallado y con más exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores. Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en práctica los temas futuros. Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.

Página 28

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

BIBLIOGRAFÍA

ALGEBRA LINEAL STANLEY GROSSMAN 6TA EDICION Autor: Stanley Grossman | ISBN: 9701008901 | 6ta Edición Editorial Mc Graw Hill| 2008 | 786 Páginas

Página 29

TRANSFORMACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL

BIBLIOGRAFÍA

ALGEBRA LINEAL STANLEY GROSSMAN 6TA EDICION Autor: Stanley Grossman | ISBN: 9701008901 | 6ta Edición Editorial Mc Graw Hill| 2008 | 786 Páginas

Página 30