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INGENIERIA MECANICA

DINAMICA

DECIMOSEGUNDA EDICI6N

R. C. HIBBELER

Variable a Constante a = ac ads = vdv v2 = VQ + 2ac(s - s0) Coordenadas x, y, z Coordenadas r, 0, Variable a Constante a = EL. a = —— a) = om + aJ £ «> - — 0 0O + to,/ + 2act Teorema del eje paralelo I = IG + md2 Ecuaciones fundamentales de dinamica

Ecuaciones de movimiento Particula

CINEMATICA

2FX = m(a G)x 2Fy = m(a G)y ?ZM G=IGa o 'ZMp='2,(M,j c)p Prindpio de trabajo y energfa T\ + U\-2 - T2

1 2 s= s0+ Vot + j ad

vx = x a x ar = vy = y a y

=

x

r-

rO2

=

y

vr

=

r

ve=

rO

ae

=

z

=

rO + 2r0 vz = z

az

= 'z a=v=v. ds z

az =

vdv z 2

[1 + (dy/dx) }^

Coordenadas n,t, b Q

n=—P

a

Energta cin&tica Particula

T = \mv2

Cuerpo rigido Movimiento piano

T = \mvG + \ IGto 2

Trabajo Fuerza variable

f Up = F cos 0 ds

Fuerza constante Peso Resorte

Up = (Fccos0) As Uw = -W Ay Us = ~(\ksl ~ \ks\)

Momento de par Potencia y eficiencia

UM = M AO

_ Fgal _ t/sal P=^=F.v e dt Fent Uenx Teorema de conservadon de la energfa T, + Vi = T2 + V2 Energta potencial V = V g + Ve, donde Vg = ±Wy, Ve = +±ks 2

p kwi Movimiento relativo V B = V A + * B/ A

2F = mu

Cuerpo rigido Movimiento piano

Movimiento rectilfneo de una partfcula Movimiento dv curvilfneo de una partfcula a= ~^ v= vQ +a4(pasador) afl — &A afl/yl(pasador)

Movimiento yrotatorio y

B =

a

v

piano

general

relativo—ejes

trasladante

>4 + ft X rB /A + (* B/A)xyz

fl = a>4 + ^ X

r

B/A

2

Cuerpo rigido

m(yG), + 2

m(yG)2

Conservadon de la cantidad de movimiento lineal 2(syst. my), = 2(syst. mv)2 Coeficiente de restitucidn e = (VA)!-(V B)1 Prindpio de impulso y cantidad de movimiento angulares

+ H X (H X rB / A ) + 2Cl X {y

J

B / A) xyz

CINETICA Momento de inerda de masa

I

=

+ {* B/A)x y z

Particula (H0), + 2 jM 0dt = (H0 ) 2 donde

2

r dm Cuerpo rigido (Movimiento piano)

H =+ (d)(mv) (Hac), X J MG dt = (Hck donde HG = lev (H0), + 2 Jtdodt = (H0)2 donde Ha = lDto

Conservadon de la cantidad de movimiento angular 2(sist. H)t = 2(sist.H)2

Prefijos SI Multiplo

Forma exponencial 109 106 103

1 000 000 000 1 000 000 1 000

Prefljo giga mega kilo

Simbolo SI G M k

Submultiplo 10 3 10“6 10-9

0.001 0.000 001 0.000 000 001

mili micro nano

m P n

Factores de conversion (FPS) a (SI) Cantidad

Unidad de medicion (FPS) (SI)

Fuerza Masa Longitud

lb slug pie

Esiguala

Factores de conversion (FPS) 1 pie = 12 pulgadas 1 mi (milla) = 5280 pies 1 kip (kilolibra) = 1000 lb 1 ton = 2000 lb

Unidades de medicion 4.4482 N 14.5938 kg 0. 3048 m

■I INGENIERIA MECANICA

DIN A MICA DECIMOSEGUNDA EDIClON

RUSSELL C. HIBBELER

traducci6n

Rodolfo Navarro Salas Ingeniero Mecdnico Universidad Nacional Autdnoma de Mdxico REVISION TECNICA Miguel Angel Rios

Sanchez Departamento de Ingenieria Mecdnica y Mecatrdnica Divisidn de Ingenieria y Arquitectura (DIA) Instituto Tecnoldgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de Mdxico

Prentice Hall Mexico • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador Espafla • Guatemala • Panama • Peru • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela

/Daios de catalogacidn bibliografica HIBBELER, R. C. Ingenieria mecanica - Dinamica

Decimosegunda edici6n PEARSON EDUCACl6N,Mdxico, 2010 ISBN: 978-607-442-560-4 Area: Ingenieria Formato: 20 X 25.5 cm

Pl^ginas: 752

Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Dynamics, 12th edition, by Russell C. Hibbeler published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2010. All rights reserved. ISBN 978013607791-6 Traduccidn autorizada de la edicidn en idioma inglds, titulada Engineering mechanics: Dynamics, 12a edici6n, por Russell C. Hibbeler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2010. Todos los derechos reservados. Esta edicidn en espaflol es la tinica autorizada. Edicidn en espanol Editor:

Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Bernardino Gutidrrez Hemdndez Supervisor de produccidn: Enrique Trejo Hemdndez DECIMOSEGUNDA EDICI6N, 2010 D.R. © 2010 por Pearson Educacidn de Mdxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Judrez, Estado de Mdxico Cdmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. num. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educaci6n de Mdxico, S A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacidn pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacidn de informacidn, en ninguna forma ni por ningun medio, sea electr6nico, mecdnico, fotoqufmico, magndtico o electro6ptico, por fotocopia, grabaci6n o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prdstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesidn de uso de este ejemplar requerird tambidn la autorizacidn del editor o de sus representantes.

ISBN VERSI6N IMPRESA: 978-607-442-560-4 ISBN E-BOOK: 978-607-442-662-5 PRIMERA IMPRESI6N Impreso en Mexico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 131211 10

Prentice Hall es una marca de

PEARSON www.pearsoneducacion.com

ISBN: 978-607-442-560-4

Al estudiante Con la esperanza de que este trabajo estimule un interes en la ingenieria mecanica y proporcione una guia aceptable para su comprension.

PREFACIO El prop6sito principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentacidn clara y completa de la teoria y las aplieaciones de la ingenieria mecdnica. Para alean - zar dicho objetivo, la obra se ha enriquecido con los comentarios y las sugerencias de cientos de revisores que se dedican a la ensefianza, asi como muchos de los alumnos del autor. Esta decimosegunda edicidn ha sido mejorada signifieativamente en rela- ci6n con la anterior, por lo que se espera que tanto el profesor como el estudiante se beneficien en gran medida de estas mejoras.

Caracteristicas nuevas Problemas fundamentales. Se localizan justo despuds de los problemas de ejemplo. Ofrecen a los estudiantes aplieaciones simples de los conceptos y, por ende, la oportunidad de desarrollar sus habilidades para resolver ciertas dificultades antes de intentar solucionar algunos de los problemas estdndar que siguen. Estos problemas pueden considerarse como ejemplos extendidos puesto que todos tienen soluciones parciales y respuestas en la parte final del libro. De manera adieional, los problemas fundamentales ofrecen a los estudiantes un excelente medio para repa- sar antes de los exdmenes; y pueden usarse tambidn como una preparacidn para el examen de certifieacidn en ingenieria, en Estados Unidos.

Modificaciones al contenido. Cada seccidn del texto se revisd con cuidado y, en muchas dreas, el material se desarrolld de nuevo a fin de explicar de mejor manera los conceptos. Esto ha incluido agregar o cambiar varios de los ejemplos para dar mds dnfasis a las aplicadones de los conceptos importantes.

Problemas conceptuales. A lo largo del texto, por lo general al final de cada capitulo, se incluye una serie de problemas que involucran situaciones conceptuales relacionadas con la aplicackm de los principios de mecdnica vistos en el capitulo. Estos problemas de andlisis y disefio estdn planteados para que los estudiantes razonen sobre una situackm de la vida real, en donde una fotografia ejemplifica el escenario. Los problemas pueden asignarse despuds de que los estudiantes hayan desarrollado cierta experiencia en el tema.

Fotografias adicionales. La relevancia de conocer el tema estudiado se refle- ja mediante las aplieaciones en el mundo real que se ilustran en mds de 60 fotogra- fias nuevas y actualizadas a lo largo del libro. Estas fotografias se usan generalmen- te para explicar crimo se aplican los principios de mecdnica en situaciones reales. En algunas secciones, las fotografias se utilizan para mostrar que los ingenieros deben crear primero un modelo idealizado para su andlisis, y despuds proceder a dibujar un diagrama de cuerpo fibre a partir de dl con el fin de aplicar la teoria.

Problemas nuevos. En esta edicidn se han agregado aproximadamente 850 problemas nuevos, 50% del total, incluyendo aplieaciones en biomecdniea e ingenieria aeroespacial y petrolera. Asimismo, esta nueva edicidn contiene alrededor de 17% mds problemas que la edicidn anterior.

Caracteristicas particulares Ademds de las caracteristicas nuevas que se acaban de mencionar, hay otras que destacan el contenido del texto, entre ellas las siguientes.

Organizacion y enfoque. Cada capitulo estd organizado en secciones bien definidas que contienen una explicacidn de temas especificos, problemas de ejemplo ilustrativos y conjuntos de problemas de tarea. Los temas dentro de cada seccidn se colocan en subgrupos definidos por titulos en letras negritas. El propdsito de esto es presentar un mdtodo estructurado para introducir cada nueva definicbn o concepto y convertir al libro en una util y prdctica referencia en repasos posteriores.

Contenido del capitulo. Cada capitulo comienza con una ilustracbn que muestra una aplicacidn del tema a tratar, y una lista con vifietas de los objetivos del capitulo para proporckmar una visidn general del material que se cubrir£.

Enfasis en los diagramas de cuerpo libre. Al resolver problemas, es particularmente importante dibujar un diagrama de cuerpo libre, y por esa razdn este paso se enfatiza a b largo del libro. En particular, se dedican secciones y ejem- pbs especiabs para mostrar c6mo dibujar diagramas de cuerpo libre. Tambbn se han agregado probbmas de tarea especificos para desarrollar esta prdctica.

Procedimientos para el analisis. Al final del primer capitulo, se presen- ta un procedimiento general para analizar cualquier problema mecdnico. Despu6s, este procedimbnto se adapta para resolver probbmas especificos a lo largo del libro. Esta caracteristica unica proporciona al estudiante un mgtodo ldgico y orde- nado que puede seguir al aplicar la teoria. Los problemas de ejemplo se resuelven utilizando este nbtodo esquemdtico a fin de clarificar su aplicacbn nunbrica. Sin embargo, una vez que se tbne dominio de los principios relevantes y se ha obtenido confianza y juicb en el m6todo,el estudiante puede desarrollar sus propios procedimientos para la resolucbn de problemas.

PuntOS importantes. Esta caracteristica proporciona un repaso o resumen de los conceptos m£s importantes en cada seccidn y resalta los puntos que deben observarse al aplicar la teoria para la resolucidn de problemas.

Comprension conceptual. Mediante el uso de las fotografias que se incluyen a lo largo del libro, se aplica la teoria de una manera simplificada, a fin de ilustrar algunas de sus caracteristicas conceptuales m£s importantes e infundir el significado fisico de muchos de bs t^rminos que se usan en las ecuaciones. Estas aplieaciones simplificadas aumentan el interns en el tema estudiado y preparan de mejor manera al estudiante para entender bs ejemplos y resolver bs problemas.

Problemas de tarea. Adem£s de los problemas fundamentales y conceptuales que se mencionaron,el libro incluye problemas de otro tipo, como los que se descri- ben a continuation: • Problemas de diagrama de cuerpo libre. Algunas secciones del libro contienen probbmas

introductorios que sdlo requieren dibujar el diagrama de cuerpo libre para una situaci6n especifica. Estas asignaciones hardn que el estudiante conozca la importancia de dominar esta habilidad como un requisito para obtener una solution completa de cualquier problema de equilibrio.

• Problemas generales de analisis y diseno. La mayorfa de los problemas pre- sentan situaciones reales en la prdctica de la ingenieria. Algunos provienen de productos reales usados en la industria. Se espera que este realismo estimule el interns del estudiante en la ingenieria mecdnica y ayude a desarrollar la habilidad de reducir cualquier problema de este tipo desde su description ffsica hasta un modelo o representacbn simbdlica a la que se le puedan aplicar bs principios de la mecdnica. A lo largo del libro existe un balance aproximado de problemas que utilizan unida- des SI o FPS. Ademds, en todas las series se ha hecho un esfuerzo por ordenar los problemas de acuerdo con una dificultad creciente, excepto para los problemas de repaso al final de cada capitulo, bs cuales se presentan en orden aleatorio. • Problemas de computadora. Se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pueden resolverse usando un procedimiento numOrico ejecutado en una computadora de escritorio o bien en una calculadora de bolsillo. La intenci6n es ampliar la capacidad del estudiante para que utilice otras formas de antiisis matemdtico sin sacrificar el tiempo, para enfocarse en la aplicacidn de los principios de la mecdnica. Los problemas de este tipo, que pueden o deben resolverse con procedimientos numdricos, se identifican mediante un simbolo “cuadrado” (■) antes del numero del problema. Al existir tantos problemas de tarea en esta nueva edicbn, se han clasificado en tres categorias diferentes. Los problemas que se indican simplemente mediante un numero tienen una respuesta al final del libro. Si el numero del problema estd precedido por una vifieta (•), ademds de la respuesta se proporciona una sugerencia, una ecuacidn dave o un resultado numdrico adicional. Por ultimo, un asterisco (*) antes de cada numero de problema indica que 6ste no tiene respuesta.

Exactitud. Al igual que con las ediciones anteriores, la exactitud del texto y de las soluciones a los problemas ha sido verificada con profundidad por el autor y otros cuatro colaboradores: Scott Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University; Karim Nohra, University of Sou th Florida, Kurt Norlin, Laurel Tech Integrated Publishing Services; y Kai Beng, un ingeniero practicante, quien ademds de revisar la exactitud proportion^ sugerencias para el desarrollo del contenido.

Contenido El libro est£ dividido en 11 capftulos, en bs que los principios se aplican primero en situaciones simples y luego en contextos m£s complicados. La cinemdtica de una particula se estudia en el capitulo 12 y la tintiica en bs capf- tulos 13 (Ecuatidn de movimiento), 14 (Trabajo y energfa) y 15 (Impulso y cantidad de movimiento). Los conceptos de dindmica de una partfcula contenidos en estos cuatro capftulos se resumen a continuacidn en una sectidn de “repaso” y al estudiante se le brinda la oportunidad de identificar y resolver varios problemas. El movimiento piano de un cuerpo rigido se presenta siguiendo una secuentia similar: capitulo 16 (Cinem£tica plana), capitulo 17 (Ecuaciones de movimiento), capitulo 18 (Trabajo y energfa) y capitulo 19 (Impulso y cantidad de movimiento), seguidos por un resumen y un conjunto de problemas de repaso de estos capftulos.

Si el tiempo lo permite, en el curso se puede incluir una parte del material que impli- ca el movimiento de un cuerpo rigido tridimensional. La cinemdtica y cinOtica de este movimiento se estudian en los capftulos 20 y 21, respectivamente. Se puede incluir el capitulo 22 (Vibraciones) siempre que el estudiante cuente con el conocimiento matemdtico necesario. Las secciones del libro que se consideran fuera del dmbito del curso de dindmica Msico se indican por medio de una estrella (★) y pueden omitirse. Observe que este material tambiOn constituye una referenda apropiada de los principios Msicos cuando se estudia en cursos m£s avanzados. Por ultimo, el apOndice A incluye una lista de formulas matem£ticas necesarias para resolver los problemas contenidos en el libro. El apOndice B proporciona un breve repaso del analisis vecto rial y el apOndice C revisa la aplicatibn de la regia de la cadena.

Cobertura alternativa. A discretion del profesor, es posible estudiar los capftulos 12 a 19 en el orden siguiente sin perder continuidad: capftulos 12 y 16 (Cinemdtica), capftulos 13 y 17 (Ecuaciones de movimiento), capftulos 14 y 18 (Trabajo y energfa) y capftulos 15 y 19 (Impulso y cantidad de movimiento).

Reconocimientos El autor se ha empefiado en escribir este libro de manera que resulte atractivo tanto para el estudiante como para el profesor. A travOs de los afios, muchas personas han ayudado en su desarrollo y siempre estarO agradecido por sus valiosos comentarios y sugerencias. En especial, deseo agradecer a las siguientes personas sus comentarios relativos a la preparation de esta decimosegunda edition. Per Reinhall, University of Washington Faissal A. Moslehy, University of Central Florida Richard R. Neptune, University of Texas at Austin Robert Rennaker, University of Oklahoma TambiOn quiero ofrecer un agradecimiento muy especial al profesor Will Liddell, Jr., y a Henry Kahlman. Adem£s, siento que hay otras personas que merecen un reconocimiento particular. Vince O‟Brien, director del equipo de administration del proyecto en Pearson Education, y Rose Kernan, mi editora de production durante muchos afios, me dieron su impulso y apoyo. Francamente, sin su ayuda, esta ediciOn totalmente modificada y mejorada no hubiera sido posible. Adem£s, mi amigo y socio por largo tiempo, Kai Beng Yap, me fue de gran ayuda al revisar todo el manuscri- to y ayudarme a preparar las soluciones para los problemas. A este respecto, tam- biOn ofrezco un agradecimiento especial a Kurt Norlan de Laurel Tech Integrated Publishing Services. Agradezco la ayuda de mi esposa, Conny, y de mi hija, Mary Ann, quienes durante el proceso de production ayudaron con la lectura de pruebas y la escritura necesaria para preparar el manuscrito antes de su publication. Por ultimo, extiendo mi agradecimiento a todos mis alumnos y a los miembros del profesorado que se han tornado el tiempo de enviarme sus sugerencias y comentarios por correo electrOnico. Como esta lista es demasiado larga, espero que aquelbs que han proportionado su ayuda de esta manera acepten este reconocimiento anOnimo. EstarO muy agradecido con ustedes si me envfan algun comentario o sugerencia, o si me hacen saber la existencia de problemas de cualquier tipo en relation con esta ediciOn. Russell Charles Hibbeler [email protected]

X

RECURSOS EN LiNEA PARA LOS PROFESORES

Recursos en Ifnea para los profesores (en ingles) • Manual de soluciones para el profesor. Este suplemento proporciona soluciones completas apoyadas por instrucciones y figuras de los problemas. El manual de esta decimosegunda edicidn se modified para mejorar su legibilidad y su exactitud se verified tres veces. • Recursos para el profesor. Los recursos visuales para acompafiar el texto se localizan en el sitio web: www.pearsoneducacion.net/hibbeler. Es necesario contar con un cddigo y una contrasefla para acceder a este sitio; contacte a su representante local de Pearson. Los recursos visuales incluyen todas las ilustraciones del texto, disponibles en diapositi vas de PowerPoint y en formato JPEG. • Soluciones en video. Las soluciones en video, desarrolladas por el profesor Edward Berger de la University of Virginia, se localizan en el sitio Web de este texto y ofrecen gufas de soluciones paso a paso para los problemas de tarea m£ s representativos de cada seccidn del texto. Haga un uso eficiente de las horas de clase y oficina mostrando a sus estudiantes los mdtodos completos y concisos para resolver problemas, a los que pueden tener acceso en cualquier momento para estudiarlos a su propio ritmo. Los videos estdn disefiados como un recurso flexible que pued e usarse cada vez que el profesor y el estudiante lo decidan. Los videos tambbn son un valioso recurso para la autoevaluacidn del estudiante puesto que puede detenerbs o repetirlos hasta verificar su comprensidn, y trabajar a lo largo del material. Puede e ncontrar estos videos en www.pearsoneducacion.net/hibbelersiguiendo bs vinculos hasta Engineering Mechanics: Dynamics, Twelfth Edition text.

CONTENIDO 13.4

Ecuaciones de movimientor coordenadas rectangulares 114

12

13.5

Ecuaciones de movimiento: coordenadas normales y tangenciales 131

Cinematica de una particula 3

13.6

Ecuaciones de movimientor coordenadas cilindricas 144

Objetivos del capitulo 3

*13.7 Movimiento de fuerza central y mecanica espacial 155

12.1

Introduccion 3

12.2

Gnematica rectilinear movimiento continuo 5

12.3

Gnematica rectilinear movimiento erratico 19

12.4

Movimiento curvilineo general 32

14

12.5

Movimiento curvilineor componentes rectangulares 34

Cinetica de una

12.6

Movimiento de un proyectil 39

12.7

Movimiento curvilineor componentes normal y tangencial 53

energfa 169

12.8

Movimiento curvilineor componentes cilindricos 67

12.9

Analisis del movimiento dependiente absoluto de dos particulas 81

12.10

Movimiento relativo de dos particulas al utilizar ejes trasladantes 87

13 Cinetica de una

particula: trabajo y

Objetivos del capitulo 169

14.1

Trabajo de una fuerza 169

14.2 14.3

Prindpio de trabajo y energia 174 Principio de trabajo y energia para un sistema de particulas 176

14.4 14.5

Potencia y eficiencia 192 Fuerzas conservadoras y energia potencial 201

14.6

Conservacion de la energia 205

15

particula: fuerza y

impulso y cantidad de

aceleracion 107

movimiento 221

Objetivos del capitulo 107

13.1

Segunda ley del movimiento de Newton 107

13.2 13.3

Ecuacion de movimiento 110 Ecuacion de movimiento de un sistema de particulas 112

\ X.

Cinetica de una partfcula:

* •V1‟ * kv S4d

Objetivos del capitulo 221

15.1

Principio de impulso y cantidad de movimiento lineal 221

15.2

Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de particulas 228

xi

xii

CONTENIDO

15.3

Conservadon de la cantidad de movimiento lineal de un sistema de particulas 236

15.4 15.5 15.6

Impacto 248 Cantidad de movimiento angular 262 Relacion entre el momento de una fuerza y la cantidad de movimiento angular 263

15.7

Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares 266

15.8

Flujo continuo de una corriente de fluido 277

*15.9 Propulsion con masa variable 282

17 Cinetica plana de un cuerpo rigido: fuerza y aceleracion 395 Objetivos del capitulo 395

17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

Momento de inercia de masa 395 Ecuaciones de movimiento de cinetica plana 409 Ecuaciones de movimiento: traslacion 412 Ecuaciones de movimiento: rotacion alrededor de un eje fijo 425 Ecuaciones de movimiento: movimiento piano general 440

Repaso 1.

Gnematica y cinetica de una partfcula 298

18 Cinetica plana de un cuerpo rigido: trabajo y energia 455 16 Cinematica plana de un cuerpo rigido 311 Objetivos del capitulo 311

16.1

Movimiento piano de un cuerpo rigido 311

16.2

Traslacion 313

16.3

Rotacion alrededor de un eje fijo 314

16.4 16.5

Analisis del movimiento absoluto 329

16.6

Centro instantaneo de velocidad cero 351

16.7

Analisis del movimiento aceleracion 363

16.8

Analisis de velocidad 337

movimiento

relativo:

Objetivos del capitulo 455

18.1

Energia cinetica 455

18.2

Trabajo de una fuerza 458

18.3

Trabajo de un momento de par 460

18.4

Principio de trabajo y energia 462

18.5

Conservadon de la energfa 477

19 Cinetica plana de un cuerpo rigido: impulso y cantidad de movimiento 495

relativo:

Analisis del movimiento relativo por medio de ejes rotatorios 377

Objetivos del capitulo 495 19.1

Cantidad de movimiento lineal y angular 495

CONTENIDO

19.2

Principio de impulso y cantidad de movimiento 501

19.3

Conservadon de la cantidad de movimiento 517

xiii

*21.5 Movimiento giroscopico 614 21.6 Movimiento sin par de torsion 620

*19.4 Impacto excentrico 521

Repaso 2.

Gnematica y cinetica plana de un cuerpo rigido 534

22

Vibraciones 631 Objetivos del capitulo 631

*22.1 Vibracion libre no amortiguada 631 *22.2 Metodos de energia 645

20

Cinematica tridimensional de un cuerpo rigido 549

*22.3 Vibracion forzada no amortiguada 651 *22.4 Vibracion libre viscosa amortiguada 655 *22.5 Vibracion forzada viscosa amortiguada 658 *22.6 Analogos de un circuito electrico 661

Objetivos del capitulo 549 20.1

Rotacion alrededor de un punto fijo 549

*20.2 Derivada con respecto al tiempo de un vector medido con respecto a un sistema fijo o a un sistema trasladante-rotatorio 552 20.3

Movimiento general 557

Apendices A.

Expresiones matematicas 670

B.

Analisis vectorial 672

C.

Regia de la cadena 677

*20.4 Analisis de movimiento relativo por medio de ejes trasladantes y rotatorios 566

21

725

Cinetica tridimensional de un cuerpo rigido 579 Objetivos del capitulo 579

*21.1 Momentos y productos de inercia 579 21.2

Problemas fundamentales Soluciones parciales y respuestas 680 Respuestas a problemas seleccionados 699 fndice

Cantidad de movimiento angular 589

21.3 Energia cinetica 592 *21.4 Ecuaciones de movimiento 600

Creditos Capitulo 12, Los Angeles Azules de la Armada de Estados Unidos actuan en un espectfoulo a6reo como parte de la celebracidn de la San Francisco‟s Fleet Week (Semana de la Flota de San Francisco). ©Roger Ressmeyer/CORBIS. Todos los derechos reservados. Capitulo 13, F£brica de jugo de naranja, vista superior. Getty Images. Capitulo 14, Montafta rusa del parque de diversiones Mukogaokayuen, Kanagawa. ©Yoshio Kosaka/CORBIS. Todos bs derechos reservados. Capitulo 15, Acercamiento de un palo de golf golpeando la pelota en el “tee” de salida. Alamy Images sin derechos de autor. Capitulo 16, Molinos de viento en Livermore, parte de un extenso parque e61i- co, una fuente alternativa de energia ebctrica, California, Estados Unidos. Brent Winebrenner/Lonely Planet Images/Foto 20-20. Capitulo 17, “Dragster” en la pista de carreras de Santa Pod, Inglaterra, Alamy Images. Capitulo 18, Plataforma de perforacidn. Getty Images. Capitulo 19, Acoplamiento de untransbordador de la NASA con la Estacidn Espacial Intemacional. Denis Hallinan/Alamy Images. Capitulo 20, Robot soldador. ©Ted Horowitz/CO RBI S. Todos los derechos reservados. Capitulo 21, El juego mecdnico giratorio Calypso proporciona un trazo borroso de bri- llantes colores en el parque Waldameer y el Mundo Acudtico en Erie, Pennsylvania, Jim Cole/Alamy Images. Capitulo 22, Una via y una rueda de ferrocarril dan una gran perspectiva del tamaflo y poder del transporte ferroviario. Joe Belanger/Alamy Images. Cubierta: 1, El helicdptero Lightflight en vuelo. El helicdptero Lightflight es utilizado por el Hospital de la Stanford University del Centro Mddico del Valle de Santa Clara. ©CORBIS/ Todos los derechos reservados. Cubierta: 2, Detalle de las aspas del rotor de cola de un helicdptero. Steve Mann/ Shutterstock. Las imdgenes restantes fueron proporcionadas por el autor.

INGENIERIA MECANICA

DIN A MICA DECIMOSEGUNDA EDIClON

A.

Aunque cada uno de estos aviones es bastante grande, a distancia su movimiento puede ser analizado como si cada uno fuera una particula.

>

Cinematica de una partfcula OBJETIVOS DEL CAPfTULO •

Presentar los conceptos de posiciOn, desplazamiento, velocidad y aceleraciOn.

•

Estudiar el movimiento de una partfcula a lo largo de una Ifnea recta y representarlo grdficamente.

•

Investigar el movimiento de una partfcula a lo largo de una trayec- toria curva

•

por medio de sistemas de coordenadas diferentes. Analizar el movimiento dependiente de dos particulas.

•

Examinar los principios de movimiento relativo de dos particulas mediante ejes de traslacidn.

12.1

Introduction

La mecdnica es una rama de las ciencias fisicas que se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acciOn de fuerzas. La ingenieria mecdnica se divide en dos dreas de estudio, o sea, estdtica y dindmica. La estdtica se ocupa del equilibrio de un cuerpo que estd en reposo o que se mueve con velocidad constante. Aqui consideraremos la dindmica, la cual se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo. La materia de dindmica se presentard en dos partes: cinematica, la cual trata sdlo los aspectos geomdtricos del movimiento, y cinetica, que analiza las fuerzas que provocan el movimiento. Para desarrollar estos principios, primero se analizard la dindmica de una particula, y a continuation se abordardn temas de dindmica de un cuerpo rigido en dos y luego en tres dimensiones.

4

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Histdricamente, los principios de dindmica se desarrollaron cuando fue posible medirel tiempo con precisidn. Galileo Galilei (1564-1642) fue uno de los primeros contribuyentes importantes a este campo. Su trabajo consistid en experimentos con pdndulos y cuerpos en caida libre. Sin embargo, las aportaciones mds significativas en dindmica las realizd Isaac Newton (16421727), quien se destacd por su formulacidn de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la atraccidn gravi- tatoria universal. Poco despuds de que se postularan estas leyes, Euler, D‟Alembert, Lagrange y otros desarrollaron tdcnicas importantes para su aplicacidn. En la ingenieria hay muchos otros problemas cuyas soluciones iequieren la aplicacidn de los principios de dindmica. Por lo comun, d disefto estructural de cualquier vehfculo, ya sea un automdvil o un avidn, requiere considerar el movimiento al cual se somete. Esto tambidn es cierto para muchos dispositivos mecdnicos como motores ddctricos, bombas, herramientas mdviles, manipuladores industriales y maquinaria. Ademds, las predicciones de los movimientos de satdlites artificiales, proyectiles y naves espaciales estdn basadas en la teoria de dindmica. Conforme se presenten mds avances tecnoldgicos, habrd incluso una mayor necesidad de saber cdmo aplicar los principios de esta materia.

Solution de problemas. Se considera que la dindmica tiene mds que ver que la estdtica, puesto que se deben tomar en cuenta las fiierzas aplicadas tanto a un cuerpo como a su movimiento. Asimismo, muchas aplieaciones requieren cdlculo integral, mds que s61o dlgebra y trigonometria. En todo caso, la forma mds efectiva de aprender los principios de dindmica es resolver problemas. Para tener dxito en esta tarea, es necesario presentar el trabajo de una manera ldgica y ordena- da, como lo sugiere la siguiente secuencia de pasos: L Lea el problema con cuidado y trate de correlacionar la situacidn fisica real con la teoria que haya estudiado. 2. Trace todos los diagramas necesarios y tabule los datos del problema. 3. Establezca un sistema de coordenadas y aplique los principios pertinentes, casi siempre en forma matemdtica. 4. Resuelva de manera algebraica las ecuaciones necesarias hasta donde sea prdctico; luego, utilice un conjunto consistente de uni- dades y complete la solucidn numdricamente. Reporte la respuesta sin mds cifras significativas que la precisidn de los datos dados. 5. Estudie la respuesta con juicio tdcnico y sentido comun para de- terminar si parece o no razonable. 6. Una vez completadas las soluciones, repase el problema. Trate de pensar en otras formas de obtener la misma solucidn. Al aplicar este procedimiento general, realiee el trabajo lo mds limpia- mente posible. Por lo general, ser pulcro estimula una forma de pensar dara y ordenada, y viceversa.

12.2 CINEMATICA RECTILINEA: MOVIMIENTO CONTINUO

12.2

5

Cinematica rectilfnea: movimiento continuo

Iniciaremos nuestro estudio de dindmica con el andlisis de la cinemdtica de una particula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilinea. Recuerde que una particula tiene masa pero su tamafio y forma son insignificantes. Por consiguiente, limitaremos la aplicacidn a aquellos objetos cuyas dimensiones no afecten el andlisis del movimiento. En la mayoria de los problemas nos interesardn los cuerpos de tamaflo finito, como cohetes, proyectiles o vehiculos. Cada uno de estos objetos puede considerarse como una particula, en cuanto que el movimiento se caracteriza por el movimiento de su centro de masa y se omite cualquier rotacidn del cuerpo.

Cinematica rectilfnea. La cinemdtica de una particula se caracteriza al especificar,en cualquier instante, su posicidn, velocidad y ace- leracidn.

Po si cion. La trayectoria rectilinea de una particula se definird por medio de un solo eje de coordenadas s, figura 12-1 a. El origen O en la trayectoria es un punto fijo, y a partir de 61 se utiliza la coordenada de posicidn s para especificar la ubicacidn de la particula en cualquier instante dado. La magnitud de 5 es la distancia de O a la particula, por lo general medida en metros (m) o pies (ft) y su signo algebraico define el sentido de su direccidn. Aunque la seleccidn es arbitraria, en este caso s es positiva puesto que el eje de coordenadas es positivo a la derecha del origen. Asimismo, es negativo si la particula estd a la izquierda de O. Tenga en cuenta que la posicidn es una cantidad vectorial puesto que tiene tanto magnitud como direccidn. En este caso, sin embargo, estd representada por el escalar algebraico s puesto que la direccidn se man- tiene a lo largo del eje de coordenadas.

o Posici6 n

(a)

Desplazamiento. El desplazamiento de la particula se define como el cambio de su posicion. Por ejemplo, si la particula se mueve de un punto a otro, figura 12-16, el desplazamiento es As = s' — s En este caso As es positivo puesto que la posicidn final de la particula queda a la derecha de su posicidn initial, es decir, s' > s. Asimismo, si la posicidn final quedara a la izquierda de su posicidn initial, As seria negativo. El desplazamiento de una particula tambidn es una cantidad vectorial, y deberd distinguirse de la distancia que recorre la particula. Especificamente, la distancia recorrida es un escalar positivo que repre- senta la longitud total de la trayectoria a lo largo de la cual viaja la particula.

o As —

Desplazamiento

(b) Fig. 12-1

6

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Velocidad. Si la particula recorre una distancia As durante el intervalo A/, su

1 2

velocidad promedio durante este intervalo es

Si tomamos valores de At cada vez mds pequeftos, la magnitud de As se reduce cada vez mds. Por consiguiente, la velocidad instantanea es un vector definido como v = Mm (As!At), o A/—ov

(*)

v

o ---------------

w

Velocidad

(c)

7

d

(121)

V= s ~ dt

Como Ato dt siempre es positivo, el signo utilizado para definir el sen- tido de la velocidad es el mismo que el de As o ds. Por ejemplo, si la particula se estd moviendo hacia la derecha, figura 12-lc, la velocidad es positiva ; pero si se mueve hacia la izquierda , la velocidad es negati- va. (Esto se resalta aqui con la flecha que aparece a la izquierda de la ecuacidn 12-1.) La magnitud de la velocidad se conoce como rapideZy y en general se expresa en unidades de m/s o pies/s. De vez en cuando se utiliza el tdrmino “rapidez promedio”. La rapi- dez promedio siempre es un escalar positivo y se define como la distancia total recorrida por una particula, sr, dividida entre el tiempo transcurrido At\ es decir,

?r _ At

(t^rap) prom

Por ejemplo, la particula en la figura 12-ldviaja a lo largo de la trayectoria de longitud sjen el tiempo At,por lo que su rapidez promedio es (^rap)prom = sT /At, pero su velocidad promedio es Vp,. om = - As/At.

F P ©---------- ^

I ---

Velocidad promedio y Rapidez promedio

(d)

Fig. 12-1 (cont.)

12.2 CINEMATICA RECTILINEA: MOVIMIENTO CONTINUO

Aceleracion. Siempre que se conoce la velocidad de la particula en dos puntos, su aceleracion promedio durante el intervalo At se define como tfprom “

Av

Aqui Av representa la diferencia de la velocidad durante el intervalo A/, es decir, Av = v'~ v, figura 12-le. La aceleracion instantanea en el instante t es un vector que se determi- ___________________________ na al tomar valores cada vez mds pequeftos de At y valores cada vez mds ° ___ v pequeftos correspondientes de Av, de modo que a = ^m()( Av/At), o

!

Aceleracion

(*)

dv a = ~d i

(12-2)

Si sustituimos la ecuacidn 12-1 en este resultado, tambidn podemos escribir

( • *)

d2s dt2

Tanto la aceleracidn promedio como la instantdnea pueden ser o posi- tivas o negativas. En particular, cuando la particula afloja el paso y o su rapidez se reduce y se dice que se estd desacelerando. En este caso, d en la figura 12-1 /es menor que v, de modo que Av = d - v serd negativa. Por consiguiente, a tambiOn serd negativa y por lo tanto actuard a la izquierda, en el sentido opuesto a v. Ademds, observe que cuando la velocidad es constante, la aceleracion es cero puesto que Av = v — v = 0. Las unidades que comunmente se utilizan para expresar la magnitud de la aceleracidn son m/s 2 y pies/s2. Por ultimo, se puede obtener una importante relacidn diferencial que implica el desplazamiento, la velocidad y la aceleracidn a lo largo de la trayectoria si eliminamos la diferencia de tiempo dt entre las ecuaciones 12-1 y 12-2, lo cual da

(*)

ads = v dv

p F DesaceleraciO n

Q ----------

(f)

(12-3)

Aunque ya obtuvimos tres ecuaciones cinemdtieas importantes, hay que tener en cuenta que la ecuacidn anterior no es independi ente de las 12-2.

8

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Aceleracion constante, a = ac. Cuando la aceleracidn es constante, se puede integrar cada una de las tres ecuaciones cinem£- ticas a c = dv/dty v = ds/dt y a c ds = v dv para obtener fdrmulas que ielacionen a c> v,sy t.

Velocidad como una funcion del tiempo. fategre ac = dv/dty con el supuesto de que inicialmente v = v0 cuando t = 0.

f dv = [ a c dt J VQ J O

v = Vo + ad Aceleracidn constante

y> z.

Posicion. Si la partfcula estd en el punto (x> y> z) de la trayectoria curva s mostrada en la figura 12-17a, entonces el vector de posicidn define su posicidn

T

(a)

(12-10)

= xi + y} + zk

Cuando la particula se mueve los componentes x> y, z de r serdn f u n ciones del tiempo, es decir, x = x(t), y = y(t)> z = z(0* de modo que r = r(f). En cualquier instante la ecuacidn C-3 del apdndice C define la mag- nitud de r r = \/x2 + y2 + z2 Y la direccidn de rse especifica por el vector unitario ur = r/r.

Velocidad. La primera derivada con respecto al tiempo de r p r o porciona la velocidad de la particula. Por consiguiente, dt d

d

d

dt dt

dt

dt

Cuando se toma esta derivada, es necesario tener en cuenta tanto la magnitud como la direccidn de cada uno de los componentes vectoria- les. Por ejemplo, la derivada del componente ide r es Velocidad

d dx d\ — ( x i ) = — i + x— dt ‟ dt dt

(b) Fig. 12-17

El segundo tdrmino del lado derecho es cero, siempre que el marco de referenda x,y, z estd fijo y por consiguiente la direccidn (y la magnitud) de i no cambie con el tiempo. La diferenciacidn de los componentes j y k se realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado final,

(12-11)

donde vx = x vy = y vz = z

(12-12)

12.5

35

MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES RECTANGULARES

La notacidn “de punto”, x y y> zrepresenta las primeras derivadas de x = x(t) y y = y(t\ z = z(t) y respectivamente. La magnitud de la velocidad se determina como

y el vector unitario uv = y/v especifica su direccidn. Como se vio en la seccidn 124, esta direccidn siempre es tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 12-17/?.

Aceleracion. La aceleracidn de la particula se obtiene de la pri- mera derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn 12-11 (o la segun- da derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn 12-10). Tenemos

(12-13)

(c) donde

(12-14)

Aqui, a Xy a yy a z representan, respectivamente, las primeras derivadas con respecto al tiempo de v x = v x (t) y v y = v y (t) y v z = v z (t) o las segun- das derivadas con respecto al tiempo de las funciones x = x(t) y y = y(t) y z = z(0La aceleracidn tiene una magnitud

a = \f^x

+ at + at

y una direccidn especificada por el vector unitario ufl = st/a. Como a representa el cambio tanto de la magnitud como de la direccidn de la velocidad, en general a no ser£ tangente a la trayectoria, figura 12-17c.

36

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Puntos importantes • El movimiento curvilineo hace que cambie tanto la magnitud como la direccidn de los vectores de posicidn, velocidad y aceleracidn.

•

El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria.

•

En general, el vector de aceleracidn no es tangente a la trayectoria, sino que mds bien es tangente a la hoddgrafa.

•

Si el movimiento se describe mediante coordenadas rectangulares, entonces los componentes a lo largo de cada uno de los qes no cambian de direccidn, sdlo su magnitud y sentido (signo algebraico) cambiardn.

•

Al considerar los movimientos de los componentes, el cambio de magnitud y direccidn de la posicidn y velocidad de la partfcula se toman automdticamente en cuenta.

■

Procedimiento para el analisis

Sistema de coordenadas.

•

Un sistema de coordenadas rectangulares puede usarse para resolver problemas para los cuales el movimiento puede expresarse en tdrminos de sus componentes x, y, z.

Cantidades cinemdticas.

•

Como el movimiento rectilineo ocurre a lo largo de cada eje de coordenadasyc\ movimiento a lo largo de cada eje se determina mediante v = ds/dt y a = dv/dt; o cuando el movimiento no estd expresado como una funcidn del tiempo, puede utilizarse la ecuacidn ads = vdv.

•

La ecuacidn de la trayectoria y = f(x) puede utilizarse en dos dimensiones, para relacionar los componentes x y y de la velocidad y aceleracidn si se aplica la regia de la cadena del cdlculo. Este concepto se revisa en el apdndice C.

•

Una vez que se determinan los componentes xy y, z, las magnitudes de estos vectores se determinan con el teorema de Pitdgoras, ecuacidn B-3 y sus dngulos de direccidn coordena- dos a partir de los componentes de sus vectores unitarios, ecua- ciones B-4 y B-5.

12.5

37

MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES RECTANGULARES

EJEMPLO En cualquier instante x = (St) pies, donde t estd en segundos, define la posicidn horizontal del globo atmosfdrico de la figura 12-18a. Si la ecuacidn de la trayectoria es y = a^/IO, determina la magnitud y direccidn de la velocidad y la aceleracidn cuando t = 2 s. SOLUCI6N

Velocidad. El componente de velocidad en la direccidn x es vx = x = — ( & ) = 8 pies/s —> Para determinar la relacidn entre los componentes de velocidad uti- lizaremos la regia de la cadena del cdlculo (vea el apdndice A para una explicacidn completa). vy = y = — (jc2/10) = 2xir/10 = 2(16)(8)/10 = 25.6pies/s t Cuando t = 2 s, la magnitud de la velocidad es por consiguiente v = \/(8 pies/s)2 + (25.6 pies/s)2 = 26.8pies/s Resp. La direccidn es tangente a la trayectoria, figura 12-18/?, donde v = 26.8 pies/s 75 6

l ! _

i y

6 V = tan — = tan

8

= 72.6C

Resp.

Aceleracidn. La relacidn entre los componentes de aceleracidn se determina con la regia de la cadena (Vea el apdndice C.) Tenemos a

x = vx =

=0

a y = vy = ^ (2ji:jc/10) = 2(jc)jc/10 + 2x(3c)/10 = 2(8) 2/10 + 2(16)(0)/10 = 12.8 pies/s2 t Por tanto, a = \/(0)2 + (12.8)2 = 12.8 pies/s2

Resp.

a = 12.8 pies/

x e0 =

La direccidn de a, como se muestra en la figura 12-18c es

90° B 0—L (c)

6 a = tan-1^ = 90°

Resp.

NOTA: tambidn es posible obtener vy y a y si se expresan primero y = fit) = (802/10 = 6At 1y luego se toman derivadas con respecto al tiempo sucesivas.

Fig. 12-18

38

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

EJEMPLO 12.10

Durante un breve lapso,y = (0.001*2) m describe la trayectoria del avidn que se muestra en la figu 10 m/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn del avidn cuando estd a y = 100 m SOLUCI O N

Cuando y = 100 m, entonces 100 = 0.001*2o x = 316.2 m. Tambidn, como vy = 10 m/s, por tanto

100 m = (10 m/s) t

t = 10 s

Velocidad. Si utilizamos la regia de la cadena (vea el apdndice C) para determinar la relacidn entre

Vy = y = ^-(O.OOIJC2) = (0.002x)i = 0.002x», dt

(1 )

Por tanto y = 0.00U2

10 m/s = 0.002(316.2 m)(v x ) vx = 100 m

15.81 m/s La magnitud de la velocidad es, por consiguiente

(a)

v = \/v x + Vy = \/(15.81 m/s)2 + (10 m/s)2 = 18.7 m/s Resp. Aceleracion. Con la regia de la cadena, la derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn (1) proporciona la relacidn entre los componentes de la aceleracidn. a y = v y = 0.002iv* + 0.002xv x = 0.002(vj + xa x )

Cuando x = 316.2 m, v x = 15.81 m/s, v y = a y = 0, 0 = 0.002((15.81 m/s) 2 + 316.2 m(a,)) a x = -0.791 m/s2 'm

La magnitud de la aceleracidn del avidn es, por consiguiente

100 m

(b)

Fig. 12-19

a = \/a\ + a) = \/{-0.19X m/s2)2 + (0 m/s2)2 = 0.791 m/s2 Estos resultados se muestran en la figura 12-19b.

Resp.

(^ ) (+T)

v v

=

=

Vo v0

+

+

aj; vx act; vy

= =

(v0)x (v0 ) y - g t

39

12.6 Mcvimiento de un proyectil

1 2 . 6 Movimiento de un proyectil El movimiento de vuelo libre de un proyectil a menudo se estudia en funcidn de sus componentes rectangulares. Para ilustrar el analisis cine- mdtico, considere un proyectil lanzado en el punto (x 0, y0), con una velocidad inicial de v 0, cuyas componentes son (v0)* y (v0)y, figura 12-20. Cuando se hace caso omiso de la resistencia del aire, la unica fuerza que actua en el proyectil es su peso, el cual hace que el proyectil tenga una aceleracidn dirigida hacia abajo constante de aproximadamente ac = g = 9.81 m/s2 o g = 32.2 pies/s2.*

in

■ liim■

•n

J Movimiento horizontal. aplicacidn 2 ( +*T)) X =y = y0 + Vot XoComo + a+x = 0, la V()t + lOct y=2',dey0las+ (xecuaciones « % ) / - =\gtde

aceleracidn constante, 12-4 a 12-6, resulta ( + T ) i? =x1% )xtc(y - yo); 0 +(v+0 2a

=

2

(v0) y - 2g(y - >-0)

(Recuerde J* ) v* = + formularse 2ac{xcon - x0);base en lavelimi= vl x que la ultima ecuacidn puede nacidn del tiempo f de las dos primeras ecuaciones, y por consiguiente solo dos de las (»„), tres ecuaciones anteriores son independientes entre si. La primera y la ultima de las ecuaciones indican que el componen- te horizontal supone quesiempre el campo permanece gravitatorio terrestre no varfa con la altitud. de♦Esto la velocidad constante durante el movimiento.

Movimiento vertical. Como el eje y positivo estd dirigido hacia arriba, entonces ay = —g. Al aplicar las ecuaciones 12-4 a 12-6, obte- nemos

11 i i111

Cada imagen en esta foto se tomo despues cfel mismo intervalo. La bola aceleran hacia abajo a la misma razdn y por lo tanto permanecen a la mism fbtos sucesivas. Tambien, observe que la distancia horizontal entre fotos suc

40

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

En resumen, los problemas que implican el movimiento de un proyectil pueden tener cuand ecuaciones independientes, es decir, una ecuacidn en la direccidn horizontal y dos en la direcci la cual siempre es tangente a la trayectoria, se determina por medio de la suma vectorial como s

Procedimiento para el analisis Sistema de coordenadas.

•

Establezca el eje de coordenadas x, y, fijo y trace la trayectoria de la particula. Entre dos puntos cualesquiera de la trayectoria, especifique los datos dados del problema e identifique las tres incognitas. En todos los casos la aceleracidn de la gravedad actua hacia abajo y es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 pies/s2. Las vebcidades inicial y final de la particula se representardn en funcidn de sus componentes xy y. • Recuerde que los componentes positivos y negativos de la posicidn, velocidad y aceleracidn siempre actuan de acuerdo con sus direcciones coordenadas asociadas. Ecuaciones cinemSticas.

•

Dependiendo de los datos conocidos y de lo que se va a deter- minar, se decidir£ cu&les tres de las cuatro ecuaciones siguientes se aplicar£n entre los dos puntos de la trayectoria para obtener la solucidn m£s directa del problema.

Movimiento horizontal.

•

La velocidad en la direccidn horizontal o x es constante, es decir, vx = (v0)xy x = xo+ (vo) xt

Movimiento vertical.

•

En la direccidn vertical o y, solo dos de las tres ecuaciones siguientes pueden utilizarse para la solucidn. V y = (w0)y + a c t

y = yo + (vo) yt + W 1 2

2a

V puede y = (»o)y + c(ycon - yo) La grava que cae por el extremo de esta banda transportadora sigue una trayectoria que pronosticarse las ecuaciones de aceleracion constante. De esta manera ubi- cacion de la pila acumulada. Se utilizan coordenadas rectangulares para el analisis, puesto que la aceleracidn ocurre solo en la direccidn vertical. Por ejemplo, si no se requiere la velocidad final vy de la partfcula, la primera y tercera de estas ecuaciones no ser£n utiles.

(^)

xB

=

x A + ( V A)J AB

12.6 Mcvimiento de un proyectil

EJEMPLO 12.11 Un saco se desliza por la rampa, como se ve en la figura 12-21, con una velocidad horizontal de 12 m/s. Si la altura de la rampa es de 6 m, determine el tiempo necesario para que el saco choque con el suelo y la distancia R donde los sacos comienzan a apilarse.

Fig. 12-21 SOLUCI6N

5=0 + 12 m/s (1.11s)

Sistema de coordenadas. REl= 13.3 origen ce al m de las coordenadas seestable- Resp. principio de la trayectoria, punto A y figura 12-21. La velocidad inicial de un NOTA: el cdlculo de t AB tambidn indica que si se soltara un saco desde el saco tiene los componentes (v A ) x = 12 m/s y (v A ) y = 0. Incluso, entre los puntos reposo en A, le llevaria el mismo tiempo 2chocar con el suelo en C, figura 12A y 51a aceleracidn es de a y = -9.81 m/s . En vista deque (v B ) x = (v A ) x = 12 21. m/s, las tres incdgnitas son (v B ) y,R y el tiempo de vuelo t AB . En este caso no necesitamos determinar My Movimiento vertical. Se conoce la distancia vertical de A a B y por consiguiente podemos obtener una solucidn directa para t AB con la ecuacidn

(+T)

yB

=

yA

+

(Va)^AB

+

2 a c*AB

-6 m = 0 + 0 + 2(-9-81 m/ s2)/3u? tAB

=

1 11 S

Movimiento horizontal. Con ^calculado, Rse determina como sigue:

Resp.

41

20 pies

=

0 + (21.65 pies/s )toA

42

12

I EJEMPLO

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

12.12 La mdquina desmenuzadora estd diseftada para que lance virutas de madera a V Q = 25 pies/s como se muestra en la figura 12-22. Si el tubo estd orientado a 30° con respecto a la horizontal, determine a qud h y las virutas chocan con la pila si en este instante caen en la pila a 20 pies del tubo.

y

Fig. 12-22 SOLUCI6N

to A = 0.9238 s Sistema de coordenadas. Cuando se analiza el movimiento entre los puntos O yMovimiento A y las tres incdgnitas la altura h,toA el tiempo vuelo t OA yinicial el componente vertical. Sison relacionamos con lasde elevaciones y final de ne vertical de la velocidad (v ) [observe que (v ) = (vo)JCo * origen de las una viruta, tenemos A y A x coordenadas en O, figura 12-22, la velocidad inicial de una viruta tiene los (componentes + T ) y A =yo +{vde0 )yt 0A+\a& A 2 {h-4pies) = 0 + (12.5(vpies/s)(0.9238 +1(-32.2 )(0.9238 s)2 h = 1.81 piesResp. 30°) pies/s pies/s = 21.65 pies/s —> 0 ) x — (25 coss)

NOTA: podemos determinar )y por de (v A=)12.5pies/sT y = (v Q ) y + a c toA • (v 0) y(v=A(25 senmedio 30°)pies/s

Ademds, (v A ) x = (v Q ) x = 21.65 pies/s y a y = -32.2 pies/s2. Como no necesitamos determinar (v A ) yy tenemos Movimiento horizontal. (■i»)

xA

= x 0+ (v 0)j0A

12.6 Mcvimiento de un proyectil

EJEMPLO 12.13 La pista para este evento de carreras se disefid para que los corre- dores salten la pendiente a 30°, desde una altura de 1 m. Durante una carrera se observd que el corredor de la figura 12-23a perma- necia en el aire durante 1.5 s. Determine la rapidez a la cual estaba saKendo de la rampa, la distancia horizontal que recorre antes de chocar con el suelo y la altura maxima que alcanza. No tome en cuenta el tamafio de la motocicleta ni al corredor.

SOLUCI6N

Sistema de coordenadas. Como se muestra en la figura 12-23/?,el origen de las coordenadas se establece en A. Entre los puntos extremos de la trayectoria AB las tres incdgnitas son la velocidad inicial v Ay la distancia R y el componente vertical de la velocidad (v B ) y. Movimiento vertical. Como el tiempo de vuelo y la distancia vertical entre los extremos de la trayectoria se conocen, podemos determinar v A .

( + t ) ys = yx + M/ AB + W A B -1 m = 0 + uJ4sen30°(1.5 s) + 2(-9-81 m/s2)(1.5 s)2 v A = 13.38 m/s = 13.4 m/s

Fig. 12-23

Resp.

Movimiento horizontal. Ahora podemos determinar la distancia R, X A + (v A )j AB R = 0 + 13.38 cos 30° m/s(1.5 s) = 17.4 m Para determinar la altura maxima h consideraremos la trayectoria AC, figura 12-236. En este caso las tres incdgnitas son el tiempo de vuelo t AC ,, la distancia horizontal de A a C y la altura h. A la altura maxima (uc)y = 0 y como v A se conoce, podemos determinar h directamente sin considerar t AC mediante la siguiente ecuacidn.

(

XB =

)

(vc) 2 y =

Resp.

(v A ) 2 y + 2a c \y c ~ y A]

02 =

(13.38 sen 30° m/s)2 + 2(-9.81 m/s2 )[{h - 1 m) - 0]

h=

3.28 m

Resp.

NOTA: demuestre que la motocicleta golpea el suelo en B con una velocidad

cuyos componentes son

=

11-6 m/s —►,

= 8.02 m/si

43

44

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F12-15. Si los componentes x y y de la velocidad de una partfcula son v x = (321) m/s y v y = 8 m/s, determine la ecuacidn de la trayectoria y = f(x). x = 0 y y = 0 cuando / = 0. F12-16. Una partfcula se desplaza a lo largo de la trayectoria recta. Si su posicidn a lo largo del eje x es x = (8f) m, donde t est£ en segundos, determine la rapidez cuando t = 2 s.

F12-18. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria de lfnea recta y = 0.5*. Si el componente x de la velocidad de la partfcula es v x = (2Z2) m/s, donde testi en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 4 s.

F12-18 F12-19. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria parabdlica y = 0.25*2. Si x = (212 ) m, donde t est£ en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s.

F12-17. Se hace que una partfcula viaje a lo largo de la trayectoria. Si x = (4Z4) m, donde testb en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 0.5 s.

F12-20. La posicidn de una caja que se desliza hacia abajo por una trayectoria helicoidal la describe r = [2 sen (2/)i + 2 cos tj 2/2k] pies, donde t est4 en segundos y los arguments del seno y coseno est£n en radianes. Determine la velocidad y aceleracidn de la caja cuando t = 2 s.

F12-20

12.6 Mcvimiento de un proyectil

F12-21. La pelota es pateada desde el punto A con la

45

F12-25. Se lanza una pelota desde A. Si se requiere sal- var el muro en B, determine l

velocidad inicial v A = 10 m/s. Determine la altura maxima h que alcanza.

F12-22. La pelota es pateada desde el punto A con la velocidad inicial v A = 10 m/s. Determine la distancia R y la rapidez con que la pelota golpea el suelo.

F12-23. Determine la rapidez a que se debe lanzar el baldn de basquetbol en A al Angulo de 30° de modo que llegue a la canasta en B.

F12-26. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de v A = 150 m/s desde la azotea de un edificio. Determine la distancia R donde golpea el suelo en B.

F12-24. Se rocfa agua a un Angulo de 90° desde la pendiente a 20 m/s. Determine la distancia R.

y v A = 150 m/s

R F12-24

F12-26

46

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

PROBLEMAS 12-71. La posicidn de una partfcula es r = {(3f3 - 2/)i - (4t lf2 + t)j + (312 - 2)k} m, donde t est4 en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s. *12-72. La velocidad de una partfcula es v = {3i + (6 - 2/)j} m/s, donde t est£ en segundos. Si r = 0 cuando t = 0, determine el desplazamiento de la partfcula durante el intervalo de tiempo t = 1 s a t = 3 s. •12-73. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria parabdlica y = bx 2 . Si su componente de velocidad a lo largo del eje y esv y = ct 2 , determine los componentes x y y de la aceleracidn de la partfcula. En este caso bye son constantes.

•12-77. La posicidn de una partfcula es r = {5 cos 21 i + 4sen 2t j} m, donde r est£ en segundos y los argumentos del seno y coseno est£n en radianes. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando / = 1 s. Tambidn, demuestre que la trayectoria de la partfcula es elfptica. 12-78. Las espigas Ay B est£n restringidas a moverse en las ranuras elfpticas por el movimiento del eslabdn ranu- rado. Si dste se mueve a una rapidez constante de 10 m/s, determine la magnitud de la velocidad y aceleracidn de la espiga A cuando x = 1 m.

12-74. La ecuacidn v = {16^1 + 4/3j + (5r + 2)k} m/s da la velocidad de una partfcula, donde t est£ en segundos. Si la partfcula est£ en el origen cuando t = 0, determine la magnitud de la aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s. Tambidn, £cu£l es la posicidn x, y, z de la partfcula en este instante?

y

12-75. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria circular x 2 + y 2 = r 2 . Si el componente y de la velocidad de la partfcula es v y = 2r cos 2/, determine los componentes x y y de su aceleracidn en cualquier instante. *12-76. La caja se desliza por la pendiente descrita por la ecuacidn y = (0.05*2) m, donde x esti en metros. Si los componentes x de la velocidad y aceleracidn de la caja son v x = 3 m/s y a x = —1.5 m/s , respectivamente, cuando x = 5 m, determine los componentes y de la velocidad y aceleracidn de la caja en este instante.

Prob. 12-78

12-79. Una partfcula viaja a lo largo de la trayectoria y = 4x a una rapidez constante de v = 4 m/s. Determine los componentes x y y de su velocidad y aceleracidn cuando x = 4 m. *12-80. La vagoneta viaja por la colina descrita por y = (-1.5(103 ) x 2 + 15) pies. Si tiene una rapidez constante de 75 pies/s, determine los componentes x y y de su velocidad y aceleracidn cuando x = 50 pies.

y

y

15 pies

/y

= (-15(10-3)jc2+ 15) pies

------100 pies ------

Prob. 12-76

Prob. 12-80

47

12.6 MCVIMIENTO DE UN PROYECTIL

*12-84. Larequiere ecuacidn = Akx define la trayectoria develocidad una partfcula •12-81. Una partfcula viaja a lo largo de una trayectoria circular de A a B en 1 s. Si 3 sy2para ir de A a C, determine su promedio cuando va de B a y el componente de la velocidad a lo largo del eje y e s Vy = ct, donde tanto k y c son constantes. Determine los componentes x y y de la aceleraci6n cuando y = y0. • 12-85. Una partfcula se mueve a lo largo de la curva y = x - (^2/400), donde x y y estdn en pies. Si el componente de velocidad en la direccidn x es v x = 2 pies/s y permanece constante , determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn cuando x = 20 pies. 12-86. La motocicleta viaja a rapidez constante v 0 a lo largo de la trayectoria que, durante una corta distancia, adopta la forma de una curva seno. Determine los componentes x y y de su velocidad en cualquier instante en la curva.

Prob. 12-81 y =c sen (-£■*)

v

o

aft 12-82. Un automdvil viaja al este 2 km durante 5 minu- tos, luego al norte 3 km durante 8 minutos y luego al oeste 4 km durante 10 minutos. Determine la distancia total recorrida y la magnitud del desplazamiento del automdvil. Tambidn, ^cudl es la magnitud de la velocidad promedio y la rapidez promedio? 12-83. El carro de la montafla rusa desciende por la trayectoria helicoidal a velocidad constante de modo que las ecuaciones paramdtricas que definen su posicidn son x = c sen k t y y = c cos k t y z = h - bt , donde c, h y b son constantes. Determine las magnitudes de su velocidad y aceleracidn.

Prob. 12-86 12-87. El patinador deja la rampa en A con una velocidad inicial v A a un dngulo de 30°. Si golpea el suelo en B y determine v A y el tiempo de vuelo.

\ 30°

yjimmmm

B -5 m Prob. 12-87

*12-88. El “pitcher” lanza la bola horizontalmente a una rapidez de 140 pies/s desde una altura de 5 pies. Si el bateador estd a 60 pies del lanzador, determine el tiempo para que la bola llegue al bateador y la altura h a la cual pasa por 61.

I*

Spies

60 pies Prob. 12-83

Prob. 12-88

48

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

•12-89. Se lanza la pelota desde la azotea del edificio. Si golpea el suelo en B en 3 s, determine la velocidad inicial v A y el Angulo de inclinacidn 0 A al cual fue lanzada. Tambi6n, determine la magnitud de la velocidad de la bola cuando golpea el suelo.

12-91. El bombero sostiene la manguera a un dngulo 0 = 30° con la horizontal y el agua sale de la manguera A a una velocidad de v A = 40 pies/s. Si el chorro de agua golpea el edificio en B, determine sus dos posibles distancias 5 del edificio.

Prob. 12-91

Prob. 12-89

12-90. Se dispara un proyectil a una rapidez v = 60 m/s en un Angulo de 60°. Luego se dispara un segundo proyectil con la misma rapidez 0.5 s despu^s. Determine el Angulo 0 del segundo proyectil, de modo que los dos proyectiles choquen. determine el tiempo entre los lanzamientos de modo que las bolas choquen en el aire en B.

12-95. Si el motociclista deja la rampa a 110 pies/s, determine la altura h que la rampa B debe tener de modo que la motocicleta aterrice a salvo.

110 pies/s -350 pies ----------------------- ^

Prob. 12-95

50

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

12-98. La pelota de golf es golpeada en A con una rapidez v A = 40 m/s y dirigida a un Angulo de 30° con la horizontal como se muestra. Determine la distancia d donde la bola golpea la pendiente en B.

*12-100. La velocidad del chorro de agua que sale por el orificio se obtiene con v = \Zlgh, donde h = 2 m es la altura del orificio con respecto a la superficie libre de agua. Determine el tiempo para que una partfcula de agua saiga por el orificio y llegue al punto B asf como la distancia horizontal x donde golpee la superficie.

Prob. 12-100

•12-101. Se dispara un proyectil desde la plataforma en B. El tirador dispara impacta elinicial proyectil en C.v de modo que pase sobre el poste de meta en C. i 12-99. Si se pa tea el baldn de futbol a un Angulo de 45°, determine su velocidad minima A poste de meta golpear£ el baldn el suelo en B1

20 m Prob. 12-101

51

12.6 Mcvimiento de un proyectil

12-102. Una pelota de golf es golpeada con una velocidad de 80 pies/s como se muestra. Determine la distancia d donde •12-105. El muchacho parado en A intenta lanzaraterrizar£. la pelota sobre el techo de un granero c zar la pelota de modo que alcance su altura maxima en C. Tambi6n, determine la distanc

C

Prob. 12-105

12-103. Se tiene que patear el baldn de futbol sobre el poste de meta, el cual tiene 15 pies de altura. Si su rapidez inicial es v A = 80 pies/s, determine si evita golpear el poste, y si lo hace, por cuanto, h.

12-106. El muchacho parado en A intenta lanzar una pelota sobre el techo de un granero pelota para que alcance su altura maxima en C. Tambi6n, determine la distancia d donde

*12-104. Se patea el baldn sobre el poste de meta con una velocidad inicial de v A = 80 pies/s como se muestra. Determine el punto B(x, y) donde choca con las gradas.

C

Probs. 12-103/104

Prob. 12-106

52

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

12-107. El bombero desea dirigir el flujo de agua de su manguera al fuego en B. Determine dos Angulos posibles 0! y 0 2 a los cuales puede hacerse esto. El agua fluye de la manguera a v A = 80 pies/s.

•12-109. Determine la velocidad horizontal v A de una pelota de tenis en A pa suelo.

y

B

-

* A

IV

1

'^7.5 pies j- s | 21 pies

Prob. 12-107

1 1

Prob. 12-109

12-110. el esquiador la rampa en A a un se desplaz *12-108. Psqueflos paquetes que se desplazan sobre la banda transportadora caenSeenobserva el carro que de carga de 1 m dedeja largo. Si la transportadora tante de Vc = 2 m/s, determine la distancia m4s corta y m£s larga R donde Angulo pueda 0 Acolocarse = 25° con el extremo la horizontal. A del carro Si golpea con respecto el sueloa en la transportadora B, p entren al carro. determine su rapidez inicial v A y el tiempo de vuelo t AB .

Prob. 12-108

53

12.7 MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL

12.7

Movimiento curvilmeo: componentes normal y tangencial

Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una particula, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t y los cuales actuan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la particula.

O'

Movimiento piano. Considere la particula de la figura 12-24a, la cual se desplaza en un piano a lo largo de una curva fija, de modo que en un instante dado estd en la posicidn s, medida con respecto al punto O. A continuation consider are mos un sistema de coordenadas con su origen en un punto fijo de la curva, y en el instante considerado este origen coincide con la ubicacidn de la particula. El eje t es tangente a la curva en el punto y es positivo en la direccidn de s creciente. Designaremos esta direccidn positiva con el vector unitario u,. Sdlo puede haber una opcidn unica para el eje normal ya que geomdtrica- mente la curva estd formada por una serie de segmentos de arco dife- renciales ds y figura 12-24/?. Cada segmento ds estd formado por el arco de un cfrculo asociado con un radio de curvatura p (rho) y centro de curvatura O'. El eje normal n es perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura O', figura \2-2Aa. Esta direccidn positiva, la cual siempre estd en el lado cdncavo de la curva, serd designada por el vector unitario u„. El piano que contiene bs ejes n y t se conoce como piano abrazador u osculante y en este caso estd fijo en el piano del movimiento.*

O'

Velocidad. Como la partfcula se mueve, ses una funcidn del tiempo. Como se indica en la seccidn 12.4, la direccidn de la velocidad v de la partfcula siempre es tangente a la trayectoria, figura 12-24c y su magnitud se determina por la derivada con respecto al tiempo de la funcidn de la trayectoria s = s(t) y es decir, v = ds/dt (ecuacidn 12-8). Por consiguiente

V = vu.

(b)

(12-15)

donde

(c) Rg. 12-24

(12-16)

v=s

*E1 piano osculador tambidn se define como el piano que tiene el mayor contacto con la curva en un punto. Es la posicidn limitante de un piano que est4 en contacto con el punto y con el segmento de arco ds. Como vimos antes, el piano osculador siempre coincide con una curva plana; sin embargo, cada uno de los puntos de una curva tridimensional tiene un piano osculador finico.

54

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Aceleracion. La aceleracidn de la particula es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Por tanto,

a=v

(12-17)

im, + uii,

Para determinar la derivada con respecto al tiempo ii„ observe que a medida que la particula se desplaza a lo largo del arco ds en el tiempo dt y u, conserva su magnitud de la unidad, sin embargo, su direccidn cam- bia y se vuelve uj, figura 12-24d. Como se muestra en la figura 12-24e, requerimos u[ = u, + du,. En este caso du, se extiende entre las puntas de flecha de u, y u! ,las cuales quedan en un arco infinitesimal de radio u t = 1. Por consiguiente, du, tiene una magnitud de du, = (1 )d0 y u„ define su direccidn. En consecuencia, du, = dOu ny y por consiguiente, la derivada con respecto al tiempo se vuelve u, = Como ds = pd9 y figura 12-24d, entonces 0 = j/p, y por tanto

s

v

P

P

U, = $U n = -U n = -U„

Al sustituir en la ecuacidn 12-17, a se escribe como la suma de sus dos componentes, (e) a = a t u, + a n u n

(12-18)

donde

a. = v

a tds = v dv

(12-19)

(12-20)

Aceleraci6n

(0

Estos dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en la figura 12-24/. Por consi

Fig. 12-24 (cont)

a = \A? +

a

l

(12-21)

12.7 MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL

Para entender mejor estos resultados, considere los dos casos espe- ciales de movimiento. 1. Si la particula se mueve a lo largo de una Knea recta entonces p —► oo y segun la ecuacidn 12-20, a„ = 0. Por tanto a = a, = i),y podemos concluir que la componente tangencial de la aceleracion representa el cambio en la magnitud de la velocidad. 2. Si la particula se mueve a lo largo de una curva con una velocidad constante, entonces a t = i) = 0 y a = a n = v2/p. Por consiguiente, la componente normal de la aceleracidn representa el cambio en la direccidn de la velocidad. Como a„ siempre actua hacia el centro de la curvatura, esta componente en ocasiones se conoce como la aceleracidn centripeta (o que busca el centro). A consecuencia de estas representaciones, una particula que se mueve a lo largo de una trayectoria curva en la figura 12-25 tendrd una aceleracidn como se muestra.

Cambio en la magnitud de la velocidad

Fig. 12-25

Movimiento tridimensional. Si la partfcula se mueve a lo largo de una curva espacial, figura 12-26, entonces en un instante dado, el eje rqueda especificado de forma unica; sin embargo, puede construir- se un numero infinito de lineas rectas normales al eje tangente. Como en el caso de movimiento piano, elegiremos el eje n positivo dirigido hacia el centro de curvatura O' de la trayectoria. Este eje se conoce como la normal principal a la curva. Con los ejes n y t a si definidos, se utilizan las ecuaciones 12-15 a 12-21 para determinar v y a. Como u, y u„ siempre son perpendiculares entre si y quedan en el piano osculador, en el caso de movimiento espacial un tercer vector unitario, u by define el eje binormal b el cual es perpendicular a u, y u„, figura 12-26. Como los tres vectores unitarios estdn relacionados entre si por el producto cruz vectorial, por ejemplo, u b = u, X um figura 12-26, puede ser posible utilizar esta relacidn para establecer la direccidn de uno de los ejes, si se conocen las direcciones de los otros dos. Por ejemplo, si no ocurre movimiento en la direccidn u*, y esta direccidn y u, se conocen, entonces u„ puede ser determinado, donde en este caso u n = u b X ur, figura 12-26. Recuerde, sin embargo, que u„ siempre estd en el lado cdncavo de la curva.

55

56

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Procedimiento para el analisis Sistema de coordenadas.

•

Siempre que se conozca la trayectoria de la partfcula, podre- mos establecer un sistema de coordenadas n y t con origen fijo, el cual coincide con la partfcula en el instante considerado.

•

El eje tangente positivo actua en la direccidn del movimiento y el eje normal positivo estd dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

Velocidad.

• •

La velocidad de la partfcula siempre es tangente a la trayectoria. La magnitud de la velocidad se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la funcidn de trayectoria. v=s

Aceleracion tangencial.

•

La componente tangencial de aceleracidn es el resultado del cambio de la magnitud de la velocidad. Esta componente actua en la direccidn s positiva si la velocidad de la partfcula se incrementa o en la direccidn opuesta si la velocidad se reduce.

•

Las relaciones entre a t, v, t y s son las mismas que las del movimiento rectilfneo, es decir, a t = v a tds = v dv

•

Si a, es constante, a, = (a t) c, cuando se integran las ecuaciones anteriores resulta s = J0 + v0 A t \Ai—► 0 A t J v

u0 = lim —— = - lim — Jur

U 0 = -0u r

(12-27)

Si sustituimos este resultado y la ecuacidn 12-23 en la ecuacidn anterior para a, escribimos la aceleracidn en su forma de componentes como

a = ar ur + n0u0

(12-28)

donde

a r = r - r#2 O Q = r$ + 2 rO

(1229)

El tdrmino 9 = d 20/dt 2 = d/dt(d0/dt) se conoce como aceleracidn angular puesto que mide el cambio de la velocidad angular durante un instante. Las unidades para esta medicidn son rad/s2. Como ar y a0 son siempre perpendiculares, la magnitud de la aceleracidn es simplemente el valor positivo de a = y/(r - rO2 )2 + (r 0 + 2r9) 2

(12-30)

La direccidn se determina mediante la adicidn vectorial de sus dos componentes. En general, a no ser£ tangente a la trayectoria, figura 12-30e.

69

70

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

Coordenadas cilindricas. Si la particula se mueve a lo largo 12

de una curva espacial como se muestra en la figura 12-31, entonces su ubicacidn se especifica por medio de las tres coordenadas cilindricas, r, 0, z. La coordenada z es id£ntica a la que se utilizd para coordenadas rectangulares. Como el vector unitario que define su direccidn u z, es constante, las derivadas con respecto al tiempo de este vector son cero, y por consiguiente la posicidn, velocidad y aceleracidn de la particula se escriben en funcidn de sus coordenadas cilindricas como sigue: T P = rU r + ZU z

v = hir + rdu e + zu z

(12-31)

a = (r - rO 2)^ + (rO + 2r0)u e + zu z

(12-32)

Derivadas con respecto al tiempo. Las ecuaciones anteFig. 12-31

riores requieren que obtengamos las derivadas con respecto al tiempo r, r, 0, y 0para evaluar las componentes r y 0 de v y a. En general se presentan dos tipos de problema: 1.

Si las coordenadas polares se especifican como ecuaciones para- m6tricas en funcidn del tiempo, r = r(t) y 0 = 0(0, entonces las derivadas con respecto al tiempo pueden calcularse directamente.

Z Si no se dan las ecuaciones paramdtricas en funcidn del tiempo, entonces debe conocerse la trayectoria r = /(0). Si utilizamos la regia de la cadena del cdlculo podemos encontrar entonces la relacidn entre r y 0 y entre r y 0. En el apdndice C se explica la aplicacidn de la regia de la cadena junto con algunos ejemplos.

Procedimiento para el analisis Sistema de coordenadas.

•

Las coordenadas polares son una opcidn adecuada para resolver problemas cuando se presenta el movimiento angular de la coordenada radial r para describir el movimiento de la particula. Asimismo, algunas trayectorias del movimiento pueden descri- birse de forma conveniente en funcidn de estas coordenadas.

•

Para utilizar coordenadas polares, el origen se establece en un punto fijo y la linea radial rse dirige hacia la particula.

•

La coordenada transversal 0 se mide desde una linea de referenda fija

El movimiento helicoidal de este muchacho puede seguirse por medio componentes hasta la de linea radial. dlmdricos. En este caso, la coordenada radial r es constante, la coordenada tran con el tiempo a medida que el muchacho gira alrededor de la vertical y su altitud z se reduce con el tiempo.

Velocidad y aceleracion.

•

Con ry las cuatro derivadas con respecto al tiempo r, r, 0, y 0 evaluadas en el instante considerado, sus valores se sustituyen en las ecuaciones 1225 y 12-29 para obtener las componentes radial y transversal de v y a.

•

Si es necesario tomar las derivadas con respecto al tiempo de r = /(0), entonces debe utilizarse la regia de la cadena. Vea el ap^ndice C.

•

El movimiento en tres dimensiones requiere una extensidn simple del procedimiento anterior para incluir z y z.

-ar = =

-

=

—

=

rd1

12.8 MCVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES CILINDRICOS

EJEMPLO 12.17 El juego mecdnico que se muestra en la figura 12-32a consiste en una silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la aceleracidn angular del brazo OB son 9 y 0, respectivamente. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleracidn del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta en el cdlculo.

(b)

(a) Rg. 12-32

SOLUCI6N Sistema de coordenadas. Como se reporta el movimiento angular del brazo, se eligen coordenadas polares para la solucidn, figura 12-32 respectivamente. Como v = v e = v t = r9, entonces por comparacidn,

a ey

= a,

1=

^ dt

= j(rd) dr 1 dt

= ^-6

+ r^dt

= 0 + rO

71

72

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

EJEMPLO 12.18 La barra OA en la figura 12-33a gira en el piano horizontal de modo que 9 = (Z3) rad. Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo que r = (lOOf2) mm. Si en ambos casos t est£ en segundos, determine la velocidad y aceleracidn del collar cuando t — Is. SOLUCI6N

Sistema de coordenadas. Como se dan las ecuaciones paramd- tricas en funcidn del tiempo de la trayectoria, no es necesario rela- aonar rcon 9. Velocidad y aceleracidn. Si determinamos las derivadas con respecto al tiempo y las evaluamos cuando t = Is, tenemos

= 100 mm 0 = t 3

100 T

(a)

1 rad = 57.3 c

f=l s

t=\ s

= 200 mm/s 9 = 312

r = 2001 r=l s

= 3 rad/s /=! s

= 200 mm/s2 9 = 6t

r = 200 /=1 s

= 6 rad/s2. t=\s

Como se muestra en la figura 12-33b,

0 = 57 3

v = hir + r9u 0 = 200ur + lOO(3)u0 = {200ur + 3OOu0} r

mm/s La magnitud de v es v = \/(200)2 + (300)2 = 361 mm/s ,/300\ 8 = tan"1! — ) = 56.3° 8 + 57.3° = 114°

Res

Como se muestra en la figura 12-33c, p. a = (r - r^)ur + (rO + 2r9)u e Res p.

0 = 57.3 2

= [200 - 100(3) ]ur + [100(6) +

a e = 1800 mm/s2

2(2OO)3]u0

a r = 700 mm/s 2

(c) Fig. 12-33

= {-700ur + 18OOu0} mm/s2 T

La magnitud de a es (f> = tan

Resp.

a = -V(700) •m) « 2 + (1800)2 = 1930 mm/s2

(180° - tenemos r = lOO(sec0tan 9)9 r = lOO(sec0tan 9)9(tan9)9 + 100 sec 0(sec2 0)0(0) + 100 sec 9 tan 9( 9) = 100 sec 9 tan2 9 (9) 2 + 100 sec30 (0)2 + 100(sec 9tan 9)9 Como0 = 4 rad/s = constante, entonces 9 = Oy las ecuaciones anteriores, cuando 9 = 45°, se convierten en

(b)

r = 100 sec 45° = 141.4 r = 400 sec 45° tan 45° = 565.7 r = 1600 (sec 45° tan245° + sec345°) = 6788.2 Como se muestra en la figura 12-346, v = ru r + r9u 0 = 565.7ur + 141.4(4)u0 = {565.7ur + 565.7u^} m/s v=

+ Ve =

(565.7)2 + (565.7)2

\/

= 800 m/s

Resp. Como se muestra en la figura 12-34c, a = (r - r&)\ir + (,r6 + 2r0)ue 2

= [6788.2 - 141.4(4) K + [141.4(0) + 2(565.7)41110 = {4525.5uf + 4525.5up} m/s2 ______________ a = \J a 2 r + a] = V (452S.5)2 + (4525.5)2 ■ 6400 m/s2 NOTA: tambi6n es posible determinar a sin tener que calcular

r (o a r ). Como se muestra en la figura 12-34d y como a e = 4525.5 m/s2, entonces mediante resolucidn vectorial, a = 4525.5/cos 45° = 6400 m/s2.

Resp. e = 45°> ar\ X 8*, = 4525.5 myfe2

(d) Rg. 12-34

74

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

EJEMPLO 12.20

r = 0.5 (1 - cos 0) pies

Debido a la rotacidn de la barra ahorquillada, la bola en la figura 12-35a se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una parte de la cual tiene la forma de un cardioide, r = 0.5(1 - cos 0) pies, donde 0 est£ en radianes. Si la velocidad de la bola es v = 4 pies/s y su aceleracidn es a = 30 pies/s2 en el instante 9 = 180°, determine la velocidad angular 9 y la aceleracidn angular 9 de la horquilla. SOLUCI6N

Sistema de coordenadas. Esta trayectoria es muy rara, y mate- mdticamente se expresa mejor por medio de coordenadas polares, como se hace aqui, en lugar de coordenadas rectangulares. Tam- bidn, como 9 y 9 deben determinate, entonces las coordenadas r, 9 no son una opcidn obvia. Velocidad y aceleracion. Las derivadas con respecto al tiempo de r y 9 se determinan con la regia de la cadena. r = 0.5(1 - cos 9) r = O.5(sen0)0 r = 0.5(cos 9)9(9) + 0.5(sen 9)9 Si evaluamos estos resultados cuando 9 = 180°, tenemos r = 1 pie r = 0 r = -0.5 9 1 Como v = 4 pies/s, al utilizar la ecuacidn 12-26 para determinar 9 se obtiene

v = \/ (r) 2 + (re) 2 4= \/(0)2 + (1«)2 9 = 4 rad/s

Resp.

Del mismo modo, 9 se determina con la ecuacidn 12-30.

a = \/( r ~ r# f +( r6 + 2rb) 2 30 = \/[—0.5(4)2 1(4)2]2 + [1(9 + 2(0)(4)]2 (30)2 = (—24)2 + 9 2 9 = 18 rad/s2 Resp. En la figura 12-35b se muestran los vectores a y v. NOTA: en esta ubicacidn, bs ejes 9 y f(tangenciales) coinciden. El eje +n (normal) estd dirigido hacia la derecha, opuesto a +r. Fig. 12-35

12.8 MCVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES CILINDRICOS

75

PROBLEMAS FUNDAMENTALES espiga P es propulsada por el eslab6n ahor- quillado F12-33. La rapidez del automdvil es de 55 pies/s. Determine la velocidadF12-36. angularLa 0 de la lfnea radial CM en este instante. OA a lo largo de la trayectoria descrita por r = e B . Cuando 0 = f rad, la velocidad y aceleraci6n angula- res del eslabdn 0 = 2 rad/s y 0 = 4 rad/s2. Determine las componentes radial y transversal de la aceleracidn de la espiga en este instante.

r = 400 pies

A. o

F12-33 F12-36 F12-34. La plataforma gira en tomo al eje vertical de modo que en cualquier instante su posicidn angular es 0 = (At* 2 ) rad, donde t esti en segundos. Una bola rueda hacia fuera a lo largo de la ranura radial de modo que su posicidn es r = (O.lf3) m, donde t est£ en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn de la bola cuando t = 1.5 s.

F12-37. Los co 11ares estSn conectados por pasadores en B y pueden moverse libremente a lo largo de la barra OA y la gufa curva OC tiene la forma de un cardioide, r = [0.2(1 + cos 0)] m. Cuando 0 = 30°, la velocidad angular de CM es 0 = 3 rad/s. Determine las magnitudes de la velocidad de los collares en este punto.

r = 02(1 + cos 0) m

F12-34 0=3 rad/s

F12-35. La espiga P es propulsada por el eslabdn ahor- quillado CM a lo largo de la trayectoria curva descrita por r = (20) pies. En el instante 0 = 7r/4 rad, la velocidad y aceleracidn angulares del eslabdn son 0=3 rad/s y 0=1 rad/s2. Determine la magnitud de la aceleracidn de la espiga en este instante.

H2-35

F1237

F12-38. En el instante 0 =45°, el atleta est£ corriendo a una rapidez constante de 2 m/s miento.

76

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

PROBLEMAS *12-156. Una partfcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 300 mm de radio. Si su velocidad angular es 0 = (212 ) rad/s, donde t esti en segundos, determine la magnitud de la aceleracidn de la partfcula cuando t = 2 s.

•12-157. Una partfcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 300 mm de radio. Si su velocidad angular es 0 = (3?) rad/s donde testa en segundos, determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn de la partfcula cuando 0 = 45°. La partfcula arranca del reposo cuando 0 =0°.

*12-164. Una partfcula viaja alrededor de un litus, definido por la ecuacidn r 2 0 = a 2 } donde a es una constante. Determine los componentes radial y transversal de la velocidad y aceleracidn de la partfcula en funcidn de 0 y sus derivadas con respecto al tiempo. •12-165. Un automdvil viaja a lo largo de una curva circular de radio r = 300 pies. En el instante mostrado, su velocidad angular de rotacidn es 0 = 0.4 rad/s, la cual se incrementa a razdn de 0 = 0.2 rad/s2. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn del automdvil en este instante.

12-158. Una partfcula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 5 pies de radio. Si su posicidn es 0 = (ea *) rad, donde test£ en segundos. Determine la magnitud de la aceleracidn de la partfcula cuando 0 = 90°.

12-159. Las ecuaciones r = (t3 + 4r - 4) m y 0 = (t3^2) rad, donde t est£ en segundos, describen la posicidn de una partfcula. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleracidn en el instante t = 2 s.

Prob. 12-165

*12-160. Las ecuaciones r = (300e-a5les la aceleracidn de B vista por el observador bcalizado en A y que se traslada con el marco de referencia xy\z\*

Procedimiento para el analisis •

Cuando se aplican las ecuaciones de velocidad y aceleracidn relativas, primero se tiene que especificar la particula A que es el origen de los ejes x\ /, z' trasladantes. Por lo comun, este punto tiene una velocidad o aceleracidn conocida.

•

Como la adicidn vectorial forma un trtengulo, cuando mucho puede haber dos incognitas representadas por las magnitudes y/o direcciones de las cantidades vectoriales.

•

Estas incdgnitas se pueden resolver grdficamente por medio de trigonometria (ley de los senos, ley de los cosenos), o al des- componer cada uno de bs tres vectores en componentes rectangulares o cartesianos, con lo cual se genera un sistema de ecuaciones escalares.

L o s p i l o *Una forma Weil de recordar la configuraci6n de t estas ecuaciones es observar la “cancelacidn” del subfndice A entre los dos Wrminos,opor ejemplo, a B = a,4 + * B/A . s d e e s t o

Si descomponemos cada vector en sus componentes jc y y obtenemos ( ^)

60

=

45 cos 45° + (t>r/A + 0

12.10 Movimiento relativo de dos particulas al utiuzar ejes trasladantes

89

EJEMPLO 12.25 Un tren viaja a una rapidez constante de 60 mi/h y cruza una carretera como se muestra en la figura 12-43a. Si el autom6vil A viaja a 45 mi/h por la carretera, determine la magnitud y direccidn de la velocidad del tren con respecto al automdvil. SOLUCI6N 1

Analisis vectorial. La velocidad relativa Y T {A se mide con respecto a los ejes jc\ y' trasladantes fijos en el automdvil, figura 12-430. Se determina a partir de la ecuacidn Y T = Y A + v T / A. Como se conoce tanto la magnitud como la direccidn de \ T y Y a> las incdgnitas son las componentes jc y y de \ t / a - Si utilizamos los ejes jc, yen la figura 12-430, tenemos y T = y A + yTfA 60i = (45 cos 45°i + 45 sen 45°j) + Y T ( A v T /a

= {28.2i - 31.8j} mi/h

Resp.

La magnitud de Y T / A es, por tanto, v T/A = V(28.2)2 + (-31.8)2 = 42.5 mi/h

Resp.

A partir de la direccidn de cada componente, figura 12-43/?, la direccidn de \ T / A es

282 mi/h

( V T/A)y

31.8

tan 6 = ( t/a )x 28-2 v

0= Resp.

48.5° ^

Observe que la suma vectorial mostrada en la figura 12-43/? indica d sentido correcto de Y T /a . Esta figura anticipa la respuesta y puede utilizarse para comprobarla.

(b)

SOLUCI6N II

Analisis escalar. Las componentes desconocidas de Y T JA tambidn pueden determinarse con un andlisis escalar. Supondremos que estas componentes actuan en las direcciones jc y y positivas. Por tanto, YT

60 mi/h ( + t)

= YA + Y T/A

45 mi/h . ^5° 0 =

4-

( V T/ A ) X

i

-*

4-

( V T/ A)y

.T.

45 sen 45° + 0 + {vr/A) y

Al resolver, obtenemos los resultados previos, = (v t/a )x 28-2 mi/h = 28.2 mi/h —* (vr/A)y = -31.8 mi/h = 31.8 mi/h 1 (c) Rg. 12-43

90

CAPITULO 12 CINEMATICA DE UNA FARTICULA

EJEMPLO 12.26 H avidn A en la figura 12-44a vuela a lo largo de una linea recta, mientras que el avidn B lo hace a lo largo de una trayectoria circular que tiene un radio de curvatura p B = 400 km. Determine la velocidad y aceleracidn de B medidas por el piloto de A. 100 km/h2 400 km

50 km/h

j—4 km -

(a)

SOLUCI6N Velocidad. El origen de los ejes xyy est£n en un punto fijo arbitrary. Como se tiene que determinar el movimiento con respecto al piano A, el marco de referencia trasladante x\ y' se fija en dl, figura 12-44& Al aplicar la ecuacidn de velocidad relativa en forma escalar ya que los vectores de la velocidad de ambos aviones son paralelos en el instante mostrado, tenemos

(+t)

v B = v A + v B / A 600 km/h = 700 km/h + vBjA

VB / A

v B j A = -100 km/h = 100 km/h i v A =700 km/h

v B =600 km/h

Resp .

La adicidn vectorial se muestra en la figura 12-44b. (b)

Aceleracidn. El avidn B tiene componentes tanto tangenciales como normales de aceleracidn pues con la ecuacidn 12-20, la magnitud del componente normal es

(«*)# .

A P

(600 km/h)2 400 km = 900 km/h2

Al aplicar la ecuacidn de aceleracidn relativa se obtiene a

fl

=

4

*B/A

900i - lOOj = 50J + * B/A Por tanto, *b/a

= {900i - 150J} km/h2

De acuerdo con la figura 12-44c, la magnitud y direccidn de * B/A son por consiguiente a B/ A = 912 km/h2 0 = tan = 9.46° ^

150 km/h

Resp.

NOTA: la solucidn de este problema fue posible gracias al uso de un marco de referencia trasladante, puesto que el piloto del avidn A se est£ “trasladando”. La observacidn del movimiento del avidn A con respecto al piloto del avidn B, sin embargo, se obtiene por medio de un sistema de ejes rotatorio fijo en el avidn B. (Esto supo- ne, desde luego, que el piloto de B estk fijo en el marco rotatorio, asf que no tiene que mover sus ojos para seguir el movimiento de A.) Este caso se analiza en el ejemplo 16.21.

12.10 Movimiento relativo de dos particulas al utiuzar ejes trasladantes

91

EJEMPLO 12.27 En el instante que se muestra en la figura 12-45a, los automdviles Ay B viajan con una rapidez de 18 m/s y 12 m/s, respectivamente. Asimismo, en este instante, A experimenta una desaceleracidn de 2 m/s 2 y B tiene una aceleracidn de 3 m/s2. Determine la velocidad y aceleracidn de B con respecto a A. SOLUCI6N

Velocidad. Los ejes x y y fijos se establecen en un punto arbitrario en el suelo, y los ejes x\ y‟ trasladantes se fijan al carro A y figura 12-45a. ^Por qud? La velocidad relativa se determina con \ B = yA + y B/A• /.Cudles son las dos incdgnitas? Si utilizamos un andlisis vectorial cartesiano, tenemos y

B =

y

A +

y

B/A

—12j = (-18cos60°i - 18sen60°j) + \ B / A y B/A = {9i + 3.588j} m/s Por tanto,

v B f A = \J(9) 2 + (3.588) 2 = 9.69 m/s

Resp.

(a)

Observemos que y BfA tiene componentes +i y +j, figura 12-45/?, su direccidn es

( V B/A)y

3.588

tan0 = { V B / A ) X 9 e = 21.7° ^ Resp. Aceleracidn. El automdvil B tiene componentes tanto tangen- ciales como normales de aceleracidn. ^Por qud? La magnitud de la componente normal es

vi (12 m/s)2 (mB. Si la polea Cles imprime una aceleracidn de a0, determine la aceleracidn de los bloques. Ignore la masa de la polea.

127

13-31. El hombre de 75 kg sube por la cuerda con una aceleracidn de 0.25 m/s2, medida con respecto a la cuerda. Determine la tensidn en la cuerda y la aceleracidn del bloque de 80 kg.

13

Prob. 13-31

•13-29. Se utiliza el tractor para levantar la carga B de 150 kg con el sistema de una cuerda de 24 m de largo, pluma y polea. Si el tractor se desplaza hacia la derecha a una rapidez constante de 4 m/s, determine la tensidn en la cuerda cuando s A = 5 m. Cuando s A = 0, s B = 0. 13-30. Se utiliza el tractor para levantar la carga B de 150 kg con el sistema de una cuerda de 24 m de largo, pluma y polea. Si el tractor se desplaza hacia la derecha con una aceleracidn de 3 m/s2y tiene una velocidad de 4 m/sen el instante cuando s A = 5 m, determine la tensidn en la cuerda en este instante. Cuando s A = 0, s B = 0.

Probs. 13-29/30

*13-32. El motor M enrolla el cable con una aceleracidn de 4 pies/s 2, medida con respec sidn en el cable. Ignore la masa de las poleas.

128

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

•13-33. El anillo de 2 lb C ajusta flojo en la flecha lisa. Si el resorte no esta 13-35. alargado El anillo cuando C des 2= 0kgy se al anillo deslizaselibremente le imprimea una lo largo velocidad de lade 15 pies/s dad del anillo cuando s = 1 pie. flecha lisa AB. Determine la aceleracidn del anillo C si (a) la flecha no se mueve, (b) el anillo i4,el cual esta fijo en la flecha AB, se mueve hacia la izquierda a una velocidad constante a lo largo de la gufa horizontal y (c) el anillo A se somete a una aceleracidn de 2 m/s2 hacia la izquierda. En todos los casos, el movimiento ocurre en el piano vertical.

Prob. 13-33

13-34. En el tubo de rayos catddicos, una fuente S emite electrones de masa m y comienzan a desplazarse horizontalmente a una velocidad inicial v0. Mientras pasan entre las placas de la rej ilia a una distancia /, se some ten a una fuerza vertical de magnitud eV/w, donde e es la carga de un electrdn, V el voltaje aplicado que actua a travds de las placas y w la distancia entre las placas. Despuds de las placas, los electrones viajan en lfneas rectas y chocan con la pantalla en A. Determine la deflexidn d de los electrones en funcidn de las dimensiones del voltaje de placa y tubo. Ignore la gravedad, la cual provoca una leve deflexidn vertical cuando el electrdn viaja desde S hasta la pantalla y la leve deflexidn entre las placas.

*13-36. La masa de los bloques A y B es m. Determine la fuerza horizontal P maxima que puede aplicarse a B de modo que A no se mueva con respecto a B. Todas las superficies son lisas. •13-37. La masa de los bloques A y B es m. Determine la fuerza horizontal P maxima que puede aplicarse a B de modo que A no se deslice con respecto a B. El coeficiente de friccidn estdtica entre A y B es /xs. Ignore cualquier fric- ddn entre By C.

T d

1

Probs. 13-36/37

13.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS RECTANGULARES

129

13-38. Si se aplica una fuerza F = 200 N a la carretilla de 30 kg, demuestre que elElbloque A de de 20 kg ella. Tambidn determine el tiempo para *13-40. embalaje 30selbdeslizar£ se iza sobre con una aceleracidn que A se mueva sobre la carretilla 1.5 m. Los coeficientes de friccidn estdtica y cindtica entre2.elSibloque y la son /x s = es 0.3dey 200 /x* = 0.25. Tanto la carret constante de 6 pies/s el peso decarretilla la viga uniforme bloque parten del punto de reposo. lb, determine los componentes de reaccidn en el apoyo empotrado A. Ignore el tamaflo y masa de la polea B. Sugerencia: primero determine la tensidn en el cable y luego analice las fuerzas en la viga mediante estdtica. 13

• ----- 13 m --------

A

F = 200 N

Prob. 13-38 13-39. Suponga que es posible perforar un ttinel a travds de la Tierra desde la ciudad A hasta una ciudad B como se muestra. Por la teoria de la gravitacidn, cualquier vehfcu- lo C de masa m dentro del tunel se verfa sometido a una fuerza gravitatoria dirigida siempre hacia el centro D de la Tierra. La magnitud de esta fuerza F es directamente proporcional a su distancia r al centro de la Tierra. De ahf que, si el vehfculo pesa W = mg cuando se encuentra sobre la superficie terrestre, entonces en una posicidn arbitra- ria r la magnitud de la fuerza F es F = (mg/R)r, donde R = 6328 km, el radio de la Tierra. Si el vehfculo se suelta desde el punto de reposo cuando estd en B, x = s = 2 Mm, determine el tiempo requerido para que llegue a A y la velocidad maxima que alcanza. Ignore el efecto de la rotacidn de la Tierra en el cdlculo y suponga que la den- sidad de dsta es constante. Sugerencia: escriba la ecuacidn de movimiento en la direccidn x, teniendo en cuenta que rcos0 = x. Integre, mediante la relacidn cinematica vdv = a dx, luego integre el resultado por medio de v = dx/dt.

Prob. 13-39

Prob. 13-40

•13-41. Si se aplica una fuerza horizontal P = 10 lb al bloque A, determine la aceleracid

Prob. 13-41

130

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

13-42. La masa del bloque A es m A y est£ unida a un resorte de rigidez k y longitud no alargada /0. Si otro bloque B de masa m B se presiona contra A de modo que el resorte se deforme una distancia d, determine la distancia de deslizamiento de ambos bloques sobre la superficie lisa antes de que comiencen a separarse. £Cu£l es su velocidad en este instante?

•13-45. La fuerza de flotacidn sobre el globo de 500 kg es F = 6 kN y la resistencia del aire es FD = (lOOv) N, donde v estd en m/s. Determine la velocidad terminal o mdxima del globo si parte del punto de reposo. |FD = (lOOv)N

13-43. La masa del bloque A es m A y est£ unida a un resorte de rigidez k y longitud no alargada /0. Si otro bloque B de masa m B se presiona contra A de modo que el resorte se deforme una distancia d, demuestre que para que se separen es necesario que d > 2fx kg(mA + m B)/k y donde y, k es el coeficiente de friccidn cindtica entre los bloques y el suelo. Ademds, ^cudl es la distancia de deslizamiento de los bloques sobre la superficie antes de separarse?

13-46. El paracaidista de masa m cae a una velocidad de % en el instante en que abre el paracafdas. Si la resistencia del aire es FD = Cv2, determine la velocidad mdxima (velocidad terminal) durante el descenso.

I FD - c*2 Probs. 13-42/43

*13-44. El “dragster” de 600 kg se desplaza a una velocidad de 125 m/s cuando el motor se apaga y el paracafdas de frenado se despliega. Si la resistencia del aire impuesta en el “dragster” por el paracafdas es F D = (6000 + 0.9i^) N, donde v estd en m/s, determine el tiempo requerido para que el “dragster” se detenga.

13-47. El peso de una partfcula varfa con la altitud de modo que W = m(gro)/r 2, donde r0 es el radio de la Tierra y r es la distancia de la partfcula al centro de la Tierra. Si la partfcula se lanza verticalmente desde la superficie terrestre con una velocidad % determine su velocidad en funci6n de la posicidn r. ^Cudl es la velocidad minima v0 requerida para escapar del campo gravitatorio terrestre, cu£l es r m4x y cu£l es el tiempo requerido para alcanzar esta altitud? Prob. 13-44

13.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS NDRMALES Y TANGENCIALES

1

1 3.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas normales y tangenciales Cuando una partfcula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva conocida, su ecuacidn de movimiento puede escribirse en las direccio- nes tangencial, normal y binormal, figura 13-11. Observe que la particula no se mueve en la direcci6n binormal, puesto que estd limitada a moverse a lo largo de la trayectoria. Tenemos 2F = ma 2F, u, + £Fmu m + 'ZF bu b = ma, + ma n Esta ecuacidn se satisface siempre que

SF,

b

= ma.

= ma n 2F6 = 0

(13-8)

Recuerde que a t (= dv/dt) representa el cambio con respecto al tiempo en la magnitud de la velocidad. Por tanto si 2F, actua en la direccidn del movimiento, la rapidez de la particula se incremental, mientras que si actua en la direccidn opuesta, la particula se desacelerard. Asimismo, an (= ^/p) representa el cambio con respecto al tiempo de la direccidn de la velocidad. Es provocada por 2F„, la que siempre actua en la direccidn n positiva, es decir, hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Por eso a menudo se conoce como fuerza centripeta.

Fig. 13-11

La centrifuga se utiliza para someter a un pasajero a una aceleracion normal muy grande, provocada por la rotacion rapida. Tenga en cuenta que esta acelerac normal desbalanceada que el asiento de la centrifuga ejerce sobre el pasajero.

132

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

■

Procedimiento para el analisis

Cuando un problema implica el movimiento de una particula a lo largo de una trayectoria curva conocida yen el andlisis se utilizardn coordenadas normales y tangenciales puesto que bs componentes de aceleracidn son fdciles de formular. El mdtodo para aplicar la ecuacidn de movimiento, la cual relaciona las fuerzas con las ace- teracbnes, se describid en el procedimiento explicado en la sec- cbn 13.4. Especificamente, para las coordenadas tyn yb se puede formular como sigue:

Diagrama de cuerpo libre.

•

Establezca el sistema de coordenadas ty n y b inercial en la particula y trace el diagrama de cuerpo libre de dsta.

•

La aceleracidn normal de la particula a„ siempre actua en la direccidn n positiva.

•

& la aceleracidn tangencial a, es desconocida, suponga que actua en la direccidn t positiva.

•

No hay aceleracidn en la direccidn b.

•

Identifique las incdgnitas en el problema.

Ecuaciones de movimiento.

• Aplique las ecuaciones de movimiento, ecuaciones 13-8.

Cinematica.

•

Formule los componentes normales y tangenciales de la aceleracidn; es decir, a t = dv/dt o a, = v dv/ds y a n = vt/p.

• Si la trayectoria se define como y = /(JC), el radio de curvatura en el punto donde la particula estd localizada se obtiene con p = [1 + (dy/dxffWy/d^.

13.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS NDRMALES Y TANGENCIALES

133

D

EJEMPLO 13

Determine el Angulo de inclinacidn 9 de la pista para que las llan- tas de los autos de carreras mostrados en la figura 13-12a no de- pendan de la friccidn para que no se deslicen hacia arriba o hacia abajo de la pista. Suponga que el tamaflo de los automdviles es insignificante, que su masa es m y que se desplazan alrededor de la curva de radio p a una rapidez constante v.

SOLUCI6N

Antes de analizar la siguiente solucidn, pensemos en por qud debe- r£ resolverse por medio de las coordenadas tyn yb. Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 13-126 y como se enuncid en el problema, en el automdvil no actua ninguna fuerza de friccidn. En este caso Nc representa la resultante del suelo en las cuatro ruedas. Como a n puede calcularse, las incdgnitas son Nc y 9. Ecuaciones de movimiento. Con los ejes n y b mostrados,

/ Nc W = mg

= ma n\ +1= 0;

Nc sen $ = m- Nc cos 9 - mg = 0

(1 )

(2 )

Al eliminar Nc y m de estas ecuaciones mediante la divisidn de la ecuacidn 1 entre la ecuacidn 2, obtenemos

tan 0 =

u2 gp

i-) 9 = tan

\gpJ

Resp .

NOTA: el resultado es independiente de la masa del automdvil. Ademds, una suma de fuerzas en la direccidn tangencial no afecta la solucidn. Si se hubiera considerado, entonces a, = dv/dt = 0, puesto que el automdvil se desplaza a rapidez constante. Un analisis adicio- nal de este problema se aborda en el problema 21-47.

134

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

EJEMPLO 13.7 El disco D de 3 kg estd sujeto al extremo de una cuerda como se muestra en la figura 13-13a. El otro extremo de la cuerda estd sujeto a una articulacidn de rdtula localizada en el centro de una plataforma. Si dsta gira con rapidez y el disco se coloca sobre ella y se le suelta desde el punto de reposo como se muestra, determine el tiempo que le lleva alcanzar una rapidez lo bastante grande para romper la cuerda. La tensidn mdxima que la cuerda puede soportar es 100 N y el coeficiente de friccidn cindtica entre el disco y la plataforma es iik = 0.1.

Movimiento de ^^ la plataforma

(a)

SOLUCI6N

29.43 N

Diagrama de cuerpo libre. La magnitud de la fuerza de friccidn es F = fik^D = 0.1 Nd y su sentido de direccidn se opone al movimiento relativo del disco respecto de la plataforma. Esta fuerza es la que le imprime al disco un componente tangencial de aceleracidn que hace que vse incremente, por lo que Tse incrementa hasta que icanza 100 N. El peso del disco es W = 3(9.81) = 29.43 N. Como a n puede relacionarse con v, las incdgnitas son NDt a t y v.

Ecuaciones de movimiento.

= para determinar la rapidez del patinador cuando 9 = 60° se utiliza la ecuacidn v dv = a t ds. Con la relacidn geomdtrica s = 9r y donde ds = r d9 = (4 m)d9 y figura 13-15c y la condicidn inicial v = 0 en 9 = 0°, tenemos, O

v dv = a t ds /*v

/*60°

v dv = / Jo

9.81 cos 0(4 d9)

Jo 60°

Fig. 13-15

= 39.24 sen 0

o

— - 0 = 39.24(sen 60° - 0) v1 = 67.97 m2/s2

Si sustituimos este resultado y 0 = 60° en la ecuacidn (1), tenemos Ns = 1529.23 N = 1.53 kN

Resp.

137

13.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS NDRMALES Y TANGENCIALES

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F13-7. El bloque descansa a una distancia de 2 m del centro de la plataforma. F13-10. Si El el coeficiente auto deportivo de friccidn se desplaza estdtica a lo entre largo eldebloque una carretera y la plataforma es ix s = 0.3, d velocidad maxima que el bloque puede alcanzar antes de que comience acon deslizarse. una inclinacidn Suponga de que30° el movimiento y cuyo radioangular de curvatura del disco es se de incrementa p= lentamente. 500 pies. Si el coeficiente de friccidn est£- tica entre las llantas y la carretera es /x5 = 0.2, determine la velocidad segura maxima sin que se deslice. Ignore el tamaflo del automdvil.

p = 500 pies

F13-10

F13-7

F13-11. Si la velocidad de la bola de 10 kg es de 3 m/s cuando est£ en la posicidn A, a lo largo de la trayectoria vertical, determine la tensidn en la cuerda y el incremento en su rapidez en esta posicidn.

F13-8. Determine la rapidez maxima a que el jeep puede viajar sobre la cresta de la colina sin que pierda contacto con la carretera.

F13-8 F13-9. Un piloto pesa 150 lb y vuela a una rapidez constante de 120 pies/s. Determine la fuerza normal que ejerce en el asiento del avidn cuando esti en rizo invertido en A. El rizo tiene un radio de curvatura de 400 pies. \A

F13-12. La masa del motociclista es de 0.5 Mg y su estatu- ra no se toma en cuenta. Pasa por el punto A a una rapidez de 15 m/s, la cual se incrementa a un ritmo constante de 1.5 m/s2. Determine la fuerza de friccidn resultante ejerci- da por la carretera en las llantas en este instante.

200 m

F13-9

F13-12

138

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

PROBLEMAS * 13-48. El bloque B de 2 kg y el cilindro A de 15 kg est4n conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el centro de una mesa lisa. Si al bloque se le imprime una rapidez de v = 10 m/s, determine el radio r de la trayectoria circular a lo largo de la cual se desplaza. •13-49. El bloque B de 2 kg y el cilindro A de 15 kg est4n conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el centro de una mesa lisa. Si el bloque se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r = 1.5 m, determine la rapidez del bloque.

*13-52. Determine la masa del Sol, si sabe que su distancia a la Tierra es de 149.6 (10^) km. Sugerencia: use la ecuaci6n 13-1 para representar la fuerza de gravedad que actua en la Tierra. •13-53. La masa del auto deportivo es de 1700 kg y viaja horizontalmente a lo largo de una pista inclinada 20° la cual es circular y tiene un radio de curvatura p = 100 m. Si el coeficiente de fricci6n estdtica entre las llantas y la pista es p s = 0.2, determine la rapidez mdxima constante a la cual puede viajar el autom6vil sin que se deslice cuesta arriba. Ignore el tamaflo del auto. 13-54. Con los datos del problema 13-53, determine la rapidez minima a que el autom6vil puede circular alrededor de la pista sin que se deslice cuesta abajo.

Probs. 13-53/54

Probs. 13-48/49

13-50. En el instante mostrado, el proyectil de 50 kg viaja en el piano vertical a una rapidez de v = 40 m/s. Determine el componente tangencial de su aceleracidn y el radio de curvatura p de su trayectoria en este instante. 13-51. En el instante mostrado, el radio de curvatura de la trayectoria vertical del proyectil de 50 kg es p = 200 m. Determine la rapidez del proyectil en este instante.

Probs. 13-50/51

13-55. El dispositivo mostrado se utiliza para recrear la experiencia de ingravidez en un pasajero cuando llega al punto A, 0 = 90°, a lo largo de la trayectoria. Si la masa del pasajero es de 75 kg, determine la rapidez minima que deber4 alcanzar cuando llegue a A de modo que no ejerza una reacci6n normal en el asiento. La silla est£ conectada con un pasador al brazo BC de modo que siempre estd sentado en posici6n recta. Durante el movimiento su rapidez se mantiene constante. *13-56. Un hombre de 75 kg de masa se sienta en la silla conectada por medio de un pasador al brazo BC. Si el hombre siempre estd sentado en posici6n recta, determine las reacciones horizontal y vertical de la silla en el hombre en el instante 0 =45°. En este instante su rapidez es de 6 m/s, la cual se incrementa a 0.5 m/s 2. A

Probs. 13-55/56

139

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas ndrmales y tangenciales

•13-57. Determine la tensidn en el cable CD exactamente despuds de que AB se corta. La masa de la plomada es m.

13-59. Un acrdbata pesa 150 lb y estd sentado en una silla encaramada en el extremo superior de un poste, como se muestra. Si mediante una transmisidn mecdnica el poste gira hacia abajo a una razdn constante desde 0 = 0°, de modo que el centro de masa G del acrdbata mantiene una rapidez constante de v a = 10 pies/s, determine el Angulo 0 al cual comienza a “volar” fuera de la silla. Ignore la friccidn y suponga que la distancia del pivote O a G e s p = 15 pies.

Prob. 13-57

13-58. Determine el tiempo para que el satdlite complete su drbita alrededor de la Tierra. El radio r de la drbita es la distancia del satdlite al centro de la Tierra. Las masas del satdlite y la Tierra son ms y Mey respectivamente.

Prob. 13-58

*13-60. Un resorte, con longitud no alargada de 2 pies, tiene un extremo unido a la bol tangente a la trayectoria circular horizontal.

Prob. 13-60

140

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

•13-61. Si la bola tiene una masa de 30 kg y una rapidez v = 4 m/s en el instante en que estd en su punto mds bajo, 0 = 0°, determine la tensidn en la cuerda en este instante. Ademds, determine el Angulo 0 al cual la bola oscila y momentdneamente se detiene. Ignore el tamaflo de la bola. 13-62. La bola tiene una masa de 30 kg y una rapidez v = 4 m/s en el instante en que estd en su punto mds bajo, 9 = 0°. Determine la tensidn en la cuerda y el ritmo al cual se reduce la rapidez de la bola en el instante 9 = 20°. Ignore el tamaflo de la bola.

*13-64. La masa de la bola es m y estd unida a la cuerda de longitud /. El extremo superior de la cuerda estd atado a un eslabdn giratorio y a la bola se le imprime una velocidad v0. Demuestre que el Angulo 9 el cual forma la cuerda con la vertical cuando la bola viaja alrededor de la trayectoria circular debe satisfacer la ecuacidn tan 9 sen 9 = ifijgl. Ignore la resistencia del aire y el tamaflo de la bola.

Probs. 13-61/62

13-63. El vehfculo estd diseflado para combinar la sen- saddn de una motocicleta con la comodidad y seguridad de un automdvil. Si el vehfculo viaja a una rapidez constante de 80 km/h por una carretera curva circular de 100 m de radio, determine el Angulo de inclinacidn 9 del vehfculo, de modo que sdlo una fuerza normal producida por el asiento acttie en el conductor. Ignore la estatura de dste.

Prob. 13-63

•13-65. El bloque liso B de 0.2 kg de masa, estd unido al vdrtice A del cono circular recto por medio de una cuerda. Si la rapidez del bloque es de 0.5 m/s alrededor del cono, determine la tensidn en la cuerda y la reaccidn que el cono ejerce en el bloque. Ignore el tamaflo del bloque.

Prob. 13-65

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas ndrmales y tangenciales

141

13-66. Determine el coeficiente de friccidn estdtica mfni-

13-70. Un avidn de 5 Mg vuela a una rapidez constante de

mo entre las llantas y la superficie de la carretera, de modo que el autom6vil de 1.5 Mg no se deslice cuando tome la curva a 80 km/h. Ignore el tamaflo del carro.

350 k m / h a lo largo de una trayectoria circular horizontal de radio r = 3000 m. Determine la fuerza de elevacidn L que actua en el avidn y el Angulo de alabeo 0. Ignore el tamaflo del avidn.

13-67. Si el coeficiente de friccidn estdtica entre las llan-

tas y la superficie de la carretera es \x 5 = 025, determine la rapidez maxima del automdvil de 1.5 Mg sin que se deslice cuando tome la curva. Ignore el tamaflo del automdvil. -|—

p = 200 m

13-71. Un avidn de 5 Mg vuela a una rapidez constante de

350 k m / h a lo largo de una trayectoria circular horizontal. Si el Angulo de alabeo 0 = 15°, determine la fuerza de elevacidn L que actua en el avidn y el radio r de la trayectoria circular. Ignore el tamaflo del avidn.

Probs. 13-66/67 *13-68. En el instante mostrado, el automdvil de 3000 lb

viaja a una rapidez de 75 pies/s, la cual se incrementa a razdn de 6 pies/s2. Determine la magnitud de la fuerza de friccidn resultante que la carretera ejerce en las llantas del automdvil. Ignore el tamaflo del automdvil.

Probs. 13-70771

* 13-72. Un automdvil de 0.8 Mg viaja sobre la colina que +-

tiene la forma de una parabola. Si el conductor mantiene una rapidez constante de 9 m/s, determine tanto la fuerza normal resultante como la fuerza de friccidn resultante que todas las ruedas del carro ejercen en la carretera en el instante en que llega al punto A. Ignore el tamaflo del automdvil.

P=

•13-73. Un automdvil de 0.8 Mg viaja sobre la colina que Prob. 13-68 •13-69. Determine la rapidez maxima a que el automdvil con

masa m puede pasar por el punto superior A de la carretera curva vertical y seguir en contacto con la carretera. Si el automdvil mantiene esta rapidez, ^cu£l es la reaccidn normal que la carretera ejerce en el automdvil cuando pasa por el punto inferior B de la carretera?

tiene la forma de una parabola. Cuando el automdvil est£ en el punto A, viaja a una rapidez de 9 m/s y la incrementa a 3 m/s2. Determine tanto la fuerza normal resultante como la fuerza de friccidn resultante que todas las ruedas del automdvil ejercen en la carretera en este instante. Ignore el tamaflo del automdvil.

y

Prob. 13-69

Probs. 13-72/73

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

142

13-74. El bloque de 6 kg sdlo puede moverse a lo largo de la trayectoria parab61ica lisa. El resorte conectado limita el movimiento y, debido a la gula de rodillo, siempre permanece horizontal cuando el bloque desciende. Si la rigidez del resorte es k = 10 N/m y su longitud no alargada es de 0.5 m, determine la fuerza normal de la trayectoria sobre el bloque en el instante x = 1, cuando la rapidez del bloque es de 4 m/s. Adem£s, £cu£l es la tasa de incremento de la rapidez del bloque en este punto? Ignore la masa del rodillo y el resorte.

y

13-75. Demuestre que si se suelta el bloque del punto de reposo en el punto B de una trayectoria lisa de forma arbi- traria, la rapidez que alcanza cuando llega al punto A es igual a la rapidez que alcanza cuando cae libremente una distancia h\ es decir, v = V2gh.

*13-76. Un tobog^n y su conductor de 90 kg de masa total se deslizan cuesta abajo a lo largo de una pendiente (lisa) definida por la ecuaci6n y = 0.08JT2. En el instante x = 10 m, la rapidez del tobog^nes de 5 m/s. Eneste punto, determine la tasa de incremento de la rapidez que la pendiente ejerce en el tobog^n. Ignore el tamaflo del tobog^n y la estatura del conductor en el cilculo.

y

•13-77. La esquiadora parte del punto de reposo en A(10 m, 0) desciende la pendiente lisa, la cual puede ser representada de forma aproximada por una parabola. Si su masa es de 52 kg, determine la fuerza normal que el suelo ejerce sobre la esquiadora en el instante en que llega al punto B. Ignore la estatura de la esquiadora. Sugerencia: use el resultado del problema 13-75.

Prob. 13-77

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas ndrmales y tangenciales

13-78. Se lanza la caja de 5 lb con una rapidez de 20 pies/s desde A hacia arriba de la pista circular vertical lisa. Determine el Angulo 0 cuando la caja deja la pista. 13-79. Determine la rapidez minima que se debe impri- mir a la caja de 5 lb en A para que permanezca en contacto con la trayectoria circular. Ademds, determine la rapidez de la caja cuando llegue al punto B.

143

13-82. Determine la rapidez maxima que el autom6vil de 1.5 Mg puede alcanzar y seguir en contacto con la carretera cuando pase por el punto A. Si el autom6vil mantiene esta rapidez, ^cudl es la reacci6n normal de la carretera sobre £1 cuando pase por el punto B1 Ignore el tamaflo del autom6vil.

y

*13-80. La motocicleta de 800 kg viaja a una rapidez constante de 80 km/h cuesta arriba. Determine la fuerza normal que la superficie ejerce en sus ruedas cuando llega al punto A. Ignore su tamaflo.

y

•13-81. El automdvil de 1.8 Mg viaja cuesta arriba a una rapidez constante de 80 km/h. Determine la reacci6n normal de la carretera en el autom6vil cuando llega al punto A. Ignore su tamaflo.

y

13-83. El anillo de 5 lb se desliza sobre la barra lisa de modo que cuando estd en A su rapidez es de 10 pies/s. Si el resorte al cual estd conectado tiene una longitud no alargada de 3 pies y una rigidez de k = 10 lb/pie, determine la fuerza normal en el anillo y la aceleracidn de dste en este instante.

144

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

XFzuz

1 3 . 6 Ecuadones de movimiento: coordenadas cilmdricas Cuando todas las fuerzas que actuan en una particula se descomponen en componentes cilmdricos, es decir, a lo largo de las direcciones de los vectores unitarios uf, u 0 y uz, figura 13-16, la ecuacidn de movimiento puede expresarse como 2F = ma SFrur +

Sistema de coordenadas inercial

+ 2FZ uz =

ma r ur + ma e u0+ ma z uz

Para que esta ecuacidn se satisfaga, requerimos 2Fr = ma r

Fig. 13-16

1Fe = mae

(139)

'2FZ = ma z

Si la particula sdlo puede moverse en el piano r-0, entonces sdlo se uti- fizan las primeras dos ecuaciones 13-9 para especificar el movimiento.

Fuerzas tangenciales y normales. El tipo de problema m£s directo que implica coordenadas cilindricas requiere determinar las componentes de fuerza resultantes 2F r, SF#, EFZ que hacen que una particula se mueva con una aceleracidn conocida. Si, no obstante, el movimiento acelerado de la particula no estd completamente especificado en el instante dado, entonces se deber£ tener o calcular algunos datos en relacidn con las direcciones o magnitudes de las fuerzas que actuan en la particula para resolver las ecuaciones 13-9. Por ejemplo, la fuerza P hace que la particula de la figura 13-17a se mueva a lo largo de una trayectoria r = f(0). La fuerza normal N que la trayectoria ejerce en la particula siempre es perpendicular a la tangente de la trayectoria,en tanto que la fuerza de friccidn F siempre actua a lo largo de la tangente en la direccidn opuesta del movimiento. Las direcciones de N y F pueden especificarse con respecto a la coordenada radial con el dngulo ^ (psi), figura 13-176,el cual se define entre la linea radial extendida y la tangente a la curva. r=m r

= f(o)

Tangente

A medida que desciende el carro de peso W por la pista espiral, la fuerza normal resultante que la pista ejerce en el carro puede representarse por su tres componentes cilm aceleracidn radial -ar, N0 crea una aceleracion transversal a0, y la diferencia W - Nz crea una aceleracion azimutal -a..

Fig. 13-17

145

13.6 Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilindricas

Este Angulo se obtiene al observar que cuando la particula recorre una distancia ds a lo largo de la trayectoria, figura 13-17c, la componente del desplazamiento en la direccidn radial es dry en la direccidn transversal es rd9. Como estas dos componentes son mutuamente perpendiculares, el Angulo ^ se determina a partir de tan iff = r dO/dry o tan ip = dr/dS

r = f (e )

(13-10)

Si \ft se calcula como una cantidad positiva, entonces se mide de la tinea radial extendida a la tangente en sentido opuesto a las manecillas del reloj o en la direccidn positiva de 0. Si es negativo, se mide en la direccidn opuesta a la 0 positiva. Por ejemplo, considere el cardioide r = a( 1 + cos 0), de la figura 13-18. Como dr/d6 = -a sen 0,entonoes cuando 0 = 30°, tan \ft = a{\ + cos 30°)/(-a sen 30°) = -3.732, o iIf = -75°, medido en sentido de las manecillas del reloj, opuesto a + 0 como se muestra en la figura.

Procedimiento para el analisis Las coordenadas cilmdricas o polares son una opcidn adecuada para el andlisis de un problema para el cual se dan datos con respecto al movimiento angular de la linea radial r,o en casos en los que la trayectoria puede expresarse convenientemente en funcidn de estas coordenadas. Una vez que estas coordenadas se establecen, las ecuaciones de movimiento pueden aplicarse entonces para relacionar las fuerzas que actuan en la partfcula con sus componentes de aceleracidn. El mdtodo para hacerlo se describid en el procedimiento de andlisis dado en la seccidn 13.4. Lo siguiente es un resumen de este procedimiento. Diagrama de cuerpo libre.

•

Establezca el sistema de coordenadas r, 0, z inercial y trace el diagrama de cuerpo libre de la partfcula. • Suponga que ar, a#, az actuan en las direcciones positivas de r, 0, z si son desconocidas. • Identifique todas las incdgnitas en el problema. Ecuaciones de movimiento.

•

Aplique las ecuaciones de movimiento, ecuaciones 13-9.

Cinemdtica.

•

Use los mdtodos de la seccidn 12.8 para determinar r y las derivadas con respecto al tiempo ry r, 0, 0 , ' z , y luego evalue las componentes de aceleracidn a r = r - r$ 2y OQ = r0 + 2'rO y a z = z. • Si cualquiera de las componentes de aceleracidn se calcula como una cantidad negativa, ello indica que actua en la direccidn de su coordenada negativa. • Cuando se toman las derivadas con respecto al tiempo de r = f(B)y es muy importante utilizar la regia de la cadena del cdlcu- k), la cual se analiza al final del apdndice C.

(c) Fig. 13-17 (cont)

146

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

EJEMPLO 13.10 El doble anillo liso de 0.5 kg que se muestra en la figura 13-19a puede deslizarse libremente sobre el brazo AB y la barra guia circular. Si el brazo gira a una velocidad angular constante de 9 = 3 rad/s, determine la fuerza que el brazo ejerce sobre el anillo en el instante 9 = 45°. El movimiento ocurre en el piano horizontal. SOLUCI6N

Diagrama de cuerpo libre. La reaccidn normal Nc de la barra guia circular y la fuerza F del brazo AB actuan en el anillo en el piano del movimiento, figura 13-196. Observe que F actua perpendicular al eje del brazo ABy es decir, en la direccidn del eje 0, en tanto que N c b hace perpendicular a la tangente de la trayectoria arcular en 9 = 45°. Las cuatro incdgnitas son N0 F, a r y a e.

Ecuaciones de movimiento. +/*lLF r - ma r\ +\'ZFe = ma e\

-Nccos45° = (0.5kg)flr F - Ncsen

(1 )

45° = (0.5 kg) a e

(2)

Cinematica. Con la regia de la cadena (vea el apdndice C), la primera y segunda derivadas con respecto al tiempo de r cuando 9 = 45°, 9 = 3 rad/s, 9 = 0,son r = 0.8 cos 9 = 0.8 cos 45° = 0.5657 m r = -0.8 sen 9 9 = -0.8 sen 45°(3) = -1.6971 m/s r = -O.8[sen0 0+cos 9 9 2]

Fig. 13-19

= -0.8[sen 45°(0)+cos 45°(3 2)] = -5.091 m/s2

Tenemos a r = r — rO2 = -5.091 m/s2 - (0.5657 m)(3 rad/s) 2 = -10.18 m/s2 a e = r9 + 2r9 = (0.5657 m)(0) + 2(-1.6971 m/s)(3 rad/s) = -10.18 m/s2 Si sustituimos estos resultados en las ecuaciones (1) y (2) y resolve- mos, obtenemos

Nc = 7.20 N F=0

Resp.

Nc

= 19.5 N

FP

=

-0.356

N

Resp .

147

13.6 Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilindricas

EJEMPLO 13.11 El cilindro C liso de 2 kg de la figura 13-20a tiene un pasador P a travds de su centro el cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el piano vertical a una razdn constante 9 = 0.5 rad/s, determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante 0 = 60°. SOLUCI6N ^Por qud es una buena idea utilizar coordenadas polares para resolver este problema? Diagrama de cuerpo libre. H diagrama de cuerpo libre del cilindro se muestra en la figura 13-20a. La fuerza en la clavija, Fp, actua perpendicular a la ranura del brazo. Como siempre, se supone que a ry % actuan en las direcciones de r y 9 positivas, respectivamente. Identifique las cuatro inc6gnitas. Ecuaciones de movimiento. Con bs datos en la figura 13-206, tenemos +/'lFr = ma r\

19.62 sen 9 - Ncsen9 = 2a r

(1)

+\'ZFd = ma e\ 19.62 cos 9 + FP - Afccos 9 = 2a# (2) Cinematica. A partir de la figura 13-20a, r puede relacionarse con 9 por medio de la ecuacidn

r=

0.4 sen

= 0.4 esc 9

2 El signo Como d(esc negativo 9) = -(esc indica9que cot Fp 9)9actua d9 y d(cot opuesta 9) a=la-(esc direccidn 9)d9 ymostraentonces dary enlas la derivadas con respecto al tiempo necesarias son figura 13-206.

9 = 0.5

r = 0.4 esc 9

0=0

r = -O.4(csc0cot0)0 = -0.2 esc 0 cot 0 r = -O.2(-csc0cot0)(0)cot 0 - 0.2 esc 0(-esc2 0)0 = 0.1 CSC 0(cot2 0 + CSC2 0)

Al evaluar estas fdrmulas en 0 = 60°, obtenemos 0 = 0.5

r = 0.462

0=0

r = -0.133 r = 0.192 a r = r - r& = 0.192 - 0.462 (0.5 f = 0.0770

a e = rd + 270 = 0 + 2(-0.133) (0.5) = -0.133 Si sustituimos estos resultados en las ecuaciones 1 y 2 con 0 = 60° y resolvemos, se obtiene

(b) Fig. 13-20

148

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

EJEMPLO 13.12 Una lata Cde 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranura horizontal que se muestra en la figura 13-21 a. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual estd definida por la ecuacidn r = (O.10)m, donde 0 estd en radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante 0 = 4 rad/s en el piano horizontal, determine la fuerza que egerce en la lata en el instante 0 = 7r rad. Ignore la friccidn y el tamaflo de la lata. Ti-ayectoria de vuelo libre (a)

SOLUCI6N Diagrama de cuerpo libre. La fuerza impulsora F c actua perpendicular al brazo OAy en tanto que la fuerza normal a la pared de la ranura en la lata, N c, lo hace perpendicular a la tangente a la curva en 0 = 7r rad, figura 13-21 b. Como siempre, se supone que ar y a# actuan en las direcciones positivas de r y 0, respectivamente. Como la trayectoria estd especificada, el dngulo if/que la linea radial extendida r forma con la tangente, figura 13-21c, se determina con la ecuacidn 13-10. Tenemos r = 0.10, de modo que dr/d9 = 0.1, y por consiguiente r 0.10

k / Tangente

tan if/ = a*

(b)

=0

dr/dO 0.1

Cuando 0 = tt, if/ = tan*1 TT = 72.3°, de modo que = 90° - if/ = 17.7°, como se muestra en la figura 13-21c. Identifique las cuatro incdgni- tas en la figura 13-21 b. Ecuaciones de movimiento. Con = 17.7° y los datos de la figura 13-21/?, tenemos 2Fr = ma r\ +

Nccos 17.7° = 0.5a r

= ma e\

Cinematica.

Fc - JVcsen

(1)

17.7°= O.5n 0

(2)

Las derivadas con respecto altiempo de r y 0 son

0=

4 rad/s

r

= 0.10

0=

0

r

= 0.10 =0.1(4)

= 0.4

m/s

r = 0.10 = 0 En el instante 0 = TT rad, a r = r - z-02 = 0 - 0.1 (77-) (4)2 = -5.03 m/s2 ae = r$ + 2r$ = 0 + 2(0.4)(4) = 3.20 m/s 2 Al sustituir estos resultados en las ecuaciones 1 y 2 y resolver, resulta Nc = -2.64 N Fc = 0.800 N

Tangente c Q\x€

indica el signo negativo de NC1

Resp.

149

13.6 Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilindricas

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F13-13. Determine la velocidad angular constante 9 del poste vertical del juego mecdnico si = 45°. Ignore la masa de los cables y la estatura de los pasajeros.

F13-I5. El automdvil de 2 Mg toma la curva descrita por r = (SOe16) m, donde 9 estd en radianes. Si se colo- ca una cdmara en A y gira con una velocidad angular de 9 = 005 rad/s y una aceleracidn angular de \^— Trayectoria parabrilica

Trayectoria elfptica

159

160

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

Fig. 13-26

Orbita elfptica. Todas las trayectorias alcanzadas por los planetas y la mayoria de los satdlites son elfpticas, figura 13-26. Para la drbita de un satdlite alrededor de la Tierra, la distancia minima de la drbita al centro de la Tierra O (el cual se encuentra localizado en uno de los focos de la elipse) es rp y se determina con la ecuacidn 13-22 y 0 = 0°. Por consiguiente;

r

p = ro

(13-26)

Esta distancia minima se llama perigeo de la drbita. El apogeo o distancia mdxima ra se determina con la ecuacidn 13-22 y 0 = 180°.* Por tanto,

(13-27)

Con referencia a la figura 13-26, la mitad del eje mayor de la elipse es rP + ra a = -H-—

(13-28)

Por geometrfa analftica se puede demostrar que la mitad del eje menor se determina con la ecuacidn (13-29)

*En realidad, la terminologfa perigeo y apogeo tiene que ver s61o con 6rbitas alrededor de la Tierra. Si c distancias mfnimas y m^ximas se conocen respectivamente como periapsis y apoapsis de la 6rbita.

13.7

Movimiento de fuerza central Y mecAnica espacial

Ademds, mediante integracidn directa, el drea de una elipse es

A=

TTCib

= ^(rp + ra)Vtya

(13-30)

La ecuacidn 13-13 definid la velocidad areal, dA/dt = h/2. Al integrar se obtiene A = h 7/2, donde 7‟esel periodo para realizar una revolucidn orbital. Segun la ecuacidn 13-30, el periodo es

(13-31)

Ademds de predecir la trayectoria orbital de satdlites terrestres, la teoria desarrollada en esta seccidn es vdlida, hasta una aproximacidn sorprendentemente cercana, al predecir el movimiento real de bs pla- netas que viajan alrededor del Sol. En este caso, la masa del Sol, Af s, se debia sustituir por M e cuando se utilicen las fdrmulas apropiadas. El hecho de que los planetas sigan drbitas elipticas alrededor del Sol fue descubierto por el astrdnomo abmdn Johannes Kepler a principios del siglo XVII. Realizd su descubrimiento antes de que Newton hubiera desarrollado las byes del movimiento y la ley de la gravitacidn y por tanto con el tiempo constituyd una importante comprobacidn de la validez de estas leyes. Las leyes de Kepler, desarrolladas despuds de 20 aftos de observacidn planetaria, se resumen como sigue:

1.

Todo planeta viaja en su drbita de tal suerte que la linea que lo une con el centro del Sol barre dreas iguales a intervabs iguales, cualquiera que sea la longitud de la linea.

2.

La drbita de todo planeta es una elipse con el Sol colocado en uno de sus focos.

3.

El cuadrado del periodo de cualquier planeta es directamente proportional al cubo del eje mayor de su drbita.

Las ecuaciones 13-13 y 13-22 dan un enunciado matemdtico de la primera y segunda leyes, respectivamente. La tercera ley puede com- probarse con la ecuacidn 13-31 mediante las ecuacbnes 13-19,13-28 y 13- 29 (vea el problema 13-116).

161

162

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

EJEMPLO 13.13 Se lanza un satdlite a 600 km de la superficie terrestre, con una velocidad inicial de 30 Mm/h que actua paralela a la tangente en la superficie terrestre, figura 13-27. Suponga que el radio de la Tierra es de 6378 km y que su masa es de 5.976(10 2 ) kg, y determine (a) la excentricidad de la trayectoria orbital y (b) la velocidad del satdlite en el apogeo.

SOLUCI6N

Parte (a). La excentricidad de la drbita se obtiene con la ecuacidn 1318. Primero se determinan las constantes hy C con las ecuaciones 13-20 y 13-21. Como rp = r0 = 6378 km + 600 km = 6.978(10 6) m y0 = 30 Mm/h

Vo = 30 Mm/h = 8333.3 m/s

entonces

600 km

Fig. 13-27

h = rpvo = 6.978(10 6) (8333.3) = 58.15 (109) m2/s P V r %) GM e r

p

66.73(10_12)[5.976(1024)]

1

}=25. 4(10~9) m

6.978( 106) (8333.3 )2

6.978(106) I Por consiguiente, Ch 1 e=

_________ 2.54(10~8) _______ [58.15 (109)f GM e ~ 66.73( 10-12) [5.976( lO24)]

= 0.215 < 1 Resp.

Por la ecuacidn 13-23, se ve que la drbita es una elipse. Parte (b). Si el satdlite hubiera sido lanzado en el apogeo A que se muestra en la figura 13-27, con una velocidad v A, se mantendria la misma drbita siempre que h - rpvo = ravA = 58.15 (109) m2/s Por la ecuacidn 13-27, tenemos 6.978(10 ) r

“ 2 GM,

2[66.73(10“ )I5.976(10 )]

rpvl

= 10.804(106) 1

6.978(106) (8333.3)2

Por tanto, 58.15 (109) vA

10.804(106)

= 5382.2 m/s = 19.4 Mm/h Resp.

NOTA: cuanto mds se aleja el satdlite de la Tierra, mds lento se mueve, lo que era de esperarse, puesto que h es constante.

13.7

Movimiento de fuerza central y mecAnica espacial

163

PROBLEMAS En los siguientes problemas, excepto en los que se indi- que lo contrario, suponga que el radio de la Tierra es de 6378 km, que su masa es de 5.976 (1024) kg, que la masa del Sol es de 1.99 (1030)kg y que la constante gravitacio- nal es G = 66.73 (10-12) m3/(kg • s2).

13119. El satdlite se mueve en una drbita elfptica con una excentricidad e = 0.25. Determine su velocidad cuando estd en su distancia mdxima A y distancia minima B de la Tierra.

*13-116. Compruebe la tercera ley del movimiento de Kepler. Sugerencia: use las ecuaciones 13-19, 13-28, 13-29 y 13-31. •13-117. El explorador Viking se aproxima al planeta Marte en una trayectoria parabdlica como se muestra. Cuando llega al punto A su velocidad es de 10 Mm/h. Determine r0 y la velocidad requerida en A de modo que pueda mantenerse entonces en una drbita circular como se muestra. La masa de Marte es 0.1074 veces la masa de la Tierra. Prob. 13-119 * 13-120. Se lanza el transbordador espacial con una velocidad de 17 500 mi/h paralela a la tangente de la superficie terrestre en el punto P y en seguida viaja alrededor de la drbita elfptica. Cuando llega al punto A, sus motores se encienden y su velocidad se incrementa de repente. Determine el incremento de velocidad requerido de modo que entre en la segunda drbita elfptica. Considere G = 34.4(10“9) pies4/lb • s4, M e = 409(W')slug y r e =3960 mi. donde 5280 pies = mi.

1500 mi

Prob. 13-117 4500 mi

13118. El satdlite describe una 6rbita elfptica alrededor de la Tierra como se muestra. Determine su velocidad en el perigeo Py en apogeo A y el periodo del satdlite.

Prob. 13-120 •13-121. Determine el incremento de velocidad del transbordador espacial en el punto P de modo que viaje desde una drbita circular hasta una drbita elfptica que pasa por el punto A. Adem£s, calcule la rapidez del transbordador en A.

8 Mm 2 Mm

Prob. 13-118

Prob. 13-121

164

CAPITULO 13 CINDTICA DE UNA PARTICULA: RJERZA Y ACELERACION

13122. El cohete vuela libremente a lo largo de una trayectoria elfptica A'A. El planeta no tiene atmdsfera y su masa es 0.60 veces la de la Tierra. Si la drbita tiene el apoapsis y periapsis mostrados, determine la velocidad del cohete cuando estd en el punto A. Considere G = 34.4(10~9)(lb • pie2)/slug2, M e = 409(1021) slug, 1 mi = 5280 pies.

13127. Un cohete se encuentra en una drbita elfptica de vuelo libre alrededor de la Tierra de modo que la excentricidad de su drbita es e y su perigeo es r0. Determine el incremento mfnimo de rapidez que deberd tener para esca- par del campo gravitacional de la Tierra cuando estd en este punto a lo largo de su drbita.

13123. Si el cohete va a aterrizar en el superficie del planeta, determine la velocidad de vuelo libre que debe tener en A' de modo que aterrice en B. la longitud del segmento diferencial a lo largo de la trayectoria. Si el £nguk> entre las colas de dr y F es 0, figura 14-1, entonces el trabajo realizado por F es una cantidad escalar, definida por

dU = Fds cos 0

F

Fig. 14-1

170

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

Por definicidn del producto punto esta ecuacidn tambidn puede escri- birse como dU = ¥• dr

Fig. 14-1

Este resultado puede interpretarse en una de dos maneras: o como d producto de Fy el componente de desplazamiento ds cos 0 en la direccidn de la fuerza, o como el producto de ds por el componente de fuerza, F cos 0, en la direccidn del desplazamiento. Observe que si 0° =£ 0 < 90°, entonces el componente de fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, de modo que el trabajo es positivo; en tanto que si 90° < 9 ^ 180°, estos vectores tendrdn sentido opuesto, y por consiguiente el trabajo es negativo. Ademds, dU = 0 si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, puesto que cos 90° = 0,o si la fuerza se aplica en un punto fijo, en cuyo caso el desplazamiento es cero. La unidad de trabajo en unidades SI es el joule (J) el cual es la cantidad de trabajo realizada por una fuerza de un newton cuando recorre una distancia de un metro en la direccidn de la fuerza (1 J = 1 N • m). En el sistema FPS, el trabajo se mide en unidades libra-pie (pie • libra), que es el trabajo realizado por una fuerza de una libra que actua a lo largo de una distancia de un pie en la direccidn de la fuerza*

Trabajo de una fuerza variable. Si la partfcula en la que actua una fuerza F sufre un desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria de ri a r2o de si a s2, figura 14-2a, el trabajo de la fuerza F se determina mediante integracidn. Siempre que F y 0 puedan expre- sarse en funcidn de la posicidn, entonces

(14-1)

En ocasiones, esta relacidn se obtiene por medio de datos experi- mentales para trazar la grdfica de Fcos 0 vs. s. Entonces, el drea bajo la grdfica limitada por s\ y s2 representa el trabajo total, figura 14-2b.

ds (a)

(b)

Fig. 14-2

*Por convenci6n, las unidades del momento de una fuerza o par de torsi6n se escriben como lb • pies, para distinguirlas de aquellas que significan trabajo, pies • lb.

171

14.1 TRABAJO DE UNA FUERZA

F CQS G

F C CQS 6

S 2 (b) Fig. 14-3

Trabajo de una fuerza constante que se mueve a lo largo de una linea recta. Si la magnitud de la fuerza F c es constante y actua a un dngulo constante 9 con respecto a su trayectoria de linea recta, figura 14-3a, entonces el componente de F c en la direccidn del desplazamiento siempre es Fc cos 9. El trabajo realizado por Fc cuando la particula se desplaza de s\ a S 2 se determina con la ecuacidn 14-1, en cuyo caso £/,_? = Frcos 9 I ds

/■ JSi

U\-2 ~ FCCOS9(S2 ~

(14-2)

Aqui Fc representa el drea del rectangulo en la figura 14-36.

Trabajo de un peso. Considere una particula de peso W,el cual se desplaza a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura 14-4 de la posicidn s\ a s2. En un punto intermedio, el desplazamiento dr = dxi + dyj + dzk. Como W = -Wj, al aplicar la ecuacidn 14-1 tenemos _2 = y V * d r = y ^ (-Wj) * (dxi + dy\ + dzk) U i =

[ ~Wdy= -Wix-yi)

Jyi

w 1 dr

Ui - 2 = ~W Ay

*2/

(14-3)

Por tanto, el trabajo es independiente de la trayectoria y es igual a la magnitud del peso de la particula por el desplazamiento vertical. En el caso mostrado en la figura 14-4 el trabajo es negativo, puesto que W actua hacia abajo y Ayes hacia arriba. Observe, sin embargo, que si la particula se desplaza hacia abajo (-Ay), el trabajo del peso es positivo. tjPor qud?

/ y\

2

\l

Fig. 14-4

yi

172

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

Trabajo de una fuerza de resorte. Si un resorte eldstico se alarga una distancia dsy figura 14-5a y entonces el trabajo realizado por la fuerza que actua en la particula adjunta es dU = -Fsds = -ks ds. El trabajo es negativo puesto que ¥ s actua en el sentido opuesto a ds. Si la particula se desplaza de si a s2y el trabajo de Fs es por tanto

/

s2

*s 2

Fsds = / -ks ds U l - 2 = Jsi -(2*^ “ 2 ksl)

1 4

(144)

Este trabajo representa el drea trapezoidal bajo la linea Fs = ksy figura 14-5/?. Para no cometer errores en el signo cuando se aplica esta ecuacidn, basta fijarse en la direccidn de la fuerza de resorte que actua en la particula y compararla con el sentido del desplazamiento de dsta; si ambos actuan en el mismo sentido, el trabajo es positivo; si lo hacen opuestos entre si, el trabajo es negativo.

R)sici6n sin que el resorte esl6 alargado, 5 = 0

F s

d s

Fuerza en la partfcula

(b)

(a) Fig. 14-5

Las fuerzas que actuan en la carreti- 11a al jalarla cuesta arriba una distancia s, se muestran en su diagrama de cuerpo libre. La fuerza en el remolque T realiza un trab 4>)sy el peso realiza trabajo negativo Uw = -(W sen 0)s, y la fuerza normal N no realiza trabajo puesto que no se desplaza a lo largo de su linea de acd on.

N

14.1 TRABAJO DE UNA FUERZA

El bloque de 10 kg de la figura 14-6a descansa sobre el piano inclinado. Si el resorte originalmente estd alargado 0.5 m, determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actuan en el bloque cuando una fuerza horizontal P = 400 N lo empuja cuesta arriba s = 2 m.

2 sen 30°i

SOLUCI6N Primero se traza el diagrama de cuerpo libre del bloque con todas las fuerzas que actuan en el bloque, figura 14-6b. Fuerza horizontal P. Como esta fuerza es constante, el trabajo se determina con la ecuacidn 14-2. El resultado puede calcularse como la fuerza por el componente del desplazamiento en la direccidn de la fuerza, es decir,

(a)

Up = 400 N (2 m cos 30°) = 692.8 J o el desplazamiento por el componente de fuerza en la direccidn del desplazamiento, es decir,

P = 400N

Up = 400 N cos 30°(2 m) = 692.8 J (b)

Fuerza del resorte Fs. En la posicidn inicial el resorte estd alar gado si = 0.5 m y en la posicidn final estd alargado S2 = 0.5 m + 2 m = 2.5 m. Requerimos que el trabajo sea negativo puesto que la fuerza y el desplazamiento se oponen entre si. El trabajo de F s es por tanto Us = -[£(30 N/m)(2.5 m)2 - £(30 N/m)(0.5 m)2] = -90 J Peso W. Como el peso actua en el sentido opuesto a su desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Uw = -(98.1 N) (2 m sen 30°) = -98.1 J Observe que tambidn es posible considerar el componente del peso en la direccidn del desplazamiento, es decir, Uw = -(98.1 sen 30° N) (2 m) = -98.1 J Fuerza normal NB. Esta fuerza no iealiza trabajo puesto que siempre es perpendicular al desplazamiento. Trabajo total. El trabajo de todas las fuerzas cuando el bloque se desplaza 2 m es por consiguiente UT = 692.8 J - 90 J - 98.1 J = 505 J Resp.

Fig. 14-6

173

174

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

14.2

Principio de trabajo y energfa

Considere la particula que aparece en la figura 14-7, localizada en la trayectoria definida con respecto a un sistema de coordenadas inercial. Si la particula tiene una masa my se somete a un sistema de fuerzas externas, representado por la fuerza resultante ¥ R = 2F, entonces la ecuacidn de movimiento de la particula en la direccidn tangencial es 'ZF, = ma,. Si aplicamos la ecuacidn cinematica a, = v dv/ds e integramos ambos lados y suponemos que inicialmente la particula tiene una posicidn s = sxy una rapidez v = V\y despudss = s2y v = v 2tenemos Fig. 14-7

pS2 pVi / Ftds = / mvdv

Jsis

Jv1

r 2 I F,ds = \mv2 - \mv\

Jsx

(14-5)

En la figura 14-7, observe que 'IF, = ZF cos 9 y puesto que la ecuacidn 14-1 define el trabajo, el resultado final se escribe como

(14-6)

Esta ecuacidn representa el principio de trabajo y energiapara. la particula. El tdrmino del lado izquierdo es la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas que actuan en la particula cuando dsta se mueve del punto 1 al punto 2. Los dos tdrminos del lado derecho, cuya forma es 7 = definen la energia cinetica final e inicial, respectivamente. Como el trabajo, la energia cindtica es un escalar y sus unidades son joules (J) y lb ■ pie. Sin embargo, a diferencia del trabajo, que puede ser o positivo o negativo, la energia cindtica siempre es positiva, sin importar la direccidn del movimiento de la particula. Cuando se aplica la ecuacidn 14-6, a menudo se expresa como

7, + ZUi- 2 = T2

(147)

la cual establece que la energia cindtica inicial de la particula, mds el trabajo realizado por todas las fuerzas que actuan en ella cuando se mueve de su posicidn inicial a su posicidn final, es igual a la energia dndtica final de la particula. Como se sefiald en la derivacidn, el principio de trabajo y energia representa una forma integrada de 'IF, = ma, y con que se obtuvo por la ecuacidn cinemdtica a, = v dv/ds. Por consiguiente, este principio cons- tituye una sustitucion oonveniente de 'IF, = ma, cuando se resuelven problemas cindticos que implican ]uerza y velocidad y desplazamiento, puesto que estas cantidades intervienen en la ecuacidn 14-7. Para su aplicacidn, se sugiere el siguiente procedimiento.

14.2

Procedimiento para el analisis Trabajo (Diagrama de cuerpo libre).

• Establezca el sistema de coordenadas inerdal y trace un diagrama de cuerpo libre donde aparezcan todas las fuerzas que realizan trabajo en la partfcula cuando se mueve a lo largo de su trayectoria.

Principio de trabajo y energfa.

•

Aplique el principio de trabajo y energfa, Tx + '1UX _ 2 = T2.

•

La energfa cindtica en los puntos inicial y final siempre es positfva,puesto que implica la velocidad al cuadrado (j = \mv2).

•

Una fuerea realiza trabajo cuando se desplaza en la direccidn de la fuerza.

• H trabajo es positivo cuando el componente de fuerza actua en el mismo sentido de direction como su desplazamiento, de lo oontrario es negativo. • Las fuerzas que son funckmes del desplazamiento deben integrate para obtener el trabajo. Grdficamente, el trabajo es igual al drea bajo la curva de fuerza-desplazamiento. •

El trabajo de un peso es el producto de su magnitud por el desplazamiento vertical, Uw = ± Wy. Es positivo cuando el peso se mueve hacia abajo.

•

El trabajo de un resorte tiene la forma U s = \ks1y donde k es la rigidez del resorte y s es su alargamiento o compresidn.

La aplicacidn numdrica de este procedimiento se ilustra en los ejem plos dados despuds de la secckm 14.3.

Si un automovil choca con estos barriles de proteccion, su energfa cinetica se transformara en trabajo, lo que hace que los barriles, y hasta cierto grado el automovil, se deformen. Si conocemos la cantidad de energfa que puede absorber cada barril, es posible que disenemos un parachoques como este.

PRIMCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA

175

176

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

14.3

Principio de trabajo y energfa para un sistema de particulas

El principio de trabajo y energia puede ampliarse para incluir un sistema de particulas aislado adentro de un espacio cerrado como se muestra en la figura 148. Aqui la particula i-dsima arbitraria, de masa m h estd sometida a una fuerza externa resultante F, y a una fuerza interna resultante f, que todas las demds particulas ejercen en la particula i-d.sima. Si aplicamos el principio de trabajo y energia a dsta y a cada una de las demds particulas que componen el sistema, entonces, puesto que el trabajo y la energia son cantidades escalares, las ecuaciones se suman algebraicamente, lo que da

£7*1 + £i/1_2 — £7*2

(14-8)

En este caso, la energia cindtica inicial del sistema, ademds del trabajo realizado por todas las fuerzas externas e internas que actuan en el sistema, es igual a la energia cindtica final del sistema. Si el sistema representa un cuerpo rigido en movimiento, o una serie de cuerpos en movimiento conectados, entonces todas las particulas de cada cuerpo experimentardn el mismo desplazamiento. Por consiguiente, el trabajo de todas las fuerzas internas tendrd lugar en pares colinea- les iguales pero opuestos y por tanto se cancelan. Por otra parte, si se supone que el cuerpo es no rigido, sus particulas pueden desplazarse a b largo de trayectorias diferentes, y una parte de la energia producida por las interacciones de las fuerzas se disipard y perderd como calor o se almacenard en el cuerpo si ocurren deformaciones permanentes. Analizaremos estos efectos brevemente al final de esta seccidn y en la secci6n 15.4. A lo largo de este texto, sin embargo, se aplicard el principio de trabajo y energia a problemas en los que no se tienen que considerar tales pdrdidas de energia.

Fig. 14-8

14.3

177

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA PARA UN SISTEMA DE FARTICULAS

T rabajo de friccidn originado por deslizamiento. Aeontinuacidn investigaremos una clase especial de problemas que requiere una cuidadosa aplicacidn de la ecuacidn 14-8. Estos problemas implican casos en los que un cuerpo se desliza sobre la superficie de otro cuando hay friccidn. Considere, por ejemplo, un bloque que se traslada una distancia s sobre una superficie dspera como se muestra en la figura 14-9a. Si la fuerza aplicada P apenas balancea la fuerza de friccidn resultante p kNy figura 14-9/?, entonces, debido al equilibrio, se mantiene una velocidad constante v y esperariamos que se aplicara la ecuacidn 14-8 como sigue:

(a )

w ^mv2 + Ps

p kNs = {mv1 F = nkN

No obstante, esta ecuacidn se satisface si P = p kN\ sin embargo, como se sabe por experiencia, el deslizamiento generara calor y una forma de energia que parece no estar considerada en la ecuacidn de traba- jo-energia. Para explicar esta paradoja y de esa manera representar con mds precisidn la naturaleza de la friccidn, en realidad tendriamos que modelar el bloque de modo que las superficies en contacto sean deformables (no rigidas).* Recuerde que las partes dsperas en la parte inferior del bloque actuan como “dientes” y cuando el bloque se desliza estos dientes se deforman un poco y o se rompen o vibran al ser jalados por “dientes” en la superficie de contacto, figura 14-9c. Por consiguiente, las fuerzas de friccidn que actuan en el bloque en estos puntos se desplazan ligeramente a causa de las deformaciones localizadas y mds adelante las reemplazan otras fuerzas de friccidn cuando se forman otros puntos de contacto. En todo momento, la F resultante de todas estas fuerzas de friccidn en esencia permanece constante, es decir, Pi^N'y sin embargo, debido a las muchas deformaciones localizadas, el desplazamiento real s' de p kN no es el mismo que el desplazamiento s de la fuerza aplicada P.En lugar de eso, s‟ serd menor que s (s' < 5), y por consiguiente el trabajo externo realizado por la fuerza de friccidn resultante serd pLgNs1 y no p kNs. La cantidad de trabajo restante, p kN(s - s'), se manifiesta como un incremento de la energia interna y la cual hace en realidad que se eleve la temperatura del bloque. En suma entonces, la ecuacidn 14-8 se aplica a problemas que implican friccidn producida por deslizamiento; sin embargo, hay que entender que el trabajo de la fuerza de friccidn resultante no estd representada por p kNs\ antes bien, este tdrmino representa tanto el trabajo externo producido por friccidn Qti*/Vs') comoe 1 trabajo interno [p kN(s - s')] el cual se convierte en varias formas de energia interna, como calor.t

*Vea el capftulo 8 de bigenierta Mecdnica: Estdtica. tVea B.A. Sherwood y W.H. Bernard, “Work and Heat Transfer in the Presence of Sliding Friction”, Am. J. Phys. 52, 1001, 1984.

N

(b)

(C) Fig. 14-9

2

= (20 pies/s)2 + 2(-10.3 pies/s2)(s - 0)

178

s

= 19.5 pies

Resp.

CAPITULO 14 CIN£TICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

EJEMPLO 14.2 20 pies/s

El automdvil de 3500 lb de la figura 14-10a viaja cuesta abajo de la carretera inclinada 10° a una rapidez de 20 pies/s. Si el conductor aplica los frenos y hace que las ruedas se bloqueen, determine qud distancia s patinan las flantas en la carretera. El coeficiente de fric- ddn cindtica entre las llantas y la carretera es p k = 0.5. SOLUCI6N

Este problema se resuelve por medio del principio de trabajo y energia puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento. Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en la figura 14-10/?, la fuerza normal no realiza trabajo puesto que nunca se desplaza a lo largo de su lmea de acckm. El peso, 3500 lb, se desplaza s sen 10° y realiza trabajo positivo. W = 2.50(103)(9.81)N, por lo que habrd movimiento. Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 14-11 b, la fuerza F realiza trabajo positivo, que se determina mediante integracidn puesto que esta fuerza es variable. Ademds, el peso es constante y realizard trabajo negativo ya que el desplazamiento es hacia arriba. Principios de trabajo y energfa. 7i + I,Ui-2= T 2 0 + / (28 + 3s2)(103) ds - (2.50)(103)(9.81)s = |(2.50)(lO3)^2 Jo

28(103)s + (10V - 24.525(10 3)s = 1.25(10 3)v2

(1 )

v = (2.78s + 0.8S )5 3

Cuando s = 3 m, v = 5.47 m/s

Resp.

Cinematica. Como podemos expresar la velocidad en funcidn del desplazamiento, el tiempo se determina con v = ds/dt. En este caso,

Fig. 14-11

3yy _ dt (2.785 + 0.8sy = = /- Jo (2.

ds (2.785 + 0.85 3 )^

La integracidn se realiza numdricamente con una calculadora de bolsillo. El resultado es t = 1.79 s

(b)

Resp.

NOTA: la aceleracidn de la viga se determina al integrar la ecuacidn (0) por medio de v dv = a ds, o mds directamente, al aplicar la ecua- adn de movimiento 2F = ma.

180

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

EJEMPLO 14.4 La masa de la plataforma P de la figura 14-12a es insignificante y estd atada por abajo, de modo que las cuerdas de 0.4 m de largo man- tienen comprimido 0.6 m un resorte de 1 m de largo cuando no hay nada sobre la plataforma. Si se coloca un bloque de 2 kg sobre la plataforma y se libera del punto de reposo despuds de que la plataforma se empuja hacia abajo 0.1 m, figura 14-126, determine la altura mdxima h que el bloque se eleva en el aire, medida desde el suelo.

k = 200 N/m

(a)

(b) Fig. 14-12

SOLUCI6N

J 1L

19.62 N

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como el bloque se suelta del punto de reposo y despuds alcanza su altura mdxima, las veloci- dades inicial y final son cero. El diagrama de cuerpo libre del bloque cuando aun estd en contacto con la plataforma se muestra en la figura 14-12c. Observe que el peso realiza trabajo negativo y la fuerza del resorte trabajo positivo. ^Por qud? En particular, la com- presion inicial en el resorte es s\ = 0.6 m + 0.1 m = 0.7 m. Debido a las cuerdas, la compresion final del resorte es s2 = 0.6 m (despuds de que el bloque sale de la plataforma). La cara inferior del bloque se deva desde una altura de (0.4 m - 0.1 m) = 0.3 m hasta una altura final h. Principio de trabajo y energia. T i + Sl/x-2 = T 2

•

(c)

\mv[ + {-(5^5i - \ks\) ~ W Ay} = \mV2 Observe que aquf sx = 0.7 m >s2 = 0.6 m y por tanto el trabajo del resorte determinado con la ecuacidn 14-4 serd positivo una vez que se realizan los cdlculos. Por tanto, 0 + {-[1(200 N/m)(0.6 m)2 - |(200 N/m)(0.7 m)2]

- (19.62 N)[/i - (0.3 m)]} = 0 Al resolver se obtiene

h = 0.963 m

Resp.

14.3

181

Principio de trabajo y energIa para un sistema de fartIculas

EJEMPLO El muchacho de 40 kg en la figura 14- 13a se desliza cuesta abajo del tobogdn acu£tico. Si parte del punto de reposo en A, determine su rapidez cuando flega a By la reaccidn normal que el tobogdn ejerce en esta posicidn.

(a) SOLUCI6N

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 14-13/?, dos fuerzas actuan en el muchacho al descender por el tobogdn. Observe que la fuerza normal no realiza trabajo. Principio de trabajo y energia. TA + 'ZUA-B - TB 0 + (40(9.81)N)(7.5 m) =|(40kg)i^ VB = 12.13 m/s = 12.1 m/s

Resp. (b)

Ecuacion de movimiento. Al referimos al diagrama de cuerpo Kbre cuando el muchacho est£ en By figura 14-13c, la reaccidn normal se obtiene ahora al aplicar la ecuacidn de movimiento a lo largo del eje n. Aqui, el radio de curvatura de la trayectoria es 40(9.81) N 3/2

1+ P B

2

\d 2y/dx

2 3/2

[l + (0.15 JC) ] |0.15|

= 6.667 m *= o N*

\

tanto, +Por T2F„ = man;

(c)

(12.13 m/s)2 NB - 40(9.81) N = 40 kg^ NB = 1275.3 N = 1.28 kN

Rg. 14-13

6.667 m Resp.

182

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

EJEMPLO 14.6 Piano dc

SB

La masa de los bloques Ay B que se muestran en la figura 14-14a es de 10 kg y 100 kg, respectivamente. Determine la distancia que B se desplaza cuando se suelta desde el punto de reposo hasta el punto donde su rapidez es de 2 m/s. SOLUCI6N

B 100 kg

10 kg

(a)

Este problema se resuelve si se consideran los bloques por separado y se aplica el principio de trabajo y energfa a cada bloque. Sin embargo, el trabajo de la tensidn del cable (desconocida) se elimina si los bloques A y B se consideran como un solo sistema. Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del sistema, figura 14-146, la fuerza del cable T y las reacciones Ri y R2 no realizan trabajo, ya que estas fuerzas representan las reacciones en los soportes y por consiguiente no se mueven mientras los bloques se desplazan. Los dos pesos realizan trabajo positivo si suponemos que ambos se mueven hacia abajo en el sentido positivo de sAysB. Principio de trabajo y energia. Si tenemos en cuenta que los bloques se sueltan del punto de reposo, tenemos

J.Tt + si71_2= sr2 {jm A(vA)j + \m B{vB)\} + {W A ASA + W B AsB} =

981 N

A

ll

{{m A{vA)\ + \m B{vB)l} {0 + 0} + {98.1 N ( A S a ) + 981 N (Aja)} =

98.1 N

(b) Fig. 14-14

{1(10 kgX®*)! + X100 k8)(2 m/s)2}

(1)

Cinematica. Al usar los mStodos de cinematica analizados en la seccidn 12.9 en la figura 14-14a se ve que la longitud total / de todos bs segmentos verticales de cable pueden expresarse en funcidn de las coordenadas de posicidn sA y sB como SA + 4s B = I Pbr consiguiente, un cambio de posicidn en la ecuacidn de desplazamiento resulta en

ASA + 4 AsB = 0 A sA = -4 A sB Aquf vemos que un desplazamiento hacia abajo de un bloque produce un desplazamiento hacia arriba del otro bloque. Observe que ASA y AsB deben tener la misma convencidn de signos en las ecua- dones 1 y 2. Al considerar las derivadas con respecto al, tiempo se obtiene vA = ~4 VB = -4(2 m/s) = -8 m/s (2) Al conservar el signo negativo en la ecuacidn 2 y sustituirio en la ecuacidn 1 resulta

A sB = 0.883 m i

Resp.

14.3

183

Principio de trabajo y energIa para un sistema de fartIculas

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F14-1. El resorte se coloca entre la pared y el bloque de 10 kg. Si 6ste se somete a una fuerza F = 500 N, determine su velocidad cuando s = 0.5 m. Cuando s = 0, el bloque est£ en reposo y el resorte no est£ comprimido. La superficie de contacto es lisa.

F14-4. El dragster de 1.8 Mg se desplaza a 125 m/s cuando el motor se apaga y el paracafdas se abre. Si la fuerza de frenado del paracafdas puede ser representada de forma aproximada por la gr£fica, determine la rapidez del dragster cuando ha recorrido 400 m. F D {kN)

k = 500 N/m

F14-1 F14-2. Si el motor ejerce una fuerza constante de 300 N en el cable, determine la rapidez del embalaje de 20 kg cuando recorre s = 10 m hacia arriba del piano, a partir del punto de reposo. El coeficiente de friccidn cin6tica entre el embalaje y el piano es = 0.3.

F14-4 F14-5. Cuando s = 0.6 m, el resorte no est£ compri- mido y la rapidez del bloque de 10 kg es de 5 m/s hacia abajo del piano. Determine la distancia scuando el bloque se detiene.

F14-2 F14-3. Si el motor ejerce una fuerza F — (600 + 2s2) N en el cable, determine la rapidez del embalaje de 100 kg cuando se eleva a s = 15 m. Inicialmente el embalaje est£ en reposo en el suelo.

F14-5 F14-6. Al collarfn de 5 lb lo jala por una cuerda que pasa alrededor de una pequefla clavija en C. Si la cuerda se somete a una fuerza constante F = 10 lb y el collarfn est£ en reposo cuando est£ en A, determine su rapidez cuando llega a B. Ignore la fricci6n.

15 m

F= 101b

F14-3

F14-6

184

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

PROBLEMAS •14-1. Un embalaje de 1500 lb se jala a lo largo del suelo a una rapidez constante durante una distancia de 25 pies por medio de un cable que forma un Angulo de 15° con la horizontal. Determine la tensidn en el cable y el trabajo realizado por esta fuerza. El coeficiente de friccidn cindtica entre el suelo y el embalaje es /x* = 0.55.

*14-4. Cuando se dispara un proyectil de 7 kg con un caftdn de 2 m de longitud, la fuerza del explosivo ejercida en el proyectil mientras estd en el caftdn varfa como se muestra. Determine la velocidad de salida aproximada del proyectil en el momento en que sale del caftdn. Ignore los efectos de friccidn en el interior del caftdn y suponga que el caftdn estd en posicidn horizontal.

14-2. El movimiento de un bote de 6500 lb es impedido por un parachoques que proporciona una resistencia como se muestra en la grdfica. Determine la distancia mdxima que el bote mella el parachoques si su rapidez de aproxi- macidn es de 3 pies/s.

F(M

a

N)

F(lb)

15 1 0

| v = 3 pies/s s( pies)

V 4\ I

02 0.4 0.6 0.8 1.0 12 1.4 1.6 1.8 2.0 Prob. 14-2

14-3. El tapdn pesa 20 lb y es empujado contra una serie de rondanas de resorte Belleville de modo que la compre- sidn en el resorte es s = 0.05 pies. Si la fuerza del resorte en el tapdn es F = (3s1/3) lb, donde s estd en pies, determine la rapidez del tapdn despuds de que se aleja del resorte. Ignore la friccidn.

Prob. 14-3

-s (m)

Prob. 14-4

•14-5. El bloque de 1.5 kg se desliza a lo largo de un piano liso y choca con un resorte no lineal con una rapidez de v = 4 m/s. El resorte se denomina “no lineal” porque su resistencia es F s = ks 2, donde k = 900 N/m2. Determine la rapidez del bloque despuds de que comprime el resorte s = 0.2 m.

Prob. 14-5

14.3

185

Principio de trabajo y energIa para un sistema de fartIculas

14-6. Cuando el conductor aplica los frenos de una camioneta que viaja a 10 km/h, dsta se desliza 3 m antes de detenerse. ^Qud distancia patina la camioneta si su veloci- dad es de 80 km/h cuando se aplican los frenos?

•14-9. La rigidez de los resortes AB y CD es k = 300 N/m y k' = 200 N/m, respectivam suelta del punto de reposo cuando los resortes no estdn alargados, determine la rapidez de

Prob. 14-6

F= 150 N

14-7. El bloque de 6 lb se suelta del punto de reposo en A y se desliza hacia abajo de la superficie parabdlica lisa. Determine la compresidn maxima del resorte.

2 pies

600 mm -

-

600 mm

Prob. 14-9

Prob. 14-7

*14-8. La longitud no alargada del resorte de la pistola de juguete es de 100 mm, se comprime y bloquea en la posicidn mostrada. Cuando se tira del gatillo, el resorte se descomprime 12.5 mm y la bola de 20 g se mueve a lo largo del caftdn de la pistola. Determine la rapidez de la bola cuando sale de la pistola. Ignore la friccidn.

14-10. La velocidad del automdvil es V\ = 100 km/h cuando el conductor ve un obstdculo frente al automdvil cuya masa es de 2 Mg. Le toma 0.75 s para reaccionar y aplicar los frenos, lo que hace que el automdvil pati- ne; determine la distancia que el automdvil recorre antes de detenerse. El coeficiente de friccidn cindtica entre las llantas y la carretera es fi k = 0.25. 14-11. La velocidad del automdvil es v x = 100 km/h cuando el conductor ve un obstdculo frente al automdvil cuya masa es de 2 Mg. Le toma 0.75 s para reaccionar y aplicar los frenos, lo que hace que el automdvil patine. Si el automdvil se detiene cuando ha recorrido una distancia de 175 m, determine el coeficiente de friccidn cindtica entre las llantas y la carretera.

50 mm k =2kN/m V\ = 100 km/h

Prob. 14-8

Probs. 14-10/11

s(

m)

186

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

*14-12. El bloque de 10 lb se suelta del punto de reposo en A. Determine la compresidn de cada uno de los resortes despuds de que el bloque choca con la plataforma y se detiene momenttineamente. En un principio ambos resortes no estdn alargados. Suponga que la masa de la plataforma es insignificante.

14-14. La magnitud de la fuerza Fque acttia en una direccidn constante en el bloque de 20 kg varfa con la posicidn s de dste. Determine qud tanto se desliza el bloque antes de que su velocidad sea de 5 m/s. Cuando s = 0 el bloque se estd moviendo a la derecha a 2 m/s. El coeficiente de friccidn cindtica entre el bloque y la superficie es /x* = 0.3. 14-15. La magnitud de la fuerza F que acttia en una direccidn constante en el bloque de 20 kg varfa con la posicidn 5 de dste. Determine la rapidez del bloque despuds de que se desliza 3 m. Cuando s = 0 el bloque se mueve a la derecha a 2 m/s. El coeficiente de friccidn cindtica entre el bloque y la superficie es fi k = 0.3.

50s2

Prob. 14-15

14-13. Determine la velocidad del bloque A de 60 lb si los dos bloques se sueltan del punto de reposo y el bloque B de 40 lb se mueve 2 pies hacia arrib 14-16. Se =lanza El coeficiente de friccidn cindtica entre ambos bloques y bs pianos inclinados es /x* 0.10.verticalmente un cohete de masa m desde la superficie terrestre, es decir, en r = r\. Si supone que no se pierde masa cuando asciende, determine el trabajo que debe realizar contra la gravedad para alcanzar una distancia r2. La fuerza de la gravedad es F = GM e m/r 2 (ecuacidn 131), donde M e es la masa terrestre y r la distancia entre el cohete y el centro de la Tierra.

Prob. 14-13

Prob. 14-16

14.3

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA PARA UN SISTEMA DE FARTICULAS

187

•14-17. El cilindro pesa 20 lb y es empujado contra una serie

*14-20. Los paquetes que pesan 15 lb se transfieren hori-

de rondanas de resorte Belleville de modo que la compresi6n en el resorte es s = 0.05 pies. Si la fuerza del resorte en el cilindro es F = (100s^)lb, donde s est£ en pies, determine la rapidez del cilindro exactamente des- pu6s de que se aleja del resorte, es decir, en s = 0.

zontalmente de una banda transportadora a la siguiente por medio de una rampa cuyo coeficiente de fricci6n cin6- tica es /x* = 0.15. La transportadora superior se mueve a 6 pies/s y la separaci6n entre los paquetes es de 3 pies. Determine la rapidez de la transportadora inferior para que los paquetes no se deslicen cuando se ponen en contacto horizontalmente con ella. £Cu£l es la separaci6n s entre los paquetes en la transportadora inferior?

14

Prob. 14-17 14-18. La masa del collarfn es de 20 kg y descansa sobre una

barra lisa. Dos resortes est£n unidos al collarfn y a los extremes de la barra como se muestra. La longitud no comprimida de cada resorte es de 1 m. Si el collarfn se desplaza s = 0.5 m y se suelta del punto de reposo, determine su velocidad en el momento en que regresa al punto s = 0.

•14-21. La bola de 0.5 kg cuyo tamaflo no importa, se lanza hacia arriba de la ram

resorte comp rim ido 0.08 m cuando 5 = 0. Determine qu6 distancia se debe jala cuando 0 = 135°.

Prob. 14-18 14-19. Determine la altura h de la rampa D a la que lle- gar£

el carro de 200 kg de la montafla rusa, si se lanza en B con una rapidez apenas suficiente para que llegue a la parte superior del rizo en C sin que pierda el contacto con los rieles. El radio de curvatura en C e s p c = 25 m.

Prob. 14-19

Prob. 14-21

188

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

14-22. La caja de 2 lb se desliza por la rampa circular lisa. Si

*14-24. El bloque de 2 lb se desliza hacia abajo de la superficie parabdlic

la velocidad de la caja es de 30 pies/s en A, determine su velocidad y la fuerza normal que actua en la rampa cuando la caja esta en B y C. Suponga que el radio de curvatura de la trayectoria en C sigue siendo de 5 pies.

de la velocidad y aceleracidn del bloque cuando llega al punto B y la altu

y

1 4

C

Prob. 14-24

•14-25. El esquiador parte del punto de reposo en A y desciende por la ram

llega a B. Ademas, determine la distancia s donde hace contacto con el esquiador. Su masa es de 70 kg.

Prob. 14-22

A

14-23. Paquetes que pesan 50 lb llegan al tobogan a v A = 3

pies/s por medio de una banda transportadora. Determine su rapidez cuando llegan a los puntos B, C y D. Ademas, calcule la fuerza normal del tobogan en los paquetes en B y C . Ignore la friccidn y el tamaflo de los paquetes. Prob. 14-25 14-26. El embalaje, cuya masa es de 100 kg, se somete a la

accidn de las dos fuerzas. Si originalmente esta en reposo, determine la distancia que se desliza para alcanzar una rapidez de 6 m/s. El coeficiente de friccidn cindtica entre el embalaje y la superficie es /i* = 0.2.

Prob. 14-23

Prob. 14-26

14.3

Principio de trabajo y energIa para un sistema de fartIculas

14-27. El ladrillo de 2 lb se desliza hacia abajo del techo de modo que cuando est£ en A su velocidad es de 5 pies/s. Determine la rapidez del ladrillo justo antes de que deje la superficie en B, la distancia d de la pared hasta donde choca con el suelo y la rapidez a la cual golpea el suelo.

189

•14-29. El hombre de 120 lb actua como bala de caftdn humana al ser “disparado” con el puede experimentar es a = lOg = 322 pies/s2, determine qud rigidez requiere el resorte, e caftdn, d = 8 pies, cuando el caftdn se dispare? Cuando el resorte se comprime 5 = 2 pies posicidn rfgida durante todo el movimiento.

x

Prob. 14-27 Prob. 14-29

*14-28. Las montaflas rusas se diseflan de modo que los usuarios no experimenten 14-30. Siuna se va fuerza a diseflar normal la pista de m£s de de modo que los pasajeros de la montafla rusa no experim 3.5 veces su peso contra el asiento del carro. Determine el radio de curvatura limitantes mfnimo h A py de h c de la rampa modo que en su esto punto no ocurra. m4s bajo La si montafla la rapidez rusaesparte de 5 del pies/s punto en de la cresta reposo Ignore la friccidn.

120 pies

pies

Prob. 14-28

Prob. 14-30

190

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

14-31. Las canicas de 5 g de masa caen del punto de reposo en A a travds del tubo de vidrio y se acumulan en el recipiente en C. Determine la distancia R del recipiente al extremo del tubo y la rapidez a la cual las canicas caen en el recipiente. Ignore el tamaflo de dste.

•14-33. Si el coeficiente de friccidn cindtica entre el embalaje de 100 kg y el piano es /x* = 0.25, determine la compresidn x del resorte requerida para llevar el embalaje momentdneamente al reposo. En un principio el resorte no estd alargado y el embalaje estd en reposo. 14-34. Si el coeficiente de friccidn cindtica entre el embalaje de 100 kg y el piano es /i* = 0.25, determine la rapidez del embalaje en el momento en que la compresidn del resorte es x = 1.5 m. Inicialmente el resorte no estd alargado y el embalaje estd en reposo.

14 •A

Probs. 14-33/34

*14-32. La bola de 0.5 kg de masa se cuelga de una banda eldstica que tiene 14-35. una longitud Un bloque no alargada de 2 de lb 1descansa m y una rigidez sobre kuna = 50superficie N/m. Si el apoyo en A a 2 m del piso, determine la rapidez maxima que la bola puede tener en Asemicilfndrica. de modo que no Una toque cuerda el suelo eldstica cuando quellegue tiene auna su punto rigidezmds k =bajo 2 B. Ignore e la masa de la banda eldstica. lb/pie estd atada al bloque en B y a la base del semicilindro en el punto C. Si se suelta el bloque del punto de reposo en A(0 = 0°), determine la longitud no alargada de la cuerda de modo que el bloque comience a separarse del semicilindro en el instante 0 = 45°. Ignore el tamaflo del bloque.

A

Prob. 14-32

Prob. 14-35

14.3

Principio de trabajo y energIa para un sistema de fartIculas

*14-36. La rapidez de la piedra de 50 kg es v A = 8 m/s cuando llega al punto A. Determine la fuerza normal que ejerce en la pendiente cuando llega al punto B. Ignore la friccidn y el tamafto de la piedra.

191

14-39. Si el esquiador de 60 kg pasa por el punto A a una rapidez de 5 m/s, determine su rapidez cuando llega al punto B. Adem6s determine la fuerza normal ejercida en 61 por la pendiente en este punto. Ignore la fricci6n.

y

Prob. 14-39

*14-40. El patinador de 150 lb pasa por el punto A a una rapidez de 6 pies/s. Determine este punto. Ignore la fricci6n.

•14-37. Si el embalaje de 75 kg parte del punto de reposo en A, determine su rapidez cuando llega al punto B. El cable se somete a una fuerza constante F= 300 N. Ignore la fricci6n y el tamaflo de la polea. 14-38. Si el embalaje de 75 kg comienza a moverse del punto de reposo en A y su rapidez es de 6 m/s cuando pasa por el punto B, determine la fuerza constante F ejercida en el cable. Ignore la fricci6n y el tamaflo de la polea.

•14-41. A una pequefta caja de masa m se le imprime una rapidez de v = en la parte superior del semici- lindro liso. Determine el 6ngulo 0 al cual la caja se separa del cilindro.

192

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

14.4

Potencia y eficiencia

Potencia. El tdrmino “potencia” constituye una base util para seleccionar el tipo de motor o m£quina requerida para realizar una cierta cantidad de trabajo en un tiempo dado. Por ejemplo, cada una de dos bombas puede vaciar un depdsito si se le da tiempo sufieiente; sin embargo, la bomba de mayor potencia completard la tarea mds rdpido. Por consiguiente, la potencia generada por una mdquina o motor que realiza una cierta cantidad de trabajo dU dentro del intervalo dt es

(14-9)

Si el trabajo dU se expresa como dU = F • dr, entonces

P=

dU ¥ „ d r dt

dt

d r ~ d t

(14-10)

F* v

De ahi que la potencia es un escalar, donde en esta fdrmula v representa la velocidad de la particula en la cual actua la fuerza F. Las unidades bdsicas de potencia utilizadas en los sistemas SI y FPS son el watt (W) y el caballo de fueiza (hp), respectivamente. Estas unidades se definen como

1 W = 1 J/s = 1 N - m/s 1 hp = 550 pies • lb/s

La potencia de salida de esta locomotora se deriva de la fuerza de friccidn propul- sora F desarrollada en sus ruedas. Esta es la fuerza que vence la resistencia a l remolcados y es capaz de llevar el peso del tren cuesta arriba.

Para la conversidn entre los sistemas de unidades, 1 hp = 746 W.

Eficiencia. La eficiencia mecdnica de una mdquina se define como la relacidn de la salida de potencia util producida por la mdquina a la entrada de potencia suministrada a la mdquina. Por tanto,

potencia de salida potencia de entrada

(14-11)

14.4 POTENCIA Y EFICIENCIA

Si la energia suministrada a la m£quina ocurre durante el mismo inter- valo durante el cual es extraida, entonces la eficiencia tambi6n se expre- sa en funckm de la relacidn potencia de salida potencia de entrada

(1412)

Como las mdquinas se componen de una serie de piezas mdviles, siempre se desarrollardn fuerzas de friccidn dentro de ellas y, por consiguiente, se requiere energia extra o potencia adicional para veneer estas fuerzas. Por tanto, la potencia de salida ser£ menor que la potencia de entrada, de ahi que la eficiencia de una maquina siempre es menor que 1. La potencia suministrada a un cuerpo se determina por el siguiente procedimiento.

Procedimiento para el analisis •

Primero determine la fuerza externa F que actua en el cuerpo y que provoca el movimiento. Esta fuerza casi siempre la genera una maquina o un motor que se coloca dentro o fuera delcuerpo. • Si el cuerpo estd en aceleracidn, podria requerirse trazar su diagrama de cuerpo libre y aplicar la ecuacidn de movimiento (2F = ma) para determinar F. • Una vez que se determina F y la velocidad v de la particula donde se aplica F, la potencia se determina al multiplicar la magnitud de la fuerza por el componente de velocidad que actua en la direcddn de F (es decir, P = F- v = Fv cos 0). • En algunos problemas la potencia la determina el cdlculo del trabajo realizado por F por unidad de tiempo (Pprom = At//A/).

Los requerimientos de potencia de este elevador dependen de la fuerza vertical F que actua en el y que hace que se desplace hacia arriba. Si la velocidad del elevador es v, entonces la potencia de salida es P = F-v.

193

194

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

EJEMPLO 14.7 H hombre que aparece en la figura 14-15a empuja el embalaje de 50 kg con una fuerza F = 150 N. Determine la potencia suministra- da por el hombre cuando t = 4 s. El coeficiente de friccidn cindtica entre el piso y el embalaje es p k = 0.2. En un principio, el embalaje estd en reposo. y

Fig. 14-15

soluci6n Para determinar la potencia desarrollada por el hombre, primero debe calcularse la velocidad de la fuerza de 150 N. El diagrama de cuerpo libre del embalaje se muestra en la figura 14-15b. Al aplicar la ecuacidn de movimiento, + T = ma y\ N - (|)l50N - 50(9.81) N = 0 N = 580.5 N + , 2FX = ma x\ (j)l50 N - 0i2(580.5 N) = (50 kg)a a = 0.078 m/s2 Por consiguiente, la velocidad del embalaje cuando t = 4 s es (!♦)

v =Vo + aj v = 0 + (0.078 m/s2)(4 s) = 0.312 m/s

La potencia suministrada al embalaje por el hombre cuando t = 4 s es, por consiguiente

P = f-v = Fxv = (|)(150 N)(0.312 m/s)

= 37.4 W

Resp.

14.4 POTENCIA Y EFICIENCIA

195

EJEMPLO 14.8 El motor M del malacate en la figura 14-16a levanta el embalaje C de 75 lb de modo que la aceleraci6n del punto P es de 4 pies/s2. Determine la potencia que debe suministrarse al motor en el instante en que la velocidad de P es de 2 pies/s. Ignore la masa de la polea y el cable y considere e = 0.85.

Plano de referencia s, Plano de referenda

SOLUCI6N

Para determinar la potencia de salida del motor, primero es necesa- rio determinar la tensidn en el cable puesto que el motor desarrolla esta fuerza. A partir del diagrama de cuerpo libre, figura 14-166, tenemos

+!

—2T + 75 lb = —^ ------------- r a c 32.2 pies/s^

YFy = ma y \

(1 )

La aceleracidn del embalaje puede calcularse por medio de cinematica para relacionarla con la aceleracidn conocida del punto P> figura 14-16a. Con los mdtodos de la seccidn 12.9, las coordenadas sc y sP pueden relacionarse con una parte constante de la longitud del cable I la cual cambia en las direcciones vertical y horizontal. Tenemos 2sc + sP = /. Al tomar la segunda derivada con respecto al tiempo de esta ecuacidn, resulta 2 ac — -ap

Como a P = +4 pies/s2, entonces a c = -(4 pies/s2)/2 = -2 pies/s2. ^Qud indica el signo negativo? Al sustituir este resultado en la ecuacidn 1 y conservar el signo negativo puesto que la aceleracidn tanto en la ecuacidn 1 como en la ecuacidn 2 se considerd positiva hacia abajo, tenemos 75

2

es s!

-2T + ft - (jT^5^ ) ( - P' / ) T = 39.83 lb La potencia de salida, medida en caballos de fuerza, requerida para jalar el cable a razdn de 2 pies/s es por consiguiente P = T* v = (39.83 lb)(2pies/s)[1 hp/(550 pies ■ Ib/s)] = 0.1448 hp Esta potencia de salida requiere que el motor proporcione una potencia de entrada de potencia de entrada = j (potencia de salida)

0.85

2T

(2)

(0.1448 hp) = 0.170 hp

Resp.

NOTA: dado que la velocidad del embalaje cambia constantemen- te, el requerimiento de potencia es instantdneo.

75 lb'

(b) Fig. 14-16

196

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F14-7. Si la superficie de contacto entre el bloque de 20 kg y el suelo es lisa, determine la potencia de la fuerza F cuando t = 4 s. En un principio, el bloque est£ en reposo. F = 30 N

F14-10. El coeficiente de fricci6n cindtica entre el bloque de 20 kg y el piano inclinado es = 0.2. Si el bloque se mueve hacia arriba del piano inclinado a velocidad constante v = 5 m/s, determine la potencia de la fuerza F.

F14-8. Si F = (10s) N, donde sest£ en metros y la superficie de contacto entre el bloque y el suelo es lisa, determine la potencia de la fuerza F, cu principio, el bloque de 20 kg est£ en reposo.

F14-11. Si el motor M eleva la carga A de 50 kg a una velocidad constante de 1

M F= (10 s) N

___

F14-8

F14-9. Si el motor enrolla el cable a una rapidez constante de v = 3 pies/s, determine la potencia suministrada al motor. La carga pesa 100 lb y la eficiencia del motor es c = 0.8. Ignore la masa de las poleas.

1.5 m/s F14-11

F14-12. En el instante mostrado, el punto Pen el cable tiene una velocidad v P entrada del motor M en este instante si opera con una eficiencia e = 0.8. La mas

p

112 m/s

| v = 3 pies/s

M

F14-9

F14-12

14.4 POTENCIA Y EFICIENCIA

197

PROBLEMAS 14-42. La mAquina diesel de un tren de 400 Mg incrementa su velocidad de manera uniforme a partir del punto de reposo a 10 m/sen 100 s a lo largo de una via horizontal. Determine la potencia promedio desarrollada. 14-43. Determine la potencia de entrada de un motor necesaria para levantar 300 lb a una razdn constante de 5 pies/s. La eficiencia del motor es e = 0.65.

14-50. El hombre que pesa 150 lb es capaz de subir un tramo de escalera de 15 pies de altura en 4 s. Determine la potencia generada. ^Cudnto tiempo tendrfa que estar encendido un foco de 100 W para consumir la misma cantidad de energfa? Conclusidn: jpor favor apague las luces cuando no estdn en uso!

*1444. Un tranvfa eldctrico pesa 15 000 lb y acelera a lo largo de una carretera recta horizontal a partir del punto de reposo, de modo que la potencia siempre es de 100 hp. Determine qud distancia debe recorrer para alcanzar una rapidez de 40 pies/s. • 14-45. La Milkin Aircraft Co. fabrica un motor turbo- rreactor que se instala en un avidn que pesa 13 000 lb. Si el motor desarrolla un empuje constante de 5200 lb, determine la potencia de salida del avidn cuando est£ a punto de despegar con una rapidez de 600 mi/h. 14-46. El motor del automdvil de 3500 lb genera una potencia constante de 50 hp mientras viaja cuesta arriba a una rapidez constante. Si el motor opera con una eficiencia e = 0.8, determine la velocidad del automdvil. Ignore la resistencia al avance y al rodamiento.

Prob. 14-50

14-51. La masa total del elevador y la carga es de 800 kg y la del contrapeso Ces de 150 kg. En un instante dado, el elevador tiene una velocidad ascendente de 2 m/s y una aceleraci6n de 1.5 m/s 2. Determine la potencia generada por el motor M en este instante si opera con una eficiencia de e = 0.8. *14-52. La masa total del elevador y la carga es de 800 kg y la del contrapeso C es de 150 kg. Si la velocidad ascendente del elevador aumenta de manera uniforme de 0.5 m/s a 1.5 m/sen 1.5 s, determine la potencia promedio generada por el motor M durante este tiempo. El motor opera con una eficiencia de e = 0.8.

Prob. 14-46

14-47. Un camidn cargado pesa 16(H)3) lb y acelera de manera uniforme sobre una carretera plana desde 15 pies/s hasta 30 pies/s durante 4 s. Si la resistencia por friccidn al movimiento es de 325 lb, determine la potencia mdxima que desee suministrarse a las ruedas. *14-48. Un automdvil que pesa 3500 lb sube una pendiente de 7° a una rapidez constante de v = 40 pies/s. Si se ignoran la friccidn y la resistencia del viento, determine la potencia desarrollada por el motor dado que la eficiencia mecdnica del automdvil es e = 0.65. •14-49. El peldaflo de una escalera eldctrica se mueve a una rapidez constante de 0.6 m/s. Si los escalones son de 125 mm de altura y de 250 mm de longitud, determine la potencia de un motor necesaria para levantar una masa promedio de 150 kg por escaldn. Hay 32 escalones.

Probs. 14-51/52

198

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

•14-53. El autom6vil de 2 Mg incrementa su rapidez uniformemente desde el punto de reposo hasta 25 m/s en 30 s cuesta arriba. Determine la potencia maxima que el motor debe suministrar, el cual opera con una eficiencia de € = 0.8. Adem^s, determine la potencia promedio suministrada por el motor.

*14-56. La transmisidn hidrdulica de un cami6n de 30 000 lb permite que el motor suministre una potencia constante a las ruedas traseras. Determine la distancia requerida para que el camidn que viaja por una carretera plana incre- mente su rapidez de 35 pies/s a 60 pies/s si se suministran 90 hp a las ruedas traseras. Ignore la resistencia al avance y al rodamiento. •14-57. Si el motor de un automdvil de 1.5 Mg genera una potencia constante de 15 kW, determine la rapidez del automdvil despuds de haber recorrido una distancia de 200 m en una carretera plana a partir del punto de reposo. Ignore la friccidn. 14-58. A la vagoneta de mina de 12 Mg la jala un malaca- te M montado en ella. Si el malacate ejerce una fuerza de F = (150&2 ) N en el cable donde t estd en segundos, determine la potencia de salida del malacate cuando / = 5 s, a partir del punto de reposo.

14

Prob. 14-53

14-59. A la vagoneta de mina de 12 Mg la jala un malacate M montado en ella. Si el malacate genera una potencia de salida constante de 30 kW, determine la rapidez de la vagoneta en el instante en que ha recorrido una distancia de 30 m, a partir del punto de reposo.

14-54. Determine la velocidad del embalaje de 200 lb en 15 s si el motor opera con una eficiencia de e = 0.8. La potencia de entrada al motor es de 2.5 hp. El coeficiente de friccidn cindtica entre el embalaje y el piano es /x* — 0.2.

I 1 1=p^y 'j ~—

Probs. 14-58/59 Prob. 14-54

14-55. Se suministra una potencia constante de 1.5 hp al motor mientras opera con una eficiencia de e = 0.8. Determine la velocidad del embalaje de 200 lb en 15 segundos, a partir del punto de reposo. Ignore la friccidn.

Prob. 14-55

*14-60. A la vagoneta de mina de 1.2 Mg la jala un malacate M montado en ella Si el malacate genera una potencia de salida constante de 30 kW y la vagoneta comienza a mo verse desde el punto de reposo, determine su velocidad cuando t = 5 s.

Prob. 14-60

14.4 POTENCIA Y EFICIENCIA

•14-61. El motor M levanta el embalaje de 50 lb. Si el embalaje comienza a moverse desde el punto de reposo y con una aceleracidn constante alcanza una rapidez de 12 pies/s despuds de alzarse 5=10 pies, determine la potencia que debe suministrarse al motor en el instante s- 10 pies. La eficiencia del motor es e = 0.65. Ignore la masa de la polea y el cable.

199

14-63. Si el turborreactor del dragster genera un empu- je constante de T = 20 kN, determine la potencia generada por el turborreactor en funcidn del tiempo. Ignore la resistencia al avance y al rodamiento y la pdrdida de combustible. La masa del dragster es de 1 Mg y arranca desde el punto de reposo.

Prob. 14

*14-64. Desde el silo en A se descarga arena a la transportadora y se transporta a la plata la transportadora mantiene la rapidez de la banda en 3 pies/s. Determine la potencia prom

S

Prob. 14-61

14-62. Un motor levanta un embalaje de 60 kg a una velocidad constante hasta una altura h = 5 m en 2 s. Si la potencia indicada del motor es de 3.2 kW, determine la eficiencia del motor.

Prob. 14-62

Prob. 14-64 14-65. El elevador de 500 kg comienza a subir desde el punto de reposo y viaja hacia arriba con una aceleracidn constante a c = 2 m/s2. Determine la potencia de salida del motor M cuando t = 3 s. Ignore la masa de las poleas y el cable.

Prob. 14-65

200

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

14-66. Se lanza verticalmente desde el punto de reposo un cohete de 8 Mg de masa total. Si los motores gene- ran un empuje constante T = 300 kN, determine la potencia de salida de los motores en funcidn del tiempo. Ignore el efecto de la resistencia al avance y la pdrdida de combustible y peso.

•14-69. Con los datos de la curva de potencia bio mecanica que se ilustra, determine la rapidez maxima alcanzada por el ciclista y su bicicleta, los cuales tienen una masa total de 92 kg, a medida que el ciclista asciende la pendiente de 20° a partir del punto de reposo.

A

P( W)

A

T = 300

Prob. 14-69

kN Prob. 1414-67. La masa del embalaje 66 es de 150 kg y descansa sobre una superficie cuyos coeficientes de friccidn estdtica y cindtica son fx s = 0.3 y /i* = 0.2, respectivamente. Si el motor M suministra una fuerza al cable de F = (8f2 + 20) N, donde f estd en segundos, determine la potencia de salida desarrollada por el motor cuando t = 5 s.

14-70. Al embalaje de 50 kg lo jala hacia arriba en el piano inclinado de 30° el sistema de polea y motor M. Si el embalaje comienza a moverse desde el punto de reposo y, mediante una aceleracidn constante, alcanza una rapidez de 4 m/s, despuds de recorrer 8 m a lo largo del piano, determine la potencia que debe suministrarse al motor en el instante en que el cable se ha movido 8 m. Ignore la friccidn a lo largo del piano. La eficiencia del motor es c = 0.74. 14-71. Resuelva el problema 14-70 si el coeficiente de friccidn cindtica entre el piano y el embalaje es /x* = 0.3.

Prob. 14-67 *14-68. El bloque de 50 lb descansa sobre una superficie dspera cuyo coeficiente de friccidn cindtica es /x* = 0.2. Una fuerza F = (40 + s2) lb, donde s estd en pies, actua en el bloque en la direccidn mostrada. Si en un principio el resorte no estd alargado (s = 0) y el bloque estd en reposo, determine la potencia desarrollada por la fuerza en el instante en que el bloque se ha desplazado s = 1.5 pies.

k 30 °

Prob. 14-68

Probs. 14-70771

201

14.5 FUERZAS CONSERVADORAS Y ENERGIA POTENCIAL

14.5

Fuerzas conservadoras y energfa potencial

Fuerza conservadora. Si el trabajo de una fuerza es indepen- diente de la trayectoria y depende sdlo de la posicidn initial y final en la trayectoria, entonces podemos clasificarla como una fuerza conservadora. Ejemplos de fuerzas conservadoras son el peso de una particula y la fuerza desarrollada por un resorte. El trabajo realizado por el peso depende solo del desplazamiento vertical del peso y el trabajo realizado por una fuerza de resorte depende solo del alargamien- to o compresion del resorte. En contraste con una fuerza conservadora, considere la fuerza de friccidn ejercida en un objeto que se desliza por una superficie fija. El trabajo realizado por la fuerza de friccidn depende de la trayectoria —cuanto mtis larga sea la trayectoria, mayor serti el trabajo. Por con- siguiente, las Juerzas de friccidn son no conservadoras. El trabajo se disipa del cuerpo en forma de calor.

Energfa. La energia se define como la capacidad de realizar trabajo. Por ejemplo, si una particula originalmente estd en reposo, entonces el principio de trabajo y energia establece que Sf/j—2 = T2. Expresado de otra manera, la energia cindtica es igual al trabajo que debe reali- zarse en la particula para llevarla del estado de reposo al estado de velocidad v. Por tanto, la energia cinetica es una medida de la capacidad de la particula de realizar trabajo, la cual estd asociada con el movimiento de la particula. Cuando la energia se deriva de la posicion de la particula, medida con respecto a un piano de referenda, se llama energia potential. Por tanto, la energia potencial es una medida de la cantidad de trabajo que una fuerza conservadora realizard cuando se mueve de una positidn dada al piano de referenda. En mecdnica, la energia potencial creada por la gravedad (peso) o un resorte eldstico es importante.

Energfa potencial gravitacional. Si una particula se encuen- tra a una distancia y por encima de un piano de referenda arbitraria- mente selectionado, como se muestra en la figura 14-17, el peso de la particula W tiene una energia potencial gravitacional positiva, Vgy puesto que W tiene la capacidad de realizar trabajo positivo cuando la particula regresa al piano de referencia. Asimismo, si la particula se encuentra a una distancia y por debajo del piano de referencia, Vg es negativa puesto que el peso realiza trabajo negativo cuando la particula regresa al piano de referencia. En el piano de referencia Vg = 0. En general, si y es positiva hacia arriba, la energia potencial gravitacional de la particula de peso W es*

(14-13)

♦Aquf se suponeque el peso es constante. Esta suposici6nes adecuada paradiferencias mfnimas de elevaci6n Ay. Sin embargo, si el cambio de elevaci6n es significativo debe tomarse en cuenta la variation del peso con la elevackSn (vea el problema 14-16).

Energfa potencial gravitacional

Fig. 14-17

202

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

Energia potencia I elastica. Cuando se alarga o comprime un resorte elfistico una distancia s a partir de su posicidn no alargada, en d resorte puede almacenarse energia potencial elastica Ve. Esta energia es

V, = +kks:

(14-14)

Aqui Ve siempre es positiva ya que, en la posicidn deformada, la fuerza del resorte tiene la capacidado “potencial” de realizar siempre trabajo en la particula cuando el resorte regresa a su posicidn no alargada, figura 14-18.

Posici6n no i, s = 0

Ve = o

b

—+J-

*=mmmrQ I ve=+\kt Energfa potencial elastica

Fig. 14-18

El peso de los sacos colocados sobre esta plataforma produce energfa potencial que se debe almacenar en los resortes del soporte. A medida que se quita cada saco, la plataforma se eleva un poco puesto que una parte de la energfa potencial en los resortes se transformara en un incremento de la energfa potencial gravitacional de los sacos restantes. Este dispositivo es util para quitar los sacos sin tener que inclinarse para descargarlos.

Ve= + j k s 2

14.5 FUERZAS CONSERVADORAS Y ENERGIA POTENCIAL

Funcion potencial. En el caso general, si una particula se some- te tanto a fuerzas gravitacionales como eldsticas, la energia potencial de la particula se expresa como una funcidn potential, la cual es la suma algebraica

V = Vg + Ve

(1415)

La medicidn de V depende de la ubicacidn de la particula con respecto a un piano, seleccionado de acuerdo con las ecuaciones 14-13 y 14-14. La diferencia de esta funcidn mide el trabajo realizado por una fuerza conservadora al mover una particula de un punto a otro, es decir,

U l-2 =

vl-v

(14-16)

2

Por ejemplo, la funcidn potencial de una particula de peso W sus- pendida de un resorte puede expresarse en funcidn de su posicidn, s, medida con respecto a un piano de referencia localizado en la longitud no alargada del resorte, figura 14-19. Tenemos

v =

+ K = -Wj + \ks2

Si la particula se mueve de s\ a un posicidn mds baja S 2, entonces al aplicar la ecuacidn 14-16 se ve que el trabajo de W y ¥ s es

U \-2 = V\ - V 2 - (-WJ, + \ks\) - {-Wsi + \k£ ) = W ( s 2 ~ «i) - [\ksi - \ ks\)

Flano de referenci a

Rg. 14-19

203

ev

BV

dV

Fy =

;

Fy

204

=

(W>)

= - W

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

Cuando el desplazamiento a lo largo de la trayectoria es infinitesimal, es decir del punto (*, y, z) al (jc + d x > y + d y , z + d z ) , la ecuacidn 14-16 se escribe dU = V(x,y,z) - V{x + dx,y + dy,z + dz) = -dV(x, y, z)

U4_17)

Si representamos tanto la fuerza como su desplazamiento como vec- tores cartesianos, entonces el trabajo tambi6n puede expresarse como d U = F- d r = ( F xi + F } j + Fzk) • ( d x i + d y \ + d z k ) = Fxdx + Fy dy + Fz dz Al sustituir este resultado en la ecuacidn 14-17 y expresar la diferencial d V ( x > y > z ) en funcidn de sus derivadas parciales se tiene

{W j + F.dz = - —dx + —dy + ——dz x y z

dV

,

dV J

J

' Fx d x + F v d y

\dx

fy dz

Como los cambios de x> yy z son independientes entre sf, esta ecuacidn se satisface siempre que (14 18)

-

Por tanto, rmj^.^aLk

dx dy dz =

J± i + ± i + ± k )y

\dx dy dz )

F = - VV

(14-19)

d y ‟V (del) representa el operadordvectorial y donde V = ( d / d x)i + ( d / d y)j + ( d / d y

y

K

zEl ) k.signo negativo indica que W actua hacia abajo, opuesto a la distancia y La ecuacidn relaciona positiva, la cual14-19 es hacia arriba. una fuerza F con su funcidn potencial V por lo que constituye un criterio matemdtico para comprobar que F es conservadora. Por ejemplo, la funcidn de potencial gravitacional de un peso situado a una distancia y por encima de un piano de referencia es V g = W y . Para comprobar que W es conservador, es necesario demos- trar que satisface la ecuacidn 14-18 (o la 14-19), en cuyo caso

205

14.6 CONSERVACION DE LA ENERGIA

14.6

Conservadon de la energfa

Cuando en una particula actua un sistema tanto de fuerzas conservadoras como no conservadoras, la parte del trabajo realizado por las fuerzas conservadoras puede escribirse en funcidn de la diferencia de sus energfas potenciales por medio de la ecuacidn 14-16, es decir, (St/ 1_2)oons = V \ ~ V 2 . Por consiguiente, el principio de trabajo y energia se escribe como

(14-20)

= T2 + V2

Aquf (Sf/i_2)no cons, representa el trabajo de las fuerzas conservadoras que actuan en la partfcula. Si solo las fuerzas conservadoras realizan trabajo, entonces tenemos 7\ + V, = 7\ + V,

(14-21)

Esta ecuacidn se conoce como la conservadon de la energia mecdnica o simplemente como la conservadon de la energia. Expresa que durante el movimiento la suma de las energfas potencial y cindtica de la particula permanece constante. Para que esto ocurra, la energia cindtica debe transformarse en energfa potencial, y viceversa. Por ejemplo, si se deja caer una bola de peso W desde una altura h sobre el suelo (piano de referencia), figura 1420, su energfa potencial es mdxima antes de dejarla caer, momento en el cual su energfa cindtica es cero. La energfa mecdnica total de la bola en su posicidn inicial es por tanto E = 7, + V, = 0 + Wh = Wh Cuando la bola ha cafdo una distancia h/2, su velocidad se determina con v2 = VQ + 2a c ( y - y0),la cual resulta v = V 2 g ( h / 2 ) = Vgh. La energfa de la bola a la mitad de la altura , por consiguiente, E

= T2 + v2 = Yj{V^hy

+w

(!) -

W h

Exactamente antes de que la bola choque con el suelo, su energfa potencial es cero y su velocidad es v = V2gh. Aquf, de nuevo, la energfa total de la bola es E = r3 + V3 = [s/lghf + 0 = Wh * 8 Observe que cuando la bola entra en contacto con el suelo, se deforma un poco y siempre que el suelo sea sufieientemente duro, la bola rebo- tard en la superficie, y alcanzard una nueva altura h\la cual serd menor que la altura h desde la cual se soltd por primera vez. Si ignoramos la friccidn del aire, la diferencia de altura explica la pdrdida de energfa, £/ = W(h - h')y la cual ocurre durante la colisidn. Porciones de esta pdrdida producen ruido, una deformacidn localizada en la bola y en el suelo, y calor.

Energfa potencial (m^x) O Energfa cindtica (cero)

T Plano de referenci a

Energfa potencial y energfa cindtica

h. 2

Energfa potencial (cero) Qj) Energfa cindtica (m£x)

Fig. 14-20

206

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

Si sterna de parti'culas. Si un sistema de particulas se somete solo a fuerzas conservadoras, entonces puede escribirse una ecuacidn similar a la ecuacidn 1421 para las particulas. Al aplicar las ideas del planteamiento precedente, la ecuacidn 14-8 (STi + Sf/i-2 = Sr2) se escribe

STj + svj = sr 2 + sv 2

(14-22)

Aqui, la suma de las energias cindtica y potencial iniciales del sistema es igual a la suma de las energias cindtica y potencial finales del sistema. En otras palabras, 'IT + 2V = const.

Procedimiento para el analisis La ecuacidn de la conservacidn de la energia puede utilizarse para resolver problemas que implican velocidad, desplazamiento y sis- temas de fuerzas conservadoras. En general es mas facil de aplicar que el principio del trabajo y energia porque esta ecuacidn requie- re especificar las energia cindtica y potencial de la particula en s61o dos puntos a lo largo de la trayectoria, en lugar de determinar el trabajo cuando la particula experimenta un desplazamiento. Para su aplicacidn se sugiere el siguiente procedimiento. Energia potencial.

•

Trace dos diagramas que muestren la particula localizada en su punto inicial y final a b largo de la trayectoria.

•

Si la particula se somete a un desplazamiento vertical, esta- blezca el piano de referenda horizontal fijo con respecto al cual se va a medir la energia potential gravitacional Vg de la particula.

•

Los datos relacbnados con la etevacidn y de la particula con respecto al piano de referenda y con el alargamiento o com- presidn 5 de cualesquier resorte de conexbn pueden determi- narse por la geometria asociada con los dos diagramas.

•

Recuerde que Vg = Wyy donde y es positiva hacia arriba del piano de referenda y negativa hacia abajo; asimismo para un resorte, Ve = \ks2y la cual es positiva siempre.

Conservation de la energfa.

• •

Aplique la ecuaci6n T\ + V\ = T2 + V2. Cuando determine la energia cindtica, T = jmv 2, recuerde que la rapidez v de la particula debe medirse con respecto a un marco de referenda inertial.

207

14.6 CONSERVACION DE LA ENERGIA

EJEMPLO El puente grua mostrado en la fotografia se utiliza para probar la respuesta de un avidn al estrellarse. Como se muestra en la figura 14-21a, el avidn, cuya masa es de 8 Mg, es izado hacia atr£s hasta que 0 = 60° y luego se suelta el cable AC cuando el avidn estd en reposo. Determine la rapidez del avidn justo antes de estrellarse en el suelo, 0 = 15°. Ademds, ^cudl es la tensidn mdxima desarrolla- da en el cable de soporte durante el movimiento? Ignore el tamafio del avidn y el efecto de elevacidn provocado por las alas durante el movimiento. 1 4 Plano de referencia _____________________________

________

(a) SOLUCI6N

Como la fuerza del cable no realiza trabajo en el avidn, debe obte- nerse con la ecuacidn de movimiento. En primer lugar, sin embargo, debemos determinar la rapidez del avidn en B. Energia potencial. Por conveniencia, el piano de referencia se establecid en el parte superior del puente grua, figur a 14-21a. (b) Conservacion de la energia. Fig. 14TA + VA = T b+ VB 0 - 8000 kg (9.81 m/s2) (20 cos 60° m) = 21

2(8000 kg)i& - 8000 kg (9.81 m/s2)(20 cos 15° m) vB = 13.52 m/s = 13.5 m/s

Resp.

Ecuacftn de movimiento. De acuerdo con el diagrama de cuer po libre, cuando el avidn estd en By figura 14-216, tenemos +\ '2F n = ma n\ (13.52 m/s)2 T - (8000(9.81) N) cos 15° = (8000 kg)-—— -------------------20 m T = 149 kN Resp.

208

CAPITULO 14 CINDTICA DE UNA PARTICULA: TRABAJO Y ENERGIA

EJEMPLO 14.10 H martinete R mostrado en la figura 14-22 tenemos

I, {+/) 50 lb 32.2 pies/s"

m{v x)i + 2 Fxdt = m(vx )2 /■ Jo (3 pies/s) + I 20/ dt - 0.3N C(2 s) + (50 lb) sen 30°(2 s)

501b 32.2 pies/s'

4.658 + 40 - 0.6N C + 50 = 1.553^2 La ecuacidn de equilibrio puede aplicarse en la direccidn y. ^Por qud? 501b

+\lF y = 0; Al

N c ~ 50 cos 30° lb = 0

resolver, N c = 43.30 lb V 2 = 44.2 pies/s /

Fig. 15-5

Resp.

NOTA: tambidn podemos resolver este problema con la ecuacidn de movimiento. A partir de la figura 15-56, +/^F X = ma x\ 20/ - 0.3(43.30) + 50 sen 30° = — a

50

a = 12.88/ + 7.734 Con cinematica /*2 s

+/dv = a dv, / dv= (12.88/ + 7.734)dt J 3 pies/s Jo v = 44.2 pies/s

Resp.

Porcomparacidn,la aplicacidn del principio de impulso y cantidad de movimiento elimina la necesidad de utilizar cinematica (a = dv/dt) ypor tanto el resultado es un mdtodo mds fdcil de solucidn.

227

15.1 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

EJEMPLO 15.3 Los bloques A y B de la figura 15-6a tienen una masa de 3 kg y 5 kg, respectivamente. Si el sistema se pone en movimiento a partir del punto de reposo, determine la velocidad del bloque Ben 6 s. Ignore la masa de las poleas y la cuerda.

Plano de referenda

SOLUCI6N Diagrama de cuerpo libre. Vea la figura 15-6/?. Como el peso de cada bloque es constante, las tensiones en las cuerdas tambibn lo serbn. Adembs, como la masa de la polea D se ignora, la tensibn en la cuerda T a = 2T b. Observe que se supone que los bloques se mueven hacia abajo en las direcciones de las coordenadas positivas s A y s B . Principio de impulso y cantidad de movimiento.

1 5

Bloque A: (+1)

m{v A )i + 2 [ F ydt = m(v A )2

Jt, 0-2Ts(6s) + 3(9.81) N(6s) = (3kg)(v„)2

(1)

Bloque B: (+D

m(v B)\ + 2 f Fydt = m(v B)2 Jt\ 0+ 5(9.81) N(6s) -T b( 6 S ) = (5kg)(u*)2

TB TB

tt

(2)

Cinematica. Como los bloques estbn sometidos a un movimiento dependiente, la velocidad de A puede relacionarse con la de B por medio del anblisis de cinematica analizado en la seccibn 12.9. Se establece un piano de referencia horizontal a travbs del punto fijo en C, figura 15-6a y las coordenadas de posici6n, s A y s B ,se relacio- nan con la longitud total constante / de los segmentos verticales de la cuerda por medio de la ecuacibn 2s

A

TA = 2 T,

+ sB — I

Al considerar la derivada con respecto al tiempo se obtiene S 2 V A = ~v B

(3)

Como lo indica el signo negativo, cuando B se mueve hacia abajo A lo hace hacia arriba. Al sustituir este resultado en la ecuacibn 1, y resolver las ecuaciones 1 y 2 se obtiene (v B )2 = 35.8 m/s 1

Resp.

T B = 19.2 N NOTA: dese cuenta que la direccibn positiva (hacia abajo) de y vBes consistenteen las figuras 15-6a y 15-6b y en las ecuaciones 1 a 3. Esto es importante puesto que lo que buscamos es una solucibn de ecuaciones simult6neas.

A 3(9^1)

N

228

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

15.2

Prindpio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de particulas

El principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de particulas que se mueven con respecto a una referencia inercial, figura 15-7, se obtiene con la ecuacidn de movimiento aplicada a todas las particulas del sistema, es decir,

(15-5)

Fig. 15-7

El tdrmino del lado izquierdo representa sdlo la suma de las fuerzas externas que actuan en las particulas. Recuerde que las fuerzas internas fj que actuan entre las particulas no aparecen con esta suma, puesto que de acuerdo con la tercera ley de Newton ocurren en pares colineales ^uales pero opuestos y por consiguiente se cancelan. Al multiplicar ambos lados de la ecuacidn 15-5 por dt e integrar entre los limites t = t h V, = 0,), y t = t 2 , V, = (v,)2 se obtiene

2/n,(v/)l + 2 f Fidt = S/n,(v;)2

Jt X

(156)

Esta ecuacidn establece que los momentos lineales iniciales del sistema m ds los impulsos de todas las fuerzas externas que actuan en el sistema de ti a t 2 son iguales a los momentos lineales finales del sistema. Como la ubicacidn del centro de masa G del sistema se determina a partir de mrG = 2m,r„ donde m = 2m, es la masa total de todas las particulas, figura 15-7 y si luego se considera la derivada con respecto al tiempo, tenemos mvG = 'Zm-Vi la cual establece que la cantidad de movimiento lineal total del sistema de particulas equivale a la cantidad de movimiento lineal de una particula aglomerada “ficticia” de masa m = 2m, que se mueve a la velocidad del centro de masa del sistema. Al sustituir en la ecuacidn 15-6 se obtiene

m(\ G )\ + 2 [ Fidt = m(\ G) 2

Jt x

(15-7)

Aqui, la cantidad de movimiento lineal inicial de la particula aglomerada, mds los impulsos externos que actuan en el sistema de particulas de a t 2y es igual a la cantidad de movimiento lineal final de la particula aglomerada. Por consiguiente, la ecuacidn anterior justifica la aplicacidn del principio de impulso y cantidad de movimiento lineales a un sistema de particulas que componen un cuerpo rigido.

229

15.2 Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de rartIculas

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F15-1. La pelota de 0.5 kg choca con el suelo dspero y rebota con las velocidades que se muestran. Determine la magnitud del impulso que ejerce el suelo en la pelota. Suponga que dsta no patina cuando choca con el suelo e ignore su tamaflo y el impulso producido por su peso.

F15-4. Las ruedas del automdvil de 1.5 Mg generan la ftierza de traccidn Fdescrita por la grdfica. Si el autom6vil arranca desde el punto de reposo, determine su rapidez cuando t = 6 s.

.F(kN)

* «, = 25 mis

45 °

®2=10m/s

30°

F15-1 F15-2. Si el coeficiente de fricci6n cindtica entre el embalaje de 150 lb y el suelo es /x* = 0.2, determine la rapidez del embalaje cuando / = 4 s. El embalaje comienza a moverse desde el punto de reposo y lo re mo lea la fuerza de 100 lb.

F15-5. El vehfculo de tracci6n en las cuatro ruedas (vehfculo utilitario deportivo) de 2.5 M = 9 kN. Determine la rapidez del vehfculo en 20 s, a partir del punto de reposo. Adem deportivo y el remolque. Ignore la masa de las ruedas.

FD F15-5 F15-3. El motor ejerce una fuerza F = (20*2) N en el cable, donde t estd en segundos. Determine la rapidez del embalaje de 25 kg cuando t = 4 s. Los coeficientes de friccidn estdtica y cindtica entre el embalaje y el piano son /xs = 0.3 y /i* = 0.25, respectivamente.

F15-6. El bloque de 10 lb A alcanza una velocidad de 1 pie/sen 5 segundos, a partir del punto de reposo. Determine la tensi6n en la cuerda y el coeficiente de fricci6n cindtica entre el bloque A y el piano horizontal. Ignore el peso de la polea. El bloque B pesa 8 lb.

A

A

F15-3

FI5-6

230

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

PROBLEMAS •15-1. A un bloque de 5 lb se le imparte una velocidad inicial de 10 pies/s hacia arriba por una pendiente lisa de 45°. Determine el tiempo durante el cual se mueve hacia arriba antes de detenerse.

*15-4. El tractor nivelador de 28 Mg originalmente est£ en reposo. Determine su rapidez cuando t = 4 s si la trac- d6n horizontal F varfa con el tiempo como se muestra en la gr&fica.

15-2. El “jump jet” de 12 Mg es capaz de despegar verti- calmente desde la cubierta de un buque. Si sus turborreac- tores ejercen una fuerza vertical constante de 150 kN en el avi6n, determine su velocidad y qu6 tan alto sube en t = 6 s, a partir del punto de reposo. Ignore la pSrdida de combustible durante el despegue.

Prob. 15-4

150 kN

•15-5. Si al cilindro A se le imparte una rapidez inicial hacia abajo de 2 m/s, determine la rapidez de cada cilindro cuando t = 3 s. Ignore la masa de las poleas.

Prob. 15-2

15-3. La gr£fica muestra la fuerza de reaccidn vertical de la interacci6n zapato-suelo como una funcidn del tiempo. El primer pico actua en el taldn, el segundo en la punta del pie. Determine el impulso total que actua en el zapato durante la interacci6n. Prob. 15-5 15-6. Un tren se compone de una m£quina de 50 Mg y tres vagones cada uno de 30 Mg de masa. Se requieren 80 s para que el tren incremente su rapidez de manera uniforme a 40 km/h, a partir del punto de reposo; determine la fuerza T desarrollada en el acoplamiento entre la m£quina E y el primer vagdn A. Las ruedas de la m£quina gene- ran una fuerza de traccidn de fricci6n resultante F la cual mueve el tren hacia delante, mientras las ruedas de los vagones ruedan libremente. Adem£s, determine la fuerza Fque actua en las ruedas de la m£quina.

Prob. 15-3

Prob. 15-6

231

15.2 Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de rartIculas

15-7. Determine la rapidez maxima alcanzada por el trineo de cohete de 1.5 Mg si los cohetes proporcionan el empuje que se muestra en la grdfica. Inicialmente, el trineo esti en reposo. Ignore la fricci6n y la p£rdida de masa debido al consumo de combustible.

•15-9. El buque tanque tiene una masa de 130 Gg. Si originalmente est£ en reposo, determine su rapidez cuando t = 10 s. El empuje horizontal provisto por su hglice varfa con el tiempo como se muestra en la grdfica. Ignore el efecto de la resistencia del agua.

T (kN) F(MN )

1 05

1 15

25 Prob. 15-9

Prob. 15-7

*15-8. El jeep de tracci6n en las cuatro ruedas de 1.5 Mg se utiliza para empujar embalajes ictenticos, cadaauno de 500Fkg masa. Si el coeficiente de fricc 15-10. Eldos gabinete de 20 lb se somete la fuerza = de (3 + 2/) lb,

entre las llantas y el suelo es /xs = 0.6, determine la rapidez maxima posible quef elest4 jeepenpuede alcanzar 5 s, sin que las llantassepatinen. donde segundos. Si elengabinete inicialmente mueve El coeficiente de fricc entre los embalajes y el suelo es /x* = 0.3. hacia abajo del piano con una rapidez de 6 pies/s, determine cu£nto tiempo le lleva a la fuerza detener el gabinete. Fsiempre actua paralela al piano.

Prob. 15-8

Prob. 15-10

232

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

15-11. El pequeflo bloque de 20 lb est£ colocado sobre el

•15-13. El ensamble del elemento de combustible de un reactor

piano inclinado y sometido a fuerzas de 6 lb y 15 lb que acttian paralelas a los bordes AB y AC, respectivamente. Si en un principio el bloque est£ en reposo, determine su rapidez cuando t = 3 s. El coeficiente de friccidn cindtica entre el bloque y el piano es ii k = 0.2.

nuclear pesa 600 lb. Suspendido en posicidn vertical de H e inicialmente en reposo, se le imparte una velocidad hacia arriba de 5 pies/s en 0.3 s. Determine la tensidn promedio en los cables AB y AC durante este intervalo.

Prob. 15-11

*15-12. Si se supone que la fuerza que actua en una bala de 2 g, cuando pasaElhorizontalmente caftdn de rifle, varfa 15-14. bloque liso de a10travds kg sedel desplaza a launderecha con con el tiemp determine la fuerza neta mdxima F0 aplicada a la bala al dispararla. La de cuando 500 m/ssecuando t =una 0.75fuerza ms. Ignore la fricci unavelocidad velocidadde desalida v 0 = 3esm/s le aplica F.

caftdn del rifle.

Si la fuerza varfa como se muestra en la grdfica, determine la velocidad del bloque cuando t = 4.5 s.

t\) = 3 m/s

Prob. 15-14

233

15.2 Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de rartIculas

15-15. El motor M levanta el embalaje de 100 kg. Si la velocidad del embalaje se incrementa de manera uniforme de 1.5 m/s a 4.5 m/sen 5 s, determine la tensidn desarrollada en el cable durante el movimiento. *15-16. El motor M levanta el embalaje de 100 kg. El motor ejerce una fuerza en el cable de T = (200f^2 + 150) N, donde /est£ en segundos. Si el embalaje comienza a elevarse del punto de reposo en el suelo, determine su rapidez cuando t = 5 s.

15-18. La fuerza que actua en el proyectil de masa m al desplazarse horizontalmente a trav6s del cafl6n es F = C sen (7Tt/t'). Determine la velocidad del proyectil cuando t = Si el proyectil llega al final del cafk3n en este instante, determine la longitud s.

Prob. 15-18 15-19. Al principio, un bloque de 30 lb se mueve a lo largo de una superfieie horizontal lisa con una rapidez V\ = 6 pies/s hacia la izquierda. Si en 61 actua una fuerza F, la cual varfa como se muestra, determine la velocidad del bloque en 15 s.

Prohs. 15-15/16

•15-17. La ballena jorobada de 5.5 Mg est£ varada en la playa debido a cambios en la marea. En un esfuerzo por rescatarla, se utiliza un remolcador de 12 Mg para liberar- la mediante una cuerda inextensible atada a su cola. Para veneer la fuerza de fricci6n de la arena en la ballena, el remolcador retrocede hasta que la cuerda se afloja y luego avanza a 3 m/s. Si luego el remolcador apaga los motores, determine la fuerza de fricci6n promedio F en la ballena si ocurre un deslizamiento durante 1.5 s antes de que el remolcador se detenga despu6s de que la cuerda se tensa. Adem£s, £cu£l es la fuerza promedio en la cuerda durante el remolcado?

*15-20. Determine la velocidad de cada bloque 2 s des- pu6s de que los bloques se sueltan del punto de reposo. Ignore la masa de las poleas y la cuerda.

F

Prob. 15-17

Prob. 15-20

234

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Las fuerzas Ft yF!F2y varfan como se muestra en la varfan co •15-21. El bloque corredizo de 40 kg se mueve a la dere- cha a 1.515-23. m/s cuando las fuerzas F 2 actuan en 61. Si estas fuerzas Elmasa discodeliso 5 kg ysecuerdas. mueve hacia la izquierda a 3 gr£fica, determine la rapidez del bloque cuando t = 6 s. Ignore la fric-gr£fica. tidn y la lasde poleas m/s cuando t = 0. Determine la magnitud y direccidn de su velocidad cuando / = 4 s.

y

F(N)

20

-

1 0

Prob. 15-21

Prob. 15-23

-

15-22. En el instante en que el cable se rompe, el embalaje de 200 lb se desplaza hacia arriba a 15 pies/s. Determine su rapidez 2 s despu6s. El coeficiente de fricci6n cin6tica entre el embalaje y el piano es /x* = 0.20.

*15-24. En una partfcula de 0.5 kg actua una fuerza F = {2/2i— (3r + 3)j + (10 - f^k} N, donde t est£ en segundos. Si la velocidad inicial de la partfcula es v0 = {51 + lOj + 20k} m/s, determine la magnitud de su velocidad cuando t = 3 s. •15-25. El tren se compone de una mdquina E de 30 Mg y de los carros A, B y C, cuya masa es de 15 Mg, 10 Mg y 8 Mg, respectivamente. Si las vfas proporcionan una fuerza de tracci6n de F = 30 kN en las ruedas de la m&quina, determine la rapidez del tren cuando / = 30 s, a partir del punto de reposo. Adem6s, determine la fuerza de acoplamiento horizontal en D entre la m£quina E y el carro A. Ignore la resistencia al rodamiento.

Prob. 15-25

235

15.2 Principio de impulso y cantidad de movimiento lineales para un sistema de rartIculas

15-26. El motor M jala el cable con una fuerza F, cuya magnitud varfa como se muestra en la grdfica. Si el embalaje de 20 kg originalmente est£ descansando en el suelo de modo que la tensi6n en el cable es cero en el instante en que se echa a andar el motor, determine la rapidez del embalaje cuando t = 6 s. Sugerencia: primero determine el tiempo necesario para empezar a alzar el embalaje.

•15-29. La pelota de golf de 0.1 lb recibe el golpe del palo y entonces vuela a lo la palo imparte a la pelota si aqudl se mantiene en contacto con 6sta durante 0.5 ms.

15-30. La pelota de bdisbol de 0.15 kg tiene una rapidez v = 30 m/s justo antes de que el bate la golpee. Entonces vuela a lo largo de la trayectoria mostrada antes de que el jardinero la atrape. Determine la magnitud de la fuerza impulsora promedio impartida a la pelota si est£ en contacto con el bate durante 0.75 ms.

v2 15° __ ____________ ___ .

V7

= 30 m/s ^=^L=>15°

15-27. El malacate genera una fuerza de tensidn horizontal F en su cable A el cual varfa como se muestra en la grdfica. Determine la rapidez de la cubeta de 70 kg cuando / = 18 s. Originalmente la cubeta se mueve hacia arriba a V\ = 3 m/s. *15-28. El malacate genera una fuerza de tensi6n horizontal F en su cable A el cual varfa como se muestra en la grdfica. Determine la rapidez de la cubeta de 80 kg cuando t = 24 s. Originalmente la cubeta comienza a moverse desde el punto de reposo.

12

Probs. 15-27/28

7 2.5 m

0.75 m

*1

A 100 m

Prob. 15-30

15-31. La combinaci6n de motor y cable que se muestra en la figura sube el bloque de 50 kg por el piano inclinado. El coeficiente de fricci6n cindtica entre el bloque y la superficie es /x* = 0.4. Si el bloque inicialmente se mueve hacia arriba por el piano at)0 = 2 m/s y en este instante (t = 0) el motor desarrolla una tensidn en la cuerda de T = (300 + 120 Vr) N, donde t esti en segundos, determine la velocidad del bloque cuando r = 2 s.

24

Prob. 15-31

236

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

15.3

Conservation de la cantidad de movimiento lineal de un sistema de particulas

Cuando la suma de los impulsos externos que actuan en un sistema de particulas es cero, la ecuacibn 15-6 se reduce a una forma simplificada, a saber,

2ra y, z y trace el diagrama de cuerpo libre de cada particula del sistema para identificar las fuerzas internas y externas.

•

La conservacidn de la cantidad de movimiento lineal se aplica al sistema en una direccidn donde no hay fuerzas externas o donde las fuerzas pueden ser consideradas no impulsoras.

•

Establezca la direccidn y sentido de las velocidades inicial y final de las particulas. Si se desconoce el sentido, suponga que es a lo largo de un eje de coordenadas inercial positivo.

•

Como un procedimiento altemativo, trace los diagramas de impulso y cantidad de movimiento de cada una de las particulas del sistema.

Ecuaciones de cantidad de movimiento.

•

Aplique el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales, o el de la conservacidn de la cantidad de movimiento lineal en las direcciones apropiadas.

•

Si es necesario determinar el impulso interno fFdt que actua en sdlo una particula de un sistema, entonces debe aislarse la particula (diagrama de cuerpo libre) y debe aplicarse a esta particula el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales.

•

Despuds de que se calcula el impulso y siempre que se conoz- ca el tiempo A/ durante el cual actua el impulso, entonces la fuerza impulsora promedio F prom se determina por F^m = fFdt/At.

237

238

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EJEMPLO 15.4 El vagbn cerrado A de 15 Mg rueda libremente a 1.5 m/s por la via horizontal hasta que se encuentra con un carro tanque B de 12 Mg que rueda a 0.75 m/s hacia 61, como se muestra en la figura 15-8a. Si los dos chocan y se acoplan, determine (a) la rapidez de ambos justo despu6s del acoplamiento y (b) la fuerza promedio entre ellos si el acoplamiento ocurre en 0.8 s.

(a) SOLUCI6N V

Parte (a) Diagrama de cuerpo libre.* En este caso considera- mos a los dos, carro y vagbn, como un solo sistema, figura 15-8/?. Por inspeccibn, la cantidad de movimiento se conserva en la direc- abn x puesto que la fuerza de acoplamiento F es interna al sistema y por consiguiente se anula. Se supone que los dos, al acoplarse, se mueven a v2en la direccibn x positiva. Conservacion de la cantidad de movimiento lineal. (^ )

™ A {v A ) i +

= (m A + m B )v 2

(15 000 kg)(1.5 m/s) - 12 000 kg(0.75 m/s) = (27 000kg)v 2 V 2 = 0.5 m/s —► Resp. Parte (b). La fuerza de acoplamiento (impulsora) promedio, Fprom ^ determina al aplicar el principio de cantidad de movimiento lineal a cualquiera de los dos.

(C) Fig. 15-8

Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la figura 15-8c, al aislar el vagbn cerrado la fuerza de acoplamiento es externa a 61. Principio de impulso y cantidad de movimiento. Como fFdt = Fprom Af = FpronXO.S s), tenemos (^ )

rn A(v A) x + zjFdt = (15 000 kg)(1.5 m/s)

- iyom(0.8s) =

m AV 2 (15000 kg)(0.5 m/s)

^prom = 18.8 kN Resp. NOTA: la solucibn fue posible en este caso puesto que la velocidad final del vagbn cerrado se obtuvo en la parte (a). Trate de resolver ^prom por el principio de impulso y cantidad de movimiento para el carro tanque.

*En el diagrama de cuerpo libre se muestran sdlo las fuerzas horizontales.

239

15.3 CONSERVAClON DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO UNEAL DE UN SISTEMA DE FARTfCULAS

El caftdn de 1200 lb de la figura 15-9« dispara un proyectil de 8 lb con una velocidad de salida de 1500 pies/s con respecto al suelo. Si el disparo ocurre en 0.03 s, determine (a) la velocidad de retroceso del caftdn justo despuds del disparo y (b) la fuerza impulsora promedio que actua en el proyectil. El soporte del caftdn estd fijo en el suelo y el retroceso horizontal del caftdn es absorbido por dos resortes.

Resorte de retroceso

(a)

SOLUCI6N

Parte (a) Diagrama de cuerpo libre.* Como se muestra en la figura 15-9b, consideraremos el proyectil y el caftdn como un solo sistema, puesto que las fuerzas impulsoras, F, entre el caftdn y el proyectil son internas al sistema y por consiguiente se eliminardn del andlisis. Ademds, durante el tiempo At = 0.03 s, cada uno de los dos resortes de retroceso conectados al soporte ejerce una fiierza no impulsora Fs en el caftdn. Esto se debe a que A/es muy corto, de modo que durante este tiempo el caftdn sdlo recorre una distancia s muy corta. En consecuencia, F s = ks ~ 0, donde A: es la rigidez del resorte. Entonces se concluye que la cantidad de movimiento del sistema se conserva en la direccidn horizontal. Conservacion de la cantidad de movimiento.

()

vc

m c (v c )i + m p (v p ) i = ~m c (v c ) 2 + m p (v p ) 2

(b) (v c ) 2 = 10 pies/s (v*)i, eventualmente ocurrirb la colisibn.

•

Durante la colisibn las particulas deben considerarse como de- Jbrmables o no rigidas. Las particulas experimental un periodo de deformacion de modo que ejercen un impulso de deformacibn igual y opuesto /P dt entre si, figura 15-14b.

•

Sblo en el instante de deformacion maxima ambas particulas se desplazarbn con una vebcidad constante v, puesto que su movimiento relativo es cero, figura 15-14c.

•

Despubs de un periodo de restitucion, las particulas recuperar£n su forma original o permanecerbn permanentemente deformadas. El impulso de restitucion /R dt igual pero opuesto separa las particulas, figura 1514d. En realidad, las propiedades fisicas de cualquiera de los dos cuerpos son tales que el impulso de defor- macibn siempre sera mayor que el de restitucibn, es decir fP dt> fR dt.

•

Justo despubs de la separacibn las particulas tendr£n las cantida- des de movimiento mostradas en la figura 15-14e, donde (v B )2 > (v A )2.

mA{yA)i mB{vB)x

O.

_

se requiere

Mi > (vB)i

B

Antes del impacto (a)

Jp dt

Efecto de A en B

6 9

m A(y A) B

■JP * )

Efecto de B en A

O D

A B

Impulso por deformacidn

[Deformaci6n maxima ]

(b)

(c)

fRdt

69

SRdt Efecto de B en A

Efecto de A en B

OO

m B (y B)2

A (v B h>(v A)2 B

Impulso de restituci6n (d) Fig. 15-14

2

Despu^s del impacto (e)

En la mayoria de los problemas las velocidades inieiales de las particulas serdn conocidas, y ser£ necesario determinar sus velocidades finales (v A )i y (vsh- A este respecto, la cantidad de movimiento del sistema de particulas se conserva puesto que durante la colisidn los impulsos intemos de deformacidn y restitucidn se cancelan. Por consiguiente, al remitirnos a las figuras 15-14a y 15-14e requerimos ( ^) rn A {v A)i + m B(v B), = m A (v A )2 + m B (vB )2 (15-10) Para obtener una segunda ecuacidn necesaria para resolver (v A }z y (vb)2 , debemos aplicar el principio de impulso y cantidad de movimiento a cada particula. Por ejemplo, durante la fase de deformacidn de la partfcula A y figuras 15-14a, 15-146 y 15-14c, tenemos

(^ )

m A(v A)i - J Pdt = m A v

Para la fase de restitucidn, figuras 15-14c, 15-14d y 15-14e, (^)

m Av - jR dt = m A (v A) 2

La relacidn del impulso de restitucidn al impulso de deformacidn se llama coeficiente de restitucidn, e. De acuerdo con las ecuaciones ante- riores, este valor para la partfcula A es

II

Rdt

e=

pdt

v M -

2

(v^)l -

V

Asimismo, podemos establecer esi consideramos la particula B y figura 15-14. Esto resulta en

I

/

Rdt

e=

Pdt

{V B )2 ~ V v(i>b)i

Si se elimina la incdgnita v de las dos ecuaciones anteriores, el coeficiente de restitucidn puede expresarse en funcidn de las velocidades inicial y final de las particulas como

(*)

(vsh ~ M 2 Ml ~

(ttfl)l

(15-11)

250

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Siempre que se especifica un valor para e> las ecuaciones 15-10 y 15-11 pueden resolverse simulttineamente para obtener (v A ) 2 y (v B ) 2. Sin embargo, para ello es importante establecer con cuidado una conven- d6n de signos para definir la direccidn positiva tanto de \ A como de \ B y luego utilizarla consistentemente cuando se escriban ambas ecuaciones. Como se vio en la aplicacidn mostrada, e indicada simbdlicamente por la flecha entre pardntesis, definimos la direccidn positiva hacia la derecha cuando se refiere a los movimientos tanto de A como de B. Por consiguiente, si en la solucidn de (Vjfh o (v B)2resulta un valor negativo, ello indica que el movimiento es hacia la izquierda.

La calidad de fabrication de una pelota de tenis se mide por la altura de su rebote, la cual puede relacionarse con su coeficiente de restitucion. Por medio de la mecanica del ingenieros pueden dise- nar un dispositivo de separation para eliminar las pelotas que estan por debajo del estandar de una lfnea de production.

Coeficiente de restitucidn. De acuerdo con las figuras 15-14# y 15-14e,se ve que la ecuacidn 15-11 establece que e es igual a la rela- ddn de la velocidad relativa de la separacidn de las particulas justo despues del impacto, (v B) 2 (v A ) 2 a la velocidad relativa de aproxima- ddn de las particulas justo antes del impacto, (va)i - (v*)i. Al medir estas veloddades relativas de manera experimental, se ha visto que e varia apreciablemente con la velocidad de impacto asi como tambidn con el tamafio y forma de bs cuerpos que chocan. Por eso el coefi- dente de restitucidn es confiable sdlo cuando se utiliza con datos que iepresenten con fidelidad las condiriones que se sabia existian cuando se tomaron las mediciones. Por lo general, e tiene un valor entre cero y uno, y debemos estar al tanto del significado fisico de estos dos Kmites.

Impacto elastico (e = 1). Si la colisidn entre las dos particulas es perfectamente eldstica, el impulso de deformacidn (/P dt) es igual y opuesto al impulso de restitucidn (/R dt). Aun cuando en realidad esto nunca puede ser, e = 1 en el caso de una colisidn eldstica.

Impacto plastico (e = 0). Se dice que el impacto es ineldstico o plastico cuando e = 0. Entecaso nohay impulso de restitucidn (/R dt = 0), por lo que despuds de la colisidn ambas particulas se acoplan o perma- necen en contacto y se mueven con una velocidad comun. Por la derivacidn anterior es evidente que no puede utilizarse el prindpio de trabajo y energia en el andlisis de problemas de impacto ya que no es posible saber cdmo varian o se desplazan las fuerzas internas de deformacidn y restitucidn durante la colisidn. Sin embargo, al conocer las velocidades de las particulas antes y despuds de la colisidn, la pdr- dida de energia durante la colisidn se calcula como la diferencia de la energia cindtica de las particulas. Esta pdrdida de energia, 2 = 2T2 - 'ZT l ocurre porque una parte de la energia cindtica de la particula se transforma en energia tdrmica y porque tambidn genera ruido y una deformacidn localizada del material cuando ocurre la colisidn. En particular, si el impacto es perfectamente elastico, no se pierde energia en la colisidn; mientras que si es plastico, la pdrdida de energia durante la colisidn es mdxima.

15.4 IMPACTO

Procedimiento para el analisis (Impacto central)

V K>2

0

251

( y B)yf

B /\

'X ^ linea de impacto

2 < En la mayoria de los casos se tienen que determinar las velocidades finales f > de las dos particulas justo despues de que se someten a un impacto central 1 ( directo. Siempre que se conozcan el coeficiente de restitucibn, la masa y la Vfi)r Plano de velocidad inicial de cada particula justo antes del impacto, la solucibn de (a contacto este problema se obtiene median- te las dos siguientes ecuaciones: ) • La conservacibn de la cantidad de movimiento es aplicable al sistema de particulas, 'Zmv\ = Hmv 2. • El coeficiente de restituci6n, e = [(%)2 -“ (Vjj)i], relaciona las velocidades relativas de las particulas a lo largo de la linea de impacto, justo antes Cuando se aplican estas dos ecuaciones, puede suponerse el senti- do de una velocidad desconocida. Si la solucibn da una magnitud negativa, la velocidad actua en el sentido opuesto. SFdt

m A (\ A x )2

©

m B(v Bx )2 ImpdCtO oblicuo. Cuando entre dos particulas ocurre un impacto oblicuo, bstas se apartan una de otra con velocidades de direcciones y magnitudes desconocidas. Siempre que se conozcan las velocidades iniciales, habrb cuatro incbgnitas en el problema. Como se muestra en la figura 15-15a, estas incbgnitas pueden representarse o como (1^)2, (VB)2, ^2 y 2*0 como los componentes x y y de las velocidades finales.

(b) Fig. 1515

Procedimiento para el analisis (Impacto oblicuo) Si el eje y se establece dentro del piano de contacto y el eje x a lo largo de la linea de impacto, las fuerzas impulsoras de deformacibn y restitucibn actuan solo en la direccion x> figura 15-156. Al descomponer la velocidad o los vectores de cantidad de movimiento en componentes a lo largo de los ejes x y y, figura 15-156, entonces es posible escribir cuatro ecuaciones escalares independientes para determinar {VAx)2,{VAy)l, {v B x)l y • La cantidad de movimiento del sistema se conserva a lo largo de la linea de impacto, eje x, de modo que ^m(v x \

= ^m(v x ) 2 .

El coeficiente de restitucibn e = \{v Bx )2 ~ {vax)t\I[( v Ax)\ ~ (v£*)i]> relaciona los componentes de las velocidades relativas de las particulas alo largo de la linea de impacto (eje x). • Si estas dos ecuaciones se resuelven simultdneamente, obtenemos (1^)2 y {v Bx )i•

•

La cantidad de movimiento de la particula A se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la linea de impacto, puesto que no actua ningun impulso en la particula A en esta direccibn. Por consiguiente m A (v Ay )i = m A (v A y ) 2 O (v A > )i -

(v Ay ) 2 . •

La cantidad de movimiento de la particula B se conserva a lo largo del eje y, perpendicular a la Hnea de impacto, puesto que no actua ningun impulso en la particula B en esta direccibn. Por consiguiente (VBy) 1 = (VfiyhLa aplicacibn de estas cuatro ecuaciones se ilustra en el ejemplo 15.11.

252

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EJEMPLO 15.9 La bolsa A, que pesa 6 lb, se suelta del punto de reposo en la posiadn 0 = 0°, como se muestra en la figura 15-16a. Despuds de que cae a 9 = 90°, choca con la caja B que pesa 18 lb. Si el coeficiente de restitucidn entre la bolsa y la caja es e = 0.5, determine las veloddades de la bolsa y la caja justo despuds del impacto. ^Cudl es la pdrdida de energia durante la colisidn? SOLUCI6N

Linea de impacto

Este problema implica impacto central. ^Por qud? Antes de analizar la mecdnica del impacto, prime ro se requiere ob tener la velocidad de la bolsa justo antes de que choque con la caja. Conservacldn de la energfa. Con el piano de referencia en 9 = 0°, figura 15-16/?, tenemos

(a)

T0 + V 0 = Tt + V, Flano de referencia

=A( _

0+ 0

61b

)(^)i — 6

lb(3pies);

(v A )t = 13.90

pies/s .2 pies/s2.

Conservacion de la cantidad de movimiento. Despuds del 2V32. impacto supondremos que A y B se desplazan a la izquierda. Si : aplicamos la conservacidn de la cantidad de movimiento al sistema, figura 15-16c, tenemos

3 pies

(-*■)

0+

m B (v B )

(32.

1+

m A (v A )i

=

m B (v B ) 2 + m A {v A ) 2

)(!3.90 Pie./.) -

2 pies/s

32.2 pies/s2 / pies,

V

32.2 (1)

{v A )i = 13.90 - 3( V b )2

Coeficiente de restitucidn. Al darnos cuenta de que para que ocurra la separacidn despuds de la colisidn (v^ > (Va)2, figura 15-16c, tenemos (»«)2 - Mi „ ,

(*)

e=

* (vBh = 0

M:

(VB)I

(V B ) 2 ~

0.5 =

(V A ) 2

13.90 pies/s -

0

(2 )

{v A )2 = {v B ) 2 - 6.950 Al resolver las ecuaciones 1 y 2 simultdneamente se obtiene

B

(VA )I

2l/i-2 21/1-2 =

B

Ml

(V/4>2

Justo despu^s del impacto

(c) Fig. 15-16

~ 1-74 pies/s = 1.74 pies/s —► y (vB )2 = 5.21 pies/s ) 2 {v' D ) 2 = 1.071 m/s Conservacibn de la energia. La rapidez del disco se obtiene mediante la ecuacidn de conservacibn de la energfa en el punto donde se lanzb el disco y en el punto donde la cuerda se alargb 0.2 m. T l + v 1 = T 2 + v 2 2m D{vD ) i + \kx\ = \m D (v D )2 + \kx\ \{2 kg)(1.5 m/s)2 + 0 = |(2 kg)(uz>)2 + ^(20 N/m)(0.2 m)2 {V D)I = 1-360 m/s = 1.36 m/s

Resp.

Ya determinado (v D )2 y su componente (v'D)2, la tasa de alarga- miento de la cuerda o el componente radial, (v'b) 2 se determina por el teorema de Pitdgoras,

{v'b) 2 = \/{Vd)1 - {v'd)1 = V(l'.360 m/s)2 - (1.071 m/s)2 = 0.838 m/s

Resp.

Rg. 15-26

272

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F15-19. La partfcula A de 2 kg tiene la velocidad que se muestra. Determine su cantidad de movimiento angular H0con respecto al punto O.

F15-22. El bloque de 5 kg gira alrededor de la trayectoria circular con centro en O sobre el piano horizontal liso cuando se somete a la fuerza F = (10/) N, donde t est£ en segundos. Si el bloque comienza a moverse a partir del punto de reposo, determine su rapidez cuando t = 4 s. Ignore el tamaflo del bloque. La fuerza mantiene el mismo Angulo constante tangente a la trayectoria.

F15-19 F15-20. La partfcula A de 2 kg tiene la velocidad que se muestra. Determine su cantidad de movimiento angular Hpcon respecto al punto P. 15 m/s

F15-21. Inicialmente, el bloque de 5 kg gira con una velocidad constante de 2 m/s alrededor de la trayectoria circular con centro en O sobre el piano horizontal liso. Si se aplica una fuerza tangencial constante F = 5 N al bloque, determine su rapidez cuando t = 3 s. Ignore el tama- fto del bloque.

F15-22 F15-23. La esfera de 2 kg est£ unida a la barra rfgida lige- ra, la cual gira en el piano horizontal con centro en O. Si el sistema se somete a un momento de par M = (0.912) N • m, donde t est£ en segundos, determine la rapidez de la esfera en el instante t = 5 s a partir del punto de reposo.

F15-23 F15-24. Dos esferas idSnticas de 10 kg est4n unidas a la barra rfgida ligera, la cual gira en el piano horizontal con centro en O. Si las esferas se some ten a fuerzas tangenciales P = 10 N y la barra se somete a un momento de par M = (8f) N ■ m, donde t est£ en segundos, determine la rapidez de las esferas en el instante t = 4 s. El sistema comienza a moverse a partir del punto de reposo. Ignore el tamaflo de las esferas. P = 10N

F15-21

F15-24

15.7 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES

273

PROBLEMAS 15-90. Las esferas Ay B pesan 4 lb cada una y estdn sol- dadas en las barras que estdn rfgidamente conectadas a una flecha como se muestra. Si la flecha se somete a un momento de par M = (412 + 2) lb • pie, donde t estd en segundos, determine la velocidad de A y B cuando f = 3 s. El sistema comienza a moverse a partir del punto de reposo. Ignore el tamaflo de las esferas.

15-92. El bloque de 10 lb descansa sobre una superficie para la cual n k =05. En 61 acttian una fuerza radial de 2 lb y una fuerza horizontal de 7 lb, siempre dirigida a 30° de la tangente a la trayectoria como se muestra. Si en un principio el bloque se mueve en una trayectoria circular con una rapidez v x = 2 pies/s en el instante en que se aplican las fuerzas, determine el tiempo requerido antes de que la tensi6n en la cuerda AB sea de 20 lb. Para efectos de cdlculo, ignore el tamaflo del bloque. 1593. El bloque de 10 lb estd en reposo sobre la superficie lisa En 6\ actuan una fuerza radial de 2 lb y una fuerza horizontal de 7 lb, siempre dirigida a 30° de la tangente a la trayectoria, como se muestra. Determine cudnto tiempo necesita para romper la cuerda, la cual requiere una tensidn de T = 30 lb. ^Cudl es la rapidez del bloque cuando esto ocurre? Para efectos de cdlculo, ignore el tamaflo del bloque.

15-91. Si la barra de masa (su peso se pasa por alto) se somete a un momento de par M = (30J2) N • m y el motor del carro genera una fuerza de tracci6n F = (150 N a las ruedas, donde t estd en segundos, determine la rapidez del carro en el instante t = 5 s. El carro arranca desde el punto de reposo. La masa total del carro y el conductor es de 150 kg. Ignore el tamaflo del carro. 1594. Un cafl6n dispara un proyectil de 3 kg de masa con una velocidad de salida de % = 500 m/s. Determine su cantidad de movimiento angular con respecto al punto O cuando alcanza la altura mdxima de su trayectoria.

Prob. 15-91

Prob. 15-94

274

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1595. La bola de 3 lb situada en A se suelta del punto de reposo y desciende a lo largo de la trayectoria curva. Si la bola ejerce una fuerza normal de 5 lb en la trayectoria cuando llega al punto B, determine su cantidad de movimiento angular con respecto al centro de curvatura, punto O. Sugerencia: ignore el tamafto de la bola. Antes debe determinarse el radio de curvatura en el punto B.

•15-97. La masa de cada una de las dos esferas es de 3 kg y est£n unidas a la barra de masa insignificante. Si se aplica un par de torsidn M = (6eft2r) N • m a la barra, donde t est£ en segundos como se muestra, determine la rapidez de cada una de las esferas en 2 s, a partir del punto de reposo. 1598. La masa de cada una de las dos esferas es de 3 kg y est£n unidas a la barra de masa insignificante. Determine el tiempo que el par de torsidn M = (8f) N • m, donde t est£ en segundos, se debe aplicar a la barra de modo que cada esfera alcance una rapidez de 3 m/s a partir del punto de reposo.

*o

Prob. 15-95

Probs. 15-97/98

*15-96. La bola B tiene una masa de 10 kg y est£ unida al extremo de una barra cuya masa puede ser ignorada. Si la flecha se somete a un par de torsi6n M = (2s 2 + 4) N • m, donde t est£ en segundos, determine la rapidez de la bola cuando t = 2 s. Cuando t = 0 la rapidez de la bola es v = 2 m/s.

1599. Un juego mec£nico consta de un carro suje- to al cable OA. El carro gira en una trayectoria circular horizontal y alcanza una rapidez V\ = 4 pies/s cuando r = 12 pies. Luego se tira del cable a una velocidad constante de 0.5 pies/s. Determine la rapidez del carro en 3 s.

15.7 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES

*15-100. Se lanza un satdlite de 700 kg de masa a una trayectoria de vuelo libre alrededor de la Tierra con una rapidez inicial de v A = 10 km/s, cuando la distancia al centro de la Tierra es r A = 15 Mm. Si el Angulo de lanzamiento en esta posicidn es A = 70°, determine la velocidad v B del satdlite y su distancia mds cercana r B al centro de la tierra. La masa de dsta es M e = 5.976 (1024)kg. Sugerencia: en estas condiciones, el satdlite se somete sdlo a la fuerza gravitacional terrestre, F = GM/nJi2, ecuacidn 13-1. En una parte de la solucidn, use la conservacidn de la energfa.

275

15-102. Un gimnasta de 80 kg de masa se sostiene en bs dos aros con sus brazos abajo en la posicidn mostrada mientras oscila hacia abajo. Su centro de masa estd en el punto Gj. Cuando estd en la posicidn mds baja de su osci- lacidn, su velocidad es (t>G)i = 5 m/s. En esta posicidn, de repente deja sus brazos arriba y su centro de masa cambia a la posicidn G2. Determine su nueva velocidad en la oscilacidn hacia arriba y el dngulo 0 al cual oscila antes de detenerse momentdneamente. Trate su cuerpo como una partfcula.

Prob. 15-100

•15-101. La bola de 2 kg describe una trayectoria circular de 0.5 m de didmetro a una rapidez constante. Si la longitud de la cuerda se acorta de / = 1 m a F = 0.5 m, al jalar de ella a travds del tubo, determine el nuevo didmetro de la trayectoria d'. Tambidn, ^cudl es la tensidn en la cuerda en cada caso?

Prob. 15-102

15-103. Las cuatro esferas de 5 lb estdn rfgidamente unidas a la cruceta de peso insignificante. Si se aplica un momento de par M = (0.5f + 0.8) lb • pie, donde t estd en segundos, como se muestra, determine la rapidez de cada una de las esferas en 4 segundos a partir del reposo. Ignore el tamaflo de las esferas.

Prob. 15-103

276

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

*15-104. Cuando r = 1.5 m, al disco de 5 kg se le impulsa una rapidez de15-106. v = 5 m/s, A unperpendicular balfn de masa a la m cuerda se le imparte etesti- ca. unaDetermine velocidad su de rapidez t>0 y la raz6 la cuerda etestica cuando r = 1.2 m. El disco se desliza sobre el piano horizontal en A paralela liso. Ignore al arosuhorizontal tamaflo. Ladelongitud un taz6n sinliso. alargar Determine de la cuerda la es de 0.5 m magnitud de la velocidad vdel balfn cuando cae una distancia vertical h para llegar al punto B. El Angulo 0 se mide entre v y la lfnea horizontal que pasa por B.

H

r2„ r

o

Prob. 15-104 Prob. 15-106

•15-105. El carro de 150 lb de un juego mecinico est£ conectado a una pluma telescdpica giratoria. Cuando r = 15 pies, el carro se desplaza en una trayectoria circular horizontal a una rapidez de 30 pies/s. Si la pluma se acorta a razdn de 3 pies/s, determine la rapidez del carro cuando r = 10 pies. Ademds, determine el trabajo realizado por la fuerza axial F a lo largo de la pluma. Ignore el tamaflo del carro y la masa de la pluma.

Prob. 15-105

15-107. Cuando a un pgndulo de 2 kg se le imparte una rapidez horizontal de 1.5 m/s, comienza a girar alrededor de la trayectoria circular horizontal A. Si se incrementa la fuerza F en la cuerda, el p6idulo se eleva y luego gira alrededor de la trayectoria circular horizontal B. Determine su rapidez alrededor de la trayectoria B. Ademds, determine el trabajo realizado por la fuerza F.

Prob. 15-107

277

15.8 FLUJO CONTINUO DE UNA CORRIENTE DE FLUIDO

1 5 . 8 Flujo continuo de una corriente de fluido Hasta este punto hemos limitado nuestro estudio de los principios de impulso y cantidad de movimiento a un sistema de particulas conte- nidas dentro de un volumen cerrado. En esta seccidn, sin embargo, aplicaremos el principio de impulso y cantidad de movimiento al flujo de masa constante de particulas de fluido que entran a y salen de un volumen de control. Este volumen se define como una regidn en el espa- cio donde particulas de fluido pueden fluir hacia dentro o hacia fuera de ella. Con frecuencia se hace que el tamaflo y forma del volumen de control coincidan con los limites sdlidos y aberturas de un tubo, turbi- na o bomba. Siempre que el flujo del fluido hacia dentro del volumen de control sea igual al de salida, en ese caso el flujo puede clasificarse como flujo continuo.

Principio de impulso y cantidad de movimiento. Considere el flujo continuo de una corriente de fluido en la figura 15-27a que circula a travSs de un tubo. La regidn dentro del tubo y sus aberturas se considerar£n como el volumen de control. Como se muestra, el fluido fluye hacia dentro y hacia fuera del volumen de control con velocidades \A y vfi, respectivamente. El cambio de la direccidn del fluido dentro del volumen de control lo provoca el impulso de la fuerza externa resultante ejercida en la superficie de control por la pared del tubo. Esta fuerza resultante se determina al aplicar el principio de impulso y cantidad de movimiento al volumen de control. (a) Fig. 15-27

En principio, el aire de un lado de este ventilador esta en reposo y conforme pasa a traves de las aspas su cantidad de movim flujo de aire de esta manera, las aspas deben ejercer un empuje horizontal en la corriente de aire. A medida que las aspas gi podria veneer la resistencia al rodamiento de las ruedas en el suelo y comenzar a mover la estructura del ventilador.

La banda transportadora debe suministrar fueizas de friction a la grava que cae sobre ella para cambiar la cantidad de movimi ento de la corriente de grava, de modo qu desplazarse a lo largo de la banda.

278

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

(b)

15

Como se indica en la figura 15-276, una pequefta cantidad de flujo de masa dm estA a punto de entrar al volumen de control por la abertura A a una velocidad vA en el instante t. Como el flujo se considera continuo, en el instante t + dt, la misma cantidad de fluido saldr£ del volumen de control por la abertura B a una velocidad yB. Las cantidades de movimiento de fluido que entran y salen del volumen de control son, por consiguiente, dm yA y dm vB, respectivamente. Ademds, durante el instante dt, la cantidad de movimiento de la masa de fluido dentro del volumen de control permanece constante y se denota como my. Como se muestra en el diagrama central, la fuerza externa resultante ejercida en el volumen de control produce el impulso 2F dt. Si aplicamos el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales, tenemos dm \A + m\ + 2Fdt = dm yB + my Si r, rA, rB son vectores de posicidn medidos desde el punto O a los centros geomdtricos del volumen de control y las aberturas en Ay B, figura 15-276, entonces el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales con respecto a O se vuelve rA X dm yA + r X my + r' X 2F dt = r X my + t b X dm yB

Fig. 15-27 (cont)

Si dividimos ambos lados de las dos ecuaciones anteriores entre dt y simplificamos, tenemos

dm. =

B

~dt~^ ~

=

dm

~dt~^

(15-25)

Va)

B XYB

~

TaX

(15-26)

15.8 Flujo continuo de una corriente de fluido

El tdrmino dm/dt se llama flujo de masa. Indica la cantidad constante de fluido que se dirige hacia dentro o hacia fuera del volumen de control por unidad de tiempo. Si las dreas de secckm transversal y densidades del fluido a la entrada A son AAt p A y a la salida B, AB y p B, figura 15-27c, entonces, para un fluido incompresible, la continuidad de masa requiere que dm = pdV = p A(dsAAA) = psidssAs). Por tanto, durante el instante dt> como vA = dsA/dt y vB = dsB/dty tenemos dm/dt = PAVAAA = p BvBAB o, por lo general,

dm ~dt = pvA = pQ

(15-27)

El tdrmino Q = vA mide el volumen de fluido por unidad de tiempo y se conoce como descarga o flujo volumetrico.

Procedimiento para el analisis Los problemas que implican flujo continuo se resuelven por el siguiente procedimiento. Diagrama cinemdtico.

•

Identifique el volumen de control. Si estd en movimiento, un diagrama cinematico puede ayudar a determinar las velocidades de entrada y salida del fluido que va hacia dentro y hacia fuera de sus aberturas puesto que se realizard un analisis de movimiento relativo. • Un observador fijo debe medir las velocidades vA y vB en un marco de referencia inercial. • Una vez que se determina la velocidad del fluido que entra al volumen de control, el flujo de masa se calcula con la ecuacidn 15-27. Diagrama de cuerpo libre.

•

Trace el diagrama de cuerpo libre del volumen de control para establecer las fuerzas SFque actuan en 61. Estas fuerzas inclui- rdn las reacciones de los apoyos, el peso de todas las partes sdli- das y el fluido contenido en el volumen de control y las fuerzas producidas por la presidn manom6trica estdtica en las seccio- nes de entrada y salida* La presidn manom6trica es la presidn medida por encima de la presidn atmosf6rica,y por tanto si una abertura se expone a la atmdsfera, en dsta la presidn manomd- trica serd cero.

Ecuaciones de flujo continuo.

•

Aplique las ecuaciones de flujo continuo, ecuaciones 15-25 y 1526, por medio de los componentes de velocidad y fuerza apropiados, los cuales se muestran en los diagramas de cuerpo libre y cinemdtica.

*En el sistema SI, la presi6n se mide con el pascal (Pa), donde 1 Pa = 1 N/m 2.

279

280

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EJEMPLO 115.16 A

Determine los componentes de reaccidn que la junta A fija del tubo ejerce en el codo en la figura 15-28a, si el agua que fluye por el tubo se somete a una presidn manomdtrica estdtica de 100 kPa en A. La descarga en B es QB = 0.2 m3/s. La densidad del agua es pw = 1000 kg/m3 y la masa del codo lleno de agua es de 20 kg con su cen- tro de masa en G.

SOLUCI6N

0.3 m —*j ‟

Consideraremos que el volumen de control es la superficie externa del codo. Con un sistema de coordenadas inercial fijo, la velocidad de flujo en A y B y la velocidad de flujo de masa se calculan con la ecuacidn 15-27. Como la densidad del agua es constante, Qs = QA = Q- Por consiguiente, = p wQ = (1000 kg/m3) (0.2 m3/s) = 200 kg/s 0.2 m3/s

(a)

AB 7t(0.05 m): O 0.2 m3/s VA = ~T~ =

= 637

m S

/

A

AA 77„(0.1 m)

Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del volumen de control (codo), figura 15-286, la conexidn fija en A ejerce un momento de par resultante y componentes de fuerza F x y Fy en el codo. Debido a la presidn estdtica en el tubo, la fuerza producida por la presidn que actua en la superficie de control abierta enA es FA = p AAA. Como 1 kPa = 1000 N/m2, FA = PAAA = [100(103) N/m2]['7r(0.1 m)2] = 3141.6 N

0.125 m

-

0.3 m —

(b) Fig. 15-28

En B no actua ninguna presidn estdtica, puesto que el agua se descarga a la presidn atmosfdrica, es decir, la presidn medida por un mandmetro en B es igual a cero,p B = 0. Ecuaciones de flujo continuo. ^(vBx -

vAx)\

-Fx + 3141.6 N = Fx = 4.41 kN

200 kg/s(0 - 6.37 m/s) Resp.

+ ]'ZF y= d-^(vBy-vAy)\-Fy-20(9.81)N = 200kg/s(-25.46 m/s - 0) Fy = 4.90 kN

Resp.

Si se suman losmomentos con respecto al punto O, figura 15-286, entonces F* y F y, y la presidn estdtica F^ se eliminan, asi como el momento de la cantidad de movimiento del agua que entra por A, figura 15-28a. Por consiguiente, C + 'ZM Q = ~^-(d OBvB - dOAvA) M 0 + 20(9.81) N (0.125 m) = 200 kg/s[(0.3 m)(25.46 m/s) - 0] M0 = 1.50 kN • m

Resp.

281

15.8 FLUJO CONTINUO DE UNA CORRIENTE DE FLUIDO

EJEMPLO 15.17 Un chorro de agua de 2 pulg de di£metro que sale con una velocidad de 25 pies/s choca con un aspa en movimiento, figura 15-29a. Si el aspa se aleja del chorro a una velocidad constante de 5 pies/s, determine los componentes horizontal y vertical de la fuerza que el aspa ejerce en el agua. iQu6 potencia genera el agua en el aspa? El peso espedfico del agua es yw = 62.4 lb/pie3. SOLUCI6N

Diagrama cinematico. En este caso el volumen de control es la corriente de agua sobre el aspa. Con respecto a un sistema de coordenadas inercial fijo, figura 15-29b, la velotidad a la cual entra el agua al volumen de control por A es \A = {25i} pies/s

Vht = 5 pies/s

La velocidad de flujo re lativ a dentro del volumen de control es vw/cv = V »v - ycv = 25i — 5i = {20i} pies/s. Como el volumen de control se mueve con una veloddad \cv = {5i} pies/s, la veloddad de flujo en B medida con respecto a bs ejes x> y fijos es la suma vectorial, mostrada en la figura 1529b. Donde, y

B

=v cv

v w = 25 pies/s (a)

"i” y w/cv

= {5i + 20j} pies/s Por tanto, la masa del flujo de agua sob re el volumen de control que experimenta un cambio de cantidad de movimiento es 21 = 0.8456 slug/s P w{V \vI cv )Aa ( 322)^^ ^( 12) d m ~d i Diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre del volumen de control se muestra en la figura 15-29c. El peso del agua se omitir£ en el c£lculo, puesto que esta fuerza es minima comparada con los componentes de reaccidn ¥ x y Fy. Ecuaciones de flujo continuo.

SF

=f(va-v.)

-Fxi + FJ = 0.8456(5i + 20j - 251) Poner en la ecuacidn los componentes i y j respectivos, resulta Fx = 0.8456(20) = 16.9 lb «Fy = 0.8456(20) = 16.9 lb t

Resp. Resp.

El agua ejerce fuerzas iguales pero opuestas en el aspa. Como la fuerza del agua que hace que el aspa se mueva hacia delante en sentido horizontal con una velocidad de 5 pies/s es Fx = 16.9 lb, entonces, de acuerdo con la ecuacidn 14-10, la potencia es 16.9 lb(5 pies/s) P P = F*v» = cent, // • iLTT = 0.154hp 550 hp/(pies - lb/s)

Rg. 15-29

282

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

*15.9 Propulsion con masa variable Un volumen de control que pierde masa. Considere un dispositivo, un cohete, por ejemplo, que en un momento dado tiene una masa m y que se desplaza hacia delante con una velocidad v, figura 15-30a. En ese mismo instante, el dispositivo expele la cantidad de masa m e con una velocidad de flujo \e. Para el anilisis, el volumen de control incluir^ tanto la masa m del dispositivo como la masa expe- lida m e. Los diagramas de impulso y cantidad de movimiento del volumen de control se muestran en la figura 15-306. Durante el tiempo dt, su velocidad se incrementa d e v a v + rfv puesto que una cantidad de masa dm e ha sido expulsada y por tanto se incrementd el escape. Este incremento de la velocidad hacia delante, sin embargo, no cambia con la velocidad \e de la masa expelida, como lo veria un observador fijo, puesto que la masa se mueve a una velocidad constante una vez que ha sido expulsada. Los impulsos son creados por 2F c„,la cual representa la resultante de todas las fuerzas externas, como resisten- cia al avance y peso, que actuan en el volumen de control en la direc- d6n del movimiento. Esta resultante de fuerzas no incluye la fuerza que impulsa al volumen de control hacia delante, puesto que esta fuerza (llamada empuje) es interna al volumen de control; es decir, el empuje actua con magnitud igual pero direccidn opuesta en la masa m del dispositivo y la masa expelida m e* Al aplicar el principio de impulso y cantidad de movimiento al volumen de control, figura 15306, tenemos volumen de control

( ^ ) mv - m eve + 2,Fcvdt = (m - dm e)(v + dv) - (m e + dm e)ve o 2FCU dt = -v dm e + m dv - dm e dv - ve dm e

(m - dme) (v + dv) ►

mv me y XFndt

e

m

+

me

(me + dme)v, M

-------

m— dme

(me + dme) Tiempo t

Instante dt

Tiempo t + dt

(b) Fig. 15-30

*2F representa la fuerza resultante externa que actua en el volumen de control, el cual es diferente de F, la fuerza resultante que actua en el dispositivo.

15.9 Propulsion con masa variable

Sin perder precisidn, se puede omitir el tercer t^rmino del lado derecho puesto que es una diferencial de “segundo grado”. Al dividir entre dt se obtiene

(» + Ve)

\blumen de control

1

dm (

~d i La velocidad del dispositivo vista por un observador que se mueve junto con las particulas de la masa expulsada es vDfe = (v + ve) y por tanto el resultado final puede escribirse como _

dv = m-

dm

V ( Df ~dt e

(15-28)

Aqui el t£rmino dmjdt representa la tasa a la cual se expulsard la masa. Para ilustrar una aplicacidn de la ecuacidn 15-28, considere el cohete en la figura 15-31, cuyo peso es W y que asciende contra una fuerza de resistencia atmosfdrica F D. El volumen de control que se considerard se compone de la masa del cohete y de la masa del gas expulsado, m e. Al aplicar la ecuacidn 1528 se obtiene (+t)

W=

W_ dv g

VDfe

dm (

~d i dt El ultimo tdrmino de esta ecuacidn representa el empuje T que el escape del motor ejerce en el cohete, figura 15-31. Si reconocemos que dv/dt = a, entonces podemos escribir (+t)

W T - FD - W = —a 8

Si se traza un diagrama de cuerpo libre del cohete, es obvio que esta ecuacidn representa una aplicacidn de 2F = ma para el cohete.

Un volumen de control que gana masa. Un dispositivo, como un cuchardn o una pala, pueden ganar masa al moverse hacia delante. Por ejemplo, el dispositivo que se ilustra en la figura 15-32a tiene una masa my se mueve hacia delante con una velocidad v. En este momento, el dispositivo recopila una corriente de particulas de masa m t. La velocidad de flujo v, de esta masa inyectada es constante e independiente de la velocidad v de modo que v > v/. El volumen de control que se considerard aqui incluye tanto la masa del dispositivo como la masa de las particulas inyectadas.

Volumen de control

283

Fig. 15-31

284

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Los diagramas de impulso y cantidad de movimiento se muestran en la figura 15-326. Junto con un incremento de masa dm t adquirido por el dispositivo, existe un supuesto incremento de la velocidad d\ durante d intervalo de tiempo dt. Este incremento lo causa el impulso creado por £F cc,la resultante de todas las fuerzas que actuan en el volumen de control en la direccidn del movimiento. La suma de las fuerzas no inclu- ye la fuerza de retardo de la masa inyectada que actua en el dispositivo. ^Por qud? Al aplicar el principio de impulso y cantidad de movimiento al volumen de control, tenemos SFJ m

(-*►) mv + mfli + £Fcvdt = (m + dm/){v + dv) + (ra,- - dm fa (c)

Hg. 15-32 (cont)

Si utilizamos el mismo procedimiento que en el caso anterior, podemos escribir esta ecuacidn como

dv ^ . 2 Fa> = m - + { v - V i ) —

dm t

Como la velocidad del dispositivo vista por un observador que se mueve junto con las particulas de la masa inyectada es vo/i = (v - Vj) 9 el resultado final puede escribirse como

„ _ dv 2,FL. = m— + v D jf dt

dm,

(15-29)

dt

donde dmjdt es la proporcidn de masa inyectada al dispositivo. El ultimo tdrmino de esta ecuacidn representa la magnitud de la fuerza R, que la masa inyectada ejerce en el dispositivo, figura 15-32c. Como dv/dt = a> la ecuacidn 15-29 se escribe 2FCV - R = ma El cajdn rascador detras de este tractor representa un dispositivo que gana masa. Si el tractor mantiene una veloddad constante v, entonces dv/dt = 0 y, como la tierra originalmente esta en reposo, Vofi = v. Al aplicar la ecuadon 15-29, la fuerza de remolque horizontal en el cajon rascador es entonces T = 0 + v(dm/dt), donde dm/dt es la cantidad de tierra acumulada en el cajdn.

Esta es la aplicacidn de £F = ma. Como en el caso de problemas de flujo continuo que se resuelven con las ecuaciones 15-28 y 15-29 deberdn ir acompafiados por un volumen de control identificado y el diagrama de cuerpo libre necesario. Con el diagrama podemos determinar entonces 2Fcvy aislar la fuerza ejercida en el dispositivo por la corriente de particulas.

285

15.9 Propulsion con masa variable

EJEMPLO 15.18 La masa inicial combinada de un cohete y su combustible es m0. Una masa total m/ se consume a una proporcidn constante de dm e/dt = c y expele a una tasa constante de u con respecto al cohete. Determine la velocidad maxima de dste, es decir, en el instante en que el combustible se agota. Ignore el cambio del peso del cohete con la altitud y la resistencia al avance del aire. El coh ete se lanza verticalmente desde el punto de reposo.

SOLUCI6N

Como el cohete pierde masa al ascender, para la solucidn puede utilizarse la ecuacidn 15-28. La unica fuerza externa que actua en el volumen de control compuesto del cohete y una parte de la masa expelida es el peso W, figura 1533. Por consiguiente,

. t v p

dv

+T

dm

-

e

,

vD/e-JP -W =

1/

dv

-

uc

(1)

La velocidad del cohete se obtiene integrando esta ecuacidn. En cualquier momento dado t durante el vuelo, la masa de cohete puede expresarse como m = m 0 - (dm e/dt)t = m 0 - ct. Como W = mg, la ecuacidn 1 se escribe -(m0 - ct)g = (mo - cf- uc Al separar las variables e integrarlas, asi como tener en cuenta que v = 0 cuando t = 0, tenemos

l*-

I Hw

yi = u ln("———\ - gt (2) o \m0-ctj

v = -u\n(m 0 - ct) - gt

Observe que el despegue requiere que el primer tdrmino de la dere- cha sea mayor que el segundo durante la fase inicial del movimiento. El tiempo t' requerido para consumir todo el combustible es

m ,

o \ t\

■ (i?y -

Por consiguiente,

Hg. 15-33 r |

t‟ = mj/c

\ri

__________ j Si sustituimos en la ecuacidn 2 tenemos = Mlnf———) - ^

Resp.

\m 0 - m fJ c

286

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EJEMPLO 15.19 Una cadena de longitud /, figura 15-34a, tiene una masa m. Determine la magnitud de la fuerza F requerida para (a) subir la cadena con una rapidez constante vCi a partir del reposo cuando y = 0; y (b) bajarla con una rapidez constante vcy a partir del punto de reposo cuando y = I. SOLUCI6N

fa)

mij)

Parte (a). A medida que sube la cadena, todos bs eslabones suspendidos experimentan un impulso repentino hacia abajo por cada eslabdn adicional que se levanta del suelo. Por tanto, la parte suspendida de la cadena puede considerarse como un dispositivo que estd ganando masa. El volumen de control que se considerard es la longitud de la cadena y suspendida por F en cualquier instante, incluido el siguiente eslabdn que estd a punto de ser agregado pero que aun estd en reposo, figura 15-346. Las fuerzas que actuan en el volumen de control excluyen las fuerzas internas P y -P, las cuales actuan entre el eslabdn agregado y la parte suspendida de la cadena. Por consiguiente, 1FCV = F - mg(y/l). Para aplicar la ecuacidn 15-29, tambidn es necesario determinar la razdn a la cual se estd agregando masa al sistema. La velocidad vc de la cadena equivale a \D/i- 6Por Como vc es constante, dvjdt = 0 y dy/dt = vc. Hay que integrar, con la condition inicial de que y = 0 cuando t = 0, con b que se obtiene y = vj. Por tanto, la masa del volumen de control en cualquier instante es m cc = m(y/l) = m(v0 con respecto a la carretilla, determine la velocidad de dsta como una funcidn del tiempo. £Cu£1 es la rapidez maxima de la carre se puede vaciar toda el agua? La resistencia de friccidn al movimiento hacia delante es F. La densidad del agua es p.

15135. La longitud total de la cadena es L < d y su masa por unidad determine la velocidad de su extremo A como una funcidn de su posi- cidny. Ig

Prob. 15-132

Prob. 15-135

15.9 Propulsion con masa variable

*15-136. Un avidn comercial tiene una masa de 150 Mg y vuela a una velocidad de crucero constante de 850 km/h en vuelo nivelado (0 = 0°). Si cada uno de los dos motores aspira aire a una razdn constante de 1000 kg/s y lo expul- sa a 900 m/s con respecto al avidn, determine el Angulo m£ximo de inclinacidn 0 al cual el avidn puede volar a una velocidad constante de 750 km/h Suponga que la resistencia del aire (resistencia al avance) es proportional al cua- drado de la velocidad, es decir, FD = ctr, donde c es una constante que se debe determinar. Los motores operan con la misma potencia en ambos casos. Ignore la cantidad de combustible consumido.

293

15139. Un cohete vacfo pesa 500 lb y carga 300 lb de combustible. Si dste se quema a razdn de 1.5 lb/s y es expulsado a 4400 pies/s con respecto al cohete, determine la rapidez maxima alcanzada por el cohete a partir del punto de reposo. Ignore el efecto de la gravitacidn en el cohete. *15-140. Determine la magnitud de la fuerza F como una fiincidn del tiempo, la cual se debe aplicar al extremo A de una cuerda para levantar el gancho H a una velocidad constante v = 0.4 m/s. Inicialmente, la cadena estd en reposo en el suelo. Ignore la masa de la cuerda y el gancho. La masa de la cadena es de 2 kg/m.

Prob. 15-136 v = 0.4 •15-137. Una pesada bobina de cadena abierta se utiliza para reducir la distancia de frenado de un trineo de masa M que viaja a una rapidez de %. Determine la masa por unidad de longitud de la cadena necesaria para reducir la velocidad del trineo a (l/2)t>0en una distancia x = ssi el trineo se engancha a la cadena cuando x = 0. Ignore la friccidn entre la cadena y el suelo. 15138. Se va utilizar el carro para recoger el agua que se acumula en una acequia junto a las vfas. Determine la fuerza necesaria para jalar el carro hacia delante a velocidad constante v en cada uno de los tres casos. El £rea de seccidn transversal del cuchardn es A y la densidad del agua es p w.

(a)

Prob. 15-140

•15-141. En principio, una m£quina para mover tierra lleva 10 m3 de arena cuya densidad es de 1520 kg/m3. La arena se descarga horizontalmente a travds de una lum- brera P de 2.5 m2 a razdn de 900 kg/s con respecto a la lumbrera. Si la mdquina mantiene una fuerza de traccidn resultante constante de F = 4 kN en sus ruedas delanteras para avanzar, determine su aceleracidn cuando se vacfa la mitad de la arena. La masa de la mdquina vacfa esde 30 Mg. Ignore cualquier resistencia al movimiento hacia delante y la masa de las ruedas. Las ruedas traseras giran libres.

(b)

F Prob. 15-141

294

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

15-

142. En principio, una m£quina para mover tierra lleva 10 m3 de arena cuya densidad es de 1520 kg/m3. La arena se descarga horizontalmente a travds de una lum- brera P de 2.5 m2 a razdn de 900 kg/s con respecto a la lumbrera. Determine la fuerza de traccidn resultante F en sus ruedas delanteras si la aceleracidn de la mdquina es de 0.1 m/s2 cuando se vacfa la mitad de la arena. La masa de la m£quina vacfa es de 30 Mg. Ignore cualquier resistencia al movimiento hacia delante y la masa de las ruedas. Las ruedas traseras giran libres.

*15-144. La masa inicial de cohete y combustible es m0. Por razones pr&cticas deseadas por la tripulacidn, se requiere que mantenga una aceleracidn ascensional constante de a 0. Si el combustible sale del cohete a una velocidad relativa v e/ r> determine la razdn a la cual se debe consumir el combustible para mantener el movimiento. Ignore la resistencia del aire, y suponga que la aceleracidn gravitacional es constante.

1 5

Prob. 15-142 Prob. 15-144 •15-145. Si se baja la cadena a una rapidez constante, determine la reaccidn normal ejercida en el piso como una funcidn del tiempo. La cadena pesa 5 lb/pie y su longitud total es de 20 pies.

15-

143. El jet vuela a una rapidez de 500 mi/h, con la horizontal a 30°. Si el combustible se consume a 3 lb/s y el motor aspira aire a 400 lb escape (aire y combustible) tiene una velocidad relativa de 32 800 pies/s, determine la aceleracidn del avidn en este instante. La resistencia al ava (OJv 2) lb, donde la rapidez se mide en pies/s. El jet pesa 15 000 lb. Sugerencia: vea el problema 15-131.

20 pies

Prob. 15-143

Prob. 15-145

15.9 Propulsion con masa variable

295

PROBLEMAS CONCEPTUALES P15-1* La pelota de bSisbol viaja a la izquierda cuando el bat la golpea. Si la pelota luego se mueve horizontalmen- te a la derecha, determine qu6 mediciones podrfa hacer para determinar el impulso neto impartido a la pelota. Use valores num^ricos para dar un ejemplo de cdmo se puede hacer esto.

P15-3. La m£quina de tren del lado izquierdo, A, est£ en reposo y la del lado derecho, B, rueda libremente hacia la izquierda. Si las m£quinas son id^nticas, use valores num6- ricos para demostrar cdmo se determina la compresidn maxima en cada uno de los parachoques de resorte mon- tados en el frente de las m£quinas. Cada m£quina rueda libremente.

P15-1 P15-2. La “bola” de demolicidn de acero cuelga de la pluma por medio de una llanta vieja A. El operador de la grua alza la bola y luego la deja caer libremente para romper el concreto. Explique, con datos num^ricos apro- piados, por qu6 es una buena idea utilizar la llanta de cau- cho en este trabajo.

P15-3

P15-4. Tres carros de ferrocarril tienen la misma masa y ruedan libremente cuando chocan en el parachoques fijo. Las patas ABy BCdel parachoques est£n conectadas con pasador en sus extremos; el Angulo BAC es de 30° y el BCA es de 60°. Compare el impulso promedio en cada pata necesario para detener los carros si &tos no tienen parachoques o si tienen uno de resorte. Use valores num6- ricos apropiados para explicar su respuesta.

P15-2

P15-4

296

CAPITULO 15 CINDTICA DE UNA PARTICULA: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

REPASO DEL CAPfTULO Impulso Un impulso se define como el producto de fuerza por tiempo. Gr£ficamente representa el 4rea bajo el diagrama F -t. Si la fuerza es constante, entonces el impulso es l = FAh - h)-

Principio de impulso y cantidad de movimiento Cuando combinamos las ecuacidn de movimiento 2F = ma y la ecuaci6n cinematica, a = dv/dt, obtenemos el principio de impulso y cantidad de movimiento. feta es una ecuacidn vectorial que puede descomponerse en componentes rectangulares y utilizarse para resolver problemas que implican fuerza, velocidad y tiempo. Para su aplicacidn, deber£ trazarse el diagrama de cuerpo libre para que cuente con todos los impulsos que actuan sobre la partfcula.

I

mvj + 2 I F dt = m \2

Conservacion de la cantidad de movimiento lineal Si se aplica el principio de impulso y cantidad de movimiento a un sistema de particulas, entonces las colisiones entre ellas producen impulsos intemos que son iguales, opuestos y colineales y, por consiguiente, desaparecen de la ecuacidn. Adem4s, si un impulso externo es mfnimo, es decir, la fuerza es mfnima y el tiempo es corto, entonces el impulso puede clasificarse como no impulsor y omitirse. Por consiguiente, la cantidad de movimiento del sistema de partfculas se conserva. La ecuacidn de conservacidn de la cantidad de movimiento es titil para determinar la velocidad final de una partfcula cuando entre dos partfculas se ejercen impulsos intemos y las velocidades iniciales de ellas se conocen. Si se va a determinar el impulso intemo, entonces se afsla una de las partfculas y el principio de impulso y cantidad de movimiento se aplica a esta partfcula.

Impacto Cuando dos partfculas A y B experimentan un impacto directo, el impulso intemo entre ellas es igual, opuesto y colineal. Por consiguiente, la conservacidn de la cantidad de movimiento para este sistema se aplica a lo largo de la lfnea de impacto.

m A(vA)i + m B(vB) i = m A(vA)2 + m B{vB)2

REPASO DEL CAPfTULO

( v B h ~ (V a )2 ( V A ) I - («b)i

Si se desconocen las velocidades finales, para la solucidn se requiere una segunda ecuacidn. Debemos uti- lizar el coeficiente de restitucidn e. Este coeficiente determinado experimentalmente depende de las pro- piedades fisicas de las partfculas que chocan. Puede expresarse como la relacidn de su velocidad relativa despuds de la colisidn a su velocidad relativa antes de la colisidn. Si la colisidn es eltistica, no se pierde energfa y e = 1. Para una colisidn pltistica e = 0. Si el impacto es oblicuo, entonces la conservacibn de la cantidad de movimiento del sistema y la ecuacidn del coeficiente de restitucidn aplican a lo largo de la lfnea de impacto. Tambibn la conservacibn de la cantidad de movimiento de cada partfcula aplica perpendicular a esta lfnea (piano de impacto) porque en esta direccibn no acttia ningtin impulso en las partfculas.

Plano de contacto

y

A

v

a Lfnea de

impacto A

Plano de contacto D & Lfnea de impacto

rv y

| Impacto central | ^ Y

B

Impacto oblicuo

Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares

El momento de la cantidad de movimiento lineal con respecto a un eje (z) se llama cantidad de movimiento angular.

(l figura 16-3.

/

Fig. 16-3 Posi cion. Las tocalizaciones de los puntos A y B en el cuerpo se definen con respecto a un marco de referencia fijo x> y por medio de vectores de position r A y rB. El sistema de coordenadas jc\ / trasla- dante permanece fijo en el cuerpo con su origen en Ay en lo sucesivo conocido como punto base. La posicidn de B con respecto a A estd denotada por el vector de position relativa t B j A (“r de B con respecto a A”). Por suma vectorial, T

B

-

T

A

+

T

B/A

Velocidad. Una relacidn entre las velocidades instantdneas de A y B se obtiene mediante la derivada con respecto al tiempo de esta ecuacidn, de la cual resulta v B = vA + drB^A/dt. En este caso \A y \B denotan velocidades absolutas puesto que estos vectores se miden con respecto a los ejes ^ y. El tdrmino drB(A/dt = 0, puesto que la magnitud de t B f A es constante por definicidn de un cuerpo rigido y como dste traslada la direccidn de rB/A tambidn es constante. Por consiguiente, ^ = VA

Aceleracion. Al considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn de velocidad se obtiene una reladdn similar entre las ace- leraciones instantdneas de A y B: *B = &A Las dos ecuaciones anteriores indican que todos los puntos en un cuerpo rigido sometidos a traslacion rectilinea o curvilinea se mueven con la misma velocidad y aceleracion. Por consiguiente, la cinemdtica del movimiento de una particula, analizada en el capitulo 12, tambidn puede utilizarse para especificar la cinemdtica de puntos localizados en un cuerpo rigido trasladante.

Los usuarios de este juego mecanico se someten a traslacion curvilinea, puest

314

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

16.3

Rotacion alrededor de un eje fijo

Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje fijo, cualquier punto P bcalizado en 61 se desplaza a lo largo de una trayectoria circular. Para estudiar este movimiento es necesario analizar primero el movimiento angular del cuerpo alrededor del eje.

Movimiento angular. Como un punto no tiene dimensiones, no puede tener movimiento angular. Solamente las Uneas o cuerpos experimental! movimiento angular. Por ejemplo, considere el cuerpo en la figura 16-4a y el movimiento angular de una linea radial r localizada en d piano sombreado.

Posicion angular. En el instante que se muestra, la posicidn angular de r estd definida por el dngulo 0, medido desde una linea de referencia fija hasta r.

Desplazamiento angular. El cambio de la posicidn angular, el cual puede medirse como una diferenrial dO, se llama desplazamiento angular* La magnitud de este vector es d9, medida en grados, radia- nes o revoluciones, donde 1 rev = 2tt rad. Como el movimiento es en torno a un eje fijo, la direccidn de dO siempre es a lo largo de este ge. Especificamente, la direccidn se determina con la regia de la mano derecha; es decir, los dedos de la mano derecha se curvan en el sentido de rotacidn, de modo que en este caso el pulgar, o dOy apunta hacia arriba, figura \6-Aa. En dos dimensiones, como se muestra en la vista desde arriba del piano sombreado, figura 16-46 tanto 6 como d9 estfin en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y por tanto el pulgar apunta hacia fuera de la pfigina.

Velocida d angular. El cambio con respecto al tiempo de la posicidn angular se conoce como velocidad angular o> (omega). Como dO ocurre durante un instante de tiempo dt, entonces, (a)

(C+)

(16-1)

La magnitud de este vector se suele medir en rad/s. Aqui estfi expresa- do en forma escalar, puesto que su direccidn tambidn va a lo largo del eje de rotacidn, figura 16-4a. Cuando se indica el movimiento angular en el piano sombreado, figura 16-46, podemos referirnos al sentido de rotacidn como en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. En este caso elegimos arbitrariamente las rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj como posi- tivas y esto se indica por medio del bucle que aparece entre pardntesis al lado de la ecuacidn 16-1. Dese cuenta, sin embargo, que el sentido direccional de £*>en realidad es hacia fuera de la pfigina.

*En la secci6n 20.1 se demuestra que las rotaciones finitas o los desplazamientos angulares finitos no son cantid

Fig. 16-4

16.3 ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE RJO

Aceleracion angular. La aceleracion angular a (alfa) mide el cambio con respecto al tiempo de la velocidad angular. La magnitud de este vector es

(C+ )

a=

do ) ~d i

(162)

Con la ecuacidn 16-1, tambidn es posible expresar a como

(C+ )

a=

=10 rad/s, determine la velocidad y aceleracidn de la barra CD cuando e = 30°.

16-50. La clavija B unida a la manivela AB se desliza en las ranuras de las barras seguidoras, las cuales se mueven a lo largo de las gufas vert

la manivela gira a una velocidad angular constante de o> = 10 rad/s, determine la velocidad y aceleracidn de la barra EF cuando 0 = 30°.

Prob. 16-52

Probs. 16-49/50

16-51. Si el cilindro hidraulico AB se extiende a una razdn

•16-53. En el instante que se muestra, el disco gira a una velocidad angula

constante de 1 pie/s, determine la velocidad angular de la caja de volteo cuando 0 = 30°.

este instante. Ignore el tamaflo de la polea C.

15 pies

Prob. 16-51

Prob. 16-53

337

16.5 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD

Analisis de movimiento relativo: velocidad

16.5

El movimiento piano general de un cuerpo rigido se describe como una combination de traslacidn y rotacidn. Para ver estos movimientos “componentes” por separado utilizaremos un analisis de movimiento relativo que impUca dos conjuntos de ejes de coordenadas. El sistema de coordenadas x>y est£ fijo y mide la posicidn absoluta de dos puntos A y B en el cuerpo, representado aquf como una barra, figura 16-lOa. Se hard que el origen de los sistemas de coordenadas x!y y‟ coincida con el “punto base” A seleccionado, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo pero no giran con la barra. Posicion. El vector de posicidn t A en la figura 16-lOa especifica la ubicacidn del “punto base” A y el vector de posicidn relativa T B /A k>ca- liza el punto B con respecto al punto A. Mediante adicidn vectorial, la posicidn de B es por tanto * B = T A + TB / A

Desplazamiento. Durante un instante de tiempo dty los puntos A y B experimentan los desplazamientos dt A y dr B como se muestra en la figura 16-106. Si consideramos el movimiento piano general por sus partes componentes entonces toda la barra primero se traslada una cantidad dt A de modo que A y el punto base, se mueve a su posicidn final y el punto B a B' y figura 16-10c. La barra gira entonces alrededor de A una cantidad dO de modo que B' experimenta un desplazamiento relativo dx BjA y se mueve a su posicidn final B. Debido a la rotacidn sobre A y dt Bf A = r BfA d9 y el desplazamiento de B es

dr B = dt A + dt BfA I debido a la rotacidn alrededor de A debido a la traslacion de A debido a la traslacion y rotacidn

Tiempo t

Tiempo t + dt

Movimiento piano general

(b)

(c)

Fig. 16-10

338

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

A medida que el bloque corredizo A se desplaza horizontalmente hacia la izquierda a una velocidad v^, v B es tangente a su trayectoria circular, es decir, hacia arriba a la izquierda. La biela AB que conecta angular es to.

Velocidad. Para determinar la relacidn entre las velocidades de bs puntos A y B es necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn de posicidn o simplemente dividir la ecuacidn de desplazamiento entre dt. De esto resulta

dr B _ dt A dt

dt

dtB/A dt

Los tdrminos dr B /dt = \ B y dtjdt = se miden con respecto a los ejes fijos x y y y representan las velocidades absolutas de los puntos A y B y respectivamente. Como el desplazamiento relativo lo provoca una rotacidn, la magnitud del tercer tdrmino es dr B /A/dt = r BfA dO/dt = r BfA0 = r BjA co, donde cues la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Denotaremos este tdrmino como la velocidad relativa v B/ A, puesto que representa la velocidad de B con respecto a A medida por un observador fijo en los ejes trasla- dantes x\ /. Dicho de otra manera, la barra parece mo verse como si girara con una velocidad angular to con respecto al eje z' que pasa por A. Por consiguiente, la magnitud de v B f A es v B / A = cor B/ A ysu direccidn es perpendicular a t B j A . Por consiguiente, tenemos

=

*4

+ yB/A

donde v B = velocidad del punto B v A = velocidad del punto base A VB/A = velocidad de B con respecto a A

(16-15)

16.5 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD

339

Trayectoria del punto A

Trayectori a del punto B Movimiento piano general (d)

BfA

Traslaci6n

Rotacidn alrededor del punto base A YA

(g)

(0

(e) Fig. 16-10 (cont)

Lo que esta ecuacidn establece es que la velocidad de B y figura 16-10d, se determina al considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de \ Ay figura 16-10e y que gira alrededor de A con una velocidad angular (o y figura 1610/. La adicidn vectorial de estos dos efectos, aplicada a B y resulta vB,como se muestra en la figura 16-10g. Como la velocidad relativa v B/A representa el efecto del movimiento circular, alrededor de A y este tdrmino puede expresarse por medio del producto vectorial \ B f A = (o X r B / A y ecuacidn 16-9. Por consiguiente, para su aplicacidn mediante un andlisis vectorial cartesiano, tambidn podemos escribir la ecuacidn 16-15 como

x

\B = y A + « r

BfA

(16-16)

donde \ B = velocidad de B \ A = velocidad del punto base A to = velocidad angular del cuerpo rBfA — vector de posicidn dirigido de A a B La ecuacidn de velocidad 16-15 o 16-16 puede usarse de una manera prdctica para estudiar el movimiento piano general de un cuerpo rigido el cual estd o conectado por pasador a, o en contacto con otros cuerpos en movimiento. Cuando se aplica esta ecuacidn, los puntos A y B en general deben seleccionarse, como puntos en el cuerpo que estdn conectados por medio de un pasador a otros cuerpos, o como puntos en contacto con cuerpos adyacentes que tienen un movimiento conocido. Por ejemplo, el punto A en el eslabdn AB en la figura 161 la debe moverse a lo largo de una trayectoria horizontal, mientras que el punto B lo hace en una trayectoria circular. Por consiguiente pueden establecerse las direcciones de \ A y \ B puesto que siempre son tangentes a sus trayectorias de movimiento, figura 16-116. En el caso de la rueda mostrada en la figura 16-12, la cual rueda sin deslizarse, el punto A en ella puede seleccionarse en el suelo. Aqui, la velocidad de A es cero (momentdneamente) puesto que el suelo no se mueve. Ademds, el centro de la rueda, B y se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal de modo que \ B es horizontal.

(b)

Fig. 16-11

v*

340

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

Procedimiento para el analisis La ecuacidn de velocidad relativa puede aplicarse mediante andlisis vectorial cartesiano o bien si se escriben directamente las ecuaciones de componentes escalares xy y. Para su aplicacidn se sugiere el siguiente procedimiento. Analisis vectorial Diagrama

cinemdtico.

•

Establezca las direcciones de las coordenadas x y y fijas y trace un diagrama cinemdtico del cuerpo. Indique en dl las velocidades v Ay \ B de los puntos A y B y la velocidad angular io y y el vector de posicidn relativa T b(a .

•

Si las magnitudes de v Ay v B o son incdgnitas, puede suponer- se el sentido de estos vectores.

Ecuacion de velocidad.

•

Para aplicar \ B = v A + o> X TB /A > exprese los vectores en forma vectorial cartesiana y sustituyalos en la ecuacidn. Evaltie el producto vectorial y luego iguale los componentes i y j respec- tivos para obtener dos ecuaciones escalares.

•

Si la solucidn resulta en una respuesta negativa para una magnitud desconocida y indica que el sentido del vector es opuesto al que se muestra en el diagrama cinemdtico.

Analisis escalar Diagrama

cinemStico.

•

Si la ecuacidn de velocidad se va a aplicar en forma escalar, entonces deben establecerse la magnitud y la direccidn de la velocidad relativa v B / A. Trace un diagrama cinemdtico como se muestra en la figura 16-10g, el cual muestra el movimiento relativo. Como se considera que el cuerpo debe estar “sujeto por medio de un pasador” momentdneamente en el punto base A y la magnitud de v B{A es v B j A = cor B/A . La direccidn de v B/A siempre es perpendicular a rB f A de acuerdo con el movimiento de rotacidn ro del cuerpo.*

Ecuacion de velocidad.

•

Escriba la ecuacidn 16-15 en forma simbdlica v B = v A + vb/a> y debajo de cada uno de los tdrminos represente los vectores grdficamente de modo que muestren sus magnitudes y direcciones. Las ecuaciones escalares se determinan con los componentes JC y y de estos vectores.

*La notaci6n \ B = \ A + vfl/j4(pasador) puede ser titil para recordar que A est£ “conectado con un pasador”.

341

16.5 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD

EJEMPLO 16.6 El eslabdn que se muestra en la figura 16-13a estd guiado por los bloques A y B y los cuales se mueven en la ranuras fijas. Si la velocidad de A es de 2 m/s hacia abajo, determine la velocidad de B cuando 9 = 45°. SOLUCI6N (ANALISIS VECTORIAL)

Diagrama cinemdtko. Como los puntos A y B sdlo pueden moverse a lo largo de las ranuras fijas y \ A estd dirigida hacia abajo, la velocidad \ B debe dirigirse horizontalmente hacia la derecha, figura 16-136. Este movimiento hace que el eslabdn gire en sentido contrario al de las manecillas del reloj; es decir, de acuerdo con la regia de la mano derecha la direccidn de la velocidad angular io es hada fuera, perpendicular al piano del movimiento. Si se conocen la magnitud y direccidn de \ A y las lfneas de accidn de \ B y a>, es posible aplicar la ecuacidn de velocidad v^v^ + w X r ^ a los puntos Ay B para determinar las dos magnitudes desconocidas v B y co. Como se necesita r BfAy tambidn se muestra en la figura 16-136. Ecuacion de velocidad. Al expresar cada uno de los vectores en la figura 16136 en funcidn de sus componentes i, j, k y aplicar la ecuacidn 16-16 a A y el punto base, y B y tenemos \B = vA + sen45°

Por tanto, Fig. 16-13

( o = 14.1 rad/s!)

Resp.

v B = 2 m/s —► Como ambos resultados son positivos y las direcciones de \ B y (o son las correctas como se muestra en la figura 16-136. Debe recalcarse que estos resultados son validos solo en el instante 0 = 45°. Con otro cdlculo de 9 = 44° se obtiene v B = 2.07 m/s y co = 14.4 rad/s; mien- tras que cuando 9 = 46°, v B = 1.93 m/s y co = 13.9 rad/s, etcdtera. NOTA: una vez conocidas la velocidad de un punto (A) en el eslabdn y la velocidad angular, se puede determinar la velocidad de cualquier otro punto en el eslabdn. A manera de ejercicio, vea si puede aplicar la ecuacidn 16-16 a los puntos A y C,o a los puntos B y C, y demuestre que cuando 9 = 45°, v c = 3.16 m/s, dirigida a un dngulo de 18.4° hacia arriba de la horizontal.

342

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

EJEMPLO 16.7 El cilindro de la figura 16-14a rueda sin deslizarse sobre la superficie de una banda transportadora, la cual se mueve a 2 pies/s. Determine la velocidad del punto A. El cilindro tiene una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj co = 15 rad/s en el instante que se muestra. SOLUCI6N I (ANALISIS VECTORIAL)

Diagrama cinem£tko. Como no hay deslizamiento, el punto B en el cilindro tiene la misma velocidad que la transportadora, figura 16-14b. Adem£s, la velocidad angular del cilindro es conocida, asi que podemos aplicar la ecuacidn de velocidad a B y el punto base, y A para determinar \ A . Ecuacion de velocidad. v A = v* + X r A / B (v A )j + (Vx)yj = 2i + (-15k) X (—0.5i + 0.5j) (tuW + Myi = 2i + 7.50J + 7.50i de modo que = 2 + 7.50 = 9.50 pies/s

(1 ) (2 )

{v A )y = 7.50pies/s Por tanto, v A = V(9.50)2 + (7.50)2 = 12.1 pies/s

»■ -"-„Ms -38-3'

Resp. Resp.

SOLUCI6N II (ANALISIS ESCALAR) o) = 15 rad/s

Como un procedimiento alternativo, las componentes escalares de \ A = y B + \ A jB pueden obtenerse directamente. De acuerdo con el diagrama cinemdtico que muestra el movimiento “circular” relativo, el cual produce \ A /B > figura 16- 14c, tenemos v A/B = o>rA/B = (15 rad/s)( Movimiento relativo

(c) V A = V b + \ AfB

Por tanto, Fig. 16-14

) = 10.6 pies/s

(V A )y

T

2pies/s

10.6 pies/s ^ 45°

Al igualar las componentes x y y se obtienen los mismos resultados que antes, es decir, (*) (+t)

( VA )X = 2 + 10.6 cos 45° = 9.50 pies/s (v A ) y = 0 + 10.6 sen 45° = 7.50 pies/s

343

16.5 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO: VELOCIDAD

EJEMPLO 16.8 El collarfn C de la figura 16-15a desciende a 2 m/s. Determine la velocidad angular de CB en este instante. SOLUCI6N I (ANALISIS VECTORIAL)

Diagrama cinem£tico. El movimiento descendente de C hace que B se mueva a la derecha a lo largo de una trayectoria curva. Ademds, CB y AB giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Ecuacion de velocidad. Eslabon CB (movimiento piano general): vea la figura 16-156.

yB = yc + (oCB X t BfC vB \ = -2j + (o CBk (a)

X (0.2i - 0.2j)

= “2j + 0.2(oCBi + 0.2(oCBi

(1 ) (2 )

V B — 0.2( OCB 0= —2 + 0.2 (O CB o) CB = 10 rad/s!) v B = 2 m/s —»

Resp.

SOLUClON II (ANALISIS ESCALAR)

Las ecuaciones de componentes escalares de = v c + vB/c se obtienen directamente. El diagrama cinemdtico en la figura 16-15c muestra el movimiento “circular” relativo producido por y B/c• Tenemos y

B

= vc + yB/C

1

1

2 m/s .i

4-

( O CB(0.2\^2 m)

Movimiento relativo

^45°

(c)

Al resolver estos vectores en las direcciones x y y se obtiene CB(o.2 V2cos 45°)

0.2m

0 = -2 + a>ca(0.2V2sen45°) v B = 2 m/s B

las cuales son las mismas que las ecuaciones 1 y 2. NOTA: como el eslabdn gira alrededor de un eje fijo y V B es cono- cida, figura 16-15d, su velocidad angular se determina con VB = del cuerpo se conocen, figura 16-18a. En este caso, el Cl se encuentra a lo largo de la linea trazada perpendicular a en A y de modo que la distancia de A al Cl es r AjCl = vjco. Observe que el queda arriba a la derecha de A puesto que debe provocar una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj co alrededor del CL • Las lineas de accion de dos velocidades no paralelas v A y v B se conocen, figura 16-18b. Trace en los puntos Ay B segmentos de Knea perpendiculares a \ A y vfl. Al extender estas perpendiculares hasta su punto de interseccion como se muestra, se localiza el Cl en el instante considerado. • La magnitud y direccidn de dos velocidades paralelas \ A y v B se conocen. En este caso, la ubicacirin del Cl se determina por medio de tri£ngulos proporcionales. En las figuras 1618c y dse muestran algunos ejemplos. En ambos casos r A / a

16.6 CENTRO INSTANTANEO DE VELOCIDAD CERO

353

Cuando la tabla se desliza hacia abajo a la izquierda experimenta un movimiento piano general. Como las direcciones de las velocidades de sus extremos Ay B son conocidas, el Cl se localiza como se muestra. En este instante la tabla girara momentaneamente alrededor de este punto. Dibuje la tabla en otras varias posiciones y establezca el Cl en cada caso.

Dese cuenta que el punto seleccionado como el centro instantAneo de velocidad cero del cuerpo solo puede ser utilizado en el instante considerado puesto que el cuerpo cambia de posicidn de un instante al siguiente. El lugar geomdtrico de los puntos que definen la ubicacidn del Cl durante el movimiento del cuerpo se llama centroda, figura 16-18a, y por tanto cada punto en la centroda actua como el C/de 1 cuerpo sdlo por un instante. Aun cuando el Cl puede ser utilizado con mucho provecho para determinar la velocidad de cualquier punto de un cuerpo, por lo general no tiene aceleracion cero y en consecuencia no se le debe utilizar para determinar las aceleraciones de los puntos de un cuerpo.

Procedimiento para el analisis La velocidad de un punto de un cuerpo sometido a movimiento piano general puede determinarse con referencia a su centro instantAneo de velocidad cero siempre que primero se establezca la ubicacidn del Cl mediante uno de los tres mdtodos antes des- critos. •

Como se muestra en el diagrama cinemAtico de la figura 16-19, nos imaginamos el cuerpo como “extendido y fijo por medio de un pasador” en el C/de modo que, en el instante considerado, gira alrededor de este pasador con su velocidad angular 0. Por consiguiente, el eslabdn CB se traslada momentdneamente. Un instante despuds, sin embargo, CB quedard en una posicidn inclinada, lo que hace que el Cl se mueva a alguna ubicacidn finita.

355

16.6 CENTRO INSTANTANEO DE VELOCIDAD CERO

EJEMPLO 16.11 El bloque D en la figura 16-21 a se mueve con una rapidez de 3 m/s. Determine las velocidades angulares de bs eslabones BD y AB en el instante que se muestra.

(a)

SOLUCI6N

A medida que D se mueve a la derecha, hace que AB gire en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del punto A. Por consiguiente, \ B estd dirigida perpendicular a AB. El centro instantdneo de velocidad cero de BD estd en la interseccidn de los segmentos de linea trazados perpendiculares a v B y vD, figura 16-216. Por la geometria, rBjci

= 0.4 tan 45° m = 0.4 m

0.4 m r

DfCI ~

cos 45c

= 3 m/s

= 0.5657 m (b)

Como la magnitud de vD se conoce, la velocidad angular del eslabdn BD es

vD

AB -

v B 2.12 m/s r B /A 0.4 m

= 5.30 rad/s J

Resp.

(c) Fig. 16-21

NOTA: trate y resuelva este problema por la aplicacbn de v D = \ B + V D / B al elemento BD.

356

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

EJEMPLO 16.12 H cilindro que se muestra en la figura 16-22a rueda sin deslizarse entre las dos placas mdviles E y D. Determine la velocidad angular del cilindro y la velocidad de su centro C.

0 00 (•) 0 0 Q 0 (•) 0 CO E

VE

p\ lo.!25 m/ ►C

0.25 m/s

\

) 7

V D = 0.4 m/s

=

D

000000000000 (a)

SOLUCI6N A VA = 0.25 m/s

Como no hay deslizamiento, los puntos de contacto A y B en el cilindro tienen las mismas velocidades que las placas E y £), respectivamente. Ademds, las velocidades \ A y vfison paralelas, de modo que por la proporcionalidad de los tridngulos rectdngulos el Cl se encuentra en un punto sobre la linea AB, figura 16-226. Si suponemos que este punto estd a una distancia x de B y tenemos Vb = (vx;

(b)

0.4

m/s =

cox

v A = BCrC{Ci = (2.425 rad/s)(0.9056 pie) = 2.20 pies/s Resp.

Rg. 16-23

358

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

PROBLEMAS FUNDAMENTALES F16-13. Determine la velocidad angular de la barra y la velocidad del punto C en el instante que se muestra.

F16-16. Si el cable AB se desenrolla con una rapidez de 3 m/s y la de la cremallera Ces de 1.5 m/s, determine la ve locidad angular del engrane y la velocidad de su centro O.

02 m

16 F16-13

F16-16

F16-14. Determine la velocidad angular del eslab6n BC y la velocidad delF16-17. pist6n C en el instante que se muestra. Determine la velocidad angular del eslab6n BC y la velocidad del pist6

0.6 m -•

Urn

F16-14

F16-15. Si el centro O de la rueda se mueve con una velocidad de v 0 = 6 m/s, determine la velocidad del punto A en la rueda. La cremallera B est4 fija.

F16-15

F16-17

F16-18. Determine la velocidad angular de los eslabones BC y CD en el instant

F16-18

16.6 CENTRO INSTANTANEO DE VELOCIDAD CERO

359

PROBLEM AS 16-82. Resuelva el problema 16-54 con el mdtodo de centro instantaneo de velocidad cero. 16-83. Resuelva el problema 16-56 con el mdtodo de centro instantaneo de velocidad cero.

•16-89. Si la velocidad angular del eslab6n CD es (o CD = 6 rad/s, determine la velocidad del punto E en el eslabdn BC y la velocidad angular del eslab6n AB en el instante que se muestra.

*16-84. Resuelva el problema 16-64 con el mdtodo de centro instantaneo de velocidad cero. •16-85. Resuelva el problema 16-58 con el mdtodo de centro instantaneo de velocidad cero. 16-86. Resuelva el problema 16-67 con el mdtodo de centro instantaneo de velocidad cero. 16-87. Resuelva el problema 16-68 con el mdtodo de centro instantaneo de velocidad cero. *16-88. La rueda gira sobre su maza sin deslizarse sobre la superfieie horizontal. Si la velocidad de su centro es Vc = 2 pies/s hacia la derecha, determine las velocidades de los puntos A y B en el instante que se muestra.

Prob. 16-89

16-90. En el instante que se muestra, el cami6n viaja hacia la derecha a 3 m/s, mientras que el tubo rueda en sentido contrario al de las manecillas del reloj a w = 6 rad/s sin deslizarse en B. Determine la velocidad del centro Gdel tubo.

Prob. 16-90

1

16-91. Si al centro O del engrane se le imprime una velocidad de v 0 = 10 m/s, determine l

_lpulg

Prob. 16-88

Prob. 16-91

360

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

*16-92. Si se jala hacia abajo el extremo A de la cuerda con una velocidad 16-94. de v ALa = rueda 4 m/s,est£ determine rfgidamente la velocidad conectada angular al engrane del carrete A, ely cual la velocidad del su borde externo. est£ acoplado con las cremalleras D y E. Si la velocidad de D es V Q = 6 pies/s hacia la derecha y la rueda gira sobre la cremallera Csin deslizarse, determine la velocidad de la cremallera E. 16-95. La rueda est4 conectada fuertemente al engrane A, el cual est£ acoplado con las cremalleras D y E. Si las cremalleras tienen una velocidad de v D = 6 pies/s y v E = 10 pies/s, demuestre que es necesario que la rueda se deslice sobre la cremallera fija C. Tambi6n determine la velocidad angular del engrane y la velocidad de su centro O.

Probs. 16-94/95

•16-93. Si el extremo A del cilindro hidr£ulico se mueve con una velocidad de v A = 3 m/s, determine la velocidad angular de la barra BC en el instante que se muestra.

Prob. 16-93

*16-96. Si la velocidad de C es Vc = 3 m/s, determine la velocidad angular de la rueda en el instante que se muestra.

Prob. 16-96

361

16.6 CENTRO INSTANTANEO DE VELOCIDAD CERO

•16-97. La unidad de bombeo de petrdleo se compone de una viga balancfn AB, una biela BC y una manivela CD. Si 6sta gira a una velocidad constante de 6 rad/s, determine la velocidad de la barra de suspensidn Hen el instante que se muestra. Sugerencia: el punto B sigue una trayectoria circular alrededor del punto Ey por consiguiente la velocidad de B no es vertical.

*16-100. Si la barra AB gira con una velocidad angular O ) AB — 3 rad/s, determine la velocidad angular de la barra BC en el instante que se muestra. •16-101. Si la barra AB gira con una velocidad angular °>AB — 3 rad/s, determine la velocidad angular de la barra CD en el instante que se muestra.

C

Prob. 16-97

Probs. 16-100/101

en respectivamente, un motor marinodetermine se 16-98. Si la maza dentada H y la corona dentada R tienen velocidades 16-102. angularesElcomecanismo y io se 20 rad/s, la velocidad ang H = 5 rad/s que R =utiliza compone de una manivela AB y dos bielas BC y BD. Determine engrane recto S y la velocidad angular del brazo OA. la velocidad del pistdn en Cdecuando la dentada manivela est4 en que la el brazo OA el cual e 16-99. Si la maza dentada H tiene una velocidad angular OJ H = 5 rad/s, determine la velocidad angular la corona R de modo posicidn que se muestra y su velocidad angular es de 5 rad/s. do por medio de un pasador al engrane recto S permanez- ca estacionario (to = 0). ^Cuai es la velocidad angular del engrane recto? OA

16-103. El mecanismo que se utiliza en un motor marino se compone de una manivela AB y dos bielas BC y BD. Determine la velocidad del pistdn en D cuando la manivela esta en la posicidn que se muestra y su velocidad angular es de 5 rad/s.

Probs. 16-98/99

Probs. 16-102/103

362

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

*16-104. Si el volante A gira con una velocidad angular de (o A = 10 rad/s, determine la velocidad de la meda B en el instante 16-106. La placa cuadrada angular esti limitada a moverse en las que se mu

ranuras en A y B. Cuando 0 = 30°, el punto A se mueve a Va = 8 m/s. Determine la velocidad del punto C en el instante que se muestra. 16-107. La placa cuadrada est£ limitada a moverse en las

ranuras en A y B. Cuando 0 = 30°, el punto A se mueve a Va = 8 m/s. Determine la velocidad del punto D en el instante que se muestra.

Prob. 16-104 Probs. 16-106/107

*16-108. El mecanismo produce movimiento intermi- tente del

•16-105. Si la manivela AB gira con una velocidad angular de

(o AB = 6 rad/s, determine la velocidad del centro O del engrane en el instante que se muestra.

eslab6n AB. Si la rueda dentada S gira con una velocidad angular de (o s = 6 rad/s, determine la velocidad angular del eslab6n AB en este instante. La rueda dentada S est£ montada en una flecha aparte de una flecha colineal conectada a AB en A. El pasador en C est4 conectado a uno de los eslabones de la cadena.

(O s

Prob. 16-105

Prob. 16-108

16.7 ANAUSIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO: ACELERACION

16.7

363

Trayectoria del

Analisis del movimiento relativo: aceleracion

Una ecuacidn que relacione la aceleracidn de dos puntos en una barra (cuerpo rigido) sometida a movimiento piano general puede determi- narse al diferenciar v B = v A + \ BfA con respecto al tiempo. De aqui resulta

d\ B _ d\ A dt

d\ B /A dt

dt (a)

Los tdrminos d\ B/dt = y d\ A/dt = se miden con respecto a un sistema de ejes x y y fijos y representan las aceleraciones absolutas de los puntos B y A. El ultimo tdrmino representa la aceleracidn de B con respecto a A medida por un observador fijo en los ejes trasladantes jc', y‟ los cuales tienen su origen en el punto base A. En la seccidn 16.5 se demostrd que para este observador el punto B parece moverse a lo largo de un arco circular con radio de curvatura r B{A . Por consiguiente, &B/A puede expresarse en funcidn de sus componentes tangencial y normal; es decir, * B/A = (z BfA\ + (afiM)„, donde ( figura 16246 y simult£neamente gira alrededor del punto base A con una velocidad angular instantdnea to y una aceleracidn angular a, figura 16-24c. La adicidn vectorial de estos dos efec- tos, aplicados a B y resulta en afi, como se muestra en la figura 1624d. En la figura 16-24a se ve que como los puntos A y B se mueven a lo largo de trayectorias curvas y la aceleracidn de estos puntos tendrdn tanto componentes tangenciales como normales. (Recuerde que la aceleracidn de un punto es tangente a la trayectoria solo cuando dsta es rectilmea o cuando es un punto de inflexidn en una curva.)

RotackSn alrededor del punto base A

(c)

(*B/A)n

364

CAPfTULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RfGIDO

Trayectoria del punto B

*B A

Jv

(a) Fig. 16-25

Como los componentes de aceleracidn relativa representan el efecto de movimiento circular observado desde ejes trasladantes que tienen su origen en el punto base A, estos tdrminos pueden expresarse como (aB / A ) J = ot X r B/A y (aB /A)n = - 2*BfA, ecuacidn 16-14. Por tanto, la ecuacidn 16-17 se escribe

a# - a a

+ - 0283 rad/s a A = 3 m/s2 (b)

Ecuacion de aceleracion.

a

a

fl “ A +

a

X T

B/A M 2 *B/A

nficos45°i + nfisen45°j = 3cos45°i - 3sen45°j + (ark) X (101) - (0.283)2(10i)

Al realizar el producto vectorial e igualar los componentes i y j se obtiene

(1 ) (2 )

a B cos 45° = 3 cos 45° - (0.283)2(10) ABsen45° = -3 sen 45° + ar(10) Al resolver, tenemos a B

= 1.87 m/s2^45°

Resp.

a = 0.344 rad/s2

SOLUCI6N II (ANALISIS ESCALAR)

Con el diagrama cinemdtico, que muestra los componentes de aceleracidn relativa (a^^y (aa/yi),,,figura 16-27c, tenemos ( B/A)l a

ar

B/A

*B

10 m -----------------a

( B/A)n -

0)2 r B/A

1

(o = 0283 rad/s r BfA

=

*A

+

+

{*B!A)n

B

aB .^45°.

=

3 m/s2

. ^45°.

+ ar(10 m)

.T

+

(0.283 rad/s)2(10 m)

(c) FSg. 16-27

Al igualar los componentes x y y se obtienen las ecuaciones 1 y 2, y la solucidn prosigue como antes.

16.7 ANAUSIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO: ACELERACION

367

EJEMPLO 16.15 En un instante dado, el cilindro de radio r,de la figura 16-2&*, tiene una velocidad angular to y una aceleracidn angular a. Determine la velocidad y aceleracidn de su centro G y la aceleracidn del punto de contacto en A si rueda sin deslizarse. SOLUCI6N (ANALISIS VECTORIAL)

Analisis de velocidad. Como no ocurre deslizamiento en el instante en que A toca el suelo, v A = 0. Por tanto, de acuerdo con el diagrama cinemdtico en la figura 16-286 tenemos V

G = y A + ® X r G / A v Gi =

(a)

0+

(— (y B/A)xyz = aceleracidn y velocidad de B con respecto a A y medida por un observador situado en el marco de referencia rotatorio jc, y , z ft, ft = aceleracidn y velocidad angulares del marco de referencia jc, y, z, medidas con respecto al marco de referencia X y Y y Z rB /A — posicidn de B con respecto aA

16.8 ANAUSIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES ROTATORIOS

Si se compara la ecuacidn 16-27 con la ecuacidn 16-18, escrita en la forma a# = H X r B j A + H X (ft X t B f A ) y la cual es vdlida para un marco de referencia trasladante, se ve que la diferencia entre estas dos ecuaciones estd representada por los tdrminos 2fl x (v B / A ) xyz y (aB/ydxyz• En particular, 2fl X (\ B/ A)xyZ se llama aceleracion de Coriolis, en honor del ingeniero francds G.C. Coriolis, quien fue el primero en determinarlo. Este tdrmino representa la diferencia de la aceleracidn de B medida desde ejes jc, y, z no rotatorios y rotatorios. Como se indica mediante el producto vectorial, la aceleracidn de Coriolis siempre serd perpendicular tanto a flcomo a (v B/A)xyz• Es 11113 componente importante de la aceleracidn la cual debe considerarse siempre que se utilizan marcos de referencia rotatorios. Esto ocurre con frecuencia, por ejemplo, cuando se estudian las aceleraciones y fuerzas que actuan en cohetes, proyectiles de largo alcance, u otros cuerpos que tienen movimientos cuyas mediciones se ven significativamente afectadas por la rotacidn de la Tierra. La siguiente interpretacidn de los tdrminos de la ecuacidn 16-27 puede ser util cuando se aplica esta ecuacidn a la solucidn de problemas.

movimiento de B observado aceleracidn absoluta de B (es igual a) desde el marco de referencia XyYyZ

f aceleracidn absoluta del origen (del marco de referencia jc, y, z

*A

(mds)

&

X r

d efecto de la aceleracidn angular provocado por la rotaddn del marco de referencia jc, y, z

B/A

movimiento del marco de referencia jc, y, z r observado desde el marco d

(mds)

n x ( n x rB/A)

el efecto de veloddad angular provocado por la rotacidn del marco de referencia jc, y, z (mds)

2H X ( Y B/ A )

d efecto combinado de B al moverse con respecto a las coordenadas jc, y, z y a la rotacidn del marco de referencia jc, y, z

xy z

movimiento mteractuante

(mds)

(l

(* B / A ) xy z

aceleracidn de B con respecto a A \cc a

) movimiento de B observado desde J el marco de referencia jc, y, z

382

CAPITULO 16 CINEMATICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO

Procedimiento para el analisis Las ecuaciones 16-24 y 16-27 pueden aplicarse a la solucidn de pro- blemas que implican el movimiento piano de particulas o cuerpos rigidos por el siguiente procedimiento. Ejes de coordenadas.

•

Seleccione un lugar adecuado para el origen y la orientacidn apropiada de los ejes tanto para los marcos de referencia fijos X y Y y Z como mdviles jc, y, z.

•

Con mucha frecuencia las soluciones son fdciles de obtener si en el instante considerado: 1. los origenes coinciden 2. bs ejes correspondientes son colineales 3. bs ejes correspondientes son paralelos

•

El marco mdvil debe seleccionarse fijo en el cuerpo o dispositivo a lo largo del cual ocurre el movimiento relativo.

Ecuaciones cinemdticas.

•

Despuds de definir el origen A de la referencia mdvil y de espe- cificar el punto en movimiento B y las ecuaciones 16-24 y 16-27 deben escribirse en forma simb61ica = va + ^ x t B f A + {y B (A)xyz *B = *A + ft X T B / A + flx(flx r B / A ) + 2ft X

(y B/ A )xyz + (a B/A)xyz •

Las componentes cartesianas de todos estos vectores pueden expresarse a lo largo de los ejes X, Y y Z o los ejes jc, y y z . La sebccidn es arbitraria siempre que se utilice un conjunto con- sistente de vectores unitarios.

•

El movimiento de la referencia mdvil se expresa por y Ay sk Ay fl y ft; al movimiento de B con respecto a la referencia mdvil lo expresa t b/a, y

(aB /A)xyz-

La rotacidn de la caja de volteo del camidn alrededor del pu podemos utilizar las ecuaciones de movimiento relativo y dete

383

16.8 ANAUSIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES ROTATORIOS

EJEMPLO 16.19 En el instante 0 = 60°, la barra que se muestra en la figura 16-33 tiene una velocidad angular de 3 rad/s y una aceleracidn angular de 2 rad/s 2. En este mismo instante, el collarm se desplaza hacia fuera a lo largo de la barra de modo que cuando x = 0.2 m la velocidad es de 2 m/sy la aceleracidn de 3 m/s 2, medidas ambas con respecto a la barra. Determine la aceleracidn de Coriolis y la velocidad y aceleracidn del collarm en este instante. SOLUCI6N

Ejes de coordenadas. El origen de los dos sistemas de coordenadas se encuentra en el punto O, figura 16-33. Como el movimiento del collarm se reporta con respecto a la barra, el marco de referencia x y y, z mdvil se fija a dsta. Ecuaciones clnemdticas. vc = v0 + ft X rc/0 + (Vc/o)xyz

(!) +

ac = ac + ft x rc/o + ft x (ft x rC/0) + 2ft x {yc/o)xyz (*c/o)xyz

(2 )

Ser6 mds sencilb expresar bs datos en funcidn de vectores de componentes i, j, k que de componentes I, J, K. Por tanto,

y0 =

0

Movimiento de la referencia movil

Movimiento de Ccon respecto a la referencia movil

Tc/o = {0.21} m

= {2*} m/s

a0 = 0

(?c/o)xyz

fl = {-3k} rad/s

(acfo)xyz = {3i} rn/s2

H = {-2k} rad/s2 La aceleracidn de Coriolis se define como acor

= 2fix ( y cfo)xyz = 2(-3k) X (2i) = { 12j} m/s2 Resp.

Este es el vector de rayas que aparece en la figura 16-33. Si se desea, puede dividirse en componentes I, J que actuan a b largo de los ejes Xy Yy respectivamente. La velocidad y aceleracidn del coUarin se determinan mediante la sustitucidn de bs datos en las ecuaciones 1 y 2 y la evaluacidn de los productos vectoriales, de lo cual resulta vc = \ 0 + H X t Cf0 + (y C f0 )xyz = 0 + (-3k) X (0.2i) + 2i

Resp.

= {2i - 0.6j} m/s y

+

ac = a0 + H X T QQ + Cl X (ft X t C / 0 ) + 2fl X { c/o)xyz (*C/o)xyz = 0 + (-2k) X (0.2i) + (-3k) X [(-3k) X (0.21)] + 2(—3k) X (21) + 3i = 0 - 0.4j - 1.80i 12j + 3i

= {1.201 - 12.4J} m/s2

Resp•

y

c=

y, z estd fija en y gira con la barra DE de modo que el movimiento relativo del collarfn es fdcil de seguir. Ecuaciones cinemdtkas.

io AB — 3 rad/s a AB = 4 rad/s2 = 45°

0.4 m

A

vc =

Fig. 16-34

VD

+

ft X t c/D

+

(v C /D)xyz

(!)

ac = aD + ft x rc/D + ft x (ft x r c / D ) +2 ft X (vc/D)^ + ( » C / D ) x y z

(2) Todos los vectores se expresardn en funcidn de componentes i, j, k.

Movimiento la a

C= VD = 0

a

de

Movimiento de Ccon respecto

referencia

a la referencia movil

X AB movil r C/A

“ M AB ^C/A

rc/D = {0.4i}m = (-4k) X (0.41 + 0.4j) - (3)2(0.4i + 0.4j) = {—2i - 5.2j} m/s2

=0

[ y C/D)xyz - (VC/D)

xy Al sustituir los datos en las ecuaciones 1 y 2, tenemos zM = a (*C/D)xyz ( C/D)xyz* fl = —(l)£)£k vc = vD + ft X t c / d + (y c / D ) x y z 1.21 1.2j = 0 +(~co DEk) X (0.41) + D = -a DE k (v c/D) xyj Movimiento el collarin se mueve 1.2j a lo =largo trayectoria 1.21de C: como 0 - de una Moj de \ + circular de radio AC,su velocidad y aceleracidn se determi- nan con las c/D ) xyz ecuaciones(v16-9 yi16-14. {v C /n)xyz =

+ V;yp = Vp + w X r

La cantidad de movimiento angular de esta particula con respecto al punto Pes igual al “momento” de su cantidad de movimiento lineal con respecto a P, figura 19-la. Por tanto, (a)

(H/>)j = r X m, v,

Si expresamos v, en funcidn de vP y utilizamos vectores cartesianos, tenemos

{ H P )i k

=

m i{x i + yj) X [(tv)*! +

+, la cual siempre es perpendicular al piano de movimiento. La ecuacidn 19-2 tambidn puede reescribirse en funcidn de los componentes x y y de la velocidad del centro de masa del cuerpo, (\G)* y (vc) y del momento de inercia IG del cuerpo. Como G se ubica en las coordenadas (xyy)y entonces, de 2 2 acuerdo con el teorema de ejes paralelos, IP = IG + m(x + y ). Al sustituir en la ecuacidn 19-2 y reordenar los tdrminos, tenemos

(19-4)

HP = ym[-(vP)x + yco] + xm[{vP)y + x(o] + IQCO

A partir del diagrama cinemdtico de la figura 19-16, vG puede expre- sarse en funcidn de vPcomo

\Q = vp + ft) X r (vc)*i + (%)yj = («/>)*» + (o/Oyj + “k x fa +

33)

Al realizar el producto vectorial e igualar los componentes i y j respec- tivos se obtienen las dos ecuaciones escalares

(%)x = (vp) x - y°> (vG)y = My + XO)

Si sustituimos estos resultados en la ecuacidn 19-4 obtenemos m(v G L L = m\G

(19-5) (C+) HP = -ym(vG)x + xm(vG)y + IGto Como se muestra en la figura 19-lc, este resultado indica que cuando la

cantidad de movimiento angular del cuerpo se calcula con respecto al punto Py es equivalente al momento de la cantidad de movimiento lineal mv Gy o de sus componentes m(vG)x y m{\G)yy con respecto a P mas la cantidad de movimiento angular I Ga>. Con estos resultados, a continua- cidn consideraremos tres tipos de movimiento.

Diagrama cantidad movimiento (c) cuerpo Fig. 19-1 (cont)

de de del

498

CAPITULO 19 CINDTICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

VG = V

Traslacion. Cuando un cuerpo rigido se somete a traslacidn rectilmea o curvilinea, figura 19-2a, entonces a> = 0 y su centro de masa tiene una velocidad de vG = v. Por consiguiente, la cantidad de movimiento lineal, y la cantidad de movimiento angular con respecto a G, se convierten en

L = m\G

►

J _

(19-6) Traslaci6n

(a) Si la cantidad de movimiento angular se calcula con respecto a algun otro punto A, el “momento” de la cantidad de movimiento lineal L debe calcularse con respecto al punto. Como des el “brazo de momento” como se muestra en la figura 19-2a, entonces de acuerdo con la ecuacidn 19-5, HA = (d)(mvG)!).

Rotacidn con respecto a un eje fijo. Cuando un cuerpo rigido gira alrededor de un eje fijo , figura 19-2b, la cantidad de movimiento fineal y la cantidad de movimiento angular con respecto a G, son

L = mvG H C — I G0 *

(19-7)

Rotacidn respecto de un eje fijo (b)

Fig. 19-2

En ocasiones es conveniente calcular la cantidad de movimiento angular con respecto al punto O. Si observamos que L (o vG) siempre es perpendicular a rG, tenemos

(C + ) Ha = IGw + rc(mvG)

(19-8)

Como vG = r&0, esta ecuacidn puede escribirse como HQ = (/G + mrc)(o. Al utilizar el teorem

(19-9)

En el cdlculo, entonces, pueden utilizarse la ecuacidn 19-8 o la 19-9.

*Es importante observar la similitud entre esta derivacidn y la de la ecuacidn 17-16 (2Af0 = I QO ), y la ecuacid el mismo resultado con la ecuacidn 19-2 si selecciona el punto P en O, y tiene en cuenta que (v 0 )x = (v 0 ) y = 0.

r

19.1 Cantidad de movimiento uneal y angular

Hq — I(jG>

Movimiento piano general (c) Fig. 19-2

Movimiento piano general. Cuando un cuerpo rigido se somete a movimiento piano general, figura 19-2c, la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular con respecto a G,son

L = mvG HC = IQO)

(1910)

Si la cantidad de movimiento angular se calcula con respecto al punto Ay figura 19-2c, es necesario incluir el momento de L y HG, con respecto a este punto. En este caso, ( C + ) Ha = Ig2 a >2 = 1.05 rad/s J

Resp.

NOTA: trate de resolver este problema con el principio de impulso y cantidad

de movimiento con respecto a G y por el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal en la direccidn x.

506

CAPITULO 19 CINDTICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EJEMPLO 1 19.4 El cilindro que se muestra en la figura 19-7a tiene una masa de 6 kg. Cuelga de una cuerda la cual se enrolla alrededor de la periferia de un disco de 20 kg cuyo momento de inercia es IA = 0.40 kg • m2. Si inicialmente desciende con una rapidez de 2 m/s, determine su rapidez en 3 s. Ignore la masa de la cuerda en el cdlculo.

vB = 2 m/s

(a)

SOLUCI6N I

c

V ff

Diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo fibre del alindro y disco se muestran en la figura 19-76. Todas las fuerzas son constantes puesto que el peso del cilindro crea el movimiento. El movimiento descendente del cilindro, vB, hace que la velocidad angular co del disco sea en el sentido de las manecillas del reloj. Principio de impulso y cantidad de movimiento. Podemos efiminar A* y Ay del andlisis al aplicar el principio de impulso y cantidad de movimiento angular con respecto al punto A. Por consiguiente Disco

(C+)

+ 2 J M A d t = IAa>2

0.40 kg-m2^) + 7(3s)(0.2m) = (0.40 kg ■ m2)^ Cilindro 58.86 N

( b ) Fig. 19-7

(+t)

r n B {v B ) i + 2 JF y d t = m B { v B )

2

—6 kg(2 m/s) + 7(3 s) - 58.86 N(3s) = -6kg(uB)2 Cinemdtica. Como io = vB/ry entonces (o\ = (2 m/s)/(0.2 m) = 10 rad/s y a >2 = (vB)2/0.2 m = 5(i>b)2. Al sustituir y resolver las ecua- dones simultdneamente para (v Bobtenemos

CvB)i = 13.0 m/s i

Resp.

19.2 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

507

SOLUCI6N II

Diagramas de impulso y cantidad de movimiento. Podemos obtener (v£h directamente al considerar el sistema compuesto del cilindro, la cuerda trazaron los diagramas de impulso y cantidad de movimiento para clarificar la aplicacidn del principio de impulso y cantidad de movimiento angula al punto Ay figura 19-7c.

Principio de impulso y cantidad de movimiento angular. (o] = 10 rad/s y = 5(vB)2, tenemos

cantidad de \ (C +) ( 2 roviniiento angular + del sistema / A\

^ impulso angular 2L J del sistema

Como

/ cantidad de = I 2 movimiento angular >1(1-2) V del sistema / >12

(6 kg)(2 m/s)(0.2 m) + (0.40 kg • m2)( 10 rad/s) + (58.86 N)(3 s)(0.2 m) = (6kg)(v B)2(0.2m) + (0.40kg-m2)[5(vB)2(0.2 m)]

{vb)i

V

= 13.0 m/s 1

_

Resp.

I _

L 6 kg(2 m/s)

5886 N(3s) (c)

Fig. 19-7 (cont)

6kg(vB)2

508

CAPITULO 19 CINDTICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

EJEMPLO 19.5 La prueba de impacto Charpy se utiliza en la prueba de materiales para determinar sus caracteristicas de absorci6n de energia durante el impacto. La prueba se realiza por medio del pSndulo mostrado en la figura 19-8a, el cual tiene una masa m, un centro de masa en G y un radio de giro k G con respecto a G. Determine la distancia rP del pasador en A al punto P donde el impacto con la muestra 5 deberd ocurrir de modo que la fuerza horizontal en el pasador A sea esencialmente cero durante el impacto. Para el cdlculo, suponga que la muestra absorbe toda la energia cindtica del pdndulo adquirida mientras cae y de ese modo detiene su oscilacidn cuando 6 = 0°.

SOLUCI6N

Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 19-86, las condiciones del problema requieren que la fuerza horizontal en A sea cero. Justo antes del impacto, la velocidad angular del pdndulo es y su centro de masa estd en movimiento a la izquierda en (%)! = ra)v Principio de impulso y cantidad de movimiento. Aplicaremos d principio de impulso y cantidad de movimiento angular con respecto al punto A. Por tanto, VG

.' IA0) 1 + 2 A/ 4 dt = IA0)2

(C+)

IA I - i^J F dt^Jrp = 0 m(vG)j + 2 JF dt = m(vG)2

(■*)

-m(Ja>x) + JF dt = 0

(b) Fig. 19-8 Al eliminar el impulso / F dt y sustituir IA = mkc + mr2 se obtiene [rnkc + mr2]^! — m{r(D\)rp = 0

Al factorizar m(o x y resolver rPy obtenemos

NOTA: el punto Py asf definido, se llama centro de percusidn. Al colocar el punto de impacto Py la fuerza desarrollada en el pasador serd minima. Muchos implementos deportivos, como raquetas, palos de golf, etc., se diseftan de modo que el choque con el obje- to golpeado ocurra en el centro de percusidn. En consecuencia, el jugador no tendrd ninguna sensacidn de “aguijoneo” o de otra indole en su mano (vea ademds los problemas 17-66 y 19-1).

509

19.2 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F19-1. La rueda de 60 kg tiene un radio de giro con respecto a su centro OF19-4. de ko Los = 300 engranes mm. Si Ase ysomete B de a10 unkg momento y 50 kg dede parmasa de M tienen = (3J2) N • m, donde t esti e determine su velocidad angular cuando t = 4 s, a partir del reposo. radios de giro con respecto a sus respectivos centros de masa de k A = 80 mm y k B = 150 mm. Si el engrane A se somete a un momento de par M = 10 N • m, determine la velocidad angular del engrane B 5 s despu& de que comienza a girar del reposo. M = (3J2) N • m

F19-1 F19-2. La rueda de 300 kg tiene un radio de giro con respecto a su centro O de k 0 = 400 mm. Si se somete a un momento de par de M = 300 N *m, determine su velocidad angular 6 s despubs de que comienza a rodar del reposo sin deslizarse. Ademds, determine la fuerza de fricci6n que se desarrolla entre la rueda y el suelo.

M

F19F19-5. El carrete de 50 kg se somete a una fuerza horizontal P = 150 N. Si rueda sin reposo. Su radio de giro con respecto a su centro de masa es k G = 175 mm.

0.6 m M = 300 N • m

F19-2 F19-3. Si la barra OA de masa insignificante se somete al momento de par M = 9 N • m, determine la velocidad angular del engrane intemo t = 5 s despubs de que comienza a moverse del reposo cuya masa es de 10 kg. El radio de giro del engrane con respecto a su centro de masa es k A = 100 mm y rueda sobre el engrane extemo fijo. El movimiento se desarrolla en el piano horizontal.

F19-

F19-6. El carrete pesa 150 lb y su radio de giro con respecto a su centro de gravedad es k reposo cuando se aplica el par de torsi6n, determine su velocidad angular en 3 segundos.

pies M = 25 lb

F19-3

F19-6

510

CAPITULO 19 CINDTICA PLANA DE UN CUERPO RIGIDO: IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

PROBLEMAS •19-1. El cuerpo rigido (losa) tiene una masa m y gira con una velocidad angular co con respecto a un eje que pasa por el punto fijo O. Demuestre que los momentos de todas las partfculas que componen el cuerpo pueden ser representadas por un solo vector de magnitud mvG y que actua en el punto P, llamado centro de percusidn, el cual queda a una distancia rP jG = kc/rG/0 del centro de masa G. Aquf k G es el radio de giro del cuerpo, calculado con respecto a un eje perpendicular al piano de movimiento y que pasa por G.

19-3. Demuestre que si una losa gira con respecto a un eje perpendicular fijo a ella que pasa por su centro de masa G, la cantidad de movimiento angular es la misma cuando se calcula con respecto a cualquier otro punto P.

mvG

Prob. 19-3

Prob. 19-1

19-2. En un instante dado, el cuerpo tiene una cantidad de movimiento lineal L = mvG y una cantidad de movimiento angular HG = IQCO calculado con respecto a su centro de masa. Demuestre que la cantidad de movimiento angular del cuerpo calculada con respecto al centro instan- t£neo de velocidad cero Cl puede expresarse como Hc; = ICi 1

+ 2 / MG dt = IoC*>2 Jtl

L = mvG HG = IG(o HA =

+ (mvG)d

R EPASO DEL CAPhruLO

Conservacidn de la cantidad de movimiento

533

/ cantidad de \ / cantidad de \ j V movimiento lineal I = V movimiento lineal V del sistema /1 \ del sistema J 2

Siempre que la suma de los impulsos / cantidad de \ / cantidad de \ lineales que actuan en un sistema de V movimiento angular = V movimiento angular V del sistema Joi \ del sistema J 02 cuerpos rigidos conectados es cero en una direccidn particular, entonces la cantidad de movimiento lineal del sistema se conserva en esta direccidn. La conservacidn de la cantidad de movimiento angular ocurre si los impulsos pasan a travds de un eje o son paralelos a dl. Tambidn se conserva la cantidad de movimiento si las fuerzas externas son pequeflas y crean fuerzas no impulsoras en el sistema. Un diagrama de cuerpo libre deberd acompaflar cualquier aplicacidn para clasificar las fuerzas como impulsoras o no impulsoras y para determinar un eje con respecto al cual la cantidad de movimiento angular puede conservarse.

Impacto excdntrico Si la lfnea de impacto no coincide con la lfnea que conecta los centros de masa de dos cuerpos que chocan, entonces ocurrird un impacto excdntrico. Si se ha de determinar el movimiento de los cuerpos justo despuds del impacto, entonces es necesario considerar una ecuacidn de conservacidn de cantidad de movimiento para el sistema y utilizar la ecuacidn del coeficiente de restitucidn.

(vb)2 ~ (tu)2 “ (vB)i

REPAS O

Cinematica y cinetica plana de un cuerpo rigido

2

Habiendo presentado los diversos temas de cinemdtica y cindtica plana en los capftulos 16 a 19, ahora resumiremos estos principios y daremos la oportunidad de aplicarlos a la solucidn de varios tipos de problemas.

Cinematica. Aquf nos interesa estudiar la geometrfa del movimiento, sin hacer caso de las fueizas que lo provocan. Antes de resolver un problema de cinemdtica plana, primero es necesario clasificar d movimiento como de traslacidn rectilfnea o curvilfnea, de rotacidn alrededor de un eje fijo o como movimiento piano general. En particular, los problemas que implican movimiento piano general se resuelven con referencia a un eje fijo (andlisis de movimiento absoluto) o por marcos de referencia trasladantes o rotatorios (andlisis de movimiento ielativo). La opcidn en general depende del tiempo de restricciones y de la geometrfa del problema. En todos los casos, la aplicacidn de las ecuaciones necesarias se aclara con el trazado de un diagrama cinemd- tico. Recuerde que la velocidad de un punto siempre es tangente a la trayectoria de su movimiento y la aceleracion puede tener componentes en las direcciones n-t cuando la trayectoria es curva. Traslacion. Cuando el cuerpo se mueve con traslacidn rectilfnea o curvilfnea, todos sus puntos tienen el mismo movimiento.

^ = yA

a

B

= a

A

REPAS0 2 CINEMATICA Y CINDTICA PLANA DE UN CUERPO RfGIDO

Rotation respecto de un eje fijo. Movimiento angular. Aceleracidn angular variable. Siempre que se dd una relacidn mate- mdtica entre cualquiera de dos de las cuatro variables, 0 y(o ya y t y entonces puede determinate una tercera variable al resolver una de las siguientes ecuaciones, las cuales se refieren a las tres variables. dO (o = —— dt

d(o a = —— dt

add = (odd)

Aceleracidn angular constante. Las siguientes ecuaciones son apli- cables cuando es absolutamente cierto que la aceleracidn angular es constante. co = co^ + a ct co 2 = C OQ + 2a c(0 - 00)

6 = d0 + cotf +

Movimiento del punto P. Con coy a determinadas, el movimiento del punto P puede especificarse con las siguientes ecuaciones vecto- riales o escalares. V = cor

v=wXr

at = ar an = co r

a=aXr—

2

co2r

Movimiento piano general-analisis de movimiento relativo. Recuerde que cuando se colocan ejes trasladantes en el “punto base” Ay el movimiento relativo del punto B con respecto a A es simplemente movimiento circular de B con respecto a A. Las siguientes ecuaciones son aplicables a los dos puntos Ay B localizados en el mismo cuerpo rigido. v* = a =a

+ VB/A =

B >t + aB/i4 =

* A + . Por ejemplo, en el caso del disco de la figura 20-5a, donde to = io s + p. Por eso, y para otros usos mds adelante, ahora se derivard una ecuacidn, la

20.2 D E ?IVADA CON RESPECTO AL TIEMPO DE UN VECTOR MEDIDO CON RESPECTO A UN SISTEMA RJO O A UN SISTEMA...

553

cual relaciona la derivada con respecto al tiempo de cualquier vector A definido con respecto a una referencia trasladante-rotatoria a su derivada con tiempo definida con respecto a una referencia fija. Considere que los ejes JC, yy z del marco de referencia mdvil giran a una velocidad angular ft, medida con respecto a los ejes fijos Xy Yy Z, figura 2 siguiente planteamiento, serd conveniente expresar el vector A en funcidn de sus componentes i, j, k, las cuales definen las direcciones de los ejes m consiguiente,

A = Ax i + A yj + Az k

En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tener en cuenta el cambio tanto de magnitud como de direccidn. Sin embargo, si esta considera con respecto al marco de referencia mdvil, sdlo debe tenerse en cuenta el cambio de las magnitudes de las componentes de A, pue direcciones de las componentes no cambian con respecto a la referencia mdvil. Por consiguiente,

(A),,* = Axi + Ayj + A*k

(20-5)

Cuando la derivada con respecto al tiempo de A se considera con respecto al marco de referencia fijo y las direcciones de i, j y k cambian sdlo debido a la rotacidn ft de bs ejes y debido a su traslacidn. De ahf que, en general, A = Ax i + A yj + Az k + Ax\ + Ay j + Az k A continuacidn se considerardn las derivadas con respecto al tiempo de los vectores unitarios. Por ejemplo, i = di/dt representa sdlo el cambio de la direccidn de i con respecto al tiempo, puesto que la magnitud de i siempre es 1 unidad. Como se muestra en la figura 20-6/?, el cambio, di y es tangente a la trayectoria descrita por la punta de flecha de i a medida que i oscila debido a la rotacidn ft. Si tenemos en cuenta tanto la magnitud como la direccidn de di ? podemos definir por consiguiente ipor medio del producto vectorial, i = fl X i. En general, entonces

i en el instante t + dt

2 & i en el instante t

Fig. 20-6

i = ft X i j = ft X j k = ft X k Estas formulaciones tambidn se desarrollaron en la seccidn 16.8 en relacidn con el movimiento piano de los ejes. Al sustituir estos resultados en la ecuacidn anterior y utilizar la ecuacidn 20-5 obtenemos

A = (A)jyZ IftxA

(20-6)

Este resultado es importante, y se utilizard a lo largo de la seccidn 20.4 y en el capftulo 21. Establece que la derivada con respecto al tiempo de cualquier vector A observada desde el marco de referencia Xy Yy Z fijo es igual al cambio con respecto al tiempo de A observado desde el marco de referencia trasladanterotatorio JC, yy z, ecuacidn 20-5, mds ft X A, el cambio de A causado por la rotacidn del marco JC, yy z. Por consiguiente, siempre deberd utilizarse la ecuacidn 20-6 siempre que ft cambie la direccidn de A vista con respecto a la referencia Xy Y, Z. Si no ocurre este cambio, es decir, ft = 0, entonces A = (A)*y Z y por tanto el cambio con respecto al tiempo de A observado desde ambos sistemas de coordenadas serd el mismo.

(b)

554

CAPfTULO 20 C INEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

EJEMPLO 1 20.1 El disco de la figura 20-7 gira alrededor de su eje a una velocidad angular constante (o s = 3 rad/s, mientras que la plataforma horizontal sobre la cual estd montado el disco gira alrededor del eje vertical a una velocidad constante (o p = 1 rad/s. Determine la aceleracidn angular del disco y la velocidad y aceleracidn del punto A del disco cuando estd en la posicidn mostrada.

Z,Z

SOLUCI6N El punto O representa un punto fijo de rotacidn para el disco si oonsideramos la extensidn hipotdtica del disco hasta este punto. Para determinar la velocidad y aceleracidn del punto A, primero es necesario determinar la velocidad angular to y aceleracidn angular a del disco, ya que estos vectores se utilizan en las ecuaciones 20-3 y20-4. Velocidad angular. La velocidad angular medida con respecto a Xy y, Z, es simplemente la suma vectorial de sus dos movimientos componentes. Por tanto,

to = (os + uip = {3j — lk}

rad/s

20.2 D E ?IVADA CON RESPECTO AL TIEMPO DE UN VECTOR MEDIDO CON RESPECTO A UN SISTEMA RJO O A UN SISTEMA...

Aceleracion angular. Como la magnitud de (o es constante, sdlo un cambio de su direccidn, visto desde la referencia fija, crea la aceleracidn angular a del disco. Una forma de obtener a es calcular la derivada con respecto al tiempo de cada uno de los dos componentes de (o con la ecuacidn 20-6. En el instante que se muestra en la figura 20-7, imagine que el marco de referencia fijo AT, Y, Z y un marco x> y, z rotatorio coinciden. Si el marco rotatorio *, yy z se elige de modo que tenga una velocidad angular ft = y> z es cero, es decir, (w*)*^ = 0 (la magnitud y direccidn de to s es constante). Por tanto,

x

“j = (“*)*« “s = 0 + (-lk) X (3j) = {31} rad/s2

Con la misma seleccidn de rotacidn de ejes, ft = (o Py o incluso con ft = 0, la derivada con respecto al tiempo (p)xyZ = como (oPy tiene una magnitud y direccidn constantes con respecto a x y y y z . Entonces, (Op = {(Op)xyz + (Op X (Op = 0 + 0 = 0

La aceleracidn angular del disco es por consiguiente a = (o = (o s + (o p = {3i} rad/s2

Resp.

Velocidad y aceleracidn. Como (o y a ya se determinaron, la velocidad y aceleracidn del punto A se determinan con las ecuaciones 20-3 y 20-4. Habida cuenta de que r A = {lj + 0.25k} m, figura 20- 7, tenemos

yA = (o X = (3j - lk) X (lj + 0.25k) = {1.75i} m/s Resp. 2k A =

a X r A + (o X (co X r^)

= (3i) X (lj + 0.25k) + (3j - lk) X [(3j - lk) X (lj + 0.25k)] = {—2.50J - 2.25k} m/s2

Resp.

555

CAPfTULO 20 C INEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

556

EJEMPLO 20.2 En el instante 6 = 60°, el gir6scopo que se ilustra en la figura 20-8 tiene tres componentes de movimiento angular dirigidos como se muestra con magnitudes definidas como: Rotacidn: (o s = 10 rad/s, que se incrementa a razdn de 6 rad/s 2. Nutacion: co„ = 3 rad/s que se incrementa a razdn de 2 rad/s2. Precesion: (o p= 5 rad/s, que se incrementa a razdn de 4 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn angulares del girdscopo. SOLUCI6N

Velocidad angular. El girdscopo hace movimiento de rotacidn respecto del punto fijo O. Si los marcos fijo y rotatorio coinciden en d instante mostrado, entonces la velocidad angular puede represen- tarse en funcidn de las componentes i, j, k, con referencia al marco jc, y,z,es decir,

10 rad /s = 6 rad/s2

co = —con i + o>5sen#j + {(op + 6>scos0)k

= —3i + 10 sen 60°j + (5 + 10cos60°)k (op = 5 rad/s y, z (fl = 0) se encuentra en el “punto base” Ay entonces, en el instante mostrado, el movimiento del cuerpo puede considerarse como la suma de una traslacidn instantdnea del cuerpo que tiene un movimiento de vA y a>i, y una rotacidn respecto de un eje instantdneo que pasa por el punto A. Como el cuerpo es rigido, el movimiento del punto B medido por un observador localizado en A es por consiguiente el mismo que la rotacidn del cuerpo respecto de un punto fijo. Este movimiento relativo ocurre con respecto al eje instantdneo de rotacidn y se define como \B{A = x t b/a> ecuacidn 20-3 y a s/a = « X t B / A + to X (to X r^), ecuacidn 20- 4. Para ejes trasladantes, los movimientos relativos se relacionan con los movimientos absolutos por medio de vB = \A + \BfA y aB = &A + ab(a> ecuaciones 16-15 y 16-17, de modo que la velocidad y aceleracidn absolutas del punto B se determinan con las ecuaciones

v* = YA + to X T B/ A

(20-7) x

y

a* = aA + aX r B / A + to X (to X t B f A )

(208)

Estas dos ecuaciones son iddnticas a las que describen el movimiento piano general de un cuerpo rigido, ecuaciones 16-16 y 16-18. Sin embargo, su aplicacidn se complica cuando el movimiento es tridimensional, porque a ahora mide el cambio tanto de magnitud como de direccidn de to.

558

CAPfTULO 20 C INEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

EJEMPLO 20.3 Si el collarin en C que se ilustra en la figura 20-10a se mueve hacia B a una rapidez de 3 m/s, determine la velocidad del collarin en D y la velocidad angular de la barra en el instante que se muestra. La barra estd conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulackmes de rdtula esfdrica. SOLUCI6N

La barra CD estd sometida a movimiento general. ^Por qud? La velocidad del punto D en la barra puede relacionarse con la velocidad del punto C mediante la ecuacidn V

D = yC + « X rD/C

Se supone que los marcos de referencia fijo y trasladante coinciden en el instante considerado, figura 20-106. Tenemos

*c = {3j} m/s

TD/ C

=

{li + 2j — 0.5k} m co = co xi + co yj + co zk

Al sustituir en la ecuacidn anterior tenemos i vDV. = 3j +

j

(Ox 1

k

(Oy (Oz -0.5 2

Expandir e igualar las respectivos componentes i, j, k, resulta 0.5( 2co z = 0 ox 0.5cUv + 1 (o7 + 3 — 0 2(0 ,

1 (o y + vD = 0

(1 ) (2 ) cuarta

Estas ecuaciones contienen cuatro incbgnitas.* Puede escribirse una ecuacidn si se especifica la direccidn de co. En particular, cualquier (3) componente de co que actua a lo largo del eje de la barra no afecta el movimiento de bs collarines. Esto se debe a que la barra gira libremente alrededor de su eje. Por consiguiente, si co se especifica como perpendicular al eje de la barra, entonces co debe tener una magnitud unica para satisfacer las ecuacbnes anteriores. La perpendicularidad estd garantizada siempre que el producto escalar de co y rD/csea cero (vea la ecuacidn C-14 del apdndice C). Por consiguiente, co 'TDfc -

+

w

zk) * (1* + 2j - 0.5k) = 0

l(ox + 2(oy — 0.5ft>z = 0

(4)

Al resolver las ecuaciones 1 a 4 simultdneamente, obtenemos (ox = -4.86 rad/s co y = 2.29 rad/s co z = -0.571 rad/s Resp. vD = 12.0 m/s I

Resp.

♦Aunque 6ste es el caso, puede obtenerse la magnitud de vD. Por ejemplo, resuelva las ecuaciones 1 y 2 para (o y y o) x en funci6n de oj z y sustituya en la ecuaci6n 3. Se observar^ que to z se elimina, lo que permite una solucidn para v D .

20.3 MCVIMIENTO GENERAL

559

PROBLEMAS •20-1. El anemdmetro localizado en el punto A del barco oscila alrededor de su propio eje a razdn de cu s, mientras que el barco gira con respecto al eje x a razdn de (o x y con respecto al eje y a razdn de to y. Determine la velocidad y aceleracidn angulares del anemdmetro en el instante en que el barco est£ nivelado como se muestra. Suponga que las magnitudes de todos los componentes de velocidad angular son constantes y que el movimiento de rodamiento provocado por el mar es independiente en las direcciones xy y.

203. En un instante dado, la antena parabdlica tiene un movimiento angular a>i = 6 rad/s y = 3 rad/s 2 alrededor del eje z. En este mismo instante 0 = 25°, el movimiento angular con respecto al eje x es o>2 = 2 rad/s y o>2 = 1.5 rad/s . Determine la velocidad y aceleracidn de la bocina de seflales A en este instante.

Prob. 20-3

*20-4. El ventilador Prob. 20-1 est£ montado en un apoyo giratorio de

modo que en el instante mostrado esti girando respecto del eje z a u>\ = 0.8 rad/s, que se incrementa a 12 rad/s2. El aspa 202. El movimiento del trompo es tal que en el instante que se muestra gira alrededor del eje z a o)l = 0.6 rad/s, mientras que gira alrededor de su p gira a o>2 = 16 rad/s, la cual se reduce a 2 rad/s2. Determine a >2 = 8 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn angulares del trompo en este instante. Exprese el resultado como un vector cartesiano. la velocidad y aceleracidn angulares del aspa en este instante.

z z

Prob. 20-2

Prob. 20-4

560

CAPfTULO 20 C INEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

20- libremente 7. Si elalrededor engrane superior gira a una &>, determ •20-5. Los engranes A y B est4n fijos mientras que los engranes C y D giran del eje S.B Si dste giravelocidad alrededor constante del eje z adeuna velocidad 4 rad/s, determine la velocidad y aceleracidn angulares del engrane C. el engrane fijo inferior C.

z

z 80 mm

X

Prob. 20-5

206. El disco gira respecto del eje z a (o z = 0.5 rad/s sin deslizarse sobre el piano horizontal. Si en este mismo instante u> z se incrementa a 6) z = 0.3 rad/s2, determine la velocidad y aceleraci6n del punto A en el disco.

Prob. 20-7

*20-8. El telescopio est£ montado en el bastidor F que permite dirigirlo a cualquier punto del cielo. Cuando 0 = 30°, el bastidor tiene una aceleraci6n angular de ay = 0.2 rad/s2 y una velocidad angular de toy = 0.3 rad/s respecto del eje y\ y 0 = 0.5 rad/s2 mientras que 0 = 0.4 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn de la c£psula de observacidn C en este instante.

z

20

rad/s rad/s2

Prob. 20-6

Prob. 20-8

20.3 MCVIMIENTO GENERAL

561

•20-9. Cuando 0 = 90°, el cuerpo del satdlite gira con una

*20-12. En el instante que se muestra, el motor gira alrededor

velocidad angular de o>j = 15 rad/s y una aceleracidn angular de o>j = 3 rad/s2. Al mismo tiempo, los paneles solares giran con una velocidad angular de a>i = 6 rad/s y una aceleracidn angular de o>2 = 1.5 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del punto B en el panel solar en este instante.

del eje z con una velocidad angular de o)j = 3 rad/s y aceleracidn angular de o>! = 1.5 rad/s2. Simult£neamente, la flecha OA gira con una velocidad angular de = 6 rad/s y aceleracidn angular de o>2 = 3 rad/s2 y el collarfn C se desliza a lo largo de la barra A B con una velocidad y aceleracidn de 6 m/s y 3 m/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del collarfn Cen este instante.

10. Cuando 6 = 90°, el cuerpo del satdlite viaja en la direccidn x con una velocidad de v0 = {500i} m/s y una aceleracidn de ao = {50i} m/s 2. Simultdneamente, el cuerpo tambidn gira con una velocidad angular de = 15 rad/s y una aceleracidn angular de d>i = 3 rad/s2. Al mismo tiempo, los paneles solares giran con una velocidad angular de (02 = 6 rad/s y una aceleracidn angular de o >2 - 1-5 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del punto B en el panel solar. 20-

z

z

Prob. 20-12

•20-13. En el instante que se muestra, la grua gira respecto del

Probs. 20-9/10 11. El cono rueda en cfrculos y gira alrededor del eje z a una velocidad constante (o z = 8 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn angulares del cono si rueda sin deslizarse. Adem4s, £cu£les son la velocidad y aceleracidn del punto Al 20-

eje z con una velocidad angular (o { = 0.25 rad/s, la cual se incrementa a 0.6 rad/s2. La pluma OA baja con una velocidad angular = 0.4 rad/s, la cual se incrementa a 0.8 rad/s 2. Determine la velocidad y aceleracidn del punto A localizado en el extremo de la pluma en este instante.

z

z

Prob. 20-11

Prob. 20-13

562

CAPfTULO 20 C INEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

14. La flecha DE impulsa al engrane C, mientras que el engrane B gira libremente respecto de su propio eje GFy el cual precesa libremente respecto de la flecha DE a una velocidad angular constante de (o DE = 10 rad/s. Si el engrane A se mantiene fijo ( 2 = 5 rad/s y acele localizado en el extremo de uno de los paneles solares en este instante.

150 mm

150 mm

Prob. 20-16 150 mm

Prob. 20-14 15. La flecha DE impulsa al engrane C, mientras que el engrane B gira libremente respecto de su eje GF, el cual precesa libremente alrededor de la flecha DE. Si el engrane A es propulsado a una velocidad angular constante de o)A = 5 rad/s y la flecha DE gira a una velocidad angular constante de (o DE = 10 rad/s, determine la velocidad angular del engrane B. 20-

z

•20-17. Cuando 0 = 30°, el cuerpo del satdlite gira a una velocidad angular de o>i = 20 rad/s y su aceleracidn angular es = 5 rad/s2. Simultdneamente, los paneles solares giran a una velocidad angular constante de a >2 = 5 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn del punto B localizado en el extremo de uno de los paneles solares en este instante. 18. Cuando 0 = 30°, el cuerpo del satdlite gira a una velocidad angular de o>i = 20 rad/s y su aceleracidn angular es 6) i = 5 rad/s2. En el mismo instante, el satdlite viaja en la direccidn x a una velocidad de = {5000i} m/s, y su aceleracidn es a0 = {5001} m/s2. Simultdneamente, bs paneles solares giran a una rapidez angular constante de a >2 = 5 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn del punto B localizado en el extremo de uno de los paneles solares en este instante. 20-

150 mm

150 mm

ioDE = 10 rad/s

Lj 150 mm

Prob. 20-15

Probs. 20-17/18

20.3 Mcvimiento general 2019. La pluma OA de la grua gira alrededor del eje z a una velocidad angular constante de o>i =0.15 rad/s, mientras que baja a una velocidad angular constante de ^ = 0.2 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn del punto A localizado en el extremo de la pluma en el instante que se muestra.

z

563

•20-21. La barra>1B esti conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfdrica. Si la velocidad del collarfn A es v A =3 pies/s, determine la velocidad angular de la barra y la velocidad del collarfn B en el instante mostrado. Suponga que la direccidn de la velocidad angular de la barra es perpendicular a la barra. 2022. La barra A B est4 conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfdrica. Si la aceleracidn del collarfn A es a A = {8i} pies/s2 y su velocidad = {31} pies/s, determine la aceleracidn angular de la barra y la aceleracidn del collarfn B en el instante que se muestra. Suponga que la aceleracidn angular de la barra es perpendicular a la barra.

Prob. 20-19

*20-20. Si el armazdn gira a una velocidad angular constante de (up = {-10k} rad/s y el engrane horizontal B gira a una velocidad angular constante de u> B = {5k} rad/s, determine la velocidad y aceleracidn angulares del engrane cdnico A.

z

2023. La barra AB est£ conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfdrica. Si el collarfn A sube con una velocidad de = {8k} pies/s, determine la velocidad angular de la barra y la rapidez del collarfn B en el instante que se muestra. Suponga que la direccidn de la velocidad angular de la barra es perpendicular a ella. *20-24. La barra AB est£ conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfdrica. Si el collarfn A sube con una aceleracidn de = {4k} pies/s2, determine la aceleracidn angular de la barra AB y la magnitud de la aceleracidn del collarfn B. Suponga que la direccidn de la aceleracidn angular de la barra es perpendicular a ella.

z

Prob. 20-20

Probs. 20-23/24

rad/s2, determine la aceleracidn del collarfn A en este instante. Suponga que la velocidad y aceleracidn angulares de AB son perpendiculares a la barra.

564

CAPfTULO 20 CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

•20-25. Si el collarfn A se mueve a una velocidad constante de = {10i} pies/s, determine la velocidad del collarfn B cuando la barra AB est£ en la posicidn que se muestra. Suponga que la velocidad angular de AB es perpendicular a la barra. 2026. Cuando la barra AB esti en la posicidn mostrada, el collarfn A se mueve a una velocidad v* = {10i} pies/s y aceleracidn de = {2i} pies/s2. Determine la aceleracidn del collarfn B en este instante. Suponga que la velocidad y la aceleracidn angulares de .4# son perpendiculares a la barra.

•20-29. Si la palanca BC gira con una velocidad angular constante de u> BC = 6 rad/s, determine la velocidad del collarfn A. Suponga que la velocidad angular de AB es perpendicular a la barra. 20-

30. Si la palanca BC gira con una velocidad angular de (D BC = 6 rad/s y una aceleracidn angular de (o BC =

z

Probs. 20-25/26 2027. Si el collarfn A se mueve a una velocidad constante de v A = {3i} m/s determine la velocidad del collarfn B cuando la barra AB est£ en la posicidn mostrada. Suponga que la velocidad angular de AB es perpendicular a la barra. *20-28. Cuando la barra AB est£ en la posicidn que se muestra, el collarfn se mueve a una velocidad de = {31} m/sy aceleracidn de = {0.5i} m/s2. Determine la aceleracidn del collarfn B en este instante. Suponga que la velocidad y aceleracidn angulares de AB son perpendiculares a la barra.

2031. La barra A B est£ conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfdrica. Si el collarfn A tiene una velocidad v A = 15 pies/s en el instante que se muestra, determine la velocidad del collarfn B. Suponga que la velocidad angular es perpendicular a la barra. *20-32. La barra AB esii conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfd- rica. Si el collarfn A tiene una velocidad de = {151} pies/s y una aceleracidn de = {21} pies/s2 en el instante que se muestra, determine la aceleracidn del collarfn B. Suponga que la velocidad y aceleracidn angulares son perpendiculares a la barra.

z z

Probs. 20-27/28

20.3 Mcvimiento general •20-33. La barra AB esta conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rdtula esfdrica. Si el collarin A tiene una velocidad v A = 3 m/s, determine la rapidez del collarin B en el instante que se muestra. Suponga que la velocidad angular es perpendicular a la barra.

565

•20-37. El disco A gira a una velocidad angular constante de 10 rad/s. Si la barra BC estd unida al disco y a un collar por medio de articulaciones de rdtula esfdrica, determine la velocidad del collarin B en el instante que se muestra. Ademds, ^cudl es la velocidad angular de la barra (o BC si su direccidn es perpendicular a su eje?

2034. Si el collarin A del problema 20-33 tiene una aceleracidn de = {-2k} m/s2 en el instante en que su velocidad es \ A = {-3k} m/s, determine la magnitud de la aceleracidn del collarin B en este instante. Suponga que la velocidad y aceleracidn angulares son perpendiculares a la barra.

z D

z

B

Prob. 20-37 Probs. 20-33/34 2035. La placa triangular ABC estd soportada en A por una articulacidn de rdtula esfdrica y en C por el piano x-z. El lado AB queda en el piano x-y. Cuando 0 = 60°, 0 = 2 rad/s y el punto C tiene las coordenadas que se muestran. Determine la velocidad angular de la placa y la velocidad del punto C en este instante.

*20-36. La placa triangular ABC estd sostenida en A por una articulaci6n de rdtula esfdrica y en C por el piano x-z. El lado AB queda en el piano x-y. Cuando 0 = 60°, 0=2 rad/s 0 = 3 rad/s2 y el punto C tiene las coordenadas mostradas. Determine la aceleracidn angular de la placa y la aceleracidn del punto Cen este instante.

z

2038. Resuelva el problema 20-37 si la conexidn en B consiste en un pasador como se muestra en la figura siguiente, en lugar de una articulacidn de rdtula esfdrica. Sugerencia: la restriccidn permite la rotacidn de la barra tanto en tomo a la barra DE (direccidn j) como respecto del eje del pasador (direccidn n). Como no hay componente rotacional en la direccidn u, es decir, perpendicular a n y j donde u = j X n, se puede obtener una ecuacidn adicional para la solucidn a partir de to ■ u = 0. El vector n est£ en la misma direccidn que r B / C X rD / C.

E

3

y

Probs. 20-35/36

Prob. 20-38

566

CAPITULO 20 CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

*20.4 Analisis de movimiento relativo por medio de ejes trasladantes y rotatorios La manera mds general de analizar el movimiento tridimensional de tin cuerpo rigido requiere el uso de ejes jc, y, z que se trasladen y giren con respecto a un segundo marco X y Y, Z. Este andlisis tambidn per- mite determinar bs movimientos de dos puntos A y B localizados en miembros distintos de un mecanismo y el movimiento relativo de una particula con respecto a otra cuando una o ambas particulas se mueven alo largo de trayectorias curvas. Como se muestra en la figura 20-11, las ubicaciones de bs puntos A y B se especifican con respecto al marco de referencia X y Y y Z por medio de vectores de posicidn t A y t B . El punto base A representa el origen del sistema de coordenadas jc, y, z, el cual se traslada y gira con respecto a X y Y, Z. En el instante considerado, la velocidad y aceleracidn del punto A son v ^ y a ^ y la vebcidad y aceleracidn angulares de bs ejes jc, y, z son fl y fl = d£l/dt. Todos estos vectores se miden con respecto al marco de referencia X y Y, Z, aunque pueden expresarse en forma de componentes cartesianos a lo largo de cualquier sistema de ejes.

z

D

■y

x Fig. 20-11

20.4 AnAusis de movimiento relativo por medio de ejes trasladantes y rotatorios

Position. Si la posici6n de “B con respecto a A” se especifica por medio del vector de posicidn relativa t B /Ay figura 20-11, entonces, por adi- cidn vectorial,

f

B - TA

(20-9)

+T BfA

donde

r B = posicidn de B. t A = posicidn del origen A.

r b/ a

U

- posicidn de B con respecto a A”.

Velocidad.

La velocidad del punto B medida con respecto a X ,

y, Z

se puede

determinar al considerar las derivadas con respecto al tiempo de la ecuacidn 20-9.

* B ~ * A + *B/A

Los primeros dos tdrminos representan \ B y \ A . El ultimo tdrmino debe evaluarse mediante la aplicacidn de la ecuacidn 20-6, puesto que r B / A se mide con respecto a una referencia rotatoria. De modo que,

*B/A - (*B(A)xyz

+

^

Xr

B/A ~ {' V B/A)xyz + ^ X *B(A

(20-10)

Por consiguiente,

(20-11)

y B = H X r B/A + (vB/i4)_tyz

donde

\B = velocidad de B. \A = velocidad del origen A del marco de referencia *, y , z. =

(v B /A)xyz velocidad de “B con respecto a A” medida por un observador situado en el marco de referencia rotatorio

x>y,z. ft = velocidad angular del marco de referencia x , y, z. TB / A = posicidn de “5 con respecto a A”.

56 7

568

CAPfTULO 20 CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

Aceleracion. La aceleracidn del punto B medida con respecto aX, Y yZ se determina por la derivada con respecto al tiempo de la ecuacidn 20-11.

V fl = V A + fl X t B /A + ft X t B / A + — (VB / A )xyz

Las derivadas con respecto al tiempo definidas en el primero y segundo tdrminos representan a B y a A , respectivamente. El cuarto tdrmino se evalua con la ecuacidn 20-10 y el ultimo tdrmino se evalua con la ecuacidn 20-6, la cual resulta

X

■J t (' / B/A)xyz = {''B/a) xyz + ( V B/a) xyz = (»B/A)xyz

+ X ( y B/A)xyz

a

En este caso (aBf/dxyz & * aceleracidn de B con respecto a A medida con respecto a jc, y, z. Si sustituimos este resultado y la ecuacidn 20-10 en la ecuacidn anterior y simplificamos, tenemos

“ *A + ft X T B/A + ft X (ft X t B(A ) + 2ft X (yB / A ) xyz + (*BfA)xyz

(20-12) donde

a B = aceleracidn de B. afi = aceleracidn del origen A

(*B/A)xyz>

B / A)xyz

=

del marco de referencia x y y , z.

aceleracidn y velocidad relativa de “B con respecto a A” medidas por un observador situado en el marco de referencia rotatorio jc,

y*z. ft, ft = aceleracidn y velocidad angulares del marco de referencia jc,y,z. rB / A = posicidn de “B con respecto a A”. Las ecuaciones 20-11 y 20-12 son iddnticas a las que se utilizaron en la seccidn 16.8 para analizar el movimiento piano relativo.* En ese caso, sin embargo, se simplified puesto que ft y ft tienen una direccidn cons- tantey la cual siempre es perpendicular al piano del movimiento. Para movimiento tridimensional, ft se calcula con la ecuacidn 20-6, puesto que ft depende del cambio tanto de magnitud como de direccidn de ft.

El movimiento espacial complicado de la cubeta de concreto B ocurre debido a la rotacion de la pluma alrededor del eje Z, el movimiento del carro A a lo largo de la oscilacion del cable AB. Puede establecerse un sistema de coordenadas Xy y, z trasladante-rotatorio en el carro, y entonces puede aplicarse un analisis de movimiento rel movimiento.

♦Remftase a la secci6n 16.8 para una interpretackSn de los tSrminos.

Si varios componentes de velocidad angular intervienen en un problema, los cdlculos se reduction si los ejes x> yy z se seleccio- nan de tal modo que sdlo un componente de velocidad angular se observe con respecto a este marco y dste gira a ft

20.4 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES TRASLADANTES Y ROTATORIOS

Procedimiento para el analisis definida por tridimensional bs demds componentes de velocidad El movimiento de particulas o cuerposangular. rigidos puede analizarse con las ecuaciones 20-11 y 20-12 mediante el siguiente procedimiento. Ecuaciones de cinematica. •

Una vez que se define el origen de la referencia mdvil, Ay y el punto

Ejesmdvil de coordenadas. B se especifica, deberdn escribirse entonces las ecuaciones 20-11

• ySelecckme 20-12 en forma la ubicacidn simbdlica y orientacibn como de los ejes de coordenadas Xy y, Zyy x yyyz- Con mucha frecuencia las soluciones son fdciles de obtener si en el instante + ft X T B / Aconsiderado: + (y B/A)xyz a

5

•

•

=

*A + ^ X r B/A + ft X (ft X *B/ A ) + 2ft X (Vs/A)xyz (*B/A)xyz

(1)

los origenes coinciden.

(2) los ejes son colineales. Si parece que rA y ft cambian de direccidn cuando se les obser- va (3) ejes son paralelos. desde los la referencia X, Yy Z fija, entonces utilice un sistema de ejes de referencia primos x‟y /, z! que tenga una rotacidn ft'= ft. Se utiliza entonces la ecuacidn 20-6 para determinar ft y el movimiento \A y del origen de los ejes xy yy z mdviles. S parece que (T B / A ) x y z y Cl xyz cambian de direccibn observa- dos desde x y yy z, entonces utilice un sistema de eje de referenda biprimos x"y yHyz"

con ft" = ftx>,z y aplique la ecuaddn 20- 6 para determinar y el movimiento relativo

{ys/jdxyz

y

(*B/A)xyz •

• Una vez que se obtienen las formas finales de ft, v^, a Ay ft^z, (yB/A)xyz y (*B/A)xyz >se sustituyen bs datos numdricos del problema y se evaluan los tdrminos dnem^ticos. Los componentes de todos estos vectores se seleccbnan a lo largo de los ejes Xy y, Z, o de los ejes xy yy z. La sebcddn es arbitraria siempre que se utilice un sistema de vectores unitarios consistente.

569

570

CAPfTULO 20 CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

EJEMPLO 20.4 Un motor y la barra AB conectada tienen los movimientos angulares que se muestran en la figura 20-12. Un collarfn C insertado en la barra se encuentra a 0.25 m de A y desciende a lo largo de la barra a una velocidad de 3 m/s y una aceleracidn de 2 m/s 2. Determine la velocidad y aceleracidn de C en este instante. SOLUCI6N

Ejes de coordenadas. El origen de la referencia Xy Y, Z fija se dige en el centro de la plataforma y el origen del marco x, yy z mdvil en el punto Ay figura 20-12. Como el collarm se somete a dos componentes de movimiento angular z. Por consiguiente, los ejes xy yy z se anexardn a la plataforma de modo que ft = Mp .

Y,y'

y>?

Fig. 20-12

20.4 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES TRASLADANTES Y ROTATORIOS

Ecuaciones cinem£ticas. Las ecuaciones 20-11 y 20-12 aplicadas a los puntos C y A se vuelven vc = vA + ft X r c/A + (vC/A )xyz a

C

+ ft X r C /A + ft X (ft X Tc/a) + 2ft X {ya A ) xyz + ( *CfA)xyz

=

Movimiento de A. Aqui rA cambia de direccidn con respecto a Xy Yy Z. Para determinar las derivadas con respecto al tiempo de r A utilizaremos un sistema de ejes x‟y /, z' coincidentes con los ejes Xy Yy Z que giran a ft' = to p. Por tanto, ft = to p = {5k} rad/s (ft no cambia de direccidn respecto a Xy Yy Z) ft = a>p = {2k} rad/s2 tA = {2i} m

= * A = (* A)W + "p x t a = 0 + 5k X 2i = {10j} m/s »a = *a = [Ox + (Op X (ra)^] + to p X t A + top X i A = [0 + 0] + 2k X 21 + 5k X lOj = {—50i + 4j} m/s

2

Movimiento de C con respecto a A. Aquf (rc/jdxyz cambia de direccidn con respecto a xy yy z. Para determinar las derivadas con respecto al tiempo de (rqjbxyz utilice un sistema de ejes x" y y\zN que giren a ft" = ftxyz = (o M . Por tanto, ft ^ = to M = {31} rad/s (ft*yZ no cambia de direccidn respecto a

JC,

yy z)

to xyz = "Af = {!>} rad/s2 (*C/A)xyz = {-0.25k} m y

=

0 M

r

(‟ CfA)xyz = (*C/A)xyz (^C/A)x'y z + 2 X (-6k X 0.2j) + [5k X

(*C/B)xyz= (jC/B^xyz = K*C/b)xVz' + < 02 = (2j + 5k X 3j) +

= {—28.8i - 3j} m/s2

(*C/B)xyz + "2 X (jCfB)xyz

(-li

+ 3j)]

Movimiento + 2[4i Xde (-liC.+ 3j)] + (—28.8i - 3j) vc =

vB +

= «C =

ft X rc/b

+ { y c/B)xyz

= 2j +

4i X 0.2j + (-li +

3j)

Resp.

{-li+ 5 j + 0.8k} m/s 2b +

ft X r /B C

+

ft x

= {—28.8i - 5.45j + 32.3k} m/s'

(ft X Tc/b)

+

2ft X (\c/B)xyz

+

*C/B)xyz

(

Resp.

jc",

20.4 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES TRASLADANTES Y ROTATORIOS

SOLUCI6N II

Ejes de coordenadas. Aquf consideraremos que los ejes JC, yy z giran a ft = (o\ + (02 = {4i + 5k} rad/s Entonces Clxyz = 0.

Movimiento de B. Por las restricciones del problema tox no cambia de direccidn con respecto a Xy Yy Z; sin embargo, la direccidn de o> 2se cambia por to\. Por tanto, para obtener ft considere que los ejes jc\ y‟y z' coinciden con los ejes Xy YyZenA de modo que ft' = o>\. Entonces al considerar la derivada de los componentes de ft, fl = wj + w2 =

+ cu, X wj] + [(«2)^ + w,X to 2 ]

= [1.5i + 0] + [-6k + 4i X 5k] = {1.5i — 20j — 6k} rad/s2 Adem£s, a> 1 cambia la direccidn de TB de modo que las derivadas con respecto al tiempo de r B se determinan con los ejes primos antes definidos. Por consiguiente, = *B = (ifi)*'/*' + £Oi X = 0 + 4i X (-0.5k) = {2j} m/s a

TB

B = rB = [(*»)*'/*' + W1X (ftf)*'/*'] + X T b + (O l x t b = [0 + 0] + 1.5i X (-

0.5k) + 4i X 2j = {0.75j + 8k} m/s2

Movimiento de C con respecto a B. ftxyz = ® ( r C/B)xyz = {0-2 j}

m

(■VC/B)xyz = {3j} m/s {*C/B)xyz

= {2j} m/s2

Movimiento de C. VC = VB + ft X r C / B + {yc/B)xyz = 2j + [(4i + 5k) X (0.2j)] +

3j

Resp.

= {-li + 5j + 0.8k} m/s a

C

=a

B^

Xr

C/B+ ^

Xjflx Tc/b) + 2ft x (ycfit)xyz

a

( C/#)jtyz

= (0.75j + 8k) + [(1.5ft - 20j - 6k) X (0.2j)] + (4i + 5k) X [(4i + 5k) X 0.2j] + 2[(4i + 5k) X 3j] + 2j = {—28.8i 5.45J + 32.3k} m/s2

Resp.

57 3

39. Resuelva

el problema 20-5 de modo que los ejes x, y, z se muevan con translacidn curvilinea, ft = 0 en cuyo caso parece que el collarin tiene tanto velocidad angular ft*>z = + o>2 como movimiento radial.

574

CAPITULO 20

CINEMATICA

TRIDIMENSIONAL DE

UN

CUERPO

RIGIDO

PROBLEMAS *20-40. Resuelva el ejemplo 20-5 con los ejes x, y} z fijos en

la barra BD de modo que ft = a>i + s = 12 rad/s, la cual se incrementa a una razdn constante de co s = 6 rad/s2. Determine la velocidad del punto C localizado en el borde del disco en este instante. 20-

42. En el instante que se muestra, la flecha gira con una velocidad angular de (o P = 6 rad/s y su aceleracidn angular es de io p = 3 rad/s2. En el mismo instante, el disco gira alrededor de su eje con una velocidad angular de (o s = 12 rad/s, la cual se incrementa a una razdn constante de (b s = 6 rad/s2. Determine la aceleracidn del punto C localizado en el borde del disco en este instante.

20-

43. En el instante que se muestra, la cabina de la exca- vadora gira respecto del eje z con una velocidad angular constante de o>z = 0.3 rad/s. En el mismo instante 0 = 60° y la pluma OBC tiene una velocidad angular de 0 = 0.6 rad/s, la cual se incrementa a 0 = 0.2 rad/s2, ambas medidas con respecto a la cabina. Determine la velocidad y aceleracidn del punto C en la grapa en este instante. *20-44. En el instante que se muestra, la estructura de la

excavadora avanza en la direccidn y con una velocidad de 2 m/s y una aceleracidn de 1 m/s 2, mientras que la cabina gira respecto del eje z con una velocidad angular de io z = 0.3 rad/s, la cual se incrementa a a z = 0.4 rad/s2. En el mismo instante 0 = 60°, y la pluma OBC tiene una velocidad angular de 0 = 0.6 rad/s, la cual se incrementa a 0 = 0.2 rad/s2; ambas medidas con respecto a la cabina. Determine la velocidad y la aceleracidn del punto C para tratar de coger algo en este instante.

z

Probs. 20-41/42

Probs. 20-43/44

57 5

20.4 ANAUSIS DE MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES TRASLADANTES Y ROTATORIOS

•20-45. La grtia gira alrededor del eje z con una velocidad constante o>i = 0.6 rad/s, mientras que la pluma baja a una velocidad constante o>2 = 0.2 rad/s. Determine la velocidad y la aceleracidn del punto A localizado en el extremo de la pluma en el instante que se muestra. 2046. La grua gira alrededor del eje z a una velocidad de o>! = 0.6 rad/s, la cual se incrementa a o>i =06 rad/s2. Ademds, la pluma baja a una velocidad o>2 = 0.2 rad/s, la cual se incrementa a a>2 = 0.3 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del punto A localizado en el extremo de la pluma en el instante que se muestra.

*20-48. En el instante que se muestra, el helicdptero se eleva con una velocidad v H = 4 pies/s y aceleracidn de an = 2 pies/s2. En el mismo instante la estructura H , no el aspa horizontal, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad angular OJ H = 0.9 rad/s. Si el aspa del rotor de cola B gira con una velocidad angular constante (o B / H = 180 rad/s, medida con respecto a //, determine la velocidad y aceleracidn del punto P , localizado en el extremo del aspa, en el instante en que el aspa est£ en posicidn vertical.

z z

(o i = 0.6 rad/s

47. El motor gira respecto del eje z a una velocidad angular constante de a>j = 3 rad/s. Simult£neamente, la flecha OA gira a una velocidad angular constante de a >2 = 6 rad/s. Ademds, el collarin C se desliza a lo largo de la barra AB con una velocidad y aceleracidn de 6 m/s y 3 m/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del collarin C en el instante que se muestra.

20-

•20-49. En un instante dado la pluma AB de la grua gira alrededor del eje z con el movimiento que se muestra. En este mismo instante, 0 = 60° y la pluma desciende de modo que 0 = 0.4 rad/s y 0 = 0.6 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del extremo de la pluma A en este instante. La longitud de la pluma es l AB = 40 m.

z

Prob. 20-47

Prob. 20-49

576

CAPfTULO 20 CINEMATICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RfGIDO

2050. En el instante que se muestra, el tubo gira alrededor del eje z con una velocidad angular constante g>i = 2 rad/s, mientras que al mismo tiempo el tubo gira hacia arriba a una velocidad constante o >2 = 5 rad/s. Si la bola es impulsada por aire a travds del tubo a una velocidad r = 7 m/s y aceleracidn r = 2 m/s2, determine su velocidad y aceleracidn en el instante que se muestra. Ignore el tamaflo de la bola.

2054. En el instante que se muestra, la base del brazo robdtico gira alrededor del eje z con una velocidad angular de OJI = 4 rad/s, la cual se incrementa a^ =3 rad/s2. Ademds, la pluma BC gira a una velocidad constante de ( OBC — 8 rad/s. Determine la velocidad y aceleracidn de la parte Csujetada en su mordaza en este instante.

z

2051. En el instante que se muestra, el tubo gira alrededor del eje z con una velocidad angular constante = 2 rad/s, mientras que al mismo tiempo el tubo gira hacia arriba a una velocidad constante a >2 = 5 rad/s. Si la bola es impulsada por aire a travds del tubo a una velocidad constante r = 7 m/s, determine su velocidad y aceleracidn en el instante que se muestra. Ignore el tamaflo de la bola.

z

Probs. 20-50/51 *20-52. En el instante 0 = 30°, la estructura de la grua y la pluma AB giran a una velocidad angular constante de (o x = 1.5 rad/s y ^ = 0.5 rad/s, respectivamente. Determine la velocidad y aceleracidn del punto Ben este instante. •20-53. En el instante 0 = 30°, la estructura de la grtia y la pluma AB giran a una velocidad angular constante de a>i = 1 . 5 rad/s y aceleracidn angular de 2 = 0.5 rad/s y aceleracidn angular de o>2 = 0.25 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn del punto B en este instante.

2055. En el instante que se muestra, la base del brazo robdtico gira alrededor del eje z con una velocidad angular de o)i = 4 rad/s, la cual se estd incrementando a wj = 3 rad/s2. Tambidn, la pluma BC gira a una velocidad constante de a> BC = 8 rad/s, la cual se incrementa a a) BC = 2 rad/s2. Determine la velocidad y aceleracidn de la parte Csujetada en su mordaza en este instante.

z

z

a>i = 4 rad/fe 1 ct>j — 3 rad fs1

Probs. 20-52/53

Prob. 20-55

Repaso del CAPhruLO

REPASO DEL CAPfTULO

Rotacidn alrededor de un punto fijo

Cuando un cuerpo gira alrededor de un punto fijo 0, entonces los puntos en el cuerpo siguen una trayectoria que queda en la superfieie de una esfera con su centro en 0. Como la aceleraci6n angular es un cambio con respecto al tiempo de la velocidad angular, entonces es necesario tener en cuenta los cambios de magnitud y direccidn de to cuando se determine su derivada con respecto al tiempo. Para hacer esto, a menudo se especifica la velocidad angular en funcidn de sus movimientos componentes, de modo que la direccidn de algunos de estos componentes permanezcan constantes con respecto a ejes rotatorios x> y y z. Si dste es el caso, entonces la derivada con respecto al eje fijo puede determinarse con a = (\) xyz + n x a. Una vez conocidas to y a, entonces pueden determinarse la velocidad y acelera- ddn de cualquier punto P del cuerpo.

•P r

/ Eje instantdneo ** de rotacidn

°j\~— -p 5

v = to X r a = «Xr + w X ( w X r )

Movimiento general

Si el cuerpo experimenta movimiento general, entonces el movimiento de un punto B del cuerpo puede relacionarse con el movimiento de otro punto A mediante un andlisis de movimiento relativo, con ejes trasladantes fijos en A.

va = v A + X rB/A + « X tB/A + to X (to X t B j A )

vs = vA + ft x rB/A + (yB /A)xyz *B = *A + A *B/A + ft X (ft X t B f A ) + 2ft X (yB/a)xyz + X

Andlisis de movimiento relativo por medio de ejes trasladantes y rotatorios

El movimiento de dos puntos A y Bde un cuerpo, una serie de cuerpos conectados, o cada punto localizado en dos trayectorias diferentes, puede relacionarse por medio de un andlisis de movimiento relativo con ejes rotatorios y trasladantes en A. Cuando se aplican las ecuaciones para determinar \ B y a fl , es importante tener en cuenta los cambios de magnitud y direccidn de r Ay (rBfjdxyi* ft* ft*>-z cuando se consideran sus derivadas con respecto al tiempo para determinar \ Ay &Ay lvB/A)xyt> (*B/A)xyz> & Y yz- Para h *Cer

esto de manera correcta debemos utilizar la ecuacidn 20-6.

(*B/A)xyz

577

0 diseno de juegos mecdnicos requiere un andlisis de fuerzas que depende de su movimiento tridimensional.

Cinetica tridimensional de un cuerpo rigido OBJETIVOS DEL CAPfTULO •

Presentar los mdtodos de determinar los momentos de inercia y los productos de inercia de un cuerpo con respecto a varios ejes.

•

Demostrar c6mo se aplican los principios de trabajo y energia, y cantidad de movimiento angular y lineal a un cuerpo rfgido que tiene movimiento tridimensional.

• •

Desarrollar y aplicar las ecuaciones de movimiento en tres dimen- siones. Estudiar el movimiento giroscdpico y sin par de torsidn.

* 2 1 . 1 Momentos y productos de inercia Cuando se estudid la cindtica plana de un cuerpo, fue necesario presentar el momento de inercia /G, el cual se calculd con respecto a un eje perpendicular al piano de movimiento y que pasa por el centro de masa G. Para el andlisis cindtico del movimiento tridimensional en ocasiones serd necesario calcular seis cantidades inerciales. Estos tdr- minos, llamados momentos y productos de inercia, describen en una forma particular la distribucidn de la masa de un cuerpo con respecto a un sistema de coordenadas proporckmado con su orientacidn y punto de origen especificados.

580

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

Momento de inercia. Considere el cuerpo rigido que se muestra en la figura 21-1. El momento de inercia de un elemento diferencial dm del cuerpo con respecto a cualquiera de los tres ejes de coordenadas se define como el producto de la masa del elemento por el cuadrado de la distancia mds corta del eje al elemento. Por ejemplo, 2 2 como se indica en la figura, r x = Vy + z , por lo que el momento de inercia de masa del elemento con respecto al eje x es

2

dlxx = dm = (y2 + z ) dm

Fig. 21-1

El momento de inercia Ixx para el cuerpo puede determinarse al inte grar esta expresidn a lo largo de toda su masa. Por consiguiente, para cada uno de los ejes, podemos escribir

l

xx = / r\dm = Jm

Jm

Iyy = / rydm = Jm

f (x2 + z2) dm

(21-1)

Jm

hz = / r\dm = Jm

[{y1 + f)dm

[ (x2 + y2) dm Jm

Se ve que el momento de inercia siempre es una cantidad positiva , puesto que es la suma del producto de la masa dm,la cual siempre es positiva y las distancias al cuadrado.

ProdliCtO de inercia. El producto de inercia de un elemento diferencial dm con respecto a un sistema de dos pianos ortogonales se define como el producto de la masa del elemento por las distancias perpendiculares (o m£s cortas) de bs pianos al elemento. Por ejemplo, esta distancia es jc al piano y-z, y y al piano jc-z, figura 21-1. Por consiguiente, el producto de inercia dlxy para el elemento es,

dlxy = xy dm Observe tambibn que dlyx = dlxy. Al integrarlos a largo de toda la masa, bs productos de inercia del cuerpo con respecto a cada combinacidn de pianos pueden expresarse como

(21-2)

581

21.1 MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

(b)

(a) Fig. 21-2

A diferencia del momento de inercia, el cual siempre es positivo, el producto de inercia puede ser positivo, negativo, o cero. El resultado depende de los signos algebraicos de las dos coordenadas definitorias, las cuales varian independientemente una de otra. En particular, si alguno o ambos pianos ortogonales son pianos de simetria para la masa, el producto de inercia con respecto a estos pianos serd cero. En esos casos, los elementos de masa ocurrirdn en pares localizados a cada lado del piano de simetria. En un lado del piano el producto de inercia del elemento serd positivo, mientras que en el otro el producto de inercia del elemento correspondiente serd negativo, la suma por consiguiente es cero. Ejemplos de esto se muestran en las figuras 21-2. En el primer caso, figura 21-2a, el piano y-z es un piano de simetria y por consiguiente Ixy = Ixz = 0. El cdlculo de Iyz dard un resultado positivo y puesto que todos los elementos de masa se localizan al utilizar sdlo coordenadas y y z positivas. Para el cilindro, con los ejes de coordenadas localizados como se muestra en la figura 21-2/?, los pianos x-z y y-z son pianos de simetria. Por tanto, lxy = lyz = lzx = 0.

Ejes paralelos y teoremas de piano paralelo. En la sec- cidn 17.1 se describieron las tdcnicas de integracidn que se utilizaron para determinar el momento de inercia de un cuerpo. Ademds se ana- lizaron mdtodos para determinar el momento de inercia de un cuerpo compuesto, es decir, un cuerpo compuesto de elementos mds simples, los cuales aparecen en las tablas de la cubierta posterior interna. En estos dos casos, con frecuencia se utiliza el teorema de ejes paralelos en los cdlculos. Este teorema, desarrollado en la seccidn 17.1, nos per- mite transferir el momento de inercia de un cuerpo de un eje que pasa por su centro de masa G a un eje paralelo que pasa por algun otro punto. Si las coordenadas de Gson xo>yG> Zcdefinidas con respecto a los ejes xy y, z, figura 21-3, entonces las ecuaciones de los ejes paralelos utilizadas para calcular los momentos de inercia con respecto a los ejes x,y,z son

m

= (4v)c + (yh + *c)

lyy

= (lyy)c + m(x2C + 4)

hz = (h‟z'h + m(x & +

(21-3)

yb ) Fig. 21-3

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

z

z„

G

ya

Los productos de inercia de un cuerpo compuesto se calculan de la misma manera que los momentos de inercia de un cuerpo. Eneste caso, sin embargo, el teorema del piano paralelo es importante. Este teorema se utiliza para transferir los productos de inercia del cuerpo con respecto a un sistema de tres pianos ortogonales que pasan por el centro de masa del cuerpo a un sistema correspondiente de tres pianos paralelos que pasan por algun otro punto O. Al definir las distancias perpendiculares entre los pianos como jcg, y c y Zg > figura 21-3, las ecuaciones del piano paralelo se escriben como

hy = (4y)c + mx cyc l

Hg. 21-3 (repetida)

(214)

yz = (V)G + m yc^G

Izx = (^v)g + mzcxc

La derivaddn de estas fdrmulas es similar a la de la ecuacidn de los ejes paralelos, seccidn 17.1.

Tensor de inercia. Por consiguiente, las propiedades inerciales de un cuerpo estdn caracterizadas por nueve tdrminos, seis de los cuales son independientes unos de otros. Este conjunto de tdrminos se define por medio de las ecuaciones 21-1 y 21-2 y se escribe como

h,

~Ixy

~lyx

~Ixz ~Iyz

Iyy

~hx

~hy

Izz .

Esta matriz se denomina tensor de inercia. * Tiene un conjunto unico de valores para un cuerpo cuando se determina para cada ubicacidn del origen O y orientacidn de los ejes de coordenadas. En general, para el punto O podemos especificar una inclinacidn unica de los ejes con la cual los productos de inercia del cuerpo son ce- io cuando se calculan con respecto a estos ejes. Al hacerlo asi se dice que el tensor de inercia estd “diagonalizado” y puede escribirse en la forma simplificada

(Ix 0 \o

0

Iy 0

o\ 0

ij

En este caso, Ix = Ixx> Iy = I yy e Iz = I zz son los denominados momentos de inercia principals del cuerpo, los cuales se calculan con respecto a los ejes de inercia principales. De estos tres momentos principales de inercia, uno serd mdximo y otro un mmimo del momento de inercia del cuerpo. Las dinamicas del transbordador espacial durante su 6rbita alrededor de la Tierra se pueden predecir sdlo si sus momentos y productos de inercia son cono - ddos respecto

*Los signos negativos estin aquf como una consecuencia del desarrollo de una cantidad de movimiento angular, ecuaciones 21-10.

583

21.1 MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

La determinaci6n matemdtica de las direcciones de los ejes de inercia principales no se analizardn aqui (vea el problema 21-20). Sin embargo, hay muchos casos en los cuales los ejes principales se determinan por inspeccidn. Del planteamiento previo se desprende que si bs ejes de coordenadas estdn orientados de modo que dos de los tres pianos ortogonales que los contienen son pianos de simetria del cuerpo, entonces todos los productos de inercia del cuerpo son cero con respecto a estos pianos de coordenadas, y por consiguiente estos ejes de coordenadas son ejes de inercia principales. Por ejemplo, los ejes jc, y, z de la figura 21-2b representan los ejes de inercia principales del cilindro en el punto O.

Momento de inercia con respecto a un eje arbitrario. Considere el cuerpo que se muestra en la figura 21-4, donde los nueve elementos del tensor de inercia se determinaron con respecto a los ejes jc, y, z con su origen en O. En este caso deseamos determinar el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje Oa , cuya direccbn estd definida por el vector unitario u a. Por definicidn IQa = f b 2dmy donde b es la distancia perpendicular de dm a Oa. Si la posicidn de dm se localiza por medio de r, entonces b = r sen 0, la cual representa la magnitud del producto vectorial u a X r. Por consiguiente, el momento de inercia se expresa como l

Oa = [I (“a x r)\2dm = j (u a X r) • (u fl X t)dm Jm Jm

Siempre que u*, = u x\ + u yj + u zk y r = jci + yj + zK entonces u fl Xr = (UyZ ~ u^Yi + (u^ - u xz)j + (uj - UyX)k. Luego de sustituir y realizar el producto escalar, el momento de inercia es

ba = / [(.UyZ ~ u zy)2 + (u zx - u xz)2 + (u x y - Uyx)2]dm Jm 2

= i4 f (y2 + ?)dm + i?y f (z? + JC )dm + u\ f (jc2 + y2) dm J m Jm

Jm

- 2UxUy / jcy dm - 2uyUz / yz dm - 2u#tx / zjc dm J m J m Jm

Si reconocemos que las integrales son los momentos y productos de inercia del cuerpo, ecuacbnes 21-1 y 21-2, tenemos

I QO ~ I XJ M 2

^ TZ u \

^xy^x^y

2I yz UyU z

2I ZX U Z U X

(215)

Por tanto, si el tensor de inercia se especifica para los ejes jc, y, z, el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje inclinado Oa puede determinarse. Para el cdlculo, debe determinarse la direccidn de los co- senos u Xyu yyu z de los ejes. Estos tdrminos especifican los cosenos de los dngubs de direccidn de las coordenadas a, /3, y formados entre el eje positivo Oa y los ejes positivos jc,y, z, respectivamente (vea el apdndice C).

Fig. 21-4

Iyz

=

[0

+

0]

584

+

[0

+

0] + [0 + 4(0.2) (0.2)] = 0.160 kg-m2

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

EJEMPLO 21.1 inercia de la+barra acodada que se ilustra /„ Determine = [0 + el 0] momento + [0 + de 2(0.2) (-0.1)] en la figura 21-5a con respecto al eje Aa. La masa de cada uno de los + 4(0.2) (—0.2)] = -0.200 kg-m2 tres segmentos se propordona en la [0 figura. El eje Aa se define por medio del vector unitario SOLUCI6N Antes de aplicar la ecuacidn 21-5 es necesario determinar prime ro bs momentos-0.2i y productos inertia de la barra con respecto a los + 0.4j +de 0.2k ejes JC, y, z. Esto se hace mediante la fdrmula del momento de inertia de una barra delgada, / = ^ ml2 y los teoremas de ejes paralelos y del piano paralelo, ecuaciones 21-3 y 21-4. Al dividir la barra en tres partes y localizar el centro de masa de cada segmento, figura 21-5/?, tenemos /« = [n(2)(0.2)2 + 2(0.1 )2] + [0 + 2(0.2 )2] + [n(4)(0.4) 2 + 4((0.2) 2 + (0.2 ) 2)] = 0.480 kg-m2 Iyy

= [ll(2)(0.2) 2 + 2(0.1 ) 2] + fe(2)(0.2) 2 + 2((-0.1) 2 + (0.2) 2)]

+ [0 + 4((—0.2) 2 + (0.2 )2)] = 0.453 kg-m2 Izz

= [0 + 0] + [jL(2)(0.2) 2 + 2( 0.1 ) 2] + [^(4)(0.4) 2 +

4((—0.2)2 + (0.2 )2)] = 0.400 kg-m2

Ixy =

[0 + 0] + [0

+ 0] + [0 + 4(—0.2)(0.2)] = -0.160 kg-m2

I‟D r

2 kg (-0.1,0,0.2)

D

V(—0.2)2 + (0.4)2 + (0.2)2

Por tanto,

u x = -0.408 u y =0.816 u z = 0.408

D

.c• B 2 kg

(0,0,0.1 )

= —0.408i + 0.816j + 0.408k

Si sustituimos estos resultados en la ecuacidn 21-5, obtenemos 4 kg (-02,02,02) + l Aa = l x A + IyJ*1y hA - MxyUxUy - 2I yz UyU z - 2I ZX U Z U X = 0.480( —0.408)2 + (0.453) (0.816)2 + 0.400(0.408)2 - 2(—0.160)(—0.408)(0.816) - 2(0.160)(0.816)(0.408)

(b) Fig.

- 2(—0.200)(0.408)(—0.408)

21-5

= 0.169 kg • m"

Resp.

21.1 Momentos y productos de inercia

585

PROBLEMAS •21-1, Demuestre que la suma de los momentos de inercia de

*21-4. Determine por integraci6n directa el producto de

un cuerpo, /„ + Iyy + Izz, es independiente de la orientaci6n de los ejes x,y,z y que por tanto depende de la ubicacidn de su origen.

inercia Iyz del prisma homogdneo. La densidad del material es p. Exprese el resultado en funci6n de la masa total m del prisma.

21-2. Determine el momento de inercia del cono con respecto

•21-5. Determine por integraci6n directa el producto de

a un eje vertical y que pasa por el centro de masa del cono. ^Cudl es el momento de inercia con respecto a un eje paralelo / que pasa a travds del didmetro de la base del cono? La masa del cono es m.

inercia /*,, del prisma homogdneo. La densidad del material es p. Exprese el resultado en funci6n de la masa total m del prisma.

y /

Prob. 21-2

Probs. 21-4/5

21-3. Determine los momentos de inercia Ix e Iy del para- boloide de 21-6. revolucidn. La masa del paraboloide es 1^ m. del tetrae- dro homogdneo. La densid Determine el producto de inercia

sdlido. Sugerencia: use un elemento triangular de espesor dz y luego exprese d 21-5.

Prob. 21-3

Prob. 21-6

586

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

21-7. Determine los momentos de inercia del cilindro

*21-9. La barra delgada tiene una masa por unidad de

homog^neo de masa m con respecto a los ejes x!, /, z '.

longitud de 6 kg/m. Determine los momentos y productos de inercia con respecto a los ejes x, y, z.

z

*21-8. Determine el producto de inercia 1^ del bloque

21-10. Determine los productos, 7^, Iyl e Ixz del sdlido

triangular homog^neo. La densidad del material es p. Exprese el resultado en funci6n de la masa total m del bloque.

homog^neo. La densidad del material es de 7.85 Mg/m 3.

Prob. 21-8

Prob. 21-10

21.1 MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

21-11. El ensamble se compone de dos placas delgadas A y B las cuales tienen una masa de 3 kg cada una y una placa delgada C la cual tiene una masa de 4.5 kg. Determine los momentos de inercia I x, Iy e Iz.

Prob. 21-11

587

•21-13. La barra acodada pesa 1.5 lb/pie. Localice el centro de gravedad G(x, y) y determine los momentos de inercia principales /*», Iy e l z > de la barra con respecto a los ejes*', y\ z'.

Prob. 21-13

2 *21-12. Determine los productos de inercia I xyy I yz e I„ de la placa delgada. La21-14. densidad del material unidadde deuna £reabarra es dedelgada 50 kg/mde . 10 lb y un H ensamble se por compone disco circular delgado de 30 lb. Determine su momento de inercia con respecto al eje /.

z

21

Prob. 21-12

Prob. 21-14

588

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

21-15. El girdscopo se compone de un cono de 0.7 kg de masa y una semiesfera de 0.2 kg de masa. Determine el momento de inercia I z cuando el trompo est£ en la posicidn que se muestra.

Prob. 21-15

•21-17. Determine el producto de inercia /^ de la barra acodada. Su masa por unidad 21-18. Determine los momentos de inercia IXX) lyyy de la barra acodada. Su masa por unidad de longitud es de 2 kg/m.

Probs. 21-17/18

momento *21-16. Determine los productos de inercia I xy , I yz e l xz de la placa delgada. La21-19. masaDetermine del materialelpor unidadde deinercia &rea esdel deensamble 50 kg/m2.de barras y anillo con respecto

Prob. 21-19

21.2 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

21.2

Cantidad de movimiento angular

En esta seccidn desarrollaremos las ecuaciones necesarias que se usa- ron para determinar la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rigido con respecto a un punto arbitrario. Estas ecuaciones permitir£n desarrollar tanto el principio de impulso y cantidad de movimiento como las ecuaciones de movimiento de rotacidn de un cuerpo rigido. Considere el cuerpo rigido que se muestra en la figura 21-6, el cual tiene una masa m y centro de gravedad en G. El sistema de coordenadas X, y, Z representa un marco de referencia inercial, y por tanto, sus ejes est£n fijos o se trasladan a una velocidad constante. La cantidad de movimiento angular medida a partir de esta referencia se determinard con respecto al punto arbitrario A. Los vectores de posicidn r A y p A se trazan del origen de las coordenadas al punto A y de dste a la particula idsima del cuerpo. Si la masa de la particula es miy la cantidad de movimiento angular con respecto al punto A es

(HA),' = p A X TTi, V; donde v, representa la velocidad de la particula medida a partir del sistema de coordenadas Xy Yy Z. Si la velocidad angular del cuerpo es to en el instante considerado, v, puede relacionarse con la velocidad de A aplicando la ecuacidn 20-7, es decir, v, = vA + « X p A Por tanto, (HA )i = PA X mt{yA + to X pA ) = iPA^i) X V 4 + PA X ( dmy tenemos (21-6)

z

G

Y X Fig. 21-6

589

590

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

/

\ Centro de masa (b)

Fig. 21-7

Punto fijo O. Si A llega a ser un punto fijo O en el cuerpo, figura 217a,entonces \A = Oy la ecuacibn 21-6 se reduce a

(21-7)

Centro de masa G. Si A estd en el centro de masa G del cuerpo, figura 217/?, entonces f m p A dm = 0 y (21-8)

Punto arbitrario A. En general, A puede ser un punto diferente deOoG, figura 21-7cen cuyo caso, la ecuacibn 21-6 puede, sin embargo, simplificarse a la siguiente forma (vea el problema 21-21). H A = P G / A X mv G + Hg

(c)

(21-9)

Aqui la cantidad de movimiento angular se compone de dos partes —el momento de la cantidad de movimiento lineal mxG del cuerpo con respecto al punto A sumado (vectorialmente) a la cantidad de movimiento angular H G. Tambibn puede utilizarse la ecuacibn 21-9 para determinar la cantidad de movimiento angular del cuerpo con respecto a un punto fijo O. Los resultados, desde luego, serbn los mismos que se determi- naron con la ecuacibn 21-7 mbs conveniente.

Componentes rectangulares de H. Para un uso prictico de las ecuaciones 21-7 a 21-9, la cantidad de movimiento angular debe expresarse en funcibn de sus componentes escalares. Para este propb-

21.2

Cantidad de movimiento angular

sito, es conveniente seleccionar un segundo sistema de ejes JC, y, z con una orientacidn arbitraria con respecto a los ejes Xy Yy Z, figura 21-7, y para una formulacidn general, observe que las ecuaciones 21-7 y 21-8 son de la forma H = p X (to X p)dm Jm Al expresar H,pywen funcidn de componentes JC, y, z, tenemos

Hx\ + Hy] + Hzk = / (jci + yj + zk) X [(£t> xi + (o yj + a>zk) Jm X (jci + yj + zk)]dm

Si expandimos los productos vectoriales y combinamos los tdrminos obtenemos

Hxi + Hy] + Hzk = \a)x / (y2 + z2)dm - (Oy xy dm — co z I xz dm i L Jm

Jm

Jm

J

~(o x / xy dm + z (jc2 + y2)dm k Jm

J

Jm

J

Jm

Al igualar las componentes i, j, k respectivas y reconocer que las inte- grales representan bs momentos y productos de inercia, obtenemos

Hx Hy

= I XJ P X

= -IyJ»x

1 xy°*y + lyyOly

hz^Z - iyz^z

Hz

=

- hy^y

+

~Kxf°x

I

(21-10)

>

z£ z

Estas ecuaciones pueden simplificarse aun mds si los ejes de coordenadas JC, y,

z estdn orientados de modo que lleguen a ser los ejes de inercia principales dt\ cuerpo en el punto. Cuando se utilizan estos ejes, los productos de inercia Ixy = Iyz = Izx = 0, y si los momentos de inercia principales con respecto a bs ejes JC, y, z se representan como Ix = /**, Iy = Iyy e I z = IZZy las tres componentes de cantidad de movimiento angular son

Hx = Ix*>x Hy = l/»y Hz = h°>z

(21-11)

591

592

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

Principio de impulso y cantidad de movimiento. Ahora que ya se desarroll6 la formulaci6n de la cantidad de movimiento angular de un cuerpo, el principio de impulso y cantidad de movimiento y estu- diado en la seccidn 19.2, puede usarse para resolver problemas cindticos que implican fuerza , velocidad y tiempo. En este caso, las dos siguientes ecuaciones vectoriales estdn disponibles:

(21-12)

(21-13)

El movimiento del astronauta se con- trola por medio de pequeiios cohetes di- reccionales propulsores montados en su traje espacial. Los impulsos que estos cohetes pr cificados con cuidado para evitar el movimiento descontrolado perdida de orientacion. En tresy ladimensiones cada tdrmino vectorial puede ser representado por tres

componentes escalares, y por consiguiente puede escribirse un total de seis ecuaciones escalares. Tres ecuaciones relacionan el impulso y cantidad de movimiento lineales en las direcciones x> yy z,y las otras tres relacionan el impulso y cantidad de movimiento angulares del cuerpo con respecto a los ejes JC, yy z. Antes de aplicar las ecuaciones 21-12 y 21-13 a la solucidn de problemas, deberd repasarse el material de las secciones 19.2 y 19.3.

21.3

Energfa cinetica

Para aplicar el principio de trabajo y energia en la solucidn de problemas que implican el movimiento general de un cuerpo rigido, prime ro es necesario formular expresiones para la energia cindtica del cuerpo. Para esto, considere el cuerpo rigido que se muestra en la figura 21-8, el cual tiene una masa m y centro de masa en G. La energia cindtica de la particula /dsima del cuerpo tiene una masa m, velocidad v„ medidas con respecto al marco de referencia inercial X, Yy Z,es

T, = \m iVf = 2"*/(Vv/) Siempre que se conozca la velocidad de un punto arbitrario A en el cuerpo, v, puede relacionarse con yA con la ecuacidn v, = + X

p Ay donde dmy obtenemos T = I'nfrA'VA) + vA• ^ X j"PA dmj + \ J ( = coxi

representan los ejes principales de inercia del cuerpo, + wzk y H0 = IJDJL + lv(o yj + Iz (o zk. Al

z +

El ultimo tdrmino del lado derecho puede reescribirse mediante la identidad vectorial a X b - c = a - b X c , donde a = to, b = p Ay y c = a> x p A . El resultado final es

(21-14) Esta ecuacidn rara vez se utiliza porque los cdlculos implican integrates. Se simplifica, no obstante, si el punto de referencia A es o bien un punto fijo o el centro de masa.

Punto fijo O. Si A es un punto fijo O en el cuerpo, figura 21-7ay entonces vA = 0, y con la ecuacidn 21-7 podemos expresar la ecuacidn 21-14 como

T =\to- H0 sustituir en la ecuacidn anterior y realizar las operaciones de producto vectorial se obtiene

T

+

~+ 2

I1**

(21-15)

Centro de masa G. Si A se ubica en el centro de masa G del cuerpo, figura 21-7/?, entonces JpA dm = 0 y, con la ecuacidn 21-8, podemos escribir la ecuacidn 21-14 como

T — ^mVQ + Del mismo modo que con un punto fijo, el ultimo tdrmino del lado derecho puede representarse en forma escalar, en cuyo caso

T = \mvc +

(21-16)

Se ve que la energia cindtica consta de dos partes; a saber, la energia cindtica de traslacidn del centro de masa, \mvQy y la energia cindtica de rotacidn del cuerpo.

Principio de trabajo y energia. Una vez formulada la energia cindtica de un cuerpo, puede aplicarse el principio de trabajo y energia para resolver problemas cindticos que implican fiierza y velocidad y desplazamiento. En este caso sdlo puede escribirse una ecuacidn escalar para cada cuerpo, a saber,

T x + 2U,_2 = T 2

(21-17)

Antes de aplicar esta ecuacidn, es recomendable repasar el material del capitulo 18.

594

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

EJEMPLO 21.2 La barra de la figura 21-9a tiene un peso por unidad de longitud de 1.5 lb/pie. Determine su velocidad angular justo despuds de que el extremo A cae sobre el gancho en E. Este funciona como una conexidn permanente para la barra debido a su mecanismo de cerrojo de resorte S. Justo antes de chocar con el gancho, la barra cae con una velocidad de (v G)i = 10 pies/s. SOLUCI6N

Se utilizard el principio de impulso y cantidad de movimiento puesto que se trata de un impacto. Diagramas de impulso y cantidad de movimiento. Figura 21-96. Durante el corto tiempo At, la fuerza impulsora F que actua en A cambia la cantidad de movimiento de la barra. (El impulso creado por el peso de la barra W durante este tiempo es mmimo compara- do con /F dt, de modo que puede omitirse, es decir, el peso es una fuerza no impulsora.) Por consiguiente, la cantidad de movimiento de la barra se conserva con respecto al punto A puesto que el momento de /F dt con respecto a A es cero. Conservacion de la cantidad de movimiento angular. La ecuacibn 21-9 debe utilizarse para determinar la cantidad de movimiento angular de la barra, puesto que A no llega a ser un punto fijo hasta despues de la interaccibn impulsora con el gancho. Por tanto, con referencia a la figura 2196, (HAX = (H^ o r c/ A X m{\ G )i = r G/ A X m(\ G ) 2 + (HG)2

m{yG) i

(1)

Segun la figura 21-9a, rG/A = { —0.667i + 0.5j} pies. Ademds, los ejes primos son ejes principales de inercia para la barra porque Iyy = Ix>z > = Iz y = 0. Por consiguiente, de acuerdo con las ecuaciones 21-11, (Hg)2 = Ix'Mxi + + Iz (o zk. Los momentos de inercia principales son Iy = 0.0272 slug • pie2, Iy = 0.0155 slug • pie2, I z > = 0.0427 slug • pie2 (vea el problema 21-13). Si sustituimos en la ecuacidn 1, tenemos

(-0.667i + 0.5j) x

if—)

A32.2/ (-10k)

if—)

= (-0.6671+0.5j)x

A

{~v G )

32.2J 2 k + 0.0272^1 + 0.0155z

(4)

Cinemdtica.

Hay cuatro incbgnitas en las

ies; sin

embargo, puede obtenerse otra ecuacidnal relacionar xi + (o yi) X (-0.667i

—{ VG)I

=

+ 0.5j)

0.5GJ* + 0.667(o y

Si resolvemos las ecuaciones 2,3 y 5 simultdneamente, obtenemos ( vg)2 = Fig. 21-9

{-8.41k} pie/s (o = {-4.091 - 9.55j} rad/s Resp.

(5)

21.3 EnergIa cindtica

595

EJEMPLO 21.3 Se aplica un par de torsidn de 5 N ■ m a la flecha vertical CD que se muestra en la figura 21-10a, la cual permite que el engrane A de 10 kg gire libremente alrededor de CE. Suponga que el engrane A comienza a girar a partir del reposo, determine la velocidad angular de CD despuds de que ha realizado dos revoluciones. Ignore la masa de la flecha CD y el eje CE y suponga que el engrane A puede ser representado de forma aproximada por un disco delgado. El engrane B estd fijo. SOLUCI6N

M = 5N • m

Para la solucidn puede utilizarse el principio de trabajo y energia. ^Por qud?

Trabajo. Si la flecha CD, el eje CE y el engrane A se consideran como un sistema de cuerpos conectados, sdlo el par de torsidn aplicado M realiza trabajo. Con dos revoluciones de CD, este trabajo es St/i-2 = (5 N ■ m)(47rrad) = 62.83 J.

Eje de rotacidn instantdneo

Energia cindtica. Como inicialmente el engrane estd en reposo, su energia cindtica inicial es cero. En la figura 21-106 se muestra un diagrama cinemdtico del engrane. Si la velocidad angular de CD se jc considera como g>Cd, entonces la velocidad angular del engrane A es to a = "cd + (oqe• El engrane puede considerarse como una parte de un cuerpo extendido sin masa el cual gira respecto del punto fijo C. El eje instantdneo de rotacidn de este cuerpo estd a lo largo de la linea CHy porque los puntos C y H en el cuerpo (engrane) tienen una velocidad cero y por consiguiente deben quedar en este eje. Esto requiere que los componentes (o Cd y *»cese relacionen por medio de la ecuacidn to CD/0.l m = to CE/03 m o to CE = 3to CD. Por tanto, to A — ~^CE l + fc>cz>k = —3 (O CD '\ + wC£>k

"a

(1)

Los ejes xy y, z en la figura 21-10a representan ejes de inercia principales en C para el engrane. Como el punto C es un punto de rotacidn fijo, puede aplicarse la ecuacidn 21-15 para determinar la energia cindtica, es decir,

T = \lA + M + kWz (2) Al utilizar el teorema de ejes paralelos, los momentos de inercia del engrane con respecto al punto Cson como sigue:

Ix = 2(10 kg)(0.1 m)2 = 0.05 kg ■ m2 =I

z = i(10 kg)(0.1 m)2 + 10 kg(0.3 m)2 = 0.925 kg • m2 = Como o)x = -3o>cd» 0, (o z = IOCD, la ecuacidn 2 se vuelve 2 TA = i(0.05)(-3cfl)2 = 0.6875o,2D Iy

Principio de trabajo y energia. Aplieamos el principio de trabajo y energia, y obtenemos 7i + SI*.* = T 2 0+ 62.83 = 0.6875e^z>

a)CD = 9.56 rad/s

Resp.

596

CAPITULO 21 CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

PROBLEMAS *21-20. Si el cuerpo no contiene pianos de simetria,\osmomentos de inercia principales pueden determinarse matemdticamente. Para demostrar cdmo se hace esto, considere el cuerpo rfgido el cual gira con una velocidad angular = 30 rad/s. £Cu41 es la aceleracidn angular de la flecha en este instante? El cojinete A es capaz de so por tar una componente de fuerza en la direccidn y mientras que el cojinete B no. (o = 10 rad/s

2151. El disco de 50 lb gira a una velocidad angular constante de o>! = 50 rad/s alrededor de su eje. Al mismo tiempo, la flecha gira a una velocidad angular constante de o>2 = 10 rad/s. Determine las componentes x, y, z del momento desarrollado en el punto A del brazo en el instante que se muestra. Ignore el peso del brazo AB. Prob. 21-48 •21-49. Hay cuatro esferas conectadas a la flecha A B. Si me = 1 kg y m£ = 2 kg, determine la masa de las esferas D y Fy los dngulos de las barras d D y 6 F, de modo que la flecha estd dindmicamente balanceada, es decir, los cojinetes Ay B ejercen sdlo reacciones verticales en la flecha cuando gira. Ignore la masa de las barras.

612

CAPITULO

21

CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

*21-52. El hombre se para en una tornamesa que gira respecto

de un eje vertical a una velocidad angular constante de o)i = 6 rad/s. Si inclina su cabeza hacia delante a una velocidad angular constante de o> 2 = 1.5 rad/s respecto del punto O, determine la magnitud del momento que su cue- llo debe resistir en O cuando 0 = 30°. Suponga que su cabeza puede considerarse como una esfera uniforme de 10 lb y tiene 4.5 pulg de radio y centro de gravedad localizado en G y el punto O est£ en la superfieie de la esfera.

21-

54. La barra CD de masa m longitud L gira a una velocidad angular constante de cuj alrededor del eje AB, mientras que la flecha EF gira a una velocidad angular constante de (o 2. Determine las componentes X, Y, Z de la reaccidn en el cojinete de empuje E y la chumacera F en el instante que se muestra. Ignore la masa de los denies elementos.

Prob. 21-54

•21-53. Las aspas de una turbina de viento gira alrededor de

una flecha S a una velocidad angular constante de (o s, mientras que el armaz6n experimenta precesidn alrededor el eje vertical con una velocidad angular constante de o)p. Determine las componentes x, y, z del momento que la flecha ejerce en las aspas como una funcidn de 0. Considere cada aspa como una barra delgada de masa m y longitud /.

21-

55. Si la flecha AB es propulsada por el motor con una velocidad angular de o>j = 50 rad/s y aceleracidn angular de (o\ = 20 rad/s2 en el instante que se muestra y la rueda de 10 kg gira sin deslizarse, determine la fuerza de friccidn y la reaccidn normal en dsta y el momento M que el motor debe suministrar en este instante. Suponga que la rueda es un disco circular uniforme.

20 rad/s2

Prob. 21-53

Prob. 21-55

613

21.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO

*21-56. Una trituradora de roca se compone de un disco delgado grande el cual est4 conectado por medio de un pasador a un eje horizontal. Si 6ste gira a una velocidad constante de 8 rad/s, determine la fuerza normal que el disco ejerce en las piedras. Suponga que el disco rueda sin deslizarse y que su masa es de 25 kg. Ignore la masa del eje.

2159. Si la flecha AB gira con una velocidad angular constante de w = 50 rad/s, determine las componentes X , Y, Z de la reaccidn en la chumacera A y en el cojinete de empuje B en el instante que se muestra. La masa de la placa delgada es de 10 kg. Ignore la masa de la flecha AB.

450 mm

to = 50 rad/s

*21-60. Una placaDetermine uniforme el delgada 0.4 kg a unaa la flecha vertical de m •21-57. El disco de 25 lb est£ fijo en la barra BCD, la cual tiene una masa insignificante. par dede torsi6n T de quemasa debegira aplicarse aceleraci6n angular sea a = 6 rad/s2. La flecha gira libremente en sus cojinetes.velocidad angular constante de a> alrededor de su diagonal AB. Si la persona quepeso detiene la esquina de la placa en B retira su dedo, la 2158. Resuelva el problema 21-57, con el supuesto de que la barra BCD tiene un por unidad de longitud de 2 lb/pie. placa caer£ sobre su lado AC. Determine el momento de par necesario M, el cual si se aplicara a la placa evitarfa que esto sucediera.

Probs. 21-57/58

Prob. 21-60

614

CAP[TULO21

CINDTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

* 2 1 . 5 Movimiento giroscopico

Z,z

En esta seccidn desarrollaremos las ecuaciones que definen el movimiento de un cuerpo (trompo o girdscopo) simdtrico con respecto a un eje y que gira en tomo a un punto fijo. Estas ecuaciones tambidn se aplican al movimiento de un dispositivo particular me nte interesante, el giroscopio. El movimiento del cuerpo se analizard mediante los dngulos de Euler (f)y 0 y ijf (fi, teta, psi). Para ilustrar cdmo definen la posicidn de un cuerpo, considere el trompo que se ilustra en la figura 21-15a. Para definir su posicidn final, figura 21-15d,se fija un segundo sistema de ejes JC, y, z en el trompo. Se comienza con la coincidencia de los ejes XyYyZ y JC, y, z, figura 21-15a; la posicidn final del trompo se determina con los tres pasos siguientes:

Haga girar el trompo en tomo al eje Z (o z) un dngulo (0 < 27r), figura 21-156.

2. 3.

Haga girar el trompo en tomo al eje figura 21-15c.

JC un

< t >

dngulo 0 (0 ^ 0 ^ 7r),

Haga girar el trompo en torno al eje z un dngulo para obtener la posicidn final, figura 20-15d.

2 TT)

La secuencia de estos tres dngulos