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• Javier Valverde

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Módulo: 1

Unidad: 4

Semana: 4

INGENIERIA ECONOMICA

LIZ YVONNE PONTE G.

INGENIERIA ECONOMICA

MATEMATICAS FINANCIERAS: ANUALIDADES

Mi esposa compró una lavadora automática de 7.5 kilos y empezaremos a pagarla hasta dentro de un mes.

¡Te felicito!, nosotros nos cambiaremos de casa y por suerte no nos pidieron 3 meses de anticipo, sino solamente el mes anticipado.

ANUALIDAD ANTICIPADA ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

ANUALIDAD DIFERIDA ANUALIDAD INMEDIATA

El Departamento. De línea blanca estaba en descuento, pero los pagos empiezan al mes.

Suerte que en SAGA estaba la ropa en descuento y empezar a pagar hasta dentro de 6 meses.

ANUALIDAD INMEDIATA

ANUALIDAD DIFERIDA

FÓRMULA DEL VALOR FUTURO Punto de acumulación

F  R  R1  i   R1  i   ...  R1  i  2

 1  i n  1 F  R  i  

n2

 R1  i 

n 1

FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE Punto de cálculo

1  1  i  n  P  R  i  

Anualidades constantes  Es un flujo de efectivo constante que se paga o se cobra cada cierto período.

 Las cantidades deben ser iguales y el intervalo de tiempo entre ellas siempre es el mismo.  Los intereses se acumulan una vez cada período.

Anualidades constantes Año: Flujos Actualizados: F1 (1+i) F1 (1+i)2 F1 (1+i)3 F1 (1+i)n-1 F1 (1+i)n

0

1

2

3

n-1

n

F1

F1

F1

F1

F1

Anualidades constantes Las anualidades pueden clasificarse en: – Anualidades ordinarias. Cuando: m

m

La primera anualidad está un período después que el presente, o; La última anualidad está junto con el futuro.

– Anualidades anticipadas. Cuando: m m

La primera anualidad está junto con el presente, o; La última anualidad está un período antes que el futuro.

Anualidades ordinarias P = A * ( 1 + i )n - 1 ( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n )

P= A= i = n=

valor presente anualidad tasa de interés para un solo período número de períodos

Anualidades ordinarias F=

A*

( 1 + i )n - 1 i

F = A ( F/A, i%, n )

F = valor futuro A = anualidad i = tasa de interés para un solo período n = número de períodos

A = P * ( 1 + i )n * i ( 1 + i )n - 1 A = P ( A/P, i%, n ) A=F*

i ( 1 + i )n - 1

A = F ( A/F, i%, n )

Anualidades anticipadas P=A*

( 1 + i )n – 1 ( 1 + i )n * i

*(1+i)

P = A ( P/A, i%, n - 1 )

F = A * [ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i ) i F = A ( F/A, i%, n - 1 )

A = P /(1+i) * ( 1 + i )n * i ( 1 + i )n - 1 A = P ( A/P, i%, n - 1 ) A=F*

i [ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )

A = F ( A/F, i%, n - 1 )

Casos: 1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opción de un monto de US$ 12,500 en una sola exhibición (es decir, inmediatamente) el día de hoy (t = 0) o, alternativamente, un pago de US$2,000 por año por los próximos 10 años, empezando el próximo año (t = 1). Como el ingeniero está pagando un 12% de interés anual por año por concepto de hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa para evaluar las alternativas. Si usted fuera este ingeniero, ¿cuál de las dos alternativas escogería?

Casos: Juan, cumpliendo 40 años y pensando en su jubilación, planea ahorrar la suma de $ 1,500 por año sobre un período de 25 años. En promedio el espera ganar 12% de interés anual c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. ¿Cuánto tendría Juan al final de 25 años? Respuesta: $200,000 (ignorando fracciones). Pensando un poco más allá, Juan como demógrafo sabe que si llega a cumplir 65 años, tendría una esperanza de vida de más o menos 16 años. Asimismo, estima que necesita un ingreso de unos $25,000 anuales para vivir cómodamente con su esposa. La lógica financiera dicta que a esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado arriba en una cuenta de ahorros que le daría a lo mucho 9% de interés anual c/anual. ¿Si Juan retira cada año $25,000, cuánto tiempo -es decir- cuántos años durarán sus fondos? Respuesta: 14 años (ignorando fracciones). Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 años, ¿Cuánto debería ahorrar entonces cada año hasta cumplir los 65 años para que le diera los $25,000 cada año por 16 años? Respuesta: $1,558.60.

EJEMPLOS: • SODIMAK, solicita el préstamo XYZ. Si tienes más de 3 años como socio y has cumplido con tus compromisos económicos con la Cooperativa, puedes ser acreedor de un préstamo de hasta $100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de interés del 1.75% mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses. • Si quieres pagar este préstamo en 36 pagos iguales incluyendo intereses y amortización del préstamo, cuánto pagarías mensualmente? • Respuesta: $ 3,767.51 • Después de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un premio en la lotería y decides de re-embolsar el resto en una sola exhibición a la fecha del pago número 16, cuánto habría que pagar entonces? • Respuesta: $ 66,884.10

¿Cuál es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a una tasa del 40%, (a) si los pagos se hacen al final de cada año; (b) si los pagos se hacen al inicio de cada año? A

n = 6 años

i = 40% anual

i = 40% anual P

n = 6 años

A

P

(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96 (b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75

Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de $240,000. Se pagará un enganche de $40,000 y el resto a 24 mensualidades a una tasa del 8% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuál será el monto de las mensualidades si se pagan al final de cada mes?

A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59

¿Que cantidad constante tendrá que depositar en un banco al 36% anual si quiere obtener $450,000 al final del séptimo año, haciendo los depósitos al inicio de cada año?

A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19

Se ha tomado la convención de expresar la tasa de interés en una tasa anual nominal y al aplicarla debe de especificarse la fracción del período anual en la que se capitaliza.

F = P ( 1 + j /m )n * m j = tasa de interés nominal anual m = número de períodos en un año n = número de años

Obtenga el monto a recibir al final de un año para $1,000,000 a una tasa de interés del 48% anual si se capitaliza: (a) anual; (b) trimestral.

(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000 (b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519

Calcule el valor de $80,000 después de dos años y seis meses colocados a una tasa del 42% con capitalización trimestral. n = 2.5 años

F

m = 4 trimestres i = 42% anual $80,000 n * m = 2.5 años * 4 trimestres por año = 10 trimestres F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47

¿En cuanto tiempo se triplica una inversión colocada al 40% con capitalizaciones trimestrales?

n = ln ( F / P ) = ln ( 3 ) = 11.53 trimestres ln ( 1 + i ) ln ( 1 + 0.4/4 )

Una inversión ofrece una tasa del 40% con capitalización mensual y otra ofrece el 45% con capitalización trimestral. ¿Cuál prefiere usted? (analice un año).

(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821 (b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318

La mejor opción es la tasa del 45% con capitalización trimestral.

Tópicos

Tasa efectiva m

 rn  re  1    1  m Tasas equivalentes, si a

b

 rn1   rn 2  1    1  1    1 a b   

Tópicos

Perpetuidad

A P r Perpetuidad creciente a tasa g

A P rg

Tópicos

Gradiente aritmético Equivalente uniforme de anualidad que se da durante n periodos, que crece G unidades monetarias cada periodo, empezando de cero en t=1

1  1 A  G   n r 1  r   1 

Tópicos

Gradiente geométrico n  A1 1 g   P   1   r  g   1  r  

Tópicos Demostración de la fórmula de anualidades Sea

A A A P   2 1  r 1  r  1  r n 1 x 1 r



P  Ax 1  x  x 2    x n1



Tópicos Dado que

1  x1  x  x 2    x n1   1  x n 1 xn P  Ax 1 x n

n

 1   1  1  1    1 1 1 r  1 r    PA A 1 r 1 1 1  r 1  r   1 1 r 1 r

Tópicos Resulta

A 1  P  1  n r  1  r  

Tópicos Perpetuidad. Partimos de:

A 1  P  1  n r  1  r   Si n  , el segundo término dentro de paréntesis cuadrados desaparece

Tópicos Anualidad desde perpetuidades

A A 1 P  r r 1  r n A 1  P  1   r  1  r n 

Anualidades

...continuación...

Ejemplo anualidad: Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo (180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual. ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ? n 1  ( 1  r ) Si: VA  F * 1 r

Así: 38

Entonces:

r F1  VA * 1  (1  r ) n

0,005 F1  20.000.000 *  168.771 180 1  (1,005)

Anualidades

...continuación...

Perpetuidad Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad. Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al año 0 son insignificantes.

El Valor actual de esa anualidad se define como:

F1 VA  r

39

40

Anualidades

...continuación

Ejemplo perpetuidad: Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 o porqué no 100 años). ¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener para poder cubrir dicha obligación?

50.000 VA   5.000.000 0,01

En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría: Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858 Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803 Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231 Todos muy cercanos a $5 millones

Ejemplo: El señor Juan hace depósitos de $100 al final de cada mes durante un año en una cuenta de inversiones que paga el 13% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado al término del año?

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  .13 12    1  1  12    1274.15 F  100    .13   12  

Ejemplo: Un señor hace depósitos de $ 100 al final de cada mes durante un año en una cuenta a plazo fijo que paga el 13% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado al término del año, pero sin incluir el último depósito (12vo. pago)?

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  .13 11    1  1  12  1  .13   1174.15 F  100    12  .13   12  

Otra forma de resolver el problema es la siguiente: Se hace la suposición de que son 12 pagos, por lo que se calcula el valor acumulado de los 12 pagos. A la cantidad obtenida se le resta el pago número 12.

  .13 12    1  1  12    100  1174.15 F  100    .13   12  

Ejemplo: Don Luis desea que su hijo pueda disponer de cierta cantidad de dinero dentro de dos años y para ello va a efectuar depósitos de $150 al final de cada mes en una cuenta de inversiones que paga el 2% mensual. Si efectúa depósitos solamente durante el primer año, ¿cuál será el monto acumulado a los dos años?.

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 1  .0212  1 12   F  150 1  . 02  2551.47  .02  

Ejemplo: Se deposita al final de cada tres meses y durante 2 años la cantidad de $350 con una tasa de interés del 13% con capitalización trimestral en el prime año, y durante el segundo año la tasa cambia al 13.5%, ¿cuál será el monto de las inversión al final del plazo?

Click o [Enter] para ver el resultado.   .13  4    .135  4    1   1  1   1  4 4  4  1  .135   350   F  350      .13 .135 4      4 4    

F = 3,150.91

Ejemplo: La fábrica “Hilos Tren” está en apuros financieros con sus proveedores, por lo que decide realizar un préstamo a la institución financiera XYZ y conviene con el gerente del banco en saldar la deuda mediante pagos de $1,500 al final de cada mes durante un año. Si el banco carga una tasa de interés del 18% con capitalización mensual, ¿cuánto prestó la fábrica?

Click o [Enter] para ver el resultado.   .18  12    1  1  12    16361.26 P  1500    .18   12  

Ejemplo: Una pareja de recién casados desea rentar una casa con pago mensual de $1,450. Pero como tienen algo de dinero ahorrado y no desean tener cada mes el pendiente de la renta, entonces convienen con el dueño en pagar por adelantado los 12 meses del año. Si se aplica un interés del 9.5% capitalizable mensualmente, ¿cuál es el valor de los 12 pagos actuales?

  .095  11    1  1  12   P  1,450   1,450  16,667.66   .095   12  

Ejemplo: ¿Qué cantidad hay que depositar hoy para poder efectuar retiros trimestrales de $500 a partir de los 9 meses de la inversión, el número de retiros será de 6 y la tasa de inversión es del 12% capitalizable trimestralmente?

Click o [Enter] para ver el resultado. 6

P

  .12   1  1  4  500   .12  4   .12  1   4  

2

       2,553.11

CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN SUGERIDAS

•Resuelva el caso propuesto en clase.

GRACIAS