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“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”

Integrantes:

Curso: Docente: Tema:

Alcas Andrade, Alexa Ipanaque, Bruno Fox Zapata, Keyla Gutiérrez Laban, Thays Jaramillo Castillo, Karen Ruiz Castillo, Mirella Dinámica Ing. Brenda Sánchez Vibraciones Mecánicas

Piura -2014

VIBRACIONES Pág. 1

Introducción

El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto. El estudio de las vibraciones mecánicas se ha convertido en algo esencial para el estudiante de ingeniería mecánica ya que el buen funcionamiento de maquinaria mecánica está relacionado en muchos casos con su comportamiento vibratorio. Es importante conocer la clasificación de las vibraciones mecánicas ya que nos presentan un panorama de los diferentes estudios. Otra herramienta importante en el estudio de las vibraciones mecánicas es el modelo matemático. Este procedimiento debe ser preciso ya que los errores producen información errónea. El estudio de las vibraciones mecánicas también llamado, mecánica de las vibraciones, es una rama de la mecánica, o más generalmente de la ciencia, estudia los movimientos oscilatorios de los cuerpos o sistemas y de las fuerzas asociadas con ella.

VIBRACIONES Pág. 2

Objetivos Objetivo general: 

Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecánicas y analizar el comportamiento de un cuerpo rígido sujeto a vibraciones.

Objetivos específicos: 

Conocer los conceptos de amortiguaciones



Aprender sobre las fórmulas para poder realizar los ejercicio



. Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana y en la Ingeniería Civil.

VIBRACIONES Pág. 3

Marco Teórico

1.

Vibraciones

Se denomina vibración a la propagación de ondas elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo. Afecta a materiales sólidos, líquidos y gaseosos. La vibración es la causa de generación de todo tipo de ondas. Toda fuerza que se aplique sobre un objeto genera perturbación.

1.1. Diferencia entre oscilación y vibración Se debe tener en claro la diferencia entre estos dos conceptos. En las oscilaciones hay conversión de energías cinética en potencial gravitatoria y viceversa, mientras que en las vibraciones hay intercambio entre energía cinética y energía potencial elástica.

VIBRACIONES Pág. 4

Debida a la pequeñez relativa de las deformaciones locales respecto a los desplazamientos del cuerpo, las vibraciones generan movimientos de menor magnitud que las oscilaciones en torno a un punto de equilibrio. Además las vibraciones al ser de movimientos periódicos (o cuasiperiódicos) de mayor frecuencia que las oscilaciones suelen generar ondas sonoras lo cual constituye un proceso disipativo que consume energía. Además las vibraciones pueden ocasionar fatiga de materiales.

1.2 Conceptos básicos Elongación: Es el desplazamiento desde la posición de equilibrio de un sistema.

Amplitud: Es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio.

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Período: Es el intervalo de tiempo necesario para realizar un ciclo completo. Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad de tiempo.

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1.3 Tipos de fuerzas que intervienen en un movimiento vibratorio ESQUEMA DE FUERZAS

Fuerza Inercial (Fi): Dada por la masa “m” del sistema Fuerza Restauradora (Fs): Es la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa en su posición original.

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Donde k es el coeficiente de deformación del resorte

Fuerza Amortiguadora (Fd):Es la fuerza que ofrece resistencia al movimiento.

Fuerza Periódica (Ft): Es la fuerza que ocasiona el movimiento del sistema.

Por la 2 ley de Newton, hacemos sumatoria de fuerzas:

∑ F=m ´x

2.

TIPOS DE VIBRACIONES

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2.1 VIBRACIONES SIN AMORTIGUAMIENTO 2. 1.1 VIBRACIONES LIBRES DE PARTÍCULAS. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Veamos la siguiente situación:

Cuando se agrega una masa M en un resorte, sabemos que este tendera a un alargamiento

δ est

y después quedando nuevamente en equilibrio. En este

momento y según el diagrama estático: W =T=k∗δ est

Suponiendo ahora que la partícula se desplaza una distancia

xm

desde su

posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Tomando como positiva la distancia abajo del punto de equilibrio y negativo desde el punto de equilibrio hacia arriba.

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VIBRACIONES Pág. 10

Después de esta acción, se va a generar una amplitud xm. Para el análisis, se estudiara cuando la masa se encuentre por la posición x, en ese momento y según el diagrama de equilibrio: ma=W −T =W −k ( δ est + x )=W −k δ est −kx pero W =k δ est → ma=mx ´ ´=−k∗x

( mk ) x ,llamaremos p = mk 2

→ x ´ ´=−

→ x ´ ´ + p2 x =0 El movimiento que define la ecuación anterior se llama Movimiento Armónico Simple. Se caracteriza por que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. La solución general para la ecuación

2

x ´ ´ + p x=0 , es:

x= A sen pt +B cos pt

V = Ap cos pt−Bp sen pt a=−A p2 s en pt−B p 2 cos pt Los valores de A y B, dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Se obtiene que: A=

VO B=x 0 p

Después de análisis vectoriales: x=x m sen ( pt+Φ )

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V =x ´=x m p cos ( pt +Φ ) a=V ´ =x ´ ´ =−x m p2 sen ( pt+ Φ ) p: se le llama velocidad angular; xm: es el desplazamiento máximo o amplitud y Φ: ángulo fase. Por otro lado tenemos que: Periodo = τ = 2π / p Frecuencia = f = 1 / τ = p /2π Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son: V m=x m p am =xm p

2

PÉNDULO SIMPLE (SOLUCIÓN APROXIMADA) La mayor parte de las vibraciones encontradas en aplicaciones de ingeniería se representan mediante un movimiento armónico simple. Muchas otras, aunque de un tipo diferente, se aproximan por medio de un movimiento simple, siempre que su amplitud permanezca pequeña. Considera, por ejemplo, un péndulo simple, consistente en una plomada de masa m unida a una cuerda de longitud l, que tiene la posibilidad de oscilar en un plano vertical (fig. 1.2 – 1a). En un tiempo dado t, la cuerda forma un ángulo θ con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la plomada con su peso W y la fuerza T ejercida por la cuerda (fig. 1.2 – 1b). Al descompensar al vector ma de las componentes tangencial y normal, con mat dirigida hacia la derecha, esto es, en la dirección que corresponde a valores ´ crecientes de θ, y observar que at = lα = l θ , se escribe

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Figura 1.2 – 1

∑ F t=mat :−W sen θ=ml θ´ Si se observa que W = mg y se divide entre ml, se obtiene ´ g sen θ=0 … … … … … … … ecuacion1.2−1 θ+ l Para oscilaciones de amplitud pequeña, puede sustituirse sen θ por θ, expresado en radianes, y se escribe ´ g θ=0 … … … … … … … ecuacion1.2−2 θ+ l

La

comparación

con

la

ecuación

´x + w2n x=0

muestra que la ecuación diferencial 1.2 – 2 es la de un movimiento armónico

simple con una frecuencia circular natural wn igual a

g 1/ 2 ( ) . La solución general l

de la ecuación 1.2 – 2 puede, por consiguiente. Expresarse como θ=θ m sen ( wn t +Φ ) donde Φm es la amplitud de las oscilaciones y Φ es el ángulo de paso. Al sustituir

en la ecuación

Periodo=τ n =

2π wn

el valor obtenido por wn, se obtiene la siguiente

expresión por el periodo de las oscilaciones pequeñas de un péndulo de longitud l τn=

√

2π l =2 π … … … … … … … … … ecuacion1.2−3 wn g

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PÉNDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTA) La ecuación 1.2 – 3 es solo aproximada. Para obtener una expresión exacta relativa al periodo de las oscilaciones de un péndulo simple, se debe volver a la ecuación 1.2 – 1. Multiplicando ambos términos por

2 θ´

e integrando desde una

posición inicial correspondiente a la máxima desviación, esto es

θ=θ m

´ y θ=0 ,

se escribe dθ 2 2g = ( cos θ−cos θm ) dt l

( )

θ

Si se sustituye cos

por 1 – 2 sen2 ( θ /2) y cos

θ

m

por una expresión

similar, resolviendo para dt, y se integra sobre un cuarto de periodo desde t = 0, θ

= 0 hasta t =

√

τn

/ 4,

θ

=

θ

, se tiene

m

θm

l dθ τ n =2 ∫ 2 g 0 sen ( θ / 2 ) −sen 2 ( θ /2 ) m

√

La integral en el miembro del lado derecho se conoce como una integral elíptica; ésta no puede expresarse en términos de las funciones algebraicas o trigonométricas usuales. Sin embargo, sen (θ / 2 )=sen ( θm /2 ) sen Φ

se puede escribir

√

l τ n =4 g

π /2

∫ 0

dΦ

√1−sen ( θ 2

2

m

/ 2 ) sen Φ

… … … … … … … ecuacion 1.3−1

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Donde la integral que se obtiene, denotada comúnmente por K, puede calcularse utilizando métodos de integración numérica. También puede encontrase en tablas de integrales elípticas para diversos valores de

θ m / 2. Para comparar el

resultado que acaba de obtenerse con el de la sección anterior, se escribe la ecuación 1.3 – 1 en la forma τn=

( √)

2K l 2π … … … … … … … ecuacion1.3−2 π g

VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RÍGIDOS Un cuerpo rígido que oscile en torno a un eje fijo (fig. 1.4 – 1a) y una rueda que oscile sobre una superficie plana (fig. 1.4 – 1b) constituyen sistemas vibrantes de un solo grado de libertad. El análisis de estos sistemas de cuerpos rígidos es igual, en esencia al de un punto material. Primero, se dibuja el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una posición arbitraria del cuerpo rígido. Después, se escriben las ecuaciones del movimiento. Por último, se utilizan los principios de la cinemática para reducir las ecuaciones del movimiento a una sola ecuación diferencial que contenga una sola variable que describa la posición y movimiento del cuerpo rígido.

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Figura 1.4 – 1a y 1.4 – 1b

El análisis de las vibraciones de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que posee un solo grado de libertad es similar al de las vibraciones de una sola partícula. Una variable apropiada, como una distancia a un ángulo

θ , se

elige para definir la posición del cuerpo o sistema de cuerpos, y se escribe una ecuación que relacione esta variable y su segunda derivada con respecto a t. Si la ecuación que se obtiene es de la misma forma que la ecuación 1.2 – 1, esto es, si se tiene ´ w2n θ=0 … … … … … ecuacion1.4−1 ´x + w2n x=0 o θ+

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La vibración considerada es un movimiento armónico simple. El periodo y la frecuencia natural de la vibración pueden obtenerse entonces identificando wn y

sustituyendo

su

valor

Frecuencia natural=f n =

en

1 wn = τn 2 π

las

ecuaciones

Periodo=τ n =

2π wn

y

.

En general, una forma simple de obtener una de las ecuaciones 1.3 – 1 consiste en expresar que el sistema de las fuerzas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas dibujando una ecuación de diagramas de cuerpo libre para un valor arbitrario de la variable y escribiendo la ecuación de movimiento apropiada. Recordando que el objetivo debe ser la determinación del coeficiente de la variable x o o

θ , no la determinación de la variable misma o de la derivada

θ´ . Al igualar este coeficiente a wn

2

´x

w n , se obtiene la frecuencia circular natural

de la cual es posible determinar a

τn

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y

fn

.

APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor. El principio de conservación de la energía proporciona una forma conveniente de determinar el periodo de vibración de un cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos que poseen un solo grado de libertad, una vez que se ha establecido que el movimiento del sistema es un movimiento armónico simple o que puede aproximarse mediante un movimiento armónico simple. Al elegir una variable apropiada, como la distancia x o el ángulo

θ , se consideran dos posiciones

particulares del sistema:

Figura 1.5 – 1a y 1.5 – 1b

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1. El desplazamiento del sistema es máximo; se tiene T1 = 0, y V1 puede expresarse en términos de la amplitud xm o

θ

m

(al elegir V = 0 en la

posición de equilibrio). 2. El sistema pasa por su posición de equilibrio; se tiene V2 = 0, y T2 puede expresarse en términos de la velocidad máxima angular máxima

´x m

o la velocidad

θ´ m .

Se expresa entonces que la energía total del sistema se conserva y se escribe T1 + V1 = T2 + V2. Si viendo la ecuación

v m =x m wn am =x m w2n

que para un movimiento

armónico simple la velocidad máxima es igual al producto de la amplitud y de la frecuencia circular normal wn, se encuentra que se obtiene puede resolverse para wn.

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2.1.2 Vibraciones forzadas sin amortiguamiento Consideremos el sistema mecánico Amortiguador – Masa – Resorte

Figura 1.6 – 1

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Utilizando la segunda Ley de Newton de movimiento translacional: La aceleración de cualquier cuerpo rígido es directamente proporcional a la fuerza que actúe sobre él e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, es decir F = ma. Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la masa en el modelo

Figura 1.6 – 2 nos damos cuenta de que sobre dicha masa actúan tres fuerzas: la fuerza del resorte (FR), la fuerza del amortiguador (FR) y posiblemente alguna fuerza externa (peso, fricción, etc.). Podemos establecer las siguientes relaciones para modelar las fuerzas tanto del resorte como del amortiguador

donde k es la constante del resorte y b es la constante de amortiguamiento.

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El modelo mecánico más simple de un solo grado de libertad con excitación externa, es el masa-resorte-amortiguador, identificado mediante sus constantes características equivalentes mEQ, cEQ, kEQ y la fuerza F(t), el cual se ilustra en la siguiente figura 1.6 – 3:

Figura 1.6 – 3 Luego, para este tipo de sistemas, la ecuación diferencial que rige su movimiento está representada por: m EQ∗ ´x + c EQ∗ ´x + k EQ∗x=F (t)

Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir, cuando 1 = r. Para este caso se tendrán como consecuencia oscilaciones de grandes magnitudes, más allá de los límites tolerables. Con respecto a la excitación, los sistemas desbalanceados representan una excitación de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance (m·e) y de la frecuencia de la excitación (Ω).

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Además de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin excitación externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario definir otras variables para el análisis de los mismos. La relación de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de excitación. Se designa con el símbolo r, es adimensional y se expresa según la ecuación r=

Ω wn

El factor de amplificación dinámico se designa con el símbolo Κ y es adimensional y se expresa por: K=

1

√ ( 1−r ) +( 2∗ζ∗r ) 2

2

El retraso de fase se designa con el símbolo φ y se expresa en grados o radianes y se expresa según la ecuación:

Φ=tg−1

( 2∗ζ∗r 1−r ) 2

En el estudio de vibraciones forzadas son muy útiles los gráficos de factor de amplificación dinámico y retraso de fase contra la relación de frecuencias. Para el caso de sistemas que presentan desbalance, es útil graficar r2 * K contra r debido a que la excitación depende de la frecuencia de operación del sistema.

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Figura 1.6 – 4 Factor de amplificación vs Relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación

Figura 1.6 Retraso de fase vs Relación de frecuencias para diferentes constantes de amortiguación. Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando se desplaza varias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenia inicialmente. Vibración mecánica, oscilación, movimiento periódico, etc. son conceptos utilizados para

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describir el movimiento de un elemento, sistema o en si de una máquina. Una forma simple de definir vibración.

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2.2

Vibraciones con amortiguamiento

2.2.1. Vibraciones libres amortiguadas. En las situaciones anteriores se notaban que las vibraciones estaban libres de amortiguamientos. La realidad es que todas las vibraciones son amortiguadas, especialmente por las fuerzas de rozamiento. Un tipo de amortiguamiento de especial interés es el amortiguamiento viscoso causado por la fricción fluida a velocidades bajas y moderadas. Este tipo de amortiguamiento está caracterizado por el hecho de que la fuerza de fricción o rozamiento es directamente proporcional a la velocidad del cuerpo en movimiento. Para el análisis supondremos que un cuerpo está unido al émbolo de un amortiguador. Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía. Existen varios tipos de amortiguamiento: amortiguamiento viscoso, lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de fluidos; amortiguamiento de Coulomb, producido por el movimiento relativo de superficies secas; y el amortiguamiento estructural, es producido por la fricción interna del material elástico. En esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio del amortiguamiento viscoso.

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2.3.1 Amortiguador viscoso lineal. Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el interior de un medio fluido. También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración. Una forma de representarlo es la mostrada en la figura . Este tipo de amortiguador está formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.

Para nuestro estudio vamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de fricción debido al

amortiguamiento

es directamente proporcional

a la velocidad

lineal siendo la constante de

proporcionalidad

el

amortiguamiento

llamado

coeficiente

de

(c). Esta fuerza se expresa : (1)

2.3 Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso.

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Para

determinar

las

ecuaciones

que

gobiernan

a

este

movimiento

consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador como el mostrado en la figura

Figura Diagrama de cuerpo libre de una partícula de masa m con amortiguamiento.

Aplicando la segunda ley de Newton al bloque se tiene

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Recordando que en el caso de equilibrio estático, , la ecuación anterior se escribe: (3)

La ecuación (3) es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La teoría de las ecuaciones diferenciales nos dice que la

solución

es

de

la

forma:

Remplazando la ecuación (3 ) conjuntamente con sus derivadas en la ecuación (2) se obtiene la ecuación característica expresada por :

La solución general de la ecuación se escribe:

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Las constantes B y C se determinan a partir de las condiciones iníciales, mientras que λ1 y λ2 se determinan de la ecuación característica. Debe observarse además que el comportamiento del sistema depende de la cantidad subradical, ésta puede ser positiva, nula o negativa. Coeficiente de amortiguamiento crítico . Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para el cual se hace cero la

cantidad subradical de

la ecuación (3), en consecuencia:

El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratorio. La solución de la ecuación diferencial (3 ) tiene tres formas. A. Movimiento sobre amortiguado. En este caso c > ccr, entonces las dos raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. Por tanto la solución puede escribirse:

B. Movimiento críticamente amortiguado. Aquí c =

ccr, en este

caso las :

C. Movimiento subamortiguado. Las raíces de la ecuación (3) son: VIBRACIONES Pág. 31

Donde α =c/2m y ωd es la frecuencia circular amortiguada dada por :

(4) Remplazando la ecuación (4 ) en (3 ) resulta:

El movimiento de la ecuación (4) se dice que es periódico en el tiempo de amplitud decreciente tal como se muestra en la figura . En donde se observa que el “período” es el tiempo entre dos valles o picos

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Razón de amortiguamiento. También conocido como factor de amortiguamiento, es una cantidad definida como la razón entre el coeficiente de amortiguamiento (c) y el coeficiente de amortiguamiento cítrico (ccr), esto es:

En función de esta cantidad se pueden obtener las siguientes relaciones:

En función de la razón de amortiguamiento se puede decir que un movimiento es sobre amortiguado si (ξ > 1), es críticamente amortiguado si (ξ =0) y subamortiguado sí (ξ < 1). Para el caso de un movimiento subamortiguado, la pulsación propia amortiguada, el período amortiguado y el decremento logarítmico se escriben :

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2.2.2 VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS Si el sistema considerado en la sección anterior está sujeto a una fuerza periódica P de magnitud P = Pm sen wt, la ecuación de movimiento se transforma en: m ´x +c ´x + kx=Pm sen wf t La solución general se obtiene sumando una solución particular a la función complementaria:

m ´x +c ´x + kx=0

La función complementaria está dada por los tres casos vistos anteriormente; el interés está centrado en la vibración estacionaria representada por la solución particular: X part =x m sen ( wt−φ ) Después de varios cálculos:

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tan φ=Cw / ( k −m w2 )

Xm=

Pm

√( k−mw ) + ( c w ) 2 2 f

2

f

Recordando que p2 = k / m, donde p es la frecuencia circular de la vibración libre no amortiguada y de Cc = 2 mp, escribimos:

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La fórmula anterior expresa el factor de amplificación en términos de la razón de frecuencia w / p y el factor de amortiguamiento C / Cc. Puede utilizarse para determinar la amplitud de la vibración estacionaria producida por una fuerza aplicada de magnitud Pm sen wt o por un movimiento producido por el soporte δm sen t. La fórmula de la tangente define en términos de los mismos parámetros la m diferencia de fase φ entre la fuerza aplicada o el movimiento producido por el soporte y la vibración estacionaria resultante del sistema amortiguado.

Figura 2.2 – 1

VIBRACIONES Pág. 36

3 . Aplicaciones de las vibraciones en la Ingenieria Civil El estudio de las vibraciones es importante dentro de la Ingeniería Civil porque es una forma de describir el comportamiento de las estructuras ante algunas cargas ambientales. Estas cargas ambientales son principalmente las que el sismo ocasiona en las estructuras.  Vibraciones en sistemas estructurales: Las estructuras, sean éstas los muros de mampostería de una vivienda, los pórticos de un edificio en altura o los tableros y pilas de un puente, son sistemas cuyo objetivo es garantizar la realización de la actividad que se desarrolla en la misma, resistiendo cargas propias y externas como el peso, el empuje del viento o las acciones producidas por terremotos. Nos referimos a éstas últimas como cargas o acciones dinámicas porque éstas varían relativamente rápidamente en el tiempo y como consecuencia, producen movimientos oscilatorios en las estructuras. Estos movimientos comúnmente se denominan vibraciones. Probablemente, el movimiento vertical de un vehículo sobre una calzada rugosa es nuestra experiencia más frecuente de un fenómeno vibratorio. En ingeniería civil por ejemplo, una estructura vibra a cierta frecuencia natural (todos los materiales vibran). Si coincide con la frecuencia del viento, por ejemplo, entra en resonancia y se destruye literalmente. Un ejemplo es el puente llamado Takoma Narrow , que colapsó por resonancia (se movía como si fuera de goma literalmente) otro ejemplo de puente es el del millenium bridge, que vibraba mucho apenas inaugurado (cuando la gente caminaba por encima), hubo que repararlo. Las características principales de un sistema vibratorio son su período de vibración, tiempo que tarda el sistema en realizar una oscilación completa cuando el sistema vibra libremente y su coeficiente de amortiguamiento, una medida de la velocidad de reducción de la amplitud del movimiento que se produce en ausencia de cargas externas. El movimiento o vibración de una estructura de ingeniería civil puede resultar perjudicial e incluso riesgoso para la vida humana y en la mayoría de los casos, algo que atenta contra el confort de los ocupantes. En ingeniería civil por ejemplo, una estructura vibra a cierta frecuencia natural (todos los materiales vibran). Si coinciude con la frecuencia del viento, por ejemplo, entra en resonancia y se destruye literalmente. Un ejemplo es el puente VIBRACIONES Pág. 37

llamado Takoma Narrow , que colapsó por resonancia (se movía como si fuera de goma literalmente) otro ejemplo de puente es el del millenium bridge, que vibraba mucho apenas inaugurado (cuando la gente caminaba por encima), hubo que repararlo. Tomemos por ejemplo la situación de una estructura sometida a movimiento de su fundación durante un temblor o sismo. El movimiento del suelo producido por la liberación de energía del terremoto impone movimientos en la fundación de un edificio, los que a su vez producen deformaciones en el mismo. Estas pueden producir daños en el sistema estructural, daños en elementos no estructurales como ventanas, muros de cerramiento, instalaciones de agua, gas u otros servicios, pérdida de funcionalidad e incluso el colapso de la misma, con la consiguiente alta probabilidad de pérdida de vidas humanas 

sistema masa-resorte: se utilizan para moderar cimentaciones de maquinaria, respuesta dinámica de pilotes, muros de retención, análisis de la respuesta dinámica de edificios, entre otros. Para mostrar la aplicación de los sistemas de ecuaciones diferenciales tomaremos el caso del análisis dinámico de un edificio

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Nuevos sistemas de protección de estructuras sometidas a vibraciones es la siguiente: I. Aislamiento sísmico, II. Disipadores de energía o amortuguadores, III. Sistema activos de reducción de vibraciones

 compactación por vibración: Algunos suelos granulares se pueden compactar fácilmente mediante vibraciones. Los edificios que descansan sobre tales suelos pueden sufrir asentamientos importantes, debido a la vibración de la maquinaria que se instale en ellos, tales como grandes compresores y turbinas. Los efectos de la vibración pueden ser muy graves, cuando la frecuencia de la vibración coincide con la frecuencia natural del terreno. Al advertir que las vibraciones pueden causar asentamientos perjudiciales en una estructura particular,, el ingeniero puede elegir entre varios métodos para evitarlas. Puede aumentar la masa de la cimentación, variando así su frecuencia, o compactar e inyectar el suelo, alterando de este modo su frecuencia natural y/o su compresibilidad. Existen rodillos vibratorios,maquinaria que compactan el relleno.

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4 . EJERCICIOS APLICATIVOS

1. Una viga de acero puesta en voladizo tiene una longitud de 10 pulgadas y una 1 1 sección transversal cuadrada de 4 x 4 pul. Una masa de 10 lb se ata al extremo libre de la viga, como se muestra en a figura 1-11. Determine la frecuencia natural del sistema. Si la masa se desplaza ligeramente y luego se deja en libertad. Suponer que la masa de la viga es pequeña, de a resistencia de materiales, la deflexión en el extremo libre de la viga en voladizo debida a la masa m es Ȣ=PL 1/3 EI. El momento de inercia de la viga es I= b

3

h . 12 =1/3072

pul

4

y el método

n 2 de elasticidad del acero es E=30 (10) lb/ pul .

La ecuación de movimiento para la vibración libre sin amortiguamiento es m ẍ +kx =0, y 10 ¿ ¿ ¿ 4 (32.2)(12) ¿ 3 (30)¿ ¿ k √ ωn = = ¿ m

√

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2. Una viga simplemente apoyada con una carga concentrada que actúa en su punto medio, se muestra en la figura 1-9. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa que actúa, encuentre la frecuencia natural del sistema. De la resistencia de materiales, la flexión en el punto medio de una viga simplemente apoyada, debido a la carga concentrada P en el centro de la viga, está dada por Ȣ=PL1/48EI, donde E e I tienen los significados usuales. 3 Para deflexiones pequeñas, k=P/ Ȣ = 48 EI/ L ; por tanto la ecuación de

movimiento para esta vibración libre sin amortiguamiento es: mẍ +kx =0 ω n=

√

k =√ 48 EI /m L3 rad /seg m

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3. El instrumento que se muestra en la figura esta rígidamente montado en una plataforma P,la cual a su vez esta sostenida por cuatro resorte, cada uno con una rigidez K=800 N/m.Si el piso se somete a un desplazamiento vertical δ =10 sen(8t)mm,de donde t esta en segundos. Determine: a) la amplitud de la vibración de estado continuo. b) ¿Cuál es la frecuencia de la vibración del piso requerida para provocar resonancia?. El instrumento y la plataforma tienen una masa total de 20 kg.

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Solución: La frecuencia natural es: 800 N K 4( ) m ω= m = =12.65 rad/s 20 kg

√

√

La amplitud de la vibracion de estado continuo se determina con la siguiente ecuacion:

Al reemplezar k

δ0

en

F0

:

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δ0

¿ x

2

1−(

ω0 ) ωn

=

10 8 rad /s 2 =16.7mm 1−( ) 12 rad / s

Rpta

Ocurrira resonancia cuando la aomplitud de vibracion X provocada por el desplzamiento del piso tienda a infinito.Esto requiere. ω0 =ω n =12.65 rad/s Rpta

4. El motor eléctrico de 30 kg que se ilustra en la figura esta sostenido por cuatro resortes,cada uno con una rigidez de 200 N/m.Si el rotor se desbalancea de modo que su efecto equivalga a una masa de 4 kg situada a 60mm del eje de rotacion,determine: ω0 a) la amplitud de la vibracion cuando el rotor gira a =10 rad/s.El factor de amortiguacion es c/

cc

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=0.15.

Solución: La fuerza periodica que hace que el motor vibre es la fuerza centrifuga a consecuencia del rotor desbalanceado.Esta fuerza tiene una magnitud constante de: F0 =ma n=mrω02 =4 kg(0.06)( 10 rad /s 2 )=24N Como F=

F0 sen ω0 t , donde ω 0

=10 rad/s,entonces :

VIBRACIONES Pág. 46

F=24 sen 10 t La rigidez de todo el sistema de cuatro resortes es k =4(200N/m) K=800N/m Por consiguiente,la frecuencia natural de vibración es: k 800 N /m ωn = m = =5.164 rad/s 30 kg

√

√

Como se reconoce el factor de amortiguación,la amplitud de estados continuio se determina con la siguiente ecuación:

ω0 ωn ¿ 1−¿ ¿ c 2 2( )¿ X’= cc ¿ ¿ ¿ √¿ F 0 /k ¿ 10 5.164 ¿ 1−¿ ¿ 2(0.15)¿2 X’= ¿ ¿ ¿ √¿ 24 /800 ¿

VIBRACIONES Pág. 47

X’=0.0107m=10.7mm

Rpta

5. Un edificio de masa m esta soportado uniformemente por cuatro resortes, cada uno con una rigidez k determine el periodo natural de vibración vertical T + v=const .

y ¿ ¿ 1 T = m¿ 2 ∆ s− y ¿ ¿ 1 v =mgy+ ( 4 k) ¿ 2 y ¿ ¿ ∆ s− y ¿ ¿ 1 T + v= m ¿ 2 '

''

'

'

m y y +mg y −4 k ( ∆ s− y ) y =0 m y ' ' + mg+ 4 ky−4 k ∆ s=0

VIBRACIONES Pág. 48

∆ s=

ms 4k

''

m y + 4 ky=0 ''

y +

4k y=0 m

wn=

T=

√

4k m

√

2π m =π wn k

6. La viga esta soportada en sus extremos mediante dos resortes A y B cada uno con la misma rigidez k. cuando la viga no tiene carga, presenta un periodo de vibración vertical de 0.83s, si se coloca una masa de 50kg en su centro, el periodo de vibración vertical es de 1.52s. calcule la rigidez de cada resorte y la masa de la viga. T =2 π

√

m k 0.83 ¿ ¿ ¿2 ¿ 2π ¿ ¿ ¿2 ¿ 2 T m = →¿ 2 (2 π ) k

VIBRACIONES Pág. 49

1.52 ¿ ¿ ¿2 ¿ 2π ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿

( 1 ) en (2 ) mB=0.03490 k mB +50=0.1170 k mB=21.2 kg

k =609

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N m

Conclusiones Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) la linealidad de los elementos y las características de la señal. Dependiendo de la excitación  

Vibración Forzada Vibración libre

Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo permanente. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía por medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.Dependiendo de la disipación de energía  

No amortiguada Amortiguada

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. VIBRACIONES Pág. 51

Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente amortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada.

Bibliografía

Mecánica Vectorial para Ingenieros “DINÁMICA” 7ª Edición E. Russell Johnston, Jr. Ingeniería Mecánica DINÁMICA 2ª Edición William F. Riley and Leroy D. Sturges

http://fisica2ficunasam.zonalibre.org/CAPITULO%20II%20VIBRACIONES %20%20%20MECANICAS%2029%20de%20mayo%202008.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm

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