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• Luis Fernando Malca Ibáñez

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• Movimiento (Física)
• Fuerza
• Mecánica clásica
• Ingeniería mecánica
• Mecánica

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Noviembre del 2012

VIBRACIONES

I. INTRODUCCIÒN. En el presente trabajo de investigación pretendemos dar a conocer de una manera descriptiva y demostrativa como se da el fenómeno de las vibraciones en un cuerpo o elemento estructural, porque en los diversos sistemas de construcción

experimenten vibraciones yal

mismo tiempo amortiguaciones cuando son sometidos a fuerzas de carácter externo como son producidas por la naturaleza o el hombre. Las vibraciones se llaman amortiguadas cuando se presentan fuerzas que tratan de amortiguar o detener el elemento que se les denomina fuerzas de fricción, y no amortiguadas en otros casos. Un ejemplo claro sobre esto son las construcciones en el instante de un sismo, porque en esencia está compuesta por elementos estructurales como vigas y columnas que son las que sufren las vibraciones y al mismo tiempo amortiguan y absorben las fuerzas que trae el sismo. Así también en diversos elementos que están con nosotros en la vida diaria, nuestro trabajo explica por qué las estructuras llegan a soportar en gran parte este fenómeno.

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II. OBJETIVOS. 2.1.- OBJETIVO GENERAL.  Analizar y comprender como se comportan los elementos estructurales en presencia de fuerzas externas horizontales (sismos). 2.2.- OBEJTIVOS ESPECIFICOS.  Evaluar la acción y el comportamiento de este fenómeno y así poder evitar fallos e los elementos estructurales.  Aprender a calcular los esfuerzos que se presentan dentro de la estructura ocasionados por sismos.  Encontrar las posibles soluciones para evitar que un elemento estructural falle por acción de fuerzas horizontales (sismos).

III. PROBLEMA. ¿Cuál será la reacción y el comportamiento de los elementos estructurales en frente de este fenómeno (sismo)? IV.- HIPOTESIS. Las estructuras, al ser sometidas a fuerzas externas horizontales absorberán dicha energía la cual les ocasionará vibraciones que serán disipadas y eliminadas a través del tiempo.

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IV. MARCO TEORICO. 4.1.- Vibración. Es un tipo movimiento, que en lo general en los sistemas mecánicos se presentan cuando e los elementos están o son sometidas a la acción de algunas fuerzas variables con el tiempo. 4.2.- Diferencia entre vibración y oscilación. La oscilación es un movimiento de un lado para otro de un cuerpo que esta colgado o apoyado en un solo punto y la vibración es un tipo de oscilación; de movimiento repetitivo alrededor de una posición de equilibrio. La posición de equilibrio es a la que llegará cuando la fuerza que actúa sobre él sea cero; cabe decir que esto es para cuerpos que no tienen fijación directa o en objetos con movimientos ascendentes y descendentes.

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4.3.- Grados de libertad. Son los parámetros necesarios para definir de forma univoca la configuración del sistema vibratorio. Por ejemplo, el sistema de la figura 9.3 tiene dos grados de libertad que son las dos coordenadas X1 y X2 que definen la posición de cada uno de los bloques con respecto a sus posiciones de referencia, en la figura 9.4 vemos como se comporta un bloque cuando empieza a vibrar y al mismo tiempo a amortigua estas fuerzas que causa la vibración por intermedio de una fuerza externa superior a todas.

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4.4.- NOMENCLATURA. Principales definiciones Modelo dinámico general de la vibración mecánica Vibración libre no amortiguada Vibración libre amortiguada  vibración sobre-amortiguada  amortiguamiento critico DINÁMI CA

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 sub-amortiguamiento 4.5.- SIMBOLOGIA: Т = periodo K = coeficiente de fricción del resorte Тn = periodo de vibración libre W= frecuencia angular m = masa W = peso, carga t = tiempo, espesor, dirección tangencial a = aceleración c = coeficiente de fricción del amortiguador Fn = frecuencia natural.

4.6.- tipos de vibración. 4.6.1.- Vibración libre. Es cuando un sistema vibra debido a una excitación instantánea. 4.6.2.- Vibración Esforzada. Es cuando un sistema vibra debida a una excitación constante. 4.6.3.- Vibración Amortiguada. Es cuando un sistema vibra debida a una excitación disipada. 4.6.4.- Vibración no Amortiguada. Es cuando la disipación de energía se puede disipar para su estudio.

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MODELO DINAMICO GENERAL DE LA VIBRACION MECANICA EN LA QUE INCLUYE TODAS LAS FUERZAS, ACCIONES INTERVINIENTES.

Movimiento armónico simple Objetivo: Discutir el movimiento resultante cuando la masa sostenida por el resorte es desplazada de su posición de equilibrio

Modelos de movimientos vibratorios

kk m m

s

Ley de Hooke: El resorte ejerce una fuerza de restitución opuesta a la dirección de alargamiento y proporcional a su magnitud . Esto es:

Movimiento armónico simple

Movimiento armónico simple

Condición estática. Posición de equilibrio

Condición dinámica

Balance de fuerzas: k

Balance de fuerzas:

k s m

k

Fuerza de gravedad Fuerza restauradora del resorte

s m m

x fuerzas (+)

Movimiento armónico simple

x Fuerza restauradora del resorte

Fuerza de

Fuerza

gravedad

Resultante

Movimiento armónico simple

Condición dinámica Balance de fuerzas: k

m

MODELO MATEMÁTICO

k

s

s m

x

x

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Movimiento armónico simple

Movimiento armónico simple

Resolviendo….. Evaluando en las condiciones iniciales

Ecuación auxiliar

Solución general

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Movimiento armónico simple

Amplitud

Angulo de fase

Movimiento armónico simple

Frecuencia angular

Período

Frecuencia

Movimiento vibratorio amortiguado

Movimiento armónico simple

k

Objetivo: Amplitud

Angulo de fase

Discutir el movimiento resultante de una masa sujeta a un resorte con amortiguamiento cuando es desplazada de su posición de equilibrio

s m

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Movimiento vibratorio amortiguado

Movimiento vibratorio amortiguado

Situación dinámica

Situación dinámica

Balance de fuerzas:

Balance de fuerzas:

k

k Fuerza

s m x

Fuerza restaura- Fuerza de dora del resorte

gravedad

Fuerza

Resultante

amortiguadora

s m x

Movimiento vibratorio amortiguado

Movimiento vibratorio amortiguado

Resolviendo…..

MODELO MATEMÁTICO

k s

Ecuación auxiliar

m x

Movimiento vibratorio amortiguado

Movimiento vibratorio amortiguado

Puede ocurrir: Caso I: sobreamortiguado

Caso I Raíces reales y distintas

reales y distintas

Caso II Raíces reales repetidas Caso III Raíces complejas conjugadas

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Movimiento vibratorio amortiguado

Movimiento vibratorio amortiguado

Caso II: críticamente amortiguado

Caso III: subamortiguado

reales y repetidas

Complejas conjugadas

Movimiento vibratorio forzado con amortiguación

Movimiento vibratorio forzado con amortiguación Situación dinámica

k

Objetivo: Discutir el movimiento resultante de una masa sujeta a un resorte con amortiguamiento sobre la que actúa una fuerza externa, cuando es desplazada de su posición de equilibrio

Balance de fuerzas:

s m

k s

Fuerza

m x

Fuerza restauradora del resorte

Fuerza amortiguadora

Movimiento vibratorio forzado con amortiguación

Resultante Fuerza externa

Movimiento vibratorio forzado con amortiguación Resolviendo…..

Solución particular

MODELO MATEMÁTICO

k

Solución de la homogénea

s m x

Método Método variación de coeficientes indeterminados parámetros

4.7.- VIBRACION LIBRE. DINÁMI CA

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Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p (t) = 0). Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial.

Modelo típico de un sistema libre no amortiguado.

La fig. Muestra este modelo un sistema de masa

‘m’

y una

constante elástica ‘k’. Vamos a realizar un estudio estático y cinético con el

fin de

determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento.

En

la

figura se tiene el

resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa ‘m’ y el DINÁMI CA

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resorte sufre una deformación Xs que llamaremos deformación estática; de aquí ma = -KXs xs ̈ + (k/m) Xs = 0 ---- ec. Dif. MAS

4.7.1.- VIBRACIÒN LIBRE NO AMORTIGUADA. Considere un cuerpo de masa (m) unido a un resorte de constante k. puesto que en el tiempo presente se considera solo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerara como una partícula. Cuando la partícula esta en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud T = kδestatica donde δst denota la elongación del resorte por lo tanto se tiene: W = kδ estática. Supóngase que ahora la partícula se desplaza a una distancia xm desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si xm se ha elegido más pequeña que el δestatica, la partícula se moverá hacia un lado a otro de su posición de equilibrio; se ha generado una vibración de amplitud xm.

4.7.2.- VIBRACIÒN LIBRE AMORTIGUADA: DINÁMI CA

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Un sistema libre amortiguado tiene los tres elementos amortiguador-masa-resorte para el cual se considera que ninguna fuerza externa fe actúa sobre él. El siguiente gráfico hace una descripción de este tipo de sistemas.

La ecuación diferencial que modela este tipo de sistemas es la siguiente:

Donde: Ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas con coeficientes constantes.

m= masa C= coeficiente de amortiguación K= constante del resorte

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Al reconocer la ecuación, operándola tendremos: D = discri min ante D = c 2 − 4mk

4.7.3.- VIBRACIÒN SOBREAMOTIGUADA: (D>0) Cuando las raíces son reales y diferentes (D > 0) al sistema se le dice Sobreamortiguado, ya que el amortiguador ofrece una resistencia mayor al movimiento que la del resorte o se tiene una masa muy pequeña.

r1 = −

c + 2m

r2 = −

c 2 − 4mk 2m

c c 2 − 4mk − 2m 2m

p =−

c 2m

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4.7.4.- AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO. (D=0)

Cuando las raíces son reales y repetidas (D = 0) al sistema se le dice Críticamente

amortiguado,

en

este

caso

la

resistencia

del

amortiguador es apenas lo suficientemente grande absorber cualquier oscilación.

r1 = −

r2 = −

c + 2m

c − 2m

p =−

c 2 − 4mk 2m

c 2 − 4mk 2m

c 2m

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4.7.5- SUBAMORTIGUAMIENTO: (D