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Informe Proyecto: Control de las plantas de nivel y temperatura

20/02/2019

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UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA INGENIERIA ELECTRÓNICA CONTROL ANALÓGICO INFORME PROYECTO CONTROL DE LAS PLANTAS DE NIVEL Y TEMPERATURA DANIEL LEON PINEDA CODIGO 20152139924 ALEJANDRO MORENO ARTUNDUAGA CODIGO 20152140887 LAURA NATALIA MOTTA CADENA CODIGO 20152139924 GRUPO 1 Resumen—En el siguiente informe se presenta el análisis, diseño e implementación de un compensador PID para la planta de Temperatura y de un compensador en LGR y en Frecuencia para la planta de Nivel. La estimación de la respuesta en el tiempo sin compensar de ambas plantas, de la cual partió el análisis y diseño de los compensadores, se obtuvo mediante la adquisición de datos con la myDaQ y LabVIEW, así como la posterior generación de los modelos matemáticos mediante la herramienta Ident de MATLAB. Se incluyen los cálculos teóricos correspondientes al diseño de los compensadores, las gráficas de los resultados obtenidos y la respectiva comparación de las respuestas sin compensar y compensada de ambas plantas. Palabras claves— Compensador PID, Compensador en LGR, Compensador en Frecuencia, Planta de Nivel, Planta de Temperatura, myDaQ, LabVIEW, Ident.

I. OBJETIVOS   

Diseñar un compensador PID para la planta de Temperatura que mejore su tiempo de respuesta y el error en estado estacionario. Diseñar un compensador en LGR y uno en Frecuencia para la planta de Nivel que mejore su tiempo de respuesta y el error en estado estacionario. Comparar las respuestas sin compensar y compensadas de ambas plantas y determinar si se mejoró o no la dinámica de estas. II.MARCO TEORICO

Diseño y Compensación de Sistemas de Control. “La compensación es la modificación de la dinámica del sistema para que se satisfagan unas especificaciones determinadas. Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas; los requisitos que se imponen sobre estos sistemas se dan como especificaciones de comportamiento, las cuales pueden venir dadas como requisitos en la respuesta transitoria (Por ejemplo: la máxima sobreelongación y el tiempo de asentamiento en la respuesta a un escalón) y

requisitos en el estado estacionario (Por ejemplo, el error en estado estacionario frente a una entrada tipo rampa). El primer paso para llevar al sistema a un comportamiento satisfactorio es establecer un valor de ganancia, sin embargo, en muchos casos el ajuste de este parámetro no proporciona la alteración suficiente en el comportamiento del sistema para cumplir las especificaciones dadas. En este caso, es necesario volver a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea. Este nuevo diseño o adición de un dispositivo apropiado se denomina compensación y el elemento insertado en el sistema se denomina compensador”1. Compensador en LGR En el método del lugar de las raíces se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema (usualmente la ganancia). “Mediante este método el diseñador puede predecir los efectos que tiene en la localización de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o añadir polos y/o ceros en lazo abierto. Por lo tanto, el diseño por LGR se basa en redibujar el lugar de las raíces del sistema añadiendo polos y ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema para hacer que las ramas del LGR pasen por los polos deseados en lazo cerrado en el plano s. La característica del diseño del lugar de las raíces es que se basa en la hipótesis de que el sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes; esto significa que los efectos de los ceros y polos adicionales no afectan mucho a las características de la respuesta”1. Compensador PID Un controlador PID es un mecanismo de control por realimentación que incluye las acciones de control proporcional, integral y derivativa simultáneamente para controlar un proceso dinámico. “La acción de control proporcional da una salida que es proporcional al error del sistema, la acción de control integral da una salida que es

Informe Proyecto: Control de las plantas de nivel y temperatura proporcional al error acumulado y la acción de control derivativa tiene un carácter de previsión, pero es eficaz durante periodos transitorios por lo que nunca se utiliza por si sola”2.

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Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de K p , T i , T d de acuerdo con las formulas de la siguiente figura.

Figura 1. Control PID de una planta. “El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones dadas se conoce como sintonía del controlador. Existen varios métodos de sintonización, uno de los más conocidos son las reglas de sintonización de Ziegler y Nichols, las cuales se basan en las respuestas escalón experimentales o en el valor de Kp que produce estabilidad marginal cuando solo se una la acción de control proporcional. Tales reglas sugieren un conjunto de valores de K p , T i , T d que darán una operación estable al sistema. No obstante, el sistema resultante puede presentar una gran sobreelongacion en su respuesta escalón de forma que resulte no aceptable; en tales casos se necesitara de una serie de ajustes finos hasta que se obtenga el resultado deseado”1. Existen dos métodos de sintonización de Ziegler y Nichols, que son los siguientes: Primer Método. Para este método se debe hallar la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario de forma experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura 2, en este caso el método puede ser aplicado.

Figura 2. Curva de respuesta en forma de S. La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T, los cuales se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y con la línea c ( t ) =K .

Figura 3. Regla de sintonía de Ziegler y Nichols basada en la respuesta escalón de la planta. Segundo Método Para este método primero se fija T i =∞ y T d=0. Usando solo la acción de control proporcional, se incrementa Kp desde 0 hasta un valor crítico K cr , en donde la salida presente oscilaciones sostenidas, si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp entonces el método no se puede utilizar, con el valor de K cr se determina el periodo critico Pcr correspondiente. Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de K p , T i , T d para este método de acuerdo con las formulas de la siguiente figura.

Figura 4. Regla de sintonía de Ziegler y Nichols basada ganancia crítica y el periodo crítico. Compensador en Frecuencia El método de respuesta en frecuencia complementa los resultados obtenidos del método con LGR. “En el primer enfoque, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica de forma indirecta; es decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una estimación a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema; la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, que ofrecen una estimación a grandes rasgos de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático, que aportan la precisión en estado estable”1. Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia, uno es el enfoque del diagrama polar y el otro es el enfoque del diagrama de Bode. Para propósitos de diseño, es mejor trabajar con el diagrama de Bode.

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III. ELEMENTOS MATERIALES Y EQUIPOS      

Plantas de Nivel y Temperatura. LabVIEW. MATLAB. Amplificadores Operaciones 741. Resistencias de varios valores. Capacitores de varios valores.

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C( s) 0.0002889 = 2 R( s) s + 0.02923 s+ 0.000454 Aplicando un step unitario:

IV. PROCEDIMIENTO Planta de Temperatura.

Figura 5 Respuesta en el tiempo de la planta sin compensar Haciendo uso de los datos tomados con la myDaQ y labVIEW fue posible obtener un modelo matemático para la planta de temperatura con la herramienta Ident de Matlab. Para el análisis y diseño del compensador se hizo uso de los modelos obtenidos con un set point de 5V.

Figura 7. Respuesta a escalón unitario de la planta sin compensar. La señal de la figura 8 tiene las siguientes características:  Máximo Sobreimpulso: 5.17%  Tiempo de estabilización: 282 seg.  Valor en que se estabiliza: 0.636 Procedemos a hallar el valor del error en estado estacionario del sistema sin compensar. Ya que se trata de un sistema tipo 0, se debe hallar la constante de posición Kp.

K p =lim G ( s )= s →0

0.0002889 =1.7498 0.0001651

Con esto, el valor del error en estado estacionario es el siguiente:

E ss =

Figura 6. Modelos obtenidos con set point de 5V. En la anterior figura la respuesta de la señal original se presenta en color negro; de los modelos obtenidos con Ident, el que mejor se ajusta a la respuesta original corresponde a la señal de color azul oscuro con un 98.61% de similitud. La función de transferencia en lazo abierto de este modelo es la siguiente:

G(s)=

0.0002889 s +0.02923 s +0.0001651 2

Haciendo uso de Matlab procedemos a observar la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema es la siguiente:

1 =0.3636=36.36 % 1+ K p

Como se puede observar en la figura 8, la curva de respuesta al escalón unitario tiene forma de S, esto nos indica que el método de sintonización de Ziegler y Nichols que se podría emplear es el primero. La función de transferencia en lazo abierto del sistema no contiene integradores, se procede a comprobar que las raíces del sistema no correspondan a polos dominantes complejos conjugados. Las raíces siguientes:

de

s2 +0.02923 s +0.0001651son las

s=−0.00765 s=−0.02158 Se comprueba entonces que el sistema tiene raíces reales por lo que el primer método se puede aplicar. Primer Método de Sintonización

Informe Proyecto: Control de las plantas de nivel y temperatura Para hallar los valores de L y T (Figura 2) se hace uso del siguiente código en Matlab:

I. H=tf([0.0002889],[1 0.02923 0.0001651]) II.f=feedback(H,1) III. axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]) IV. dt=0.0001; V.t=0:dt:1000; VI. y=step(f,t); VII. dy=diff(y)/dt; VIII.[m,p]=max(dy); IX. yi=y(p); X.ti=t(p); XI. T1=ti-yi/m XII. T2=(y(end)-yi)/m+ti-T1 XIII.plot(t,y,'r',[0 T1 T1+T2 t(end)],[0 0 y(end) y(end)],'k'); XIV. xlabel ('Tiempo') XV. ylabel ('Amplit20') XVI. title ('Respuesta al escalon unitario') XVII. grid on Obteniendo T=101.1767 Y L=15.7664

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K p 7.7007 = =0.2442 T i 31.5328 K d =K p T d=( 7.7007 )( 7.8832 )=60.7061 K i=

Por lo tanto, la función de transferencia del controlador PID es la siguiente:

60.7061 s2 +7.7007 s +0.2442 ( ) Gc s = s El controlador tiene un polo en s=−0.0639 y s=−0.0630

s=0 y dos ceros en

La función de transferencia en lazo abierto del compensador por la planta es la siguiente:

G c ( s ) G ( s )=

0.01754 s2 +0.002225 s +7.055∗10−5 s 3+ 0.02923 s 2+0.0001651 s

Al realimentar el lazo,

C( s) 0.01754 s2 +0.002225 s+7.055∗10−5 = R( s) s 3+ 0.04677 s 2+ 0.00239 s+7.055∗10−5

Figura 8. Recta tangente en la respuesta al escalón unitario. Con estos valores procedemos a hallar las constantes K p , T i , T d . Según los datos de la tabla en la figura 3:

T 101.1767 K p =1.2 =1.2 =7.7007 L 15.7664 T i=2 L=2 (15.7664 )=31.5328 T d=0.5 L=0.5 ( 15.7664 )=7.8832

(

)

Con estos valores la función de transferencia en lazo abierto del compensador queda de la siguiente forma:

(

G c ( s )=7.7007 1+ De donde,

1 +7.8832 s 31.5328 s

)

Figura 9. Respuesta del sistema con el compensador diseñado. Como se puede observar en la anterior figura, el sistema compensado presenta un sobreimpulso máximo de 59.6%, un tiempo de establecimiento de 646seg y el valor final en el que se estabiliza es 1. Comparando este resultado con el comportamiento de la planta sin compensar, es obvio que el único parámetro que se logró mejorar fue el error en estado estacionario del sistema; se procede entonces a ajustar los valores de las ganancias del compensador para obtener una mejor dinámica en la planta. De la función de transferencia en lazo abierto de Gc(s)G(s) se puede observar que del denominador se saca una s como factor común, de esta forma el sistema pasa a ser de tipo 1 (debido a la presencia del integrador); para este tipo de sistemas el error en estado estacionario ante una entrada de tipo escalón es cero.

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Los ajustes realizados a la función de transferencia del compensador dependen del comportamiento deseado en la planta, ya que se quiere disminuir lo más posible el sobreimpulso y a la vez hacer más rápido el sistema, todo esto manteniendo el error en estado estacionario en cero; se procede entonces a aumentar el valor de Kd y Kp y a disminuir el valor de Ki. El compensador PID implementado tiene la siguiente función de transferencia: 2

G c ( s )=

245 s +19 s+0.10 s

La función de transferencia en lazo abierto Gc(s)G(s) es la siguiente:

G c ( s ) G ( s )=

Figura 11. Diagrama de bloques de un controlador PID paralelo.

(

Gc ( s )=K p 1+

1 + T s E( s) Ti s d

)

Donde E(s) es la señal de error. El circuito del controlador PID es el siguiente:

0.07078 s 2+ 0.005489 s+ 2.889∗10−5 s3 +0.02923 s2 +0.0001651 s

Al realimentar el lazo,

C( s) 0.07078 s 2+ 0.005489 s+2.889∗10−5 = R( s) s3 +0.1 s 2+ 0.005654 s +2.889∗10−5

Figura 12. Controlador PID en paralelo. Las etapas del circuito de la figura 12 son las siguientes: Sumador de la entrada:

Figura 10. Respuesta de la planta compensada. La respuesta de la planta compensada presenta un sobreimpulso máximo de 13.6%, un tiempo de establecimiento de 68.4 seg y el valor final en el que se estabiliza es 1. Comparado con el comportamiento de la planta sin compensar y de la planta compensada con el primer diseño, damos por satisfactorios los resultados. Implementación Física del Compensador PID Se procede a implementar un controlador PID en paralelo que cumple con la siguiente función de transferencia.

Figura 13. Sumador de la entrada. El sumador de la entrada calcula la señal de error. La señal de retroalimentación proveniente de la salida de la planta se encuentra conectada a la entrada inversora del amplificador; a la salida de este sumador se encuentran conectados tres amplificadores, los cuales funcionan como un seguidor inversor, un derivador inversor y un integrador inversor. Ya

Informe Proyecto: Control de las plantas de nivel y temperatura que la ganancia de este amplificador debe ser unitaria, se escogen todos los valores de las resistencias igual a 10KΩ. Seguidor Inversor El seguidor inversor debe tener ganancia unitaria ya que proporciona la constante 1 en la función de transferencia de un controlador PID. Los valores de las resistencias son iguales a 10KΩ.

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V o −R 4 1 = Vi R 3 R 4 C 1 s+1 Donde sí R 4 C 1 s+1 ≫1 la respuesta se aproxima a la de

(

)

un integrador ideal, entonces se tiene

V o −R 4 1 −1 = = Vi R 3 R 4 C 1 s+1 Ts

(

Con

T=

)

R3 R4 C1 =R 3C 1 R4

Figura 14. Seguidor Inversor. Etapa Derivadora

Figura 16. Integrador Inversor. Asumiendo C1=1000µF y R4=100KΩ

1 R 3 ( 1000 µF ) 1 R 3= =10 KΩ ( 0.10 ) ( 1000 µF ) K i=

Figura 15. Derivador Inversor.

Etapa Proporcional

Este circuito tiene una función de transferencia dada por:

V o −R 6 C 2 s = V i R 5 C 2 s +1 Donde si R 5 Cs+1≪ 1 la respuesta se aproxima a la de un derivador ideal.

Vo =−R 6 C 2 s=−T d s Vi

Donde Td es la constante de tiempo del derivador. Asumiendo R5=100Ω y C2=1000µF

K d =−R 6 ( 1000 µF ) 245 R 6= =245 KΩ 1000 µF Etapa Integradora La ganancia de la etapa integradora está dada por:

6

Figura 17. Amplificador Inversor para ajustar Kp. Asumiendo R1=1KΩ

−R 2 R1 1 KΩ R 2= =52.63 Ω 19 K p=

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Etapa Sumadora

Figura 19. Modelo Matemático para set point de 6V. Figura 18. Amplificador Sumador Inversor. La función de transferencia del circuito dela figura 18 es la En la anterior figura la señal de color negro es la respuesta de la siguiente: planta sin compensar y la señal en azul oscuro es el modelo VR 7 VR 8 VR 9 generado por Ident con un porcentaje de similitud del 91.77%. La V o =−Rf + + R7 R8 R9 función de transferencia es la siguiente:

(

)

Mediante este sumador inversor se puede manipular de forma independiente cada una de las ganancias, por lo tanto, mediante los potenciómetros R8 y R9 se ajustan las constantes de tiempo del integrador y del derivador. La única precaución que se debe tener en cuenta con este amplificador es que se debe vigilar que el ancho de banda del mismo sea suficiente para manejar las respuestas de las etapas anteriores. El ancho de banda del sumador está dado por:

BW =

GBP AN

Figura 20. Función de Transferencia del modelo generado. El modelo generado tiene 3 polos y 2 ceros esto con el fin de comparar la respuesta con la del sistema sin compensar. Al aplicar un step a la respuesta obtenida se obtiene lo siguiente:

Donde GBP es el ancho de banda del amplificador operacional utilizado, que es igual a 1MHz; An es la ganancia de ruido del sumador y está dada por:

A N =1+

RF ⟨ R 7|R 8|R 9 ⟩

Para que el ancho de banda del sumador sea lo suficientemente grande se asumen los siguientes valores RF=100KΩ R7=2.2KΩ R8=R9=60KΩ Con lo que se tiene,

A N =49.78 1 MHz BW = =20.085 KHz 49.78 Análisis de la Respuesta obtenida con Ident Haciendo uso de la herramienta Ident de MATLAB se analizan los datos tomados de la planta compensada y se genera un modelo matemático. Utilizando los datos empleados para un set point de 6V.

Figura 21. Respuesta a un escalón unitario de la planta compensada. Planta de NIVEL

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Figura 22. Planta de nivel. Respuesta en el tiempo de la planta sin compensar Haciendo uso de los datos tomados con la myDaQ y labVIEW fue posible obtener un modelo matemático para la planta de nivel con la herramienta Ident de Matlab. Para el análisis y diseño del compensador se hizo uso de los modelos obtenidos con un set point de 6V.

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Figura 24. Respuesta a escalón unitario de la planta sin compensar. La señal de la figura anterior tiene las siguientes características:  Máximo Sobreimpulso: 20%  Tiempo de estabilización: 86.9 seg.  Valor en que se estabiliza: 0.36 Para la planta de nivel aremos el compensador por el método de LGR y de frecuencia. Compensar LGR Para este compensador mejoraremos el tiempo de establecimiento, respectivamente el error en estado estacionario que presenta la planta. De esto vamos a decir que queremos un tiempo de establecimiento de 40seg y un sobreimpulso al 10%.

Figura 23. Modelos obtenidos con set point de 6V En la anterior figura la respuesta de la señal original se presenta en color negro; de los modelos obtenidos con Ident, el que mejor se ajusta a la respuesta original corresponde a la señal de color rojo con un 92.88% de similitud. La función de transferencia en lazo abierto de este modelo es la siguiente:

G(s)=

0.003296 s +0.08745 s +0.005882 2

Haciendo uso de Matlab procedemos a observar la respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema es la siguiente:

C( s) 0.003296 = 2 R( s) s + 0.08745 s+ 0.009178 Aplicando un step unitario:

Requerimientos para el polo deseado

Ts=40 seg , Sp=10 % Tenesmo la función para nuestro polo deseado es:

W n2 S 2+ 2 ζwnS+W n2 Procedemos a hallar ζ y Wn:

G ( s )=

ln 2 Sp ζ= ln 2 Sp+ π 2

√ √

ln 2 0.1 ζ= =0.5911 ln 2 0.1+ π 2 Ts=

4 ζWn

Wn=

4 =0.1691 (0.5911)( 40)

Nuestra función queda de la siguiente forma

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G ( s )=

0.02859 S + 0.1999+0.02859

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dk =−[ 606.7961 s+ 26.53216 ] ds

2

El polo deseado para nuestro compensador es el siguiente:

s=

26.53216 =0.04372 606.7961

s=−0.09995 ±0.13638 j Ya con nuestro polo deseado procedemos a determinar el lugar geométrico de las raíces

G ( s )=

Compensador de adelanto

Gc ( s )=Kc

0.003296 s + 0.08745 s+ 0.005882

s+ z s+ p

2

Decimos que los polos del sistema están ubicados en:

s=0.04372+ 0.063 j , s=0.04372−0.063 j Procedemos a realizar los cálculos de los ángulos de las asíntotas:

n=numero de polos m=numero de ceros K=n−m−1=2−0−1=1 ANAS= ANAS=

180( 2 k+ 1) =¿ n−m

180 ° ( 2 ( 1 ) +1 ) =270 °=−90 ° 2

ANAS=

180 ° (2(0)+1) =90 ° 2

Figura 25. Aporte angular de los polos de la planta al polo deseado. Comenzaremos por hallar la deficiencia del angulo

Procedemos a hallar el centroide de las asíntotas:

σ= σ=

polo 1=tan −1

∑ polos−∑ ceros n−m

polo 1=52.5375−180=−127.4625°

0.04372+ 0.063 j+ 0.04372−0.063 j =0.04372 2

Procedemos a hallar los puntos de ruptura y de ingreso:

G ( s ) H ( s )=−1

[

s 2 +0.08745 s +0.005882 0.003296

0.13638−0.0063 ( 0.09995−0.04372 )

polo2=74.2502−180=−105.7498 °

ϴA=180° −127.4625° −105.7498° ϴA=−53.212°

]

dk s2 +0.08745 s +0.005882 =− ds 0.003296

[

polo 2=tan −1

Decimos que:

K 0.003296 =−1 2 s + 0.08745 s+ 0.005882 k =−

0.13638−0.0063 ( −0.09995−0.04372 )

]

Ya que sabemos cuánto tiene que ser el aporte del compensador, se asumirá en cero y con este valor hallaremos el polo para el angulo deseado

Z=0.15

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∅=tan −1

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1 R4C1 R 1C 1 Gc ( s )= R3C2 1 s+ R 2C 2

0.13638 ( 0.15−0.09995 )=69.8474 °

s+

∅=69.8474 °−53.212° =16.6354 ° polo=

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Procedemos a asumir los valores de los condensadores

0.13638 +0.09995=0.55639 tan 16.6354 °

C 1=C 2=1000 μF

Determinaremos los valores resistivos para el cero y el polo. Obtenido los valores del cero y el polo procedemos a hallar la ganancia del compensador.

Gc ( s )=Kc

|

Kc

s +0.15 s +0.55639

Z=

1 R1C1

R 1=

1 1 = =6.6 k ZC 1 (0.15)(1000 μ)

0.15 0.003296 ( s+s+0.55639 )( s + 0.08745 s+ 0.005882 )| 2

=1 1 P= R 2C 2 s =0.09995+0.13638

|Kc (−0.01665−0.00708 )|=1 Kc=

1 =60.35003 0.01657

R 2=

Seguidos a esto hallaremos los valores resistivos para la ganancia del compensador.

Nuestro compensador queda de la siguiente forma

s +0.15 Gc ( s )=60.35003 s +0.55639

1 1 = =1.795 k PC 1 ( 0.5569 ) ( 1000 μ )

Kc=

R 4C1 R 3C 2

Para esto asumiremos el valor de

60.35003= R 3=

Implementación del compensador LGR

R 3=3.3 k

R 4 (1000 μ) ( 3.3 k ) ( 1000 μ )

( 60.35003 ) ( 3.3 k ) (1000 μ ) =199,155 k ( 1000 μ )

Al implementar el circuito se tuvo que aproximar los valores resistivos a valores comerciales, dando como resultado el siguiente circuito.

Figura 26. Compensador de adelanto. Procedemos a determinar los valores resistivos y capacitos de nuestro compensador:

Figura 27. Compensador de adelanto con valores comerciales. COMPENSADOR EN FRECUENCIA

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Para realizar el diseño del controlador en frecuencia, primero hallamos el error en estado estacionario que tiene la planta en lazo abierto, como nuestra función de transferencia es de Tipo 0, hallamos primero la constante de error de posición para posteriormente hallar el error en estado estacionario.

Kp del sistema en lazo abierto

K p =lim s →0

0.003296 s + 0.08745 s+ 0.005882 2

K p =0.56035

Figura 29. Respuesta a un escalón del sistema con Ess de 0.01

Con el Kp hallado encontramos el Ess del sistema en lazo abierto.

En la Figura 29 se puede apreciar la respuesta al escalón que nos indica que el sistema mejoro su error es estado estacionario pero sus parámetros dinámicos empeoraron, por lo tanto, como se puede observar en el diagrama de Bode el margen de fase es de 6.88 grados, lo que indica que con un aporte de Angulo muy pequeño se puede volver inestable, por lo tanto, se realizara un compensador en adelanto para incrementar el margen de fase y con esto mejorar las condiciones dinámicas de la planta. Idealmente un compensador en adelanto puede aportar 60 grados, por lo tanto, se hará el diseño del compensador para un aporte de 40 grados con un Angulo de compensación de 5 grados Hallamos el MF necesario.

E ss =

1 1 = =0.64088 1+ K p 1+0.56035

Como se puede apreciar el error en estado estacionario es bastante grande por lo tanto el primer es mirar si con solo agregar ganancia el sistema mejora el error y sus parámetros dinámicos. Para ello queremos tener un E ss = 0.01, y con este parámetro encontramos la ganancia que mejoraría este error.

K p =lim Gs ( s )∗G (s) s →0

K p =lim K c α∗G( s) s →0

K p =K c α (0.56075) Hallamos el Kp con un E ss de 0.01

E ss=

1 1+ K p

0.01=

1 1+ K c α (0.56075)

Kc α=

1−0.01 =176.6595 0.0056075

Realizo el diagrama de Bode con el K c α hallado y la respuesta a un escalos para verificar su error en E ss

∅ m =M f ( deseado )−M f ( actual )+ ∅ c ∅ m =40−6.88+5=38.12 ° Con ese MF hallo el alpha:

α=

1−sen(38.12) 1+sen (38.12)

α =0.2335 Teniendo alpha hallo la ganancia del compensador Kc

K c α =176.659 K c=

176.659 =756.569 0.2335

Encontramos la Magnitud en donde se encuentra la frecuencia media del polo y el cero, con la siguiente ecuación.

1 ) √∝ 1 M G ( dB )=−20 log =−6.3171 √ 0.2335 M G ( dB )=−20 log ⁡(

(

)

Con la ayuda de Matlab encuentro la frecuencia media en el punto -6.3171. Figura 28. Diagrama de bode con ganancia incrementada.

W c (−6.3171 dB)=3.46 rad / seg Con la frecuencia media encuentro el cero

cero=√ ∝∗W c cero=√ 0.2335∗3.46=1.6719

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Por último, encuentro el polo

Polo=

Wc 3.46 = =7.1603 √ ∝ √0.2335

Ya con todos los parámetros el compensador quedaría de la siguiente forma.

G C ( s )=756.569

s+1.6719 s+7.1603

La función de transferencia del sistema con la plata queda de la siguiente Forma

G ( s )=

24.937(s+1.672) (s+7.16)(s2 +0.0874 s+ 0.05879)

se realiza el bode del sistema compensado para verificar la mejora del margen de Fase

Figura 32. Compensador de adelanto. Procedemos a determinar los valores resistivos y capacitos de nuestro compensador:

1 R4C1 R 1C 1 Gc ( s )= R3C2 1 s+ R 2C 2 s+

Procedemos a asumir los valores de los condensadores

C 1=C 2=1000 μF

Determinaremos los valores resistivos para el cero y el polo.

1 R1C1 1 1 R 1= = =598.12Ω ZC 1 (1.6719)(1000 μ) 1 P= R 2C 2 1 1 R 2= = =139.658 Ω PC 1 ( 7.1603 ) ( 1000 μ ) Z=

Figura 30. Bode del sistema compensado Y retroalimentada:

G ( s )=

24.937(s+1.672) (s+3.352)(s 2 +3.896 s +12.56)

Seguidos a esto hallaremos los valores resistivos para la ganancia del compensador.

Kc=

R 4C1 R 3C 2

Para esto asumiremos el valor de

Figura 31. Respuesta a escalo planta compensada

Implementación del compensador de Frecuencia

756.569= R 3=

R 3=1 k

R 4(1000 μ) ( 1 k ) ( 1000 μ )

(756.569)(1 k )(1000 μ) =756.569 k (1000 μ)

Al implementar el circuito se tuvo que aproximar los valores resistivos a valores comerciales, dando como resultado el siguiente circuito.

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G ( s )=

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5248 s +5.388e04 s +236.7 s 2+ 6514 s +5.715e04 3

De las respuestas a un escalón se puede observar que ya no existe error en estado estacionario como fue arrojada inicialmente, con la medida de identificación de plantas. Y se pudo lograr mejorar la respuesta dinámica del sistema.

Figura 33. Compensador de adelanto con valores comerciales. V. ANALISIS DE RESULTADOS Planta de Temperatura  El primer compensador que se diseñó mediante el primer método de sintonización de Ziegler y Nichols presento una respuesta poco satisfactoria con respecto a la dinámica de la planta sin compensar, debido a esto fue necesario ajustar los valores de las ganancias Kp, Ki y Kd del compensador. Ya que la respuesta que se deseaba en la planta requería de reducir el error en estado estacionario, aumentar el tiempo de establecimiento de la planta y reducir el sobreimpulso, se decidió aumentar el valor de Kd y Kp y reducir el valor de Ki, logrando así el resultado deseado.  Se debe tener en cuenta que la respuesta a un escalón unitario de la planta compensada se obtuvo a partir de un modelo con un 91.77% de similitud con la respuesta original de la planta; esto ocasiona ciertas diferencias entre esta respuesta y la obtenida con Matlab (Figura 10). Planta de Nivel En la figura 30. se puede observar el margen de fase del sistema compensado es de 39.9 grados lo cual es muy cerca al margen de fase deseado, esto nos da como conclusión que el método utilizado para mejorar el sistema es el adecuado. Con los parámetros hallados se sacó la función de transferencia en ident para hacer una comparación de los datos tomados con la planta compensada y respuesta arrojada por Matlab con el compensador hallado manualmente.

El compensador hallado manualmente mediante el método de frecuencia nos permite tener una clara visualización de los parámetros con los cuales el sistema se puede volver inestable el sistema para con ellos poder diseñar un compensador que mejore los parámetros en frecuencia. En la práctica se pudo observar que mejorar parámetros en frecuencia de un sistema está relacionada de una manera directa con los parámetros en el tiempo. Cumpliendo de esta manera los mismos conceptos vistos en clase de los compensadores de atraso, adelanta o adelanto-atraso. En la figura 30. se logra comprobar que diseñar un compensador en adelanto en frecuencia nos mejora el margen de fase, y a su vez en el dominio del tiempo nos mejora las condiciones dinámicas como se puede observar en la figura 31. que nos indica la respuesta del sistema compensado ante una respuesta escalón. VI. CONCLUSIONES Planta de Temperatura  El compensador PID implementado para la planta de Temperatura logro reducir el error en estado estacionario de un 36.36% a un error de cero, de igual forma hizo que la respuesta de la planta fuera más rápida disminuyendo el tiempo de establecimiento de 282 seg a aproximadamente 40 seg. De la respuesta de la planta sin compensar a la respuesta compensada la única desmejora que se puede observar es el sobre impulso que se genera en el sistema, sin embargo, este no influye de manera negativa en la dinámica de la planta. Planta de Nivel 



 Figura 34. Planta con Ident La función de transferencia arrojada con ident es:

Se puede observar que mejorar condiciones en el dominio de la frecuencia, mejorar de manera directa las condiciones del sistema en el dominio del tiempo. Para realizar el diseño del compensador es necesario tener en cuenta el tipo de sistema, y así poder determinar el error en estado estacionario dependiendo de la entrada a utilizar, bien sea rampa, escalón, etc. Realizar una red de adelanto nos ayuda a mejorar las condiciones dinámicas de sistema en el dominio del tiempo, como también mejorar el margen de fase. Entre más grande sea el margen de fase el sistema se puede volver más rápido, pero incrementar el margen de fase más de 60 grados puede hacer que el compensador se vuelva muy complicado de implementar e ineficiente.

Informe Proyecto: Control de las plantas de nivel y temperatura 

A la hora de realizar el compensador de LGR se tiene que tener en cuenta, los factores que se desean mejorar, de esta forma para obtener el polo deseado para la planta.

VII. REFERENCIAS [1] Ingeniería de Control Moderna, Katsuhiko Ogata, 5ª Edición. [2] Controladores PID, Virginia Mazzone. Disponible en la web:http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/caut1 /Apuntes/PID.pdf; Consultada el 16/02/2019

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