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• Felipe Sanchez

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U.N.M.S.M (Universidad del Perú, Decana de América)

“INFORME PREVIO V”  Curso: Laboratorio de Sistemas de Control I  Ciclo: 2020-1  Horario: Marte 8-10pm  Profesor: o Ing. Malca Fernández Jean Carlos  Alumno: o Sánchez López Felipe Antonio 16190099

2020 Curso de Laboratorio de Sistemas de Control I Guía No 5 Análisis temporal

I- Objetivos  

El objetivo de la práctica es que el estudiante identifique las principales características temporales de la respuesta de un sistema lineal. El estudiante estudiará el comportamiento de un motor de corriente continua, su función de transferencia, y se determinarán las diferentes características para este sistema.

II- Informe Previo a. Describa las principales características de la respuesta temporal de los sistemas de primer y segundo orden.

Primer Orden    

Se denomina orden de un sistema al grado de su polinomio característico. Consecuentemente el orden de un sistema coincide con el número de polos de éste y con el orden de la ecuación diferencial que lo modela. Los sistemas más sencillos y representativos son los de 1er y 2º orden. El análisis de la respuesta temporal de los sistemas se hace a partir de su respuesta a ciertas entradas, en particular al escalón unitario u(t).

Un sistema de 1er orden tiene una función de transferencia de la forma:

La respuesta de este sistema ante una entrada escalón unitario tiene por expresión:

La representación gráfica de esta expresión puede verse en la figura 1.

Figura 1.- Respuesta de un sistema de 1er orden ante entrada escalón unitario.

Los parámetros característicos que aparecen representados en la figura anterior son:  K: La ganancia estática se define como el valor final ante entrada escalón unitario.  T: Constante de tiempo (es el tiempo en el que se alcanza el 63% del valor final).  ts= 3T: Tiempo de establecimiento (es el tiempo que tarda la respuesta en entrar y permanecer en la zona del ±5% en torno a su valor de equilibrio).



y ( t ) =k (t−τ +τ e 

Sabemos que la respuesta del sistema ante una entrada rampa es: −1 t τ

)

Derivamos respecto al tiempo: −1 t dy (t) =k (t−e τ ) dt



Volvemos a derivar:

d y 2 (t ) k −1τ t = e τ d t2  

Se concluye que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los sistemas no lineales no poseen esta propiedad.

Segundo Orden tienen una función de transferencia de la forma:

El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros ξ y wn. El valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s. o

o

o

El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo (-ξwnt). Por lo tanto el sistema es estable. El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo (ξ 1. La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si ξ = 0, la respuesta transitoria no se amortigua. Ahora obtendremos la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario. Consideraremos tres casos diferentes:

Primer Caso: Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso, C(s)/R(s) se escribe como

Donde: La frecuencia

se denomina frecuencia natural amortiguada

Los polos del sistema se encuentran en:

Segundo caso: Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de C(s)/R(s) son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:

Tercer caso: Caso sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes

Resumen:

La siguiente figura contiene una familia de curvas c(t) con diversos valores de ξ, en donde la abscisa es la variable adimensional wt. Las curvas solo son funciones de ξ

En la figura observamos que un sistema subamortiguado con ξ entre 0.5 y 0.8 se acerca al valor final con mayor rapidez que un sistema críticamente amortiguado o sobreamortiguado. Entre los sistemas que responden sin oscilación, un sistema críticamente amortiguado presenta la respuesta más rápida. Un sistema sobreamortiguado siempre es lento para responder a las entradas.

b. Defina el efecto de los ceros y polos según su ubicación en el plano s. Considerando un sistema descrito por la tomando la trnsformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y(s) a la entrada X(s), la función de transferencia del sistema G(s) será:

El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la Ec. igual a cero. Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene:

donde   zi = ceros de la función de transferencia             pi = polos de la función de transferencia Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados.

En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea estable. “Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del plano s” La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tienen ningún efecto sobre la estabilidad del sistema! Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero no afectan la estabilidad

c. Desarrolle la parte a y d del procedimiento.