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ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA 1. OBJETIVOS - Encontrar la relación funcional entre la longitud de onda y la tensión en la cuerda de la onda estacionaria. - Determinar la frecuencia de oscilación de la onda estacionaria.

2. FUNDAMENTO TEORICO Las ondas estacionarias se forman como resultado de la superposición de dos ondas armónicas que tienen la misma amplitud, longitud de onde y velocidad, pero en sentidos opuestos. Las ondas en cuerda son ondas mecánicas transversales, y pueden producir ondas estacionarias cuando la cuerda está sometida una tensión T y uno o dos extremos de la cuerda están fijos. Consideremos una onda incidente en una cuerda que viaja hacia la derecha, su ecuación está dada por: 𝜓𝑖 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

(7.1)

después de una distancia L, la onda incidente encuentra un obstáculo y reflejada, por lo cual, la ecuación de la onda reflejada se mueve hacia la izquierda, su ecuación es: 𝜓𝑟 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)

(7.2)

La superposición de las ondas incidente y reflejada es la suma de las ecuaciones 7.1 y 7.2: 𝜓 = 𝜓𝑖 + 𝜓𝑟 = 𝐴[𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)] = 2𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥)cos⁡(𝜔𝑡)

(7.3)

La ecuación 7.3 no representa una onda que se propaga, no obstante es una onda estacionaria. Cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia 𝜔 y tiene una amplitud de 2𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) En una onda estacionaria se forman nodos y antinodos. Los nodos son las posiciones en las cuales la amplitud es mínima, y los antinodos son los puntos de amplitud máxima. Para los nodos se tiene: 2𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) = 0

(7.4)

Donde: 𝑘𝑥 = 𝑛𝜋

𝑛 = 0,1,2,3, …,

(7.5)

y 𝑘 = 2𝜋⁄𝜆 es el número de onde. Por lo tanto, la expresión para encontrar los nodos es: 𝑥=

𝑛𝜆 2

(7.6)

Entre dos nodos sucesivos, los puntos oscilan con la misma frecuencia y perpendicular a la dirección de propagación, formando de esta manera un perfil sinusoidal que permanece fijo en el espacio (onda estacionaria). La amplitud en los extremos (puntos fijos) de la cuerda es nula. Esta condición en la frontera permite que la cuerda tenga un número de patrones naturales de oscilación, que son conocidos como modos normales ce vibración. Cada modo de vibración tiene una longitud de onde definida, que se obtiene a partir de la ecuación 7.6 𝜆𝑛 =

2𝐿 𝑛

donde 𝑛 = 1,2,3, …

(7.7)

En la Figura 7.1 se muestra los modos normales de vibración.

Figura 7.1: Tres primeros modos de vibración

Por otro lado, cualquier movimiento ondulatorio cumple la ecuación de onda: 𝜕2 𝜓 𝜕𝑥 2

1 𝜕2 𝜓

= 𝑣 𝜕𝑡 2

(7.8)

donde 𝑣 es la velocidad de propagación de la onda. En el caso de ondas estacionarias en una cuerda, la ecuación de movimiento ondulatorio está dada por: 𝜕2 𝜓 𝜕𝑥 2

𝜇 𝜕2 𝜓

= 𝑇 𝜕𝑡 2

(7.9)

donde 𝑇 es la tensión ejercida sobre la cuerda, y 𝜇 es la densidad lineal de masa de la cuerda. 𝑚 𝜇= 𝐿 (7.10) Se puede demostrar que la velocidad de propagación en una cuerda es: 𝑇

𝑣 = √𝜇⁡

(7.11)

Además, si 𝑣 = 𝜆𝑓, la ecuación 7.11 se puede escribir como: 1

𝑇

𝜆 = 𝑓 √𝜇⁡

(7.12)

donde 𝑓 es la frecuencia de oscilación.

3. EQUIPOS Y MATERIALES - Equipo de ondas estacionarias en una cuerda - Cuerda ligera - Regla graduada con pestañas - Dinamómetro

3.1. Procedimientos 1.- Conectar el equipo de ondas estacionarias al tomacorriente de 220 V y seguidamente encenderlo. 2.- Con la carilla deslizante del equipo de ondas estacionarias variar la tensión en la cuerda, moviéndola lentamente hasta conseguir la onda fundamental, es decir que se pueda observar un solo antinodo (primer modo de vibración). 3.- Una vez formada la onda fundamental ajustar el tornillo de sujeción de la varilla deslizante y leer en el dinamómetro la tensión aplicada a la cuerda, seguidamente medir la distancia entre nodo y nodo en la cuerda. Evitar el contacto entre las pestañas de la regla graduada y la cuerda en oscilación, para no causar la ruptura de la cuerda.

4.- Repetir el paso anterior, pero con la obtención de 2, 3, 4 y 5 antinodos, en cada paso leer en el dinamómetro la tensión aplicada. Asimismo medir las longitudes entre nodos (seguir las instrucciones del docente).

4. TABLA DE DATOS 4.1. Mediciones Directas 4.1.1. Longitud de la cuerda 𝐿 = (1.00 ± 0.01)[𝑚]; 1% 4.1.2. Masa de la cuerda 𝑀 = (0.21 ± 0.01)[𝑔𝑟]; 4.76% 4.1.3. densidad lineal de la cuerda

𝜇 = 0.21

4.2.Registro de datos N Número de nodos 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

T[N] 0.7 0.17 0.06 0.04 0.03

L1[m] 0.61 0.295 0.203 0.149 0.125

L2[m] 0.604 0.306 0.199 0.151 0.126

L3[m] 0.606 0.304 0.207 0.152 0.128

4.3. Resultados N 1 2 3 4 5

𝐿̅[m] 0.607 0.303 0.203 0.151 0.126

T[N] 0.7 0.17 0.06 0.04 0.03

λ [m] 1.214 0.604 0.406 0.302 0.252

Grafica

𝜆 = 𝑎𝑇 𝑏 N 1 2 3 4 5

Ln T -0.36 -1.77 -2.81 -3.22 -3.51

Ln λ 0.19 -0.50 -0.90 -1.19 -1.38

ñ4.3.1. Parámetros curva linealizada 𝐴 = (0.375 ± 0.016); 4.27% 𝐵 = (0.485 ± 0.085); 17.52% 𝑟 = −0.996 4.3.2. Parámetros de ecuación de ajuste escogida 𝑎 = 2.630 𝑏 = 0.485 4.3.3. Ecuación de ajuste

𝜆 = 2.630𝑇 0.485 4.3.4. La frecuencia de oscilación 𝑓 = 0.829

5. RESPUESTAS AL CUESTIONARIO 1.- ¿En qué factor se incrementaría la tensión de la cuerda para triplicar la velocidad de propagación?, ¿En qué factor se disminuiría la tensión de la cuerda para reducir la velocidad de la propagación a la mitad?. R.- De la ecuación: 𝑇

𝑣 = √𝜇⁡ 𝑇

𝑣2 = 𝜇 𝑇 = 𝑣 2𝜇

. Entonces:

1

𝑣1 = 3𝑣

𝑣2 = 2 𝑣

Sustituyendo:

𝑣12 = 2

𝑇1

𝑣22 =

𝜇 𝑇1

9𝑣 =

1

𝜇

4 2

𝑇2 𝜇

2

𝑣 =

𝑇2 𝜇

1

𝑇1 = 9(𝑣 𝜇)

𝑇2 = 4 (𝑣 2 𝜇)

𝑇1 = 9𝑇

𝑇2 = 4 𝑇

1

2.- Demostrar que la velocidad de la propagación de una onda transversal en una cuerda está dada por: 𝑻

𝒗=√

𝝁

R.2  2 2   v t 2 x 2

 2 T  2  t 2  x 2 𝑇 𝜕 2𝜓 𝜕 2𝜓 ⁡ 2 = 𝑣 2⁡ 2 𝜇 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑇 𝑇 = ⁡ 𝑣 2⁡⁡ ⇒ ⁡ √ ⁡ = 𝑣⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑙. 𝑞. 𝑞. 𝑑. 𝜇 𝜇 𝟏

𝑻

3.- La ecuación 𝝀 = 𝒇 √𝝁⁡ , ¿Es continua o discreta?. R.- Es discreta debido a que en esta son contables las tensiones con las cuales trabajaremos.

4.- Explicar por qué la onda 𝝍𝒊 = 𝑨𝒔𝒊𝒏(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) se propaga hacia la derecha. R.- Analizamos en la ecuación de una onda armónica unidimensional, y = f(x+vt) o y = f(x-vt) cómo influye el signo en el sentido en el que la onda se va a desplazar, hacia la parte negativa del eje X, o bien hacia la parte negativa del eje X. Así que tenemos que el que influye en la dirección de propagación de la onda es la velocidad.

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

Semestre II/2018 Docente: Ing. Juan C Vargas V Alumnos: Prado San Martin Miguel Alfredo Electromecánica Grupo: L6205 Día: Viernes Horario: 06:45-08:15