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• Gabriela Corma

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE OBJETIVOS 1.1.

OBJETIVO GENERAL:  Estudio de la ley de hooke  Estudio del movimiento oscilatorio

1.2.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

 Verificar la ley de hooke  Determinar la constante de rigidez de un resorte por la aplicación de la ley de hooke  Determinar la ley de hooke mediante el movimiento oscilatorio.  Verificar la ecuación del periodo de un sistema oscilatorio armonico simple, masaresorte. 2.

JUSTIFICACION-.

Realizamos el presente experimento de laboratorio pretendiendo los siguientes puntos:  



3.

HIPOTESIS: 

4.

El propósito de la practica es estudiar los valores teóricos y experimentales de la constante de elasticidad de un resorte aplicando la ley de hooke. . Conocer la utilidad y el manejo de los materiales de laboratorio empleados para la realización del movimiento parabólico, que se explicaran en el presente informe. Obtener resultados experimentales lo más próximos a los obtenidos de forma práctica y compararlos.De esa manera, podemos verificar la influencia, aunque mínima, de la resistencia del aire.

La finalidad de la presente práctica, es estudiar y conocer el movimiento oscilatorio de un resorte.. Dicho movimiento es uno de los más comunes en nuestra vida diaria Mediante los instrumentos empleados en la realización del presente experimento se podrá ver en qué consiste este movimiento físico. VARIABLES:

Las variables a tomar en cuenta en el experimento son: El lay de hooke la constante de elasticidad k,y la gravedad, si fuera necesario calcular.

5.

LIMITES Y ALCANCES.

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE Existen ciertos límites en la práctica:  La resistencia del aire nos limitará de encontrar resultados certeros o sino más exactos a los de la realidad.  Cierta limitación de los materiales empleados en el laboratorio. Los mismos han de presentar diversos de error 6. MARCO TEORICO.6.1.

Método estático.-

El resorte se construye a partir de un alambre de sección uniforme arrollada en forma de hélice cilíndrica, la característica principal de este dispositivo es que, cuando se ejerce una fuerza sobre el resorte, éste puede sufrir deformaciones (compresión o elongación), al cesar la fuerza el resorte recupera su longitud natural. La fuerza requerida para estirar o comprimir un resorte es proporcional a su elongación o compresión siempre y cuando no sobrepase el límite elástico, este enunciado se conoce como ley de Hooke

Cuando aplica una fuerza F sobre el resorte, esta es proporcional al desplazamiento, es decir F = kx A su vez, el resorte ejerce una fuerza recuperadora; que es proporcionad y opuesta al desplazamiento, esto es: F'=-kx La primera ecuación es la expresión matemática de la ley de Hooke, la constante K se denomina constante de rigidez o elástica de los resortes, y depende fundamentalmetnte del material del que esta fabricado el resorte, el grosos del mismo ekl radio de enrollamiento y el numero de espiras que tiene. Esta ecuación es válida mientras el resorte nmo sufra deformaciones permanentes, en la siguiente figura se muestra la variación de la fuerza aplicada con respecto al desplazamiento antes de llegar a la deformación.

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE

Cuando del resorte se cuelga un objeto, este ejerce la fuerza de su peso (es decir F = mg ) y el resorte se estira una distancia x, entonces: F= mg = kx Si repetimos este procedimiento con distintos objetos de masas conocidas (en consecuencia pesos) y midiendo las elongaciones xi; lograremos un conjunto de valores experimentales (Wi, xi), los cuales deben seguir la tendencia de la recta mostrada en la siguiente gráfica, en donde la pendiente constante de elasticidad del resorte.

En el experimento, luego de colgarse el resorte, se emplea un plato para soportar las pesas que se irán colocando, La parte inferior del plato se toma como el cero para la medición de las respectivas elongaciones; si bien el plato tiene cierto peso (Wp) y en consecuencia este estira al resorte cierta distancia Xp , esto no modifica la validez de la ecuación dada, por cuanto al asignar el valor de cero a Xp, los ejes se trasladan como muestra la gráfica, la cual es equivalente a la primera curva, por ello no consideraremos el peso del plato.

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE

Con el propósito de obtener la ecuación experimental de la ley de Hooke, los diferentes pesos que se colocan sobre el plato W1 , W2, W4, etc. producen diferentes alargamientos x1, x2, x4, etc. este conjunto de pares de datos (Wi ,xi ), mediante ajuste por mínimos cuadrados, proporciona la ecuación experimental buscada, la cual tomará la forma de: W = a + bx Para que esta ecuación sea equivalente a la primera, el termino experimental "a" debe ser cero o mas próximo a cero. pues, debido a errores experimentales (errores aleatorios). El término "a" puede ser distinto de cero; sin embargo, a través de una prueba de significación debe verificarse que no diferencia significativamente de cero, con lo cual se validará la ecuación y en consecuencia la ley de Hooke. La pendiente de la recta b, es igual a la constante de elasticidad del resorte. 6.2. Método dinámico.La constante de elasticidad del resorte, K puede también obtenerse por el método dinámico.para esto se considere un objeto de masa M, unido a un resorte de constante K y de nasa m despreciable; cuando el objeto este en equilibrio estático, las fuerzas que actúen sobre el son su peso W y la fuerza de resorte KxE, donde xE representa la elongación del resorte, en consecuencia: W = KxE Si de plazamos el objeto de su punto de equilibrio hasta una posición xm; y lo soltamos del reposo, la partícula se moverá hacia arriba y debajo de la posición de equilibrio O, generando un movimiento oscilatorio de amplitud xm.

Con el propósito de analizar e1 movimiento oscilatorio ce] objeto. consideremos un punto cualquiera. como el denominado. P, en la figura para un tiempo t. Al desplazamiento, OP. denominaremos, x. medido desde el punto de equilibrio (O). Las fuerzas que actúan sobre el objeto en dicho punto son: el peso, W, y la fuerza del resorte, FR =k (xE + x), con el convenio de signos asumido en la figura. positivo hacia abajo, la sumatoria de fuerzas: F = ma resulta.: De donde:

F= W – FR = Ma W-k (xE + x) = Ma

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE operando entre ecuaciones kxE – k (xE +x) =Ma Ordenando: -kx = Ma Puesto que la aceleración, es igual a: a = d2 x/ dt2 la expresión se escribe:

Ordenando dicha expresión como: d2 x/ dt2 + k/Mx =0 y denominando p2 =k/M la ecuación resulta:

Esta expresión es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y define el movimiento el armónico simple. La característica de este tipo de movimiento es que la aceleración es proporcional al desplazamiento, y de sentido opuesto, además independiente de la aceleración de la gravedad. Existen dos soluciones particular que satisfacen esta ecuación son: x = sen pt y x = cos pt . La sección general se obtiene Multiplicando las soluciones por a y B y luego sumando estas: X = A sen pt - B cos pt Las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del movimiento. para ello diferenciando una vez la expresión anterior para obtener la velocidad, v = dx/ dt. v = dx/dt = Ap cos pt - Bp sen pt Las condiciones iniciales son: Vo xm Para t =0 , estas en las dos anteriores ecuaciones dan como resultado: A = vo y B = xm En nuestro caso, Vo = 0 para to = 0, entonces se escribe: x = B cospt Esta ecuación proporciona la posición del objeto para cualquier tiempo t, el término, B= xm y es denomina amplitud de oscilación con p = k/m . mediante un análisis de la ecuación x= B cospt se muestra que se ob x = B = Xm, cuando cos pt = 1 lo cual ocurre cuando pt = 0, 2, (2 + 2) rad,...... etc , esto señala que objeto retoma a un mismo lugar cada determinado tiempo, a este se denomina periodo de oscilación, en consecuencia: pT = 2 De donde la constante de elasticidad del resorte resulta:

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE K = (42/T2)M Ecuación que nos permitirá determinar la constante de elasticidad del resorte a través de las medida masa y periodo de oscilación. En el caso que la masa del resorte, m, no sea despreciable en comparación a la masa del objeto oscilante, M, debemos considerar que la aceleración de las espiras del resorte varia linealmente desde un extremo fijo hasta el extremo móvil; además, el sistema se comporta como si la masa oscilante fuese M' = M + m /2 y estuviese concentrado en el extremo del resorte. Entonces obtenemos la ecuación: K = (42/T2)(M+m/2) La determinación de K por este método no requiere la medicion de las masa del objeto oscilante, y la del resorte, medidas que no plantean dificultad: sin embargo, en la medida del periodo T. esta magnitud puede resultar muy pequeña y la desviación en la manipulación del cronómetro (e = 0.20 s) resulta significativa. Para evitar este problema, es decir, para que el error en la determinación del periodo sea lo más pequeña posible, es conveniente medir el tiempo para n oscilaciones, tn, de modo que; tn =nT Entre las magnitudes a medir. M. m y tn; es este último el cual tiene mayor incidencia en el error para la determinación de k; razón por la cual conviene estimar el número de oscilaciones, n. de manera de no rebasar cierto error prefijado en la determinación de k (Ek) En la realización del experimento, el instructor le asignará cierto error relativo porcentual para la determinación de k, con esta magnitud puede obtenerse el error relativo del periodo y luego estimar el número de oscilaciones, n, esto se realiza del siguiente modo. A la expresión, K = (42/T2)(M+m/2) aplicando logaritmos naturales, diferenciando y transformando las diferenciales se obtiene

Luego Et se escribe:

El error relativo del periodo Et se determina a partir de la anterior ecuación; para ello es necesario determinar M, m, EM Y Em. con este fin se deben medir repetidas veces M y m (5 veces) y a partir de las siguientes expresiones pueden conocerse estos términos.

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE Diferenciando la ecuación tn=nT: dtn=ndT, transformando a errores, En=nET dividiendo y multiplicando por T el segundo miembro, se obtiene: ETn= n T ET Puesto que ET = t/2 Stn/N donde N, es el numero de veces que se medirá tn (N = 5) y t/2 con N-1 con N-1 grados de libertad, tomando la aproximación: Stn = e = 0,2 s (máxima desviación del cronómetro), estas consideraciones en la anterior ecyuación resolviendo para el número de oscilaciones, n se obtiene. n = (t/2 e)/ (T ET N) Mejor:

n  (t/2 e)/ (T ET N)

Eslo en virtud a que n debe ser un número entero y la operación a realizar a partir de la ecuación dada no resulta un número entero y conviene tomar el entero superior más próximo con el propósito de no rebasar error establecido. Finalmente, el periodo puede estimarse aproximadamente midiendo una o dos veces el tiempo de oscilaciones, t10, de manera que: T  t10 / 10 En el uso de t/2, debe cuidarse de emplear la misma probabilidad en todos los cálculos y se recomienda 95% de probabilidad. 7. 7.1.

Procedimiento.Método estático

1. Cuelgue verticalmente el resorte 2. Coloque en la parte inferior del resorte, el plato que soportará las pesas 3. Si la separación de las espiras del resorte no es uniforme (el resorte esta torcido) cuelgue una carga (pesa) inicial de modo de corregir esta dificultad. 4. Señale la parte inferior del plato como el cero. 5. Coloque en el plato una pesa (m). 6. A partir del cero (punto 4) mida la respectiva elongación xi. 7. Retire la pesa y verifique que la parte inferior del plato retome al cero, es decir, que el resorte no sufra deformación permanente. 8. Para distintas masas (pesas) o combinación de ellas, repita los pasos 5 a 7. 9. Mida las masas de las distintas pesas. 7.2.

Método dinámico.-

1. Elija la masa del cuerpo oscilante de tal modo que las oscilaciones del resorte no sean demasiado rápidas. 2. Desplace la masa oscilante una pequeña distancia hacia abajo y suéltelo. 3. Mida dos veces el tiempo para 10 oscilaciones, luego obtenga el promedio y la varianza luego determine el periodo aproximado.

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LEY DE HOOKE Y OSCILADOR ARMONICO SIMPE 4. Mida 5 veces la masa del resorte, m. y la de la masa oscilante. M, calcule sus promedios y sus errores con una probabilidad del 95%^ 5. Calcule el error revivo del periodo a partir de las ecuaciones dadas 6. Calcule el numero de oscilaciones mediante las ecuaciones dadas donde e = 0.2 s. N = 5 y emplee el valor de t/2; para dos grados de libertad (N – 1) y el 95% de probabilidad. 7. Mida el tiempo tn tres veces para el número de oscilaciones n calculado en el paso 6

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