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INDICE

Contenido INDICE ......................................................................................................................................... 1 INTRODUCCION ....................................................................................................................... 2 DESARROLLO DEL TEMA ...................................................................................................... 3 INTEGRAL DEFINIDA .............................................................................................................. 3 ÁREA ENTRE CURVAS ........................................................................................................... 7 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN .................................................................................................. 9 Método de las arandelas ...................................................................................................... 11 Método de los casquillos cilíndricos ................................................................................ 12 VOLÚMENES POR REBANADAS ....................................................................................... 14 LONGITUD DE ARCO ............................................................................................................ 16 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN........................................................................................ 19 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA INGENIERÍA ELÉCTRICA ..... 22 CAMPOS ELÉCTRICOS ........................................................................................................ 22 Campo eléctrico debido a una barra cargada ................................................................ 24 Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente ................................ 26 CONCLUCION.......................................................................................................................... 32 SUGERENCIAS ....................................................................................................................... 33 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................... 34 - Cálculo Una Variable; Thomas George B., Finney Ross L.; Addison Wesley Longman; 9ª Edición; Pags 309-405 - Cálculo Trascendentes Tempranas; Stewart James; International Thomson Editores; 3ª Edición; Pags 332-347, 380398, 494-500 - Cálculo y Geometría Analítica; Larson Roland E, Hostetler Robert P.; McGraw-Hill; 2ª Edición; Pags 273-294, 320-324 - Física Tomo II; Serway Raymond A.; McGraw-Hill; 4ª Edición; Pags 658-665, 834-844 - Apuntes de Cálculo II, Cordero Suárez Juan Manuel; Escuela Colombiana de Ingeniería; 3ª Edición; Pags 51-65 ................................................................................................................. 34

INTRODUCCION Este artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un

procedimiento

diferente

al

de

aproximaciones

sucesivas

de

rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos. Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Area de los Polígonos- enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.

DESARROLLO DEL TEMA INTEGRAL DEFINIDA “Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”— Isaac Newton. El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo. Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:

y sus partes son: a: ak: an: k: 1:

representa

los

representa representa es es

el el

términos termino

termino

el el

k-ésimo

n-ésimo

índice límite

de

inferior

y

la de

último

de

la de la

de

sumatoria

la

sumatoria sumatoria sumatoria

la

sumatoria

n:

Gráfica

es

el

límite

superior

de

la

sumatoria

1.

Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica

2.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una

aproximación

del

área

total

de

la

región

que

deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo a,b , tal que exista

xi y un f(xi), de tal manera que se

cumpla

que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar

sus

áreas

para

lograr

la

aproximación:

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga

tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos

(Gráfica

Gráfica

3).

3.

De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

que

es

equivalente

a,

con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si,

podemos

definir

la

integral

definida

ya

que,

Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.

Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las

partes

que

la

componen.

Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo , es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.

ÁREA ENTRE CURVAS

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es

decir,

entre

las

gráficas

de

dos

funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones

involucradas.

Gráfica

4.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos

el

intervalo

en

la

aplicación

anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo

podemos

representar

así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del

cálculo

del

área,

a

una

tercera

dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su

base

por

su

altura.

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su

espesor

es

x.

De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos. Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido

Gráfica

hueco.

6.

Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,

,

de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido,

desarrollando

la

integral

definida

en

el

intervalo

a,b

.

Método de los casquillos cilíndricos

Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco

circular,

generado

al

girar

un

rectángulo

orientado

perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para

el

volumen

del

cilindro

diferencial.

Grafica

7

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un V=2 en

casquillo (radio

barrido

promedio

del

por

un

casquillo)(altura

nuestro

rectángulo del

es:

casquillo)(grosor)

caso

es:

Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8, alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del

volumen

del

sólido,

así:

Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos

diferenciales,

obtendremos

el

volumen

del

sólido

de

revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar

que:

Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.

VOLÚMENES POR REBANADAS

Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido,

llegamos

a

la

formula:

donde

era el área de la sección circular y x

el

espesor

del

disco.

Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando

A(x)

con

respecto

a

Gráfica

x.

10.

Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos

el

volumen

total

del

sólido,

es

decir:

y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.

LONGITUD DE ARCO

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? longitudes

Pues en esta aplicación veremos como podemos medir usando

esta

magnífica

herramienta

del

cálculo.

Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular

longitudes

pero

esta

vez

de

segmentos

curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:

Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo a,b . También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Sea

f(x),

una función rectificable en el intervalo cerrado

a,b ,

aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde es la partición correspondiente a

=

n1