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• Luis Angel Obeso Chávez

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12.4 EMISIÓN SUPERFICIAL Después de desarrollar la noción de un cuerpo negro para describir el comportamiento de una superficie ideal, podemos ahora considerar el comportamiento de superficies reales. Recuerde que el cuerpo negro es un emisor ideal en el sentido de que ninguna superficie puede emitir más radiación que un cuerpo negro a la misma temperatura. Es por tanto conveniente elegir un cuerpo negro como una de referencia al describir una emisión desde una superficie real. Una propiedad radiactiva superficial conocida como emisividad se puede definir como la razón de la radiación emitida por la superficie a la radiación emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura. Es importante reconocer que, en general, la radiación espectral emitida por una superficie real difiere de la distribución de Planck (figura 12.16a). Además, la distribución direccional (figura 12.16b) puede ser diferente de la difusa. Por tanto, la emisividad puede tomar valores diferentes según se esté interesado en la emisión a una longitud de onda dada o en una dirección dada, o bien en promedios integrados sobre longitud de onda y dirección. Definimos la emisividad direccional espectral 𝜀𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝜙, T) de una superficie a la temperatura T como la razón de la intensidad de la radiación emitida en la longitud

de onda 𝜆 y en la dirección de θ y Ф a la intensidad de radiación emitida por un cuerpo negro a los mismos valores de T y 𝜆. De aquí,

𝜀𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝜙, T) =

Iλ,e (λ,θ,ϕ,T) Iλ,b (λ,T)

(12.32)

Observe como los subíndices 𝜆 y 𝜃 designan el interés en una longitud de onda y dirección específicas para la emisividad. Por el contrario, los términos que aparecen dentro de los paréntesis designan la dependencia funcional respecto a la longitud de onda, dirección, y/o temperatura. La ausencia der variables direccionales en el paréntesis del denominador en la ecuación 12.32 implica que la intensidad es independiente de la dirección, que es, por supuesto, una característica de la emisión del cuerpo negro. De manera similar una emisividad direccional total 𝜀𝜃 , que representa un promedio espectral de 𝜀𝜆,𝜃 , se puede definir como

𝜀𝜃 (𝜃, 𝜙, Τ) ≡

𝐼𝑒 (𝜃,𝜙,𝑇)

(12.33)

𝐼𝑏 (𝑇)

En la mayoría de los cálculos de ingeniería, se desea trabajar con propiedades superficiales que representen promedios direccionales. Una emisividad espectral hemisférica por tanto se define como Ε (𝜆,𝑇)

𝜀𝜆 (𝜆, Τ) ≡ Ε 𝜆 (𝜆,Τ)

(12.34)

𝜆,𝑏

Se puede relacionar con la emisividad direccional 𝜀𝜆,𝜃 al sustituir la expresión para la potencia emisiva espectral, ecuación 12.10, para obtener 2𝜋

𝜀𝜆 (𝜆, 𝑇) =

𝜋/2

𝐼𝜆,𝑒 (𝜆, 𝜃, 𝜙, 𝑇) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜋/2 ∫0 ∫0 𝐼𝜆,𝑏 (𝜆, 𝑇) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃

∫0 ∫0

𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝜙

En contraste con la ecuación 12.10, la dependencia respecto a la temperatura de la emisión ahora se reconoce. De la ecuación 12.32 y del hecho de que 𝐼𝜆,𝑏 es independiente de 𝜃 𝑦 𝜙, se sigue que

𝜀𝜆 (𝜆, 𝑇 ) =

2𝜋 𝜋/2

∫0 ∫0

𝐼𝜆,𝜃 (𝜆,𝜃,𝜙,𝑇 ) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 2𝜋 𝜋/2 ∫0 ∫0 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙

(12.35)

Al suponer que 𝜀𝜆,𝜃 es independiente de Ф, la cual es una suposición razonable para la mayoría de las superficies, y evaluar el denominador, obtenemos 𝜋

𝜀𝜆 (𝜆, 𝑇) = 2 ∫02 𝜀𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝑇) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃

(12.36)

La emisividad total hemisférica, que representa un promedio sobre todas las direcciones y longitudes de onda posibles, se define como

𝜀(𝑇) ≡

𝐸(𝑇)

(12.37)

𝐸𝑏 (𝑇)

Al sustituir de las ecuaciones 12.11 y 12.34, se sigue que

𝜀 (𝑇 ) =

∞

∫0 𝜀𝜆 (𝜆,𝑇 )𝐸𝜆,𝑏 (𝜆,𝑇 )𝑑𝜆 𝐸𝑏 (𝑇)

(12.38)

Si se conocen las emisividades de una superficie, es simple calcular sus características de emisión. Por ejemplo, si se conoce 𝜀𝜆 (𝜆, 𝑇), se puede usar con las ecuaciones 12.26 y 12.34 para calcular la potencia emisiva espectral de la superficie en cualquier longitud de onda y temperatura. De manera similar, si se conoce 𝜀(T), se puede usar con las ecuación 12.28 y 12.37 para la potencia emisiva total de la superficie a cualquier temperatura. Se han llevado a cabo mediciones para determinar estas propiedades para muchos materiales diferentes y recubrimientos superficiales. La emisividad direccional de un emisor difuso es una constante, independiente de la dirección. Sin embargo, aunque esta condición es a menudo una aproximación razonable, todas las

superficies exhiben alguna desviación del comportamiento difuso. En la figura 12.16 se muestran de forma esquemática variaciones representativas de 𝜀𝜃 con θ para materiales conductores y no conductores. Para conductores 𝜀𝜃 es aproximadamente constante en el margen 𝜃 ≤ 40°, después del cual aumenta al aumentar θ pero finalmente decae a cero. Por el contrario, para no conductores 𝜀𝜃 es aproximadamente constante para 𝜃 ≤ 70°, más allá del cual disminuye de forma abrupta al aumentar θ. Una implicación de estas variaciones es que, aunque hay direcciones preferenciales para la emisión, la emisividad hemisférica 𝜀 no diferirá de forma marcada de la emisividad

normal 𝜀𝑛 , que corresponde a θ=0. De hecho la razón rara vez cae fuera del margen 1.0 ≤ (𝜀/𝜀𝑛 ) ≤ 1.3 para conductores y del margen 0.95 ≤ (𝜀/𝜀𝑛 ) ≤ 1.0 para no conductores. Por consiguiente, para una aproximación razonable

𝜀 ≈ 𝜀𝑛

(12.39)

Advierta que, aunque las afirmaciones anteriores se hicieron para la emisividad total, tambien se aplican a componentes espectrales.

Como la distribución espectral de la emisión de superficies reales se desvía de la distribución de Planck (figura 12.6a), no esperamos que el valor de la emisividad espectral 𝜀𝜆 sea independiente de la longitud de onda. La figura 12.17 se muestran distribuciones espectrales representativas de 𝜀𝜆 . La forma en la que 𝜀𝜆 varia con 𝜆 depende si el sólido es un conductor o un no conductor, asi como de la naturaleza del recubrimiento de la superficie. En las figuras 12.18 y 12.19 se grafican valores representativos de la emisividad normal total 𝜀𝑛 y se enumeran en la tabla A.11. Se pueden hacer varias generalizaciones.

1. La emisividad de las superficies metálicas por lo general es pequeña, y alcanza valores tan bajos como 0.02 para oro y plata altamente pulidos. 2. La presencia de capas de óxido puede aumentar de forma significativa la emisividad de superficies metálicas. Contrasta el valor de 0.10 para acero inoxidable ligeramente oxidado con el valor cercano a 0.50 de la forma fuertemente oxidada. 3. La emisividad de los no conductores es comparativamente grande, por lo general excede de 0.6. 4. La emisividad de los conductores aumenta al incrementar la temperatura; sin embargo, según el material específico, la emisividad de los no conductores puede aumentar o disminuir la temperatura. Observe que las variaciones de 𝜀𝑛 con T que se muestran en la figura 12.18. estas tendencias se siguen de la ecuación 12.38. Aunque la distribución espectral de 𝜀𝜆,𝑛 es casi independiente de la temperatura, hay proporcionalmente más emisión a longitudes de ondas más bajas al aumentar la temperatura. De aquí, si 𝜀𝜆,𝑛 aumenta al disminuir la longitud de onda para un material particular, 𝜀𝑛 aumentará al aumentar la temperatura para ese material. Se debe reconocer que la emisividad depende en gran medida de la naturaleza de la superficie, que puede estar influida por el método de fabricación, ciclo térmico, y reacción química con su medio. En la literatura [2-5] se disponer de compilaciones más amplias acerca de la emisividad superficial.

Ejemplo 12.50 Una superficie difusa a 1600 K tiene la emisividad espectral hemisférica que se muestra en la siguiente página

Determine la emisividad hemisférica total y la potencia emisiva total ¿A que longitud de onda la potencia emisiva espectral será un máximo? SOLUCION: Se conoce: Emisividad espectral hemisférica de una superficie difusa a 1600 K. Encontrar: 1. Emisividad hemisférica total 2. Potencia emisiva total. 3. Longitud de onda a la que la potencia emisiva espectral será un máximo. Suposiciones: la superficie es un emisor difuso. 1. La emisividad hemisférica total está dada por la ecuación 12.38, donde la integración se puede realizar por partes como sigue: ∞ 2 5 ∫0 𝜀𝜆 Ε𝜆,𝑏 𝑑𝜆 𝜀1 ∫0 Ε𝜆,𝑏 𝑑𝜆 𝜀2 ∫2 Ε𝜆,𝑏 𝑑𝜆 𝜀= = + Ε𝑏 Ε𝑏 Ε𝑏 𝜀 = 𝜀1 𝐹(0→2 𝜇𝑚) + 𝜀2 [𝐹(0→5 𝜇𝑚) − 𝐹(0→2 𝜇𝑚) ] De la tabla 12.1 obtenemos λ₁T = 2 𝜇𝑚*1600 K = 3200 𝜇𝑚.K:

𝐹(0→2 𝜇𝑚) = 0.318

λ₂T = 5 𝜇𝑚 * 1600 K = 8000 𝜇𝑚.K: 𝐹(0→5 𝜇𝑚) = 0.856 De aquí, 𝜀 = 0.4 = 0.318 + 0.8[0.856 − 0.318] = 0.558 2. De la Ecuación 12.37, la potencia emisiva total es Ε = 𝜀Ε𝑏 = 𝜀𝜎Τ 4 𝑊 E = 0.558 (5.67 ∗ 10−8 2 . 𝐾 4 ) (1600 𝐾)4 = 207 𝐾𝑊/𝑚2 𝑚 3. Si la superficie emitiera como un cuerpo negro o si su emisividad fuera una constante, independiente de λ, la longitud de onda que corresponde a la emisión espectral máxima se podría obtener a partir de la ley de Wien. Sin embargo como 𝜀𝜆 varía con λ, no es inmediatamente obvio donde ocurre la emisión pico. De la ecuación 12.27 sabemos que 2898 𝜇𝑚. 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = = 1.81 𝜇𝑚 1600 𝐾 La potencia emisiva espectral en esa longitud de onda se puede obtener mediante el uso de la ecuación 12.34 con la tabla 12.1, es decir Ε𝜆 (𝜆𝑚á𝑥 , 𝑇) = 𝜀𝜆 (𝜆𝑚á𝑥 )𝐸𝜆,𝑏 (𝜆𝑚á𝑥 , 𝑇) O como la superficie es un emisor difuso, Ε𝜆 (𝜆𝑚á𝑥 , 𝑇) = 𝜋𝜀𝜆 (𝜆𝑚á𝑥 )𝐼𝜆,𝑏 (𝜆𝑚á𝑥 , 𝑇) = 𝜋𝜀𝜆 (𝜆𝑚á𝑥 ) Ε𝜆 (1.81 𝜇𝑚, 1600 𝐾) = 𝜋𝑥0.4𝑥0.722𝑥10−4 (

𝐼𝜆,𝑏 (𝜆𝑚á𝑥,𝑇)

1 𝜇𝑚.𝑘.𝑠𝑟

𝜎Τ5

∗ 𝜎Τ 5

) 5.67𝑥10−8 𝑊/𝑚2 . 𝑘 4 ∗ (1600 𝑘)5

Ε𝜆 (1.81 𝜇𝑚, 1600 𝐾) = 54 𝐾𝑊/𝑚2 . 𝜇𝑚 Como 𝜀𝜆 = 0.4 de λ=0 a λ=2 𝜇𝑚, el resultado anterior proporciona la potencia emisiva espectral máxima para la región λ 𝐸𝜆 (1.81 𝜇𝑚, 1600 𝐾) Y la emisión pico ocurre en 𝜆 = 𝜆1 = 2𝜇𝑚

Comentario: Para la distribución espectral establecida de 𝜀𝜆 , la potencia emisiva espectral variará con la longitud de onda, como se muestra.

EJEMPLO 12.6 Medidas de la emisividad direccional espectral de una superficie metálica a T =2000 K y 𝜆 = 1.0𝜇𝑚 dan una distribución espectral que se puede aproximar como sigue:

Determine los valores correspondiente de la emisividad normal espectral; emisividad hemisférica espectral; intensidad espectral de la radiación emitida en la dirección normal; y la potencia emisiva espectral. SOLUCIÓN: Se conoce: distribución direccional de 𝜀𝜆,𝜃 en λ = 1 𝜇𝑚 para una superficie metálica a 2000 K. Encontrar: 1. Emisividad normal espectral 𝜀𝜆,𝑛 y la emisividad hemisférica espectral 𝜀𝜆 . 2. Intensidad normal espectral 𝐼𝜆,𝑛 y potencia emisiva espectral Ε𝜆 . Análisis: 1. De las mediciones de 𝜀𝜆,𝑛 en λ=1 𝜇𝑚 vemos que 𝜀𝜆,𝑛 = 𝜀𝜆,𝜃 (1 𝜇𝑚, 0°) = 0.3 De la ecuación 12.36, la emisividad hemisférica espectral es 𝜋/2

𝜀𝜆 (1𝜇𝑚) = 2 ∫ O

0

𝜀𝜆,𝜃 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃

𝜋/3

𝜀𝜆 (1𝜇𝑚) = 2[0.3 ∫0

4𝜋/9

cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 + 0.6 ∫𝜋/3 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 ]

0.3 0.6 (0.75) + (0.97 − 0.75)] 2 2 𝜀𝜆 (1𝜇𝑚) = 0.36 𝜀𝜆 (1𝜇𝑚) = 2 [

2. De la ecuación 12.32 la intensidad espectral de la radiación emitida a λ = 1 𝜇𝑚 en la direccional normal es 𝐼𝜆,𝑛 (1 𝜇𝑚, 0°, 2000 𝐾) = 𝜀𝜆,𝜃 (1𝜇𝑚, 0°)𝐼𝜆,𝑏 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) Donde 𝜀𝜆,𝜃 (1𝜇𝑚, 0°) = 0.3 y 𝐼𝜆,𝑏 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) se puede obtener de la tabla 12.1. Para λT =2000 𝜇𝑚.K, 𝐼𝜆,𝑏 ⁄𝜎𝑇 5 = 0.493 = 10−4 (𝑚𝑚. 𝐾. 𝑠𝑟)−1 y 𝐼𝜆,𝑏 = 0.493𝑥10−4 (𝜇𝑚. 𝐾. 𝑠𝑟)−1 𝑥5.67𝑥10−8 𝑊 ⁄(𝑚2 . 𝐾 4 ) 𝑥(2000 𝐾)5 𝐼𝜆,𝑏 = 8.95𝑥104 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚. 𝑠𝑟 Por consiguiente 𝐼𝜆,𝑛 (1𝜇𝑚, 0°, 2000 𝐾) = 0.3𝑥8.95𝑥104 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚. 𝑠𝑟 De la ecuación 12.34 la potencia emisiva espectral para λ =1 𝜇𝑚 y T =2000 K es Ε𝜆 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) = 𝜀𝜆 (1𝜇𝑚)Ε𝜆,𝑏 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) Donde Ε𝜆,𝑏 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) = 𝜋𝐼𝜆,𝑏 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) Ε𝜆,𝑏 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) = 𝜋 𝑠𝑟𝑥8.95𝑥104 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚. 𝑠𝑟 = 2.81𝑥105 De aquí, 𝐸𝜆 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) = 0.36 = 2.81𝑥105 O 𝐸𝜆 (1𝜇𝑚, 2000 𝐾) = 1.01𝑥105

𝑊 𝑚2 . 𝜇𝑚

𝑊 𝑚2 . 𝜇𝑚

𝑊 𝑚2 . 𝜇𝑚

12.5 ABSORCIÓN, REFLEXIÓN Y TRANSMICIÓN SUPERFICIALES En la sección 12.2.3 definimos la irradiación espectral 𝐺𝜆 (𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚) como la rapidez a la que la radiación de longitud de onda λ incide sobre una superficie por unidad de área de la superficie y por intervalo de longitud de onda unitario dλ alrededor de λ. Puede incidir de todas las direcciones posibles, y se puede originar desde varias fuentes diferentes. La irradiación total G(W/m^2) abarca todas las contribuciones espectrales y se puede evaluar a partir de la ecuación 12.16. En esta sección consideramos los procesos que resultan de la intercepción de esta radiación por un medio sólido (o líquido). En la situación mas común, la irradiación interactúa con un medio semitransparente, tal como una capa de agua o una placa de vidrio. Como se muestra en la figura 12.20 para un componente espectral de la irradiación, partes de esta irradiación se pueden reflejar, absorber, y transmitir. A partir de un balance de radiación sobre el medio, se sigue que

𝐺𝜆 = 𝐺𝜆,𝑟𝑒𝑓 + 𝐺𝜆,𝑎𝑏𝑠 + 𝐺𝜆,𝑡𝑟

(12.40)

En general, la determinación de estos componentes es compleja; depende de las condiciones de las superficies superior e inferior, la longitud de onda de radiación, y la composición y espesor del medio. Además las condiciones pueden estar fuertemente influenciadas por efectos volumétricos que ocurren dentro del medio. En una situación más simple, que pertenece a la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, el medio es opaco a la radiación incidente. En este caso, 𝐺𝜆,𝑡𝑟 = 0 y los procesos de absorción y reflexión restantes se pueden tratar como fenómenos superficiales. Es decir, están controlados por procesos que ocurren dentro de una fracción de una micra de la fracción irradiada. Es por tanto apropiado hablar de que la irradiación es absorbida y reflejada por la superficie, con magnitudes relativas 𝐺𝜆,𝑎𝑏𝑠 y 𝐺𝜆,𝑟𝑒𝑓 que dependen de λ y de la naturaleza

del material de la superficie. No hay efecto neto del proceso de reflexión sobre el medio, mientras que la absorción tiene el efecto de aumentar la energía térmica interna del medio. Es interesante notar que la absorción y la reflexión superficial son responsables de nuestra percepción de color. A menos que la superficie este a una temperatura alta (Τ ≳ 1000 𝐾), de modo que este incandescente, el color de ninguna forma se debe a la emisión, que se concentra en la región IR, y es por ello imperceptible para el ojo. El color en realidad se debe a la reflexión y absorción selectiva de la parte visible de la irradiación que incide del sol o de una fuente artificial de luz. Una camisa es ‘’roja’’ porque contiene un pigmento que de forma preferencial los componentes azul, verde, y amarillo de la luz incidente. De aquí las contribuciones relativas de estos componentes a la luz reflejada, que se ve, disminuye, y domina el color rojo. De manera similar una es ‘’verde’’ porque sus celdas contienen clorofila, un pigmento que muestra fuerte absorción en el azul y rojo y la reflexión preferencial en el verde. Una superficie parece ‘’negra’’ si absorbe toda la radiación visible, y es ‘’blanca’’ si refleja esta radiación. Sin embargo, debemos ser cuidadosos en como interpretamos tales efectos visuales. Para una irradiación establecida, el ‘’color’’ de una superficie puede no indicar su capacidad global como un absorbedor o reflector, pues mucha de la irradiación puede estar en la región del IR. Una superficie ‘’blanca’’ como la nieve por ejemplo, es altamente reflejante a la radiación visible pero absorbe fuertemente la radiación IR, aproximando por ello el comportamiento del cuerpo negro a longitudes de ondas largas. En la sección 12.4 enunciamos una propiedad, que llamamos emisividad, para caracterizar el proceso de emisión superficial. En la subsecciones que siguen introducimos las propiedades correspondientes para caracterizar los procesos de absorción, reflexión y transmisión. En general estas propiedades dependen del material de la superficie y del acabado, temperatura superficial, así como de la longitud de onda y dirección de la radiación incidente.

12.5.1 Absortividad La absortividad es una propiedad que determina la fracción de irradiación absorbida por una superficie. La determinación de la propiedad es complicada por el hecho de de, como la emisión, se puede caracterizar por una dependencia direccional y espectral. La absortividad direccional espectral, 𝛼𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝜙), de una superficie se define como la fracción de la intensidad espectral incidente en la dirección de θ y Ф que la superficie absorbe. De aquí, 𝐼𝜆,𝑖,𝑎𝑏𝑠 (𝜆,𝜃,𝜙)

𝛼𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝜙) ≡

(12.41)

𝐼𝜆,𝑖 (𝜆,𝜃,𝜙)

En esta expresión, ignoramos cualquier dependencia de la absortividad sobre la temperatura de la superficie. Tal dependencia es pequeña para la mayoría de las propiedades radiativas espectrales. Esta implícito en los resultados anteriores que las superficies pueden exhibir una absorción selectiva con respecto a la longitud de onda y a la dirección de la radiación incidente. Para la mayoría de los cálculos de ingeniería, sin embargo, es deseable trabajar con propiedades superficiales que representen promedios direccionales. Definimos por tanto una absortividad hemisférica espectral 𝛼𝜆 (𝜆) como

𝛼𝜆 (𝜆) ≡

𝐺𝜆,𝑎𝑏𝑠 (𝜆)

(12.42)

𝐺𝜆 (𝜆)

Que de las ecuaciones 12.15 y12.41, se puede expresar como

𝛼𝜆 (𝜆) =

2𝜋 𝜋/2

𝛼𝜆,𝜃 (𝜆,𝜃,𝜙)𝐼𝜆,𝑖 (𝜆,𝜃,𝜙) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋/2 ∫0 ∫0 𝐼𝜆,𝑖 (𝜆,𝜃,𝜙) cos 𝜃 𝑑𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙

∫0 ∫0

𝑑𝜙

(12.43)

Por tanto, 𝛼𝜆 depende de la distribución direccional de la radiación incidente, así como tambien de la longitud de onda de la radiación y de la naturaleza de la superficie absorbente. Compruebe que, si la radiación incidente esta distribuida difusamente y 𝛼𝜆,𝜃 es independiente de Ф, la ecuación 12.43 se reduce a 𝜋/2 𝛼𝜆 (𝜆) = 2 ∫0 𝛼𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 (12.44) La absortividad hemisférica total, 𝛼, representa un promedio integrado sobre la dirección y la longitud de onda. Se define como la fracción de la irradiación total absorbida por una superficie

𝛼≡

𝐺𝑎𝑏𝑠

(12.45)

𝐺

Y, de las ecuaciones 12.16 y 12.42, se puede expresar como ∞

𝛼=

∫0 𝛼𝜆 (𝜆)𝐺𝜆 (𝜆)𝑑𝜆 ∞

∫0 𝐺 (𝜆)𝑑𝜆 𝜆

(12.46)

En consecuencia, 𝛼 depende de la distribución espectral de la radiación incidente, así como de su distribución direccional y de la naturaleza de la superficie de absorción. Advierta que, aunque 𝛼 es aproximadamente independiente de la temperatura superficial, no se puede decir lo mismo en cuanto a la emisividad hemisférica total, ε. De la ecuación 12.38 es evidente que esta propiedad es fuertemente dependiente de la temperatura. Puesto que 𝛼 depende de la distribución espectral de la irradiación, su valor para una superficie expuesta a la radiación solar puede diferir apreciablemente de su valor para la misma superficie expuesta a radiación de longitud de onda más grande originada de una fuente desde una fuente de temperatura más baja. Como la distribución espectral de la radiación solar es casi proporcional a la de emisión de un cuerpo negro a 5800 K, se sigue de la ecuación 12.46 que la absortividad total para la radiación solar 𝛼𝑠 se puede aproximar como ∞

𝛼𝑠 ≈

∫0 𝛼𝜆 (𝜆)𝐸𝜆,𝑏 (𝜆,5800 𝐾)𝑑𝜆 ∞ ∫0 𝐸𝜆,𝑏 (𝜆,5800 𝐾)𝑑𝜆

(12.47)

Las integrales que aparecen en esta ecuación se pueden evaluar con el uso de la función de radiación de cuerpo negro 𝐹(0→𝜆) de la tabla 12.1. 12.5.2 Reflectividad La Reflectividad es una propiedad que determina la fracción de la radiación incidente reflejada por una superficie. Sin embargo s, su definición especifica puede tomar varias formas diferentes, pues la propiedad es inherentemente bidireccional. Es decir además de depender de la dirección de la radiación incidente, tambien depende de la dirección que presente la radiación reflejada. Evitaremos esta complicación al trabajar de manera exclusiva con una Reflectividad que representa un promedio integrado sobre el hemisferio asociado con la radiación reflejada y, por tanto, no proporciona ninguna información con respecto a la distribución direccional de esta radiación. En consecuencia, la Reflectividad direccional espectral, 𝜌𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝜙), de una superficie se define como la fracción de la intensidad espectral incidente en la dirección de θ y Ф, que es reflejada por la superficie. De aquí,

𝜌𝜆,𝜃 (𝜆, 𝜃, 𝜙 ) ≡

𝐼𝜆,𝑖,𝑟𝑒𝑓 (𝜆,𝜃,𝜙) 𝐼𝜆,𝑖 (𝜆,𝜃,𝜙)

(12.48)

La Reflectividad hemisférica espectral 𝜌𝜆 (𝜆) se define entonces como la fracción de la irradiación espectral que es reflejada por la superficie. En consecuencia,

𝐺𝜆,𝑟𝑒𝑓(𝜆) 𝜌𝜆 (𝜆) ≡ 𝐺 (𝜆) 𝜆

(12.49)

Que es equivalente a

𝜌𝜆 (𝜆) =

2𝜋 𝜋/2

∫0 ∫0

𝜌𝜆,𝜃 (𝜆,𝜃,𝜙)𝐼𝜆,𝑖 (𝜆,𝜃,𝜙) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 2𝜋 𝜋/2 ∫0 ∫0 𝐼𝜆,𝑖 (𝜆,𝜃,𝜙) cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙

𝑑𝜙

(12.50)

La Reflectividad hemisférica total ρ se define entonces como 𝜌≡

𝐺𝑟𝑒𝑓

(12.51)

𝐺

En cuyo caso ∞

𝜌=

∫0 𝜌𝜆 (𝜆)𝐺𝜆 (𝜆)𝑑𝜆

(12.52)

∞

∫0 𝐺𝜆 (𝜆)𝑑𝜆

Las superficies se pueden idealizar como difusas o especulares, de acuerdo con la forma en que reflejan la radiación (figura 12.21). la reflexión difusa ocurre si, sin importar la dirección de la radiación incidente, la intensidad de la radiación reflejada es independiente del ángulo de reflexión. Por el contrario, si toda la reflexión es en la dirección de θ₂, que es igual al ángulo incidente θ₁, se dice que ocurre la reflexión especular. Aunque ninguna superficie es perfectamente difusa o especular, la última condición se aproxima más de cerca con superficies de espejo pulidas y la primera condición mediante superficies ásperas. La suposición de reflexión difusa es razonable para la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. 12.5.3 Transmisividad Aunque el tratamiento de la respuesta de un material semitransparente a la radiación incidente es un problema complicado, a menudo se pueden obtener resultados razonables mediante el uso de transmisividades hemisféricas definidas como

𝜏𝜆 = Y

𝜏=

𝐺𝜆,𝑡𝑟 (𝜆)

(12.53)

𝐺𝜆 (𝜆)

𝐺𝑡𝑟

(12.54)

𝐺

La Transmisividad total 𝜏 está relacionada con la componente espectral 𝜏𝜆 mediante ∞

𝜏=

∫0 𝐺𝜆,𝑡𝑟 (𝜆)𝑑𝜆 ∞

∫0 𝐺𝜆 (𝜆)𝑑𝜆

∞

=

∫0 𝜏𝜆 (𝜆)𝐺𝜆 (𝜆)𝑑𝜆 ∞

∫0 𝐺𝜆 (𝜆)𝑑𝜆

(12.55)

12.5.4 Consideraciones especiales Concluimos esta sección señalando que, del balance de radiación de la ecuación 12.40 y de las definiciones anteriores. 𝜌𝜆 + 𝛼𝜆 + 𝜏𝜆 = 1 (12.56) Para un medio semitransparente. Con respecto a propiedades que se promedian sobre todo el espectro, tambien se sigue que 𝜌+𝛼+𝜏 =1 (12.57) Por supuesto, si el medio es opaco, no hay transmisión, y la absorción y reflexión son procesos superficiales para los que 𝛼𝜆 + 𝜌𝜆 = 1 (12.58) Y 𝛼+𝜌 = 1 (12.59) Por tanto, el conocimiento de una propiedad implica el conocimiento de la otra. En la figura 12.22 se grafican distribuciones espectrales de la Reflectividad y absortividades normales para superficies opacas seleccionadas. Un material como vidrio o agua, que es semitransparente a longitudes de onda cortas, se vuelve opaco a longitudes de onda más grandes. Este comportamiento se muestra en la figura 12.23, que presenta la Transmisividad espectral de varios materiales semitransparentes comunes.

Observe que la Transmisividad del vidrio es afectada por su contenido de hierro y que la Transmisividad de los plásticos, tales como el tedlar, es mayor que la del vidrio en la región del IR. Estos factores tienen un peso importante en la selección de los materiales de la placa de cubierta para aplicaciones de colectores solares. En la tabla A.12 se presentan valores de la Transmisividad total de radiación solar de materiales comunes para la placa cubierta de colectores, junto con absortividades superficiales solares y emisividades de baja temperatura. Ejemplo 12.7 La absortividad hemisférica espectral de una superficie opaca y la irradiación espectral en la superficie son como se muestra.

¿Cómo varía la reflectividad hemisférica espectral con la longitud de onda? ¿Cuál es la absortividad hemisférica total de la superficie? Si la superficie inicialmente está a 500 K y tiene una emisividad hemisférica total de 0.8, ¿cómo cambiará su temperatura por la exposición a la irradiación? SOLUCIÓN Se conoce: Absortividad hemisférica espectral e irradiación de una superficie. Temperatura superficial (500 K) y emisividad hemisférica total (0.8). Encontrar: 1. Distribución espectral de la reflectividad 2. Absortividad hemisférica tota. 3. Naturaleza del cambio de la temperatura superficial Esquema:

Suposiciones: 1. La superficie es opaca. 2. Los efectos de la convección superficial son insignificantes. 3. La superficie exterior esta aislada. Análisis: 1. De la ecuación 12.58, 𝜌𝜆 = 1 − 𝛼𝜆 . Por tanto, del conocimiento de 𝛼𝜆 (𝜆), la distribución espectral de 𝜌𝜆 es como se muestra.

2. De las ecuaciones 12.45 y12.46

∞

𝐺𝑎𝑏𝑠 ∫0 𝛼𝜆 𝐺𝜆 𝑑𝜆 𝛼= = ∞ 𝐺 ∫0 𝐺𝜆 𝑑𝜆 O, al subdividir la integral en partes, 𝛼

1 1 = {0.2 ( ) 500 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚 (6 − 2)𝜇𝑚 + 500 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚 [0.2(8 − 6)𝜇𝑚 + (1 − 0.2) ( ) (8 − 6)𝜇𝑚] 2 2 1 2 2 +[1𝑥500 𝑊 ⁄𝑚 . 𝜇𝑚 (12 − 8)𝜇𝑚 + 1 ( ) 500 𝑊 ⁄𝑚 . 𝜇𝑚 (16 − 12)𝜇𝑚]}/[(1/2)500 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚 2 1 (6 − 2)𝜇𝑚 + 500 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚 (12 − 6)𝜇𝑚 + ( ) 500 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝜇𝑚 (16 − 12)𝜇𝑚] 2 Por consiguiente, 𝛼=

(200 + 600 + 3000) 𝑊 ⁄𝑚2 𝐺𝑎𝑏𝑠 3800 𝑊 ⁄𝑚2 = = = 0.76 (1000 + 3000 + 1000) 𝑊 ⁄𝑚2 5000 𝑊 ⁄𝑚2 𝐺

3. Al ignorar los efectos de , el flujo neto de calor hacia la superficie es 𝑞 ′′ 𝑛𝑒𝑡 = 𝛼𝐺 − 𝐸 = 𝛼𝐺 − 𝜀𝜎𝑇 4 Por ello 𝑞 ′′ 𝑛𝑒𝑡 = 0.76(5000 𝑊 ⁄𝑚2 ) − 0.8𝑥5.67𝑥10−8 𝑊 ⁄𝑚2 . 𝐾 4 (500𝐾)4 𝑞 ′′ 𝑛𝑒𝑡 = 3800 − 2835 = 965 𝑊/𝑚2 Como 𝑞 ′′ 𝑛𝑒𝑡 > 0, 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟á 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜. Ejemplo 12.8 La cubierta de vidrio sobre un colector solar plano tiene un contenido bajo de hierro, y su Transmisividad espectral se puede aproximar mediante la siguiente distribución.

¿Cuál es la Transmisividad total de la cubierta de vidrio para la radiación solar?

SOLUCIÓN Se conoce: Transmisividad espectral de la cubierta de vidrio de un colector solar. Encontrar: Transmisividad total de la cubierta para la radiación solar. Suposiciones: La distribución espectral de la irradiación solar es proporcional a la emisión de cuerpo negro a 5800 K. Análisis: De la ecuación 12.55, la Transmisividad total de la cubierta es ∞ ∫0 𝜏𝜆 𝐺𝜆 𝑑𝜆 𝜏= ∞ ∫0 𝐺𝜆 𝑑𝜆 Donde la irradiación 𝐺𝜆 se debe a la emisión solar. Al suponer que el sol emite como un cuerpo negro a 5800 K, se sigue que 𝐺𝜆 (𝜆)∞𝐸𝜆,𝑏 (5800 𝐾) Con la constante de proporcionalidad que se cancela del numerador y del denominador de la expresión para 𝜏, obtenemos ∞ ∫0 𝜏𝜆 𝐸𝜆,𝑏 (5800 𝐾)𝑑𝜆 𝜏= ∞ ∫0 𝐸𝜆,𝑏 (5800 𝐾)𝑑𝜆 O, para la distribución espectral establecida de 𝜏𝜆 (𝜆), 2.5

∫ 𝐸𝜆,𝑏 (5800 𝐾)𝑑𝜆 𝜏 = 0.90 0.4 𝐸𝑏 (5800 𝐾)

De la tabla 12.1 λ₁=0.4 𝜇𝑚, T=5800 K: λ₁=2320 𝜇𝑚.K, 𝐹(0→𝜆1)=0.1245 λ₂=2.5 𝜇𝑚, T=5800 K: λ₂=14500 𝜇𝑚.K, 𝐹(0→𝜆2)=0.9660 Por tanto, de la ecuación 12.31 𝜏 = 0.90[𝐹(0→𝜆2)-𝐹(0→𝜆1)]=0.90 (0.9660-0.1245)=0.76 Comentarios: Es importante reconocer que la irradiación en la placa de cubierta no es igual a la potencia emisiva de un cuerpo negro a 5800 K, 𝐺𝜆 ≠ 𝐸𝜆,𝑏 (5800 𝐾). Simplemente se supone que es proporcional a esta potencia emisiva, en cuyo caso se presume que tiene una distribución espectral de la misma forma. Con 𝐺𝜆 que aparece en el numerador y denominador de la expresión para 𝜏, es entonces posible reemplazar 𝐺𝜆 por Ε𝜆,𝑏 .