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CAPITULO

5

Conducción en estado transitorio

212

C a p ít u lo ó

■

i'.undarción en rsta d o transitorio

E,

n nuestro tratamiento de la conducción hemos considerado de manera gra condiciones más complicadas. Comenzamos con el caso simple de la conducción i dimensional de estado estable sin generación interna y posteriormente analizamos! complicaciones debidas a efectos multidimensionales y de generación. Sin embaí* aún no hemos examinado situaciones en las que las condiciones varían con el tiemp Sabemos ahora que muchos problemas de transferencia dependen del tiempo. E* tipo de problemas no estables o tra n sitó n o s , normalmente surgen cuando cambian! condiciones de frontera de un sistema. Por ejemplo, si se altera la temperatura si cial de un sistema, la temperatura en cada punto del sistema también comenzará ai biar. Los cambios continuarán ocurriendo hasta que se alcance una distribución i temperaturas de estado estable. Considere un lingote de metal caliente que se saca < i homo y se expone a un flujo de aire frío. Se transfiere energía por convección y ción desde la superficie a los alrededores. La energía que se transfiere poreonducc^ también ocurre del interior del metal a la superficie, y la temperatura en cada pum lingote disminuye hasta que se alcanza una condición de estado estable hstos eí que dependen del tiempo ocurren en muchos procesos industriales de calentamic de enfriamiento. Para determinar la dependencia temporal de la distribución de temperaturas i de un solido durante un proceso transitorio, se comienza por resolver la forma ar Ja de la ecuación de calor, por ejemplo, la ecuación 2 13. Ln las secciones 5.4 a: presentan algunos casos para los que ya se obtuvieron solucione:». Sin emborg condiciones en que los gradientes de temperatura dentro del sólido son peque utiliza un método más sencillo, denominado resistencia interna despreciable o , de la capacitanc ia concentrada.

5.1 M é t o d o d e la resisten cia in terna d e s p r e c i a b le Un problema sencillo, incluso común, de conducción transitoria es aquel en que un lido experimenta un cambio súbito en su ambiente térmico. Considere una pieza! de metal caliente que inicialmente está a una temperatura uniforme T, y que se te por inmersión en un líquido de temperatura más baja Tx < T, (figura 5.1). Si de que el templado comienza en el tiempo / = 0 , la temperatura del sólido disminuirá* tiempo t > 0. hasta que finalmente alcance T^. Esta reducción se debe a la transfe de calor por convección en la interfaz sólido-líquido. La esencia del método de i tencia interna despreciable es la suposición de que la temperatura del sólido /< 0 7 = T, \ \

Liquidó ~ i- “ T* < Tl

t l ( , l HA 5 . 1

S \

\

f/ > 0

T = T( t y

Enfriamiento do una pieza forjada de metal caliente

5 .1

■

M étodo de la resistencia interna despreciable

213

cialm ente uniform e en cualquier instante durante el proceso transitorio. Esta suposición

implica que los gradientes de temperatura dentro del sólido son insignificantes. De acuerdo con la ley de Fourier, la conducción de calor en ausencia de un gradiente de temperatura implica la existencia de una conductividad térmica infinita. Esta condición es claramente imposible. Sin embargo, aunque la condición nunca se satisface de forma exacta, se acerca mucho a ello si la resistencia a la conducción dentro del sólido es pequeña comparada con la resistencia a la transferencia de calor entre el sólido y sus alrededores. Por ahora suponga que, de hecho, éste es el caso. Al no tomar en cuenta los gradientes de temperatura dentro del sólido, ya no es po sible considerar el problema desde dentro del marco de la ecuación de difusión de calor. En su lugar, la respuesta de temperatura transitoria se determina realizando un balance global de energía en el sólido. Este balance debe relacionar la velocidad de perdida de calor en la superficie con 1a rapidez de cambio de la energía interna. Al aplicar la ecuación 1.11a al volumen de control de la figura 5.1, este requerimiento toma la forma -E s e le =

E

(5.1)

al

o -h A J L T - T J = p V c

dT

dt

(5.2)

Al introducir la diferencia de temperaturas (5.3)

6 = T - T a

y aceptar que (dO/dt) = (dTldt), se sigue que pVc d6 hA s d t

Separando variables e integrando desde la condición inicial, para la que t — 0 y T{0) = T,»* obtenemos entonces p V c [& d re ddV hA.

h

r*

6

h

dt

donde (5 4) Al evaluar las integrales se sigue que

hAs

e

(5.5)

o

La ecuación 5.5 sirve para determinar el tiempo que requiere el solido para alcanzar alguna temperatura T o, a la inversa, la ecuación 5 6 es útil para calcular la temperatura que alcanza el sólido en algún tiempo /. Los resultados anteriores indican que la diferencia entre las temperaturas del sólido y el fluido deben decaer exponencialmente a cero conforme t se aproxima a infinito. DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA Unlvssrsiddü o.i ííJm uu.ivjr *

14

C a p it u lo 5

■ (

ondiiccion en estad o transitorio

xt 1 Flfcl lro T alr +

^ a lr

T

tan - i

2

^alr

+ T —

— ln

T

— tan - i

7 alr

+

Tt

T1 alr — T1 i

I I

^"alr

alr

(5.18|

Esta expresión no sirve para evaluar 7 de forma explícita en términos de '■ T¡, y T„„ se reduce de manera fácil al resultado límite para / a|r = 0 (radiación al espacio). Dere-i greso a la ecuación 5.17 se muestra fácilmente que, para T ü\t ~ 0 , t =

pV c

1

1

3 e A Sm¿ r \ T 3

7?,

(5.

Una solución exacta a la ecuación 5.15 también se obtendrá si es posible no toi en cuenta la radiación y si h es independiente del tiempo. Si se introduce una tempei tura reducida, 0 = T — 7’00, donde dO/dt = dT id t , la ecuación 5.15 se reduce aui^ ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea, de la forma dd

0

+ a6 — b =

~dt

(5:

donde a = (hAs ¿pVc) y b = [(, la ecuación 5.25 se reduce a (T — T ■ ( ontltieeión en es lado Lrunsiiorit*

-k

d r

dx x^L

= h v a u t) - t j

(5.29;

I a ecuación 5 2 presupone una distribución de tem peraturas uniform e en el tierp t = 0; la ecuación 5.28 refleja el requerim iento ele sim etría para el plano medio de la pared; y la ecuación 5.29 describe la condición de superficie experimentada en e* tiem po / > 0 De las ecuaciones 5 26 a 5 29. es evidente que. adem as de depender y r, las tem peraturas en la pared tam bién dependen de un num ero de parámetros eos. Ln particular T = T (\. t, T¡, T,„, L. k. a . h)

5J

El problem a precedente se resuelve de m anera analítica o de form a numérica, tos m étodos se considerarán en las secciones posteriores, pero prim ero es impor notar las ventajas que se obtienen al adim ensionalizar las ecuaciones determinan] F sto se logra reacom odando las variables relevantes en grupos adecuados Con la variable dependiente í Si la diferencia de tem peraturas 0 = / ' — 7 se divide entre| diferencia de tem peraturas máxima p o sib le 6, = T, — 7^, se puede definir una for adim ensional de la variable dependiente com o

e * , l = T - r~ o. T ¡~ T t

ix

En consecuencia, 11 debe estar en el rango 0 ^ 0* ^ 1 U na coordenada espacial, m ensional se define com o .v* = L

(5.;

donde L es la m itad del espesor de la pared plana, y un tiem po adim ensional sci com o at rr r** = —r = Fo

ú

(5.:

donde t* es equivalente al n im ia o de F ourier adim ensional. ecuación 5.12 Sustituyendo las definiciones de las ecuaciones 5 ^1 a 5.33 en las ecuaciones! a 5.29. la ecuación de calo r se convierte en

0

d2 *

de*

dx*2

dF o

y las condiciones inicial y de frontera son

6*(x * 0 ) = 1 de*

dx*

de*

= 0 x *= 0

-B i

e*(\,t*)

ój

5 .5

225

■ Pared plana ron convección

donde el núm ero de Biol es Bi = hL/k. Bn form a adim ensional la dependencia funcional se expresa ahora com o

= f( \* ,F o ,B i)

(5.38)

R ecuerde que una dependencia funcional sim ilar, sin la variación v*. se obtuvo para el m étodo de la resistencia interna despreciable, com o se m uestra en la ecuación 5.13. Al com parar las ecuaciones 5.30 y 5.38, la considerable ventaja asociada con el cam bio del problem a a una form a adim ensional se hace evidente. La ecuación 5.38 im plica que para una geometría establecida , la distribución de temperaturas transitoria es una fu m ió n universal de x*. Fo y Bi. Es decir, la solución adimensional supone una form a establecida que no depende del valor particular de 7’,, Tx , L , k, a o h. C om o esta generalización sim plifica m uchísim o la presentación y utilización de soluciones transitorias, las variables adim ensionales se usan de manera intensiva en las secciones posteriores.

Pared plana con c o n v e c c ió n Ya se han obtenido soluciones analíticas exactas a problem as de conducción transitoria para m uchas geom etrías sim plificadas y condiciones de frontera y están bien docum entadas f 1-4]. Para este propósito se em plean varias técnicas m atem áticas, incluido el m étodo de separación de variables (sección 4.2), y norm alm ente la solución para la distribución de tem peraturas adim ensional, ecuación 5.38, está en la form a de una serie infinita. Sin em bargo, excepto para valores muy pequeños del núm ero de Fourier, esta serie se aproxim a m ediante un solo térm ino y los resultados se representan en una form a gráfica conveniente. 5 .5 .1

S o lu c ió n e x a c ta

C onsidere una pared plana de espesor 2 L (figura 5.6í/). Si el espesor es pequeño en relación con el ancho y la altura de la pared, es razonable suponer que la conducción ocurre exclusivam ente en la dirección x. Si la pared al principio está a una tem peratura

r

7tv. 0) = Tj

r(r. 0 1 = 7 ,

(ü j) í í t

t í t

L(a) F

ig u r a

5 .0

ib)

Sistemas unidimensionales con una temperatura inicial

uniforme sujeta a condiciones de convección súbita. («) Pared plana.

b) Cilindro infinito o esfera.

DEPARTAM ENTO

d e

U n iv e r s id a d S im ó n Bol iva-*

b ib l io t e c a

S e d e d e l L lto ra

C apitulo 5 ■ ( onflucción en rstadu transitoria uniform e. 7( v, 0) = 7„ y se sum erge súbitam ente en un fluido de / « Tr las temperaturas resultantes se obtienen resolviendo la ecuación 5.34 sujeta a las condiciónesele las ecuaciones 5.35 a 5 37. C om o las condiciones de convección para las superficies en v* = ± 1 son las m ism as, la distribución de tem peraturas en cualquier instante debe ser sim étrica alrededor del plano m edio (v* = 0). Una solución exacta a este problema ya se obtuvo y es de la form a [2 |

tí* = V Cn ex p ( - £ n2Fo) eos ( O '* ) n= I

(5.39a

donde Fo = atlL 2 y el coeficiente Cn es

C =

4 sen Cn

2Cn + sen ( 2 £,)

(5.39b

y los valores característicos (e ige m a l ores) de £„ son las raíces positivas de la ecuación trascendente ln ta n ln = F i

(5.39c]

Las prim eras cuatro raíces de esta ecuación se dan en el apéndice B 3.

5 .5 »

Solución aproximada

Se puede m ostrar (problem a 5.27) que para valores de Fo > 0.2, la solución en seriein finita, ecuación 5.39a. se aproxim a con el pr m er térm ino de la sene. Al recurrir a esta aproxim ación, la form a adim ensional de la distribución de tem peraturas se convierteei tí *

= C , exp ( - $ F o ) eos (£,.v*)

(5

o

tí* = (£ c o s (Cix*) donde tí*

( T0 — TX)/(T, — 7») representa la tem peratura del plano m edio (.v* - 0

tí* = C } exp {~ l]F o )

(5,41

Una im plicación im portante de la ecuación 5 40b es que la dependencia de ¡a tcmpcn tura con respecto al tiempo x en cualquier lugar dentro de la pared es la misma de la temperatura del plano medio. Los coeficientes C x v £, se evalúan a partir de ¡ ecuaciones 5.39b y 5.39c. respectivam ente, y están dadas en la tabla 5.1 para un m de núm eros de Biot.

5 .5 .3

Transferencia total de energía

Ln m uchas situaciones es útil conocer la energía total que dism inuye en la pared< cualquier tiem po t cn el proceso transitorio. El requerim iento de conservación dej energía, ecuación 1 1 Ib. se aplica al intervalo de tiem po lim itado por la condición i cial (r = 0 ) y cualquier tiem po t > 0

5 .5 T a b l a 5 .1

■ Pared plana con convección

227

(Coeficientes que se usan en la aproximación de un término para las soluciones

de serie de la conducción transitoria unidim ensional C ilin d r o in fin ito

[ P ared p la n a ------------ 1 -------------------

ti

Esfe ra

j

/

y /

^

Bia

(ra d )

c,

f. (r a d )

c\

(r a d )

0 .0 1

0.0998

1.0017

0.1412

1.0025

0.1730

1.0030

0.02

0.1410

1.0033

0.1995

1.0050

0.2445

1.0060

0.03

0.1732

1.0049

0.2439

1.0075

0.2989

1.0090

0.04

0.1987

1.0066

0.2814

1.0099

0.3450

1.0120

0.05

0.2217

1.0082

0.3142

1.0124

0.3852

1.0149 1.0179

^

c,

0.06

0.2425

1.0098

0.3438

1.0148

0.4217

0.07

0.2615

1.0114

0.3708

1.0173

0.4550

1 0209

0.08

0.2791

1.0130

0.3960

1.0197

0.4860

1.0239

0.09

0.2956

1.0145

0.4195

1.0222

0.5150

1.0268

0.10

0.3111

1 0160

0.4417

1.0246

0.5423

1 0298

0.15

0.3779

1.0237

0.5376

1.0365

0.6608

1.0445

0.20

0.4328

1.0311

0.6170

1.0483

0.7593

1.0592

0.25

0.4801

1.0382

0.6856

1 0598

0.8448

1.0737

0.30

0.5218

1.0450

0.7465

1.0712

0.9208

1.0880

0.4

0.5932

1.0580

0.8516

1.0932

1.0528

1.0164

0.5

0.6533

1.0701

0 9408

1.1143

1.1656

1.1441

0.6

0.7051

1.0814

1.0185

1.1346

1.2644

1 1713 1.1978

0.7

0.7506

1.0919

1.0873

1 1539

1.3225

0.8

0.7910

1.1016

1.1490

1.1725

1.4320

1.2236

0.9

0.8274

1.1107

1.2048

1.1902

1.5044

1.2488

1.0

0.8603

1.1191

1.2558

1.2071

1.5708

1.2732

2.0

1.0769

1.1795

1.5995

1.3384

2.0288

1.4793

3.0

1.1925

1.2102

1.7887

1.4191

2.2889

1.6227 1.7201

4.0

1.2646

1.2287

1.9081

1.4698

204556

5.0

1.3138

1.2402

1.9898

1.5029

2.5704

1.7870

6.0

1.3496

1.2479

2.0490

1.5253

2.6537

1.8338

7.0

1.3766

1.2532

2.0937

1.5411

2.7165

1.8674

8.0

1.3978

1.2570

2.1286

1.5526

2.7654

1.8921

9.0

1.4149

1 2598

2.1566

1.5611

2.8044

1.9106

10.0

1.4289

1.2620

2.1795

1.5677

2.8363

1.9249

20.0

1.4961

1.2699

2.2881

1 5919

2.9857

1 9781

30.0

1.5202

1.2717

2.3261

1.5973

3.0372

1.9898

40.0

1.5325

1.2723

2.3455

1 5993

3.0632

1.9942

50.0

1.5400

1.2727

2.3572

1.6002

3.0788

1.9962

100.0

1.5552

1.2731

2.3809

1.6015

3.1102

1.9990

00

1.5707

1.2733

2.4050

1.6018

3.1415

2.000

ÜB¡ = hL'k para la pared plana y hr0!k para el cilindro infinito y la esfera. Véase la figura 5.6.

d epa r t a m en t o

d e

Universidad Simón Bollver

b ib l io t e c a

Sed en

^

Capitule» 5 ■ Conducción en oslado transitorio Al igualar la energía que se transfiere desde la pared Q a £ sale y con £ cnl E(t) — E{0 ), se sigue que

Q = - [ £ ( / ) - £(0)]

0 y Afalm =

(5.43a)

o

Q= -

fx [T{r, t) - T, 1 dV

(5 43b)

donde la integración se lleva a cabo sobre el volum en de la pared. Es conveniente quitar las dim ensiones a este resultado m ediante la introducción de la cantidad (5441 que se interpreta com o la energía interna inicial de la pared relativa a la temperatura del fluido. Tam bién es la cantidad máxima de transferencia de energía que podría ocurrir si el proceso continuara al tiem po t = °o. Por tanto, al suponer propiedades constantes, la razón de la energía total transferida de la pared en el intervalo de tiempo t a la transferencia m áxim a posible es - \ T { x , t) - T,] ü dV v

Q_ Qo

- J

T -T *

—

1

= —

r

(1 - d*) d V

v Jy

V

(5.45Í

Al em plear la forma aproxim ada de la distribución de tem peraturas para la pared plana, ecuación 5.40b, la integración que establece la ecuación 5.45 se ejecuta para obtener

Q_ =

Qo

_ sen jj_ í.

(54

donde 0 * se determ ina de la ecuación 5.41, con la ayuda de la tabla 5.1 para los valor de los coeficientes C\ y

5.5*4

Consideraciones adicionales

Com o el problem a m atem ático es precisam ente el m ism o, los resultados preceden! tam bién se aplican a una pared plana de espesor L. la cual está aislada en un lado (jt* 0) y experim enta transporte convectivo en el otro ( a * = + 1 ). Esta equivalencia es u consecuencia del hecho de que, sin im portar si se establece un requisito simétrico adiabático en .v* = 0 , la condición de frontera es de la form a dd*/clx* = 0 . También debe advertirse que los resultados anteriores sirven para determinar respuesta transitoria de una pared plana a un cam bio súbito en la tem peratura de la perficie. El proceso es equivalente a tener un coeficiente de convección infinito, cuyo caso el num ero de Biot es infinito (Bi = o°) y la tem peratura del fluido 7* reem plaza por la tem peratura establecida de la superficie 7\. Finalm ente, observam os que las representaciones gráficas de las aproximación de un térm ino ya se han desarrollado [5, 61 y se presentan en el apéndice D Aunque gráficas asociadas proporcionan un m edio conveniente para resolver problemas de c ducción unidim ensional transitoria para Fo > 0 .2 , se logra m ayor precisión medi las ecuaciones 5.40 y 5.46.

5.Í» ■ Sistemas radiales ron convección

229

5.0

Sistemas radiales con convección Para un cilindro infinito o una esfera de radio r0 (ligura 5.6 b), que está a una tem peratura inicial uniform e y experim enta un cam bio en las condiciones de convección, se producen resultados sim ilares a los de la sección 5.5. t s decir, es posible una solución en serie exacta para la dependencia con respecto al tiem po de la distribución radial de tem peraturas, y se aprovecha la aproxim ación de un term ino para la ma>oria de las condiciones. El cilindro infinito es una idealización que perm ite la suposición de co n ducción unidim ensional en la dirección radial. Esta es una aproxim ación razonable p ara cilindros con U ra 2 : 10 .

5 * 6 .1

Soluciones exactas

Se han desarrollado soluciones exactas para la form a unidim ensional transitoria de la ecuación de calo r para el cilindro infinito y para la estera. En cuanto a una tem peratura inicial uniform e y condiciones de frontera convectivas, las soluciones [21 son com o sigue

C ilindro in fin ito

En form a adim ensional, la tem peratura es 00

e* = X

«= I

donde Fo =

c „ ex p ( ~ ( „ 2 F o )U Í„ r* )

(5.47a)

at!r2O» JÁ U C » = — ' . 2/- >**\ i . 2 / ** *

y los valores característicos de

C nJl i L

) +

(5 4 ? b)

son las raíces positivas de la ecuación trascendental M C n)

L 77TT = J0\bn)

(5 .4 7 0

Las cantidades J i y J0 son funciones de Bessel de prim era clase y sus valores se tabulan en el apéndice B.4. S chneider [2] tabuló las raíces de la ecuación trascendental (5.47c)

E sfera

De m anera sim ilar, para la esfera 30

1

Fl-I

Cnr *

o* = X . C » exP 1 - l l F o )

—

sen (£,#•*)

donde Fo = ctrlrlo* C

4 [ s c n ( ¿ , ) - Cn c ° s ( £ , ) ] = — — —------------------------------------------------------- (5.48b) 2 £ , - s c n ( 2 £,)

y los valores característicos de £„ son las raíces positivas de la ecuación trascendental 1 - £„ cot

= Bi

(5.48c)

Las raíces de la ecuación trascendental fueron tabuladas por Schneider (2 J. OcHAHTAM ENTO DE BIBLIOTECA

Uiilvv.nnlyu biinoii uuii»dir ■S t d . «

ufSÍ,

C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio

5 .6 .2

Soluciones aproximadas

Para el cilindro infinito y la esfera, las soluciones en serie anteriores se aproximan nuevam ente m ediante un solo térm ino para Fo > 0.2. De aquí, com o para el caso de la pared plana, la dependencia respecto al tiem po de la tem peratura en cualquier lugar dentro del sistem a radial es la m ism a que la de la línea central o el punto central.

C ilindro in fin ito

La aproxim ación de un térm ino para la ecuación 5.47 es 0* = Ci ex p (~ C \F o)J0(£\r*)

o

Los valores de los coeficientes C | y í | ya se han determ inado y se enum eran en la tabla 5.1 para un rango de núm eros de Biot.

E sfera

De la ecuación 5.48a, la aproxim ación de un térm ino es

o 1

s ir donde 0 * representa la tem peratura del centro y es de la forma 0 * = C l ex p {~ C 2\Fo)

Los valores de los coeficientes C\ y £i ya se han determ inado y se enum eran en la tabla 5.1 para un rango de núm eros de Biot.

5 .6 .3

Transferencia total de energía

C om o en la sección 5.5.3, se realiza un balance de energía para determ inar la transfe rencia total de energía del cilindro infinito o de la esfera en el intervalo de tiempo A/=/,] Sustituyendo las soluciones aproxim adas, ecuaciones 5.49b y 5.50b, y con la ¡ntrodro ción de Q0 de la ecuación 5.44, los resultados son com o sigue.

C ilindro in fin ito

E sfera Q 3 0* =r = 1 [ s e n ( f ,) - Ci eo s ( f,) ]

Qo

íi

Los valores de la tem peratura del centro 0* se determ inan a partir de la ecuación 5.i o 5.50c, con los coeficientes de la tabla 5.1 para el sistem a apropiado.

■ Sistemas radiales coa convección

5 .6

5 .6 .1

231

Consideraciones adicionales

C om o en el caso de la pared plana, los resultados anteriores son útiles para predecir la respuesta transitoria de cilindros largos y esferas sujetos a un cam bio súbito en la tem peratura de la superficie. Esto es, se establece un núm ero de Biot infinito, y la tem peratura del fluido Toe se reem plaza con la tem peratura constante de la superficie T . En el apéndice D se m uestran representaciones gráficas de aproxim aciones de un térm ino.

Ej k

m pl o

5 .3

C onsidere una tubería de acero (AISI 1010) que tiene 1 m de diám etro interno y una pared con espesor de 40 mm La tubería está fuertem ente aislada en el exterior y, antes del inicio del flujo, las paredes de la tubería se encuentran a una tem peratura uniform e de —20 C. Con el inicio del flujo se bom bea aceite caliente a 60°C por la tubería, con lo que se crea una condición convectiva de superficie que corresponde a /; = 500 W /m 2 • K en la superficie interior de la tubería. 1. 6C uáles son los núm eros de Biot y de Eourier apropiados, 8 minutos después de iniciado el flu jo 7 2. A t = 8 min, ¿cuál es la tem peratura de la superficie externa cubierta por aislante? 3. ¿Cual es el flujo de calor q" (W /m ) a la tubería desde el aceite en / = 8 m inutos 7 4. ¿C uanta energía por m etro de longitud de tubería se ha transferido del aceite a la tubería en t = 8 m inutos 9

S o u

c ió in

S e c o n o c e:

Pared sujeta a un cam bio súbito en la condición superficial convectiva.

E n co n tra r: 1. N úm eros de Biot y de F ourier después de 8 minutos 2. Tem peratura de la superficie externa de la tubería después de 8 minutos 3. Flujo de calor a la pared en 8 m inutos. 4. Energía transferida a la tubería por unidad de longitud después de 8 minutos.

E squem a: Ti\. 0) = T¡ = -20°C

T {L, t)

no, t)

= 60°C h = 500 W/m2 • k

Aislante Acero AISI 1010

X

l. = 40 mm

d e pa r t a m e n t o

d e

Unlvera dad Simón Boliv».

b ib l io t e c a

Sode ó-* i í 0.2 y las condiciones transitorias en la aislada de espesor L de la tubería corresponden a las de una pared plana de espqd 2 L que experim enta la m ism a condición de superficie, los resultados que sede se obtienen de la aproxim ación de un térm ino para una pared plana. La temperáis, ra de plano m edio se determ ina de la ecuación 5.41

T —T 0* = — — - = C , ex p ( - f i F o ) *

Z

-

d o n d e, con Bi = 0 .3 1 3 . C¡ = 1.047 y Fo = 5.64

= 0.531 rad de la tabla 5.1.

8* = 1.047 ex p [ - ( 0 .5 3 1 ra d )2 X 5.64] = 0 .2 1 4 Por tanto, después de 8 m inutos la tem peratura de la superficie externa de la f ría, que corresponde a la tem peratura del plano m edio de una pared plana.es

+ 0 * (Z - Tx ) = 60°C + 0 .2 1 4 ( - 2 0 - 6 0 ) ° C = 42.9°C

7X0, 8 min) =

3. La transferencia de calor a la superficie interna en x = L es por convección.; cualquier tiem po t el flujo de calor se obtiene de la ley de enfriam iento de Ne* De aquí en t = 480 s,

q ’^ U 4 8 0 s ) ^ q ' [ = h[T(L , 4 8 0 s) - T J Con el uso de la aproxim ación de un térm ino para la tem peratura de la sup la ecuación 5.40b con v* = 1 tiene la form a

0* T(L , t)

6* eos (£,)

T„ + (T, - T„)0* eos (£,)

T{L , 8 m in)

6 0 °C + ( - 2 0 - 6 0 )°C X 0 .2 1 4 X eos (0.531 rad)

T(L, 8 m in)

4 5 .2 °C

5 .6

233

■ Sistemas radiales coa convección h l flujo de calor en t = 8 m inutos es entonces

q"L = 500 W /m 2 ■ K (45 2 - 60)°C = - 7 4 0 0 W /m 2


h, en

5 .6

■ .Sistmias ratlialt>s coa convección

235

donde \ = (4 /3 ) tt/¿ y A, = 47 rr}t. De aquí 3 0 0 0 k g /m 3 x 0 .0 0 5 m X 1000 J/k g • K ta =

3 X 1 0 W /m 2 • K

4 0 0 - 20 In — —— —— =: q 4 s 335 - 20

2. Para determ inar si el m étodo de la resistencia interna despreciable tam bién sirve en el segundo paso del proceso de enfriam iento, de nuevo se calcula el num ero de Biot. En este ca so

Bi =

K r0

6 0 0 0 W /m 2 • K X 0.005 m

3k

3 X~20 W /m ~ K

= 0 .50

y el m étodo de la resistencia interna despreciable no es apropiado. Sin em bargo, a una excelente aproxim ación, la tem peratura de la esfera es uniform e en t — ta y la aproxim ación con un térm ino se usa para los cálculos de / = \a a t = ta + t h.. El tiem po al que la tem peratura del centro alcanza 50°C, es decir. 7(0. /M) = 50 C, se obtiene reacom odando la ecuación 5.50c 1

Fo = -

H

f

ln

]

1

C,

x

7(0, r j - 7 , 7 - 7 ,

donde rH. = Fo r 2 /ot. Con el núm ero de Biot definido ahora com o

Bi =

hwr„

6 0 0 0 W /m 2 • K X 0.005 m

~T~ ~

2 0 W /m " K

= 1.50

La tabla 5.1 da C\ = 1.376 y ^ = 1.800 rad. Se sigue que

Fo =

1

(1 .8 0 0 rad)

4 -!

37 6 [ 1.3

x

(50 - 20)°C (335 - 2 0 )°C

= 0 .82

(0 005 m)"

= F o — = 0.8 2 = 3.1 s a 6 .6 6 X 10 6 m 2/s A dvierta que, con Fo = 0.82, se justifica el uso de la aproxim ación con un término.

(jo nu; n ta ri os: 1. Si la distribución de tem peraturas en la esfera al final del paso 1 no fuera uniform e. la aproxim ación con un term ino no serviría para los cálculos del paso 2 . 2. La tem peratura superficial de la esfera al hnal del paso 2 se obtiene de la ecuación 5 50b. Con d* = 0 095 y r* = 1 .

ti* ( O =

T(ra) - 7 ,

0.095

7 ,- 7 ,

1.800 rad

sen (1 .8 0 0 rad) = 0 .0 5 1 4

T(r0) = 20°C + 0.0514(335 - 20)°C = 36°C La serie infinita, ecuación 5.48a. y su aproxim ación con un térm ino, ecuación 5.50b. sirve para calcular la tem peratura en cualquier posición en la esfera y en cualquier tiem po t > 10. Para (/ — ta) < 0 2(0 005 m ) 2/ 6.66 X 10 ' m 2/s = 0.75 s, debe conservarse un núm ero suficiente de térm inos para asegurar la convergencia

d e pa r t a m e n t o

d e

b ib l io t e c a

U n iv e r s id a d S im a n b o n « j r - S e d * -

.. >rt>

236

C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio de la serie. Para (/ — ta) > 0.75 s. la aproxim ación con un térm ino proporciona una convergencia satisfactoria. AI calcular y presentar en form a de gráfica las torias de las tem peraturas para r = 0 y r = r 0, obtenem os los siguientes resultado para 0 ^ (/ — ta) ^ 5 s:

. Las gráficas de H eislcr del apéndice D tam bién sirven para analizar el procet»j paso 2. Con Bi 1 = 0.67 y 0* = 0.095, la figura D.7 da Fo ~ 0.8 en cuyoi tw *== 3.0 s. De la figura D . 8 , con r* = I, dir0)l6o ~ 0.52, en cuyo caso T(/*); 20°C + 0.52(50 - 20)°C « 36°C.

5 .7 Sólido semiinfinito O tra geom etría sim ple para la que es posible obtener soluciones analíticas es e l » semiinfinito. C om o tal sólido se extiende hasta el infinito en todas direcciones exea una, se caracteriza por una sola superficie identificable (figura 5.7). Si se imponj cam bio súbito de condiciones en esta superficie, ocurrirá una conducción unidimel nal dentro del sólido. El sólido sem iinfinito proporciona una idealización útil paral chos problem as prácticos. Se aprovecha para determ inar la transferencia de transitoria cerca de la superficie de la tierra o para aproxim ar la respuesta transitorii un sólido finito, com o una losa gruesa. En cuanto a esta segunda situación la aprc ción sería razonable para la prim era parte del transitorio, durante la cual las tcnif ras en el interior de la losa (a bastante distancia de la superficie) no son afectada* | cam bio en las condiciones de la superficie. La ecuación de ealor para la conducción transitoria en un sólido semiinfinita dada por la ecuación 5.26. La condición inicial se establece m ediante la ecuación^ y la condición de frontera interior es de la forma

T(x —> °°, t) = T¡ Ya se han obtenido soluciones en forma cerrada para tres condiciones superficial! portantes, aplicadas de form a instantánea en t = 0 1, 2J. Estas condiciones se mi en la figura 5.7. Incluyen la aplicación de una tem peratura superficial constante fl Tr la aplicación de un flujo de calor superficial constante ce, así com o t= 0 , que corresponde a 17 —» oo,lacondición inicial yla cony con x dición de frontera interior corresponden al único requerim iento T{r¡ -»«>) = T¡

(5.56)

C om o la ecuación de calor transform ada y las condiciones inicial/de frontera son independientes de .v y t, 77 = x!{4at)m es, en realidad, una variable de sim ilitud. Su

DEPARTAMENTO DE B IB L IO itu A U n iv e r s id a d S im ó n R oU vs

^ « d e d e l L ito ra

238

C apítulo 5 ■ Conducción en estado transitorio existencia im plica que la fo t mu de la distribución de tem peraturas en el medio, 7\r).es independiente del tiem po y que, sin tener en cuenta los valores de x y /, la temperatura se representa com o una función sólo de 17 La form a especifica de la dependencia de la tem peratura, se obtiene med ante la separación de variables en la ecuación 5 54, de m odo que

d{dT/dr¡) 0dT/dr ) r

= ~ 2 7] dr]

Al integrar, se sigue que

\n(dT/dr]) = - r f + C\ o

dT

= C, exp(—17 )

dr]

Al integrar una segunda vez, obtenem os

T = C,

rv

-'o

e x p (- u2) du + C2

donde u es una variable muda. Al aplicar la condición de írontera en r¡ = 0, ecuacii 5.55, se sigue que C2 = Ts, y

T = C,

f

Jo

e x p ( —u2) du + Ts

De la segunda condición de frontera, ecuación 5.56, obtenem os

T, = C,

í

Jo

e x p ( - w ) du + Ts

o, m ediante la evaluación de la integral definida,

C, =

2(Tt - Ts) 771/2

De aquí la distribución de tem peraturas se expresa com o

T -T s — ~r = (2/ 7r 12) f ex p (—m2) du = erf 17 T, ~ Tx jo

(52

donde la función gaussiana de error . erf 17. es una función m atem ática estándar quei tabula en el apéndice B El flujo de calor en la superficie se obtiene con la de la ley de Fourier en v = 0, en cuyo caso

dT )

donde, con Bi = 0.862, C! = 1.109 y £| = 0 8 1 4 rad de la tabla 5.1. Con Fo = 0.

0o

T{0, 3 m in) - Ta T -T a

= 1.109 exp [ - ( 0 .8 1 4 rad )2 X 0.84] = 0.636 P a re d

plana

De m anera sim ilar, para el cilindro infinito, con

B F X= Fo =

k

17.4 W /m • K

hra

5 00 W /m 2 • K X 0 0 4 m

at

4 .1 9 X 1 0 " 6 m 2/s X 1 8 0 s

r2

(0 .0 4 m )2

= 0.87

= 0.47

se sigue de la ecuación 5 49c que

efí

0* = y

= C, ex p ( —£ ,F o )

donde, con Bi = 1.15, C , = 1 227 y £, = I 307 de la tabla 5.1. Con Fo = 0.47. = 1.109 exp f —(1-307 rad )2 X 0 47] = 0 .5 5 0 Cilindro infinito

De aquí, para el centro del cilindro, 7X0.0 ,3 mm) — 7^ =

6 6 x Q 55Q = Q 35Q

T, — 7'*, T(0 .0 ,3 min) = 300 K + 0.350(600 - 300) K = 450 K La tem peratura en el centro de una cara circular se obtiene del requisito de que 7X0, L, 3 m in) - F*

T, ~ 71

F (¿ , 3 m m ) - F a “

T. - T r

F(0, 3 m in) - T, Pared plana

t

-

t

T

Cili infii

5 .8

■ Efectos tunItidimeusionales

217

donde, de la ecuación 5 40b,

0* 0 — = - = eo s (f,* * ) De aquí, con x* = 1, tenem os

(KL)

T(L , 3 m m ) - Ta

0O

7(0, 3 m in) - 7 C

Pared = eos (0.814 rad

X

1) = 0.687

plana

D e aquí 7 (7 , 3 m in) - T0

T(L, 3 m in) - 7* Pared = plana

T 1 i- - T 1 oc 7 (7 , 3 m in ) - 7« 71 r - 7 1

Pared plana

oo

7 (0 , 3 m in) - 7 ,

7(0, 3 m in) — Ta

Pared plana

= 0.687

X

0 .6 3 6 = 0.437

= 0.437

X

0 .5 5 0 = 0 .2 4 0

Pared plana

T. - 7'

Por tanto, 7 (0 , L, 3 m m ) - 7 { 71 r - 7 1

oo

7 (0 , 7 , 3 m in) = 3 00 K + 0 .2 4 (6 0 0 - 300) K = 372 K La tem peratura en la altura m edia lateral se obtiene del requerim iento de que

T(r0, 0, 3 min) ~ T ^ _

7 (0 ,3 min) — T0 7» / — 17 o.

7, — 7oc

Pared plana

7 (r(/, 3 mm) - 7 0 T¡ - 7 a

Cilindro infinito

donde, de la ecuación 5.49b, e~* -- J 6o - U, b, rr **\ ) Con r* = 1 y el valor de la función de Bessel determ inada de la tabla B.4,

0{ro)

T(ra, 3 m m ) - 7 7 (0, 3 m in) - 7«

cdmdro — 70( 1.307 rad

X

1)

—

0.616

infinito

De aquí

T{rv, 3 m in) - 7 ^

7(r„, 3 m in) - 7* 7 - 7 1 l

1

70

"

"

Cilindro

7 (0 , 3 m in) - 7M infinito 7 (0 , 3 m in) - 7 . 71 / - 7* a

Cilindro

inlinito

T(r0, 3 m in) - 7 a 7, - 7L

Cilindro

infinito

= 0 .6 1 6

X

0.550 = 0.339

De aquí 7 (r0, 0, 3 m in) — 7 a

T - T

= 0 .6 3 6 x 0 .3 3 9 = 0 .2 1 6

T(rn, 0, 3 m in) = 3 00 K + 0 .2 1 6 (6 0 0 - 300) K = 365 K DEPARTAMENTO d e

n>

-3

4U -X w o I •« i— • .ts o /r* i'

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X 41 C

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