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I.

Una mezcla químicamente es almacenada en recipiente esférico de pared delgado de radio ri=200mm, y la velocidad volumétrica de calor generado por la reacción exotérmica a una temperatura uniforme dependiente del volumen es de qq =qq o exp(-A/T), donde qq o=500W/m3 A=75K, y To es la temperatura de la mezcla en grados Kelvin. El recipiente es esta cubierto por un material aislante de radio externo r2, conductividad térmica k1 y emisividad ε. La superficie externa del aislante experimenta transferencia de calor por convección e intercambio de radiación neta con el aire adyacente y alrededores, respectivamente.

A) Escribir la ecuación de difusión de calor en estado estacionario para el aislante. Verificar que esta ecuación es satisfecha por la distribución de temperatura:

T

(¿ ¿ s ,1−T s ,2 )

[ ( )] 1−

( rr )

1−

r1 r2

1

T ( r )=T s ,1−¿ Esquematizar la distribución de temperatura, T(r) en coordenadas apropiadas. SOLUCIÓN:

Reacción química

Aislant

Como la reacción química es exotérmica, y la esfera está cubierta de aislante cuya transmisión ase un intercambio con el aire del medio ambiente y es grande la radiación.

Verificando la distribución de temperatura prescrito para el aislante si la ecuación satisface para la distribución de temperatura. Empleando la ecuación de difusión de calor.

1 d 2 dT r =0 … … … I dr r 2 dr

(

)

La distribución de temperatura se da como:

T

[ ( )]

r1 r (¿ ¿ s ,1−T s ,2 ) … … … II r1 1− r2 1−

( )

T ( r )=T s , 1−¿ Derivando la ecuación de distribución de temperatura.

T

[ ] 0+

(¿ ¿ s ,1−T s ,2 )

r1 r2

( ) ()

r 1− 1 r2

… … … … III

dT ( r ) =0−¿ dr Remplazando la ecuación III en I (ecuación de difusión de calor) se tiene.

T

[ ] 0+

(¿ ¿ s ,1−T s ,2 )

1−

0−¿ r ( ¿ )=0 1 d ¿ r 2 dr 2

r1 r2

( ) ( ) r1 r2

T (¿ ¿ s ,1−T s ,2 )

r1 r 1− 1 r2

()

+¿ ¿ 1 d ¿ r 2 dr Como r es independiente satisface a la ecuación de difusión de calor, la distribución de temperatura en el aislamiento y sus rasgos importantes son como sigue:  Ts,1 > Ts,2  La pendiente decreciente con el radio creciente r, aislamiento a terminado el calor es constante.

desde que el

B) Aplicar la ley de Fourier, y demostrar que la velocidad de transferencia de calor por conducción a través del aislamiento puede ser expresado por:

T (¿ ¿ s , 1−T s ,2 ) 4 πk 1 1 − r1 r2 q r =¿

( )( )

Aplicando un balance de energía a una superficie de control alrededor del recipiente, obtener una expresión alternativa q r, expresar los resultados en términos de qq y r1. SOLUCIÓN. Empleando la ley de Fourier para la coordenada radial-esférica, el calor a través del aislamiento es.

q r=−k Ar

dT dT =−k ( 4 π r 2 ) ………V dr dr

Sustituyendo la ecuación II (distribución de temperatura) en V (ley de Fourier) se tiene

T

[ ] 0+

(¿ ¿ s ,1−T s ,2 )

r1 r2

( ) ( )

1−

r1 r2

0−¿ qr =−k 4 π r 2 ¿ T (¿ ¿ s , 1−T s ,2 ) 4 πk … … ..VI 1 1 − r1 r2 q r=¿

( )( )

Aplicando equilibrio de energía en la superficie donde r=r 1. Ė

-Ė

interior

=0

fuera

Donde él recipiente,

q r=

representa el

calor generado en el

( 43 ) π r q´ … … … VII 3 1

C) Aplicando un balance de energía a una superficie de control ubicado en la superficie exterior del aislante, obtener una expresión a partir del cual Ts,2 pueda ser determinado como una función de qq , r1, h, T∞, ε y Tsur.

SOLUCIÓN. Aplicando balance de energía Ė

-Ė

interior

=0

fuera

q r−q conv −q rad =0 q r−h A s ( T s , 2−T ∞ )−ε A s σ ( T 4s ,2−T 4sur ) =0 … … … VIII Donde

A s =4 π r 22 … … … … IX

Estas relaciones pueden usarse para determinar T s,2 por lo que se refiere a las variables qq , r1, h, T∞, ε y Tsur. D) El ingeniero de procesos desea mantener un temperatura del reactor de To=T(r1)=95ºC sobre adicionales para los cuales: k=0.05W/m.K, r2=208mm, h=5W/m2. K, T∞=25ºC, ε =0.9, y T sur=35ºC. ¿Cuál es la temperatura actual del resorte y la temperatura de la superficie exterior del aislante Ts,2?

SOLUCIÓN. Datos del sistema del reactor que opera bajo las condiciones siguientes:

El

calor generado de la reacción exotérmica mantiene una proporción de generación de calor volumétrica,

q´ =q´ o exp

( −AT ) … … … X o

El sistema siguiente de ecuaciones determinará las condiciones que opera para el reactor (to=Ts,1).

Remplazando los datos en la ecuación de conducción de aislamiento (VI) se obtiene:

4 π 0.05W m.K

T T (¿ ¿ s ,1−T s ,2 )

… … … . XI 1 1 − 0.2 m 0.208 m ¿ s ,1−T (¿ s , 2) 4 πk =¿ 1 1 − r1 r2 q r=¿

(

)(

)

( )( )

Remplazando en la ecuación (VII) y (X) donde genero el calor en el reactor se tiene.

q r=

( 43 ) π r q´ =( 43 ) π 0.2 m q´ … … … . XII 3 1

q´ =q´ o exp

3

3

−A 5000W −75 K = exp … … .. XIII 3 To T s, 1 m

( )

(

)

En las ecuaciones (VIII) y (IX) se tiene en el equilibrio de energía en el aislamiento

q r−

5W 5.67∗10−8 W 4 A T −298 K −0.9 A ) ( T s ,2− (308 K ) 4 )=0 … … .. XIV s( s,2 s 2 2 4 m .K m .K 2

A s =4 π ( 0.208 m ) … … … … … … … XV Resolviendo las ecuaciones XI, XII, XIII y XIV de manera simultánea se obtiene el resultado.

T s ,1=94.3ºC T s , 2=52.5 ºC Rta . E) Calcula y grafica la variación de T s,2 con r2 para 201 ≤ r2 ≤ 210mm. El ingeniero desea prevenir algún accidente por contacto del personal con la superficie. ¿Es necesario aumentar el espesor del aislante para una solución práctica manteniendo T s,2 ≤ 45ºC ¿Qué otro parámetro debe ser variado para reducir T s,2?.

SOLUCIÓN. En la ecuación VIII y XII, XIII remplazando en XII y XV en VIII se tiene.

( 43 ) π r q´ −h A (T 3 1

s

s ,2

−T ∞ ) −ε A s σ ( T 4s ,2 −T 4 sur )=0=f ( T s ,2 ) … … XVI

Es una ecuación no lineal esta a función de temperatura. Se sabe que el interior del reactor esta a T s,1= 94.3ºC=367.3K y r1=0.2m, nos pide al intervalo de 201 ≤ r2 ≤ 210mm, los resultados se muestran en la siguiente tabla. r2/m 0.201 0.202 0.203 0.204 0.205

T/K 326.986 1 326.767 326.550 9 326.337 7 326.127

T/ºC 53.9861

(r2-r1)m 0.001

53.767 53.5509

0.002 0.003

53.3377

0.004

53.1274

0.005

0.206 0.207 0.208 0.209 0.21

4 325.919 9 325.715 1 325.513 1 325.313 8 325.117 1

52.9199

0.006

52.7151

0.007

52.5131

0.008

52.3138

0.009

52.1171

0.01

Graficando se tiene :

El espesor de

El espesor de

II.

La sección de un evaporador de unidad de refrigeración consiste de tubos de 10mm de diámetro de pared delgada, a través de los cuales pasa el refrigerante a -18ºC. el aire es enfriado a medida que fluye sobre los tubos, manteniendo un coeficiente por convección en la superficie de 100W/m2.K y subsecuentemente forzado al comportamiento del refrigerador. a) Para las condiciones anteriores y una temperatura del aire de -3ºC, ¿Cuál es la velocidad al cual el calor es extraída desde el aire por unidad de longitud de tubería? SOLUCIÓN. La Proporción de extracto de calor sin la formación de escarcha, esquematizando se tiene.

La capacidad refrescante en la condición descongelada (δ = 0) corresponde a la proporción de calor extracto de la corriente de aire. Para el refrigerante que fluya (T∞,i = Ts,1).

q´ =h 2 π ( T ∞ .o −T s ,1 ) … … … . I q´ =

100 W 47.1 W ∗2 π∗0.005 m∗(−3+18 ) ºC= Rta . 2 m m

b) Si la unidad de descongelación funcional mal, lentamente se acumula escarcha sobre la superficie externa del tubo. Evalué la formación de la escarcha sobre la capacidad de enfriamiento del tubo para espesores de la capa de escarcha en el rango de 0