• Author / Uploaded
• Eduard Jhon Vasquez Quintos

Citation preview

II. VIGAS CONTINUAS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGAS. DEMOSTRACIÓN DE OBTENCIÓN DE LA MATRIZ. VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO. PROBLEMAS DE APLICACIÓN. PROBLEMAS PROPUESTOS.

2.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE VIGAS

2.2

DEMOSTRACIÓN DE OBTENCIÓN DE LA MATRIZ. Cuando se aísla un elemento de un sistema estructural plano, el estado de esfuerzos en cada uno de sus extremos, se describe en términos de las tres acciones internas (una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento flector).

La columna “j” de la matriz de rigidez del elemento puede interpretarse como el conjunto de fuerzas que debe aplicarse para obtener el estado de deformaciones, en el que todos los desplazamientos considerados son cero, excepto uj=1.

Los coeficientes de cada columna de la matriz de rigidez, representa un estado de fuerzas en equilibrio. Las columnas “j” de la matriz de rigidez de la viga, indica las fuerzas que deben aplicarse en correspondencia a cada grado de libertad para obtener un estado de desplazamientos con todas las componentes igual acero, excepto el correspondiente al grado de libertad “j” que es igual a la unidad. Para un análisis práctico, consideremos el comportamiento de la estructura lineal y elástica por lo que “k” es constante y simétrica.

COEFICIENTES DE LA COLUMNA “1” (Corresponde al 1° GDL) ENUNCIADO La columna “1” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento ui=1 y el resto igual a cero.

Convención de signos desplazamientos (positivo):

para

fuerzas

y

La 1ra. columna será:

COEFICIENTES DE LA COLUMNA “2” (Corresponde al 2° GDL) ENUNCIADO La columna “2” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento vi=1 y el resto igual a cero.

Ecuaciones de Maney: 2𝐸𝐼 (2θi + θj - 3 ij) 𝐿 2𝐸𝐼 0 Mji = M ji + 𝐿 (2θ j + θi - 3 ij) 𝑀𝑖𝑗 +𝑀𝑗𝑖 Vi = Vj = 𝐿

ø

Mij = M0ij +

ø

Convención de signos: Todo efecto horario es positivo (para pendiente deflexión). Aplicando Maney para momento (Mij y Mji): Mij = 0 + Mji = 0 +

2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 𝐿

1 𝐿 1 3x 𝐿)

(0 + 0 - 3x ) = (0 + 0 -

=-

6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2

(Antihorario) (Antihorario)

Aplicando Maney para corte (Vi y Vj):

Vi = Vj =

La 2da. columna será:

COEFICIENTES DE LA COLUMNA “3” (Corresponde al 3° GDL) ENUNCIADO La columna “3” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento θi=1 y el resto igual a cero.

Aplicando Maney para momento (Mij y Mji): Mij = 0 + Mji = 0 +

2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 𝐿

4𝐸𝐼 [2(-1) + 0 –3x0)] = - 𝐿2 (Antihorario) 2𝐸𝐼 (-1 + 2x0 – 3x0) = - 𝐿2 (Antihorario)

Aplicando Maney para corte (Vi y Vj): Vi = -Vj =

La 3ra. columna será:

COEFICIENTES DE LA COLUMNA “4” (Corresponde al 4° GDL) ENUNCIADO La columna “4” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento uj=1 y el resto igual a cero

.

La 4ta. columna será:

COEFICIENTES DE LA COLUMNA “5” (Corresponde al 5° GDL) ENUNCIADO La columna “5” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento vj=1 y el resto igual a cero

Aplicando Maney para momento (Mij y Mji): Mij = 0 + Mji = 0 +

2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 𝐿

1

[0 + 0 - 3x(− 𝐿)] = [0 + 0 -

1 3x(− 𝐿)]

=

6𝐸𝐼 𝐿2 6𝐸𝐼 𝐿2

(Horario) (Horario)

Aplicando Maney para corte (Vi y Vj): -Vi = Vj =

La 5ta. columna será:

COEFICIENTES DE LA COLUMNA “6” (Corresponde al 6° GDL) ENUNCIADO La columna “6” de la matriz de rigidez, será el conjunto de fuerzas que equilibran el sistema en donde existe un desplazamiento θj=1 y el resto igual a cero.

Aplicando Maney para momento (Mij y Mji): Mij = 0 + Mji = 0 +

2𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 𝐿

[0 + (-1) - 3x0] = [2(-1) + 0 - 3x0] =

2𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 - 𝐿

(Antihorario) (Antihorario)

Aplicando Maney para corte (Vi y Vj): Vi = -Vj =

La 6ta. columna será:

Por el principio de SUPERPOSICIÓN de causas y efectos y siendo el sistema lineal y elástico, la fuerza sobre los extremos del elemento será la suma:

2.3

VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO DE CARGAS SOBRE VIGAS f e0. Carga uniformemente repartida:

M0

ij

=

M0ji =

WL2 12 WL2 - 12

V0

i

=

V0j =

WL 2 WL 2

.

Carga concentrada:

M0ij = M0ji =

Pab2 L2 Pa2b - L2

V0i V0j

Pb2 = 3 (3a+b) L Pa2 = L3 (a+3b)

Existen tablas pre calculadas para diferentes sistemas de cargas, nosotros presentamos tan solo dos ejemplos.

2.4

PROBLEMAS DE APLICACIÓN. PROBLEMA N° 01 Hallar la matriz de rigidez del sistema de viga con un extremo continuo, despreciar las deformaciones axiales y por corte.

PROBLEMA N° 02 Para el sistema de la figura mostrada, se pide resolver y dibujar el DFC y DMF. Considerar EI=constante.

6°. Gráfico de los diagramas de fuerza cortante y momento flector:

PROBLEMA N° 03 Si el apoyo “B” del sistema mostrado cede 0.2mm, se pide calcular las fuerzas de reacción en los apoyos y dibujar el DFC y DMF. Considerar EI=Constante.

PROBLEMA N° 04 Analice la estructura mostrada en la figura. Para la viga EI=1.2x105 KN-m2. Los efectos de las deformaciones axiales y de corte son poco importantes. En “B”, la viga se apoya en un resorte de rigidez k=3x105 KN/m (y sin rigidez flexional). Note que el nudo “B” puede desplazarse verticalmente y girar. Diagramar fuerzas cortantes y momentos flectores.

2.5

PROBLEMAS PROPUESTOS. PROBLEMA N° 01 Para el sistema mostrado en la figura, se pide calcular los momentos flectores en los extremos de los elementos y dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores. Considerar EI = Constante. Utilice análisis matricial, método de rigideces.

PROBLEMA N° 02 Hallar la relación entre P y Q de modo que el giro en el extremo en voladizo, sea nulo. Considerar EI = Constante. Utilice análisis matricial, método de rigideces.

PROBLEMA N° 02 Hallar la relación entre P y Q de modo que el giro en el extremo en voladizo, sea nulo. Considerar EI = Constante. Utilice análisis matricial, método de rigideces.

PROBLEMA N° 03 Para el sistema mostrado, diagramar fuerzas cortantes y momentos flectores. Considerar EI = Constante, además despreciar las deformaciones axiales y de corte. Utilice análisis matricial, método de rigideces.

PROBLEMA N° 04 La viga AB presenta EI0 por flexión y está reforzada por un resorte cuyo KL = 1000EI0, bajo esta condición, se pide resolver el sistema y dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Utilice análisis matricial, método de rigideces.