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• Anthony Jara Elias

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II PRÁCTICA De UNIDAD: PROBABILIDADES Y VARIABLE ALEATORIA 1.-a) Escriba usted 10 experimentos aleatorios afines a su especialidad y describa el espacio muestral correspondiente. b) Escriba y asigne probabilidades al menos a un suceso o evento aleatorio de cada espacio muestral descrito en la parte (1-a) luego interprete el resultado. 2.- Un conjunto eventual esta formado por cinco eventos simples que son E 1, E2 , E3, E4 y E5. Para P(E3)=0.4 , P(E4)= 2P(E5) y P(E1) = P(E2) = 0.15, obtenga las probabilidades para E4 y E5 3. Un experimento genera un conjunto eventual que contiene 8 eventos simples E 1, E2,......E8, con P(E1)=0.1 , P(E2)= P(E3)= P(E4)=0.05 , P(E5)=0.3, P(E6)=0.2, P(E7)= 0.1 y P(E8)= 0.15. Los eventos A y B son A : E1, E4, E6 B : E3, E4, E5, E6, E7 Hallar: a) P(A) (b) Hallar P(B) (c) Encuentre P(AB) d) Encuentre P(A U B) (e) Hallar e interpretar P(E1/E5) 4. Una empresa de prospección petrolera encuentra petróleo o gas en 10% de sus perforaciones. Si la empresa perfora 2 pozos, los cuatro eventos simples posibles y tres de sus probabilidades asociadas, se muestra en la tabla sgte: Evento Resultado de la primera Resultado de segunda Probabilidad simple Perforación perforación ______________________________________________________________________ 1 Se encontró (petróleo o gas) Se encontró (petróleo o gas) 0.01 2 Se encontró No se encontró 0.09 3 No se encontró Se encontró 0.09 4 No se encontró No se encontró 0.81 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------a). Determinar la probabilidad de que la compañía encuentre petróleo o gas en la primera perforación y nada en la segunda b). Determine la probabilidad de que la compañía encuentre petróleo o gas en por lo menos una de las dos perforaciones. 5.- En una encuesta de mercadeo para un gran almacén en Tumbes, se clasifico a los clientes de la tienda según el sexo y según su residencia, en la ciudad o en los caseríos aledaños. La proporción de los clientes que caen en las cuatro categorías se muestran en la Tabla: SEXO ---------------------------------Residencia Masculino Femenino -----------------------------------------------------Caseríos aledaños 0.17 0.67 Ciudad 0.04 0.12 -----------------------------------------------------Supóngase que se selecciona un solo adulto de este grupo de consumidores. Halle las probabilidades siguientes: Que el consumidor resida en los distritos aledaños

Que el consumidor sea mujer y viva en la ciudad Que el consumidor sea hombre o resida en los distritos aledaños Que el consumidor sea mujer o viva en la ciudad Que el consumidor sea mujer dado que reside en la ciudad. Que el consumidor resida en los distritos aledaños dado que es hombre 6. Una compañía de alimentos (o alimentaría) planea realizar un experimento para comparar su producto de té con los de dos competidores. Se utilizaría, en la práctica, cierto número de catadores de té. Para este ejemplo supóngase que solamente un catador prueba cada clase de té, que solamente tienen los símbolos A, B y C para su identificación. a) Defina el experimento b) Enliste los eventos simples en Ω c) Si el catador no pudiese captar diferencia en el sabor de los tés, ¿Cuál sería la probabilidad de que clasifique el té A como el mejor? O bien, ¿como el peor? 7. Los pedidos nuevos de los productos de una compañía varían en valor monetario, según la siguiente distribución de probabilidades. Monto de la 0 – 1000 1001 – 2000 2001 – 3000 3001 – 4000 4001 – 5000 venta S/. Probabilidad 0.10 0.35 0.25 0.20 0.10 a) Obtenga la probabilidad de que un nuevo pedido se mayor que S/ 2 000. b) Encuentre la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual a o menor que S/2 000, dado que el pedido excede a S/ 1 000. c) Determine la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor que S/ 3 000, dado que la venta exceda a S/ 2 000. 8. Sean los siguientes datos detallados en la siguiente tabla: COMUNIDAD LECTORES NO LECTORES Urbana 0.36 0.08 Rural 0.25 0.09 Caserío 0.16 0.06 Estos datos representan una pequeña porción de una encuesta realizada telefónicamente por un investigador tumbesino para determinar las características de los lectores de periódicos en pueblos pequeños, áreas rurales y caseríos en el departamento de tumbes, y para determinar el impacto de la publicidad en este mercado. Se seleccionó una muestra de 1486 personas de los pueblos pequeños, las regiones rurales y los caseríos. En una pregunta dela encuesta se interrogaba si el entrevistado leía o no periódico. Las proporciones de los entrevistados en las seis categorías comunidad – lector, se muestran en la tabla descrita. Supóngase de que se escoge un solo suscriptor del servicio telefónico entre los enlistados de la encuesta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el suscriptor viva en un caserío? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el suscriptor sea un lector urbano? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no sea lector, dado que el suscriptor del servicio telefónico vive en una zona urbana? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el suscriptor sea un lector, dado que el suscriptor del servicio telefónico no vive en un caserío?

9. Se diseñan los anuncios o comerciales para televisión de modo que interesen al telespectador más probable del programa patrocinador. Sin embargo, un estudio señala que los niños tienen un nivel de comprensión muy bajo para los avisos comerciales, incluso para los diseñados especialmente para ellos. Los estudios de un investigador muestran que los porcentajes de niños que entienden los comerciales de televisión para diferentes grupos de edad, son los dados en la siguiente tabla: Respuesta

Edad 5-7 8 – 10 11 - 12 No entiende 55% 40% 15% Entiende 45% 60% 85% Supóngase que un agente de publicidad muestra un comercial para televisión a un niño de seis años y otro a un niño de nueve años en un experimento de laboratorio, a fin de probar su comprensión de los comerciales. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el niño de seis años entienda el mensaje del anuncio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños comprendan el comercial? c) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dos, o ambos, entiendan el comercial citado? d) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos niños no comprendan el comercial? 10.- Un ensamblador de computadoras usan partes que provienen de tres proveedores P1, P2, y P3. De 2 000 partes recibidas 1 000 provienen de P 1, 600 de P2 y el resto de P3. De experiencias pasadas, el ensamblador sabe que las partes defectuosas que provienen de P1, P2, y P3 son respectivamente 3%, 4%, y 5%. Si se elige una computadora al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga una parte defectuosa? b) Y si contiene una parte defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido proveído por P2? 11.- En un día cualesquiera cuatro máquinas M1, M2, M3, y M 4 producen un bien de consumo en las en las siguientes proporciones: M 1 produce el doble de M4, M3 produce el triple de M4, mientras que M1 produce la mitad de M 2. Las producciones no defectuosas son respectivamente 95%, 95%, 90% para M 1, M2, M3. Si se elige al azar un artículo de la producción de un día y se encuentra que la probabilidad de que resulte no defectuoso es 0.93 a) ¿Cuál es el porcentaje de producción no defectuosa de M4? b) ¿De qué máquina es más probable que provenga un articulo defectuoso? . 12.- Una maquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la máquina está bien ajustada en un periodo, el 80% de los objetos producidos pasan el control de calidad, de otro modo sólo pasan el 60%. Se ha determinado que el 90% de los periodos la máquina está bien ajustada. De los 25 objetos producidos en un solo periodo se escogen 3 al azar y a la vez para el control de calidad. a) ¿Qué probabilidad hay que sólo 2 pasen el control de calidad? b) Si sólo 2 pasan el control de calidad ¿qué probabilidad se tiene que haya sido producido cuando la máquina trabaja en un periodo de buen ajuste? 13.- Una agencia de publicidad observa que el 2% de los compradores potenciales de un producto ve su propaganda por periódico, el 20% ve dicha propaganda por televisión y

el 1% ve los dos tipos de propaganda. Además de cada tres que ven la propaganda uno compra dicho producto y el 7.9% compran y no ven la propaganda a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial compre dicho producto si no vio la propaganda? b) Si un comprador potencial compra el producto. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya visto la propaganda? 14.- Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus tres clientes en forma independiente es 0.3. Además la probabilidad de realizar el negocio es de 0.20 si llama un cliente, es de 0.4 si llaman dos clientes, y es de 0.8 si llaman los 3 clientes. Si ninguno de los 3 le llama, no realiza el negocio. a) Calcular la probabilidad de que realice el negocio. b) ¿Cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente sabiendo que realizó el negocio? 15. Identifique las siguientes variables aleatorias como discreta o como continua; explique por qué? a. El valor estimado, en unidades monetarias, de una casa. b. El tiempo por transcurrir hasta el cambio necesario de la banda o correa del ventilador de un automóvil. c. El número de millas que viaja un vendedor en un mes dado. d. El número de cuentas que hay en un banco en un momento dado. e. El tiempo que un consumidor tiene que esperar en una ventanilla de un banco. f. El número de clientes nuevos obtenidos por un bufete jurídico en un mes. g. El período de vigencia de un medicamento en particular. h. El peso de la carga de trigo en un vagón o carro de ferrocarril. i. La velocidad en el lanzamiento de una pelota de béisbol. j. El número de accidentes mortales en una fábrica o planta manufacturera, en un año. k. El número de quiebras de bancos en un año dado. l. El espacio de área de pisos en nuevo edificio de oficinas. m. El número de personas que esperan tratamiento en la sala de emergencias de un hospital. n. El total de los puntos o anotaciones que se logran en un juego de fútbol. o. El número de demandas recibidas por una compañía de seguros durante un día. 16. Una variable aleatoria x posee la distribución de probabilidad siguiente: x 0 1 2 3 4 P(x) 0.1 0.3 0.4 0.1 ? a. Determine p (4) b. Construya un histograma de probabilidades para describir p (x)

5 0.05

17. Una variable aleatoria x puede tomar cinco valores, 0, 1, 2, 3 y 4. una parte de la distribución de probabilidad se da a continuación. x 0 1 2 3 4 P(x) 0.1 0.3 0.3 ? 0.1 a. Evalúe p (3) b. Trace un histograma de probabilidades para p (x)

18.- Sea X una v.a con la distribución de probabilidad dada en la sgte tabla: X P(X)

0 1 2 3 4 5 0.05 0.1 0.2 0.4 0.2 0.05 (a) Determine μ, σ2 , σ . (b) Trace un histograma de probabilidades para P(X). (c) Localice el intervalo (μ ± 2 σ) sobre el eje X del histograma. ¿Cuál es la probabilidad de que X caiga en este intervalo?

19.- La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta x se muestra en la tabla siguiente: X 1 2 3 4 5 6 7 P(X) 0.05 0.2 0.35 0.2 0.1 0.05 0.05 a. Calcule E (x) b. Determine σ2. c. Trace la gráfica (esquemáticamente) de p (x) y localice el intervalo (u ± 2 σ) en dicha gráfica. d. Encuentre la probabilidad de que x caiga en este intervalo (u ± 2 σ). 20. Se asegura un diamante de 50 000 (dólares) por su valor total pagando una prima de D (dólares). Si la probabilidad de un robo en un año dado es de 0.01, ¿qué prima tendría que cobrar la compañía de seguros si espera ganar $ 1 000 ? 21. La vigencia máxima de patente de un nuevo medicamento es 17 años. Al restar el período requerido para probar y aprobar el fármaco por parte de la Dirección de Alimentos y Medicamentos, se obtiene la vida real del producto - es decir, el período que tiene una compañía para recuperar los gastos de investigación y desarrollo, y obtener una ganancia. Supóngase que la distribución de los valores de vida para medicamentos nuevos está dada en la siguiente tabla: Años 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ,x P (x) 0.03 0.05 0.07 0.10 0.14 0.20 0.18 0.12 0.07 0.03 0.01 a. Obtenga el número de años esperado como tiempo de vigencia o vida de un medicamento nuevo. b. Calcule la desviación estándar de x. c. Encuentre la probabilidad de que x caiga en el intervalo (u ± 2 σ) 22. Un representante de una industria considera la opción de contratar una póliza de seguros para cubrir las posibles pérdidas en la comercialización de un producto nuevo. Si el producto resulta ser un completo fracaso, el representante cree que se sufrirá una pérdida de $ 80 000 (dólares); si solamente resulta ser de un éxito moderado, se sufrirá una pérdida de $ 25 000. Los actuarios de seguros determinaron, basándose en encuestas del mercado y en otra información disponible, que las probabilidades de que el producto resulte ser un fracaso o un éxito moderado, son 0.01 y 0.05, respectivamente. ¿Qué prima tendría que cobrar la compañía de seguros por la póliza para sólo cubrir los gastos, suponiendo que el representante estuviera dispuesto a no considerar cualquier otra posible pérdida?

23. Una compañía manufacturera envía sus productos mediante camiones de remolque (tráiler) de dos tamaños, uno de 8 x 10 x 30 y el otro de 8 x 10 x 40 (pies). Si 30% de sus remesas se hace mediante el camión de 30 pie, y 70% utilizando el de 40 pie, calcule el volumen promedio de carga enviado por camión de remolque (suponga que cada vehículo siempre va lleno). 24.–Verificar si cada una de las funciones f(x) es una función de densidad. a)  1 para 0  X  1 f (X )    0 en otro lugar

b) 

f (X )  

1 2 X

 0

para

0  X 1

en otro lugar

25.– Dada la siguiente función de densidad:  1 (2  X ) para 0  X  2 f (X )   2  0 en otra parte. Determinar: a) F(X) b) P(-1 < X < 3) c) Graficar f(X) y F(X) 26.– Si X es una variable aleatoria continua con función de distribución acumulada: si X0  0  2  X F(X )   si 0  X  2  4 si X2  1 Obtener: a) la función de densidad. b) Verificar si cumple las condiciones (a). c) Graficar f(X) y F(X). 27. – Para una v.a. Z, se sabe que E (Z) = 3,6 y E(Z2 ) = 16,4 Obtener: a) V(Z), V(3Z), V(4Z2) b) σ(Z) 28. – Dos personas A y B, juegan a lo siguiente: A arroja un dado correcto y B tiene que pagarle: 10 soles si aparece un 1 o un 2, 20 soles si aparece un 3 o un 4, 40 soles si aparece un 5 y 80 soles si aparece un 6. a) Cuanto debe pagar A a B, antes de cada juego para que sea parejo b) Calcule su variabilidad. 29. – La v.a X se da por la función de densidad:   3 X 2  6 X  454 si X   3,5 f (X )   4 0 en otro lugar  Hallar la Esperanza y la Varianza Matemática.

30.- Cada grupo de trabajo deberá plantearse al menos un problema o caso relacionad a su entorno y que sea afín a su especialidad donde se pueda aplicar y ejecutar los contenidos avanzados de esta unidad con su respectiva solución.