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• Hermann Tamayo

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TERMINO Variable Cte Relaciones P_V_T

Wc =

PROCESOS REVERSIBLES CON GAS PERFECTO (Calores Específicos constantes) ISOBARICO ISOMETRICO ISOTERMICO ADIABATICO P = Cte 𝑉1 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

𝑃1 𝑃2 = 𝑇1 𝑇2

𝑃(𝑉2 − 𝑉1 )

0

0

𝑉(𝑃1 − 𝑃2 )

𝑚∆𝐻

𝑚(∆𝐻 − 𝑉∆𝑃)

𝑚∆𝐻

𝑚∆𝑈

𝐶𝑣 ∆𝑇 𝐶𝑝 ∆𝑇 𝑇2 𝐶𝑝 𝐿𝑛 𝑇1

𝐶𝑣 ∆𝑇 𝐶𝑝 ∆𝑇 𝑇2 𝐶𝑣 𝐿𝑛 𝑇1

Wa = Qa = Qc = ΔU = ΔH = ΔS =

TERMINO

V = Cte

T = Cte 𝑃1 𝑉2 = 𝑃2 𝑉1 𝑉2 𝑉1 𝑉2 𝑃1 𝑉1 𝐿𝑛 𝑉1 𝑉2 𝑃1 𝑉1 𝐿𝑛 𝑉1 𝑉2 𝑃1 𝑉1 𝐿𝑛 𝑉1 0 0 𝑉2 𝑅𝐿𝑛 𝑉1 𝑃1 𝑉1 𝐿𝑛

PVk

POLITROPICO

𝑃1 𝑉2 𝑘 = ( ) 𝑃2 𝑉1

PVn = Cte 𝑃1 𝑉2 𝑛 = ( ) 𝑃2 𝑉1

𝑃1 𝑇1 𝑘⁄𝑘−1 = ( ) 𝑃2 𝑇2 1 (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 1−𝑘 2 2 1 (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 1−𝑘 2 2

𝑃1 𝑇1 𝑛⁄𝑛−1 = ( ) 𝑃2 𝑇2 1 (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 1−𝑛 2 2 1 (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 1−𝑛 2 2

0

𝑚∆ℎ + 𝑊𝑎

0

𝑚∆𝑈 + 𝑊𝐶

𝐶𝑣 ∆𝑇 𝐶𝑝 ∆𝑇

𝐶𝑣 ∆𝑇 𝐶𝑝 ∆𝑇 𝑇2 𝑉2 𝐶𝑣 𝐿𝑛 + 𝑅𝐿𝑛 𝑇1 𝑉1

= Cte

0

PROCESOS REVERSIBLES GENERALES (Excluyendo procesos donde hay cambio de fase) ISOBARICO ISOMETRICO ISOTERMICO ADIABATICO POLITROPICO PVn = Cte

Variable Cte

P = Cte

V = Cte

T = Cte

S = Cte

Wc =

𝑃(𝑉2 − 𝑉1 )

0

∫ 𝑃𝑑𝑉

∫ 𝑃𝑑𝑉

Wa =

0

𝑉(𝑃1 − 𝑃2 )

− ∫ 𝑉𝑑𝑃

− ∫ 𝑉𝑑𝑃

Qa =

𝑚∆𝐻

𝑚(∆𝐻 − 𝑉∆𝑃)

− ∫ 𝑉𝑑𝑃

0

𝑚∆ℎ + 𝑊𝑎

Qc =

𝑚∆𝐻

𝑚∆𝑈

∫ 𝑃𝑑𝑉

0

𝑚∆𝑈 + 𝑊𝐶

ΔS =

∫

𝑄 𝑇

0

𝑑𝐻 𝑇

∫

𝑑𝑈 𝑇

1 (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 1−𝑛 2 2 1 (𝑃 𝑉 − 𝑃1 𝑉1 ) 1−𝑛 2 2

∫

𝛿𝑄 𝑇

TABLA PARA LOS PROCESOS DE GASES IDEALES (CALCULO DE: T – P – V - W – Q – ΔU - ΔH) PROCESO

RELACION P - V-T

APLICACIÓN DE LA 1ra LEY

TRABAJO REALIZADO (W) 𝑤𝑝 =

ISOBARICO (Presión Opuesta Constante) P1 = P 2 ∆𝑃 = 0 Expansión ó Compresión adiabatica

Ley de Charles

ISOCORO ó ISOVOLUMETRICO (Volumen Constante) V1 = V 2 ∆𝑉 = 0 Calentamiento/Enfri amiento

Ley de Gay Lussac

𝑊𝑝 = 𝑃𝑜𝑝 (𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 )

∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊

ENERGIA INTERNA (ΔU)

𝑇𝑓

𝑇𝑓

∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑄𝑝 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑇𝑖

𝑊𝑝 = 𝑛𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑄𝑝 = 𝑛𝐶𝑝̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑤𝑝 = 𝑅 ∫ 𝑑𝑇

𝑄𝑣 = ∆𝑈

𝑊𝑣 = 0

∆𝑈 = 𝑄𝑣

𝑄𝑣 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑄𝑣 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑇𝑓

𝑇𝑓

𝑄𝑣 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑣 𝑑𝑇

∆𝑈 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑣 𝑑𝑇

𝑇𝑖

𝑇𝑖

𝑑𝑤𝑅𝑒𝑣 = 𝑃𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑉 𝑉𝑓

ISOTERMICO (Temperatura. Constante) T1 = T2 ∆𝑇 = 0

Ley de Boyle y Mariotte

∆𝑈 = 0

𝑉𝑓

𝑤 = ∫ 𝑃𝑑𝑉 = ∫ 𝑉𝑖

𝑉𝑖

𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉 𝑉 𝑉𝑓

𝑊 = 𝑚𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) (*)

0=𝑄− 𝑊

Q=W 𝑉𝑓

Q= 𝑚𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) 𝑉𝑖

𝑉𝑖

𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2

𝑉𝑓

𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) (*) 𝑄= 𝑊

∆𝑈 = 0

𝑉𝑓

Q= 𝑛𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) 𝑉𝑖

𝑉𝑖

𝑃𝑓

𝑊 = 𝑚𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) (*) 𝑃𝑖

𝑉𝑓

𝑊 = 𝑃1 𝑉1 𝐿𝑛 ( ) (*) 𝑉𝑖

En la expansión: ADIABATICO ó ISOENTROPICO (sin flujo de Calor) 𝐶𝑝 𝛾= 𝐶𝑣

𝛾

𝛾

𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2

𝑊𝐴𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 < 𝑊𝐼𝑠𝑜𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜

∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑊 = −∆𝑈

∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

∆𝑈 = 0 − 𝑊 𝑊=

𝑃1 𝑉1 𝑃2 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

∆𝑈 = − 𝑊

𝑃𝑓 𝑉𝑓 − 𝑃𝑖 𝑉𝑖 1− 𝛾

𝑚𝑅̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) 𝑊= 1− 𝛾

𝛾

𝑃1 𝑉1 = 𝐶𝑡𝑒 𝛾 = Cte Adiabática

𝑅𝑇𝑓 𝑅𝑇𝑖 𝑊 = 𝑃𝑜𝑝−𝑓 ( − ) 𝑃𝑓 𝑃𝑖

𝑄=0

∆𝐻 = 𝑄𝑝 ∆𝐻 = ∆𝑈 + 𝑃∆𝑉

𝑇𝑖

∆𝑈 = 𝑄 − 0

∆𝐻 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑇𝑖

𝑄𝑝 = 𝑚𝐶𝑃 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑇𝑓

𝑃1 𝑃2 = 𝑇1 𝑇2

ENTALPIA (ΔH)

𝑉 𝑃𝑜𝑝 ∫𝑉 𝑓 𝑑𝑉 𝑖

𝑊𝑝 = 𝑚𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) 𝑉1 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

CALOR SUMINISTRADO (Q)

Para Tf < Ti (Expansiön) ∆𝑈 = −

3 𝑛𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) 2

∆𝑈 = −

3 (𝑃 𝑉 − 𝑃𝑖 𝑉𝑖 ) 2 𝑓 𝑓

(*) Usando logaritmos decimales, las ecuaciones deben ser multiplicadas por 2,3. Ejemplo: W = (2,3) mRT log(Vf/Vi)

ENERGIA INTERNA – CALORES ESPECIFICOS DE GASES IDEALES Cv (J/mol.K) Cp (J/mol.K) γ = Cp/Cv ΔU Energia Cinetica Interna 3 3 3/2 R 5/2 R (5/3) = 1,67 𝑛𝑅∆𝑇 𝐸𝑐(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) = 𝑅𝑇 2 2 3 5 5/2 R 7/2 R (7/5) = 1,40 𝐸𝑐(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) = 𝑅𝑇 𝑛𝑅∆𝑇 2 2 3 𝑈𝑚𝑜𝑙 = 𝑅𝑇 + 𝐸𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ö𝑛 + 𝐸𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ö𝑛 2

GAS Monoatomico Diatomico Poliatomico GAS

Cv (cal/mol.K)

Cp (cal/mol.K)

γ = Cp/Cv

Monoatomico

3R

5R

(5/3) = 1,67

Diatomico

5R

7R

(7/5) = 1,40

ΔU 3 𝑛𝑅∆𝑇 2 5 𝑛𝑅∆𝑇 2

Poliatomico

𝑈𝑚𝑜𝑙

𝐽 𝑚𝑜𝑙. 𝐾 𝑘𝑔 𝑚 𝑅 = 847,82 𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝐾 𝑚𝑚 𝐻𝑔 − 𝑙 𝑅 = 62,4 𝑚𝑜𝑙 𝐾 𝑅 = 8,31413

𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑃𝑉 =

𝑁 𝑅𝑇 𝑁𝐴

𝑚 𝑃𝑉 = 𝑅𝑇 𝑀 𝑃𝑉 = 𝑁𝑘𝑇

Energia Cinetica Interna 3 𝐸𝑐(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) = 𝑅𝑇 2 3 𝐸𝑐(𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎) = 𝑅𝑇 2 3 = 𝑅𝑇 + 𝐸𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ö𝑛 + 𝐸𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ö𝑛 2

VALORES DE R - (Constante Universal de los gases ideales) 𝑎𝑡𝑚. 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑙 𝑅 = 0,082 𝑅=2 𝑚𝑜𝑙. 𝐾 𝑚𝑜𝑙. 𝐾 𝑃𝑖𝑒 − 𝐿𝑏 𝑐𝑎𝑙 𝑅 = 1545,32 𝑅 = 1,986 𝐿𝑏 𝑚𝑜𝑙. 𝐾 𝑘 𝑚𝑜𝑙. 𝐾

ECUACIONES DE ESTADO DE GAES IDEALES 𝑅 𝑃𝑉 = 𝑚𝑅̅ 𝑇 𝑅̅ = 𝐶𝑝 − 𝐶𝑣 𝑅̅ = 𝑀 𝑅 𝑁 = 𝑛𝑁𝐴 𝑃 = 𝛿𝑅𝑇 𝑘= 𝑁𝐴 𝐽 𝑚𝑜𝑙 𝐾 𝑘= = 1,38 𝑥 10−23 𝐽/𝐾 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 23 6,02 𝑥 10 𝑚𝑜𝑙 8,3

𝑘𝐽 𝑘𝑔. 𝐾 𝐵𝑇𝑈 𝑅 = 1,9859 𝐿𝑏 𝑚𝑜𝑙 𝑅 𝑅̅(𝑎𝑖𝑟𝑒) = 287

𝑃𝑉 = 𝑚

𝑅 𝑇 𝑀

𝑛=

𝑚 𝑀

PROCESOS POLITROPICOS PROCESO

RELACION P.Vn

LEY DE RELACION P - V-T

APLICACIÓN DE LA 1ra LEY

TRABAJO REALIZADO (W)

CALOR SUMINISTRADO (Q)

CAMBIO DE ENERGIA INTERNA (ΔU)

CAMBIO DE ENTALPIA (ΔH)

𝑉𝑓

n=0 ISOBARICO (Presión Opuesta Constante)

Ley de Charles

𝑤𝑝 = 𝑃𝑜𝑝 ∫ 𝑑𝑉 𝑉𝑖

P1 = P2

𝑉1 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊

𝑄𝑝 = 𝑚𝐶𝑃 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) 𝑄𝑝 = 𝑛𝐶𝑝̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑊𝑝 = 𝑃𝑜𝑝 (𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 ) 𝑊𝑝 = 𝑚𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

ISOCORO ó ISOVOLUMETRICO (Volumen Constante)

n=∞

∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑄𝑝 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇

𝑃1 𝑃2 = 𝑇1 𝑇2

∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑄𝑣 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) ∆𝑈 = 𝑄 − 0

𝑊𝑣 = 0

∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) ∆𝑈 = 𝑄𝑣

𝑇𝑓

𝑇𝑓

𝑄𝑣 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑣 𝑑𝑇

∆𝑈 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑣 𝑑𝑇

𝑇𝑖

𝑇𝑖

𝑑𝑤𝑅𝑒𝑣 = 𝑃𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑉 n=1 ISOTERMICO (Temperatura. Constante)

T1 = T2

Ley de Boyle y Mariotte

𝑃1 𝑉1 = 𝑃2 𝑉2

0=𝑄− 𝑊

𝑄= 𝑊

𝑉𝑓 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) 𝑉𝑖

Q=W

𝑉𝑓 𝑊 = 𝑚𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) 𝑉𝑖

Q= 𝑛𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( 𝑉 )

𝑃𝑓 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( ) 𝑃𝑖

Q= 𝑚𝑅𝑇 𝐿𝑛 ( 𝑉 )

𝑉𝑓

∆𝑈 = 0

𝑖

𝑉𝑓 𝑖

𝑉𝑓 𝑊 = 𝑃1 𝑉1 𝐿𝑛 ( ) 𝑉𝑖 ADIABATICO ó ISOENTROPICO (sin flujo de Calor ni energía) 𝛾 𝑃1 𝑉1 = 𝐶𝑡𝑒 POLITROPICO (𝑃1 𝑉1𝑛 ) = 𝐶𝑡𝑒

n= 𝛾 𝐶𝑝 𝛾= 𝐶𝑣 𝛾 𝑃1 𝑉1

=

𝛾 𝑃2 𝑉2

𝛾 𝑃1 𝑉1

=

𝛾 𝑃2 𝑉2

𝑃1 𝑉1 𝑃2 𝑉2 = 𝑇1 𝑇2

∆𝑈 = 0 − 𝑊

∆𝑈 = − 𝑊

𝑊=

𝑃𝑓 𝑉𝑓 − 𝑃𝑖 𝑉𝑖 1− 𝛾

∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) ∆𝑈 = 𝑛𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑚𝑅̅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) 𝑊= 1− 𝛾

∆𝑄 = 0

𝑃1 𝑉1𝑛 = 𝑃2 𝑉2𝑛

Para Tf < Ti ∆𝑈 = −

n=n 𝑊=

𝑃𝑓 𝑉𝑓 − 𝑃𝑖 𝑉𝑖 1− 𝑛

𝑄= 𝑛−𝛾 (𝛾−1)(𝑛−1)

∆𝐻 = 𝑚 ∫ 𝐶𝑝 𝑑𝑇 𝑇𝑖

𝑇𝑖

𝑄𝑣 = 𝑚𝐶𝑣̅ (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) V1 = V2

∆𝐻 = 𝑄𝑝 𝑇𝑓

𝑇𝑓

𝑊𝑝 = 𝑛𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) Ley de Gay Lussac

∆𝐻 = ∆𝑈 + 𝑃∆𝑉 ∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 )

𝑉𝑓 1−𝑛

𝑃𝑖 𝑉𝑖 [( 𝑉 ) 𝑖

3 𝑛𝑅(𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) 2

∆𝑈 = 𝑚𝐶𝑣 (𝑇𝑓 − 𝑇𝑖 ) − 1]

Q (+)

Q (-)

W (-)

∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 𝑄 = 𝑊 + ∆𝑈

W (+)

TERMINOLOGIA V1 = Volumen inicial T1 = Temperatura inicial ∆𝑈 = Cambio Energia Interna m = masa del gas (masa)

V2 = Volumen Final T2 = Temperatura Final 𝛾 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 n = numero de moles

P1 = Presión Inicial P2 = Presión Final Qp = Calor a presión constante R = Constante Universal de los gases N = Número Total de moléculas

Wp = Trabajo a P Cte. Wv =Trabajo a V Cte. 𝑅̅ = Cte Particular del gas M = Masa Molar (Molecular)

La masa Molar ó Masa Molecular se puede expresar en: g/mol, Cp = Calor especifico a P Cte. Cv = Calor especifico a V Cte. Qp > Qv  Cp > Cv k = Constante de Boltzman (1,38 x 10-23 J/K)

kg/mol

lb/mol

𝐶𝑝̅ = Capacidad calorífica molar a presión constante 𝐶𝑣̅ = Capacidad calorífica molar a Volumen constante NA= Número de Avogadro (6,022 x 1023 moléculas /mol)

Ln = Logaritmo natural Log = Logaritmo decimal